Clase MM2-2015-I (Fuerzas de Inercia).pdf

Ing. Eduardo Orcs P.

Mecnica de Maquinaria IIClase 2

FUERZAS DE INERCIA


Mayo 18/20152015-I


TEMAS Dinmica de Maquinaria Anlisis esttico Fuerzas de inercia Principio de DAlembert Mtodo de superposicin de fuerzas Sistemas dinmicos equivalentes Determinacin de C.G., Momento de inercia,

Centro de percusin Esfuerzos dinmicos

2015-I

Dinmica de Maquinaria

Analizar el efecto de las fuerzas en la operacin de las mquinas

Anlisis Esttico: Velocidades bajas (1000 rpm). Considerar fuerzas de inercia principalmente.

2015-IIng. Eduardo Orcs P.

Anlisis Dinmico en el Diseo

MecnicoEstimar Masas, M.de I., Radios

de Giro,etc.

?

Masas = 0

Calcular Fuerzas

Calcular Esfuerzos

Dimensionar para Resistencia, Rigidez, Frecuencia Natural, etc.

Anlisis Cinemtico (Velocidades,Aceleraciones)

Consideraciones de tiempos y movimientos

Anlisis Esttico

Anlisis

Dinmico


Cintica Los problemas de dinmica son de dos tipos:1. Problema Inverso(Cinetosttica): Dadas las posiciones,

velocidades y aceleraciones de las partculas, encontrarlas fuerzas requeridas para producir el movimiento. Estorequiere resolver un sistema de ecuaciones algebraicas.

2. Problema Directo (Respuesta Dinmica): Dadas lasfuerzas aplicadas, determinar el movimiento del sistema.Esto requiere integrar las ecuaciones diferenciales delmovimiento para obtener las posiciones, velocidades yaceleraciones.


Fuerzas de Inercia

Son las fuerzas que se requieren paraacelerar los miembros (rgidos) de unmecanismo venciendo la inercia queoponen stos a ser movidos.

Se las determina a partir de las Leyes deNewton:

F = m aGMG = IG


2 Ley de Newton:


Principio de DAlembert (Equilibrio Dinmico):

Las fuerzas resultantesinversas maG , - IG sonlas fuerzas de inercia.

Sus sentidos son siempreopuestos a los de lasaceleraciones aG y .


La fuerza de inercia Fi = - maG, tiene una lnea de accin paralela yde sentido contrario a aG, desplazada una distancia h del C.G., de talmanera que produzca un par de sentido contrario a .

Lnea de accin de la fuerza de inercia:


Ejemplo 1: Determine las fuerzas requeridas para vencer la inercia en el mecanismo ranurado mostrado.


Clculo de velocidades:

2323 / PPPPvvv +=

=

==

135636

)2225(222 @ mm/s

APvP

Del tringulo de velocidades:

.)..(4225900

9002

636

3

223

2

/

has rad/s CPv

mm/s vv

45 @ mm/s vv

P3

P

PPP

3

===

==

==


Clculo de aceleraciones:

Del polgono de aceleraciones:

232323 /2/2 PPPPPP vaaa

++=

=

==

451273

)2225)(2( 2222 @ mm/s

ABa2

nP

=

==

mm/s

CPa2

nP

3600

)225)(4( 2233

=== 45- @ mm/s va 2PPc 2546)2450)(2(22 23 /2

.).(32225

7200

2258910

7200

3

23

3

/

hs rad/s CPa

@ mm/s a

mm/s a

2tP

3

2tPP

2tP

===

=

=


Asumimos: m2 = m3 = 1 kg, IG2 = IG3 = 1 kg.m2

Del diagrama de aceleraciones se obtiene las aceleraciones de los centros de masa de los eslabones:aG2 = 1273/2 = 636.5 mm/s2 @ 45aG3n = 3600/2 = 1800 mm/s2 aG3t = 7200/2 = 3600 mm/s2

Fuerzas y pares de inercia:Fi2 = (1)(636.5 x 10-3) = 0.64 N @ 225Fi3n = (1)(1800 x 10-3) = 1.8 N Fi3t = (1)(3600 x 10-3) = 3.6 N Ti2 = 0Ti3 = (1)(32) = 32 N.m (s.a.h.)

