Colas
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TEORÍA DE COLAS Y STOCKS 2
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TEORÍA DE COLAS Y STOCKS
2
ÍNDICE
ELEMENTOS DE TEORÍA DE COLAS.....................................................4
Descripción de un sistema de colas..................................................................4
El proceso de Poisson y la distribución exponencial.........................5Variables asociadas a un sistema de colas...............................................11
Notación de Kendall......................................................................................................13
Cola determinística........................................................................................................14
COLAS TIPO M/M/1.....................................................................................................16
Comprobación de la distribución de las llegadas................................16
Estudio de la cola............................................................................................................ 18
Medidas de eficacia en estado estacionario.............................................23
Fórmulas de Little........................................................................................................... 24
Ejemplos................................................................................................................................. 25
COLAS TIPO M/M/C....................................................................................................26
Estudio de la cola............................................................................................................ 27
Medidas de eficacia en estado estacionario.............................................31
Ejemplos................................................................................................................................. 32
Cola tipo M/M/C/K............................................................................................................39
Cuadro resumen............................................................................................................... 41
COLAS TIPO M/G/1.....................................................................................................42
Estudio de la cola............................................................................................................ 42
Fórmula de Pollaczek-Kintchine.........................................................................44
Distribución estacionaria en los puntos de salida...............................47
Ejemplos................................................................................................................................. 48
Colas tipo M/Ek/1.............................................................................................................. 50
Colas tipo M/G/1/N.......................................................................................................... 51
COLAS CON PARÁMETROS VARIABLES........................................52
Caso general....................................................................................................................... 52
Cola con desaliento.......................................................................................................52
Cola binomial...................................................................................................................... 53
Cola con desaliento dependiente del tiempo de servicio...............54
Cola con tasa de servicio dependiente del estado..............................55
Cola con servidor adicional cuando la cola es grande....................56
Colas con pérdidas........................................................................................................ 56
Problema de las máquinas......................................................................................58
REDES DE COLAS.......................................................................................................60Redes de colas abiertas............................................................................................................. 60
Redes de colas abiertas.............................................................................................61
Redes de colas cerradas...........................................................................................62
Redes de colas cíclicas..............................................................................................63
3
ELEMENTOS DE TEORÍA DE COLAS
Descripción de un sistema de colas
La teoría de colas aparece a principios del presente siglo para estudiar los problemas de congestión de tráfico que se presentaban en las recientemente inventadas comunicaciones telefónicas. Entre 1903 y 1905, Erlang es el primero en tratar el tráfico telefónico de forma científica, y establece la unidad de tráfico telefónico, que recibe su nombre. Posteriormente esta teoría se ha aplicado a multitud de problemas de la vida real, como el tráfico de automóviles, la regulación de semáforos en una ciudad, la determinación del número de cajeros en los hipermercados, o el control de los tiempos de espera de los procesos que acceden al procesador de un ordenador que trabaja en tiempo compartido.
Lo elementos más importantes de un sistema de colas son: las llegadas, la cola, el servicio y la salida.
En general, un sistema de colas consiste en uno o varios servidores que prestan un servicio a uno o varios usuarios que acceden al sistema. El proceso de llegadas lo regula una fuente generadora de usuarios y, en general, estas llegadas serán de forma aleatoria. Esta fuente generadora de usuarios puede ser finita o infinita.
Interesa saber cuál es el intervalo de tiempo entre las llegadas de dos usuarios consecutivos. Además, según cómo sea el proceso de llegadas, los usuarios pueden llegar individualmente o en grupos.
Si cuando un usuario llega al sistema el servidor está libre, se le da servicio. Si el tiempo de servicio es mayor que el intervalo entre llegadas, el siguiente usuario, cuando accede al sistema, encuentra que el servidor está ocupado, por lo que debe quedar en espera, formando la cola.
4
SERVIDOR /ESCOLALLEGADAS
TASA
SALIDAS
TASAS
Otra cuestión importante es saber cuánto tiempo debe esperar un usuario que llega al sistema hasta que recibe el servicio, lo cual entra dentro del concepto QOS (Quality of Service, calidad de servicio). Cuando en la cola hay más de un usuario, al quedar el servidor libre hay que determinar cuál de los usuarios en espera será el que pase a recibir servicio. Es decir, es necesario un proceso para decidir qué usuario va a ser llamado de la cola; esto es lo que se llama disciplina de la cola. Los modelos más importantes son los siguientes:
FIFO (First-In-First-Out): se le da servicio al primero que ha llegado, de forma que la cola está ordenada según el orden de llegada de los usuarios.
LIFO (Last-In-First-Out): se le da servicio al último que ha llegado, de forma que la cola está ordenada en orden inverso al de llegada de los usuarios.
SIRO (Service-In-Random-Order): Se sortea aleatoriamente cuál de los usuarios en espera accederá al servicio.
No obstante, otro procedimiento para establecer la disciplina de la cola puede ser el de establecer determinadas prioridades a los diferentes usuarios según algunas de sus características.
En sistemas finitos, en los que el número de usuarios en espera es limitado, es necesario establecer además qué sucede con aquellos usuarios que acceden al sistema cuando la cola de espera está completa. Por último, en los sistemas en que los usuarios son humanos, hay que tener en cuenta otros factores propios del comportamiento humano como el hecho de que hay individuos que no respetan el orden establecido en la cola o bien que hay usuarios que, a la vista de la cola, renuncian a acceder al sistema.
Otra característica importante de un sistema de colas es el diseño de la ejecución del servicio. El servicio puede estar ejecutado por uno o varios servidores. Si el tiempo que tardan los usuarios en salir del sistema es mayor que el intervalo entre llegadas, la cola aumentará indefinidamente y el sistema puede llegar a colapsarse. Por tanto es necesario diseñar el sistema de forma que el tiempo de servicio sea igual o menor que el intervalo entre llegadas. En esta situación es importante saber cuánto tiempo va a estar un servidor inactivo, tiempo que ha de ser mínimo para optimizar el rendimiento del sistema. No obstante, en la mayoría de los sistemas la duración del servicio es también una magnitud aleatoria.
Por último, los usuarios que salen del sistema pueden hacerlo al exterior o pueden integrarse en otro sistema similar, en cuyo caso se habla de colas enlazadas o redes de colas.
El proceso de Poisson y la distribución exponencial
En la mayoría de los sistemas de colas, el proceso de llegadas sigue una distribución de Poisson. Se demuestra que si se da esta circunstancia, la
5
duración de los intervalos entre llegadas tiene una distribución exponencial o una combinación continua de exponenciales, es decir, una distribución gamma, que recibe el nombre de distribución erlangiana, o distribución K.
En efecto, si llamamos
P tn ( )
a la probabilidad de que en un tiempo t el número de usuarios que acceden al sistema sea n y esta probabilidad sigue una ley de Poisson de la forma:
P t e
t
nnt
n
( )!
entonces, la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor o igual a T (que es igual a la probabilidad de que no haya ninguna llegada en un intervalo de duración T ), es:
P t T P T e T 0 ( )
Por tanto, la probabilidad de que el intervalo entre llegadas sea menor o igual a T es:
P t T e T 1
que es una ley de distribución exponencial. En estas condiciones, el valor medio del intervalo entre llegadas será:
E T 1
donde es el número de llegadas por unidad de tiempo, que recibe el nombre de tasa de llegadas.
La distribución exponencial tiene la propiedad de pérdida de memoria:
P t T S t S
P t T S t S
P t S
P t T S
P t S
e
ee P t T
T S
ST
; ( )
Puesto que el número de llegadas en un intervalo de tiempo es una magnitud completamente aleatoria que sigue un proceso de Poisson, es claro que el proceso de llegadas es un proceso de nacimiento puro. Por tanto, el proceso de servicio se debe diseñar de forma que su duración sea de forma exponencial pura, es decir, como un proceso de muerte pura. De esta forma, el sistema de colas podrá estudiarse como un proceso de nacimiento y muerte.
6
A continuación veremos algunos ejemplos de manejo de las distribuciones de Poisson y exponencial.
Supongamos un ordenador al que llegan dos tipos de trabajos, largos y cortos, según distribuciones de Poisson independientes con parámetros L y C , respectivamente. Se pide:
Probar que la probabilidad de que lleguen exactamente m trabajos cortos entre dos largos es:
L
L C
C
L C
m
Suponiendo que en un cierto intervalo llegan al ordenador n trabajos, ¿cuál es la probabilidad de que k de ellos sean del tipo corto?
