Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas y solicitaciones de una barra 1 Cálculo...
Transcript of Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas y solicitaciones de una barra 1 Cálculo...
Desplazamientos y solicitaciones de una barra
1
Cálculo matricial de pórticos biempotrados
a dos aguas
1. Hipótesis de cálculo.
Se verifica la ley de Hooke, lo que significa que en las estructuras los
desplazamientos son proporcionales a las fuerzas aplicadas.
Los desplazamientos son pequeños en relación con las dimensiones de la
estructura. En el proceso de carga de la estructura, ésta se deforma, pero al ser las
deformaciones pequeñas comparadas con las dimensiones de la estructura, se
desprecian los cambios que las cargas producen, considerándose que la estructura
mantiene su forma y dimensiones primitivas.
Al verificarse la ley de Hooke y la hipótesis de pequeños desplazamientos, el
principio de superposición es aplicable a estas estructuras y, en consecuencia, los
efectos que en un sistema de cargas ejercen sobre una estructura es igual a la suma
de los efectos que ejercen esas mismas cargas actuando por separado.
Se supone también el principio de unicidad de las soluciones, según el cual
son únicos los desplazamientos y las solicitaciones originadas en una estructura por
un determinado estado de cargas.
2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.
Consideremos una barra AB que pertenece a una estructura, y sean E y G
sus módulos de elasticidad longitudinal y transversal. Supongamos que a esta barra
AB se le provocan por separado los siguientes desplazamientos en sus extremos:
Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.
Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.
Desplazamiento angular de flexión del extremo A.
Desplazamiento angular de torsión del extremo A.
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
2
Para provocar cada uno de estos desplazamientos es necesario aplicar
determinadas solicitaciones en las secciones extremas A y B, solicitaciones tanto
mayores cuanto mayor sea la rigidez de la barra a ese desplazamiento.
A continuación se determinan las solicitaciones así definidas en una barra de
longitud L y sección transversal constante. La generalización a una barra de sección
variable supone una mayor complicación operativa pero no conceptual.
2.1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.
Figura 1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.
Sea A el área de la sección transversal de la barra AB (figura 1). Para que el
extremo A de la barra experimente un desplazamiento longitudinal A respecto al
extremo B es preciso que, en las secciones A y B, actúen las fuerzas normales NAB y
NBA. Teniendo en cuenta que:
AE
LNABA
resulta que para provocar el desplazamiento longitudinal A es preciso aplicar en A y
B las fuerzas normales:
ABAAB L
AENN
[1]
2.2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.
Siendo I el momento de inercia Iz de la sección transversal de la barra AB
(figura 2), supongamos ahora que el extremo A experimenta un desplazamiento
transversal A respecto al extremo B, y que además a ninguna de las dos secciones
extremas se les permite girar. Ello exige aplicar en el extremo A las solicitaciones
TAB, MAB y en el extremo B las solicitaciones TBA, MBA. De las ecuaciones de la
Estática:
Desplazamientos y solicitaciones de una barra
3
0MB 0MMLT BAABAB
0Fy 0TT BAAB
y por tanto L
MMTT BAAB
BAAB
Figura 2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.
A una distancia x de la extremidad A, el momento flector es (figura 3):
xL
MMMxTMM BAAB
ABABABz
Figura 3. Momento flector en una sección x.
Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B obtenemos:
B,A
L
0
BAABAB
zBA 0
IE
dxxL
MMM
IE
dxM
Suponiendo que la sección transversal es constante,
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
4
02
x
L
MMxM
L
0
2BAABL
0 AB
02
LMMLM BAABAB
02
LM
2
LM BAAB
Por tanto, BAAB MM
Aplicando ahora el segundo teorema de Mohr entre A y B:
B,A
L
0 A
ABAB
AzB,A IE
dxxxL
M2M
IE
dxxM
A
2
AB
2
AB 3
LM2
2
LM
IE
1
IE6LM 2
ABA
y por tanto A2AB L
IE6M
y A3AB L
IE12T
.