Clculo de fuerzas de inercia:


En el eslabn 3:

h3 = 32/3.6 = 8.9 m ()

)(1410

)(1460

452040

==

==

==

N C F

N C F

- @ N F M

yy

xx

23C

En el eslabn2:

)(1440

)(1440

.)..(650

==

==

==

N A F

N A F

has N.m T M

yy

xx

12A

Equilibrio dinmico:


Principio de Superposicin:

El principio de superposicin de fuerzas establece que elefecto neto de varias fuerzas en un sistema es lacombinacin de los efectos de cada fuerza individual.

Un mecanismo con varias fuerzas aplicadas, puede seranalizado considerando una sola fuerza a la vez. Luegolos resultados de cada caso individual pueden sersumados vectorialmente (o superpuestos) para obtenerel resultado total.

En general, el principio de superposicin es aplicablesolo a sistemas lineales. Por lo tanto, este principio soloes vlido para sistemas donde se desprecia la friccin yotros efectos no-lineales.


Ejemplo 2: El mecanismo mostrado se usa para bajar y retraer el tren deaterrizaje de un avin pequeo. El ensamblaje (eslabn 4) que porta larueda, pesa 100 lb, con C.G. en el punto G4. El radio de giro delensamblaje ha sido medido experimentalmente y su valor es 1.2 pies. Eleslabn motriz 2 pesa 5 lb y rota (s.a.h.) a una velocidad constante de 3rad/s. La biela de conexin pesa 3 lb. Determine grficamente lasfuerzas que actan en todos los eslabones, y el par motor requerido enel eslabn 2.

rAB = 1.77 piesrCD = 2.33 piesrBC = 3.0 pies

Clculo de velocidades:

=

==

==

===

24@/58.6

42@/20.5,53@/10.3

58@/65.2,24@/10.5/31.5)77.1)(3(

4

3

2

2

sp v

sp v sp vsp v sp v

sp rv

G

GCB

GC

ABB


Clculo de aceleraciones:

Del polgono de aceleraciones:

tCB

nCB

tB

nB

tC

nC aaaaaa

+++=+

p/s rva 2

CD

CnC 16.1133.2

)10.5()( 22===

p/s ra

2AB

nB

93.15

)77.1)(3( 222=

== 0, 2 == ABtB ra

=

=

=

140/25.12

144/00.14

156/96.7

2

2

2

4

3

2

@ sp a

@ sp a

@ sp a

G

G

G

2

CB

CBnCB p/s r

va 20.3310.3 22

===

s.h. rad/s ra

s.a.h. rad/s ra

2

CD

tC

4

2

CB

tCB

3

)(25.233.225.5

)(92.0375.2

===

===


Fuerzas de inercia:

=

==

=

==

=

==

4005.38)25.12(2.32

100

3630.1)0.14(2.32

3

2424.1)96.7(2.32

5

4

2

44

333

22

- @ lb amF

- @ lb amF

- @ lb amF

Gi

Gi

Gi

( ) .)..(06.10)25.2)(473.4(.).(06.0)92.0)(069.0(

121

424444

323333

4

3

has p-lb kmIT

hs p-lb lmIT

Gi

Gi

====

==

==

pies am

Ih

pies am

Ih

G

G

G

G

26.0)25.12)(106.3()25.2)(473.4(

046.0)0.14)(093.0()92.0)(069.0(

4

4

3

3

4

44

3

33

===

===


Fuerzas totales:

El peso y la fuerza deinercia del eslabn 4 sonmucho mayores que lasfuerzas que actan en losotros eslabones. Por lotanto se desprecian lasfuerzas que actan en loseslabones 2 y 3.

Para hallar las reaccionesa las cargas Fi4 y W4, seaplica el principio desuperposicin.


Equilibrio dinmico por superposicin:

El problema total se descompone en dos sub-problemas como semuestra en la figura. Se resuelve cada uno individualmente, yluego se suman vectorialmente los resultados parciales.


