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C O L U M N A S L I Q U I D A S
E N I N G R A V I D E Z
F O R M E F I A L 1982
Lamf-ETSIA, Laboratorio de Aerodinámica
E.T.S.I.Aeronáuticos, Ciudad Universitaria,
MADRID-3
EXPEDIENTE CONIE: 643/82
Madrid, Diciembre 1982
Ref: Lamf 8212
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EXPEDIENTE n£ 643/82
COLUMNAS LIQUIDAS EN CONDICIONES DE INGRAVIDEZ - 1982
Convenio de Investigación entre la Comisión Nacional
de Investigación del Espacio (CONIE) y la Universidad Politéc
nica de Madrid (UPM), desarrollado por el Laboratorio de Aero
dinámica (LAMF) de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Aeronáuticos (ETSIA) durante el año 1982.
Responsable del trabajo... I. Da-Riva de la Cavada
Colaboradores I. Martínez Herranz
J. Meseguer Ruiz
A. Sanz Andrés
D. Rivas Rivas
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MEMORIA
A un año vista del primer vuelo del Spacelab el panorama
actual del Experimento l-ES-331, tras más de siete años de desarr£
lio, está en gran medida dominado por la presión de los últimos pre_
parativos técnicos.
La integración de este experimento con los otros seis que
comparten el uso del Módulo de Física de Fluidos (FPM) en esta pri
mera misión, y la de todos ellos con el resto de los equipos del Ban
co de Proceso de Materiales en el que será ubicado el FPM, supone un
considerable esfuerzo de coordinación: acoplamiento de equipos, dis
tribución de recursos comunes, criterios de prioridad, desarrollo
del logical para la adquisición de datos y control de secuencia y,
sobre todo, formación de los operadores de vuelo, todo lo cual pro
porciona una carga de trabajo adicional al esfuerzo teórico-experi-
mental que se va realizando en paralelo.
Un claro ejemplo de lo antedicho nos lo muestra la confec
ción del guión (también llamado "Procedimientos") que deberá seguir
el astronauta para la ejecución de los ensayos. La primera versión,
una especie de declaración de intenciones, acompañaba la Propuesta
de Investigación remitida a la Aqencia Espacial Europea en 1976.
Los primeros Procedimientos propiamente dichos se prepararon en
1978, una vez desarrollado el FPM; posteriormente se han venido re
visando anualmente hasta Febrero de este año, en que se desplazaron
a Madrid un astronauta y un experto en confección de procedimientos
para uniformizar criterios y "ultimar detalles".
Apenas dos meses después, en la reunión de experimentado
res y operadores de vuelo celebrada en Londres, se vio la necesidad
de rehacer otra vez los Procedimientos para tener en cuenta los rea
-1 V-
justes ocasionados por una nueva redistribución de recursos que, en
nuestro caso, fue muy favorable al aumentarnos la cantidad disponi
ble de película fotográfica.
En Julio tuvo lugar en Colonia otra semana de entrenamiento
con el FPM, durante la cual se descubrieron nuevos condicionantes
que motivaron una nueva revisión de los Procedimientos. Esta nueva
versión, como ya se apuntaba en el Informe Parcial de Septiembre,
volvió a ser modificada a la luz de las valiosas enseñanzas obteni
das durante las dos semanas de simulación de vuelo en Octubre, es
ta vez con todos los equipos integrados, usándose por primera vez
los enlaces de radio y TV para la interacción de los investigadores
con los astronautas durante la realización de los experimentos. Tam
bién se vio en este ensayo general la importancia de la transmisión
de datos a Tierra en tiempo real, y del gran esfuerzo que va a supo
ner la interpretación de estos datos "en directo", por lo que se
piensa trabajar más en este sentido.
En otro orden de cosas, con respecto a los estudios teóri-
co-experi mentales que sirven de soporte a este experimento, se debe
destacar la gran acogida y el interés que tienen estos trabajos, de
lo cual dan testimonio las publicaciones que en este año han sido
admitidas en diversas revistas de carácter internacional, con un ar
ticulo de tipo teórico-numérico, otro experimental y un tercero so
bre simulación en ordenador:
- "On the Breaking of Slender, Axisymmetric Liquid Bridges",
por J. Meseguer, admitido en J. Fluid Meen.
- "Mínimum Volume for a Liquid Bridge between Equal Discs",
por A. Sanz e I. Martínez, admitido en J. Colloid
Interface Se i.
- V -
- "Computer Simulation of the Utilization of the Fluid
Physics Module for Spacelab 1", por I. Martínez,
en ESA Journal .
Por otra parte, hay que resaltar la colaboración presta
por este Laboratorio en la preparación del pabellón español para
exposición UNISPACE 82, organizada por las Naciones Unidas y cele
brada el pasado mes de Agosto en Viena, donde presentamos varios
posters y una nueva producción en vídeo sobre este proyecto de in
vestigación.
Con motivo de nuestra participación en este proyecto in
ternacional, la Agencia Espacial Europea, en colaboración con est
Universidad, va a organizar el 4- Symposium Europeo de Ciencia de
los Materiales en Microgravedad, en Madrid, del 5 al 8 de Abril
próximo, donde tenemos previsto presentar varios artículos sobre
diferentes aspectos de este proyecto.
-vi-
I N D I C E
VOLUMEN 1
Página
1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA
FLOTANTE 1
1.1. INTRODUCCIÓN 2
1.2. TERMODINÁMICA DE LAS INTERFASES 2
1.2.1. Modelo de Gibbs de las interfases 2
1.2.2. Equilibrio de una interfase , 6
1.3. ZONA CILINDRICA ANCLADA 10
1.4. EVOLUCIÓN ENERGÉTICA EN LA ROTURA DE UNA ZONA
CILINDRICA 14
2. INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE
PUENTES LÍQUIDOS ANCLADOS A DISCOS IGUALES 22
2.1. INTRODUCCIÓN ." 23
2.1.1. Problemas afines 24
2.2 ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO ESTRICTAMENTE
AXILSIMETRICO DE LA ZONA FLOTANTE EN BAÑO DE PLA
TEAU 26
2.3. ANÁLISIS LINEAL DEL PROBLEMA TRIDIMENSIONAL NO
VISCOSO 31
2,3.1. Influencia del baño 49 •
3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES ' 58
3.1. INTRODUCCIÓN 59
3.2. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO 63
3.2.1. Equilibrio 6 3
3.2.2. Estabilidad 66
-VI 1 -
3.3. ZONAS ANCLADAS A DISCOS DESIGUALES 6 8
3.3.1. Límite de estabilidad 75
3.3.2. Efecto de una pequeña diferencia de diámetros en la bifurcación 82
3.3.3. Desprendimiento y desbordamiento 8 5
3.3.4. Tratamiento por ordenador 90
VOLUMEN 2
ANÁLISIS NO LINEAL DE LA DINÁMICA DE ROTURA DE UNA
ZONA FLOTANTE 102
4.1. INTRODUCCIÓN 10 3
4.2. MODELO UNIDIMENSIONAL 104
4.3. ESTUDIO DE LA BIFURCACIÓN PARA ZONAS CILINDRICAS. 10 6
4.3.1. Dinámica de la rotura 109
4.3.2. Solución estacionaria 111
4.3.3. Solución de semej anza 111
4.3.4. Resultados 114
4.4. ESTUDIO DE LA BIFURCACIÓN PARA ZONAS CILINDRICAS
EN ROTACIÓN 117
4.4.1. Modelo unidimensional para zonas en rotación 117
4.4.2. Análisis de la rotura 12 0
4.4.3. Solución estacionaria 121
4.4.4. Solución de semejanza 121
4.4.5. Resultados 123
4.5. CONCLUSIONES 123
SIMULACIÓN EN ORDENADOR DEL MODULO DE FÍSICA DE FLUI
DOS UTILIZADO EN LA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO 1-ES-
331 EN EL SPACELAB 126
5.1. INTRODUCCIÓN 127
5.2. UTILIZACIÓN DEL FPM 128
5.3. SIMULACIÓN DEL OPERADOR 129
- v i i i -
5.4. SIMULACIÓN DEL FPM 135
5.5. SIMULACIÓN DE LA RECEPCIÓN DE DATOS EN TIERRA 140
APÉNDICE: FLOATING ZONE STABILITY IN ZERO GRAVITY (Status
Report)
-1-
1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE
-2-
1. ANÁLISIS ENERGÉTICO DE LA HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE
1.1. INTRODUCCIÓN
El objetivo que persigue este trabajo es múltiple. Por
una parte se desearía proporcionar un tratamiento unificado más
básico que la simple ecua.ción de Lapalce para la capilaridad uti
lizada hasta ahora en los análisis estáticos y de rotura. Por
otra parte, se quiere estudiar la evolución energética durante
la rotura, a partir de los datos numéricos disponibles. Por úl
timo, se piensa que esta generalización en el planteamiento del
estudio de las zonas flotantes podría ayudar a interpretar diver
sos fenómenos todavía no tenidos en cuenta en su totalidad: geo
metrías complejas de la zona, efecto del baño exterior en la si
mulación Plateau, efectos térmicos, eléctricos, etc.
1-2- TERMODINÁMICA DE LAS INTERFASES
El equilibrio mecánico de un sistema con inferíase
viene determinado per la ecuación de la hidrostática en las ma
sas fluidas, la ecuación de Laplace en las internases y la ecua
ción de Young en las líneas triples. Normalmente, en nuestro c_a
so sólo trabajábamos con la ecuación de Laplace porque la hi
drostática en ingravidez se reducía a tomar presiones constan
tes en cada fase, y el ángulo de contacto no era condicionante
mientras la inferíase permanecía anclada a bordes vivos.
1.2.1. Modelo de Qibbs de las Interfasejs
Los sistemas físicos, bajo ciertas condiciones termo
dinámicas pueden resultar más estables si presentan varias fases
que si formasen una única fase homogénea, en contra de lo que
-3-
una rápida consideración sobre entropía máxima podría indicar.
Normalmente, en condiciones de gravedad terrestre,
las fases densa, y más ligera aparecen separadas por una infería
se netamente horizontal, en una configuración muy estable en la
cual las pequeñas fuerzas interfaciales están enmascaradas por
las fuerzas másicas dominantes.
A nivel molecular las propiedades termodinámicas no
sufren saltos a través de la interfase, sino una variación gra
dual dictada por la distribución de densidad de partículas*, la
cual disminuye suavemente desde un alto valor en la fase conderi
sada a un valor inferior en la fase gaseosa, suponiendo, para ma
yor claridad, que se trata simplemente de una interfase entre
dos fases de una sustancia pura. Esta anisotrcpía en la densidad
de partículas da lugar a una distribución no simétrica de las
fuerzas intermoleculares, que son la causa de todos los fenómenos
interf aciales observables macroscópicamente. Esta disimetría ti_e
ne un valor máximo er¡ una cierta capa molecular, pero disminuye
rápidamente al considerar las capas adyacentes, debido al corto
alcance de las fuerzas intermoleculares, por lo que el espesor
, _9 practico de la inferíase es del orden de 10 m (no se consideran
sistemas como microgotas, cuya fase volúmica es del misno orden
que la interfacial).
La mecánica estadística puede ayudar a calcular las
distribuciones de densidad, energía, etc., pero desde el punto de
* Con el fin de que sigan teniendo sentido los conceptos macroscó picos usuales como la densidad, se consideran grandes dimensiones transversales en la interfase.
-4-
vista macroscópico no ec necesario tanto detalle y es preferible
no tener en cuenta el espesor de la interfase, sino asignar to
das las propiedades termodinámicas a un sistema termodinámico bi
dimensional; esta idea fue presentada por primera vez en 1878
por J.W. Gibbs. Según esta teoría, se define una interfase geo
métrica (una superficie) elegida de manera tal que el número de
partículas de la sustancia principal * a cada lado de la interfa
se sea igual al que correspondería a las fases volúmicas suponien
do el campo de densidades extrapolado por cada lado hasta dicha
superficie elegida.
Una vez definida la interfase geométrica, el resto de
las propiedades termodinámicas del sistema completo habrán queda,
do desequilibradas, es decir, extrapolando su valor en las fases
volúmicas hasta la superficie geométrica no se contabiliza el to
tal de su valor, quedando un exceso que se le asigna al nuevo
sistema termodinámico bidimensional, tal y como se indica en la
Fig, le) para el caso de la energía interna.
Si no se trata de una sustancia pura, el resto de los
componentes darán también funciones de exceso; en particular, los
solutos normales suelen dar un exceso (tienden a acumularse) en
la interfase, mientras que en las disoluciones electrolíticas
dan defecto de soluto en la interfase.
Con este modelo se explica la existencia de la tensión
superficial, a, como el exceso de la componente normal del ten
sor de esfuerzos, de manera análoga a la energía interna (Fig.
* Si se trata de una sustancia pura no hay problema; si se trata de una disolución se elije el disolvente como componente a equi librar para definir la superficie de Gibbs.
-5-
• • • • • • •••• ••• 4 •••••••••
a)
Fig. 1. a) Distribución molecular en una interfase real, b) Distribución de densidades, c) Distribución de energía interna. La interfase geométrica se elige en z de forma tal que /(o -o )dz = 0, con
° real modalo lo que habrá que asignar a dicha superficie propiedades termodinámi cas de exceso, como u = f(u n-u , , )dz.
