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Fórmula integral de Cauchy
● Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C !
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Fórmula integral de Cauchy
Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente:
Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces:
(derivadas de funciones analíticas)
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Fórmula integral de Cauchy
Mientras que para f ''
En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):
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Fórmula integral de Cauchy
Una consecuencia importante de la extensión de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente:
● Si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas
Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.
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● Una consecuencia más de la extensión de la fórmula de Cauchy es el teorema de Liouville. Este último útil para demostrar el teorema fundamental del álgebra.
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Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo CR de
radio R. Si MR denota el máximo valor de |f(z)| en CR, entonces
conocida como desigualdad de Cauchy
Cotas de funciones analíticas y Teorema de Liouville
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Teorema de Liouville
Teorema de Liouville:
Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano.
Así, las únicas funciones enteras son las funciones constantes.
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Teorema fundamental del álgebra
Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra:
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero
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● “Principio del modulo máximo” : Si f(z) es una función analítica no constante en un dominio D, entonces |f(z)| no tiene máximo en D.
● Corolario: Sea f(z) una función analítica en un dominio acotado y cerrado (incluye su frontera), entonces |f(z)| adquiere su valor máximo en la frontera.
● Así pues, si f(z) es una función analítica y |f(z)| alcanza su máximo valor en un dominio D, entonces f(z) es constante.
Cotas de funciones analíticas
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Sucesiones y Series
Vamos a estudiar cómo se expandir una función analítica en una serie de potencias.
Preliminares (convergencia):
Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que
siempre que
Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que zn se aproxima a z
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Sucesiones y Series
El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir,
● Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge.
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Sucesiones y Series
Teorema.
Sea
y . Entonces
si y sólo si
y
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Sucesiones y Series
Se dice que una serie de números complejos
es convergente, si la sucesión de sumas parciales
tiene un límite S, es decir,
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Sucesiones y Series
Teorema.
Sea
y .
Entonces
si y sólo si
y
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Sucesiones y Series
Comentario.
De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que
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Sucesiones y Series
Serie absolutamente convergente:
Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales
es convergente. Además, como
las series y son convergentes
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● Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma.
● Pero puede pasar que converge
y diverge. En este caso se dice que
la serie es condicionalmente convergente.
Sucesiones y Series
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Algunos criterios de convergencia:● Criterio del resto:
Sea la diferencia (resto)
entonces la serie converge a un número S si y solo si la sucesión de restos tiende a cero.
● Criterio del cociente: sea l el cociente:
● Entonce la serie converge si l<1 y diverge si l>1
Sucesiones y Series
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● Criterio de la raíz:
● Entonces la serie converge si l<1 y diverge si l>1
Sucesiones y Series
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Series de Taylor
Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio Pn(z) que se aproxime a una función
analítica f(z) en una vecindad del punto z0
Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio:
se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z0
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Series de Taylor
Es decir,
De modo que:
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Así tenemos el siguiente teorema:
Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias:
donde
conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única