Clasificacin de los grafos Grafo dirigido. Llamado tambin dgrafo tienen un conjunto de vrtices V (nodos) y un conjunto

de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par ordenado de vrtices. Ejemplo:

Figura 6

Grafo no dirigido. Tienen un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par no ordenadode vrtices.

Ejemplo:

Figura 7

Grafo pesado, ponderado etiquetado. Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo un valor de cualquier tipo de dato.

Tambin a este grafo se le denomina red de actividades, y el nmero asociado al arco se le denomina factor de peso. Ejemplo:

Si A, B, C, D, E , F, G, H (los vrtices ) fueran ciudades, entonces los nmeros seran ponderaciones que podran indicar los kilmetros que existen de una ciudad a otra o tal vez lo que cuesta un pasaje de una ciudad a otra. Por ejemplo de la ciudad A a la ciudad H hay 10 kilmetros

de distancia.

Figura 8

Grafo simple. Es un grafo que no tiene lazos ni aristas paralelas. Ejemplo:

Figura 9 y Figura 10

Grafos Isomorfos. Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunvoca (uno a uno), entre sus vrtices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en comn.

Ejemplo1: Figura 9 y Figura 10

Ejemplo2:

Figura 11

Grafo nulo. Se dice que un grafo es nulo cuando los vrtices que lo componen no estn conectados, esto es, que son vrtices aislados.

Figura 12

Grafo regular. Aquel con el mismo grado en todos los vrtices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular. Por ejemplo el grado de cada vrtice en el grafo de la figura Figura 10 es dos por lo que

se le llama 2-regular.

Grafo bipartito. Es aquel con cuyos vrtices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vrtices pertenecientes al mismo conjunto.

Figura 13

Figura 14

Por ejemplo:

En el grafo de la Figura 13 tenemos que se pueden formar dos conjuntos disjuntos que seran:

X = {a, c, f} Y = {b, d, e}

Aqu podemos observar que en el conjunto X, el vrtice a no es adyacente (no se encuentran unidos por una arista) al vrtice c ni al vrtice f y lo mismo sucede para el vrtice c y f en

relacin con los dems vrtices del conjunto. En Y sucede lo mismo como podemos constatarlo.

Para el grafo de la Figura 14 los conjuntos disjuntos seran (los mismos que en el anterior, una coincidencia):

. X = {a, c, f} Y = {b, d, e}

Grafo completo. Aquel con una arista entre cada par de vrtices. Es decir desde cualquier vrtice podemos encontrar un camino hacia otro vrtice con solo recorrer una arista.

Figura 15

Anexo:Glosario de teora de grafos

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Grafo simple no dirigido, con 6 vrtices y 7 aristas.

A continuacin se detallan los principales conceptos de la teora de grafos. Para las

definiciones formales o ms detalladas, puede dirigirse al artculo principal

correspondiente. Todos los ejemplos estn basados en la imagen de la derecha.

ndice: 09 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A[editar]

Vrtices adyacentes unidos

por una arista.

Adyacencia[editar]

En un grafo, los vertices son adyacentes si estn

unidos mediante una arista.

Vase tambin Vecindad.

Un rbol no posee ciclos.

rbol[editar]

Un rbol es un grafo conexo simple acclico.

Algunas veces, un vrtice del rbol es distinguido

llamndolo raz. Los rboles se usan

frecuentemente como estructuras de datos en

ciencias de la computacin (vase rbol).

Arco[editar]

Vase Arista.

Vrtices unidos por una arista.

Arista[editar]

Una arista o arco es una relacin matemtica que

conecta dos vrtices. Una arista dirigida es una

arista de un digrafo y tiene una direccin asociada

consigo, esto es, posee un vrtice inicial y un

vrtice final. Una arista no dirigida es una donde

no se distingue un vrtice inicial ni uno final.

B[editar]

Un bosque est formado por uno o ms rboles.

Bosque[editar]

Un bosque es

un conjunto de

rboles; o de

forma

equivalente, un

bosque es un

grafo acclico.

Un bucle conecta un vrtice consigo mismo.

Bucle[editar]

Un bucle o lazo

(loop en ingls)

en un grafo o

digrafo es una

arista que

conecta al

mismo vrtice

consigo mismo.

Un grafo simple

no puede tener

bucles.

Orden en que se recorre un grafo en una bsqueda en anchura.