Supongamos que el primer trabajo largo llega en un instante t1 0 ; el segundo trabajo largo llegará en otro instante t t2 . La longitud t de este intervalo será
la realización de una variable exponencial de parámetro L . Llamaremos N tC0,
al número de trabajos cortos que llegan en ese intervalo. La probabilidad pedida es:
P N m P N m T t f t dttC
tC
T0 00
, , ( )
donde f tT ( ) es la exponencial antes referida. Entonces:
P N m
e t
me dtt
Ct
Cm
Lt
C
L0
0, !
7
Por otra parte, la función Gamma responde a la siguiente expresión:
y una de sus propiedades es que se cumple:
por tanto, recursivamente, resulta:
Si hacemos y , tenemos
y, por tanto,
de donde, haciendo , obtenemos que
En respuesta a la segunda cuestión, el número total de trabajos que llegan al ordenador en un cierto intervalo será:
N NtL
tC
0 0, ,
que, por ser ambas distribuciones independientes, será una distribución de Poisson de parámetro L C . Por tanto, la probabilidad pedida será:
P N k N N nP N k N N n
P N N nt
Ct
Lt
C tC
tL
tC
tL
tC0 0 0
0 0 0
0 0
, , ,
, , ,
, ,
;
P N k N n k
P N N n
e t
k
e t
n k
e t
n
tC
tL
tL
tC
tc
k tL
n k
tL C
n
C L
L C
0 0
0 0
, ,
, ,
; ! !
!
8
Ck
Ln k
L Cn
Ck
Ln k
L Cn
C
L C
kL
L C
n kn
n k k
n
k
n
k
!
! !
que corresponde a una distribución binomial de parámetros:
Bin n C
L C
,
Segundo ejemplo:
El tiempo de vida de un tubo fluorescente hasta que deja de funcionar es una exponencial de parámetro 10 horas. Una persona entra en una habitación mientras el tubo fluorescente está funcionando. Si quiere trabajar cinco horas, ¿cuál es la probabilidad de que finalice su trabajo antes de que el fluorescente deje de funcionar? ¿Si la vida del fluorescente no fuese exponencial, cuál sería la probabilidad anterior?
Si llamamos t al tiempo de vida del tubo fluorescente, la probabilidad pedida es:
P t P t F e e 5 1 5 1 0 60655
12(5) .
Si el tiempo de funcionamiento no es exponencial, puede ser que siga una distribución con memoria. Por tanto, en general:
P T t T tF t
F t
5
1 5( )
( )
9
Tercer ejemplo:
En un equipo de música compuesto por radio y altavoz, el tiempo de vida de la radio es exponencial de parámetro 1000 horas y el del altavoz es exponencial con parámetro 500 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que falle antes la radio?
Si llamamos X1 al tiempo de vida de la radio y X 2 al del altavoz, la probabilidad pedida es:
P X X P X X X x f x dx P X x e dxXx
1 2 1 2 20
1 20
2
2
( )
1 1 22
0e e dxx x
2
02
0
2 1 2e dx e dxx x
Como la primera integral es igual a uno, tenemos:
P X X1 22
1 2
1
1 2
11
3
Último ejemplo:
Consideremos un punto fijo en una autopista. Sean U U1 2, , ... la sucesión de tiempos entre llegadas de vehículo a este punto. Supongamos que U U1 2, , ... son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con distribución:
P U t e tekt t 1
Calcular la distribución del número de vehículos que pasan por ese punto fijo durante el intervalo de tiempo 0, t .
Llamemos N t al número de vehículos que pasan por el punto durante un intervalo de duración t y Tn al instante en el que pasa el n-ésimo vehículo. Entonces la probabilidad de que el n-ésimo vehículo pase dentro del intervalo 0, t es igual a la probabilidad de que el número de vehículos que pasa durante el intervalo sea mayor que n :
P T t P N n
e t
kpara tn t
t k
k
n
1 00
1 !
Una variable aleatoria Tn que tiene una distribución de este tipo, se dice que sigue una distribución de Erlang de parámetros ,n ; en concreto, las variables U k siguen una distribución de Erlang de parámetros ,2 .
10
Variables asociadas a un sistema de colas
Para poder analizar los diferentes sistemas de colas, es necesario definir previamente las variables que afectan a dicho sistema. Consideraremos en primer lugar las variables asociadas a un usuario. Llamaremos t k al instante en que se produce la llegada del k-ésimo usuario al sistema y k al tiempo transcurrido desde la llegada del (k-1)-ésimo usuario y el k-ésimo; es decir:
k k kt t 1
Llamaremos wk al tiempo de espera en la cola, sk al tiempo de duración del servicio y rk al instante de salida del sistema, todo ello referido al k-esimo usuario. Si llamamos nk al número de usuarios que hay en el sistema cuando llega el k-ésimo y si suponemos que el sistema tiene un solo canal de servicio, podemos escribir:
ya que, en efecto, la espera del k-ésimo elemento finalizará cuando el (k-1)-ésimo finalice el servicio y abandone el sistema. Por otra parte, se puede comprobar que el tiempo de espera también es:
En efecto, cuando el k-ésimo usuario llegó al sistema, en éste había nk usuarios; el primero de estos usuarios en el sistema en el instante t k , es decir,
el k nk -ésimo usuario, comenzó a recibir servicio en el instante.
y a partir de este instante comenzaron los servicios a los usuarios k nk 1 ,
k nk 2 , ... , hasta el k 1 -ésimo, momento en el cual finalizará la espera del k-ésimo usuario. Si generalizamos la anterior expresión en función del primer usuario del sistema, se puede escribir:
w t s tk ii
k
k
11
1
que es una expresión muy útil, ya que en el caso de que el sistema tenga C canales de servicio, tenemos:
11
donde t i es el tiempo de llegada del primer usuario a cada canal de servicio y sil es el tiempo de duración del servicio al l -ésimo usuario del i -ésimo canal de servicio. Todo lo anterior quiere decir que, conocidos los tiempos de llegada y la duración del servicio a cada usuario, se puede reconstruir toda la historia de la cola.
Una vez vistas las variables asociadas al usuario, vamos a definir otras variables asociadas a un instante de tiempo t . Éstas son:
n t( ) número de usuarios en el sistema en el instante t .n tq ( ) número de usuarios en cola.n ts ( ) número de usuarios en servicio.n tCL ( ) número de canales libres.
Es evidente que se cumplen las siguientes relaciones:
Otras variables asociadas a un instante son:
X t( ) número de usuarios que han llegado al sistema hasta el instante t .Y t( ) número de usuarios que han accedido al servicio hasta el instante t .Z t( ) número de usuarios que han salido del sistema hasta el instante t .
También en este caso son evidentes las relaciones:
n t X t Z t
n t X t Y t
Y t n t Z t
X t k t t t
Y t k t t w t w
q
s
k k
k k k k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ,
( ) ,
1
1 1
Notación de Kendall
De las relaciones expuestas en el apartado anterior se desprende que si conocemos las series:
t sk k
y el número de canales C tenemos toda la información necesaria para describir la cola. Por eso, para describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste en un grupo de letras y números de la forma:
12
A/B/C/m/d
donde cada uno de los dígitos tiene el siguiente significado:
A designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de distribución del tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo Poisson-exponencial, en este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es determinístico, se colocará la letra D y la letra G si las llegadas son de otro tipo.
B designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de servicio y, por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este proceso es markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los casos supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la distribución de las llegadas.
C número de canales de servicio ó número de servidores.
m número máximo de usuarios simultáneos que se admiten en el sistema. Si esta capacidad es infinita, se omite.
d disciplina de la cola, es decir, proceso de decisión de cuál de los usuarios en espera va a pasar a recibir servicio, tal y como se describió en la página 3. Por omisión se considera una cola tipo FIFO.
13
Cola determinística
Vamos a estudiar una cola en la que los tiempos de llegada y de servicio son determinísticos; es decir, una cola que responde a la notación de Kendall D/D/1. Más concretamente, vamos a estudiar el caso en que las llegadas y los tiempos de servicios son constantes.