Equilibrio dinmico por superposicin (Sub-problema 1):

Del DCL del eslabn 4 se obtiene: F41 = 40 lb @ 105F43 = 27 lb @ 218

Del DCL del eslabn 2 se obtiene: T 12 = 44.6 lb-p (s.h.)


Equilibrio dinmico por superposicin (Sub-problema 2):

Del DCL del eslabn 4 se obtiene: F41 = 81.3 lb @ 122F43 = 52.5 lb @ 38

Del DCL del eslabn 2 se obtiene: T12 = 86.7 lb-p (s.a.h.)


Equilibrio dinmico por superposicin (Problema total):

Obtenemos las reacciones totales para el eslabn 4, sumandovectorialmente los resultados de los sub-problemas 1 y 2. Losresultados son: F41 = 120.5 lb @ 116, F43 = 25.5 lb @ 38.

El resto de reacciones se obtienen de manera similar.T12 = 42.1 lb-p (s.a.h.)


Resp: T12 = 3.80 N mm (s.h.)F34h = 0.19 N (), F34v = 3.13 N ()F32h = 0.19 N (), F32v = 4.30 N ()F21h = 0.19 N (), F21v = 7.75 N ()

Ejercicio 2.1: El mecanismo mostrado forma parte de una perforadoraautomtica de cuero, la cual opera con una rapidez de 20 perforaciones porminuto. El elemento punzonador tiene una masa de 1.2 kg y tiene una fuerzaresistente hacia arriba de 16 N aplicada a l. La manivela y biela de conexintienen masas de 0.35 y 0.75 kg, respectivamente. La manivela rota en sentidoantihorario. El coeficiente de friccin entre el punzn y las guas se estima en0.15. En la posicin mostrada, determine el par requerido para impulsar elmecanismo y las reacciones en las articulaciones.


Ejemplo 3: Para el mecanismo mostrado, hallar las fuerzasen los cojinetes, el torque requerido para accionar eleslabn 2, y las fuerzas trepidatorias (o de sacudimiento).


Calculamos las reacciones para cada fuerza de inercia porseparado.


Reacciones totales:


Ejemplo 4: Analice el mecanismo mostrado, usando el mtodo de superposicin de las fuerzas de inercia.

Datos cinemticos:ag2 = 0ag3 = 27.9 m/s2

ag4 = 19.1 m/s2

3 = 241 rad/s2(SAH)4 = 129 rad/s2 (SH)


Ejemplo 5: Analizar el mecanismo de la pala por el mtodo grfico.

Datos:2 = 200 rad/s

(SAH)L2 = 3L3 = 8L4 = 6


2 = 150:

ma3 = 168.2 lbma4 = 69.1 lbI3 = 139.8 lb-plg

(SH)I4 = 82.68 lb-plg

(SAH)


2 = 270:

ma3 = 179 lb

No se ha incluido el efecto de la fuerza de inercia del eslabn 4.


Diagrama de torque versus posicin angular del eslabn de entrada


Ejemplo 6: Hallar las fuerzas de sacudimientoproducidas en el mecanismo de cizalla voladora.

Datos:

2 = 50 rad/s (SAH)I3 = 6.38 slug-pie2

I4 = 25.0 slug-pie2

m3 = 1.83 slugm4 = 2.66 slug


Anlisis para 2 = 150


Anlisis para 2 = 60


Fuerzas de sacudimiento en funcin de la rotacin


Sistemas Dinmicos Equivalentes

Se desea reemplazar el movimiento plano de un cuerpo rgido por el de dosmasas puntuales m1 y m2, apropiadamente localizadas.


Como la fuerza y el par resultante de los dos sistemas deben ser iguales, estos deben cumplir las siguientes condiciones:

1. m = m1 + m22. m1h1 = m2h23. I = m1h12 + m2h22


De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

4.

Substituyendo en la ecuacin (3) se obtiene:

5. mh1h2 = I, h1h2 = kG2

+

=

+

=

21

12

21

21

hhhmm

hhhmm


Hay 3 ecuaciones y 4 parmetros a determinar, por lo que generalmente se escoge una de las hi(es decir, se escoge la posicin de una masa), y se determina la otra a partir de (5).