Bsqueda en

anchura[editar]

La bsqueda en

anchura o BFS

(Breadth First

Search) es un

algoritmo que

permite recorrer

todos los

vrtices de un

rbol de manera

ordenada,

recorriendo

primero los

vrtices vecinos

al inicial, luego

los vrtices

vecinos a los

recorridos en el

paso anterior y

as

sucesivamente

hasta agotar la

grfica.

Orden en que se recorre un grafo en una bsqueda en

profundidad.

Bsqueda en

profundidad[editar]

La bsqueda en

profundidad o

DFS (Depth

First Search) es

un algoritmo

que permite

recorrer todos

los vrtices de

un rbol de

manera

ordenada,

avanzando sobre

cada rama hasta

que no haya

posibilidad de

continuar y

luego se

retrocede hasta

la ltima

bifurcacin para

seguir por otra

rama.

Puede usarse

para recorrer un

grafo cualquiera

si se usa un

rbol generador

del grafo.

C[editar]

Un camino es una sucesin

de vrtices unidos por

aristas.

Camino[editar]

Un camino es una sucesin de vrtices tal que de

cada uno de sus vrtices existe una arista hacia el

vrtice sucesor. Un camino simple es aquel que no

repite vrtices en su recorrido.

Dos caminos son ajenos o independientes si no

tienen ningn vrtice en comn excepto el primero y

el ltimo.

La longitud de un camino es el nmero de aristas

que usa dicho camino, contando aristas recorridas

varias veces el mismo nmero de veces que las

recorramos. En el ejemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) es un

camino con longitud 5, y (5, 2, 1) es un camino

simple de longitud 2..

Un camino euleriano recorre

todas las aristas exactamente

una vez (puede repetir

vrtices).

Camino euleriano[editar]

Un camino euleriano en un grafo es un camino que

usa cada arista una y slo una vez. Si existe tal

camino decimos que el grafo es euleriano. Esta

definicin es dual a la de camino hamiltoniano.

Un camino hamiltoniano

recorre todos los vrtices

exactamente una vez.

Camino hamiltoniano[editar]

Existe un concepto dual al de camino/ciclo

Euleriano. Un camino hamiltoniano en un grafo es

un camino que "visita" cada vrtice una y slo una

vez.

Orden en que se recorre un

grafo en una bsqueda en

profundidad.

Ciclo[editar]

Un Ciclo (o circuito) es un camino que empieza y

acaba en el mismo vrtice. Los ciclos de longitud 1

se denominan lazos o bucles.

Un ciclo simple es un ciclo que tiene como longitud

al menos 3 y en el que el vrtice inicial coincide con

el vrtice final.

Un ciclo euleriano pasa por

todas las aristas exactamente

una vez, regresando al punto

de partida.

Ciclo euleriano[editar]

Un ciclo euleriano en un grafo es un ciclo que usa

cada arista una y slo una vez.

Un ciclo hamiltoniano pasa

por todos los vrtices

exactamente una vez,

regresando al punto de

partida.

Ciclo hamiltoniano[editar]

Un ciclo hamiltoniano en un grafo es un ciclo que

visita cada vrtice una y slo una vez

No hay ciclos de longitud

mayor a cuatro.

Circunferencia[editar]

La circunferencia de un grafo es la longitud de su

ciclo simple ms largo.

Clique[editar]

Una clique en un grafo es un conjunto de vrtices tal

que para todo par de vrtices, existe una arista que

las conecta. En el ejemplo, los vrtices 1, 2 y 5

forman una clique de tamao 3. En otras palabras, es

un subgrafo completo .

Cobertura de vrtices[editar]

La cobertura de vrtices, covering o

recubrimiento de vrtices de un grafo es un

conjunto de vrtices cuyos elementos son adyacentes

a todos los dems vrtices del grafo.

Coloracin de grafos[editar]

La coloracin de grafos es quiz el problema NP-

completo ms afamado de la teora de grafos, y

consiste en asignarle distintos colores o marcas a los

vrtices de un grafo, de manera que ningn par de

vrtices adyacentes compartan el mismo color o

marca.

Contraccin (de aristas)[editar]

La contraccin es una operacin que elimina una

arista del grafo al mismo tiempo que fusiona los dos

vrtices extremos. La contraccin es una operacin

fundamental en la teora de grafos.

