Guía de Matemáticas

CLEI IV

Juan Diego Vergara García

Docente

Tabla de Contenidos

Datos Generales ................................................................................................................. iv

Objetivo de Aprendizaje ................................................................................................ iv

Introducción ................................................................................................................... iv

¿Qué voy a aprender? .......................................................................................................... 6

Lo que estoy aprendiendo ................................................................................................... 7

Productos Notables ......................................................................................................... 7

Cuadrado de un binomio. ............................................................................................ 7

Cubo de un binomio. ................................................................................................... 9

Producto de la suma por la diferencia de dos términos. ........................................... 10

Producto de binomios con un término en común. ..................................................... 11

Practico lo que aprendí ...................................................................................................... 12

¿Cómo sé que aprendí? ..................................................................................................... 12

¿Qué aprendí? ................................................................................................................... 12

iv

Datos Generales

En esta guía encontrarás teoría,

ejemplos, ejercicios de práctica, ejercicios

para entregar y una autoevaluación relacionada

con álgebra, específicamente de productos notables.

Primero, realiza la sección ¿Qué voy a aprender? En la cual podrás explorar tus

conocimientos previos, la cual servirá de base para seguir aprendiendo o afianzar tus

conocimientos. Realizarlo correctamente o no, no tiene calificación numérica, pero el

hacerlo sí se tendrá en cuenta para la evaluación.

Luego, lee detenidamente la sección Lo que estoy aprendiendo y revisa muy bien

los ejemplos dados. Si quieres toma nota en tu cuaderno.

Posteriormente, en la sección Practico lo que aprendí encontrarás diversos

ejercicios para que practiques lo aprendido; estos no se tendrán en cuenta para la

calificación.

Objetivo de Aprendizaje

Desarrollar los productos notables de manera concreta,

pictórica y simbólica:

• Transformando productos en sumas y viceversa.

• Aplicándolos a situaciones concretas.

• Completando el cuadrado del binomio.

• Utilizándolas en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

Introducción

v

No obstante, en la sección ¿Cómo sé que aprendí? Estarán algunos ejercicios

disponibles para que demuestres lo aprendido; estos serán tenidos en cuenta para la

calificación.

Finalmente, en la sección ¿Qué aprendí? Habrá una lista de chequeo que permitirá

que realices una autoevaluación del trabajo realizado.

Igualmente, se aclara que como evidencias deberás enviar la solución de las

secciones ¿Cómo sé que aprendí? Y ¿Qué aprendí? Teniendo como plazo máximo el

sábado 20 de junio de 2020 (hasta medianoche). Además, recuerda que si tienes alguna

duda puede consultarla por medio del WhatsApp 3127655379 los días hábiles de lunes a

viernes desde las 4:00 p.m. hasta la 8:00 p.m.

6

1. ¿Cómo resolverías la multiplicación (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)? ¿su resultado es 𝒙𝟐 +

𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐? Justifica tu afirmación.

2. ¿Cómo resolverías la multiplicación (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)? ¿es lo mismo

que resolver (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)? Justifica tu respuesta.

3. Una finca está parcelada tal como muestra la

figura. En cada región sembraron diferentes productos. ¿Qué

área corresponde al cultivo de espinacas? ¿Cuál es la

expresión que permite determinar el área total de la finca?

¿Qué voy a aprender?

7

Los productos notables son

regularidades que se pueden calcular sin necesidad de aplicar el algoritmo de la

multiplicación.

Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del

primer término más (o menos si el binomio es una diferencia) el doble producto del primer

término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Matemáticamente:

Si el binomio es una suma Si el binomio es una diferencia

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Geométricamente, se puede representar como el área de un cuadrado de lado 𝑎 + 𝑏

Escribe las medidas que faltan en el cuadrado ABCD y luego completa el cálculo

del área.

Lo que estoy aprendiendo

Productos Notables

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Ejemplo 1. Observa la solución del producto notable (𝑚 + 𝑛)2

Se eleva el primer término al cuadrado 𝒎𝟐

Se halla el doble producto del primer y el segundo término 𝟐𝒎𝒏

Se eleva el segundo término al cuadrado 𝒏𝟐

Se aplica la definición de la suma 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎𝒏 + 𝒏𝟐

Ejemplo 2. Observa la solución del producto notable (3𝑥 − 2𝑦)2

Ejemplo 3. En la siguiente igualdad, ¿qué número debe ir en cada recuadro?