En resumen, para provocar el desplazamiento transversal A es preciso
aplicar en A y en B las solicitaciones:
A3BAAB L
IE12TT
[2]A2BAAB L
IE6MM
2.3. Desplazamiento angular de flexión del extremo A.
Para que la barra AB experimente únicamente el giro de flexión A en su
sección extrema A (figura 4) es necesario aplicar las solicitaciones MAB, TAB en el
extremo A y las solicitaciones MBA, TBA en el extremo B. A una distancia x de la
extremidad A, el momento flector es:
xTMM ABABz
Desplazamientos y solicitaciones de una barra
5
Figura 4. Desplazamiento angular de flexión en el extremo A.
Aplicando el segundo teorema de Mohr:
B,A
L
0
ABABAzB,A 0
IE
dxxxTM
IE
dxxM
L
0
2AB
L
0 AB 0dxxTdxxM
03L
T2L
M3
AB
2
AB
L2
M3T AB
AB
Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B:
B,A
L
0
ABABzAB,A IE
dxxTM
IE
dxM
2
LTLM
IE
1 2
ABABA
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se
obtiene:
AAB L
IE4M
A2AB L
IE6T
De las ecuaciones de la Estática:
0MB 0MMLT BAABAB
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
6
ABA L
IE2M
Desplazamientos y solicitaciones de una barra
7
0Fy 0TT BAAB
A2BAAB L
IE6TT
En resumen, para provocar el giro A es preciso aplicar en A y en B las
solicitaciones:
A2BAAB L
IE6TT
[3]AAB L
IE4M
ABA L
IE2M
2.4. Desplazamiento angular de torsión del extremo A.
Finalmente, sea It el momento de inercia equivalente de torsión de la sección
transversal de la barra AB (figura 5).
Figura 5. Desplazamiento angular de torsión del extremo A.
Para que el extremo A experimente un giro de torsión A respecto al extremo
B es preciso que en las secciones A y B actúen momentos torsores iguales y opuestos A
tM y BtM . Teniendo en cuenta que:
t
At
A IG
LM
resulta que para provocar el giro de torsión A es preciso aplicar en A y en B los
momentos torsores
AtB
tAt L
IGMM
Método de cálculo
9
3. Método de cálculo.
Como método de cálculo vamos a seguir el método de los desplazamientos,
en el que las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura.
Y para estudiar el método, y ver como se determina la matriz de rigidez del
pórtico, se va a sistematizar. En primer lugar hay que hallar la matriz de rigidez de
cada una de las barras que componen la estructura, referidas a unas coordenadas
locales propias de cada barra. Posteriormente todas estas matrices se refieren a
unas coordenadas globales propias de la estructura, para finalizar agrupándolas en
la matriz de rigidez del pórtico, en la cual quedan incorporadas las condiciones de
compatibilidad y de equilibrio de todos los nudos.
3.1. Sistemas de ejes coordenados.
En una estructura continua plana se utiliza un sistema de ejes globales XG, YG
para toda la estructura y un sistema de ejes locales XL, YL para cada barra.
Figura 6. Ejes locales y globales en un pórtico biempotrado.
Tanto en un sistema como en otro, el eje X es el eje longitudinal de la barra y
el eje Y se obtiene girando 90º el eje X en sentido sinextrorsum (a izquierdas).
En el sistema de ejes locales de una barra 1-2, el eje X coincide con la
directriz de la barra y su sentido positivo es el de avance desde el extremo que se
considera origen –1– hasta el extremo final –2–. A este sistema de ejes se refieren
las solicitaciones y los desplazamientos de la barra.
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
10
En el sistema de ejes globales del pórtico se refieren las coordenadas de sus
nudos, sus desplazamientos, las fuerzas que equilibran sus nudos y las cargas que
actúan sobre la estructura.
3.2. Vectores de desplazamientos y de fuerzas.
Los nudos de una estructura experimentan desplazamientos y están
sometidos a fuerzas externas. Análogamente, los extremos de cualquier barra de la
estructura experimentan desplazamientos y están sometidos a fuerzas internas o
solicitaciones. Todos estos desplazamientos de los nudos y de los extremos de las
barras y todas las fuerzas internas y externas se representan por matrices columna,
que constituyen los vectores de desplazamientos y de fuerzas.
3.2.1. Desplazamientos y fuerzas internas de un nudo.
i
XG
YG
Figura 7. Desplazamientos de un nudo.
YG
XGPi
PP
M
Figura 8. Fuerzas externas sobre un nudo.