Componente fuertemente conexo[editar]

Un componente fuertemente conexo es un grafo tal

que para cada par de vrtices, existe un camino de

uno hacia el otro, y viceversa. Los componentes

fuertemente conexos de un grafo dirigido son sus

subgrafos mximos fuertemente conexos. Estos

subgrafos forman una particin del grafo.

Conjunto estable[editar]

Vase Conjunto independiente.

Conjunto independiente[editar]

Un conjunto independiente en un grafo es un

conjunto de vrtices tal que ninguno es adyacente a

otro. En el ejemplo, los vrtices 1,3, y 6 forman un

conjunto tal y los 3,5, y 6 forman otro conjunto

independiente.

Covering[editar]

Vase Cobertura de vrtices.

D[editar]

Depth First Search[editar]

Vase Bsqueda en profundidad.

DFS[editar]

Vase Bsqueda en profundidad.

Digrafo[editar]

Es un grafo cuyas aristas son dirigidas, es decir, cada arista posee un vrtice inicial

y uno final.

Distancia[editar]

Se denomina distancia entre dos vrtices de un grafo al nmero de vrtices mnimo

que debe recorrerse para unirlos. La distancia entre dos nodos de un grafo es la

longitud del camino ms corto

E[editar]

Euleriano[editar]

Vase Ciclo euleriano.

G[editar]

Girth[editar]

El girth de un grafo es la longitud del ciclo simple ms corto en el grafo. El "girth"

de un grafo acclico se define como infinito.

Grado[editar]

El grado o valencia de un vrtice es el nmero de aristas incidentes en l. Para un

grafo con bucles, stos son contados por dos. En el ejemplo, los vrtices 1 y 3 tienen

grado 2; los vrtices 2, 4 y 5, grado 3; y el vrtice 6, grado 1.

En un dgrafo, podemos distinguir el grado saliente (el nmero de aristas que dejan

el vrtice) y el grado entrante (el nmero de aristas que entran en un vrtice). El

grado de un vrtice sera la suma de ambos nmeros.

Grafo[editar]

Un grafo es un conjunto de vrtice o nodos unidos por aristas o arcos.

Grafo acclico[editar]

Un grafo se dice acclico si no contiene ningn ciclo simple.

Grafo bipartito[editar]

Un grafo bipartito es cualquier grafo cuyos vrtices pueden ser divididos en dos

conjuntos, tal que no haya aristas entre los vrtices del mismo conjunto. Se ve que

un grafo es bipartido si no hay ciclos de longitud impar. Vase tambin grafo

bipartito completo.

Un grafo k-partido o grafo k-colorable es un grafo con cuyos vrtices se puede

hacer una particin en k subconjuntos disjuntos tal que no haya aristas entre vrtices

del mismo subconjunto. Un grafo 2-partido es lo mismo que un grafo bipartido.

Un grafo k-partido se dice semiregular si cada particin tiene un grado uniforme.

Grafo completo[editar]

Un grafo completo es un grafo simple en el que cada vrtice es adyacente a

cualquier todo otro vrtice. El del ejemplo no es completo. El grafo completo en n

vrtices se denota a menudo por Kn. Tiene n(n-1)/2 aristas (correspondiendo a todas

las posibles elecciones de pares de vrtices).

Grafo conexo[editar]

Si es posible formar un camino desde cualquier vrtice a cualquier otro en el grafo,

decimos que el grafo es conexo. Si es posible hacer esto incluso tras quitar k-1

vrtices, decimos que el grafo es k-conexo.

Un grafo es k-conexo si y slo si contiene k caminos independientes entre

cualesquiera dos vrtices. Teorema de Menger El grafo ejemplo es conexo (y por

tanto 1-conexo), pero no es 2-conexo.

Grafo denso[editar]

Un grafo denso es un grafo en el que el nmero de aristas est cercano al nmero

de mximo de aristas. Lo opuesto, un grafo con solo algunas aristas, es un grafo

disperso.

Grafo dirigido[editar]

Es un conjunto de vrtices V y un conjunto de aristas E tal que para cada arista

perteneciente al conjunto de aristas E se asocia con dos vrtices en forma ordenada.

Vase Digrafo.

Grafo nulo[editar]

El grafo nulo es el grafo cuyos conjuntos de aristas y de vrtices son vacos.

