Clase IX
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M ´ ETODOS NUM ´ ERICOS Profesor: PhD. MSc. EDWIN LENIN CHICA ARRIETA Ingeniero Mec´ anico DEPARTAMENTO DE INGENIER ´ IA MEC ´ ANICA FACULTAD DE INGENIER ´ IA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Chica E (UdeA) M´ etodos Num´ ericos 24 de marzo de 2015 1/1
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METODOS NUMERICOS
Profesor:
PhD. MSc. EDWIN LENIN CHICA ARRIETAIngeniero Mecanico
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICAFACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 1 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
Un sistema de m ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema quepodemos expresar, en el caso mas sencillo, como
y ′1 = f1(t, y1, y2, ...ym),
y ′2 = f2(t, y1, y2, ...ym),
.
.
.
y ′m = fm(t, y1, y2, ...ym),
La solucion de este sistema requiere que se conozca m condiciones inicialesen el valor inicial t.
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 2 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
Todos los metodos analizados anteriormente para ecuaciones solas, puedenextenderse al sistema que se mostro antes. El procedimiento para resolverun sistema de ecuaciones consiste unicamente en aplicar la tecnica simplepor ecuacion en cada paso, antes de proceder con el siguiente.Lo anterior se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el metodo de Euler.Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales utilizando elmetodo de Euler, suponiendo que en x = 0, y1 = 4 y y2 = 2 con untamano de paso h, igual a 0.5.
dy1
dx= 0.5y1
dy2
dx= 4 − 0.3y2 − 0.1y1{
y1,i+1 = y1,i + f1(x , y1,i , y2,i )h
y2,i+1 = y2,i + f2(x , y1,i , y2,i )h
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 3 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
La siguiente es una ecuacion diferencial de segundo orden con valor inicial.Resuelva la ecuacion usando el Metodo de Runge-Kutta de tercer orden.
d2x
dt2+ 5x
dx
dt+ (x + 7)sen(t) = 0
Dondedx
dt(0) = 1.5, x(0) = 6
Para resolver la ecuacion hay que descomponerla en dos ecuacionesdiferenciales de primer orden. Despues de la descomposicion resuelva elsistema de t=0 a t=15.
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 4 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
x = X1
dx
dt= X2
d2x
dt2=
d
dt
(dx
dt
)=
dX2
dt
dX1
dt= X2
dX2
dt= −5X1X2 − (X1 + 7)sen(t)
Donde
X1(0) = 6
X2(0) = 1.5
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 5 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
Metodo de Runge-Kutta de tercer orden
yi+1 = yi + 16 (k1 + 4k2 + k3)h
Donde
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + 12h, yi + 1
2k1h)
k3 = f (xi + h, yi − k1h + 2k2h)
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 6 / 1
Problema de valor inicial para un Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias
Metodo de Runge-Kutta de tercer orden
X1,i+1 = X1,i + 16 (k1 + 4k2 + k3)h
Donde
k1 = f1(ti ,X1,i ,X2,i )
k2 = f1(ti + 12h,X1,i + 1
2k1h,X2,i + 12k1h)
k3 = f1(ti + h,X1,i − k1h + 2k2h,X2,i − k1h + 2k2h)
X2,i+1 = X2,i + 16 (k1 + 4k2 + k3)h
Donde
k1 = f2(ti ,X1,i ,X2,i )
k2 = f2(ti + 12h,X1,i + 1
2k1h,X2,i + 12k1h)
k3 = f2(ti + h,X1,i − k1h + 2k2h,X2,i − k1h + 2k2h)
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 7 / 1
Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
En ingenierıa existen problemas donde es necesario encontrar la solucionde una Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO). Estas describen fenomenosque cambian frecuentemente. Comunmente, una solucion de interesesta determinada especificando los valores de todas sus componentes enun punto x=a. Esto es un Problema de Valor Inicial. Sin embargo, enmuchas ocasiones, una solucion esta determinada en mas de un punto. Unproblema de este tipo es denominado Problema de Valor de Frontera(PVF). Un PVF muy trabajado en la actualidad son los de segundo orden,es decir, los PVF que se especifican en dos puntos:
y ′′ = f (x , y , y ′)
y(a) = α
y(b) = β
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 8 / 1
Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Existen muchos metodos que ayudan a estimar la solucion de un PVF desegundo orden. Por ejemplo se pueden emplear el metodo del disparolineal, diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos.
Metodo del disparo linealEl metodo disparo se basa en convertir el problema de valor en la fronteraen un problema de valor inicial (PVI) equivalente.Por ejemplo para el caso
Y ′′ = p(x)Y ′ + q(x)Y + r(x), a ≤ x ≤ b,Y (a) = α,Y (b) = β
Supongamos que u(x) es la solucion unica del PVI
u′′ = p(x)u′ + q(x)u + r(x), a ≤ x ≤ b, u(a) = α, u′(a) = 0
Supongamos ademas que v(x) es la solucion unica del PVI
v ′′ = p(x)v ′ + q(x)v , a ≤ x ≤ b, v(a) = 0, v ′(a) = 1
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 9 / 1
Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Existen muchos metodos que ayudan a estimar la solucion de un PVF desegundo orden. Por ejemplo se pueden emplear el metodo del disparolineal, diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos.
