Tema 02

Análisis de prestaciones e introducción al dimensionamiento en redes de conmutación de paquetes

Tema 02

Análisis de prestaciones e introducción al dimensionamiento en redes de conmutación de paquetes

Rafael Estepa AlonsoUniversidad de Sevilla

Índice del Tema 02Índice del Tema 022.1 Introducción a las Prestaciones en las redes de Ordenadores

2.1.1 Introducción a los indicadores de prestaciones y los SLA

2.1.2 Modelo simple del retardo en una red de conmutación de paquetes

2.1.3 Enfoques para la evaluación de prestaciones

2.2 Modelos de Colas2.2.1 Modelos de Colas

2.2.2 Fórmula de Little

2.3 El proceso de Poisson2.3.1 Propiedades básicas

2.3.2 Caracterización

2.3.3 Adición y división de procesos de Poisson

2.3.4 propiedad PASTA

2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor

2

2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor2.4.1 El sistema M/G/12.4.2 Clases y Prioridades

2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M/1 y M/M/1/L

2.6 Introducción a las redes de colas: redes de Jackson

2.7 Fuentes on-off e introducción al modelo de Fluidos2.7.1 Modelo de una fuente on-off

2.7.2 Introducción a la multiplexión de fuentes on-off

2.7.3 Solución para colas de tamaño finito

2.7.4 Solución para colas de tamaño infinito

2.8 Dimensionamiento 2.8.1 Dimensionamiento con el modelo de fluidos

2.8.3 Dimensionamiento con el modelo del ancho equivalente de Guerin

El Proceso de PoissonEl Proceso de Poisson

Definición: si los {Xn,n > 1} es una secuencia de v.a. i.i.d. exp(λ) el

proceso contador N(t) es un Proceso de Poisson con parámetro λ y

se denota por PP(λ).

La variable N(t) es un proceso de Poisson si cumple con:

N(0) = 0

El número de eventos que ocurren en un subintervalo de tiempo es

3

independiente del número de eventos que ocurren en otro subintervalo

de tiempo disjunto

La probabilidad de que ocurra un evento en un subintervalo es

proporcional a su longitud (temporal o espacial) y es la misma para

todos los subintervalos

limt�0P(N(t)=1) / t = λ

limt�0P(N(t)>1) / t = 0

1

2

3

N(t)

tS0 S1 S2 S3

Propiedades del Proceso de Poisson (PP)Propiedades del Proceso de Poisson (PP)

Propiedad importante de los procesos de Poisson

La unión o separación de PP es también un PP

PASTA: la distribución del número de clientes en el sistema (Pn)

que es observada por los clientes que llegan al sistema es una

media temporal perfectamente aleatoria del estado real del sistema

Pn

Los instantes de llegadas de un proceso de posisson son instantes de

muestreo independientes y perfectamente aleatorios para observar la

4

muestreo independientes y perfectamente aleatorios para observar la

distribución de probabilidad a lo largo del tiempo.

t

Pi

t

123

Es un proceso SIN memoriaEs un proceso SIN memoria

El comportamiento no depende del pasado ni de mi punto de

observación.

R = vida residual de una variable (X)� E( R) = E(X)/2 + Var(X)/(2*E(X))

Si X es exponencial (llegadas de Poisson)� E( R) = E(X), pero además F( R) = F(X)

5

X

Observador en

Instante aleatorio

i R

Introducción a las Redes de OrdenadoresIntroducción a las Redes de Ordenadores

2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor

2.4.1 El Sistema M/G/1

2.4.2 Clases y Prioridades2.4.2 Clases y Prioridades

El sistema M/G/1El sistema M/G/1

Hasta ahora tenemos tres relaciones

N=λT , Q= λW , T= W+1/µ Cuarta ecuación

W=W0+W1

� W0 = ρ E[R] = λ E[S^2]/2 , lo que le falta a la tarea en el servidor

� W1 = Q/µ , lo que debo esperar por la cola (disciplina FCFS)

Reordenando: W = λE[S^2]/2 + ρW� Relación entre media y varianza: E[S^2] = E[S]^2 + Var[S]

Para solucionar un sistema M/G/1 necesitaré

Entradas: E[X], E[S], Var[S]

Salidas: N,T,W,Q (son valores medios)

Contexto: No saturación (Little), disciplina FCFS, llegadas Pois.