J real modelo
l.c); de hecho ambas propiedades están directamente relacionadas
como se verá posteriormente. Sin embargo, el cálculo teórico de
tensiones superficiales por este método, con la ayuda de la me
cánica estadística, no está desarrollado, y el cálculo de o es
eminentemente experimental.
Al ser positivo el exceso de energía en la interfase,
es fácil comprender que los sistemas reales tiendan a minimizar -
el área de dicha interfase, respetando claro está las condicio
nes de contorno impuestas. Como consecuencia de ello, será nece
sario comunicar un trabajo a la interfase dW = adA, para incre
mentar en dA su área (isotérmicamente), el cual pasará a aumen
tar la energía interna de la interfase.
La tensión superficial de una sustancia pura depende ex
-6-
clusivamente de la temperatura (de modo análogo a la entalpia
de cambio de estado) ya que la presión y temperatura están li
gadas en un sistema bifásico. De hecho el comportamiento de o
con la temperatura es muy parecido al de la entalpia de vapori
zación, disminuyendo hasta anularse en el punto crítico, aunque
no se dispone de una teoría que relacione a con otras propieda
des termodinámicas.
1.2.2. Equilibrio de una interfase
La ecuación energética fundamental para el sistema ter
modinámico de la interfase será:
dU = TdS + adA (1)
o en forma integral U = TS + aA. Resulta pues que a coincide con
el potencial de Helmholtz (F = U - TS) o energía libre por uni
dad de superficie, y está relacionado con la energía interna de
la manera siguiente: de dF = - SdT + adA se tiene que
o _ 3F
pero por la relación de Gibbs-Duhem (0 = SdT + Ada),
S - - A ^ S - A d T
así que de U = TS + aA se deduce la relación buscada:
(2) A
-7-
De paso, puede observarse que al ser siempre positivas
S y A, la ecuación de Gibbs-Duhem muestra que da/dT < 0, un he
cho sobradamente conocido. Por condiciones de estabilidad se d_e
duce también que d a/dT < 0.
Para que el sistema conjunto interfase + medios volúm_i
eos adyacentes, considerado aislado, esté en equilibrio la entro
pía total ha de ser máxima
Srn = S^ + Sy + Sy - máximo (5)
sujeto a las condiciones de aislamiento
VT = V1 + V2 = cte. (6)
UT = U1 + Uj + U2 = cte. (7)
donde los subíndices T, 1, I y 2 se refieren al sistema total,
fase 1, interfase y fase 2.
La solución es sencilla; desarrollando,
i Pl 1 a 1 ?2 dST = T±- dU1 + Tp dV1 + — dU-,- - — dA-,- + dU2 + d V 2 = 0
(8) dVT = dV1 + dV2 = 0 (9)
dUT = dU1 + dU-j- + dU2 = Q (10)
y, sustituyendo, se obtiene
{-±- - } dU 1 + í^- - T-)dU2 - - dAj + (^ - )dV 1 = 0 (11)
de donde, puesto que las variaciones de IL , U? y V^ son indepert
dientes (no así la de Ay, que depende de la de V-,), se deduce fjL
nalmente
-8-
T = T = T 1 XI L2
Pl = P9 + a
dA]
(12)
(13)
La geometría analítica enseña que dA-p/dV. es precisameri
te la curvatura local de la superficie, obteniéndose la conoci
da ecucación de Laplace:
Pl - P2 = a IR R J R R, (14)
1 2
donde R. y R_ son los radios de curvatura principales. El hecho
de ser dAy/dV^ = 1/R. + 1/R„ se puede ver fácilmente en el caso
bidimensional con ayuda de la Fig. 2.
\d(A*6A) , _B
Fig. 2. Esquema bidimensional para el cálculo de la relación entre el volumen barrido 6V. (= - <5V2) y el incremento de superficie óA debido a una pequeña deformación en una interfase curva.
En efecto, dA = Rd0, d(A + ÓA) = (R + 5?)d8, luego
-9-
SA = A f- (15)
y como ó.V = A 6£;dA, se concluye que SA/óV = 1/R. Un resultado si
milar se obtiene considerando la tensión superficial desde un pun
to de vista puramente mecánico, tratando la inferíase como una
membrana elástica.
En resumen, el estado de equilibrio estable a T y V
constantes será aque'l en que la energía libre del sistema preseri
te un mínimo. En el caso usual en que coexistan varias interfa-
ses en el sistema (normalmente no se tratará de una sustancia pu
ra) se trata de encontrar el valor mínimo de
F = l A
a.dA. i i
(16)
siendo o- la tensión superficial de la inferíase i de área A. i ^ i
Por ejemplo, para la configuración representada en la Fig. 3,
habrá que buscar el mínimo de
F = a-. A-, + a-. A-, + a A lg lg ls ls gs gs
(17)
siendo a., y A., la tensión interfacial y el área de la interfa-
se i-i . Con ayuda de las relaciones A-, J J ls gs
o-, cos0 + a, - a lg ls gs
nimo del área efectiva, A
+ A__ = cte. y de
0, el problema se reduce a encontrar el m_í
ef:
A .p = A. -A-, cos( ef lg ls (18)
Pasemos ahora a considerar algunos casos particulares
-10-
Fig. 3. Esquema de áreas de interfases que contribuyen a la energía libre del sistema en un caso genérico.
1.3. ZONA CILINDRICA ANCLADA
Se consideran las tres posibles configuraciones de
equilibrio representadas en la Fig. 4, donde en c) se trata más
bien de una familia de posibles configuraciones, correspondien
tes a un cierto valor de los parámetros impuestos; diámetro de
- • 2 los discos, D, separación, L y volumen de líquido, V = TTD L/4
El criterio de estabilidad vendrá dado simplemente por
el área de la superficie libre.
En los casos a) y b) el único parámetro que define la
configuración es A = L/D, pero en c) se necesita otro, que pue
de ser el ángulo 0 en el borde de la gota mayor, el volumen par
cial de la gota mayor, etc.
Llamando
- 1 1 -
a) b)
c)
Fig. 4. Posibles formas de equilibrio de un volumen líquido V=TTD L/4 ancla do entre dos discos iguales de diámetro D, separados una distancia L. En c) no se tienen en cuenta configuraciones con "satélite de Plateau".
u _A_
D2 (
_U_ ) (19)
al área adimensional (directamente proporcional a la energía li
bre. o energía potencial, que en adelande llamaremos U ) , se tiene
a) Formas cilindricas
u = TTA (20)
b) P u e n t e a s i m é t r i c o
u = 3Tr(l + c o s a ) E ( q ) B ( a )
o 2 ( l + cosct) E (a ) - c o s a B ( a )
(21)
siendo B(a) = cosaF(a) + E(a) y F(a) y E(a) las integrales elíp_
ticas completas de primera y segunda especie, y estando ligados
-12-
a y A por la relación
A = 2B(ct) 3B(a) 2
(1+coscü E(a) - cosaB(a) (22)
c) Casquetes esféricos
u =
A = 12
(1+1: ) + (l+t,¿)
t(t2+3) + t'(t,2+3)
(23)
(24)
siendo t = tg -~ , t' = tg -~ y 9 y 8 ' los ángulos de contacto
en el borde. El volumen parcial de un casquete, V , viene dado
por
t(t +3) P t(t2+3) + t»(t,2+3)
(25)
En la Fig. 5 se presenta el diagrama u-A (energía esbejL
tez) donde se ha representado en ordenadas variaciones respecto
a la energía (área) del cilindro.
En el gráfico se aprecia claramente la barrera de ener
gía que hay que saltar para romper una columna líquida cilíndri
ca (u . - u . n ) , la cual disminuye rápidamente para zonas lar asim cil ' J —
gas, anulándose para A = TT como era bien sabido. El problema
que se propone ahora es encontrar el punto correspondiente a
la rotura de la zona; es decir, cuando una zona cilindrica se
rompe, ¿cuál es el volumen parcial de las gotas formadas?
Haynes (1970) sugiere la idea de que la configuración
final podría ser la de dos casquetes esféricos complementarios
(mismo radio), pero éste resulta ser un límite inferior, como
él ya apunta en el citado trabajo, pues correspondería a un yo
u -TtA
A=L/D I
Fig. 5. Diagrama energía-esbeltez para las configuraciones de equilibrio de un volumen V=TTA/I+ entre dos discos.iguales de diámetro D separados una distancia L(A=L/D). Para mejorar la presentación se ha tomado U-TTA en ordenadas, es decir, se han representado diferen cias respecto a la energía del cilindro. —
-14-
lumen parcial de la gota grande del 99 % cuando los valores
observados son bastante inferiores.
El análisis numérico unidimensional, no lineal, de la
rotura de zonas cilindricas (Meseguer, 1981) muestra una ligera
dependencia del volumen parcial con respecto a la deformación
inicial (del orden del 3 %) con un valor medio del 85 % (volu
men de la gota mayor respecto al total) para A = TT , aumentan
do casi linealmente al disminuir A (para A = 2.9 se obtiene un
volumen parcial del 8 7 % ) .
Los ensayos en tanque Plateau, sin embargo, todavía dan
valores más pequeños del volumen parcial, habiéndose obtenido
valores del 80 % (± 2 %) para A = 2.75, lo que añade todavía
más incertidumbre al problema.
En principio, para longitudes de la columna cercanas al
límite A = TT se podrían obtener incluso gotas iguales en cada
uno de los discos, pero el análisis de la bifurcación o el es
tudio detallado de la dinámica de la rotura enseñan que esto no
es así. En la rotura, el cuello de la zona se va desplazando
axialmente y el líquido fluye a través del cuello de la gota p_e
quena a la grande (antes de romperse, se entiende).
Por otra parte, parece lógico pensar que si la viscosi
dad es grande, el valor del volumen parcial de rotura sea bas
tante distinto.
Como se ve, el estudio de la dinámica de la rotura de
una columna líquida está lejos todavía de ser entendido.
1.4, EVOLUCIÓN ENERGÉTICA EN LA ROTURA DE UNA ZONA CILINDRICA
Consideremos el diagrama V/D -L/D de estabilidad de las
-15-
zonas flotantes en reposo (Fig. 6), en el cual se han represen
tado los tres tipos de procesos seguidos en los ensayos de ro-
Fig. 6. Esquema de las evoluciones normales en los ensayos de rotura de zonas en reposo: 11' rotura cilindrica, 22' rotura por estirado a volumen fijo, 33' rotura por succión a separación fija.
tura de zonas largas. Dicha figura no indica ningún tipo de com
portamiento dinámico: la evolución sería cuasiestática dentro
del área estable, pero no se dice nada sobre frecuencias propias
de la zona cuando se excita con una perturbación inicial, o s_o
bre tiempos de rotura. Para ello es necesario añadir una coor
denada más, la amplitud, e , de la deformación*", que se puede
3 c o n s i d e r a r como e l t e r c e r e j e de un d iag rama e-V/D - L / D . En e_s
t e d i ag rama t r i d i m e n s i o n a l podr íamos d i b u j a r l a s s u p e r f i c i e s
de p e r í o d o de o s c i l a c i ó n y de t i empo de r o t u r a c o n s t a n t e s . E l
c o r t e de d i c h a s s u p e r f i c i e s con l o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s a l
d i b u j o ( F i g . 6) po r 1 1 ' , 22 ' y 3 3 ' s e r e p r e s e n t a esquemát icamen
t e en l a F i g . 7.
" En r e a l i d a d había de s e r l a amplitud de l a primera autofunción (modo prop io) , pero supuesto que l a deformación i n i c i a l es pequeña, no es p r e c i s o que l a exc i t ac ión sea dicha autofunción, pues l a r e s pues t a se rá a d i t i v a ,
-16-
a) -2--cte(-f)
ROTURA
b) v=cte c) A=cte
Fig. 7. Cortes de las superficies de tiempo de rotura (período de oscilación) constante, T, para los tres procesos representados en la Fig. 6, en función de la amplitud de la perturbación.
Actualmente solo se dispone de datos numéricos para el
caso a) de la Fig. 7 y se está trabajando en los casos b) y e ) ,
pero ya se pueden sacar algunas conclusiones generales respecto
a la evolución energética.
1. Al haber supuesto líquido no viscoso en el modelo nu
mérico, el movimiento será no disipativo, y la suma de energías
cinéticas de las partículas más la energía potencial interfacial
permanecerá constante durante el movimiento.
siendo
T + U = cte.
T - £ 2 v.vdV
V U dA
(26)
(27) A
En realidad, como ya se sabe, el problema del equilibrio
y la estabilidad consiste, según el principio de Hamilton, en e_s
tudiar las variaciones posibles de la lagrangiana del sistema
L : T - U; en el equilibrio, 3 |_ = 0, y si ha de ser estable,
-17-
9 L > 0. Se sabe además que, al ser el movimiento del líquido po
tencial, se verifica (teorema de Green)
v.vdV = A * fü- dA 3n (28)
siendo c¡> el potencial de velocidades, con lo cual queda todo el
problema reducido a la interfase.