Supongamos que los usuarios llegan en intervalos de duración a (por tanto, la tasa de llegadas es 1 a ) y que los servicios se producen en intervalos de duración b (tasa de servicios igual a 1 b ). Es decir:
k k k
k
t t a k
s b k
1
Si suponemos que en t 0 hay i usuarios en el sistema, los tiempos de llegada son:
y los tiempos de espera en cola:
w
k b si k i
si k i y n
k b k i a si k i y nk k
k
( )
( ) ( )
1
0 0
1 0
de forma que si la tasa de servicio es igual a la de llegadas, b a , no habrá nunca espera si la cola está vacía; si la cola no está vacía, ésta será siempre de longitud constante. En cambio, si el tiempo de servicio es mayor que el intervalo entre llegadas, b a , la cola crecerá indefinidamente; en este caso, el tiempo de espera será:
wk b si k i
k b a si k ik
( )
( )( )
1
1
A la expresión ( )( )k b a 1 se le llama factor de crecimiento, y aumenta de forma directamente proporcional a k .
14
Otras variables correspondientes a este tipo de colas son:
número de usuarios que han llegado al sistema hasta el instante t :
X t it
a( ) , donde el símbolo indica “parte entera de”.
número de usuarios que han accedido al servicio hasta el instante t :
Y tt
b( ) 1
número de usuarios que han salido del sistema hasta el instante t : Z tt
b( )
Si el tiempo de servicio es menor que el intervalo de llegada, b a la cola, en caso de existir, irá disminuyendo progresivamente hasta desaparecer. En este caso interesa saber cuál es el primer usuario que no tiene que esperar.
Supongamos que éste es el -ésimo, que accederá al sistema en el instante . Desde ese instante hasta el , el número de usuarios que han llegado al
sistema es igual al número de usuarios que han accedido al servicio. Por tanto:
Por otra parte, como , tenemos:
de forma que el primer usuario que no tendrá que esperar será el número:
15
El tiempo de espera de un usuario será:
w
k b si k i
k b k i a si i k K
si k Kk
1
1
0
( ) ( )
y la cola desaparece en el instante:
T t w K i a K b K i a K bK K ( ) ( ) ( ) ( )1 1
COLAS TIPO M/M/1
Comprobación de la distribución de las llegadas
Como se dijo en el tema anterior, la distribución del número de llegadas en un sistema de colas del tipo M/M/1 es markoviana según una ley de Poisson, la distribución del servicio es independiente pero del mismo tipo y el sistema cuenta con un único servidor.
Al estudiar un sistema de colas en la práctica, es necesario, en primer lugar, comprobar que en efecto las llegadas son de este tipo. Para ello se procede de la siguiente forma. Supongamos que se han estudiado las llegadas a un sistema y ha resultado lo siguiente:
nº de llegadas por hora
0 1 2 3 4 5 6
frecuencia 10 31 40 20 10 4 6
Es fácil comprobar que el número medio de llegadas por hora es:
n 2 207.
y su cuasivarianza muestral:
sn2 2 147 .
Como se verifica que:
n sn 2
es decir, que la media es sensiblemente igual a la varianza, podemos suponer que se trata de una distribución de Poisson.
Para mayor precisión podemos efectuar el siguiente procedimiento.
Supongamos que en el estudio de otro sistema de colas ha resultado la siguiente tabla:
16
n 0-4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >16f n 0 1 0 3 3 6 5 9 10 11 8 6 1 0
donde n es el número de llegadas por hora y f n la frecuencia absoluta. La media de esta distribución es n 1165. llegadas por hora. Si este proceso de llegadas siguiera una distribución de Poisson, la probabilidad teórica de obtener n llegadas por hora sería:
P
e
nn
n
1165 11 65.
!
.
con lo cual, para cada valor de n son de esperar las siguientes ocurrencias:
e P f Pn n nn
n
0
16
63
cuyos valores podemos añadir a la tabla de esta forma:
n 0-4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >16f n 0 1 0 3 3 6 5 9 10 11 8 6 1 0en 11.3 5.9
96.97
7.38
7.57
6.43
5.34
12.42
(Las celdas que se han unido al comienzo y al final de la distribución de frecuencias se deben a que, para que la aproximación por intervalos sea buena, es necesario que en cada intervalo haya al menos 5 observaciones; por ello se han agrupado ciertos intervalos cuyas frecuencias eran menores a 5).
Para comprobar la hipótesis de que esta distribución sigue una ley de Poisson, construimos el estadístico de contraste:
17
cuyos valores incluimos también en la tabla:
n 0-4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >16f n 0 1 0 3 3 6 5 9 10 11 8 6 1 0en 11.3 5.9
96.97
7.38
7.57
6.43
5.34
12.42
2 1.64 0 0.56
0.36
0.78
3.25
1.33
2.37
de forma que obtenemos para el estadístico de contraste el valor:
2 10 29 .
Para poder admitir la hipótesis con un nivel de confianza del 95%, es valor del estadístico de contraste ha de ser menor que el correspondiente al valor de la distribución de la 2 para 0.95 y un número de grados de libertad que es:
(número de intervalos)-(número de parámetros)-1=8-1-1=6
valor que resulta ser:
62 0 95 12 602( . ) .
que es mayor que el calculado para el estadístico de contraste, por lo cual podemos aceptar la hipótesis de que la distribución dada es de Poisson de media , con un nivel de confianza del 95%.
Estudio de la cola
En el estudio de un sistema de colas, interesa conocer la probabilidad de tener n usuarios en el sistema en el instante t , es decir:
P t P n t nn ( ) ( )
y también interesa conocer el límite de esta probabilidad:
lim P t Pt
n n
( )
18
Si este límite existe y es constante, el sistema es estacionario.
Ya dijimos que en un sistema de colas M/M/1 los tiempos de llegadas y de servicio son independientes y markovianos, con distribución Poisson-exponencial. Puesto que estas distribuciones son poissonianas, si tomamos un intervalo de tiempo h suficientemente pequeño, deben cumplir las siguientes hipótesis:
La probabilidad de que se produzca una llegada en el intervalo t t h, es de h h0( ) , donde la expresión 0( )h indica un infinitésimo de orden menor que el de h y es el parámetro de Poisson o tasa de llegadas (número medio de llegadas por unidad de tiempo).
La probabilidad de que se produzcan dos o más llegadas en el intervalo t t h, es de 0( )h .
La probabilidad de que un usuario sea servido en el intervalo t t h, si el sistema no está vacío es de h h0( ) , donde es la tasa de servicio (número medio de usuarios servidos por unidad de tiempo).
La probabilidad de que dos o más usuarios sean servidos en el intervalo t t h, si el sistema no está vacío es de 0( )h .
Sobre estas hipótesis trataremos de calcular Pn . Para ello veamos que ocurre con la probabilidad de que en el instante ( )t h el número de usuarios en el sistema sea n ; es decir:
P t h P n t h nn ( ) ( )
Para que en el instante ( )t h el número de usuarios en el sistema sea n caben las siguientes posibilidades:
Que hubiera n usuarios en el instante t y que en el intervalo h no haya llegado ninguno ni se haya servido ninguno:
P t h h h hn ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0
Que hubiera n usuarios en el instante t y que en el intervalo h haya llegado un usuario y se haya servido a un usuario:
P t h h h hn ( ) ( ) ( ) 0 0
Que hubiera n 1 usuarios en el instante t y que en el intervalo h no haya llegado ninguno y se haya servido a un usuario:
P t h h h hn 1 1 0 0( ) ( ) ( )
19
Que hubiera n 1 usuarios en el instante t y que en el intervalo h haya llegado un usuario y no se haya servido a ninguno:
P t h h h hn 1 0 1 0( ) ( ) ( )
(No es posible que el número de llegadas o servicios en el intervalo h sean superiores a uno, puesto que entonces h no sería suficientemente pequeño, lo cual constituye una de las hipótesis que verifica la distribución de Poisson).