Un nudo rígido puede experimentar un desplazamiento longitudinal y un
desplazamiento angular (figura 7). Los sentidos positivos de las componentes x, y
del desplazamiento son los que coinciden con los sentidos positivos de los ejes
globales XG, YG. El sentido positivo del giro es el sentido sinextrorsum. Los
desplazamientos del nudo i se representan por el vector {di}G, definido por
G
y
x
Gid
Las fuerzas externas que actúan sobre el nudo i son, en general, la fuerza P y
el par de momento M (figura 8). Análogamente, los sentidos positivos de las
componentes Px, Py de la fuerza P coinciden con los sentidos positivos de los ejes
globales XG, YG. El sentido positivo del momento M es el correspondiente a un giro
Método de cálculo
11
sinextrorsum. Las fuerzas externas sobre el nudo i se representan por el vector {Pi}G,
definido por:
G
y
x
Gi
M
P
P
P
3.2.2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.
22
YL
2
2
XL3
3 3
3
N23
M23
2T23
YL
T32
3 N32
M32
XL
Figura 9. Desplazamientos y solicitaciones en una barra 2-3.
Sea la barra 2-3, que pertenece a un pórtico objeto del estudio. Se adopta el
extremo –2– como origen de la barra y se representan el sistema de ejes locales, las
solicitaciones y los desplazamientos de sus extremos. Se consideran positivos los
desplazamientos longitudinales y transversales dirigidos según los sentidos
positivos de los ejes locales XL, YL. Sucede igual con los sentidos positivos de las
fuerzas normales N y de las fuerzas cortantes T.
Así mismo, los sentidos positivos de los giros de las secciones extremas y
de los momentos flectores son los correspondientes a giros sinextrorsum.
Los desplazamientos de los extremos 2 y 3 de la barra se representan por los
vectores {d2}L y {d3}L, definidos por:
L2
2
2
L2d
L3
3
3
L3d
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
12
Análogamente, las solicitaciones en los extremos 2 y 3 se representan por los
vectores {S2}L y {S3}L, definidos por:
L23
23
23
L2
M
T
N
S
L32
32
32
L3
M
T
N
S
3.3. Matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales.
1 21
23 5
4
6
(a)
1
S2S3
S1 (b)
S6S5
2 S4
Figura 10. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.
En la figura 10 a) se representa una barra 1-2 de sección constante, cuyos
extremos experimentan los desplazamientos L3
2
1
L1d
y L6
5
4
L2d
. Estos
desplazamientos originan en los extremos de la barra las solicitaciones L3
2
1
L12
S
S
S
S
y L6
5
4
L21
S
S
S
S
(figura 10 b). Según la ley de Hooke y el principio de superposición,
entre los desplazamientos y las solicitaciones existen las siguientes relaciones:
6165154143132121111 KKKKKKS
6265254243232221212 KKKKKKS
6365354343332321313 KKKKKKS
6465454443432421414 KKKKKKS
6565554543532521515 KKKKKKS
6665654643632621616 KKKKKKS
Método de cálculo
13
donde el coeficiente de proporcionalidad Kij, o coeficiente de rigidez Kij de la barra,
representa la solicitación Si originada por un desplazamiento j unitario.
Estas expresiones pueden escribirse en forma matricial:
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
5
5
4
3
2
1
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
KKKKKK
S
S
S
S
S
S
o de un modo más reducido
LL L dKS [4]
siendo [K]L la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales.
Para determinar los 36 elementos de la matriz [K]L se provocan aisladamente
desplazamientos unitarios dirigidos según 1, 2, ...6 y se calculan mediante las
expresiones [1], [2] y [3] las solicitaciones que originan, que son precisamente los
coeficientes de rigidez Kij.
1
EAL
2
YL
XL1'
1=1
EAL
Figura 11: Desplazamiento 1=1.
L
AEK11
L
AEK
41
0K21 0K51
0K31 0K61
1
1'2=1
2
6EIL2
12EIL3
YL
XL
312EI
L2
6EIL
Figura 12: Desplazamiento 2=1.
0K12 0K42
322 L
IE12K
352 L
IE12K
232 L
IE6K
262 L
IE6K
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
14
1 2
3=1
YL
26EIL
6EIL2 XL
4EIL
2EIL
Figura 13: Desplazamiento 3=1.