Finalmente, se calcula los valores de las mi de la ecuacin (4).


Por ejemplo, en el mecanismo biela-manivela deun motor de C.I. se pone m1 en el pistn y secalcula la posicin de m2. (Notar que m2 est enel centro de percusin con respecto a m1, yviceversa para m1).


Sin embargo, para simplificar el clculo de a2 secoloca m2 en el punto B. Al hacer esto, secomete un error en el clculo del par de inerciaigual a:

-m(kG2 h1h2)Tambin habr un error en el clculo de F12.Ambos errores son pequeos para lasaplicaciones usuales en que el punto B estrelativamente cerca de G.

Esta descomposicin en dos masasequivalentes es til en los clculos de fuerzaspara balanceamiento dinmico.


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Determinacin de Momentos de Inercia y Centros de Gravedad.

Para hacer un anlisis dinmico es necesario conocer el IG y la posicin del C.G., ya sea analticamente o experimentalmente.

Si la forma del cuerpo es complicada, se la puede descomponer en formas ms simples.


Experimentalmente:

Centro de gravedad

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Momento de inercia

En la formula anterior, se necesita calcular bien T y hG, pues la diferencia de dos cantidades del mismo rden de magnitud puede causar errores numricos. Para esto, hay que hacer T grande y hGpequeo.

suspender del punto ms cercano a G.(Esto puede dificultar la medicin de T).


2015-I

Para cuerpos difciles de suspender de un punto fijo, se usa un pndulo con plataforma:


2015-I

Para cuerpos con simetra axial, se puede usar una suspensin bifilar.


2015-I

Para tener una idea del rden de magnitud del radio de giro centroidal kG, ver las siguientes figuras:

Radio de Giro Centroidal


2015-I

Centro de Percusin

Si toda la masa de un cuerpo en rotacin alrededor de un eje fijo O, se concentrara en un anillo delgado, el radio de ste sera el radio de giro kO. (IO = mkO2)

De igual manera, si la masa se concentra en un punto P, este punto es el centro de percusin con respecto a O, situado a una distancia qO.


2015-I

El perodo de oscilacin es:

(1)

1

2

1

22

hkq

WhI

gqT

OO

OO

=

==


2015-I

Por el teorema de los ejes paralelos:mkO2 = mkG2 + mh12

kO2 = kG2 + h12 (2)

Dividiendo para h1:

qO = kG2/h1 + h1 (3)

De la geometra:

h1 + h2 = qO

(4)

..

..1

2

2

GCalrespecto

PCdelposicinqhkh GG ===


2015-I

Notar que P es el C.P. de la barra con respectoa O, as como O es el C.P. con respecto a P.Esto se ve claramente invirtiendo los papeles deh1 y h2 en la ecuacin (4).

Tambin h1h2 = kG2 se cumple para los puntosdinmicos equivalentes, por lo que estos soncentros de percusin entre s.

Otra propiedad importante del C.P. es que lalnea de accin de la resultante de las fuerzasde inercia pasa por l, cuando la barra rotaalrededor de un punto fijo.


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Demostracin:

Al trasladar Fihasta el punto P, el momento de Ft con respecto a G debe ser igual a IG.


2015-I

Esto significa que si se aplica una fuerza horizontal en P, sta ser cancelada por la fuerza de inercia Fi ; y por lo tanto, la fuerza en el soporte es cero en la direccin de la fuerza aplicada.

Esta propiedad del C.P. ha sido utilizada en el diseo demquinas de impacto, mquinas de balanceamientodinmico, vehculos y equipos deportivos.

Por ejemplo, en los automviles modernos, los ejesdelanteros y traseros estn en los respectivos centrosde percusin. Esto implica, por ejemplo, que si elextremo delantero golpea un bache, el golpe no setransmitir al extremo trasero, y viceversa.


2015-I

Ejemplo: Considere una barra colocada sobre una mesahorizontal sin friccin a la que se le aplica una fuerzahorizontal en direccin perpendicular a la barra. Demuestrelas propiedades del C.P.

Esto significa que si en el punto P se coloca un apoyo articulado, la fuerza resultante es cero en el apoyo, en la direccin de la fuerza aplicada.