Por tanto, la probabilidad de que en el instante ( )t h haya n usuarios en el sistema será la suma de las cuatro anteriores. Si agrupamos los términos en 0( )h , que tienden a 0( )h si h es suficientemente pequeño, y los términos en h2 los hacemos tender a cero, tenemos:
P t h P t h h P t h P t h hn n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 01 1
Todo lo dicho es válido para n 0 . Para el caso en que n 0 , la expresión anterior queda:
P t h P t h P t h h0 0 11 0( ) ( ) ( ) ( )
Tomando las dos últimas expresiones, podemos operar de la forma siguiente:
P t h P t P t h h P t h P t h
P t h P t P t h h P t hn n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0 0 1
0
0
Si dividimos ambas por h y tomamos límites cuando h 0 , tenemos las siguientes ecuaciones diferenciales:
d
dtP t P t P t P t
d
dtP t P t P t
n n n n( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
0 0 1
20
Si el sistema es estacionario, es decir, si existe lim P t Pt
n n
( ) y es finito, se
pueden resolver las ecuaciones diferenciales de la forma:
d
dtP t P P P
d
dtP t P P P P
n n n n( )
( )
0
0
1 1
0 0 1 1 0
Entonces, para n 1 será:
P P P P P P P2 1 0 0 0 2
2
2 0
Si aplicamos el método de inducción, suponiendo que es cierto para n , probaremos que es cierto para n 1:
P P P P P Pn n n
n
n
n
n
n
n
1 1 0
1
1 0
1
0
con lo que se ve que:
P Pn
n
n
1
1
1 0
Naturalmente, como se trata de probabilidades, para que esta solución sea válida debe ser:
Pnn
0
1
de forma que:
21
donde el sumatoria es la suma de los términos de una progresión geométrica
de primer término y razón . Esta suma, siempre que la razón sea
menor o igual a 1, vale:
y, entonces:
P Pn
nn
n
nn
00
0
0
11
1
lo cual sólo puede ser cierto para 1 . A este cociente lo denominamos e
indica la tasa de llegadas por unidad de servicio, y es lo que recibe el nombre de intensidad de tráfico. Entonces tenemos:
P Pnn n 0 1( )
Si 1 estamos en el caso degenerado en el que la cola crece indefinidamente. Si 0 1 entonces, a partir de un determinado momento tendremos una distribución estacionaria. Es posible demostrar que existe una distribución estacionaria si y sólo si 1 , es decir si , es decir, si la tasa de llegadas es menor que la tasa de servicio.
22
Medidas de eficacia en estado estacionario
Como anteriormente, veremos algunos parámetros relacionados con los usuarios y otros relacionados con el tiempo.
Sea N el número de usuarios en el sistema una vez que éste ha alcanzado el estado estacionario, y sea N q el número de usuarios en la cola en las mismas condiciones. Entonces, el número medio de usuarios en el sistema es:
L E N nP n nnn
n
n
n
n
0 0
1
0
1 1( ) ( )
La expresión n n
n
1
0 es la derivada de
n
n
0
1
1. Por tanto:
n
d
d
d
dn
n
n
n
1
0 02
1
1
1
1
L 1
1
12
Es decir, que el número medio de usuarios en el sistema en régimen estacionario es:
L
1
1
Y el número medio de usuarios en cola será:
L E N P n P nq q nn
n
n
n
n
0 1 1 101 1 1
( ) ( ) ( )
( )1
1
con lo cual:
Lq
2 2
1
También se puede establecer el número medio de usuarios en colas no vacías:
L E N n P N n Nq qn
( )1 22
( )( )
( )( )n
P N n
P Nn
P
P Pn
n
n
12
112 0 12
L
P Pq
1 0 1
De manera que:
23
Lq
2
2
1 1
1
Las medidas relativas al tiempo en un sistema en estado estacionario son:
Tq tiempo que un usuario pasa en cola.Wq tiempo medio que un usuario pasa en cola.
La función de distribución de Tq es:
y su media:
W E Tq q
Fórmulas de Little
Son un conjunto de fórmulas válidas siempre que el sistema sea estacionario y del tipo M/M/1:
Número medio de clientes en el sistema: L W
Número medio de clientes en la cola: L Wq q
Como
Wq
1
tenemos:
Lq
2 2
1
y como
W Wq
1 1
1
tenemos:
24
L 1
Ejemplos
La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. Los clientes llegan a la ventanilla con una tasa de 20 clientes por hora. Si se supone que las llegadas son de Poisson y los servicios exponenciales, se pide:
Porcentaje de tiempo en que el cajero está ocioso.Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.Fracción de clientes que deben esperar.
Si la atención a los clientes dura un promedio de 2 minutos, podemos decir que la tasa de servicio es de 30 clientes por hora. Como:
2
31
podemos afirmar que el sistema es estacionario.
En esta situación, el porcentaje de tiempo que el cajero está ocioso es igual a la probabilidad de que no haya ningún usuario en el sistema:
P0 1 0 3333 .
luego el cajero estará ocioso un 33.33% del tiempo.
El tiempo medio que un usuario pasa en la cola es:
Wq
20
30 100 0667. horas
es decir, 4 minutos.
25
Por último, la fracción de clientes que deben esperar es:
L
Lq
2
1
1
2
3
Otro ejemplo: Una tienda de alimentación es atendida por una persona. La llegada de clientes los sábados es un proceso de Poisson con una tasa de 10 personas por hora y los clientes son atendidos según una política FIFO con un tiempo medio de servicio de 4 minutos. Se pide:
Probabilidad de que haya cola.Longitud media de la cola.Tiempo medio de espera en cola.Probabilidad de que el cliente esté menos de 12 minutos en la tienda.
La tasa de servicio es de 15 clientes por hora. Como , el sistema es estable con 2
3 .
La probabilidad de que haya cola es:
P n t P P P Po( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 0 44440 1 0
La longitud media de la cola será:
Lq
2
1
49
13
4
313333.
El tiempo medio de espera en cola:
Wq
10
15 501333. horas
es decir, de 8 minutos.
Por último, la probabilidad de que un cliente está menos de 12 minutos en la tienda es equivalente a la probabilidad es la probabilidad de que el tiempo de espera más el de servicio sean menores que 12, lo cual tiene una distribución exponencial con parámetros , 1 . Por tanto:
P T e et 12 1 1 0 63211 15
1
3
12
60 ( ) .
26
COLAS TIPO M/M/C
Estudio de la cola
De acuerdo con la notación de Kendall, las colas tipo M/M/C corresponden a sistemas con llegadas markovianas de Poisson, con tiempos de servicio exponenciales (ambas independientes) y con C canales de servicio o servidores.
En este caso, si llamamos n al número de usuarios en el sistema en un instante dado, si es 0 n C , entonces la variable aleatoria Z t( ) que corresponde al número de usuarios que han salido del sistema (que han recibido servicio) hasta t se comporta como un proceso estocástico de Poisson de parámetro n . En cambio, si n C , Z t( ) se comporta como un proceso estocástico de Poisson de parámetro C .
Tomando un intervalo de tiempo infinitesimal h , según las mismas hipótesis que hemos manejado anteriormente, es evidente que:
La probabilidad de que se produzca una llegada en el intervalo t t h, es h h 0( ) donde, como ya sabemos, es la tasa de llegadas y 0( )h un infinitésimo del orden de h .
La probabilidad de que se produzcan dos o más llegadas en el intervalo t t h, es 0( )h .
La probabilidad de que un usuario sea servido en el intervalo t t h, es:
0 0
0 1
0
si n
n h h si n C
C h h si n C
( )
( )
siendo n el número de usuarios en el sistema en el instante t y la tasa de servicio por cada canal.
La probabilidad de que dos o más usuarios sean servidos en el intervalo t t h, es:
0 1
0 2
si n
h si n
( )
27
Entonces, siguiendo un razonamiento similar al de la página 12, tenemos para n 0 :
de donde, agrupando y simplificando, obtenemos:
P t h P t h P t h h0 0 11 0( ) ( ) ( ) ( )
P t h P t hP t hP t h0 0 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dividiendo por h y tomando límites cuando h tiende a cero, obtenemos:
d
dhP t P t P t0 0 1( ) ( ) ( ) ( )n 0 (*)
Análogamente, para 1 n C , tenemos:
P n t h n P t h P t h h n h h
P t h h n h h
P t h h n h h
P t h h n h h h
n n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 0
0 0
0 1 1 0
1 0 1 0 01
1
de manera que:
P t h P t h P t n h P t n h hn n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 0
de donde es fácil obtener:
d
dhP t P t n P t n P tn n n n( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 n C (**)
Por último, para n C se tiene:
P n t h n P t h P t h h C h h
P t h h C h h
P t h h C h h
P t h h C h h
h
n n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) * ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 0 1 0
0 0
0 1 0
1 0 0
0
1
1
28
Se emplea el símbolo C * para indicar que ese valor será C cuando n t C( ) y n cuando n t C( ) 1 . No obstante, es indiferente para los cálculos, puesto que, al estar multiplicado por infinitésimos, pasará al termino 0( )h .
