MATEMATICA FINANCIERA II

El componente de Matemática Financiera II proveerá al estudiante los conceptos y técnicas para

realizar cálculos financieros, que les permitirá resolver problemas relacionados con el fenómeno

de la inflación, donde el capital permanece variable, y problemas relacionados a las anualidades

variables (gradientes), donde los pagos crecen lineal o geométricamente. También contribuirá a

que el estudiante conozca y utilice los métodos de depreciación de activos y además,

aprehenderá a calcular el precio de cotización de los bonos y construir los cuadros contables de

los bonos. Estos temas serán útiles para comprender los contenidos de otras componentes

curriculares como las Finanzas.

UNIDAD I: INTERÉS E INFLACION

Analiza el efecto de inflación y devaluación monetaria, mediante los índices de precios en el

cálculo del interés y el crecimiento de las inversiones.

I 1). INTRODUCCION.

El dinero de cada país sufre deterioro en su poder adquisitivo por efecto de devaluaciones e

inflaciones. La expresión de la moneda se utiliza para indicar la disminución de su valor, con

relación al oro y/o las reservas monetarias. Por otra parte, el alza de precios disminuye el poder

adquisitivo del dinero, es decir reduce su valor. Al fenómeno económico que corresponde a un

aumento general de los precios se denomina inflación.

Inflación es el aumento en los niveles generales de precios de los bienes y servicios y se mide

como porcentaje de un período a otro que por lo general es de año a año. La disminución en el

nivel de precios se le llama deflación (casi no sucede).

La divisa debe ser analizada como un bien que se compra y se vende, el precio de mercado de

este bien es la tasa de cambio el cual está sujeto a la regulación por parte de la autoridades

monetarias (BCN) o bien por la libre oferta y demanda en el mercado financiero, a esta tasa se le

llama tasa de devaluación y constituye la tasa de inflación monetaria. De tal manera que un

incremento o disminución en la cantidad de dinero o crédito sin el correspondiente incremento o

disminución en la cantidad de bienes y servicios, causa cambios en el precio de esos bienes y

servicios, esto ocurre porque el valor del dinero en circulación cambia. Los términos de inflación

y deflación son utilizados para describir cambios de precios de venta en estas condiciones.

.Las personas o entidades comerciales conocen que una cantidad monetaria (Córdoba) hoy no

pueden comprar la misma cantidad de bienes y servicios como pudo hacerse hace 10, 20, 30 o

más años atrás, esto es porque el valor del dinero ha decrecido como un resultado de dar más

dinero por menos bienes, a este fenómeno se le llama inflación.

La tasa de inflación “piso” de Nicaragua es 5%. Es una importante expectativa inflacionaria

explicada con la tasa de deslizamiento de 5% anual del tipo de cambio reptante, que se ha

mantenido en ese nivel desde el año de 2004, desde 1990 a 2003 del 12 %

Para hacer comparaciones entre cantidades de dinero (córdoba) que ocurren en diferentes

períodos de tiempo es necesario convertirlas a dinero que tenga el mismo poder de compra

conocidas como unidades monetarias de valor constante o unidades de poder adquisitivos

constantes UPAC (dólar USA) mediante la siguiente fórmula:

Córdobas dehoy=Córdobas deentonces

(1+ f )n (1,1) donde

Córdobas de hoy es el valor a inicio del período

Córdobas de entonces es el valor de fin de período

f es la tasa de inflación y n el número de períodos.

Ejemplo: Si la tasa de inflación controlada en Nicaragua es del 5% anual hasta la fecha

determine qué cantidad de dinero:

a). Se necesitó en agosto de 2010 para comprar un abanico que en agosto de 2004 costaba

C$350.

b). Se necesitó en junio de 2010 para comprar un par zapato que en junio de 2015 cuesta C$750.

I 2). VALOR PRESENTE CON INFLACIÓN.