Metodo del disparo linealEl metodo disparo se basa en convertir el problema de valor en la fronteraen un problema de valor inicial (PVI) equivalente.Por ejemplo para el caso
Y ′′ = p(x)Y ′ + q(x)Y + r(x), a ≤ x ≤ b,Y (a) = α,Y (b) = β
Supongamos que u(x) es la solucion unica del PVI
u′′ = p(x)u′ + q(x)u + r(x), a ≤ x ≤ b, u(a) = α, u′(a) = 0
Supongamos ademas que v(x) es la solucion unica del PVI
v ′′ = p(x)v ′ + q(x)v , a ≤ x ≤ b, v(a) = 0, v ′(a) = 1
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Existen muchos metodos que ayudan a estimar la solucion de un PVF desegundo orden. Por ejemplo se pueden emplear el metodo del disparolineal, diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos.
Metodo del disparo linealEl metodo disparo se basa en convertir el problema de valor en la fronteraen un problema de valor inicial (PVI) equivalente.Por ejemplo para el caso
Y ′′ = p(x)Y ′ + q(x)Y + r(x), a ≤ x ≤ b,Y (a) = α,Y (b) = β
Supongamos que u(x) es la solucion unica del PVI
u′′ = p(x)u′ + q(x)u + r(x), a ≤ x ≤ b, u(a) = α, u′(a) = 0
Supongamos ademas que v(x) es la solucion unica del PVI
v ′′ = p(x)v ′ + q(x)v , a ≤ x ≤ b, v(a) = 0, v ′(a) = 1
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 9 / 1
Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Existen muchos metodos que ayudan a estimar la solucion de un PVF desegundo orden. Por ejemplo se pueden emplear el metodo del disparolineal, diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos.
Metodo del disparo linealEl metodo disparo se basa en convertir el problema de valor en la fronteraen un problema de valor inicial (PVI) equivalente.Por ejemplo para el caso
Y ′′ = p(x)Y ′ + q(x)Y + r(x), a ≤ x ≤ b,Y (a) = α,Y (b) = β
Supongamos que u(x) es la solucion unica del PVI
u′′ = p(x)u′ + q(x)u + r(x), a ≤ x ≤ b, u(a) = α, u′(a) = 0
Supongamos ademas que v(x) es la solucion unica del PVI
v ′′ = p(x)v ′ + q(x)v , a ≤ x ≤ b, v(a) = 0, v ′(a) = 1
Chica E (UdeA) Metodos Numericos 24 de marzo de 2015 9 / 1
Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Existen muchos metodos que ayudan a estimar la solucion de un PVF desegundo orden. Por ejemplo se pueden emplear el metodo del disparolineal, diferencias finitas y el metodo de los elementos finitos.
Metodo del disparo linealEl metodo disparo se basa en convertir el problema de valor en la fronteraen un problema de valor inicial (PVI) equivalente.Por ejemplo para el caso
Y ′′ = p(x)Y ′ + q(x)Y + r(x), a ≤ x ≤ b,Y (a) = α,Y (b) = β
Supongamos que u(x) es la solucion unica del PVI
u′′ = p(x)u′ + q(x)u + r(x), a ≤ x ≤ b, u(a) = α, u′(a) = 0
Supongamos ademas que v(x) es la solucion unica del PVI
v ′′ = p(x)v ′ + q(x)v , a ≤ x ≤ b, v(a) = 0, v ′(a) = 1
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Entonces la combinacion lineal
y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Es una solucion de
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β
Veamos
y ′(x) = u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x), y ′′(x) = u′′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′′(x)
y ′′(x) = p(x)u′(x) + q(x)u(x) + r(x) +
(β − u(b)
v(b)
)(p(x)v ′(x) + q(x)v(x))
y ′′(x) = p(x)
(u′(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v ′(x)
)+ q(x)
(u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
)+ r(x)
y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Como se puede apreciar, la solucion de la ecuacion diferencialsatisface las condiciones de frontera
y(a) = u(a) +
(β − u(b)
v(b)
)v(a)
y(a) = α +
(β − u(b)
v(b)
)0
y(a) = α
y(b) = u(b) +
(β − u(b)
v(b)
)v(b)
y(b) = u(b) + β − u(b)
y(b) = β
Por lo tanto, y(x) es la solucion unica al problema de valor defrontera sujeta a que v(b) sea diferente de cero.
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Algoritmo del metodo del disparo lineal
Entrar p,q,r,a,b,α,β
Hallar u(x) mediante un metodo numerico para problemas de valoresiniciales
Hallar v(x) mediante un metodo numerico para problemas de valoresiniciales
Calcular y , y(x) = u(x) +
(β − u(b)
v(b)
)v(x)
Escribir y graficar y(x).
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Solucion Numerica de Problemas de Valor de Frontera paraEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Emplee el metodo del disparo para resolver
7d2y
dx2− 2
dy
dx− y + x = 0
Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8
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