CLASE_TORSION__16008__.pdf
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Resistencia de Materiales
PROFESOR:
GELACIO TAFUR ANZUALDO
NIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU
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Torsin
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Contenido
Seccin 1 - Deformaciones en un rbol circular
Seccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsin
Seccin 3 - Ejes estticamente indeterminados
Seccin 4 Relacin entre torsor, potencia y velocidad angular
Seccin 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares
Seccin 6 - Resumen de ecuaciones
-
Deformaciones en un rbol circular
Un momento de torsin o par torsor es aquel que tiende a hacer
girar un miembro respecto a su eje longitudinal.
Su efecto es de inters primordial en el diseo de ejes de
transmisin, utilizados ampliamente en vehculos y maquinaria.
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Se puede ilustrar qu ocurre fsicamente cuando un momento de
torsin se aplica a un eje circular hecho de un material muy elstico, como el
hule, por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se
mantienen como tales, experimentando una rotacin en el plano del
momento. Las lneas longitudinales se convierten en hlices que intersectan
siempre con el mismo ngulo a los crculos transversales.
-
Extraeremos a continuacin una porcin cilndrica y
consideraremos un pequeo elemento cuadrado que se encuentre en la
superficie de dicha porcin. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal
como se muestra.
-
Observemos la figura.
Si el ngulo g es muy pequeo, se puede establecer:
LAA g'
Donde:
AA es el arco que recorre elpunto A al deformarse la barra
debido a torsin.
es el ngulo de giro (enradianes) entre dos secciones
transversales separadas una
longitud L.
es el radio de la porcincilndrica considerada y
g es la deformacin cortante,medido en radianes.
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Ley de Hooke para Torsin
De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe tambin una relacin
proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango
elstico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.
Matemticamente, podemos expresar dicha relacin como sigue:
Donde t es el esfuerzo cortante, g es la deformacin cortante y G es elmdulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad
(E) de la siguiente forma:
Siendo n el mdulo de Poisson.
gt G
)1(2
EG
-
Para realizar la deduccin de una expresin que nos permita hallar
la distribucin de esfuerzos cortantes en una seccin transversal debido a
un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
Las secciones circulares permanecen como tales.
Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.
Las lneas radiales permanecen rectas an despus de ladeformacin.
El eje est sometido a la accin de pares torsores.
Las deformaciones producidas ocurren en el rango elstico del material.
Esfuerzos cortantes en barras
circulares debido a torsin
-
Si recordamos la relacin de deformacin establecida anteriormente:
Notaremos que para una deformacin dada, los valores de y Lse mantienen constates, de forma que g vara linealmente con .
Podemos establecer entonces el valor mximo de la deformacin g :
Luego:
Y, finalmente:
L g
Lr maxg
gg
Lr
max
r
gg max
-
Recordando que la deformacin se realiza en el rango elstico del
material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresin y nos queda:
Aplicar la primera condicin de equilibrio nos aportar una
informacin que ya conocemos: la variacin del esfuerzo cortante es lineal
respecto al radio de la seccin. Estudiaremos entonces que sucede con la
segunda condicin de equilibrio:
Sacando de la integral los trminos constantes, nos queda:
r
tt max
dAr
T
t max
dArT 2max
t
-
Donde la integral resultante es una propiedad de rea conocida
como momento polar de inercia (J). Podemos rescribir entonces laexpresin de la forma:
Recordando que anteriormente se estableci que:
Sustituimos esto en la expresin anterior y nos queda:
Jr
T maxt
t
t
max
r
JT
t
)(2
1 41
4
2 rrJ Para un rbol circular hueco el momento
polar de inercia J es:
)(32
4
1
4
2 DDJ
-
Finalmente, obtenemos lo siguiente:
J
T t
Ntese que, para barras de
seccin circular, la variacin del
esfuerzo cortante es lineal respecto
al radio de la seccin.
Por otro lado, como se
estudi en el captulo anterior, el
esfuerzo cortante debe actuar
tambin en otro plano perpendicular
al de la seccin transversal para
conseguir el equilibrio del elemento
diferencial.
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De forma similar al caso de
carga axial, podemos utilizar
expresiones referidas a estas
deformaciones para resolver casos
estticamente indeterminados.
Nos interesa entonces
determinar una expresin que
relacione el par torsor T con elngulo de giro entre secciones
transversales .
Ejes estticamente indeterminados
Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una
barra produce una rotacin relativa entre secciones transversales que se
encuentren separadas por una longitud L.