Pues bien, la evolución de estas energías, cinética y
potencial, en una secuencia típica de rotura de una zona cilin
drica, tal como la representada en la Fig. 8, nos muestra que
la energía cinética es despreciable hasta tiempos del orden del
90 % del tiempo de rotura, lo cual indica por ejemplo que la in
fluencia del baño exterior en la simulación de Plateau debe ser
pequeña.
2. La variación de energía potencial se hace muy pronun
ciada en el instante de rotura, debiendo estar limitada en la rea
lidad por la viscosidad del líquido. A partir del instante de ro
tura no se sabe más que el nuevo equilibrio termodinámico se al
canzará para U = U (Fig. 8) el cual se deduce calculando los vo
lúmenes parciales de rotura y calculando la energía asociada a
dos gotas en reposo con la misma distribución de volumen, que
obviamente será la configuración final (se desprecia la influen
cia, tanto en volumen como en energía, del pequeño satélite que
se forma en la rotura).
Desgraciadamente, el banco de datos de las grabaciones
en vídeo de las evoluciones de rotura en tanque de Plateau, no
parece tener resolución suficiente como para poder calcular la
parte derecha de la Fig. 8 aun suponiendo que se dispusiera del
VpD3/< i
i — »
co
Fig. 8. Evolución energética en la rotura de una zona cilindrica de esbeltez A=3.13 con una deformación inicial e=0.i. Los resultados numéricos disponibles solo valen hasta el instante de rotura, aunque también proporciona el valor final, U .
-19-
equipo de análisis automático de imágenes necesario para tan ar
dua tarea.
3. Si se representa simplemente la energía (área) ini
cial de la zona perturbada en función de la amplitud de la de
formación, para zonas cilindricas de distinta longitud, tal como
se muestra en la Fig. 9, se vuelve a obtener el limite de esta
bilidad, suministrando además una ayuda visual intuitiva con la
interpretación siguiente. La zona flotante se comporta como lo
haría una perla que pudiera deslizar enhebrada en la curva de
esbeltez correspondiente. Así, por ejemplo, abandonada sin vel_o
cidad inicial dicha perla en la curva L/D = 2.9, en una posición
e = 0.15, la perla regresaría hacia e = 0 y oscilaría (tómese
el eje e = 0 de simetría) y sin embargo, abandonada en e = 0.2
se movería hacia e crecientes (la zona se rompería). Todo esto
ya se sabía, pero lo realmente sorprendente es que aquí no ha
hecho falta ningún desarrollo matemático, simplemente el cálcu
lo de áreas de formas de revolución de generatriz r(z) dada por
r ( z ) = j \ j l + 4 e ( l - e ) s e n 2 T r | 0 < z < 1 ( 2 9 )
la cual se ha elegido superponiendo un período de sinusoide de
amplitud e al área de la sección del cilindro para conservar el
volumen, habiendo adimensionalizado con el diámetro.
La energía (área) u(A,e) vendrá dada por
u(A,e) = 2TÍ A
r V 1+r'2 di (30)
cuyo desarrollo en potencias de e es
2 2 4 2 u(A,e)=TrA + TTA(^T -l)e
2-2TTA(^- - D e 3 - ^ - ( 3 \ - 1 0 \ +19)e4+ ... (31) A¿ A. H A A¿
-20-
Este desarrollo es solo válido cerca de A = TT. Tomando
6= C TT - A ) / TÍ , la forma de equilibrio no cilindrica (obtenida de
9 2 d u/de ) verifica la conocida relación
Vó7i=\[ TT-L/D 3lT
(32)
0.20 0.25
Fig. 9. Energía superficial (área) de un cilindro deformado, sinusoidalmente en secciones (para conservar el volumen cilindrico) en función de la deformación en el cuello para diferentes esbelteces, L/D.
-21-
REFERENCIAS
1. Sychev, V.V., "Complex Thermodynamic Systems", Mir Publ.,
1981, pp. 140-164.
2. Martínez I., "Hidrostática de la zona flotante", Tesis Doc
toral, Univ. Politécnica de Madrid, 1978.
3. Haynes, J.M., "Stability of a ^luid Cylinder", J. Colloid
Interf. Sci., _3_2 , 1970, pp. 652-654.
4. Meseguer, J., "Estructura interna de la zona flotante", Te
sis Doctoral, Univ. Politécnica de Madrid, 1981.
5. Sanz, A. £ Martínez, I., "Mínimum Volume for a Liquid Bridge
between Equal Discs", J. Colloid Interf. Sci. (admitido).
/
-22-
2. INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE PUENTES
LÍQUIDOS ANCLADOS A DISCOS IGUALES
-23-
2- INFLUENCIA DEL BAÑO DE PLATEAU EN LA DINÁMICA DE PUENTES LÍQUIDOS ANCLADOS
A DISCOS IGUALES
2.1. INTRODUCCIÓN
La finalidad de este trabajo es el estudio del compor
tamiento de un puente líquido confinado entre dos discos coaxia
les y paralelos entre sí, en microgravedad simulada en baño neu
tro.
La experimentación espacial con la zona flotante, tan
necesaria desde cualquier punto de vista, plantea una serie de
problemas: elevado coste, rígida planificación con largos tiem
pos de espera, etc., que aconsejan la búsqueda de vías comple
mentarias como puede ser el desarrollo al máximo de todas las
posibilidades de experimentación en tierra, en condiciones de
ingravidez simulada. Aun sabiendo que esta vía no puede susti
tuir a la experimentación en el espacio, el interés de este
nuevo enfoque es doble: por una parte, plantear nuevos proble
mas de mecánica de fluidos con entrefases cuya solución tiene,
por sí solo, un innegable interés. Por otra parte, el de disp£>
ner de técnicas experimentales de fácil acceso con las que cora
probar las predicciones teóricas, en la idea de que los resul
tados obtenidos con gravedad simulada puedan servir para aco
tar la validez de los resultados teóricos en microgravedad real.
En la técnica del baño neutro (baño de Plateau) se
sumerge la zona en otro fluido exterior de densidad similar,
para compensar la presión hidrostática en la entrefase; esta
técnica permite observar fácilmente el comportamiento de la z£
na frente a las diversas perturbaciones impuestas, aunque la
presencia del baño plantee problemas adicionales, que hay que
-24-
resolver: los modelos teóricos empleados para el estudio de la
zona flotante en ingravidez no son válidos y es preciso modifi
carlos para tener en cuenta la presencia del fluido exterior,
cuyo movimiento está acoplado con el interior a través de la
entrefase. En este contexto, el objetivo del trabajo es el es
tudio de uno de los principales aspectos de la dinámica de las
zonas flotantes: la rotura de la zona en microgravedad simula
da.
En el desarrollo del estudio se considerará que el
líquido interior, de la zona, y el del baño tienen diferente
densidad. Para estudiar la influencia de la densidad del medio
exterior en una forma general se añadirá al modelo la hipótesis
de ausencia de fuerzas gravitatorias, con el fin de eliminar
el efecto de la presión hidrostática sobre la forma de la entre
fase. No obstante, obvio es advertirlo, el caso de mayor impor
tancia para los ensayos en tierra es aquel en que ambos líqui
dos tienen aproximadamente la misma densidad, para equilibrar
la presión hidrostática a ambos lados de la entrefase. El caso
en que exista una cierta gravedad residual, simulable emplean
do líquidos de densidades parecidas, queda para futuros traba
jos.
2.1.1. Problemas afines
Como resultado del interés despertado por la utiliza
ción de la técnica de la zona flotante, existe una abundante IJL
teratura sobre el tema que abarca muy diversos aspectos , pudieri
do encontrarse un amplio resumen de la misma en [l]. En esos
trabajos se considera la densidad del medio exterior mucho me-
-25-
nor que la del líquido de la zona, hipótesis adecuada en la ex
perimentacion espacial y en la experimentación con zonas mili
métricas, pero no aplicable a los casos en que la zona está in
mersa en un baño isodenso, aunque pueden considerarse de gran
utilidad los modelos desarrollados.
Los demás trabajos consultados en los que se tiene en
cuenta el efecto del medio exterior se refieren a configuraci_o
nes diferentes a la estudiada como son los chorros y las colum
ñas líquidas de longitud infinita.
En los relativos a la estabilidad de chorros, [2] y
[•3], solo se tienen en cuenta debidos al medio exterior los tér
minos convectivos, despreciándose los inerciales, mientras que
en el estudio de la estabilidad de la zona ocurre precisamente
lo contrario. Más parecidas a la configuración del problema en
estudio que los chorros son las columnas de longitud infinita
rodeadas por otro medio no limitado, cuya estabilidad es estu
diada en [4-], o el caso en que el medio exterior está a su vez
limitado por una pared solida, [5].
Los resultados ofrecidos en ambos trabajos son muy d_i
ferentes a los que se obtendrían en el caso de la zona flotante
debido a la presencia de los discos, ya que éstos imponen al
movimiento del fluido unas condiciones de contorno que no se
cumplen en ninguno de los dos casos anteriores.
El interés del desarrollo de modelos teóricos que ten
gan en cuenta la presencia del baño se pone de relieve en [6] ,
en que se estudia la influencia de la relación entre las visco
sidades del líquido de la zona y del baño en el comienzo del mo
vimiento de puesta en rotación del conjunto.
- 2 6 -
2 .2 . ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO ESTRICTAMENTE AXILSIMETRICO DE LA
ZONA FLOTANTE EN BAÑO DE PLATEAU
S e a , t a l como se e s q u e m a t i z a en l a F i g . 1 , una zona
l í q u i d a a x i l s i m é t r i c a comprendida e n t r e dos d i s c o s de i g u a l d i á
m e t r o , c o a x i a l e s y p a r a l e l o s e n t r e s í , sumerg ida en o t r o l í q u i
dos ( e l baño) i n m i s c i b l e con e l de l a zona y l i m i t a d o a su vez
por dos c o r o n a s c i r c u l a r e s p l a n a s , p r o l o n g a c i ó n de l o s d i s c o s ,
y po r una s u p e r f i c i e c i l i n d r i c a de s e c c i ó n c i r c u l a r y c o a x i a l
con l a zona .
\ • • • - | • - • • • • • • • • • - -
Á' ^
4,
L F _
i aR
L/2
L/2
Fig. 1. Geometría y sistema de coordenadas para una zong flotante xilsinté trica en baño de Plateau.
-27-
El problema a tratar concierne a la evolución de una
configuración tal como la descrita bajo perturbaciones estric
tamente axilsimetricas. Para realizar el estudio se suponen uní
formes y constante la densidad, p -* , y la viscosidad, v-1 , de ca
da uno de los líquidos, así como la tensión interfacial, o. As í
mismo, para eliminar los efectos de la presión hidrostática s_o
bre la forma de la entrefase se añade la hipótesis de ausencia
de fuerzas gravitatorias.
En estas circunstancias, las ecuaciones que definen
el movimiento son:
I) Continuidad:
Y-\P = 0 (1)
donde el superíndice indica el medio: '"i" para la zona y "o" pa
ra el baño.
II) Cantidad de movimiento:
$j + V^.YV^ = - VPj/pj + v^V2\P (2)
Junto con las condiciones de contorno e iniciales a pro
piadas que, de acuerdo con la nomenclatura introducida en la
Fig. 1, son:
III) Velocidad nula en las superficies límites:
P(r, ±17 2, t) = 0 (3)
?°(aR, z, t) = 0 (4)
-28-
IV) Velocidad radial nula y velocidad axial con pen
diente nula en el eje de la zona:
tr(o, z, t)
wJ;(o, z, t) = o
(5)
(6)
V) En la entrefase las condiciones son dos, por una
parte, la que expresa el equilibrio según la normal entre la
presión capilar, la sobrepresion local y los esfuerzos visco
sos normales:
n. (T - T ) . n = crV • n (7)
donde T es el tensor de esfuerzos y n la normal exterior; y,
por otra parte, que la componente tangencial de los esfuerzos
viscosos debe ser igual en ambos fluidos:
, XÍ xOs -> -> , T i TO, -> n
(T - T ) . n - n . ( T - T ) . n = 0 (8)
VI) Falta por añadir que la entrefase, de ecuación
F(r, z, t) = 0, debe ser en todo momento una superficie fluida:
Ft + VJ.VF = 0 (9)
y también, como condiciones adicionales para la forma de la en
trefase, la de anclaje de ésta al borde de los discos, F(R, ±L/2
t) = 0, y la condición, redundante, de conservación del volumen
de la zona:
ÍL/2
-L/2
2 2 F dz = TTR L (10)
-29-
donde F, en esta formula, representa explícitamente el radio de
la superficie de la zona, r = F(z,t).
VII) Las condiciones iniciales deben prefijar el va
lor de las distintas variables en el instante inicial: la forma
de la zona, F = F , y el campo de velocidades V = V-1 .
Si, en las expresiones anteriores, se adimensionalizan
las longitudes con el radio de los discos, R, las velocidades
con /a/(pÍR), el tiempo con /piR3/a, la presión reducida,
(P - P )/p , con a/(p R), y definiendo el parámetro adimensio-
nal E-1 = v /p1/(aR), se obtienen las siguientes expresiones
desarrolladas:
I) Continuidad:
tP + u V r + W^ = 0 (11) r z
II) Cantidad de movimiento:
yj + yJuJ + WJuJ = _ p^p1/pj + E^(U j) (12) t r z r
wj + uJwJ + WJWJ = _ pipa/pi + E ^ W + r"2]Wj (13)
t r z z
• A J 32 + 3
2 + 1 3 1
siendo <,= — + — 2 r Ir 2 ' 9r 9zz r dX r
Respecto a las condiciones de contorno e iniciales
resulta:
III) En las superficies solidas:
lP(r, ±A ,t) = W^(r,±A,t) = 0 (14)
U°(a,z,t) = W°(a,z,t) = 0 (15)
-30-
con A = L/(2R).