9

Cubo de un binomio. El cubo de un binomio corresponde a la multiplicación de

un binomio por sí mismo tres veces y es igual a al cubo del primer término, más (o menos

si el binomio es una diferencia) el triple producto del cuadrado del primer término por el

segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término,

más (o menos si el binomio es una diferencia) el cubo del segundo término.

Matemáticamente:

Si el binomio es una suma Si el binomio es una diferencia

(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂3 − 3𝒂2𝒃 + 3𝑎𝑏2 − 𝒃3

Gráficamente, se puede

representar como el volumen de un cubo

de arista 𝑎 + 𝑏

Al descomponerlo en cubos y prismas

más pequeños, se obtienen los siguientes

cuerpos con sus respectivos volúmenes:

Al sumar los volúmenes de cada cuerpo se obtiene el volumen del cubo original.

Ejemplo 1. Observa la solución del producto notable (4𝑥 − 5)3

10

Ejemplo 2. Si la roca tiene forma de cubo, ¿cuál es su volumen?

Producto de la suma por la diferencia de dos términos. El producto de la suma

por la diferencia de dos términos es equivalente a la diferencia entre el cuadrado del primer

término y el cuadrado del segundo término. Matemáticamente:

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

Geométricamente corresponde al área de un rectángulo de lados 𝑎 + 𝑏 y 𝑎 − 𝑏.

Escribe las medidas que faltan en el rectángulo DEFG y luego completa.

11

Ejemplo 1. Observa la solución del producto notable (2𝑥2 + 5)(2𝑥2 − 5)

Ejemplo 2. ¿Cuál es el área A del rectángulo ABCD?

Producto de binomios con un término en común. El producto de dos binomios

con un término común (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) es igual al cuadrado del término común (𝑥2), más

el producto de la suma de los dos términos no comunes por el término común (𝑎 + 𝑏)𝑥,

más el producto de los términos no comunes (𝑎𝑏). Matemáticamente:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Gráficamente, se puede representar como el volumen

de un cubo de arista 𝑎 + 𝑏

12

Al descomponerlo en cubos y prismas más pequeños, se

obtienen los siguientes cuerpos con sus respectivos

volúmenes:

Ejemplo 1. Observa la solución del producto notable (𝑥 + 4)(𝑥 + 9)

Ejemplo 2. Observa la solución del producto notable (𝑦3 − 5)(𝑦3 + 8)

Ejemplo 3. Calcula el producto 17 ∙ 13 usando el producto notable (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)

13

Ejemplo 4. ¿Cuál es el área A del rectángulo EFGH?

14

Practico lo que aprendí

15

16

1. ¿Cómo calcularías el resultado de (𝑎 + 𝑏 − 1)(𝑎 + 𝑏 + 1)? Explica.

2. Se construyó una caja de base cuadrada a partir de un cuadrado de 20 𝑐𝑚 de

lado, recortando cuadrados de lado 𝑥 en las esquinas, como se muestra a continuación:

a. ¿Cuál es la medida de la arista en su base?

b. Remarca el producto notable que se relaciona con el área de la base de la caja y

luego calcúlalo.

c. ¿Cuál es el área total de la red de la caja? Explica cómo lo calculaste.

d. Si luego de finalizar lo anterior se construye una nueva caja, pero con forma de

cubo y el área de una de sus caras es (50– 𝑦)2 𝑐𝑚2, ¿qué expresión representa cada una de

sus aristas? ¿Cuál será el volumen de esta caja?

¿Cómo sé que aprendí?

(20 − 2𝑥)2 (20 − 𝑥)2

(20 + 𝑥)2 (20 + 2𝑥)2

17

3. Una fotografía con forma rectangular se pondrá en un

cuadro como el que se muestra a continuación:

a. ¿Es correcto afirmar que los lados de la fotografía

miden (𝑥– 𝑧) 𝑐𝑚 y (𝑦– 𝑧) 𝑐𝑚? Explica.

b. ¿Cuántos 𝑐𝑚2 tiene la fotografía?

4. Detecta el error cometido en la resolución del siguiente ejercicio y luego

corrígelo

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Es momento de autoevaluar tu desempeño. Coloca un ✓ según corresponda.

Criterio Siempre Casi

siempre

Algunas

veces

Casi

nunca Nunca

Calculo el cuadrado de un binomio.

Calculo el cubo de un binomio.

Aplico la suma por su diferencia.

Aplico el producto de binomio con

un término en común

Demuestro interés, esfuerzo,

perseverancia y rigor frente a la

resolución de problemas y

ejercicios.

Comprometido con el proceso de

formación académico.

Organizo cronograma para el

desarrollo de todas las actividades

tanto académicas como personales.

¿Qué aprendí?