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Clases y PrioridadesClases y Prioridades

Supongamos un sistema con P clases de tráfico (cada una ρ i =λi/ µi)

Donde: λi / λ es la proporción de individuos de clase i

Tendremos que:

� T = λ1 / λ * T1 + λ2 / λ * T2 + --- (donde Ti * λi = Ni) y N = N1+N2+ …

� W = λ1 / λ * W1 + λ2 / λ * W2 + --- (donde Wi * λi = Qi) y Q = Q1+Q2+ …

A cada clase de tráfico se le asocia una prioridad� En la misma clase se aplica el orden de llegadas (FCFS)

Teorema de la conservaciónTeorema de la conservación ρ1 W1+ ρ1W2 +… = cte = ρWo/(1-ρ)

(donde Wo= ρ1E[R1]+ ρ2E[R2]+… = (λ1E[S1^2]+λ2E[S2^2]+ … )/2

8

1 2

3

…

P

λ2

λ1

λ = λ1+ λ2…+ λP

λ3

λP

Disciplina HOL (priorización estricta)Disciplina HOL (priorización estricta)

Asignamos prioridades: clase 1 -> máx prio, clase P-> mín prio

Busco calcular: Wi (tiempo de espera en cola para clase i)

Wi= Wo+Wi1+Wi

2

Wi1 espera por trabajos de mayor prioridad que estaban en cola

�Wi1=Q1/µ1 +Q2/µ2 +… + Qi/µi

Wi2 espera por trabajos de mayor prioridad que llegarán en Wi

�W 1=W ρ +W ρ +… + W ρ�Wi1=Wiρ1 +Wiρ2 +… + Wiρi-1

Solución Final (fórmula de Cobham para M/G/1 y HOL sin apropiación)

Wi= Wo / [(1- ρ1 -ρ2 -…ρi-1 )*(1- ρ1 -ρ2 -…ρi )]

Ahora puedo calcular W y T para el sistema.

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Introducción a las Redes de OrdenadoresIntroducción a las Redes de Ordenadores

2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M1 y M/M/1/L

2.5.1 Procesos de nacimiento y muerte

2.5.2 Prestaciones en un sistema M/M/12.5.2 Prestaciones en un sistema M/M/1

2.5.3 Prestaciones en un sistema M/M/1/L y M/M/m/m

Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte

Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la transición entre estados adyascentes (pij = 0 , j ≠i±1).

t

123

11

Nos permiten averiguar el estado del sistema (número de usuarios

en el sistema) además de otras variables de interés

Sea N(t) = A(t) – D(t)

A(t) es el número de tareas llegadas al sistemas hasta el instante t

(nacimientos) (A(0) = 0)

D(t) es el número de tareas que han salido del sistema hasta el instante

t (muertes)

Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte

Si A(t) y D(t) son Procesos de Poisson entonces N(t) es un proceso

de nacimiento y muerte (* y †) que cumple lo siguiente:

Sin memoria: la evolucion temporal del proceso en un instante t es

independiente del estado del sistema en los instantes anteriores

Homogeneidad: las probabilidades de transicion son estacionarias

(independientes del instante t). Luego N(t) es un proceso de Markov

homogeneo

� Probabilidad de transición entre estados

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� Probabilidad de transición entre estados

Nacimientos y muertes individuales: durante un intervalo de tiempo

∆t suficientemente pequeño sólo es posible cambiar a un estado

adyascente

n n+1n-1

Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte

Como consecuencia de las propiedades anteriores, el proceso

estocástico de de nacimiento y muerte cumplirá que:

qm,m+1 = λm∆t , donde λm se llama tasa de nacimientos del estado m

qm,m-1 = µm∆t , donde µm se llama tasa de muertes del estado m

qm,m = 1- (λm + µm) ∆t

Queremos obtener las probabilidades a largo plazo de Pn

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n

Para ello observo la evolución temporal pn(t)

A largo plazo se cumple que …

m m+1m-1

qm,m+1

qm,m-1

Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte

En general

pi

Sum pi = 1

Estadísticos de utilidadqm,m+1

14

m m+1m-1

qm,m-1

EjercicioEjercicio

En la cola de salida de un router, se desea conocer el número

medio de paquetes en la cola del enlace. La cola sólo tiene 3

posiciones . Para ello se ha medido experimentalmente y se

observa que los procesos de entrada y salida del sistema son

Poissonianos con tasa (4,3,2,1,1) y (0,4,3,2,2) en función del estado

del sistema averiguar:

Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado.

Calcular la probabilidad de que la cola este llena.

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Calcular la probabilidad de que la cola este llena.

Calcular numero medio de paquetes en el sistema

Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema

¿cómo cambiaría si las tasas fueran independientes del estado del

sistema? (p.e 2 y 4)

Sistema M/M/1Sistema M/M/1

Aplicación de lo anterior a un sistema de colas M/M/1

A(t) Poisson , D(t) Poisson

Suponemos que A(t) y D(t) no dependen del estado del sistema

� Tasa de nacimiento constante: λi = λ , para cualquier estado

� Tasa de muerte: µi = µ , para cualquier estado

Sustituyendo en la expresión de p0 tenemos

p0 = 1- ρ

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pi

Resto de estadísticos

EjercicioEjercicio

En la cola de salida de un router, se desea conocer el número

medio de paquetes en la cola del enlace. La cola tiene infinitas

posiciones . Para ello se ha medido experimentalmente y se

observa que los procesos de entrada y salida del sistema son

Poissonianos con tasa 2 y 4 independientemente del estado del

sistema averiguar:

Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado.