2015-I

Esfuerzos Dinmicos (Ref.: Mabie/Ocvirk, Mecanismos y Dinmica de Maquinaria)

Las fuerzas de inercia estn distribuidas en todo elcuerpo; sobre cada elemento de masa dm acta unafuerza de inercia adm, y se producen esfuerzos internos,principalmente de flexin.

Para hacer el clculo de los esfuerzos producidos,primero se hace el anlisis dinmico del cuerpo rgidototal para hallar aG y .

Luego se hacen DCL parciales para hallar las fuerzasinternas de inters, aplicando el equilibrio dinmico(DAlembert).


2015-I

En sistemas rotatorios es relativamente sencillocalcular los esfuerzos dinmicos producidos. Elejemplo clsico de falla por esfuerzoscentrfugos excesivos es la desintegracin de unvolante.

Consideremos el caso de un labe de unaturbina. Asumiendo que su seccin transversales constante y no se alabea, podemos calcularel esfuerzo radial como r = 2(R2-r2).(Demostrar)

La aceleracin angular produce fuerzascortantes transversales V = A(R2-r2) ymomentos flectores M = 1/6 A(R-r)2(2R+r).(Demostrar)


ModeradorNotas de la presentacinComo comprobacin, calcular los valores en la raiz del labe, usando las fuerzas de inercia resultantes.

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Ejercicio 3.1: Considere que la aceleracin angular de un rotor es producida por la aplicacin de unacarga uniformemente distribuida p sobre el labe,sin ningn par resistente aplicado al eje del rotor.Calcule la fuerza cortante y momento flector enfuncin del radio. Para simplificar, asuma que elradio del cubo del rotor es muy pequeo.Solucin resumida: Demuestre que la carga p estrelacionada con la aceleracin angular , por la relacin p= AR. Luego obtenga la fuerza cortante y momentoflector a una distancia radial r :

V = 1/6 A(R r)(3r R)M = 1/6 A r (R r)2

Demuestre que el momento flector mximo ocurre en r =R/3, donde la fuerza cortante es cero.


ModeradorNotas de la presentacin

2015-I

Ejemplo: La barra curva uniforme est articulada en el punto A, y cae bajo su propio peso. Calcular el M.F. en el punto B.

Primero se analiza el cuerpo entero para hallar .


2015-I

Una vez que se ha hallado , se hace el DCL del tramo BC para hallar el M.F. en el punto B.


2015-I

En el caso de cuerpos alargados como la biela delmecanismo de un motor reciprocante, es convenientedefinir una intensidad de carga por unidad de longitud p= - a, donde es la masa por unidad de longitud. Estadistribucin de carga se puede descomponer encomponentes transversales y normales para hacer losdiagramas de F.C. y M.F.


2015-I

Ejemplo: Calcular las distribuciones de fuerzas cortantes ymomentos flectores que se producen en una barracolocada sobre una mesa horizontal lisa y a la cual se leaplica una fuerza horizontal P perpendicular a su eje.


2015-I

Ejercicio 3.2: En el ejemplo anterior, la fuerza P = 200 lb y la barra esde acero ( = 0.283 lb/plg3). Calcule el esfuerzo mximo de flexin quese produce en la barra. (Resp. 3492 psi a 13.3 de A)

Ejercicio 3.3: Un motor de C.I. de un cilindro tiene un cigeal de 70mm de radio y una biela de 250 mm entre centros. La masa del pistnes 1.8 kg. La masa de la biela es 1.5 kg, y su C.G. est a 170 mm dela cruceta del pistn. El radio de giro centroidal de la biela es 100 mm.En la posicin mostrada, el cigeal est a 45 desus del P.M.S., yrota a 1500 rpm. Si se asume que la masa de la biela estuniformemente distribuida, y que slo el 80% de ella est entrecentros, encuentre el momento mximo de flexin en la biela.(Resp.: 32 Nm)



Tareas Leer las siguientes secciones del libro de Norton:

