Clase ndeg 2._desarrollo_de_modelos_2012.ii
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15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 1
INVESTIGACION INVESTIGACION OPERATIVA 1OPERATIVA 1
DESARROLLO DE MODELOS
CLASE N° 2CLASE N° 2
UNIVERSIDAD NORBERT WIENERFacultad de Ingeniería
Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Sistemas
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El problema
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Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz
Los recursos son escasos
Los sistemas son cada vez más complejos
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Métodos Cuantitativos
Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos
Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones
Requiere un enfoque interdisciplinario
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Historia de la I.O.
Se aplica por primera vez en 1780 Antecedentes:
Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)
Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)
Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)
El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial
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Historia de la I.O.
Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a: competitividad industrial progreso teórico
RAND (Dantzig) Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker) Carnegie Institute of Technology (Charnes,
Cooper) gran desarrollo de los ordenadores
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Actualidad de la I.O.
Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial
Más información: Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
www.cica.es/aliens/seio Association of European O.R. Societies (EURO)
www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)
www.informs.org International Federation of O.R. Societies (IFORS)
www.ifors.org
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El método de la I.O.
Definición del problema Formulación del problema y construcción
del modelo Resolución Verificación, validación, refinamiento Interpretación y análisis de resultados Implantación y uso extensivo
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A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente
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El modelado
Es una ciencia análisis de relaciones aplicación de algoritmos de solución
Y a la vez un arte visión de la realidad estilo, elegancia, simplicidad uso creativo de las herramientas experiencia
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Definición del problema
Consiste en identificar los elementos de decisión objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) alternativas limitaciones del sistema
Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)
Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
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SistemaReal
SistemaReal MODELOMODELO
ImplementaciónImplementaciónResultadosResultadosDecisión
finalDecisión
final
Decisiónóptima
Decisiónóptima
Comparación (+) o ( -)
Ajustes
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MODELO
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•Simbólico•Icónico•Analítico /Matemático•Simulación
Representación de la realidad
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•Variables de decisión•Parámetros y constantes•Función de optimización: Max/Min•Ecuaciones de restricción
¿Cuál es la estructura del modelo matemático?
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Definiciones
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Variables de decisión: Decisiones cuantificables relacionadas unas con otras. Ejemplo: Cuánto comprar, venderFunción objetivo: La medida de efectividad compuesta expresada como una función de las variables de decisión. Puede ser Maximizar o MinimizarParámetros: Valores constantes que actúan como coeficientes al lado derecho de las variables tanto en la función objetivo como en las restricciones y que se basan en datos tecnológicos de los problemas. Ejemplo fijar tasa inflaciónRestricciones: Limitaciones impuestas sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades. Pueden = / /
Max Z = 3X1 + 2X2
Sujeto a:4X1 + 11X2 = 23
X1 - 2X2 200 X1, X2 0
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Modelos de Simulación
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Técnica en la cual se capturan las relaciones de causa y efecto de un sistema en un modelo realizado con
un software, con el cual se puede generar un comportamiento muy
cercano al del sistema real.
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Simulación
Sistemas complejos No interrumpe lo
real Estimula creatividad Ahorra dinero Reduce Riesgos Reduce tiempo
prueba Facilita otras salidas Análisis sensibilidad
Requiere recursos Grado
entendimiento Requiere mucho
dato Simula al hombre
en parte Dependencia de
datos Más descriptivos
que prescriptivos
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Ventajas Desventajas
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Formulación del problema
Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento
Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación
Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos hace más claras la estructura y relaciones facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores a veces no es aplicable
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Construcción del modelo
Traducción del problema a términos matemáticos objetivos: función objetivo alternativas: variables de decisión limitaciones del sistema: restricciones
Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas heurísticos simulación
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Tipos de modelos
Determinísticos Programación
matemática Programación lineal Programación entera Programación dinámica Programación no lineal Programación
multiobjetivo Modelos de
transporte Modelos de redes
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Probabilísticos Programación
estocástica Gestión de
inventarios Fenómenos de
espera (colas) Teoría de juegos Simulación
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Resolución
Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones
Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos
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Verificación y validación Eliminación de errores Comprobación de que el modelo se
adapta a la realidad
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Interpretación y análisis Robustez de la solución óptima
obtenida: Análisis de sensibilidad Detección de soluciones cuasi-
óptimas atractivas
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Implantación
Sistema de ayuda y mantenimiento Documentación Formación de usuarios
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Ejemplo nº1
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En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
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Formulación
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 24
21 0003000050 x.x.z axM
0
0001000020005
1553
21
21
21
x,x
.x.x.
xx
.a.s
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El modelo de P.L.