IV) En el eje de la zona:
U (0,z,t) = 0 (16)
Wj(0,z,t) = 0 (17)
V) En la entrefase, r = F(z,t), equilibrio según la
normal:
P1 - P° = f2(E1M1-E°M°) +F 1- F (1+F2) 2](1+F 2) - 1 (18)
donde:
I] = U3 + F2W:] _ ... r z z z r z
MJ = UJ + F"WJ - F (W: + U:)
e igualdad de las componentes tangenciales
E1N1 - E°N° = 0 (19)
siendo
N: = 2F (U ,J-Wj) + (l-F2)(W:Í+Uj) z r r z r z
VI) Condición de contorno cinemática:
F^ - UJ + W^F = 0 (20)
A este grupo de condiciones se debe añadir la de an
claje de la entrefase al borde de los discos, F(±A,t) = 1, y
la de conservación de volumen:
A
-A
F2dz = 2 TTA (21)
VID Condiciones iniciales: F=F ;U:=U:] yW D=W :. o' o J o
-31-
2.3. ANÁLISIS LINEAL DEL PROBLEMA TRIDIMENSIONAL NO VISCOSO
El estudio lineal permite encontrar los modos propios
de oscilación y el inicio del movimiento de rotura de la zona,
suponiendo que las deformaciones de la entrefase son pequeñas.
Si la amplitud del movimiento es pequeña comparada
con una longitud característica, X, que sería la longitud de la
zona en el caso de rotura o la longitud de onda en el caso de
oscilación, pueden despreciarse los términos convectivos fren-
2
te a los inerciales. Asimismo, si X °,/v»l, donde Q, es la fre
cuencia de oscilación o el factor de amplificación, se pueden
despreciar los términos viscosos frente a los inerciales, lo
que permite simplificar las ecuaciones y las condiciones de cori
torno.
Para resolver el problema, primero se linealizarán
las ecuaciones, lo que lo reducirá a un problema de frontera
libre en la presión. Este tipo de problemas no tienen una solu
ción estándar por lo que para abordarlo se han considerado dos
etapas: primero construir una solución lo más general posible
que satisfaga las condiciones de contorno en las superficies lí
mites y en el eje de la zona, y una vez hecho esto, tratar de
determinar las constantes arbitrarias que aparezcan en ella pa.
ra que se satisfagan las condiciones en la entrefase.
Sea e un parámetro pequeño que mide, por ejemplo, la
máxima deformación de la superficie libre respecto a la forma
cilindrica. Si se suponen pequeñas deformaciones, se desprecian
2 términos de orden e y se considera la dependencia con el tiem
po proporcional a e , las variables del problema se pueden e_s
cribir como:
- 3 2 -
T T j - fit j
UJ = ee u J
wJ = ee wJ
D Í _ y, , Q,t Í P - 1 + ee p ( 2 2 ) n o üt o P = e e p F = 1 + e e f i t f
Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones (11)
a (21) , se obtiene:
I) Continuidad:
UD + u 3 / r + w: _ o (23) r z
II) Cantidad de movimiento:
ñu3 = - pjpX/p^ (24)
^ = - p^pX/pj (25)
III) Condición de contorno en las superficies lími
tes (velocidad normal nula):
wj(r,±A) = 0 (26)
u°(a,z) = 0 (27)
IV) Velocidad radial nula y velocidad axial con pen
diente nula en el eje de la zona:
ux(0,z) = 0 (28)
w 1(0,z)=0 (29) r '
V) En la entrefase, r = 1:
-33-
f (z) + f(z) = -P1(l,z) + p°(l,z) (30)
y desaparece la condición de la componente tangencial, al ser
E j = 0.
VI) Condición de contorno cinemática:
fif (z) - u](l,z) = 0 (31)
junto con la de conservación de volumen:
•A
f(z)dz = 0
-A
y la de anclaje al borde de los discos:
(32)
f(±A) = 0 (33)
Empleando (24) y (25) es posible plantear el problema
para la presión, sustituyendo las velocidades en función de és
ta en la ecuación de continuidad:
pJ + —p J + pJ rrr r^r -zz
0 (34)
con las condiciones de contorno:
p^(r,±A)
pj(0,z)
Pr(a,z)
= 0
0
0
(35)
(36)
(37)
La solución más general del problema (34) que cumple
(35) y (36) puede expresarse por medio de las series:
co
p 1 = p + Y ÍTA I (1 r)cosl (z + A) ^ ^o L. n o n n n=l
(38)
-34-
P° = Po + l í! 2[BK(lr)+CI(lr)]cosl(z+A) (39) n=l n o n n o n n
n y Cn son constantes a determi. donde 1 =mr/(2A), p1, p°, A . n *o ^o' n -
nar, e IQ(x) y K Q ( X ) son las funciones de Bessel modificadas,
de primera y segunda especie, de orden cero. Pero además, para
el cumplimiento de la condición (37), debe ocurrir que:
n
Kl(lna)
n Il(lna) (40)
donde I.(x) y K.(x) son las funciones de Bessel modificadas de
orden unidad, de primera y segunda especie, por lo que al sus-
o tituir C en la expresión de p , (39), se obtiene:
p° + l Í22B ° n=l n
K^l a) K (1 r) + I (Ir) T
i7^ v
o n o n I1 (1 a) cosí (z+A) (41) n
Las soluciones para la presión (38) y (41) cumplen
las condiciones en las superficies límites y en el eje de la zjp_
na, y quedan por determinar las constantes p y p y los coefi
cientes A y B , para lo cual se acoplan ambas soluciones a n y n' r ^
través de las condiciones en la entrefase. De la condición cine
mática (31) se deduce:
Í22f(z) = P¿(l,z) Pr<l »z)/'p (42)
donde p=p°/p1, es la relación entre las densidades del líquido
del baño y de la zona.
De la primera igualdad de (42) se deduce que f(z) de
be ser de la forma:
-35-
f(z) = " I A n 1nI l ( 1 n ) c o s l n ( z + A ) ( 4 3 )
y, de la segunda igualdad, una relación entre los coeficientes
A y B n J n
ln - ~ V W Kl(1na) Il(1n) W >
-1
(44)
Por otra parte, debe cumplirse el equilibrio de pre
siones dado por (30), que ahora se escribirá, con ayuda de (38),
(41) y (44)
oo
f + f = - p - V fi A I ( 1 )S c o s í (z+A) ( 4 5 ) zz ^o L
A n o n n n n = l
A A 1 O d o n d e p = p - p y
^o *o o J
S = 1 + n W K l ( 1 n a )
I o ( 1 n ) + I 1 ( V )
K l ( l n ) K l ( l n a )
W I l ( 1 n a )
- 1
( 4 6 )
La ecuación (45) tiene como solución:
co Q2A S I (1 ) f = -p +Acosz + Bsenz - £ ^ cosl„(z + A) (47)
n=l 1 - 1 ' n n
Resumiendo, el problema ha quedado reducido a encon
trar los coeficientes A y las constantes p , A y B, lo que pue
de hacerse con ayuda de las condiciones en la entrefase, (32) y
(33) y las n relaciones que se obtienen al identificar (43) y
(47) .
De las condiciones de la entrefase se obtiene:
p + AcosA + BsenA o " ^nW^ ) o cosn-rr
n=l 1 - l2
n
= 0 (48)
-36-
Po + AcosA SsenA -<» a 2 A i (i )s y n o n n
n=l 1 - 1 2 n
= 0 (49)
PQA + AsenA = 0 (50)
Combinando estas ecuaciones se puede eliminar p y
obtener ecuaciones desacopladas para A y B según sea n par o
impar:
2 SsenA + £ Í2 A 9 m + 1 i m = l
2m+l 2m+l (51)
AcosAd - ÍSA) - j [ ¡ A2mi2m= 0 m = l
(52)
donde
i = I (1 )S (1 - l2) 1
m o m m m (53)
Para identificar las expresiones (43) y (47) hay que
utilizar los desarrollos de cosz y senz en serie de cosí (z+A)
cosA 2 ,-1 senz = 2 P l (1-12m+l) C O s l 2 m + l ( z + A ) (54)
m = l
cosz senA A
OO si
1 + 2 V (l-l2 )~ cosl0 (z+A) L. ¿m 2m m = l
(55)
Realizando dicha identificación se obtiene
A OD cosA rn2 . -i 1 J2m+l 2m+l 2m+l "" A
sen A r- 2 A2m = 2 A A
-l 2m JV2m-
(56)
(57)
donde:
-37-
jm = Io ( 1m ) Sm (58)
Estas ecuaciones proporcionan los coeficientes A n
en función de una única constante, A ó B, según sea n par o
impar. Los valores de A n sustituidos en (51) y (52) permiten
obtener las ecuaciones características que han de verificarse
para que exista solución distinta de la trivial:
co
m = l
A~lS¡¡: - Ü ] i„ [Q2U - k0 ]_ 1 = 0 (61) 2tgA L
A 2mL J2m 2mJ b m = l
El tipo de movimiento libre de una zona de esbeltez A
está definido por los valores de Q, que verifiquen (60) ó (61)
para este valor de A. Como en las ecuaciones características to
dos los valores numéricos que aparecen son reales, también lo
^ 2 2 2 ^ 2 sera ü y dependiendo de que sea Q, >0,Í2 = 0 o Q, < 0 s e Ira
tara de un movimiento divergente de amplificación y - 9,, de
una situación de cambio de estabilidad, o de un movimiento osc_i
latorio de pulsación OJ = iQ; y dependiendo de que corresponda
a n par o impar, la deformación de la zona será simétrica o ari
tisimétrica respecto del plano medio.
En la Fig. 2 se muestra la variación de CÚ en función
de A en el caso en que no existe baño exterior (p=0) y en la
Fig. 3 dicha variación para distintos valores de la relación de
densidades, p, y de la posición del límite del baño, a.
-38-
8
O)
\ 2
\ V
\ \ 5
\3 ^S.
\ V1
\ \ 1 0 \
\ 9 \
\ 8 \
\ 7 \ \
Fig. 2. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, tu, del movimiento de oscilación de una zona sin baño, p=0, para los 10 primeros modos. Los números de las curvas indican las semiondas que tiene la deformada; los pares indican deformación antisimétrica respecto al plano medio y simétrica los impares. Resultados obtenidos a partir del ana_ lisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.
-39-
g. 3. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, u), del movimiento de oscilación de una zona rodeada de un baño, para diversos valores de la relación de densidades, p, y del límite lateral del baño, a. Línea continua, baño infinito (a=«>); línea a trazos, a=1.5 (p = l). Las curvas que parten de A=ir corresponden al primer modo de oscilación (deformación con 2 semiondas) y las restantes al tercero (deformación con H semiondas). Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.
-40-
Los valores de A para los que se produce el cambio
de estabilidad se obtienen al sustituir ft = 0 en (60) y (61):
tgA = 0 (62)
tgA = A (63)
En las Figs. 4 y 5 se muestra la variación de y y u
en función de A en las proximidades del primer cambio de esta
bilidad, para diversos valores de los parámetros p y a.
La deformación de la zona se obtiene sustituyendo los
valores de A de (56) ó (57) en (43), obteniéndose respectiva
mente :
f ( z ) = - 2 B ^ ^ Y 1 - . . I . ( 1 . ,. ) [ í 2 2 j v ] ~ c o s l 0 ^ ( z + A) ( 6 4 ) A L
A zm+1 1 2m+l J 2m+1 2m+l J 2m+l m = l
co .
f(z) = -2A ^ l l2mI1(l2m)[n2J2m - k 2 m ] ~ cosl2m(z+A) (65)
m = l
donde Q es uno de los diversos valores que se obtienen como s_o
lución de la ecuación característica para el valor de A de la
zona, correspondiendo a cada valor un modo diferente de defor
mación.. Las constantes A y B pueden deducirse de la amplitud
máxima de la oscilación de la zona o de la deformación inicial
en el comienzo de la rotura. Análogamente se obtendrían las ex
presiones para el campo de presiones o de velocidades. En la
Fig. 6 se muestra el comportamiento con z de la deformación,
f(z), para el primer modo de oscilación. La evolución con el
tiempo viene dada por el factor exponencial e , que puede ser
oscilatorio o divergente.
En las Figs. 7 a 11 se ha representado el comportamien.
-41-
2.5 2.7 Z9 A 3.1
Fig. 4. Variación con la esbeltez, A, de dos parámetros que definen la evolución de una zona en un baño infinito: amplificación, y, y pulsación, oí, para diversos valores de la relación de densidades, p. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimen_ sional axilsimétrico.
-42-
Fig. 5. Variación con la esbeltez, A, de dos parámetros que definen la evolución de una zona: amplificación, y, y pulsación, tu, para diversos valores de la posición del limite del baño, a. Linea continua, zona de baño isodenso (p=l); línea de trazos, zona sin baño (p=0). Resul_ tados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensio_ nal axilsimétrico.