Entonces,
P t h P t h P t C h P t C h hn n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 0
y, finalmente,
d
dhP t P t C P t C P tn n n n( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n C (***)
Si reunimos las tres ecuaciones diferenciales así logradas (*), (**) y (***), tenemos:
d
dhP t P t P t0 0 1( ) ( ) ( ) ( )n 0
d
dhP t P t n P t n P tn n n n( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 n C
d
dhP t P t C P t C P tn n n n( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n C
cuya resolución nos dará el comportamiento del sistema para cada instante.
No obstante, si suponemos que existe y es finito
P lim P tnt
n
( )
entonces, tomando límites en las ecuaciones diferenciales, tenemos:
0 0 1 P P n 0 (I)
0 11 1 P n P n Pn n n 1 n C (II)
0 1 0 1 P C P C Pn n n n C (III)
De la primera de estas igualdades, obtenemos:
P P1 0
29
Haciendo en (II) n 1 , obtenemos:
P P P P2 1 0
2
02 2
1
2
y, de la misma forma, para n C 2 :
P P P P3 2 1
3
02
3 3
1
3
!
y, de forma general, para 0 n C :
Pn
Pn
n
10!
Finalmente, de (III) obtenemos, para cualquier n C :
PC C
Pn n C
n
10
!
En resumen, hemos obtenido:
P
nP n C
C CP n C
n
n
n C
n
1
1
0
0
!
!
Ya sólo nos queda determinar P0 . Para ello emplearemos la condición de consistencia:
11 1
00
0
1
P Pn C C
nn
n
n
C
n C
n
n C! !
Si llamamos
r
a la intensidad de tráfico por canal, tenemos:
1 00
1
Pr
n
r
C C
n
n
C n
n Cn C! !
A su vez, para calcular el segundo sumatoria, llamamos
30
r
C
a la intensidad de tráfico global del sistema, y tenemos:
r
C C
r
C
r
C
r
C
r
C
r
C
r C
C C r
n
n Cn C
C n C
n Cn C
Cn C
n C
Cn
n
C C
! ! ! ! ! !
0
1
1
Entonces:
Pn C
C
C
n
n
C C
00
11
1 1
! !
Puede probarse que es condición necesaria y suficiente que para que el sistema sea estacionario que:
C
es decir, que la intensidad de tráfico por canal sea inferior al número de canales.
Medidas de eficacia en estado estacionario
El número medio de usuarios en cola es:
L E N n C P nP CPq nn C
nn C
nn C
nr
C CP C
r
C CP
n
n Cn C
n
n Cn C! !
0 0
Resolviendo estos sumatorias se obtiene:
L P
C Cq
C
0 21
!
31
A partir de este resultado, con las fórmulas de Little tenemos que el tiempo medio de espera en la cola es:
WL
el tiempo medio de permanencia en el sistema es:
W Wq 1
y el número medio de usuarios en el sistema es:
L W
Otra característica importante es la función de distribución del tiempo de espera en cola que se puede demostrar que es:
Ejemplos
Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de atender un promedio de 60 operaciones por hora con tiempos reales de servicio que se observan exponenciales. Los clientes llegan con una tasa de 100 por hora. Determinar:
Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el banco.Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso.Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la cola.
Tenemos un sistema con =100 usuarios por hora, =60 servicios por hora y C 2 . Como se verifica que C , podemos afirmar que el sistema es estacionario.
Entonces, la probabilidad de que haya más de tres usuarios es:
P n P P P P 3 1 0 1 2 3
donde sabemos que:
32
Pn C
C
C
n
n
C C
00
11
1 1
! !
11
2
2
21
100
60
1
2
100
60
120
120 1000 0909
2 12 1
!
.
Pn
P P
PC C
P P
n
n C
n
1 0 0
2 0
2
0
2
1 100
600 0909 01515
1 1
2
1
2
100
600 0909 01263
!. .
!. .
PC C
P Pn C
n
3 0
3
0
31 1
2 2
1
4
100
600 0909 01052
! !
. .
de forma que:
P n P P P P 3 1 0 52610 1 2 3 .
La probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso es:
P n P P 2 0 0909 01515 0 24240 1 . . .
La función de distribución del tiempo de espera en cola es
donde deberemos expresar la tasa de llegadas y la de servicio en unidades por minuto:
100
6016667. usuarios por minuto
60
601 usuario por minuto
Por tanto, la probabilidad de que un cliente permanezca más de tres minutos en la cola es:
donde
33
F
C
C C
PT
C
q( )
!
. .0 1 1
2100
60
2 2100
60
0 0909 0 24250
2
y entonces, la probabilidad pedida es:
P T
e
3 1
100
601
2 166670 0909 0 2425 0 2786
23 2 1 6667.
.. . .
Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos de investigación de seguridad vial cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de las carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los equipos son igualmente eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente exponencial.
El número de accidentes mortales en carretera sigue una distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes por año. Determínese:
Número medio de accidentes cuya investigación no ha comenzado.Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar.Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza la investigación.Número medio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado.
Estamos ante un sistema de colas con tasa de llegadas 300 accidentes por año o, lo que es lo mismo, 0 82. accidentes por día, con tasa de servicio 0 5. investigaciones por día y con C 3 canales de servicio.
El número medio de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es el número medio de usuarios en cola:
L P
C CP Pq
C
0 2 0
3
2 01
082
05082 05
2 15 08219555
!
.
.. .
. ..
donde:
Pn C
C
C
n
n
C C
00
11
1 1
! !
34
11
2
1
6
3
3
10 82
0 5
1
2
0 82
0 5
1
6
0 82
0 5
15
15 0 8201784
2 3 1
2 3 1
.
.
.
.
.
.
.
. ..
35
Así pues, el número de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es:
L Pq 19555 0 34890. .
El tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar es el tiempo medio de espera:
WL
0 3489
0820 4255
.
.. dias
El tiempo medio desde que se produce el accidente hasta que finaliza la investigación es el tiempo medio de permanencia en el sistema:
W Wq 1
2 4255
. dias
Por otra parte, el número medio de accidentes cuya investigación aún no ha finalizado es el número medio de usuarios en el sistema:
L W 19889.
Una clínica canina tiene 3 veterinarios para vacunar perros. El número de perros que llegan a la clínica sigue una distribución de Poisson con una tasa media de 12 por hora. El tiempo medio empleado en vacunar a cada perro es de 2 minutos. Determinar:
Porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía.Tiempo medio de espera.Tiempo medio de permanencia de los perros en la clínica.Número medio de perros en la clínica.Probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos para ser vacunado.
Estamos ante un sistema de colas con una tasa de llegadas de 12 usuarios por hora, una tasa de servicio de 30 servicios por hora y con C 3 canales de servicio. Como se cumple que
C
podemos afirmar que el sistema es estacionario.
36
El porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía es:
Pn C
C
C
n
n
C C
00
11
1 1
! !
11
2
1
6
3
3
2 3 1
112
30
1
2
12
30
1
6
12
30
90
90 120 6701
2 3 1
.
Es decir, el porcentaje de tiempo con la cola vacía es:
P0 67 01% .
El tiempo medio de espera es:
WL
donde
L P
C Cq
C
0 2
3
23
10 6701
12
3012 30
2 90 12127 10
!. .
luego el tiempo medio de espera será de:
Wq 106 10 0 38164. horas . segundos
El tiempo medio de permanencia en la clínica es:
W Wq 1 1
30106 10 0 0334 2 00644
. . horas . minutos
El número medio de perros en la clínica es:
L W 12 106 10 0 00134. .
37
Y, por último, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
P T P T P T
10
6001667 1 01667. .
P T P T P T
e
C CP F
CC
Tq
10
6001667 1 0 667 1
1
10
0 1667
0. .!
( )
.
donde es necesario expresar las tasas de llegadas y de servicio en unidades por minuto:
12
600 2. perros por minuto
30
6005. perros por minuto
Entonces:
F
C
C C
PT
C
q( )
!
.
.
.
.
. .0 1 1
30 2
05
6 30 2
05
0 6701 0 99180
3
y, entonces, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:
P T
e
10
601
0 50 2
0 51
2 15 0 20 6701 0 9918 0 0009
30 1667 1 5 0 2.
.
.
. .. . .
. . .
38
Cola tipo M/M/C/K
Esta cola responde a las mismas hipótesis que la cola genérica M/M/C con la limitación de que el número máximo de usuarios que se permiten simultáneamente en el sistema es K .
Para este tipo de colas se demuestra que, si existe el estado estacionario, se verifica:
Pn
C
CC
Pn
P n C
C CP C n K
n
n
C
C K C
n
n
n C
n
00
1
1
0
0
11
1
1
10
1
!!