Una forma de contabilizar la inflación en los análisis de valor presente, envuelve fórmulas de

interés ajustadas en sí mismo por cuenta de inflación mediante la fórmula de valor presente pago

único y combinando la tasa de interés a la tasa inflada d, obteniendo la fórmula para el cálculo de

córdobas de hoy incluyendo la tasa de inflación f por período P=F (1+d )− N (1,2) donde

P es córdobas de hoy

F es córdobas de entonces o de futuro

i es la tasa de interés

f es la tasa de inflación o tasa de devaluación monetaria

d es la tasa de interés inflada

N período de capitalizaciones N = n•m.

I 3). CÁLCULO DE LA TASA INFLADA O COMBINADA.

Cuando se combina una tasa i en UPAC y otra f de inflación se obtiene una tasa equivalente

inflada d que convine o ajuste las dos anteriores mediante el siguiente análisis:

El monto de 1 UPAC al final de un año será (1 + i). Por efecto de la inflación el precio unitario

C$1,00 de un bien, se convierte al final de un año en (1 + f)

Por tanto al final de un año habrá la siguiente expresión

(1 + i) • (1 + f) = (No de UPAC)•(Valor de cada bien)

(1 + i) • (1 + f) = 1 + i + f + (i)(f)

Por otra parte el precio unitario C$1,00 del bien a la tasa equivalente d se convierte al final de un

año en (i + d), por tanto 1 + d = 1 + i + f + (i)(f) al despejar d se obtiene la tasa inflada:

d=i+ f +( i)( f ) , (1,3) donde

i es la tasa de interés

f es la tasa de inflación o tasa de devaluación monetaria.

La tasa inflada d se usa para los cálculos de pagos con corrección monetaria.

Ejemplo: Una institución financiera hace un descuento el día de hoy a un pagaré, cuyo valor al

final de 4 años es de C$240.000,00 considerando una tasa de interés de 25% efectiva y la tasa de

inflación del 12% por año. ¿Cuál es el valor líquido del pagaré en córdobas corrientes?

Solución:

Datos

P = ? por la fórmula (1,3) d = 0,25 + 0,12 + (0,25) (0,12)

d = ? d = 0,40 = 40% anual

F = C$240 000,00 usando la formula (1,2) P = 240000 (1 + 0,40) – 4

N = 4 años P = 62.473,96918

f = 12% anual El valor líquido del pagaré es C$62 473,97

i = 25% anual

I 4). VALOR FUTURO CON INFLACIÓN

Cuando se incluye el concepto de tasa de inflación f en los cálculos de valor futuro F de una

cantidad presente P, puede representar una de las cuatro diferentes cantidades:

CASO 1: La cantidad real del dinero que puede acumularse en el tiempo n, F=P(1+i)N (1,4)

CASO 2 El poder de Compra en términos de córdobas de hoy, de una cantidad de córdobas

acumulados en el tiempo n. F=P(1+r )N (1,5) donde r=i−f1+ f (1,6)

CASO 3 El número de córdobas de entonces requeridos en el tiempo n para mantener el mismo

poder de compra como un córdoba de hoy. F=P(1+ f )N (1,7)

CASO 4 El número de pesos requeridos en el tiempo n para mantener el poder de compras y

ganar una tasa de interés establecida o deseada. F=P(1+d )N (1,8)

Ejemplo: Determinar el valor futuro para cada uno de los casos, dada la siguiente información:

tasa de interés 18% anual, tasa de inflación 12% anual, principal C$13 000 y tiempo 7 años.

Solución:

CASOSTASAS

nPRINCIPAL VALOR FUTURO

i f d r P F

1 18% …… ……. …… 7 C$13 000 C$41411,16

2 18% 12% ……. 5,357143 7 C$13.000 C$18.750,09

3 12% ……. …… 7 C$13.000 C$28 738,86

4 18% 12% 32,16% …... 7 C$13000 C$91.546,88

Nota: Para el cálculo del VAN de un proyecto en un escenario de inflación generalmente se usa

la tasa real del caso 2 como la tasa de descuento que se le aplica al flujo de caja neto calculando

a precios reales del año base del proyecto.

I 5). AMORTIZACIÓN MEDIANTE CUOTA CON CORRECCIÓN MONETARIA EN

FECHA DE PAGO

En los países donde son comunes los programas de ajustes estructurales, la devaluación

permanente del valor de las monedas locales se vuelve una necesidad imperiosa, los gobiernos

hacen uso de instrumentos de política monetaria en la búsqueda de un desarrollo económico

sostenido, se ven obligados a estimular y proteger las inversiones mediante la creación de leyes.

En Nicaragua mediante ley de la asamblea nacional todos los préstamos que otorga el SFN están

protegidos a través del mantenimiento de valor del dólar.

Las cuotas para amortizar préstamos que llevan la cláusula de mantenimiento de valor, se

determinan en la misma forma que los prestamos comunes y los resultados se convierten a las

unidades monetarias que correspondan; según el factor de correlación monetaria FCM que rija en

la fecha de cada cuota. En Nicaragua, se dolariza el córdoba de acuerdo al tipo de cambio oficial

TCO y luego se realizan todos los ajustes en la moneda córdoba en la fecha de pago.

El Factor de Corrección Monetaria en una fecha se determina por FCM=(1+iv )n (1,9) donde

n es número de períodos

iv es la tasa de variación monetaria del período o tasa de devaluación..

El Tipo de Cambio Oficial en la fecha se calcula por la fórmula:

TCO=(TCO período anterior )∗( FCM período actual ) (1,10)

Ejemplo: Cuando la tasa de variación en el año 2009 fue en promedio de 5,5% anual y al final

del mes de enero el dólar se cotizó en promedio C$19,89 , encuentre el Tipo de Cambio Oficial

para los siguientes 8 meses.

Solución:

f = 0,055 anual iv=n√1+ f −1

n = 1 año = 12 meses iv=12√1+0,055−1=0,0044716989=0,0044717 mensual

TCO = C$19,89 enero FCM = 1,0044717

Mes TCO periodo anterior FCM TCO período actual

Enero ________ ________

_

C$19,89

Febrero C$19,89 1,0044717 C$19,978942 ≈ C$19,98Marzo C$19,98 1,0044717 C$20,068282 ≈ C$20,07Abril C$20,07 1,0044717 C$20,158021 ≈ C$20,16Mayo C$20,16 1,0044717 C$20,248162 ≈ C$20,25Junio C$20,25 1,0044717 C$20,338706 ≈ C$20,34Julio C$20,34 1,0044717 C$20,429654 ≈ C$20,43Agosto C$20,43 1,0044717 C$20,521009 ≈ C$20,52

Septiembre C$20,52 1,0044717 C$20,612773 ≈ C$20,61

Directamente podemos calcular hasta el octavo mes

TCO = 19,89 (1,0044717)8 = 20,612773287 ≈ C$20,61

Ejemplo: La asociación de carpinteros obtuvo un préstamo para cambio de instrumentos de una

institución financiera el 30 de enero de 2009 por la cantidad de C$169 065 a un plazo de ocho

meses con cuotas niveladas mensuales en dólares o cuotas en córdobas ajustadas por el TCO al

momento de efectuar los pagos. Si la tasa de interés corriente fue del 18% CM, interés

moratorios del 10%. Elabore el calendario de pago.

Solución:

P = C$169 065 = $8.500

C=P[ I

1−(1+ I )−n ]=8500[ 0,015

1−(1+0.015 )−8 ]=1135,46mensual

TCO = C$19,89 enero

Sk=C[ 1−(1+i )−N+K

i ]=1135,46 [ 1−(1+0,015 )−8+1

0.015 ]=7492,01

f = 0,055 anual I k=C [1−(1+i )−N +K−1 ]=1135,46 [1−(1+0,015 )−8+1−1 ]=127,5

imo = 0,10 anual I K=S K−1∗i=8500∗0,015=127,5

j = 0,18CM AK=CK−I K=1135,46−127,5=1007,96

m = 12 meses

i=0,1812

=0,015 mensual

N = 8 meses

iv=0,0044717 mensual

FCO = 1,0044717

PERIODO AMORTIZACION INTERES

DEVENGADO

CUOTA

DOLAR

SALDO

DOLAR

TCO CCM

CORDOBAS

SCM

CORDOBAS

0 $0,00 $0,00 $0.00 $8500 C$19,89 C$0.00 C$169065,00

1 1007,96 127,50 1135,46 7492,01 19,98 22686,49 149690,36

2 1013,08 112,38 1135,46 6468,93 20,07 22788,68 129831,43

3 1028,16 97,.30 1135,46 5430,50 20,16 22890,87 109478,88

4 1044,01 81,45 1135,46 4376,50 20,25 22993,07 88624,13

5 1059,81 65,65 1135,46 3306,69 20,34 23095,26 67258,07

6 1075,86 49,60 1135,46 2220,83 20,43 23197,45 45371,56

7 1092,15 33,31 1135,46 1118,68 20,52 23299,64 28548,71

8 1108,68 16,78 1135,46 0,00 20,61 23401,83 0,00

Para efectuar los ajustes de las cuotas en dólares a córdobas en la fecha de pago, se calculan los

TCO respectivos o simplemente utilizar los TCO que las autoridades monetarias (BCN)

determinen y fijen para efectos de las transacciones financieras.

I 6). AMORTIZACIÓN MEDIANTE CUOTA NIVELADAS CON CORRECCIÓN

MONETARIA PROYECTADA

Cuando los proyectos en general necesitan financiamiento para llevar adelante las inversiones,

en un escenario de inflación o devaluación monetaria, es común que los analistas financieros

realicen las proyecciones en moneda corriente, tanto del pago de las cuotas, como los ingresos y

egresos, utilizando la tasa de interés inflada d que se puede calcular teniendo en cuenta las

estimaciones promedio anual de la tasa de variación monetaria, que prevalecerá a lo largo de la

vida útil del proyecto o de la inversión., d=i+iv+(i)(iv ) , (1,11) donde

D es la tasa de interés inflada

i es la tasa de interés real del período

i v es la tasa de variación o deslizamiento monetario periódica.

Ejemplo: Un proyecto acuícola solicita un financiamiento de C$2 000 000,00 para invertir en

equipos y tecnología. Si la devaluación controlada del córdoba para los próximos 6 años se

estima en 8% anual. El horizonte de planeación es de 5 años y la tasa de interés del préstamo es

del 15%. Elabore el calendario de pago utilizando el sistema de cuotas niveladas en córdobas

corrientes y que contengan el ajuste por deslizamiento monetario.

Datos Fórmulas:

P = C$2.000.000,00 d=i+iv+(i)(iv ) , C=P[ d

1−(1+d )−n ]I v = 8% anual

I = 15% anual Sk=C[ 1−(1+d )−N +K

d ]

N = 5 años C =? AK=CK−I K I k=Sk −1∗dd =? Solución:

d = 0,15 + 0,08 + (0,15)(0,08) = 0,242 C=2000000[ 0,242

1−(1+0,242 )−5 ]=731526,83

S1=731.152,83 [ 1−(1+0,242 )−5+1

0.242 ]=1 752 473,17

I 1=2000000∗0,242=484000,0 0

A1=731 526 ,83−484 000 ,00=247 526 , 83

FIN DE

PERÍODO

ANUAL

AMORTIZACIÓN AL

PRINCIPAL

INTERESES

INFLADOSCUOTA INFLADA SALDO INSOLUTO

0 0,00 0,00 C$0,00 2 000 000,00

1 247 526,83 484 000,00 731 526,83 1 752 473,17

2 307 428,32 424 098,51 731 526,83 1 445 044,85

3 381 825,98 349 700,85 731 526,83 1 063 218,87

4 474 227,85 257 298,97 731 526,83 588 991,01

5 588 991,01 142 535,82 731 526,83 C$0,00

TOTAL C$2.000.000,00 C$1 657 634,15 C$3 657 634,15 SALDO PAGADO

I 7). INCIDENCIA DE LA DESVALORIZACIÓN EN LOS INTERESES SOBRE

PRÉSTAMOS

Índices de precios. En períodos de inflación, los precios de los diferentes artículos no varían en

una misma proporción; por esta razón, se utiliza el costo de vida como una medida de la

desvalorización de la moneda, este costo se expresa por medio de un coeficiente numérico que se

denomina índice de precios. Las medias ponderadas refleja aumento promedio de los precios.

El índice del costo de vida se expresa por comparación con un valor de índice básico 100 que

corresponde a determinado período. Por ejemplo, si para cierto año con relación al período

básico el índice In es igual a 120, esto significa que el costo de vida aumento en un 20%, o sea

que es necesario disponer de 120 unidades monetarias para adquirir los mismos artículos que en

el período básico se compraban con 100 unidades. El nuevo valor de una unidad monetaria, con

relación al valor unitario del período básico se da por: Nuevo valor=100120

=0,8333 u b

En general, para el índice In, el nuevo valor V n=100I n

con relación al período anterior.

Para calcular la variación del valor de la moneda entre dos períodos cuyos índices, con relación

al básico, son It y Ik, se designan mediante Vt y Vk, los valores de las monedas en cada período:

V t=100I t

,V k=100I k

. De dondeV t

V k

=I k

I t

. O sea los valores de la moneda en diferentes períodos de

inflación son inversamente proporcional al respectivo índice de precios.

Ejemplo: Una unidad monetaria entregada en préstamo en un período de índice 125 se paga en

un período cuyo índice es 130. Hallar la pérdida de valor, expresada en porcentaje del valor en la

fecha del préstamo.

Datos Solución

It = 125V t

V k

=130125

→V k=125130

V t=0,9615 V t

Ik = 130 V k=96,15 %del valor deV t

Pérdida de valor = 3,85 %

Incidencia de la desvalorización en los intereses sobre préstamos

Sea un préstamo de una unidad monetaria con intereses simples a la tasa i por período, durante n

períodos, y sean I0 e In los índices de precios correspondientes a los períodos inicial y final del

préstamo. El valor futuro al final de n períodos es F = (1 + in), el valor Vk de la unidad monetaria

con relación al valor V0 del período inicial es proporcionado por V k=I 0

I k

V 0

Mediante la expresión del valor futuro en función del valor unitario de la moneda en el período

inicial, se tiene: F=(1+¿)I 0

I k

Para la tasa de interés simple real i´ ganada, expresado el beneficio en el valor inicial de la

moneda como unitario, se tiene F=(1+i ´ n); valor futuro de la unidad, se sustituye en (1, ), y se

tiene: (1+i ´ n )=(1+¿ )I0

I k

osea i´=(1+¿ )

I 0

I k

−1

n

Ejemplo: Un inversionista presta $10000 a intereses simple del 12% y con vencimiento dentro

de 1 año 8 meses. Si en el momento de efectuarse el préstamo el índice es 120 y en la fecha de

vencimiento éste es de 160, hallar en función del valor inicial de la moneda.

a). El valor futuro que recibe el acreedor.

b). El interés que gana su inversión.

Datos

P = 10000 F=10000(1+ 53

(0,12 )) 120160

=9000 unidades monetarias iniciales

I0 = 120 i ´=(1+(0,12) 5

3 ) 120160

−1

53

=−0,06

Ik = 160 el prestamista pierde el 6 % anual sobre su patrimonio.

I = 12% anual

N = 1 año 8 meses = 53

años

La reducción de valor que sufre el dinero en los períodos de inflación beneficia al deudor, en

detrimento del acreedor, a este respecto, algunos economistas han expresado la idea de que, en

lugar de contratar un pago en dinero en fecha futura, se debería contratar un pago de una suma de

dinero que fuese equivalente a ciertas cantidades de mercancías. Lo que equivale a pagar las

deudas, en dinero modificado de acuerdo con el índice de precios correspondientes a la fecha

inicial de la operación de préstamo, o sea, en unidades de valor constante.

UNIDAD II: GRADIENTES

Calcula gradientes aritméticos, geométricos y rentas variables en grupo.

II 1). GRADIENTES LINEALES

II 2). GRADIENTE ARITMÉTICO O LINEAL CRECIENTE

II 3). GRADIENTE ARITMÉTICO O LINEAL DECRECIENTE

II 4). GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL

II 5). GRADIENTE EXPONENCIAL CRECIENTE.

II 6). GRADIENTE EXPONENCIAL DECRECIENTE

II 7). AMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN CON GRADIENTES.

II 8). AMORTIZACIÓN DE RENTAS VARIABLES EN GRUPOS

UNIDAD III:DEPRECIACION

Maneja los diversos métodos de depreciación de activos fijos y para la recuperación de inversiones de bienes agotables.

III 1). DEFINICIONES BÁSICAS.

III 2). DEPRECIACIÓN POR EL MÉTODO DE LA LÍNEA RECTA

III 3). DEPRECIACIÓN POR EL FONDO DE AMORTIZACIÓN

III 4). DEPRECIACIÓN POR LA SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS (SDA)

III 5). MÉTODO DE DEPRECIACIÓN POR PORCENTAJE (TASA) FIJA

III 6). MÉTODO POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO

III 7). TIPOS DE PROPIEDADES Y SUS PERIODOS DE RECUPERACIÓN.

III 8). MÉTODOS DE AGOTAMIENTO: RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN EN

BIENES AGOTABLES.

UNIDAD IV: BONOS Y OBLIGACIONES

Calcula el precio de cotización y los rendimientos de las inversiones en bonos, mediante cuadros contables.

IV 1). DEFINICIONES BÁSICAS.

IV 2). BONOS Y OBLIGACIONES

IV 3). TRANSFERENCIA DE BONOS Y OBLIGACIONES.

IV 4). PRIMA Y DESCUENTO.

IV 5). VALOR CONTABLE

IV 6). PRECIO ENTRE FECHAS DE CUPÓN

IV 7). OBTENCIÓN DEL TANTO DEL BENEFICIO

IV 8). BONOS SERIADOS

IV 9). ACCIONES Y OTROS TÍTULOS DE VALOR.

BIBLIOGRAFÍA.

Texto Básico:

Reyes Alvarado, Noel; Matemática Financiera; Edición de la Facultad de Ciencias Económicas. UNAN-Managua.

Textos Complementarios:

1. Portus, G., Lincoyán; Matemáticas Financieras; Mc Graw-Hill, cuarta edición; México, 2000.

2. González Catalá, V.: Análisis de las Operaciones Financieras, Bancarias y Bursátiles. Ediciones Ciencias Sociales; Madrid, España; 1995.

3. González Catalá, V.; Vitón, E. y otros, Gestión Financiera; Ediciones Santillana; Madrid, España, 1996.

4. Alfredo Díaz Mata y Víctor M. Aguilera Gómez; Mc Graw-Hill, tercera edición; Matemáticas Financieras.

5. Frank Ayres, Jr: Mc Graw-Hill; Matemáticas Financieras.

6. Leland T. Blank y Tarquin Antony J. Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw-Hill. Quinta edición.

7. Villalobos José. Segunda Edición, Editorial Prentice Hall. Matemática Financieras.

8. Justin H. Moore, Manual de MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Editorial UTEHA