- 4 3 -
f(z)
0
- /
AS
\
^ J^"
>^
0
^*^ yy
z A
Fig. 6. Comportamiento de la deformación, respecto del c i l ind ro , de la en-trefase de zonas de esbeltez A=2.9 ( l ínea continua) y A=l ( l ínea a trazos) rodeadas de baño, en el primer modo de deformación. Resultados obtenidos a pa r t i r del aná l i s i s l inea l del modelo t r i d i mensional axi ls imétr ico.
t o de l a v e l o c i d a d en d i v e r s a s s e c c i o n e s de l a zona y d e l b a ñ o ,
p a r a dos z o n a s , una l a r g a y o t r a c o r t a . En l a s F i g s . 7 y 10 se
o b s e r v a que en e l p r i m e r c a s o l a s v a r i a c i o n e s r a d i a l e s que expe
r í m e n l a l a v e l o c i d a d a x i a l son p e q u e ñ a s , comparadas con e l l a
misma, e x c e p t o en l a s p r o x i m i d a d e s de l o s d i s c o s c e r c a de l a
l í n e a de a n c l a j e de l a e n t r e f a s e , t a n t o en e l i n t e r i o r como en
e l e x t e r i o r de l a z o n a , en que w cambia de s i g n o . En l a zona
c o r t a , F i g s . 9 y 1 0 , l a s v a r i a c i o n e s r a d i a l e s de l a v e l o c i d a d
a x i a l son d e l o rden de e l l a misma y l a r e g i ó n en que w cambia
de s i g n o es r e l a t i v a m e n t e mayor , y más a c e n t u a d o que en e l c a so
a n t e r i o r .
E l movimien to en ambos c a s o s e s t á c a r a c t e r i z a d o por
- 4 4 -
(///////////////////////
T~T~T~T
n M
j t t T
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I_L_L^L
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w I ¡> <>
mj
Fig. 7. Perfiles transversales de velocidad axial, w, en diversas secciones de una zona de esbeltez A=2.9, rodeada de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de oscilación. Debido a la simetría respecto al plano medio, se ha representado únicamente la mitad superior de la zona. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.
•"3 P-03
3 ÍD P M
Cb
m H
3 o Cb
m H f>
r t 4 P . Cb P-3 n> 3 w p -o 3 CU P-
tu X p . H 0 P . 3 1T)V r+ ^ P-o o •
00 p
T) m •-( p . o ^ CL fD
P 1
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N O 3
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TJ (D 4 r t p . 1
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11) 3 PA H p . M P-W
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I -p=> en i
-46-
Fig. 9. Perfiles transversales de velocidad axial, a) y perfiles longitud^ nales de velocidad radial, b), en una zona de esbeltez A=l, rodeada de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de os cilación. Como las velocidades axial y radial son simétrica y antisimétrica, respectivamente, respecto al plano medio, se ha repre sentado únicamente la mitad superior de la zona. Resultados obteni dos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsi-métrico.
-47-
W
a)
O
•—"""i
*"" —m
w
b)
_ r - 1
0
: = 2 = ^ = = = = ^ v
Fig. 10. Comportamiento de la velocidad axial, w, con la coordenada z para distintos valores de r, en el interior (línea continua) y en el ex_ terior (línea a trazos) de dos zonas de esbelteces A=2.9, a), y A=l, b), respectivamente, rodeadas de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de oscilación. Dada la simetría respec_ to al plano medio (z=0), solo se ha representado la mitad superior de la zona. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico.
-48-
11. Comportamiento de la velocidad radial, u, con el radio, r, en dive£ sas secciones transversales, tanto en el interior, ríl, como en el exterior, r>l, de dos zonas de esbelteces A=2.9, a), y A=l, b), res_ pectivamente, rodeadas de un baño cuya frontera está en a=2, para el primer modo de oscilación. Las curvas 1, 2, 3 y 4- corresponden a z/A = 0.5, 0.8, 0.9 y 1 respectivamente. Como u es antisimétrica respecto al plano medio, se ha representado únicamente para los valores positivos de z. Resultados obtenidos a partir del análisis l_i_ neal del modelo tridimensional axilsimétrico.
-49-
tener w en el interior sentido opuesto que en el exterior, a
la vez que lo conserva dentro de cada región, excepto en la
zona próxima a la línea de anclaje de la entrefase señalada
en líneas anteriores. En el caso de la zona esbelta, los per
files longitudinales de velocidad radial, Fig. 8, son semejari
tes a la deformación de la entrefase, salvo en las proximida
des del contorno, donde la velocidad tiene un valor no nulo
aunque pequeño comparada con el máximo, excepto el perfil co
rrespondiente a la entrefase en que dicho valor debe ser nulo,
como es lógico. En cambio, en la zona corta, este fenómeno no
se produce y los perfiles se diferencian apreciablemente de la
forma de la entrefase, incluso la velocidad en el contorno lie
ga a ser de intensidad similar a la máxima, excepto los perfi
les muy próximos a la entrefase. Este fenómeno se pone de maní
fiesto en la Fig. 11 en la que se presentan diversos perfiles
transversales en uno y otro caso, y donde puede observarse que
en el segundo la velocidad radial en el contorno es comparable
con la máxima en la mayor parte del campo de variación en las
diversas secciones longitudinales excepto en las proximidades
de la entrefase.
2.3.1. Influencia del baño
En los resultados que se han ofrecido hasta ahora se
ha tratado, siempre que ha sido posible, de poner de relieve la
influencia del medio exterior. Así, en las Figs. 2 a 5, referen
tes a la parte del problema dependiente del tiempo, es decir,
a la variación con A de las frecuencias propias o amplificacio
nes, puede apreciarse la disminución de las mismas al aumentar
-50-
la densidad del baño o al disminuir su tamaño, mientras que en
las Figs. 6 a 11 en que se representa únicamente la variación
espacial de la deformación y de la velocidad coinciden los re
sultados obtenidos, independientemente del valor de la densidad.
La variación de a da lugar a una moficiación del campo de velo
cidades en el baño, debido al cambio de su geometría, pero no
afecta al campo de velocidades interior, Fig. 12.
^0=1.5
. ^ 2
^ 2.5
3 i» 5
0 1 2 3 A r 5
Fig.12. Variación en función de r del módulo de la velocidad axial, |w| en la sección central, z=0, en el interior y el exterior de una zona de esbeltez A=2.9, para diversas posiciones del límite del baño, a. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.
Para destacar la influencia de los factores que def_i
nen el baño, la relación de densidades, p, y las dimensiones
-51-
del mismo, dadas por la posición del límite, a, se ha presenta
do en las Figs. 13 y 14 la variación de la pulsación, co , de
una zona en función de p y a , estando fijada la esbeltez, A.
La variación con a es bastante brusca: permanece prácticamente
constante para a > 3, pasando de dicho valor a cero para a = 1.
Esta característica se explica si se considera que los términos
de la formulación en que aparece a, por ejemplo en (46), caen
exponencialmente a cero al crecer ésta, desapareciendo así la
dependencia con a. Este fenómeno es menos acusado conforme
aumenta A-
El punto de vista energético ofrece una simple expli
cación de la influencia del baño. El movimiento libre de la z_o
na consiste en un intercambio o trasvase de energía entre la
entrefase y el fluido: parte de la energía potencial de la en
trefase se transforma en energía cinética del fluido, en el
caso de rotura, y en el caso de oscilación el proceso se repi
te alternativamente en uno y otro sentido a lo largo de cada ci
cío. Cuando la zona está aislada, la energía de la entrefase se
comunica al fluido de ésta íntegramente, mientras que cuando e_s
tá rodeada de otro fluido, deben repartirse esa energía entre
ambos, por lo que las velocidades que se generan serán menores.
Así, pues, cuanto mayor sea la densidad del baño, más lento se
rá el movimiento, para una deformación dada de la entrefase. La
influencia de la dimensión del baño, dada por a, consistente en
que los movimientos son más lentos cuanto menor es a, se explj.
ca si se tiene en cuenta que cuando a es grande la mayor parte
del baño se mueve a velocidades muy pequeñas, Fig. 12, es de
cir con poca energía cinética, mientras que cuando a es peque-
-52-
0.2
O)
9¿
4——————
_3——-—~"
0.2
U)
0
- — ^ 2
~—~—¿5
0 10
Fig. 13. Variación de la pulsación, u> , con la posición del límite del baño, a, y con la relación de densidades, p , del movimiento de oscilación de una zona de esbeltez A=2.9 en baño de Plateau. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.
53-
U>
/ ^
¿3 r
m — — —
^ - — —
m — — —
p=1
r~ 4
10
O)
^ = 0 = 1 0
10
Fig. 14. Variación de la pulsación, w , con la posición del límite del baño, a, y con la relación de densidades, p , del movimiento de oscilación de una zona de esbeltez A=1, e n baño de Plateau. Resultados obtenidos a partir del análisis lineal del modelo tridimensional axilsimétrico. Primer modo de oscilación.
-54-
ño, para la misma deformación, el baño debe moverse a velocida
des comparativamente mayores, aumentando su energía cinética,
por lo que el factor temporal, tt , deberá ser más pequeño. Tam
bien se observa que a partir de un cierto valor de a, los per
files de velocidad en el baño empiezan a ser muy parecidos, s_o
bre todo en la región próxima a la entrefase, que es la parte
del fluido que contribuye en mayor medida en el cálculo de la
energía cinética, por lo que la dependencia del factor tempo
ral con a tiende a desaparecer.
Por último, pueden compararse los resultados obteni
dos con el modelo tridimensional axilsimétrico con los proceden
tes de otras formulaciones: modelo unidimensional de Lee para
la zona sin baño, [l] y modelo tridimensional para columnas l_í
quidas infinitas de Bauer, [5]. El modelo unidimensional está
desarrollado únicamente para la zona sin baño, por lo que habrá
que compararla con el resultado tridimensional cuando p = 0, y
a tal efecto se muestra en las Figs. 15 y 16 la variación en
función de A de la pulsación, to, del movimiento de oscilación
de la zona calculado por ambos modelos. El modelo de columna l_í
quida infinita permite tener en cuenta el efecto del baño, ob
teniéndose para la pulsación, LO, la expresión:
? ? 1 ^ ( l o )
o,2 = i 2 ( i 2 - i ) I o a 2 ) s 2 ( 6 6 )
donde 1„ es el número de onda de la perturbación, 1^ = TT/A, y
la influencia del baño aparece a través de S„, definida en (46),
mostrándose su variación en la Fig. 16. En el caso p = 0, la ex
presión (66) coincide con la obtenida por el modelo de Rayleigh.
Como se deduce a la vista de estos resultados) el ajus
- 5 5 -
U)
o
\ 1 \ \ \ \ \ l \ \
V V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v \
i\ 2 X
\ * \ \ \ ' \ \ \ v>
\ A ' \ N \ \ X \
* \ N \ \ \ \ \
\ \ \ N \ \ \ \ \ \ ^ X N X
\ \ \ \ \ \
\ N ^ \ \ \
X ^ X s \
Xs X^ %- x . x -X > ^»
o
Fig. 15. Variación con la esbel tez , A, de la pulsación, ui, del movimiento de oscilación de una zona rodeada de baño, de densidad p y l ímite a, obtenida a pa r t i r del aná l i s i s l inea l del modelo tr idimensional axilsimetrico ( l ínea continua) y del modelo unidimensional de Lee (l ínea a t r azos ) . Los números indican las semiondas que t iene la deformación de la zona.
t e e n t r e l o s modelos u n i d i m e n s i o n a l y t r i d i m e n s i o n a l p a r a l a z_o
na es n o t a b l e d e n t r o d e l r a n g o de v a l i d e z d e l p r i m e r o , es d e c i r ,
s i empre que A » 1 . En cambio , l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s d e l mo
d e l o de columnas i n f i n i t a s de Bauer son n o t a b l e m e n t e d i s t i n t o s ,
d e b i d o a l a p r e s e n c i a de l o s d i s c o s : m i e n t r a s que en l a zona l a
v e l o c i d a d a x i a l en l o s d i s c o s debe s e r n u l a , e s t a r e s t r i c c i ó n
no e x i s t e en e l c a so de l a s columnas i n f i n i t a s en l a s que l a v_e
l o c i d a d máxima a p a r e c e p r e c i s a m e n t e en l a s e c c i ó n en l a que d e
b e r í a n s i t u a r s e l o s d i s c o s a l e s t a b l e c e r l a comparac ión e n t r e
l o s m o d e l o s .
-56-
0.6
0.4
O)
0.2
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\ B 2 \
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s s
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s
N
^
PJ «>
2.5 2.7 2.9 3.1
Fig. 16. Variación con la esbeltez, A, de la pulsación, a), del movimiento de oscilación de una zona rodeada de baño, de densidad p y limite a, obtenida a partir de diversos modelos linealizados.
Ll) Modelo unidimensional de Lee, sin baño, p=0 . Bl) Modelo tridimensional de columnas infinitas de Bauer sin
baño, p=0. B2) Modelo de Bauer, p = 0.5, a=2. B3) Modelo de Báuer, p=2, a=2 . TI) Modelo tridimensional para la zona sin baño, p=0. T2) Modelo tridimensional para la zona, p=0.5, a=2. T3) Modelo tridimensional para la zona, p=2, a=2.
