Clases de Integrales
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Semana 1:
La integral
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La Integral.• Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular unaantiderivada o integral indenida de una función.
• !ada una función f " x #$ los métodos de integración son técnicascu%o uso "usualmente com&inado# permite encontrar una función
F " x # tal que
• lo cual$ por el teorema fundamental del c'lculo equivale a (allaruna función F ")# tal que f " x # es su derivada: 1
$.
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Integración directa• En ocasiones es posi&le aplicar la relación dada por el teorema
fundamental del c'lculo de forma directa. Esto es$ si se conoce deantemano una función cu%a derivada sea igual a f " x # "%a sea pordisponer de una ta&la de integrales o por (a&erse calculadopreviamente#$ entonces tal función es el resultado de laantiderivada.
• E+emplo: – Calcular la integral . – En una ta&la de derivadas se puede compro&ar que la derivada de tan" x # es
sec," x #. -or tanto:
• E+emplo: – Calcular la integral . – na fórmula est'ndar so&re derivadas esta&lece que . – !e este modo$ la solución del pro&lema es .
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Integración por sustitución• El método de integración por sustitución o por cam&io de varia&le se &asa
en reali/ar un reempla/o de varia&les adecuado que permita convertir el
integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. Enmuc(os casos$ donde las integrales no son triviales$ se puede llevar a unaintegral de ta&la para encontrar f'cilmente su primitiva. Este métodoreali/a lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
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Integración pordescomposición
• Este método se &asa en la aplicación de dospropiedades elementales de las integrales: – -rimera propiedad de las integrales
• La integral de una suma "respectivamente diferencia# defunciones$ es igual a la suma "respectivamente diferencia#de las integrales de las funciones:
• Esto es:
• !emostración:
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Integración pordescomposición
•
Segunda propiedad de las integrales – La integral del producto de unaconstante por una función$ es igual alproducto de la constante por la integral
de la función. – Es decir$ – !emostración:
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E+ercicios 0 Integración por descomposición
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E+ercicios 0 Integración por descomposición
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La integral denida•
La integral denida es un concepto utili/ado para determinar el valor de las'reas limitadas por curvas % rectas. !ado el intervalo a$ &2 en el que$ paracada uno de sus puntos )$ se dene una función f ")# que es ma%or o igualque 3 en a$ &2$ se llama integral denida de la función entre los puntos a %& al 'rea de la porción del plano que est' limitada por la función$ el e+e(ori/ontal 45 % las rectas verticales de ecuaciones ) 6 a % ) 6 &.
• La integral denida de la función entre los e)tremos del intervalo a$ &2 se
denota como:
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-ropiedades de la integraldenida• La integral denida cumple las siguientes propiedades:
• 7oda integral e)tendida a un intervalo de un solo punto$ a$ a2$ es igual acero.
• 8uando la función f ")# es ma%or que cero$ su integral es positiva9 si lafunción es menor que cero$ su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integralestomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a laconstante por la integral de la función "es decir$ se puede sacar; laconstante de la integral#.
• <l permutar los límites de una integral$ ésta cam&ia de signo.• !ados tres puntos tales que a = & = c$ entonces se cumple que
"integración a tro/os#:
• -ara todo punto ) del intervalo a$&2 al que se aplican dos funciones f ")# %g ")# tales que f ")# > g ")#$ se verica que:
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Semana ,:La integral
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E+ercicios 0 Integral denida
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7eorema fundamental de c'lculointegral
• La relación entre derivada e integral denida queda esta&lecidadenitivamente por medio del denominado teorema fundamentaldel c'lculo integral$ que esta&lece que$ dada una función f ")#$ sufunción integral asociada ? ")# cumple necesariamente que:
• < partir del teorema fundamental del c'lculo integral es posi&ledenir un método para calcular la integral denida de una funciónf ")# en un intervalo a$ &2$ denominado regla de AarroB:
• Se &usca primero una función ? ")# que verique que ?C ")# 6 f ")#.•
Se calcula el valor de esta función en los e)tremos del intervalo: ?"a# % ? "&#.• El valor de la integral denida entre estos dos puntos vendr'
entonces dado por:
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-rimer teorema
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Segundo teorema
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Semana D % :
<plicación de la integraldenida
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La integral denida• La integral denida es una (erramienta Ftil en las ciencias físicas
% sociales$ %a que muc(as cantidades de interés en dic(asciencias pueden denirse mediante el tipo de suma que sepresentan en la integral denida.
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La integral denida
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La integral denida
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La integral denida
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8'lculo de 'reas
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8'lculo de 'reas
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8'lculo de 'reas
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rea comprendida entre dos curvas
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rea comprendida entre dos curvas
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rea comprendida entre dos curvas
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Sólidos de revolución
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Sólidos de revolución
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Ai&liografía• LudBing Sala/ar$ Hugo Aa(ena$ ?rancisco ega: 8'lculo integral$
-u&licaciones 8ultural$ ,33J.
• (ttp:KKBBB.(iru.comKesKmatematiaKmatematia3J33.(tml
• (ttp:KKmatematica.Biia.comKBiiK7eoremafundamentaldelcN8DN<1lculointegral
• (ttp:KKBBB.cidse.itcr.ac.crKcursosOlineaK8<L8L4!I?EPEQ8I<LKcursoO
elsieKaplicacionesintegralK(tmlKaplicacionesOintegral.pdf