-
Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer
lugar, encontramos que podemos relacionar el ngulo con ladeformacin cortante g mediante la expresin:
En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:
Finalmente, la ecuacin que relaciona el par torsor con el esfuerzo
cortante, determinada recientemente:
Lr g
gt G
J
rT t
-
Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de g y ten la ley de Hooke, obtendremos:
Finalmente, para barras de seccin circular:
Esta ecuacin resulta de gran utilidad en casos donde las
condiciones de esttica resultan insuficientes para determinar las cargas en
distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsin.
L
rG
J
rT
GJ
LT
-
Observemos el caso mostrado en
la figura.
En ella se presentan dos barras
solidarias, de seccin transversal circular,
empotradas en sus extremos y sometidas
a un par torsor T en su unin.
La condicin de equilibrio que
puede establecerse es la siguiente:
0 TTT CANotemos que tenemos una ecuacin y dos incgnitas (TA y TC).
Un segunda relacin se obtiene de las deformaciones debido a los pares
torsores. Para poder establecer esta relacin, es necesario primero definir
los pares torsores al que estn sometidos los segmentos AB y BC.
-
En primer lugar, estudiemos el tramo AB.
El torsor aplicado sobre este segmento se define
realizando un corte en la estructura justo antes del
punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda
entonces:
0 ABA TT
Luego, aplicamos un procedimiento
similar para el siguiente tramo. Al realizar un
corte justo antes del punto de aplicacin del
siguiente torsor, obtenemos:
0 BCA TTT
ABA TT
ABC TTT
-
La condicin de deformacin que debe cumplirse es la siguiente:
Donde B/A es el ngulo que gira la seccin B respecto a la A yB/C es el ngulo que gira la seccin B respecto a la C. Ntese quedeben ser iguales; entonces:
Sustituyendo TAB y TBC, obtenemos la segunda ecuacin quenecesitamos para resolver el sistema:
CB
AB
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
GJ
LT
GJ
LT
BCBC
BCA
ABAB
ABA
GJ
LTT
GJ
LT
)()(
-
Relacin entre torsor, potencia y
velocidad angular
Como se mencion al principio de este captulo, el inters principal
de estudiar el fenmeno de torsin sobre barras circulares reside en que
stas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en
conjunto con poleas y correas con engranajes.
-
El trabajo mecnico desarrollado por fuerzas
F actuando tangencialmente a los elementos
dl del rbol circular de dimetro D=2r es:
FDdrdFFdldW )2()(2
La potencia mecnica P se define como:
dt
dWP
Entonces de la relacin anterior tenemos:
Tdt
dFD
dt
dWP
De donde:
TP T= par torsor= velocidad angular
-
En el diseo de estos sistemas, emplearemos dos relaciones
principalmente.
La primera, es la expresin matemtica que indica la potencia que
comunica un eje una polea:
Donde P es la potencia transmitida, es la velocidad angular y Tel torsor al que est sometido el eje, la polea el engranaje.
Tambin se utilizar la relacin de transmisin (m), que se definecomo la proporcin de velocidad torque que existe entre el sistema
conductor y el conducido:
La relacin de transmisin siempre debe ser mayor que la unidad.
Como la mayora de los sistemas de transmisin son reductores (es decir,
reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma
mostrada. En caso contrario, deben invertirse los trminos.
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm
-
La polea de la figura se une al eje en el que
va montada por medio de una chaveta de
1x1x6 cm. El eje tiene un dimetro de 5 cm y
la polea transmite una potencia de 15 HP,
girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de
cortadura en la chaveta
wattHP
wattHPP 5,11032)
1
5,735(15
sradsrev
radrev/56,12)
60
min1)(
1
2(
min1
120
SOLUCIN:
La potencia y la velocidad angular la debemos
expresar en unidades que nos permitan
simplificaciones
El momento torsor es: Nmsrad
sNmPT 38,878
/56,12
/5,11032
-
Debido a que el sistema est en equilibrio:
Nm
Nm
r
TFFrT 6,35117
025,0
94,877
Esta fuerza actuando sobre la seccin recta de la chaveta el valor del
esfuerzo en esta seccin
La seccin recta de la chaveta tiene un rea de:
242 1066)6(1 mxcmcmcmA
Luego el esfuerzo ser:
MPamx
N
S
F5,58
106
5,3511724
t
MPa5,58t
-
EJEMPLO:
Para el eje cilndrico hueco que se muestra en la figura:
a) Cual es el mayor torque que puede aplicrsele si el esfuerzo cortante no
debe pasar de 120 MPa.
b) Cual es el valor mnimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIN:
a) comoJ
Tr
J
T maxt
t
De donde:
extr
JT
r
JT
)()( maxmax
max tt
m
mmPax
T030,0
)040.0()060,0(32
)10120( 446
max
kNmT 08,4max
-
b) El esfuerzo cortante mnimo lo podemos deducir del grfico siguiente:
max
2
1min
1
min
2
max tttt
r
r
rr
)120(03,0
02,0min MPa
m
mt
MPa80min t
-
EJEMPLO:
El eje vertical AD est unido a una base fija en
D y sometido a los torques indicados. Un hueco
de 44 mm de dimetro ha sido perforado en la
porcin CD del eje. Sabiendo que todo el eje
est hecho de acero con G = 80 GPa,
determine el ngulo de torsin en el extremo A.