-57-
REFERENCIAS
1. Meseguer, J., "Estructura interna de la zona flotante", Te
sis Doctoral, Univ. Politécnica de Madrid, 1981.
2. Levich, V.I., "Physicochemical Hydrodynamics", Prentice Hall
Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1962.
3. Phinney, R.E., "Stability of a Laminar Viscous Jet - The
Influence of an Ambient Gas", Phys. Fluids, Vol. 16, No. 2,
Feb. 1973, pp. 193-196.
4. Tomotika, S., "On the Instability of a Cylindrical Thread
of a Viscous Liquid surroundend by Another Viscous Fluid",
Proc. R. Soc. Lond., A. 146, 1935, pp. 322-337.
5. Bauer, H.F., "Natural Damped Frequencies of an Infinitely
Long Column of Immiscible Viscous Liquids. Part I: Two-Di-
mensional and Axisymmetric Systems", Forschungsbericht:
LRT-WE-9-FB-2C1982), Hochschule der Bundeswehr, München,
1982.
6. Da Riva, I., "Stability of Liquid Bridges", IAF-80-C-108,
XXXI IAF Congress, Tokio, Sep. 1980.
-58-
3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES
-59-
3. PUENTES LÍQUIDOS ENTRE APOYOS NO CONVENCIONALES
3.1. INTRODUCCIÓN
Pequeños puentes líquidos suelen aparecer en multitud
de aplicaciones físico-químicas de gran interés industrial. Uno
de los aspectos más básicos, que todavía no se comprende bien,
es el de la histéresis capilar [1].
La más conocida utilización de estos puentes líquidos
es en el proceso de materiales por la técnica de "zona flotan
te" , en la que se funde localmente una varilla del material a
purificar y se consigue una recristalización más perfecta, sin
contaminación térmica ni material del crisol (la tensión super
ficial mantiene el fundido). En la Fig. 1 se muestra una se
cuencia de las configuraciones que va adoptando la zona líqui
da durante el crecimiento de un monocristal de silicio [2].
El problema real es muy complicado: transferencias
de calor y masa, frentes de fusión y solidificación, corrien
tes convectivas, dilatación, condiciones de mojado, etc. Aun
limitándonos al estudio hidromecánico, dejando aparte todos
los problemas térmicos, el camino no es sencillo si se quieren
simular realísticamente las condiciones de contacto de la zo
na fundida con los soportes sólidos. En cualquier caso, de la
Fig. 1 se desprende que es necesario estudiar el comportamien
to de puentes líquidos entre apoyos no convencionales, enten
diendo por apoyos convencionales dos discos iguales, planos,
circulares, paralelos y coaxiales.
Teniendo en cuenta lo anterior, y habiendo considera,
do también otras aplicaciones en las que intervienen medios
porosos parcialmente mojados, se han elegido las configuraci_o
^
Etapas en el crecimiento de un monocristal de silicio con la técnica de zona flotante con fusión por radiación: 1, policristal bruto; 2, zona fundida; 3, monocristal obtenido; 4-, semilla monocristalina. a) materiales de partida, b) fusión de las puntas, c) establecimiento del puente, d) estirado para eliminar dislocaciones, e) ensanche del cuello, f) ere cimiento del monocristal de diámetro completo.
-61-
nes elementales presentadas en la Fig. 2 como las de mayor inte
res. El caso a), correspondiente a apoyos convencionales, se ha
incluido solo por consistencia y para comparación con casos si.
milares. El caso b), que incluye al anterior, es importante en
las primeras etapas del crecimiento cristalino (Fig. Id) y en
otros estudios experimentales, como el propuesto por Padday [3]
para el estudio de la presión de disrupción debida a las fuer
zas moleculares entre dos interfases próximas, que será reali
zado durante el primer vuelo del Spacelab en el Módulo de Físi
ca de Fluidos.
En el caso c) se empiezan a presentar las configuraci_o
nes con borde libre, cuyo estudio se realiza con la hipótesis
de ángulo de contacto constante, lo cual en la realidad no es
así de simple, pese a que en el equilibrio termodinámico dicho
ángulo está perfectamente definido por la ecuación de Young,
o r-o -,+a-pn cos0 = 0, donde s, 1 y f se refieren a sólido, líquido sf si fl ^
y fluido (gas o líquido inmiscible) y a - , es la tensión superfjL
cial entre las fases i,j. Efectivamente, en la realidad se ha
observado un comportamiento complejo de la línea triple sólido-
líquido-fluido, con ángulo de contacto mal definido, lentamente
variable con el tiempo, con histeresis, muy sensible a pequeñas
alteraciones en el estado superficial del sólido, contaminación,
etc. Se trata, pues, de un problema delicado no muy bien enten
dido, y lo que aquí se pretende es desarrollar la teoría simple
de deslizamiento con ángulo constante, para obtener resultados
de fácil verificación que, una vez experimentados, pudieran per
mitir en un análisis posterior más profundo dilucidar entre di
versas ideas sobre la base de resultados concretos.
Fig. 2. Esquemas de las diferentes geometrías axilsimétricas a conside rar: aj bordes anclados a discos iguales, b) bordes anclados a discos de distinto diámetro, c) bordes deslizantes sobre apoyos planos paralelos, d) bordes deslizantes sobre apoyos parabólicos, y e) un borde anclado y otro deslizante.
-63-
El caso d), Fig. 2, que incluye al caso c), más sen
cillo, es de gran interés en el estudio de medios porosos parcia_l
mente mojados [4], aunque aquí se ha elegido un puente líquido
entre paraboloides de revolución iguales y no entre esferas, co
mo sería más lógico, por la enorme complicación que introduciría
el analizar las configuraciones con esferas cerca del límite de
"engolfamiento" cuando el líquido tiende a rodear completamente
la esfera.
El último caso considerado es el e) de la Fig. 2, el
cual corresponde a una mezcla de condiciones de contorno que pu_e
de producirse en configuraciones como la b) para pequeños volúm_e
nes y discos muy diferentes. También el caso c) sería aplicable
al desprendimiento del borde en configuraciones del tipo a), pe
ro la experiencia que se tiene del manejo de zonas flotantes en
tanque de Plateau enseña que el desprendimiento no tiene lugar
en ambos discos a la vez ni, lo que es muchísimo peor, en toda
la periferia del disco al mismo tiempo, por lo que el problema
real resulta excesivamente complicado.
3.2. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO
El método que se sigue para el estudio de las formas de
equilibrio y su estabilidad es el mismo en cualquier caso, y se
reduce a los dos pasos siguientes.
3.2.1. Equilibrio
Al no haber gravedad, ni rotación, ni otras fuerzas que
las de tensión superficial, la forma de la inferíase ha de ser
un tramo de las curvas de Plateau (que son las secciones meridia
-64-
nas de las superficies de revolución de curvatura media constan
te) y que, convenientemente escaladas, tienen una expresión al
gebraica relativamente sencilla, en función de dos parámetros,
uno que define la curva dentro de la familia (relacionada con
la curvatura), a, y el otro que es el parámetro de barrido den
tro de la curva, (¡>.
Tomando como origen de z un máximo de la curva (son pe
riódicas) y como unidad el valor del radio en el máximo, la des
cripción de la curva, r,z, el ángulo de la pendiente, 6, el vo
lumen, V, y el área u (energía libre) hasta una sección genérica,
tienen las expresiones siguientes:
r(a,4>) = A(a,cf>) = V i - sen asen cf> (1)
z(a,<j)) = B(a,cf>) = cosaF(a,tj)) + E(a,<J>) (2)
n, ,-. . dr A+cosa/A , 0,. 0(a,d>) = are tg -r- = are sen —.— (3)
' & dz 1+cosa V( a , (j)) = -x A V(l-A 2) (A2-cos2a) - cosaB +
+ (l+cosa)2El (4)
u(a,(j)) = 2Tr(l+cosa)E (5)
siendo F y E las integrales elípticas de primera y segunda espe
cie, A definida por (1) y B definida por (2). La única figura de
Plateau no incluida en la formulación anterior es la catenoide,
pero su análisis separado es relativamente sencillo.
El problema es, pues, encontrar tramos de curva r(z)
que, convenientemente escalados, se ajusten a las particulares
-65-
condiciones en los límites de que se trate, pero ello lleva a
un complicado sistema de ecuaciones no lineales que no es mane
jable ni siquiera por ordenador, ya que como se verá en la esta
bilidad, los puntos más interesantes son puntos singulares del
sistema.
Para salvar este escollo lo que se hace es proceder in
directamente. Tomemos como ejemplo el caso de los "pedestales"
(Fig. 2b), definido por los parámetros impuestos, w, L/D y V/D .
Se empieza fijando una relación de diámetros w. Después, se es
tablece la relación entre las condiciones en los límites, y así
si a,^ corresponde al borde derecho de la zona, el borde izquier
do a,$2 se obtiene de la relación
\j 1 - s e n a s e n <$>, w = — = = = á . (6)
\ / l - s e n 2 a s e n 2 ( j )
B a s t a e n t o n c e s e l e g i r un a e i r b a r r i e n d o c o n tj). y c a l
c u l a n d o <|>2, L / D , V/D 3 y U/aD2
z ( a , <j)9 ) - z (a , c j ) 1 ) L/D = ^ -—. — ( 7 )
o V(a,(j)„) - V(a,<¡)1 ) V/Dd = \ — ( 8 )
8 r d ( a , c ¡ ) 2 )
9 u ( a , c f > 9 ) - u ( a , 4 > 1 ) U M T = ± ±- ( 9 )
4-r ( a ,(f>2 )
3
y representar el punto obtenido en el diagrama V/D -L/D por ejem
plo. Si se asegura un barrido completo se habrán obtenido todas
las posibles configuraciones de equilibrio. Si entonces se quie-
-66-
re entrar con valores nuevos de w, D, L y V, bastaría buscar en
el diagrama de esa w (6 en el de la w más próxima disponible) el
punto L/D, V/D y ver si había soluciones en las proximidades,
encontrando los valores de a y f, correspondientes. Ahora, si se
necesitase una solución más precisa, sí se podría analizar el en.
torno del punto ct,<K hallado y ajustar mejor, comparando los va-
3 lores L/D, V/D deducidos de (7) y (8) con los valores de a y <j)
encontrados con los datos de partida. El problema es que existen
muchas soluciones.
3.2.2. Estabilidad
La mecánica de Newton enseña claramente cómo estudiar
la estabilidad de un sistema en equilibrio: se somete a perturba
ciones (compatibles con las ligaduras) y se ve si recupera o aban,
dona el entorno. Las perturbaciones pueden ser estáticas (despla
zamientos), dinámicas (velocidades) o mixtas, pero el análisis
de la estabilidad siempre está basado en la respuesta dinámica
del sistema.
La mecánica analítica utiliza otro procedimiento para
el análisis de la estabilidad: puesto que la energía cinética es
siempre positiva, un sistema está en equilibrio estable si su
energía potencial es mínima. Bastará pues estudiar la energía p_o
tencial, que es debida a la posición y no al campo de velocida
des. Si el número de grados de libertad del sistema no es muy
grande, se podrá obtener el mapa energético y con él toda la in
formación necesaria para determinar la evolución del sistema. Si
el número de grados de libertad es infinito, como ocurre en la
mecánica de los medios continuos, el problema es mucho más com-
-67-
plejo, por la indeterminación de las ligaduras (existen infini
tos modos posibles de cambiar la forma de una zona flotante con
servando el anclaje en los discos, la separación entre ellos y
el volumen del líquido).
La solución adoptada aquí es la siguiente. Se determi
nan única y exclusivamente posiciones de equilibrio, pero asegu
rándose de calcular todas las accesibles en el entorno considera 3
do. Por ejemplo, para una zona con L/D=3, V/D = 3TT/M- del tipo a)
(Fig. 2), en las proximidades de la configuración cilindrica
r(z)=l/2 existen otras dos posiciones de equilibrio próximas que,
aunque necesitarían de (1) y (2) para una expresión exacta, pode
mos aproximar por
r ( z ) = | V l ± 0 - 5 s e n 2 T T | 0 < z < 3 (10)
Sin embargo, no es preciso considerar soluciones distan
tes (en términos topológicos) como la de gotas esféricas, pese a
que existe una solución que tiene exactamente la misma energía
(además de la misma separación y el mismo volumen).
Una vez conocidas todas las configuraciones de equili
brio en un entorno, el valor relativo de sus energías nos indica
cuál es la solución estable (en el ejemplo anterior, la del ci
lindro es menor luego esa es la estable). Pero la potencia de es
te método abreviado reside en que no es necesario hacer esta com
paración energética más que en los entornos decisivos, allí donde
se bifurcan las ramas correspondientes a cada configuración. Así,
siguiendo con el ejemplo anterior, para dilucidar entre las posi
bles configuraciones, hasta estudiar el entorno del punto de bifur
-68-
cación L/D = TT, V/D =TT /4, que enseña que las zonas cilindricas
de esbeltez L/D<TT son estables y están rodeadas por "barreras
de potencial" cuyas cimas corresponden a equilibrios inesta
bles .