K13 = 0 K43 = 0
223 L
IE6K
253 L
IE6K
L
IE4K33
L
IE2K63
4=1
1
YL
EAL
2'
EAL
2XL
Figura 14: Desplazamiento 4=1.
L
AEK14
L
AEK44
0K24 0K54
0K34 0K64
YL2
6EIL
12EIL
2
5=1
3
2'
6EIL
12EIL
2
3XL
1
Figura 15: Desplazamiento 5=1.
0K15 0K45
325 L
IE12K
355 L
IE12K
235 L
IE6K
265 L
IE6K
6EIL2
YL
1
4EIL
6=1
2EIL
2
XL6EIL2
Figura 16: Desplazamiento 6=1.
0K16 0K26
226 L
IE6K
256 L
IE6K
L
IE2K36
L
IE4K66
Una vez determinados los coeficientes de rigidez se compone la matriz de
rigidez de la barra en coordenadas locales:
Método de cálculo
15
L
IE4
L
IE60
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
L
IE6
L
IE120
00L
AE00
L
AEL
IE2
L
IE60
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
L
IE6
L
IE120
00L
AE00
L
AE
K
22
2323
22
2323
L 12
La matriz de rigidez [K]L tiene las siguientes propiedades:
Es una matriz cuadrada de orden 6.
Los elementos de la diagonal principal son positivos y no pueden ser
nulos. Ello se debe a que el desplazamiento de un extremo de la barra, en
un determinado sentido, exige la aplicación en ese extremo de la
solicitación correspondiente y en el mismo sentido.
El elemento Kij representa la solicitación de orden i (Si) originada por el
desplazamiento unitario de orden j (j).
K36K26
1
6=1 K56K66
2
sistema 1
K25
K351
5=1
2
K65
K55
2'
sistema 2
Figura 17: Reciprocidad de los trabajos de deformación.
Es una matriz simétrica, lo que se demuestra mediante el teorema de
Maxwell o de la reciprocidad de los trabajos. En efecto, una igualdad
cualquiera entre elementos simétricos, por ejemplo K56 y K65 (figura 17),
se demuestra igualando el trabajo que realizan las fuerzas de un sistema
1 al efectuar los desplazamientos de un sistema 2, al trabajo que realizan
las fuerzas de un sistema 2 al efectuar los desplazamientos de un sistema
1.
De la igualdad 1,22,1 WW se deduce
665556 KK
y teniendo en cuenta que 5 = 1 y 6 = 1, K56 = K65.
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
16
3.4. Solicitaciones de extremo.
Sustituyendo la matriz de rigidez [K]L en [4] se obtiene la ecuación matricial:
2
2y
2x
1
1y
1x
22
2323
22
2323
21
21
21
12
12
12
L
IE4
L
IE60
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
L
IE6
L
IE120
00L
AE00
L
AEL
IE2
L
IE60
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
L
IE6
L
IE120
00L
AE00
L
AE
M
T
N
M
T
N
[5]
que determina las solicitaciones de los extremos de la barra en función de los
desplazamientos de esos extremos. Teniendo en cuenta las particiones de matrices
realizadas, la ecuación matricial [5] puede expresarse en la forma:
L2
1
2221
1211
L21
12
d
d
KK
KK
S
S
[6]
o bien
L2L 12L1L 11L12 dKdKS
[7] L2L 22L1L 21L21 dKdKS
siendo
12
12
12
L12
M
T
N
S ,
21
21
21
L21
M
T
N
S ,
1
y1
x1
L1d y
2
y2
x2
L2d los vectores de
solicitaciones y de desplazamientos de los extremos 1 y 2 en coordenadas locales.
Además:
Método de cálculo
17
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 11
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 12
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 21
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 22
son las submatrices de rigidez de la barra 1-2 en coordenadas locales.
Una submatriz cualquiera [K12]L determina las solicitaciones que se originan
en el extremo 1 debidas a los desplazamientos del extremo 2. Se observa que las
matrices [K11]L y [K22]L son simétricas y que las submatrices [K12]L y [K21]L son
transpuestas.
3.5. Matriz de rigidez de una barra en coordenadas globales.
Sea una barra 1-2 cuyos ejes locales XL, YL están girados un ángulo
respecto a los ejes globales (figura 18).