!
!
Veamos un ejemplo: En un taller caben cuatro máquinas que son reparadas por dos mecánicos. Las máquinas llegan al taller como promedio una vez cada tres horas y el tiempo medio de reparación es de 45 minutos. ¿Cuál es el número medio de máquinas estropeadas en el taller?
Es evidente que se trata de un sistema con
0 3333 13333 2 4. . C K
Se sigue verificando que, como
C
0125 1.
el sistema es estacionario tenemos:
Pn
C
CC
n
n
C
C K C
00
1
1
11
1
1
!!
39
1
12
2 12
1
10 3333
13333
0 3333
133331
0 3333
2 6667
2 10 3333
2 6667
0 7778
2 3 2 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P P
PC C
P
PC C
P
PC C
P
1 0
2 0
2
0
2
3
3
0
3
4 2
4
0
4
0 3333
133330 7778 01944
1 1
2
0 3333
133330 7778 0 0243
1 1
4
0 3333
133330 7778 0 0030
1 1
8
0 3333
133330 7778 0 0004
.
.. .
!
.
.. .
!
.
.. .
!
.
.. .
Entonces, el número medio de máquinas estropeadas en el taller es:
L E n nPnn
0
4
01944 2 0 0243 3 0 003 4 0 0004 0 2536. . . . .
40
Cuadro resumen
Es evidente que la cola tipo M/M/1 es un caso particular de la cola M/M/C y ésta, a su vez, de la M/M/C/K, de forma que de las expresiones obtenidas para el caso M/M/C/K, haciendo C=1 y K=, obtenemos las expresiones correspondientes a la M/M/1. En el siguiente cuadro se presentan las expresiones correspondientes a los tres tipos de colas vistos hasta ahora:
M/M/1 M/M/C M/M/C/KP0
1
C
n
C
C
n
n
C C C ! !
0
1 11
1
C
n
C
C
n
n
CC k c
! !
0
1 11
1
1
Pn P Pnn 0
C
nP n C
C
CP n C
n
C n
!
!
0
0
C
nP n C
C
C CP C n K
n
o
n
n C
!
!
0
0
L 1
CP
CC1
1 2
C n C Pnn C
K
Lq
2
1
12PC n C Pn
n C
K
Wq
1 1
12 CPC
1
n C Pn
n C
K
W
1
1 1
11 2
P
CC 1 1
n C Pnn C
K
41
COLAS TIPO M/G/1
Estudio de la cola
Según la notación de Kendall, este tipo de colas viene caracterizado por un proceso de llegadas según una ley de Poisson de parámetro , mientras que los tiempos de servicio siguen una ley de tipo general, cuya función de distribución es F t( ) . Además, hay un único canal de servicio.
Si llamamos tn al instante en que se produce la salida del sistema del n-ésimo usuario, y
X n tn n
al número de usuarios que quedan en el sistema en el instante tn en que se produce la salida del n-ésimo usuario, lo primero que afirmaremos es que la familia
X n nN
es una cadena de Markov. Es decir, que
X X X X X Xn n n
d
n n 1 1 1 1, , ... ,
donde el símbolo d significa “converge en distribución”. Esto es cierto porque
n tt0
es un proceso estocástico con incrementos independientes y además es markoviano. Por consiguiente:
Si llamamos ahora An1 al número de clientes que llegan en el período de tiempo sn1 que dura el servicio al ( )n 1 -ésimo usuario, tendremos:
XX A si X
A si Xnn n n
n n
11
1
1 1
0
42
De forma que X n1 sólo depende de X n y An1 y, por tanto, es evidente que el proceso
X n nN
es un proceso estocástico de Markov.
Como las duraciones sn de los servicios son variables aleatorias independientes con función de distribución F t( ) , podemos llamar Dn al instante en que sale del sistema el n-ésimo usuario y, entonces, la variable aleatoria
A S t D t D tn n n n n n 1 1 1 1, ,
tiene la misma distribución que la variable aleatoria
N t t tn n 1 1,
que es el número de usuarios que han llegado al sistema en un intervalo de duración t , supuesto que el usuario ( )n 1 -ésimo sale del sistema en el instante tn1 , cuya distribución verifica:
N t t t N t Poisson tn n
d d
1 1, ( )
Es decir, An1 es independiente de X n , de Dn y de Dn1 . Entonces:
P A a s t
e t
aa
t a
!, , , ...0 1 2
Con lo anterior podemos deducir las probabilidades de transición de la cadena de Markov, que son:
43
Para i 0 , es evidente que cuando un usuario sale del sistema dejándolo vacío, el sistema continúa vacío hasta que llega el siguiente usuario. A partir de este instante, el número de usuarios que llegará vendrá dado por una distribución de Poisson de parámetro s . Entonces:
P P X j X P A j P X j X Pj n n n n j0 1 1 10 1
Fórmula de Pollaczek-Kintchine
La fórmula de Pollaczek-Kintchine, también conocida como fórmula P-K, es la que nos permite calcular las medidas de eficacia de un sistema de colas del tipo M/G/1.
Supongamos que existe la distribución estacionaria. Se puede demostrar que, como en casos anteriores es condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estacionario que
donde es la tasa de llegadas y la tasa de servicios (número medio de servicios por unidad de tiempo) que ya no es el parámetro de una distribución exponencial. Es decir, ahora conoceremos del proceso de servicio:
E s V s s 1 2
Si llamamos
L E XDn
( )
al número medio de usuarios en el sistema en estado estacionario, medido en los instantes de salida de los usuarios, por ser el sistema estacionario, será:
L E X E XDn n
( ) 1
Sabemos que X n1 es una función de X n y de A de la forma:
X X U X An n n 1 (*)
donde
U Xsi X
si Xnn
n
1 0
0 0
44
Entonces, tomando esperanzas matemáticas en la expresión (*), tenemos:
E X E X E U X E An n n 1
y , como las esperanzas matemáticas de X n1 y X n son iguales, tenemos, por el teorema de Fubini:
E U X E A E A s t f t dtn
( )0
t f t dt t f t dt E s( ) ( )0 0
es decir,
E U X E An
Si ahora elevamos al cuadrado la igualdad (*), tenemos:
X X U X A X U X AU X AXn n n n n n n 12 2 2 2 2 2 2
Si ahora tomamos esperanzas matemáticas teniendo en cuenta que
E X E Xn n 12 2 , tenemos:
0 2 2 22 2 E U X E A E X U X E AU X E AXn n n n n
De la definición de la función U X n , resulta:
U X U X X U X Xn n n n n2 y
Además, A y X n son independientes, con lo que resulta:
0 2 2 22 E U X E A E X E A E U X E A E Xn n n n
0 2 2 22 2 E A L LD D( ) ( )
LE A
D( )
2
2 1
2 2
45
Queda por calcular E A2 ; para ello tomamos la definición de varianza:
V A E A E A 22
E A V A E A V A22
2
Y para la varianza de A tomamos:
V A E V A s V E A s
E s V s s s
2 2 2 2
Entonces:
E A s2 2 2 2
L D s( )
2
2 1
2 2 2 2
y, simplificando, obtenemos la fórmula de Pollaczek-Kintchine, que es:
L D s( )
2 2 2
2 1
Si el sistema es estacionario, entonces el número medio de usuarios en el sistema en los instantes de salida debe ser igual al número medio de usuarios en el sistema en cualquier instante y, entonces:
L s
2 2 2
2 1
Aquí siguen siendo válidas las fórmulas de Little; por tanto, el tiempo medio de permanencia en el sistema será:
WL
el tiempo medio de espera en cola:
W Wq 1
46
y el tamaño medio de la cola:
L W Lq q
Distribución estacionaria en los puntos de salida
Como ya se dijo antes, si el sistema es estacionario, la probabilidad de que haya un determinado número de usuarios en el sistema en los puntos de salida debe ser igual a la probabilidad de que haya ese mismo número de usuarios en cualquier instante. Así pues, si calculamos la distribución de estas probabilidades en los puntos de salida, tendremos la distribución de las probabilidades Pn .
Es decir, si llamamos n a la probabilidad de que haya n usuarios en el sistema en el instante en que un usuario sale de éste en estado estacionario será:
P lim P n t nn nt
n
Estos valores n serán los componentes del vector límite de la distribución estacionaria del proceso de Markov ya descrito. Para calcularlos recordemos que:
P Pj j0 1
De la misma manera, podemos definir la probabilidad de que haya n llegadas al sistema entre dos puntos de salida:
de tal forma que se ve claramente que
P kij j i 1
47
con lo que la matriz de transición de la cadena de Markov queda de la siguiente forma:
P
k k k k
k k k k
k k k
k k
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2
0 1
0
0 0
...