El conocimiento físico del problema es una valiosa
ayuda en cualquier caso. Sabiendo que los límites a considerar
son: desprendimientos del borde para ángulos menores que el de
contacto, mínimo local del volumen y bifurcación a zonas de más
de un período (de las curvas de Plateau), el problema se centra
en determinar el límite inferior5'5, y en particular los puntos
que separan cada una de las regiones anteriores (por ejemplo, pa
ra puentes entre discos iguales, el volumen mínimo viene limita
do por desprendimientos del borde para L/D<0.4 (si el ángulo de
contacto es nulo), por mínimo local para 0.4<L/D<2.1 (no existen
formas de equilibrio) y por bifurcación inestable para L/D>2.1
(las formas de equilibrio son inestables).
3.3. ZONAS ANCLADAS A DISCOS DESIGUALES
Se van a realizar aquí con todo detalle los pasos apun
tados en el apartado anterior, incluyendo como caso particular la
configuración a) de la Fig. 2, ya estudiada anteriormente y que
va a servir de comprobación.
La Fig. 3 presenta varios ejemplos de puentes líquidos
Existe un límite superior, también debido a desprendimiento (desbordamiento), a máximo local del volumen, o a formas de más de un período (de las curvas de Plateau), aunque el límite inferior tiene más interés práctico.
a) b)
TIPO 1
TIPO -1
TIPO 2 i
TIPO 3
i
i
Fig. 3. Ejemplos de formas de equilibrio entre discos desiguales cuyos diámetros están en la relación 2/3. a) formas onduloides, b) formas nodoides.
-70-
entre discos desiguales. Las configuraciones convexas no tienen
gran interés, pues salvo que el volumen sea excesivo, van a ser
estables. Tampoco las configuraciones nodoides son excesivamen
te interesantes puesto que solo pueden ocurrir entre discos muy
próximos; su utilidad principal aquí reside en que son las que
determinan el limite inferior por desprendimiento del borde.
Nuestro interés se centra en el estudio de la estabilidad de
las zonas largas del tipo 2 y 3 (Fig. 3a).
Como se indicó en el planteamiento general, el camino
>• 3
seguido es el siguiente. Los tres parámetros, w, L/D y V/D
(Fig. 2b) determinan la configuración física. Empezamos fijando
la relación de diámetros de los discos, w. Ahora, en lugar de 3
buscar la forma r(z) para los L/D y V/D dados, se procede a ge_
nerar un mapa L/D,V/D en función de dos parámetros auxiliares,
a y cj). Posteriormente se entrará en dicho mapa con los valores o
L/D y V/D deseados y se encontrarán los a y <p apropiados con
los que se obtendrá la forma r(z) explícitamente.
Dado w, no todas las curvas de Plateau (definidas por
el parámetro a) pueden dar cabida a una tal configuración, como
se muestra en la Fig. 4. Este límite es |cosa| < w, así que si
reducimos el análisis a las formas nodoides, habrá que barrer el
intervalo -TT/2 £ a £ -are eos w.
Una vez elegido a, aparece un valor límite inferior
de <J> para que existan soluciones
sena . b • = are sen (a • = -are eos w) (11) Kmm sena m m
como puede apreciarse en la Fig. 4 para a=-1.25. El tener bien
0.85
l«l<l«lmi
1.05
1.25
4. Fijada una relación de diámetros (w=0.5 en la figura), sólo existen formas de equilibrio para onduloides con |a|>arccos w (1.05 en este caso), existiendo toda una gama de soluciones
en este ultimo caso al variar el parámetro cb desde $* m m Lmax
-72-
determinados todos los límites de variación de las variables in
dependientes es fundamental para el cálculo. La secuencia seguida
aquí, barrer <f> a a constante, es la más intuitiva ya que, como
se ve en la Fig. 4, se trata de ir colocando soluciones sobre
una misma curva de Plateau. Sin embargo, desde el punto de vis
ta forma, igual se podría haber barrido a a c¡) constante, ya que
en realidad, la elección de un w lo que delimita es una región
de validez en el plano a,cf>. Esta región de validez es de gran
importancia en los procedimientos de cálculo de evoluciones a
>• 3 L/D 6 a V/D constantes basadas en subrutinas de seguimiento de
curvas de nivel, por lo que la curva límite f(a,<{>) = 0 para cada
w debe ser conocida y ha sido representada en la Fig. 5.
Como se ha dicho antes, la forma de equilibrio de-
3 pende de tres parámetros, w, L/D y V/D . Pues bien, ya se han ele_
gido tres parámetros independientes, w, a y cf>, que permiten un
tratamiento más cómodo de las curvas; bastará ahora calcular L/D
3 -» y V/D en función de a y (j>. Para ello, el primer paso es calcular
la posición del otro disco, definida por $„ (ver Fig. 4). La re
lación entre w, a, <j)1 y <J>~ se dio en (6), y la expresión explíci_
ta es : 2 2 1-sen asen <j>.
1 _ L 2
<j>„ = are sen —- (12) sena
La Fig. 6 presenta gráficamente esta relación para un
caso w, dado.
Con w, a y c elegidos y 4>„ calculado, la separación
entre discos, L, adimensionalizada con el diámetro mayor, D, vie_
ne dada por (7) con ayuda de (1) y (2). Dada la importancia que
0.99
Fig.5. Dada una relación de diámetros w, existe un límite para las forn Dada una relación de diámetros w, existe un límite para las formas onduloides, no habiendo soluciones en la región convexa que delimita la curva f(a,4>)=0 para cada w. Si se toma w= 0.5, estos límites pueden verse representados en la Fig. 4.
I
a=Tt/2
U 5
1.35
1.25
1.15
a=am=i.05
I
I
Fig. 6. Relación entre los valores principales de <j> en el disco pequeño, $ y en el mayor, <J> para diversas onduloides, a, en el caso w=0.5 (ver Fig. 4).
-75-
tiene el plano L/D,a para el estudio posterior de la estabilidad
se ha esquematizado en la Fig. 7 su "esqueleto" (lugar geométri
co de las configuraciones que presentan un máximo o un mínimo
en uno de los discos) para varios valores de w. En la Fig. 8
se presentan con detalle las diferentes regiones que aparecen
en el caso w=0.99 que se va a analizar a continuación por cuan
to permitirá una fácil comparación con el caso de discos igua
les, w=l, más conocido.
En la Fig. 9 se han representado en el diagrama volumen-
esbeltez las diferentes regiones donde aparecen los diversos ti
pos de puentes líquidos, limitados por las configuraciones con
máximo o mínimo en uno de los discos-, mostrándose en la Fig. 10
el detalle de máximo interés: la región de onduloides casi cilírt
dricas, donde puede apreciarse claramente el hecho fundamental
de la existencia de una envolvente para las formas de los tipos
2 y 3, lo que va a determinar el límite de estabilidad, como se
verá a continuación.
3.3.1. Límite de Estabilidad
El camino seguido es el siguiente. Primero se dibujan
3
en el diagrama L/D, V/D todas las formas de equilibrio de inte
rés, es decir, aquellas que puedan estar suficientemente próxi
mas (topológicamente) como se ha hecho en la Fig. 10 para colum
nas líquidas con relación de diámetro de los discos w=0.99. Esta
* Máximo o mínimo absoluto de las curvas onduloides, es decir, con ángulo de contacto ir/2 en algún disco, no quiere decir el valor extremo en el tramo de onduloide que realmente corresponde a la zona.
D
i - a 1.5
_L_ D
O 0.5
^
w=2/3
1 -a 1.5
D
0.5 1
w=1/3
1.5
i
CTi
Fig, 7. Situación de las zonas onduloides con un máximo o un mínimo en uno de los discos, para varios valores de la relación de diámetros, w.
Fig. 8. Límites de las regiones de existencia en el plano a, L/D de los distintos tipos de configuraciones con w=0.99. La leyenda de tipos coincide con la de la Fig. 9.
FÍP. 9. Límites de las regiones de existencia en el plano L/D, V/I)J de los diversos tipos de configuraciones para relación de diámetros w=0.99. La separación corresponde a zonas con ángulo de contacto a/2 en uno de los discos. La curva a trazos corresponde al límite de estabilidad.
I
I
Fie. 10. Detalle del diagrama de la Fig. 9 incluyendo las familias de formas a ot=cte. Sólo se han dibujado los tipos T=-l,2,3,-2 y -3 (ver Fig. 9), y las curvas para T=-2 se han iniciado solamente, para apreciar mejor la envolvente de los tipos 2 y 3 (curva a trazos) que es el límite de estabilidad.
-80-
tarea requiere un cierto cuidado, dibujando ante todo las curvas
que separan los diferentes tipos de configuración (Fig. 9) para
asegurar que se toman en cuenta todas las posibles formas de equi_
librio en torno a una de partida que, por consideraciones físicas
se sepa que es realmente estable (a eso se refiere lo "de inte
rés" ) .
Segundo, se dibujan en el diagrama energía-volumen las
posibles evoluciones a esbeltez constante (aunque sería igual re
presentar en un diagrama energía-esbeltez las evoluciones a volu
men constante) como se ha hecho en la Fig. 11 para L/D=1.5 (y w=
0.99). Conviene en este punto comprobar la validez de la Fig. 11
(exactitud y cantidad de datos) con las Figs. 8 y 10, comparando
valores límite y regiones incluidas. Como se puede apreciar en
la Fig. 11, se requiere una gran precisión en el cálculo de la
energía (área de la superficie libre del líquido), con errores
-3 . . relativos inferiores a 10 , para separar bien las diferentes cur_
vas que aparecen.
Elegida una configuración estable (conocida experimen-
3 talmente, por ejemplo) como la correspondiente a V/D =1.18 del
tipo 2 (6-1, que prácticamente coinciden), si se va extrayendo
volumen a esbeltez constante,moviéndose hacia la izquierda por la
curva inferior de la Fig. 11, se observa que aparece un punto lí_
mite para V/D =0.56, que marca el límite de estabilidad; si se
continúa la extracción se generará un movimiento hacia otra con
figuración lejana (no incluida en la figura), que corresponderá
a dos casquetes esféricos, uno en cada disco, es decir, a la ro
tura del puente líquido, ya que cualquier otro tipo de configura
ción en puente tiene más energía y no es, por tanto, accesible. En
iL_2-L rD2 D 3
2.5
w=a99 UD=1.5
-3 f-1
V
2 / "—
_
/A
T=2 -1
0.5 1 V/D3 1.5
i
oo
'i^. 11. Energía, L1, en función del volumen V de un puente liquido entre discos de relación de diámetros w=0.99 v esbeltez L/D=1.5, siendo D el diámetro mavor. Los diferentes tipos T de forman pueden verse en la Fi". 9.
-82-
este razonamiento se supone que sólo pueden ser estables las for
mas axilsimétricas, pues, aparte de ser intuitivo, el análisis
con deformaciones no axilsimétricas de ciertos casos sencillos
(zonas cilindricas entre discos iguales) así lo demuestra.
Tercero, una vez determinado un punto de la curva de
los límites de estabilidad, el resto de la curva se deduce por
continuidad de comportamiento, salvo que varíe la topología, como
ocurre para L/D=2.1 para discos casi iguales (ver Fig. 10). En
este caso, se repite la operación anterior con otro punto cual
quiera de la nueva región, lo que se ha hecho en la Fig. 12 pa
ra L/D=2.5. Como puede apreciarse en dicha figura, el comporta-
miento es similar, presentándose un punto límite para V/D =1.4,
no existiendo puentes estables con menor volumen (para esa rela
ción de diámetros, se entiende).
Comparando las Figs. 11 y 12 se pueden sacar importan
tes conclusiones. En primer lugar, que las zonas largas son mucho
más sensibles, a igualdad de "distancia" del limite de estabilidad,
que las zonas cortas, es decir, la barrera de potencial que hay
que superar es menor en este último caso. En segundo lugar, que las
zonas cortas rompen con ángulos de contacto en los discos menores
de TT/2 (al ser la forma límite del tipo 2) mientras que las zonas
largas lo hacen con un ángulo de contacto en el disco grande mayor
de TT/2 (y menor de TT/2 en el disco pequeño), al ser del tipo 3 la
forma de rotura (ver Fig. 10).
3.3.2. Efecto de una Pequeña Diferencia de Diámetros en la Bifurcación
En la Fig. 13 se presenta un esquema de la estructura de
la bifurcación en el caso V = TTD L que se compara fácilmente con la
3.9
crD2 D 3
3.8
3.7
w=0.99 L/D=2.5
T=-3 / ^ 2 3
S<^^ J%~~~—
1.2 1.3 1.4 V/D 1.5 1.6 co
12. Energía, U, en función del volumen w=0.99 v esbeltez L/D=2.5, siendo I verse en la rip. 9.
/ de un puente liquido entre discos de relación de diámetros el diámetro navor. Los diferentes tipos T de formas pueden
- 8 4 -
9 2
w=1 w=0.99
- f /iC~LIQ L/D
U aD2
i t L/D L/D
U aD2
e-J L/D
Q-f
Fig. 13. Comparación entre las evoluciones con V=nD L para discos iguales (w=l) y discos casi iguales (w=0.99) donde puede apreciarse el efecto de la imperfección en la estructura de la bifurcación. 6 es el ángulo de contacto con el disco mayor (o en uno de los iguales para w=l). La evolución V=TTD2L ha sido elegida para comparar con la conocida evolución cilindrica.