YG
XG1
YL
2XL
Figura 18: Ejes locales de una barra y ejes globales.
Entre un vector cualquiera {V}L referido a coordenadas locales y ese mismo
vector {V}G referido a coordenadas globales existen las relaciones
LG VRV [8] G
TL VRV [9]
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
18
siendo [R] la matriz de rotación definida por:
100
0cossen
0sencos
R
Premultiplicando por la matriz de rotación la expresión [7] se obtiene:
L2L 12L1L 11L12 dKRdKRSR
L2L 22L1L 21L21 dKRdKRSR
y teniendo en cuenta [8] y [9]
G2
TL 12G1
TL 11G12 dRKRdRKRS
[10] G2T
L 22G1T
L 21G21 dRKRdRKRS
Designando por
TL 11G11 RKRK TL 12G12 RKRK
TL 21G21 RKRK TL 22G22 RKRK
las expresiones [10] se convierten en:
G2G12G1G11G12 dKdKS
G2G22G1G21G21 dKdKS
o bien
G2
1
G22G21
G12G11
G21
12
d
d
KK
KK
S
S
De una forma más simple,
GGG dKS
siendo
G22G21
G12G11G KK
KKK
Método de cálculo
19
3.6. Matriz de rigidez completa del pórtico.
Una vez estudiada la matriz de una barra, se va a determinar la matriz de
rigidez completa del pórtico. Para ello se considera un nudo común a más de una
barra, como es el caso del nudo de la clave del pórtico, el número 3, común a las
barras 2-3 y 3-4 (figura 19).
51
2
3
YG
4
XG
Figura 19: Ejes globales y numeración de nudos en un pórtico.
Las ecuaciones que determinan las solicitaciones en los extremos de la barra
2-3 en función de los desplazamientos de esos extremos, en coordenadas globales,
son:
G233
G232
G2333G
2332
G2323G
2322
G233
G232
d
d
KK
KK
S
S [11]
De igual modo, las ecuaciones en coordenadas globales que determinan las
solicitaciones en los extremos de la barra 3-4 en función de los desplazamientos de
esos extremos son:
G344
G343
G3444G
3443
G3434G
3433
G344
G343
d
d
KK
KK
S
S [12]
Al ser rígidos los nudos, los desplazamientos del nudo 3 de la barra 2-3
coinciden con los desplazamientos del mismo nudo de la barra 3-4. Se verifican las
condiciones de compatibilidad, de modo que:
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
20
G3
G3
3y
3x
G
233
233y
233x
G233 dd
G3
G3
3y
3x
G
343
343y
343x
G343 dd
Así, G3G
343G
233 ddd
Teniendo en cuenta estas condiciones de compatibilidad, las condiciones de
extremo dadas por [11] que los desplazamientos de la barra 2-3 originan en los cinco
nudos del pórtico pueden expresarse de la forma:
G5
4
3
2
1
2333
2332
2323
2322
G5
4
233
232
1
d
d
d
d
d
00000
00000
00KK0
00KK0
00000
S
S
S
S
S
De igual modo, las solicitaciones de extremo que los desplazamientos de la
barra 3-4 originan en los nudos del pórtico, recogidas en la expresión [12], pueden
escribirse así:
G5
4
3
2
1
3444
3443
3434
3433
G5
344
343
2
1
d
d
d
d
d
00000
0KK00
0KK00
00000
00000
S
S
S
S
S
El efecto que producen los desplazamientos de todas las barras, o sea, los
desplazamiento de todos los nudos de la estructura, se recoge en la siguiente
ecuación matricial:
Método de cálculo
21
G5
4
3
2
1
G
4555
4554
4545
4544
3444
3443
3434
3433
2333
2332
2323
2322
1222
1221
1212
1211
G
455
454
344
343
233
232
122
121
d
d
d
d
d
KK000
KKKK00
0KKKK0
00KKKK
000KK
S
SS
SS
SS
S
[13]
Se puede comprobar que únicamente se producen sumas de submatrices en
la diagonal principal, y que las submatrices nulas son aquéllas cuyos subíndices
corresponden a dos nudos no contiguos del pórtico.
Ahora bien, el equilibrio de un nudo cualquiera exige que las solicitaciones
que el nudo ejerce sobre los extremos de todas las barras que concurren en él
formen un sistema equivalente con las fuerzas externas que actúan sobre el nudo.
En otras palabras, la suma de solicitaciones en un nudo debe ser igual a la carga
genérica externa aplicada sobre ese nudo.
La expresión matricial de esta condición de equilibrio es, para un nudo
genérico i:
GiGi PS
Entonces, la ecuación [13] puede escribirse
G5
4
3
2
1
G5554
454443
343332
232221
1211
G5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
KK000
KKK00
0KKK0
00KKK
000KK
P
P
P
P
P
es decir, GG0G dKP [14]
siendo {P}G el vector de las fuerzas externas (cargas y reacciones) que
actúan sobre los nudos, en coordenadas globales.
{d}G el vector de desplazamiento de los nudos, referido también a
coordenadas globales.
[K0]G la matriz de rigidez completa de la estructura. Se obtiene de
ensamblar las cuatro matrices de rigidez de las barras en
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
22
coordenadas globales.
3.6.1. Propiedades de la matriz completa [K0].
En los pórticos a dos aguas, que constan de cinco nudos (n = 5), el orden
de la matriz completa es 3n, es decir, 15.
La matriz de rigidez completa es una matriz simétrica. Las submatrices de
la diagonal principal [Kii] son simétricas al proceder a su vez de matrices
simétricas. Del mismo modo, las submatrices [Kij] y [Kji], que ocupan
cuadrículas simétricas respecto a la diagonal principal, también son
submatrices simétricas al ser submatrices de barra transpuestas. Desde
un punto de vista energético, toda esta simetría es consecuencia del
teorema de Maxwell.
Los elementos de la diagonal principal nunca pueden ser submatrices
nulas.
La matriz [K0] es una matriz singular (no tiene matriz inversa). En
principio, y hasta ahora se ha constatado, la matriz [K0] se genera
estableciendo las condiciones de equilibrio de todos los nudos de la
estructura, como si en el pórtico no hubiese enlaces externos.
Por ello, y como parece razonable, si entre las cargas aplicadas existe
equilibrio, el sistema de ecuaciones [14] es indeterminado por haber
infinitas soluciones de desplazamientos de los nudos, entre las que se
incluye la solución transcendente, que equivale a suponer el pórtico como
un cuerpo rígido.
Y en el caso de no existir equilibrio entre las cargas aplicadas, el sistema
de ecuaciones [14] es incompatible.
Tanto en un caso como en otro, el determinante es nulo, y por
consiguiente la matriz de rigidez del pórtico [K0] es una matriz singular.
La matriz de rigidez [K0] es una matriz en banda, y como ya se ha visto,
además simétrica. El semiancho de banda Sb, medido en unidades de
submatrices, y sin contar la submatriz de la diagonal principal, es igual a
la máxima diferencia existente en la numeración de dos nudos contiguos
de la estructura, dada por la expresión:
Método de cálculo
23
n ... 2j
1-n ... 1i ijmáxSb
siendo i, j nudos contiguos.
Adoptando la numeración de los nudos del pórtico que se muestra en la
figura 19, se obtiene como semiancho de banda Sb en este tipo de
estructuras
14-5 ,3-4 ,2-3 ,12Sb
Además, el número máximo de elementos no nulos en cualquier fila fmáx contados a partir de la diagonal principal es 1Snf bsmáx , siendo ns el
orden de las submatrices. Al ser los pórticos estructuras planas, nS = 3, por lo que 6113fmáx .
3.7. Matriz de rigidez del pórtico.
La ecuación matricial [14]
GG0G dKP
relaciona las fuerzas que actúan sobre los nudos de la estructura, definidas por el
vector {P}G, con los desplazamientos de esos nudos, definidos por el vector {d}G.
Esta relación se establece a partir de la matriz de rigidez completa de la estructura
[K0].
Ahora bien, en el vector {P}G intervienen tanto las cargas aplicadas como las
reacciones de los enlaces externos. Así mismo, en el vector {d}G intervienen los
desplazamientos desconocidos de los nudos libres y los desplazamientos de los
nudos unidos a los enlaces externos, que suelen ser nulos en el caso de apoyos o
empotramientos, constantes cuando se produce un asiento en un apoyo, o bien
función de las reacciones en el caso de apoyos elásticos.