Calcular la probabilidad de que la cola este llena.

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Calcular la probabilidad de que la cola este llena.

Calcular numero medio de paquetes en el sistema

Calcular el número medio de paquetes en la cola

Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema

Sistema M/M/1Sistema M/M/1

Distribución del retardo (no es posible que haya pérdidas)

Uso de la propiedad PASTA del proceso de llegadas

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Uso como Modelo ideal de un multiplexor de paquetes

Estimación de tiempo medio de espera en cola

Uso como estimación grosera de probabilidad de pérdidas (ρL)

EjemploEjemplo

Supongamos una aplicacion de VoIP que se ejecuta en 46

ordenadores que estan conectados en una LAN (enlace punto-

multipunto donde suponemos que no hay colision) y que sale hacia

el destino a traves de un router que tiene un enlace de conexion con

Internet de 1 Mb/s. Suponga que los paquetes que generan las

aplicaciones de VoIP consituyen un PP y se generan con un patron

de tiempo entre paquetes exponencial de media 30ms. Suponga

tambien que el tiempo de servicio (tamaño del paquete) requerido

19

tambien que el tiempo de servicio (tamaño del paquete) requerido

por cada paquete tambien es exponencialmente distribuido con una

media de 80B.

Los paquetes deben sufrir un retardo máximo < 70ms al atravesar el

router para que la calidad sea aceptable …. ¿qué probabilidad hay

de que tengan una calidad aceptable?

ResumenResumen

Procesos de Nacimiento y Muerte

Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la

transición entre estados adyascentes

Propiedades: sin memoria, homogéneos, nacimientos y muertes

individuales

Solución en estado estable (estado del sistema)

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Sistema M/M/1

Proceso de nacimiento y muerte donde las tasas de nacimiento y

muerte no dependen del estado del sistema

Solución

Distribución del retardo en la cola

p0 = 1- ρ

El sistema M/M/1/L y M/M/m/mEl sistema M/M/1/L y M/M/m/m

Buffer de tamaño finito: pérdidas de paquetes.

En este caso:

� Tasa de nacimiento: λi = λ si i<L; λi = 0 para i>=L

– Implica que pn =0 para n>L (pues no hay sitio en el sistema)

� Tasa de muerte: µi = µ , para cualquier estado

Sustituyendo en las ecuaciones:

Estadísticos de interés: Prob de pérdidas (que una llegada encuentre el

21

Estadísticos de interés: Prob de pérdidas (que una llegada encuentre el

sistema lleno)

El sistema: M/M/m/m (Aplicado en Telefonia –Erlang-)

� Tasa de nacimiento: λi = λ si i<m; λi = 0 para i>=m

� Tasa de muerte: µi = iµ , para i<=m

– Solución: p0 = (1+I+ I2/2!+ I3/3!+…+ Im/m!)-1 , BLL=Im/m! * p0

Redes de ColasRedes de Colas

Redes Abiertas

Supondremos N nodos tipo M/M/m

Las tareas llegan a la red con una tasa λ* y la probabilidad de saltar del

nodo i al j será qij.

Teorema de Jackson:

� Si λ* no depende del estado de la red:

– Pn = P1(n1)*P2(n2)*P3(n3)* … *PN(nN)

� Además cada nodo se calcula de forma independiente: M/M/m

22

� Además cada nodo se calcula de forma independiente: M/M/m

Estadísticos:

T=N/ λ* , donde N=N1+N2+N3+…+NN. T=1/λ*(λ1T1+ λ2T2+ … + λ1T1)

Otros parámetros de interés:

Nº medio de visitas al nodo i = λ1/ λ*

Tiempo medio y servicio demandado en el nodo i

Para ampliarPara ampliar

Lecturas recomendadas

Libros de la biliografía

� Hayes: sección 1.2 (approaches to performance evaluation)

� Peterson: sección 1.5 (Performance)

� León-García: Apéndice A (retardo y pérdida de prestaciones), 7.7.1 y 7.7.2

(colas FIFO y equitativas)

� Kumar: 2.1, 2.2.1

Próxima Clase

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Próxima Clase

Sistemas M/M/1

Cuestiones para revisar lo aprendidoCuestiones para revisar lo aprendido

Deduzca la ecuación de equilibrio de los procesos de nacimiento y

muerte

¿Cómo se resuelve el sistema M/M/1 partiendo de la ecuación

anterior?

Indique cómo averiguar parámetros de utilidad en los sistemas de

colas partiendo del conocimiento del estado del sistema a largo

plazo.

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FIN DE LA CLASEFIN DE LA CLASE

Preguntas ?

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