Grafo plano[editar]

Un grafo plano es uno que es posible dibujar en el plano sin que ningn par de

aristas se interseque. El del ejemplo lo es; el grafo completo de n vrtices, para n >

4, no es plano.

Grafo ponderado[editar]

Un grafo ponderado asocia un valor o peso a cada arista en el grafo. El peso de un

camino en un grafo con pesos es la suma de los pesos de todas las aristas

atravesadas.

Grafo regular[editar]

Un grafo regular es un grafo cuyos vrtices tienen todos el mismo grado.

Grafo simple[editar]

Un grafo simple es un grafo o digrafo que no tiene bucles, y que no es un

multigrafo.

Grafo trivial[editar]

Un grafo trivial es un grafo vaco con un nico vrtice.

Grafo universal[editar]

Un grafo universal en una clase K de grafos es un grafo en el que puede incluirse

como subgrafo todo elemento de K.

Grafo vaco[editar]

Un grafo vaco es el grafo cuyo conjunto de aristas es vaco.

H[editar]

Hamiltoniano[editar]

Vase Camino hamiltoniano.

Hipergrafo[editar]

Un hipergrafo es una generalizacin de un grafo, cuyas aristas aqu se llaman

hiperaristas, y pueden relacionar a cualquier cantidad de vrtices, en lugar de slo

un mximo de dos como en el caso particular.

I[editar]

Incidencia[editar]

Vase Vecindad.

Isomorfismo[editar]

Un Isomorfismo de grafos entre dos grafos G y H es una biyeccin f entre los

conjuntos de sus vrtices que preserva la relacin de

adyacencia. Es decir, cualquier par de vrtices u y v de G son adyacentes si y solo si

lo son sus imgenes, f(u) y f(v), en H.

L[editar]

Lista de adyacencia[editar]

Una lista de adyacencia es una representacin de todas las aristas o arcos de un

grafo mediante una lista.

Lista de grados[editar]

Loop[editar]

Vase Bucle.

M[editar]

Matriz de adyacencia[editar]

Una matriz de adyacencia es una matriz de n x n que permite representar un grafo

o digrafo finito, donde cada valor en la posicin (i, j) representa el nmero de

aristas desde el vrtice i-simo al j-simo.

N[editar]

Nodo[editar]

Vase Vrtice.

Nmero cromtico[editar]

El nmero cromtico es el mnimo de colores necesarios para colorear los vrtices

de un grafo. El nmero cromtico de un grafo es .

O[editar]

Orden[editar]

Se llama orden del grafo a su nmero de vrtices, designado como .

P[editar]

Puente[editar]

Un puente a es una arista tal que si la quitamos nos quedamos con un grafo con una

componente conexa ms que el original.

Punto de articulacin[editar]

Vase Vrtice de corte.

Punto de corte[editar]

Vase Vrtice de corte.

R[editar]

Recubrimiento de vrtices[editar]

Vase Cobertura de vrtices.

S[editar]

Subrbol[editar]

Un subrbol de un grafo G es un subgrafo que es adems un rbol.

Subgrafo[editar]

Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyo conjunto de vrtices es un subconjunto

del de G, cuyo conjunto de aristas es un subconjunto del conjunto de las aristas de

G, y tal que la aplicacin w es la restriccin de la aplicacin de G.

Subgrafo de expansin[editar]

Un subgrafo de expansin de un grafo G es un subgrafo con el mismo conjunto de

vrtices que G. Un rbol expansin es un subgrafo expansin que es un rbol.

Cada grafo tiene un rbol de expansin.

T[editar]

Teora espectral[editar]

La teora espectral es aquella que estudia las relaciones entre las propiedades de la

matriz de adyacencia y las de su grafo.

Torneo[editar]

Un torneo es un grafo dirigido completo, simple, no generalizado, no degenerado y

sin dgonos.

V[editar]

Valencia[editar]

Vase Grado.

Vecindad[editar]

Dos vrtices son vecinos, adyacentes o incidentes si existe una arista entre ellos.

En el ejemplo, el vrtice 1 tiene dos vecinos: el vrtice 2 y el 5. Para un grafo

simple, el nmero de vecinos de un vrtice es igual a su grado.

Vrtice[editar]

Un vrtice o nodo es la unidad fundamental de la que estn formados los grafos.

Vrtice de corte[editar]

Un vrtice de corte es un vrtice tal que si lo quitamos nos quedamos con un grafo

con ms componentes conexas que el original.