En los pórticos biempotrados a dos aguas, con la numeración de los nudos
definida en la figura 19, se observa que en los nudos 2, 3 y 4 los desplazamientos
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
24
son desconocidos, mientras que en los empotramientos 1 y 5 los desplazamientos
han de ser nulos.
Teniendo en cuenta estas consideraciones, la ecuación [14] puede escribirse:
G
4
3
2
G5554
454443
343332
232221
1211
G5
4
3
2
1
0
d
d
d
0
KK000
KKK00
0KKK0
00KKK
000KK
P
P
P
P
P
o también:
G
4
3
2
G5554
1112
454443
343332
212322
G5
1
4
3
2
0
0
d
d
d
K0K00
0K00K
K0KK0
00KKK
0K0KK
P
P
P
P
P
De forma más reducida:
G
1
IIII
II
G
a
0
d
KK
KK
R
P
[15]
De aquí se deduce:
G1Ga dKP [16]
que es la ecuación matricial de la estructura, correspondiente a unas cargas
determinadas. En esta ecuación:
{Pa}G es el vector de cargas aplicadas sobre los nudos libres.
{d1}G es el vector de desplazamiento de los nudos.
[K] es la matriz de rigidez de la estructura que tiene en cuenta únicamente las
solicitaciones en los nudos libres, mientras que la matriz de rigidez
completa considera las solicitaciones de todos los nudos.
Método de cálculo
25
La matriz de rigidez [K] es una matriz de orden m, siendo m el número posible
de desplazamientos de los nudos (o grado de indeterminación cinemática de la
estructura). En los pórticos biempotrados objeto de estudio, el orden de la matriz [K]
es 9, que corresponde con el grado de indeterminación cinemática de estos pórticos.
El principio de unicidad de las soluciones exige que el sistema de ecuaciones
[16] tenga solución única. En consecuencia, la matriz de rigidez [K] tiene que ser
regular, mientras que, como hemos visto, la matriz de rigidez completa [K0] es
singular.
Además de esta diferencia, y del menor orden de [K] respecto a [K0], (en
pórticos planos biempotrados de 5 nudos el orden de [K] es 9 y el de [K0] 15), el
resto de propiedades coincide.
3.8. Ejemplo.
Se va a calcular la matriz de rigidez de un pórtico biempotrado a dos aguas
simétrico, de 25 m de luz, 5 m de altura de pilares y 10% de inclinación de cubierta.
Como predimensionamiento se eligen los siguientes perfiles metálicos:
Tabla 1.
Predimensionamiento del pórtico.
Perfil Iz (cm4) A (cm2)
Pilar HEB 280 19270 131
Dintel IPE 450 33740 98.8
1
XL
YL
2
3
5 m
5
XL
YL4
YG
XG
XL
YL
XL
YL
25 m
6.25 m
Figura 20: Representación del pórtico ejemplo.
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
26
3.8.1. Consideraciones geométricas.
En la figura 20 se representa el pórtico del ejemplo, mostrándose los ejes
locales de cada barra y los ejes globales de la estructura. Con todo ello podemos
realizar la siguiente tabla, en la cual se determinan las longitudes de las barras del
pórtico, así como el ángulo que forman los ejes globales con los ejes locales de cada
barra.
Tabla 2.
Datos geométricos del pórtico.
Barra Longitud (cm) (º)
1-2 500 90
2-3 1256.23 5.711
3-4 1256.23 354.289
4-5 500 270
Método de cálculo
27
3.8.2. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas locales.
Barra 1-2
3237360009712080
97120883.38840
00550200
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 11
1618680009712080
97120883.38840
00550200
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 12
1618680009712080
97120883.38840
00550200
L
IE2
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 21
3237360009712080
97120883.38840
00550200
L
IE4
L
IE60
L
IE6
L
IE120
00L
AE
K
2
23L 22
Barra 2-3
2.22560756851.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 22
1.11280378451.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 23
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
28
1.11280378451.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 32
2.22560756851.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 33
Barra 3-4
2.22560756851.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 33
1.11280378451.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 34
1.11280378451.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 43
2.22560756851.2693850
51.26938588.4280
0025.165160
K L 44
Barra 4-5
3237360009712080
97120883.38840
00550200
K L 44
1618680009712080
97120883.38840
00550200
K L 45
Método de cálculo
29
1618680009712080
97120883.38840
00550200
K L 54
3237360009712080
97120883.38840
00550200
K L 55
3.8.3. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas globales.