SOLUCIN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD,
cada una de seccin uniforme y con torque interno
constante, adems el sistema est en equilibrio, luego:
Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
NmTTNm ABAB 2500250
Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
NmTTNmNm BCBC 225002000250
-
No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250
El ngulo de torsin en A ser:
)(1
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
i
ii
J
LT
J
LT
J
LT
GGJ
LT
4444 )044,0()06,0(
32
)6,0)(2250(
)06,0(32
)2,0)(2250(
)03,0(32
)4,0)(250(
80
1
m
mNm
m
mNm
m
mNm
GPaA
22,2)2
360(0388,0
radradA
22,2A
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Diseo de ejes de transmisin
El diseo de ejes de transmisin consiste bsicamente en
determinar el dimetro y material ms apropiados para el mismo, tomando en
cuenta principalmente tres factores:
- Que las deformaciones ocasionadas por torsin sean aceptables
segn los requerimientos del diseo.
- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los
esfuerzos admitidos en el diseo, segn el factor de seguridad con el que se
est trabajando.
- Que dimetro del eje no exceda demasiado el tamao necesario,
pues esto influye en los costos de produccin, en la geometra del diseo, en
el peso muerto del sistema, etc.
-
En la figura se muestra un
sistema conducido, donde un
conjunto correa-polea transmiten
potencia a una mquina a travs de
un eje.
La correa, debido a la
tensin a la que debe estar, ejerce
una fuerza vertical (Fv) sobre la
polea y a su vez sobre el eje,
adems de ejercer el torque para
producir movimiento en la mquina.
En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difcil
determinar que la seccin crtica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note
que la fuerza vertical producir adicionalmente un momento flector sobre esta
seccin.
-
______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa
Facultad de Ingeniera
Departamento Acadmico de Energa y Fsica
Al trasladar las cargas a la
seccin transversal crtica, observaremos
que sobre ella se encuentran aplicados una
fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y
un momento flector M.
Tenemos entonces tres posibles
puntos crticos:
- El punto A, donde se generan
s(+) debido al momento flector y t debido
al torsor;
- El punto A, donde se generan s(-) debido al momento flector y tdebido al torsor;
- el punto B, donde se concentran los t debido al momento torsor ydebido a la fuerza cortante.
-
Ecuaciones empleadas en barras no
circulares
En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par
torsor aplicado sobre una viga de seccin transversal no circular.
La deduccin de las ecuaciones que describen la distribucin de
esfuerzos cortantes debido a torsin en estas barras no es sencilla. Nuestro
inters radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar
las caractersticas geomtricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con
el esfuerzo cortante mximo que se produce y su respectiva deformacin.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a
continuacin algunos ejemplos.
-
Seccin elptica
2max
2
ba
T
t
33
22
ba
ba
G
T
L
-
Seccin triangular equiltera
3max
20
a
Tt
43
80
aG
T
L
-
Seccin cuadrada
3max
8077,4
a
Tt
4
1124,7
aG
T
L
-
Resumen de ecuaciones
Ley de Hooke para torsin:
t: Esfuerzo cortante
G: Mdulo de Rigidez
g: Deformacin angular unitaria
E: Mdulo de elasticidad del material
n: Relacin de Poisson del material
gt G
)1(2
EG
-
Esfuerzo cortante en barras de seccin circular
debido a momento torsor
t: Esfuerzo cortante en el punto de inters de la seccin transversal
: distancia medida desde el centro hasta el punto de inters
J: Momento polar de inercia de la seccin transversal
J
T t
-
ngulo de giro en barras circulares sometidas a
momento torsor
: ngulo de giro de una seccin B respecto a una seccin AT: Par torsor al que est sometido la barra circular
J: Momento polar de inercia de la seccin transversal
G: Mdulo de rigidez del material
LAB: Longitud de la barra entre las secciones A y B
GJ
LT ABAB
/
-
Relaciones entre par torsor, potencia y
velocidad angular
: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)
T: Par torsor al que est sometido la barra circular
P: Potencia
m: relacin de transmisin
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm