Clases de Estadística Distribución Poisson

Profesora: María del Carmen Andrade Lara

Características de una v.a Poisson1. El experimento consiste en contar el número x de veces

que ocurre un evento en particular durante una unidad de tiempo dada, o en un área o volumen (o peso, distancia o cualquier otra unidad de medida) dada.

2. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen, es la misma para todas las unidades.

3. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades.

4. El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega, λ

Distribución de Poisson

Si X~Poisson(λ), entonces:

• X es una v.a. discreta, cuyos posibles valores son enteros no negativos

• El parámetro λ es una constante positiva• La función de masa de probabilidad de X es

λx

e- λ ---- si x es un entero no negativo p(x) = x! 0 de otro modo

• La función de masa de probabilidad de Poisson se aproxima mucho a la función de masa de probabilidad binomial cuando n es grande, p es pequeña y λ = npAlgunos autores (Webster) como regla práctica, adoptan que la aproximación tiene una exactitud razonable si n ≥ 20 y p ≤ 0.10

Media y Varianza de una v.a de Poisson

Si X~Poisson(λ), entonces la media y la varianza de X están dadas por:

μx = λ

σ²x = λ

Ejemplo 1

Un departamento de reparación de maquinaria recibe un promedio de 5 solicitudes de servicio por hora. Cuál es la probabilidad de que reciban menos de 3 solicitudes en una hora elegida al azar? 5x

p(x) = e- 5 ---- x!

P(x < 3) = p(x=0)+p(x=1)+p(x=2) = 0.0067+0.0337+.0842 = 0.1246

Ejemplo 2Suponga que el número x de grietas por bloque de concreto con cierto tipo de mezcla de cemento tiene una distribución de probabilidad de Poisson aproximada. Además, suponga que el número medio de grietas por bloque es de 2.5.

a. Calcule la media y la desviación estándar de x, el número de grietas por espécimen de concreto.

Tanto la media como la varianza de una v.a de poisson son iguales a λ. Por tanto,

μx = λ = 2.5 σ²x = λ = 2.5

Entonces la desviación estándar es σ = 2.5 = 1.58

Ejemplo 2- continuación

b. Calcule la probabilidad de que un bloque de concreto escogido al azar tenga exactamente cinco grietas

Como se desea conocer la probabilidad de que un bloque de concreto tenga exactamente cinco grietas. La distribución de probabilidad de x es:

2.5x

p(x) = e- 2.5 ------ x! Entonces dado que x=5

2.55

p(x=5) = e- 2.5 ------ = 0.067 5!

Ejemplo 2- continuación c. Calcule la probabilidad de que un bloque de concreto escogido al

azar tenga dos o más grietas. p(x ≥ 2) = p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+… Si se desea calcular la probabilidad de este evento es necesario

considerar el evento complemento:

p(x ≥ 2) = 1 – p(x < 2) = 1 - [p(x=0)+p(x=1)]

e -0 2.5 2.50 e -0 2.5 2.51

= 1 – ------------- – ------------- = 0.713 0! 1!

Ejemplo 3

Unas partículas (por ejemplo, células de levadura) están suspendidas en un medio líquido con concentración de 6 partículas por mL. Se agita por completo un volumen grande de la suspensión, y después se extrae 3 mL. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo se retiren 15 partículas?

Si X es el número de partículas. El número promedio de partículas en un volumen de 3 mL es 18. Entonces X~Poisson(18), La probabilidad de que se extraigan sólo 15 partículas es:

1815

p(x=15) = e- 18 ------ = 0.0786 15!

Bibliografía

• Navidi William. Estadística para Ingenieros y Científicos. Mc Graw Hill, México 2006

• Mendenhall y Sincich. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Cuarta Edición. Prentice Hall.1997