Barra 1-2
La matriz de rotación [R] es:
100
001
010
100
0cossen
0sencos
R
Para obtener cualquier submatriz [Kij] en coordenadas globales será necesario
realizar la siguiente operación:
T
L ijGij RKRK
Las submatrices obtenidas son:
3237360000971208
05502000
971208083.3884
K G11
1618680000971208
05502000
971208083.3884
K G12
1618680000971208
05502000
971208083.3884
K G21
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
30
3237360000971208
05502000
971208083.3884
K G22
Barra 2-3
La matriz de rotación [R] es:
100
099503719.0099503719.0
0099503719.099503719.0
100
0cossen
0sencos
R
Las submatrices que se obtienen al premultiplicar las submatrices [Kij] por [R]
y posteriormente multiplicar por su transpuesta [R]T son:
2.22560756860.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G22
1.11280378460.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G23
1.11280378460.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G32
2.22560756860.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G33
Barra 3-4
La matriz de rotación [R] es:
100
099503719.0099503719.0
0099503719.099503719.0
100
0cossen
0sencos
R
Método de cálculo
31
Las submatrices [Kij] en coordenadas globales son:
2.22560756860.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G33
1.11280378460.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G34
1.11280378460.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G43
2.22560756860.26804886.26804
60.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.163529
K G44
Barra 4-5
La matriz de rotación [R] es:
100
001
010
100
0cossen
0sencos
R
Las submatrices [Kij] en coordenadas globales son:
3237360000971208
05502000
971208083.3884
K G44
1618680000971208
05502000
971208083.3884
K G45
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
32
1618680000971208
05502000
971208083.3884
K G54
3237360000971208
05502000
971208083.3884
K G55
3.8.4. Ensamblaje de las submatrices.
Únicamente afecta a las submatrices de la diagonal principal.
2.54934356860.26804814.944403
60.26804888.55225904.16310
14.9440304.1631008.167414
KKK G2322G
1222G22
5.451215136000192.072.53609
000192.076.4119001159.0
72.53609001159.050.327058
KKK G3433G
2333G33
2.54934356860.26804814.944403
60.26804888.55225904.16310
14.9440304.1631008.167414
KKK G4544G
3444G44
3.8.5. Matriz de rigidez completa [K0] del pórtico.
Se muestra a continuación:
32373600009712081618680000971208000000000
0550200005502000000000000
971208083.3884971208083.3884000000000
16186800009712082.54934356860.26804814.9444031.11280378460.26804886.26804000000
0550200060.26804888.55225904.1631060.26804888.205904.16310000000
971208083.388414.94440304.1631008.16741486.2680404.1631025.163529000000
0001.11280378460.26804886.268045.451215136000192.072.536091.11280378460.26804886.26804000
00060.26804888.205904.16310000192.076.4119001159.060.26804888.205904.16310000
00086.2680404.1631025.16352972.53609001159.050.32705886.2680404.1631025.163529000
0000001.11280378460.26804886.268042.54934356860.26804814.9444031618680000971208
00000060.26804888.205904.1631060.26804888.55225904.1631005502000
00000086.2680404.1631025.16352914.94440304.1631008.167414971208083.3884
00000000016186800009712083237360000971208
0000000000550200005502000
000000000971208083.3884971208083.3884
3.8.6. Matriz de rigidez [K] del pórtico.
2.54934356860.26804814.9444031.11280378460.26804886.26804000
60.26804888.55225904.1631060.26804888.205904.16310000
14.94440304.1631008.16741486.2680404.1631025.163529000
1.11280378460.26804886.268045.451215136000192.072.536091.11280378460.26804886.26804
60.26804888.205904.16310000192.076.4119001159.060.26804888.205904.16310
86.2680404.1631025.16352972.53609001159.050.32705886.2680404.1631025.163529
0001.11280378460.26804886.268042.54934356860.26804814.944403
00060.26804888.205904.1631060.26804888.55225904.16310
00086.2680404.1631025.16352914.94440304.1631008.167414