...
...
...
... ... ... ... ...
y los n se calculan hallando:
lim Pn
n
para lo cual se emplean los procedimientos de análisis de procesos estocásticos.
Ejemplos
En cierto aeropuerto, el tiempo que un avión tarda en aterrizar desde que recibe autorización de la torre de control tiene de media 4 minutos y varianza 0.15, pero con distribución desconocida. Las llegadas de aviones al aeropuerto son de Poisson con una media de 8 aviones por hora. Calcular el tiempo medio de espera de un avión desde que llega al aeropuerto hasta que recibe la autorización para aterrizar.
La tasa de llegadas es 8
6001333. aviones por minuto, y la tasa de servicio
es de 1
40 25. , con s
2 015 . . Como es , el sistema es estacionario con
intensidad de tráfico
0 5333. .
El número medio de aviones en el sistema será:
L s
2 2 2 2 2
2 10 5333
0 5333 01333 015
2 1 0533308409.
. . .
..
48
El tiempo medio de espera será:
W WL
q 1 1 0 8409
01333
1
0 252 308
.
. .. minutos
Un profesor universitario quiere someter a sus alumnos a un examen oral. Se supone que el proceso se ajusta a una cola tipo M/G/1 con una duración media para cada examen de 9 minutos con varianza 90. Los alumnos se citan en intervalos de 12 minutos. Calcular el tiempo medio de espera de los alumnos antes de entrar al examen.
En este caso es alumnos por minuto, exámenes
por minuto y .
Entonces:
0 0833
011110 75 1
.
..
luego el sistema es estacionario.
El número medio de alumnos en el sistema será:
L s
2 2 2 2 2
2 10 75
0 75 0 08332 90
2 1 0 753124.
. .
..
y el tiempo medio de espera:
W WL
q 1 1 3124
0 08339 28 5
.
.. minutos
49
Colas tipo M/Ek/1
Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K.
Esta distribución resulta de sumar k variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , y su función de densidad es:
es decir, es una distribución gamma de parámetros k k, .
Por tanto, si la distribución es estacionaria,
K P A ne t
n
k
kt e dtn
t n kk k t
! !0
1
1
En este caso, es fácil demostrar que la intensidad de tráfico para el sistema es:
rk
por lo que la cola M/Ek/1 se puede considerar equivalente a la M/M/K.
50
Colas tipo M/G/1/N
Como indica la notación de Kendall, se trata de un sistema de colas con llegadas de Poisson y tiempos de servicio según una distribución de probabilidad cualquiera conocida, pero con una capacidad máxima de N usuarios en el sistema simultáneamente.
En este caso, la matriz de transición será del proceso estocástico asociado será de la forma:
P
k k k k A
k k k k A
k k k A
k A
k A
N N
N N
N N
0 1 2 1 1
0 1 2 1 1
0 1 2 2
1 1
0 0
0
0 0 0
0 0 0
...
...
...
... ... ... ... ... ...
...
...
donde
A k k k kj j j j ii j
1 1 2 ...
Entonces, en la distribución estacionaria, las probabilidades límite toman la forma:
01
1
1
1
1
ii
N
ii
ii
N
donde se tiene:
0
0
1
01
2
02
1
0 1
1
0
1
1
ii
i iik
k
k
k
k
k
k
k...
51
COLAS CON PARÁMETROS VARIABLES
Caso general
En muchos sistemas de colas donde intervienen seres humanos es necesario tener en cuenta el comportamiento de estas personas ante el sistema. Se da con frecuencia el caso de las personas que renuncian a esperar en cola, el de personas que rompen la disciplina de la cola, en que el gestor del sistema modifica los tiempos de servicio a la vista del número de usuarios en cola, etc.
Se hace, por tanto, necesario introducir este comportamiento humano en la modelización matemática del sistema. En general el comportamiento humano afectará a la tasa de llegadas y a la tasa de servicio y, normalmente, la variación de estas tasas será función del número de usuarios en el sistema, de tal forma que ya no tendremos tasas constantes, sino unas tasas variables:
n nf n g n ( ) ( )
La obtención de las ecuaciones que regulan este tipo de sistemas se hace de forma análoga al procedimiento empleado hasta ahora, partiendo de :
d
dtP t P t P t
d
dtP t P t P t P t
o
n n n n n n n n
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 1 1
1 1 1 1
de forma que se puede demostrar que es condición necesaria y suficiente para que exista la distribución estable que:
Entonces se obtiene:
A continuación veremos algunos de las colas más interesantes de este tipo. Además veremos los casos en que el número de canales de servicio es variable y el caso en que haya pérdidas en función de la cola.Cola con desaliento
Es el caso en el que algunos individuos, al llegar al sistema y observar que existe un cierto número de usuarios en cola, desiste de acceder al sistema. En
52
este caso, las tasas de llegadas y de servicio puede ser modelizada de la forma:
n
n
nn
n
1
0 1 2, , , ...
En este caso, tendremos:
de tal forma que la probabilidad de que el número de usuarios en el sistema en un momento dado sea n sigue una distribución de Poisson de media igual a la intensidad de tráfico .
Cola binomial
En este caso supondremos que el tamaño de la cola (del dispositivo de espera) es limitado, de forma que el número máximo de usuarios en cola simultáneamente es N , y que la tasa de llegadas es función del tamaño del dispositivo de espera y de la cantidad de usuarios en cola, es decir, del espacio disponible en el dispositivo de espera:
n
n
N n
N nn N
n N
( )10
53
Entonces,
de tal forma que la probabilidad de que el número de usuarios en el sistema en un momento dado sea n sigue una distribución binomial.
También existe la llamada cola binomial negativa. Se da esta cola cuando las tasas de llegada y servicio son de la forma:
n
n
N n
N n
( )1
en cuyo caso se obtiene
PN
PN
n N N
N
n
N n
0 11
11 1
Cola con desaliento dependiente del tiempo de servicio
Como su propio nombre indica, se da este tipo de cola cuando la tasa de llegada depende no sólo del número de usuarios en el sistema, sino del tiempo de servicio, de forma que a mayor tiempo de servicio, menos probabilidades de llegadas hay, y suele ser de esta forma:
n
n
n
e n
0 0,
54
En este caso se obtiene:
donde .
Cola con tasa de servicio dependiente del estado
Se da este tipo de cola en aquellos casos en los que el supervisor del sistema presiona a los servidores para que acorten el tiempo de servicio a medida que aumenta el número de usuarios en el sistema. En estos casos se dice que la tasa de servicio está afectada por un coeficiente de presión que suele ser de la forma n . En este caso, las tasas son:
n
n n
de forma que:
En el caso particular en que tengamos 1 ,
P e
P enn
n
0
!
que modeliza un sistema de colas con infinitos servidores, modelo que se adapta muy bien a algunos sistemas de autoservicio.
55
Cola con servidor adicional cuando la cola es grande
Este caso trata de aquellas situaciones en las que el número de canales de servicio es:
C n N
C n N
1
2
siendo las tasas de llegada y servicio constantes e iguales a y respectivamente. Entonces tenemos:
P
PP n N
P n N
N
n
n
n Nn
0 1
0
0
1 2
1
11
2
Colas con pérdidas
Este tipo de sistemas de colas se da cuando tenemos un sistema con un número limitado de usuarios en el sistema simultáneamente, y tal que aquellos usuarios que intentan acceder al sistema cuando la cola está llena producen pérdidas.
Este modelo se adapta bien al caso de una central telefónica con C líneas; en este sistema, las llamadas que intentan acceder a la central cuando todas las líneas están ocupadas se pierden. El sistema respondería a la notación de Kendall G/G/C/C. El objetivo al diseñar un sistema de este tipo es minimizar la probabilidad de perder usuarios.