- Cap. 10, Fundamentos de dinmica, Secs.10.0 a 10.14

- Cap. 11, Anlisis de fuerzas dinmicas,Secs. 11.0 a 11.3

Resolver el ejercicio 2.1 y el ejercicio de Repaso de Dinmica de Partculas

2015-I

Mecnica de Maquinaria II TEMASDinmica de MaquinariaAnlisis Dinmico en el Diseo MecnicoCintica Fuerzas de InerciaNmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Ejemplo 1: Determine las fuerzas requeridas para vencer la inercia en el mecanismo ranurado mostrado.Clculo de velocidades:Clculo de aceleraciones:Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Ejemplo 2: El mecanismo mostrado se usa para bajar y retraer el tren de aterrizaje de un avin pequeo. El ensamblaje (eslabn 4) que porta la rueda, pesa 100 lb, con C.G. en el punto G4. El radio de giro del ensamblaje ha sido medido experimentalmente y su valor es 1.2 pies. El eslabn motriz 2 pesa 5 lb y rota (s.a.h.) a una velocidad constante de 3 rad/s. La biela de conexin pesa 3 lb. Determine grficamente las fuerzas que actan en todos los eslabones, y el par motor requerido en el eslabn 2.Clculo de aceleraciones:Fuerzas de inercia:Fuerzas totales:Equilibrio dinmico por superposicin:Equilibrio dinmico por superposicin (Sub-problema 1):Equilibrio dinmico por superposicin (Sub-problema 2):Equilibrio dinmico por superposicin (Problema total):Ejercicio 2.1: El mecanismo mostrado forma parte de una perforadora automtica de cuero, la cual opera con una rapidez de 20 perforaciones por minuto. El elemento punzonador tiene una masa de 1.2 kg y tiene una fuerza resistente hacia arriba de 16 N aplicada a l. La manivela y biela de conexin tienen masas de 0.35 y 0.75 kg, respectivamente. La manivela rota en sentido antihorario. El coeficiente de friccin entre el punzn y las guas se estima en 0.15. En la posicin mostrada, determine el par requerido para impulsar el mecanismo y las reacciones en las articulaciones.Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Ejemplo 4: Analice el mecanismo mostrado, usando el mtodo de superposicin de las fuerzas de inercia.Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Ejemplo 5: Analizar el mecanismo de la pala por el mtodo grfico.Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Ejemplo 6: Hallar las fuerzas de sacudimiento producidas en el mecanismo de cizalla voladora.Anlisis para 2 = 150Anlisis para 2 = 60Fuerzas de sacudimiento en funcin de la rotacinSistemas Dinmicos EquivalentesNmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44Determinacin de Momentos de Inercia y Centros de Gravedad.Nmero de diapositiva 46 Momento de inerciaNmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49 Radio de Giro CentroidalCentro de PercusinNmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Al trasladar Fi hasta el punto P, el momento de Ft con respecto a G debe ser igual a IG.Nmero de diapositiva 56Ejemplo: Considere una barra colocada sobre una mesa horizontal sin friccin a la que se le aplica una fuerza horizontal en direccin perpendicular a la barra. Demuestre las propiedades del C.P. Esfuerzos Dinmicos Nmero de diapositiva 59Ejercicio 3.1: Considere que la aceleracin angular de un rotor es producida por la aplicacin de una carga uniformemente distribuida p sobre el labe, sin ningn par resistente aplicado al eje del rotor. Calcule la fuerza cortante y momento flector en funcin del radio. Para simplificar, asuma que el radio del cubo del rotor es muy pequeo. Ejemplo: La barra curva uniforme est articulada en el punto A, y cae bajo su propio peso. Calcular el M.F. en el punto B.Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63Nmero de diapositiva 64Ejemplo: Calcular las distribuciones de fuerzas cortantes y momentos flectores que se producen en una barra colocada sobre una mesa horizontal lisa y a la cual se le aplica una fuerza horizontal P perpendicular a su eje.Nmero de diapositiva 66Ejercicio 3.2: En el ejemplo anterior, la fuerza P = 200 lb y la barra es de acero ( = 0.283 lb/plg3). Calcule el esfuerzo mximo de flexin que se produce en la barra. (Resp. 3492 psi a 13.3 de A)Tareas

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