-85-
conocida evolución cilindrica entre discos iguales [5]. El efecto
de la imperfección que supone la diferencia de diámetros hace que
el cuello de rotura se forme siempre (supuestas perturbaciones in
finitesimales) cerca del disco pequeño, y no quede indeterminado
como en el caso w=l. En cierto sentido, este efecto es parecido al
de una pequeña gravedad axial en el caso de discos iguales, con
una estructura de bifurcación similar a la de la Fig. 13, donde
ahora el cuello de rotura se formará cerca del disco "superior"
[6].
El efecto sobre la bifurcación en las evoluciones a es
beltez constante es similar, presentándose en la Fig. 14 un esque
ma de la diferencia con el caso w=l de discos iguales, donde para
L/D=2.13 aparecía una cúspide simétrica inestable antes del punto
límite de mínimo volumen.
3.3.3. Desprendimiento y Desbordamiento
Aunque se podrían considerar anillos delgados en lugar
de discos planos y evitar así el desprendimiento por ángulo de
contacto mínimo, se va a tratar aquí, como se hizo para discos
iguales [5], el límite por desprendimiento con ángulo de contac
to nulo.
Los experimentos en tanque de Plateau [7] muestran que
el desprendimiento no conduce a un límite bien definido ni aun
cuando se considera un ángulo de contacto distinto de cero (pero
constante), lo cual, unido al hecho de que el desprendimiento s<5
lo puede tener lugar para zonas cortas, resta interés a estas pre
dicciones.
- 8 6 -
W=1 w=0.99
U
L/D=1.5
U
U U
L/D = 2.5
Fig. 14. Efecto de una pequeña d i f e r e n c i a de diámetros en l a b i f u r c a ción a e s b e l t e z cons tante en e l diagrama energía-volumen.. Pa_ r a w=l, e l primer caso p resen ta un punto l í m i t e y e l segundo una cúspide s i m é t r i c a i n e s t a b l e (como la de l a Fig . 15) . Par a w=0.99 ambos casos dan un punto l í m i t e .
La f o r m u l a c i ó n es l a s i g u i e n t e . La forma s e r á un t ramo
de nodo ide (-ir < CX<TT/2) con e l bo rde d e l d i s c o mayor en e l pun
t o de t a n g e n t e v e r t i c a l de d i c h a c u r v a , es d e c i r ,
a r e t g 1 (13)
V cosa
habiendo de considerar dos tipos de configuración, T=l para zonas
sin mínimo entre discos, y T=2 para zonas con mínimo. La Fig. 15
presenta los resultados para diversas relaciones de diámetro.
En cuanto al comportamiento para volúmenes grandes, aun
00
I
Fig. 15. Representación, en el diagrama volumen-esbeltez, de los límites por desprendimiento con ángulo de contacto nulo, para diversas relaciones de diámetros de los discos.
-88-
que existen también puntos límites en los que el volumen alcanza
un máximo relativo, aquí se considerará un límite práctico de án
guio de contacto TT en el disco pequeño, suponiendo que a partir
de ahí se desborda la zona, mojando la superficie lateral del dis
co pequeño. La formulación es prácticamente la misma, situándose
el punto de tangencia vertical de la curva nodoide correspondien
te en el borde del disco pequeño, es decir,
<$>, - are tg —• -TT < a ^ TT/2 (14) \- cosa
habiendo de ser consideradas en este caso configuraciones de los
tipos T=l (para zonas sin máximo) y T=-l (para zonas con máximo).
En la Fig. 16 se resumen los diagramas de estabilidad
para varios valores de la relación de diámetros.
Para la interpretación correcta del efecto de la rela
ción de tamaños sobre los límites de estabilidad hay que tomar en
consideración la influencia de la variable usada para la adimen-
sionalización. Si, en lugar de haber usado el diámetro mayor, se
hubiera usado una media mejor ponderada, se podría conseguir que
al disminuir w las curvas en la Fig. 16 no se contrajesen hacia
el origen. Sin embargo, la elección no es sencilla, pues las
3
abeisas dependen de D y las ordenadas de D . Ni siquiera utili
zando el punto de a = a . = - are eos w (donde 4> = TT/2 y c|)„ = 0)
como unidad de escala se obtienen diagramas "centrados" para todo
w, por lo que se ha preferido presentarlos tal cual.
D-
Fig. 16.
1.2 L/D U Límites de estabilidad volumen-separación de puentes líquidos entre discos desiguales para diversas relaciones de diámetros, w. Las líneas finas corresponden a zonas con ángulo de contacto TT/2 en un disco (hay dos por cada w, y se ha señalado con una cruz su punto de corte).
i
00
I
-90-
3.3.4. Tratamiento por Ordenador
La presentación interactiva de gráficos en pantalla po
sibilita la interpretación rápida de una enorme cantidad de datos.
Un buen ejemplo puede ser el que se ha tratado aquí, donde se tra
ta de resolver un sistema algebraico, no lineal, de ecuaciones;
el problema reside en que existe una multiplicidad de soluciones
y el interés se centra en los puntos singulares.
Cuando la complejidad de las ecuaciones dificulta (o im
posibilita) el tratamiento analítico del problema, y el número de
parámetros es grande (más de dos), el cálculo numérico tradicional
produce una cantidad desbordante de valores y se hace preciso el
recurso a métodos gráficos de análisis e interpretación, por su
puesto soportado en ordenador.
Para este fin se ha desarrollado un programa de manejo de
las ecuaciones anteriormente expuestas, dividido en subprogramas
que tratan aspectos específicos, y en procedimientos y funciones
de uso común, conforme se explica a continuación. Accesibles a to_
dos los segmentos del programa son las variables W, relación de
diámetros, y T, tipo de configuración (véanse las Figs. 3 y 9).
Finalmente, y a efectos de documentación, se ha incluí-
do un listado del programa en lenguaje HP-BASIC, tal como se ha
utilizado en un ordenador de mesa HP-9845B.
FNB(X)
/ 2 Función que determina si se verifica señasen^ - y 1-w > 0
y devuelve el valor límite de a ó 4>,, según sea X > 0 ó
X < 0, respectivamente (Fig. 6).
-91-
FNP(A,P1)
Función que calcula 4>2 a partir de w, a y <£. con (12). Co
mo la solución es múltiple, se devuelve el valor en el pri
mer cuadrante, 0 < <¡> < -JT/2.
FNL(A,P1,P2)
Función especial para el cálculo rápido de la esbeltez de
una zona definida por w, a, <£. y <f>„ (y T para determinar el
valor real de <j>2). La subrutina Appl también calcula L,
pero al ser más compleja es más lenta. Utiliza la subrutina
Apzr.
Appl(A,Pl,P2,L,V,U)
Procedimiento de cálculo de la esbeltez, volumen y energía
de una zona definida por w, a, <j>1 y fyy (y T). Utiliza la
subrutina Apzt.
Apzr(A,P,Z,R)
Procedimiento abreviado de cálculo de los puntos de las
curvas de Plateau con (1) y (2).
Apzt(A,P,Z,R,T,V,U,Z9 0,V9 0,U9 0)
Procedimiento completo de cálculo de los puntos de las cur
vas de Plateau, ángulo de la tangente, volumen y energía
desde <¡> = 0 hasta <¡>, y valores para $ = TT/2.
Elli(P,A,F,E,F90,E90)
Subrutina de cálculos de las integrales elípticas de primera
y segunda especie, incompletas y completas (se usa el meto-
do de Landen).
-92-
Limt(Q,N ) P
Procedimiento de cálculo y presentación gráfica de los lí
mites de las configuraciones de los diferentes tipos, don
de ( = 71/2 6 <J>2 = 0. N^ es el número de puntos calculados, y
Q es el código siguiente:
Q=0 presenta una curva w=cte. de las de la Fig. 5
Q=l genera la Fig. 6 para un w dado
|Q|=2 dibuja los límites de los tipos de puntos tal
como se muestran en las Figs. 7 y 8; Q = 2 corres_
ponde a $2 = 0 (las sucesivas curvas se obtienen
con T = l ,2 ,-3 ,4 ,-5 , . . . ) , Q = -2 corresponde a <J>,.=TT/2
(las sucesivas curvas se obtienen con T=l,3,4,5,
6,...)
Q=3 mueve el cursor en la Fig. 8 a a=cte. barriendo
c}> , y pueden observarse los máximos y mínimos de
esbeltez.
Vlap(Q,ND)
Procedimiento de presentación gráfica en el diagrama volu
men-esbeltez de los límites de los diferentes tipos <p^~
TT/2 y (¡>„ = 0 y de las series de a = cte. (Figs. 9 y 10). Q es
el código siguiente:
Q=l dibuja las curvas a=cte. (Fig. 10) con las que
se visualiza la envolvente que marca el límite
de estabilidad (curva a trazos de la Fig. 10)
|Q|=2 dibuja los límites de los diferentes tipos (co
mo en Limt).
U(L)
Presenta el diagrama de energías para una esbeltez L/D fi
ja a partir de valores previamente calculados, resolvien
do la ecuación (7), y almacenados en ficheros aparte. El
procedimiento es el siguiente: elegido L/D, se dibujan
-93-
los límites de la Fig. 7, se van tomando valores interme
dios de a para los tipos existentes (Fig. 8) y calculan
do L/D = f (w,a ,<p^) barriendo hasta encontrar el §, que da el
L/D deseado con la aproximación requerida (cerca de los
puntos límite se necesitan al menos 5 cifras significati
vas ) .
Deta(Q,ND)
Para Q=l se presenta en el diagrama volumen-esbeltez los
estados con ángulo de contacto nulo en el disco mayor (ele
gido como límite inferior por desprendimiento del anclaje
en el borde) en las dos configuraciones de interés, T=l
y T=2 (Fig. 15). Para Q=2 se presentan los estados con
ángulo de contacto TT en el disco pequeño (elegido como lí
mite superior por desprendimiento o desbordamiento) en las
dos configuraciones de interés, T=-l y T=l (como en la Fig.
16) .
Zone(A,Pl,P2,Ní,S) P
Dibuja la forma externa de la zona definida por a, c¡>. y $„,
donde <JJ1 y (f>„ son los valores reales (no los principales).
El parámetro S es para controlar si la forma va a ser dibu
jada sola o superpuesta a la curva de Plateau correspondiera
te para ver mejor la situación de los límites. Esta subru-
tina es muy valiosa para comprobar de vez en cuando el fun
cionamiento correcto de los otros subprogramas donde sólo
aparecen "puntos" en diversos diagramas, poco familiares
en las primeras etapas del desarrollo, pues basta pulsar
una tecla para que aparezca la forma externa correspondien-
-94-
te al punto actual.
Expl(A,Pl,P2,N )
Presenta la forma definida por a, i y (ji superpuesta a la
curva de Plateau correspondiente, y acompañada de explica
ciones sobre los valores de a . y <p . . Está pensado para
ayuda de referesco y familiarización con el programa.
G(X1,X2,Y1,Y2,U ,U ,S) ' ' x' y'
Subrutina gráfica de definición de escalas y rayado de fori
do. S=l es para escala isotropica.
Show(A,Pl,P2)
Subrutina gráfica para presentación de la forma externa
(Zone) durante la confección de los diferentes diagramas,
con objeto de verificar el cálculo. Al pulsar una tecla apro_
piada, se interrumpe el cálculo en el diagrama correspon
diente, se guarda en memoria toda la información (imagen in
cluida), se da paso a la subrutina Zone que dibuja la forma
externa de la zona, se espera la orden de continuar y, una
vez verificada, se borra esa imagen y se vuelve a traer la
del diagrama que se está confeccionando, prosiguiendo el
cálculo donde se interrumpió.
I d ! " { - ij h_E ir_ ! U n e q u a l d i s •: s . ( 1 5 ' i 2 - 3 2 .' . 2 6 P I . U T T E R l s "GRñPHICS" 3ü COM i l , T , IMTEGER SC 16380:* ¡ D i ar i . f t e r r a l ,o >U T y p t ot" sha.pt' 4ü GRñPHICS 5ü Dñ l r i . 7 , - 1 ! DiaiucT.tr- r a i - i o i T y p t oí' shape ¿8 REFtD W, F 7 0 G S T ü R E S C * > 8 O ! t HLL Expl t-l , 1 . 3, FHP'-:-l , 1 . 3) , lu ' Expl :ii-at. i or,. Change t ype T i. 3fé
ri L L Z o n e ( - l , 1 . 3 , F H P ( - 1 , 1 . 3 ,• , 1 0 , O .:• ' D r a w s t h *• z o n -; a 1 o n e HLL L i r,i t C 2 , 2 0 > '. Se--.' _• r a 1 d i a g r a i M £• f o r b o u n d s H L L V ) ap •;' 1 , 2 0 > ! M a i f. V - L d i a g r am
h L L D i-1 a C 1 , 10 ) í D s a t ac h n, t n t ¡i-, o u e r f' 1 c >,.¡ H L L L K 1 . 5 > ! Lr-ai.js p r e s t o r e d L in T h e Ll-V d i a q r
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