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 25
nn xcxcxcz Opt 2211
021
2211
11212111
n
mnmnmm
nn
x,,x,x
bxaxaxa
bxaxaxa
.a.s
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El modelo de P.L.
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 26
z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,
Opt CTXs.a.
AX bx 0
Forma canónica
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Propiedades del modelo lineal Proporcionalidad
La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable
Aditividad El coste y las restricciones son la suma
directa de las variables
Divisibilidad Las variables pueden dividirse en cualquier
tipo de fracción
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Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de
P.L., pero con algunas variables enteras Programación entera mixta (MIP)
x R+, y Z+
Programación entera pura (IP) x Z+
Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x {0,1}: variables de asignación, lógicas
Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.
El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)
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Problemas típicos
Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajero (TSP) Problema de rutas óptimas
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Problema del transporte
Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta
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Zx,x
m..i,ax
n..j,bx
.a.s
xc Min
ijij
i
n
1jij
j
m
1iij
m
1i
n
1jijij
0
1
1
xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j
ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j
Se supone oferta total igual a demanda total
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Flujo con coste mínimo en red
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Embarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo
Zx,x
m..j,bxx
.a.s
xc Min
ijij
i
m
kki
m
1jij
m
1i
n
1jijij
0
11
xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j
bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0
Se supone oferta total igual a demanda total
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Problema de asignación
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 32
10
11
11
,x
m..i,x
n..j,x
.a.s
xc Min
ij
n
1jij
m
1iij
m
1i
n
1jijij
xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j
n tareasm máquinas
Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias
Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea
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Problema de la mochila
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10,x
bxa
.a.s
xc Max
j
n
1jjj
n
1jjj
n objetos
aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j
b: volumen de la mochila
xj: 1 si se escoge el objeto j
Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible
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Problema de emparejamiento
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1,0
2..1,1
..
c
2
1
1-i
1k
1-2n
1i
2n
11jij
ij
n
ijijki
ij
x
nixx
as
xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j
i<j
Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.
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Problema de recubrimiento
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m característicasn actividades
xj=1 si la actividad j se realiza
cj: coste unitario de la actividad j
aij=1 si la característica i está en la actividad j
A: matriz de incidencia
Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
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Problema de empaquetado
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m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
![Page 37: Clase ndeg 2._desarrollo_de_modelos_2012.ii](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022032619/55c03a29bb61eb72208b4669/html5/thumbnails/37.jpg)
Problema de partición
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 37
m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
![Page 38: Clase ndeg 2._desarrollo_de_modelos_2012.ii](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022032619/55c03a29bb61eb72208b4669/html5/thumbnails/38.jpg)
Problema del coste fijo
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1,0,0
..1,
..
n
1j
n
1j
1
n
1j
kij
kkjkj
jij
m
kkkjj
yx
mkyMxa
bx
as
yfxcMinxij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j
yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k
bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande
Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda
![Page 39: Clase ndeg 2._desarrollo_de_modelos_2012.ii](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022032619/55c03a29bb61eb72208b4669/html5/thumbnails/39.jpg)
Problema del viajante
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 39
10
1
1
,x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ij
Aj)j/(i,ij
Aj)i/(i,ij
Aj)(i,ijij
xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j
A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos
Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima
Uj,Ui/A)j,i(ij
UVj,Ui/A)j,i(ij
VU/VU,Ux
VU/VU,x
221
221
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10
1
1
1
1
1
,x
k,Vj,xx
x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ijk
Ar)r/(j,1jrk
Aj)i/(i,ijk
Aj)(i,ijk
Aj)j/(i,
n
kijk
Aj)i/(i,
n
kijk
n
1k Aj)(i,ijkij
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 40
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Problema de rutas
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 41
221
11
0
11
1
001 00 0
1 0
0 0
0
1 1 1
NS,Sx
m..k,x
k,rdxsxt
k,Qxq
k,j,xx
n..j,x
.a.s
xcxc Min
Si Sj
m
kijk
n
1jojk
kkn
i
n
jijki
n
i
n
jijkij
n
i
n
jkijki
n
i
n
ijikijk
n
i
m
1kijk
n
0i
n
0j
m
k
m
k
n
jojkkijkij
N: clientesM: vehículos
xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j
qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro
k, dok: período tiempo disponible
ck: coste fijo por uso
Minimizar el coste total, visitando todos los clientes
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Formulación con variables binarias
15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 42
Restricciones disyuntivas
K de N alternativas deben darse
Restricciones condicionales
Decisiones contingentes
0)(
0)(
xg
ó
xf
gxg
fxf
)1()(
)(
nnn fxf
fxf
fxf
2
222
111
)(
)(
)(
1,0,1
N
jj KN
0)(0)( xgxf 0)( 0)( xgóxfequiv. a
x y y x
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MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIASE-Mail: E-Mail:
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