Para ello, es necesario calcular cuál es la probabilidad de perder un usuario. En efecto, supongamos un sistema de colas del tipo G/M/C/C, en el que la tasa de llegadas sea
n f n ( )
y con servicio de tipo exponencial, con tasa
n
56
En este caso, en estado estacionario tenemos:
0 0 1
1 1 1
1 1
1 0
P P
n P P n P n C
CP P n Cn n n n n
C C C
( )
sistema que resuelto da los siguiente:
La probabilidad de perder un usuario es la probabilidad de que el sistema esté lleno en el instante en que llega dicho usuario, es decir, en estado estacionario, será igual a PC .
que resulta ser igual a la proporción esperada de usuarios perdidos. A la expresión de esta proporción se la conoce con la fórmula de EngsetO´Dell. Si particularizamos para el caso de la cola M/M/C/C, es decir, para n , tenemos:
57
donde r es la intensidad de tráfico por canal. Entonces, la proporción de usuarios perdidos será:
A esta expresión se la conoce como fórmula de pérdida de Erlang.
Problema de las máquinas
Un tipo de sistema de colas que tiene especial interés es el que responde al modelo que se ha dado en llamar problema de las máquinas, cuyo enunciado general es el siguiente:
Supongamos que una fábrica dispone de M máquinas que se usan en intervalos de tiempo cuya duración tiene distribución exponencial de media 1
. Supongamos que existen m máquinas trabajando en el instante t . La probabilidad de que el servicio de mantenimiento de la fábrica llame a una de esas máquinas a reparar en el intervalo t t t, es:
m t t 0
donde 0 t es un infinitésimo de orden inferior al de t . La duración del tiempo de mantenimiento de las máquinas sigue una distribución exponencial de media 1 y para estas tareas la fábrica cuenta con C equipos de mantenimiento (que aquí hacen el papel de canales de servicio).
Interesa calcular el número medio de máquinas que no están trabajando en el instante t . O bien, la probabilidad de que en un instante cualquiera, el número de máquinas inactivas sea igual a n .
Veamos en primer lugar que la tasa de llamadas a reparar (que es la tasa de entrada en el sistema de mantenimiento) es:
n m M n
siendo n el número de máquinas inactivas. Por otra parte, la tasa de reparación (que es la tasa de servicio del sistema de mantenimiento) es:
n
n n C
C n C
1
Si llamamos N t( ) al número de máquinas inactivas en el instante t , lo que pretendemos calcular es:
P t P N t n N in ( ) ( ) ( ) 0
58
y, más concretamente, el valor de:
P lim P tnt
n
( )
si es que existe situación estacionaria.
Si establecemos las ecuaciones en diferencia de forma adecuada, tendremos:
MP P n
M n n P M n P n P n C
M n C P M n P CP C n Mn n n
n n n
0 1
1 1
1 1
0
1 1 1
1
de donde obtenemos en situación estacionaria
P
M
nP n C
M
n
n
C CP C n M
n
n
n Cn
0 0
!
!
En el caso particular en el que sólo exista un único equipo de mantenimiento C 1 , entonces:
P
M
M nP n Mn
n
!
! 0 0
En este tipo de problemas se definen los conceptos de disponibilidad de máquinas (proporción media de máquinas disponibles):
1
E N
M
y de utilidad operativa del taller:
nP
CPn
n
C
nn C
M
0 1
magnitudes que suelen estar tabuladas para diferentes valores de M y de . También se definen y tabulan otros parámetros como el coeficiente de pérdidas, que es el cociente entre el número medio de máquinas que están trabajando y el número total de máquinas, o el coeficiente de pérdidas de los equipos de mantenimiento, que es el cociente entre el número medio de equipos de mantenimiento ociosos y el número total de equipos de mantenimiento.
59
REDES DE COLAS
Redes de colas abiertas
Una red de colas es un conjunto de vértices o nodos conectados por un conjunto de caminos, en los que cada nodo es un sistema de colas con uno o varios servidores, de tal forma que los usuarios que salen de uno de los sistemas de colas entran en otro situado en otro nodo, estando estos nodos conectados en una combinación serie-paralelo, donde cada servicio se resuelve de manera independiente.
Estas redes sirven para modelizar aquellos sistemas en que los usuarios necesitan ser servidos por varios servidores diferentes. Casos típicos son las redes de ordenadores, la secuenciación de tareas en la línea de ensamblaje de una fábrica, etc. En la práctica generalmente se consideran solamente redes de colas de tipo markoviano.
El primer tipo de redes de colas que consideraremos es el de las colas en tándem, o redes de colas en serie, que responden muy bien como modelos de las cadenas de montaje, de los reconocimientos médicos por varios especialistas, intersecciones de tráfico, etc.
Comenzaremos por el caso más sencillo que consiste en dos servidores, es decir, dos sistemas de colas, conectados en serie. Los usuarios llegan al primer servidor de la red de forma poissoniana, con tasa y, una vez que son servidos, pasan al segundo servidor. Existen, por tanto dos procesos: N t1 ( ) que es el número de usuarios en el primer sistema de colas en el instante t y N t2 ( ) que es el número de usuarios en el segundo sistema en el instante t . Analizaremos el proceso conjunto N t N t1 2( ), ( ) como un proceso estocástico cuyo espacio de estados es:
n n n n1 2 1 2 0 1 2 3, , , , , , ...
Interesa conocer
P P N n N nn n1 2 1 1 2 2 ,
es decir, la probabilidad de que, en estado estacionario, el número de usuarios en el primer sistema sea n1 y en el segundo sea n2 . Se puede demostrar que esta probabilidad límite existirá si y sólo si
1
12
2
1 1 y
donde 1 y 2 son las tasas de servicio de los dos sistemas de colas. Si en este sistema establecemos las probabilidades de forma similar a como hemos
60
hecho en los sistemas de colas anteriores, obtendremos las siguientes ecuaciones:
P P
P P P n
P P P n
P P P P n n
n n n
n n n
n n n n n n n n
00 2 01
2 0 1 1 1 2 0 1 2
1 0 2 1 1 0 1
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 2 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
0
0
0
, ,
,
, , , ,
cuya solución fue dada por R. R. P. Jackson en 1954 y es la siguiente:
P P n n
P n nP n n
n nn n
n nn n1 2
1 2
1 2
1 21 2 00 1 2
00 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
0
1 1 01 1
,
,
Para el caso general de S nodos en serie, tendremos:
Pn n n i in
i
S
S
i
1 21
1, ,...,
Redes de colas abiertas
Supongamos una red en la que existen K vértices de tal forma que el vértice i -ésimo tiene Si servidores; supongamos que a cada vértice llegan los usuarios con tasa i y son servidos con tasa i . Después de ser servido en el vértice i , el usuario pasa al vértice j con probabilidad ij , y sale de la red con probabilidad
1 01
ijj
K
61
La red se llama abierta porque existe una probabilidad no nula de que un usuario salga de la red. Interesa conocer la distribución de probabilidad límite Pn n nk1 2, ,..., del número de usuarios en cada vértice en estado estacionario. En 1957, J. R. Jackson (diferente a R. R. P. Jackson mencionado en la página anterior) demostró que:
P P n P n P nn n n K kk1 2 1 1 2 2, ,..., ( ) ( ) ... ( )
a partir de lo cual dedujo:
P r
Pr
r S
PS S
r S
i
i
i
i
r
i
i
i
i
r
ir S
i
ii
( )
( )!
( )!
0 0
0
siendo los i conocidos como la tasa efectiva de llegadas al vértice i , cuyos valores son las soluciones al sistema de ecuaciones:
i i ij jj
K
i K
1
1 2, , ... ,
A esta solución para las redes de colas abiertas se la conoce como Teorema de Jackson.
Redes de colas cerradas
Es una variante de la anterior, en la que la probabilidad de que un usuario salga del sistema es nula; es decir,
1 01
ijj
K
Entonces, el número de usuarios en la red N permanece constante. Bajo estos supuestos, se puede demostrar que:
P CP
n n nn n nin
i ii
K
K
i
1 21 1 2 21
, ,..., ( ) ( )... ( )
62
donde j jn min n S( ) , y además se satisface que
r r rSr
S Sr SS
r K 1 2, , ... ,
Para determinar la constante C se emplea la condición de consistencia:
Pn n nK1 21, ,...,
Redes de colas cíclicas
Una red de colas con K vértices se dice cíclica si se comporta de forma que los usuarios se mueven siempre desde el vértice i al i 1 , para 1 i K , y desde el vértice K pasan al 1. Para este tipo de redes se pueden establecer las siguientes relaciones:
1 1
2 2 1 1
3 3 2 2
1 1
21
21
32
32
1
33
11
K K
K K K KK
K
... ...
y, en la distribución límite:
P Cn n nN
K
n
i
K
K
i
1 2 11
2, ,...,
donde C se determina por normalización.
63
