Clase IV Circuitos Paralelo en Corriente Alterna

Universidad Cesar Vallejo Trujillo

Escuela de Ingeniera Mecnica Elctrica Programa PEX Curso: SEP

Docente: Ing. Ral Paredes Rosario [email protected]

1

CIRCUITOS PARALELO EN CORRIENTE ALTERNA:

Sea por ejemplo el siguiente circuito:

vg

ti

ri Ci Li

R C L

Anlisis de circuitos RLC en paralelo

Si lo que interesa es el comportamiento de cada una de las "ramas" del circuito,

el anlisis es anlogo a los ya efectuados hasta el momento. Cada una de estas

ramas es, de forma independiente de las dems, un circuito por s misma.

Si lo que interesa es el comportamiento del circuito como un todo, o sea, el

comportamiento de las partes comunes del circuito a cada rama, se debe considerar

que lo que se tiene es lo siguiente:

vg Z1 Z2 Z3

ti

1i 2i 3i

Impedancia total del circuito:

t

1 2 3

1Z

1 1 1

Z Z Z

Reemplazando con la notacin compleja.

t

c L

1Z

1 1 1

R j0 0 jX 0 jX

Y como

0 0t 0

t c L

c L

V * sen 2 * * f * t V * sen 2 * * f * t 1 1 1i * V * sen 2 * * f * t

1Z R j0 0 jX 0 jX

1 1 1

R j0 0 jX 0 jX

Resulta:

0 L ct 0L c

V * sen 2 * * f * t X Xi j * V * sen 2 * * f * t

R X * X




2

Mdulo de it:

L C

t 0 2 2 2L C

X X1i V * sen 2 * f * t *

R X * X

Angulo de desfase de la intensidad respecto a vg:

L CL C

X Xarctg * R

X * X

Resonancia en circuito RLC (resistencia - condensador - bobina) en paralelo

vg

ti

ri Ci Li

R C L

Cuando se conecta un circuito RLC (resistencia, bobina y condensador) en

paralelo, alimentado por una seal alterna (fuente de tensin de corriente alterna), hay

un efecto de sta en cada uno de los componentes.

En el condensador o capacitor aparecer una reactancia capacitiva, y en la

bobina o inductor una reactancia inductiva, dadas por las siguientes frmulas:

XL = 2 x x f x L

XC = 1 / (2 x x f x C)

Donde:

= 3.14159

f = frecuencia en Hertz

L = Valor de la bobina o en henrios

C = Valor del condensador en faradios

Los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente.

A mayor frecuencia XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una

frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama:

frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente frmula: FR = 1 / (2 x x (L x

C)1/2)

En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un

circuito RLC en paralelo la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia.

A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es alta y

la inductiva es baja. A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la

reactancia inductiva es alta y la capacitiva baja.

Como todos los elementos de una conexin en paralelo tienen el mismo voltaje, se

puede encontrar la corriente en cada elemento con ayuda de la Ley de Ohm. As:




3

- IR = V / R

- IL = V / XL

- IC = V / XC

La corriente en la resistencia est en fase con la tensin, la corriente en la

bobina esta atrasada 90 con respecto al voltaje y la corriente en el condensador

est adelantada en 90.

Nota: Es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la

inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilacin

(resonancia)

EFECTO TERMICO DE LA CORRIENTE ELECTRICA

La cantidad de calor que se desprende al pasar corriente elctrica por un conductor se

expresa con la siguiente ecuacin: 2util CalefactorQ I R t Joule

Q = cantidad de calor, en Joule

I es la intensidad de corriente, en A

R es la resistencia en

t es el tiempo de duracin del proceso, en segundos

= rendimiento del calefactor

1 kw-h = 3,600 kJolue

Como U = R*I, se puede calcular el calor desprendido en un conductor energizado: Q

= I*U*t* (Joule)

Como la potencia elctrica es P = U*I (w), la cantidad de calor ser: Q = P*t

10. Calcular el coste por hora que supone la utilizacin de un radiador elctrico para el

calentamiento continuo de una habitacin, suponiendo que se necesitan 40 kcal por

hora y por m3. La habitacin tiene una planta de 5 m x 4 m y una altura de 3 m.

Considerar que la energa elctrica cuesta 15 pts por kWh. Si la resistencia del

radiador tiene un valor de 5 ohmios cul ser la intensidad consumida por el mismo?

4. Un tanque cilndrico de dimetro interior = 0.70 m y altura = 1.5 m, tiene insertado

dos resistencia elctricas de calentamiento, de 5 y 6 respectivamente,

confeccionadas de Nicromio. En operacin el tanque es llenado con agua que ocupa el

80% de su volumen, para ser calentada desde 30C hasta 85C. las prdidas trmicas

del tanque se estiman en 8.5% del calor til del proceso.

Las resistencias de calentamiento estn conectadas en paralelo y son alimentadas con

una fuente de 220 V y Rinterna = 0.2




4

Datos: para agua: densidad = 995 kg/m3, calor especfico medio = 4.187 kJ/(kg*C)

Hallar el tiempo de operacin de las dos resistencias, hasta alcanzar la temperatura

deseada del agua

Determinar el rendimiento del sistema

Hallar el dimetro del alambre de nicrom si tiene n 2A

3.15mm

Solucin 2 2

3Tanque

* d * 0.7V *H *1.5 0.58m

4 4

Volumen de agua en el tanque: 0.8*Volumentanque = 0.8*0.58 = 0.464 m3

Calor necesario para calentar el agua:

33

kg kJQ 0.464m * 995 * 4.187 * 85 30 C 106,318kJ

kg * Cm

Calor perdido= 0.085*106318 = 9,037.03 kJ

Calor total demandado por el proceso: 106,318 + 9,037.03 = 115,355.03 kJ = TQ = P*t

Clculo de la potencia consumida por las resistencias de calentamiento:

Resistencia equivalente total: T5 * 6

R 0.2 2.73 0.2 2.7511

Intensidad de corriente en el circuito: I = 220/2.75 = 80 A

Potencia consumida por las resistencias: 220*80 0.2*802 = 17600 1280 = 16.320w

= 16.32 kw

El tiempo de calentamiento ser: t = 106,318kJ/16.32 kw = 6,514.6 s = 1.81 horas

Rendimiento del proceso: 16.32

0.927217.6

Dimetro necesario del alambre de nicrom:

UR1= UR2 = 220 80*0.2 = 204V

En resistencia d calentamiento de 5

1

204I 40.8A

5 2R1 alambre

Nicromn2

I 40.8A 4 *12.95S 12.95mm d 4.06mm

A3.15

mm

En resistencia d calentamiento de 6

1

204I 34A

6 2R1 alambre

Nicromn2

I 34A 4 *10.794S 10.794mm d 3.7mm

A3.15

mm




5

Potencia elctrica, energa y calor

La energa elctrica o trabajo (W) consumida para mover una carga (Q) a

travs de una diferencia de potencial (E) est dada por W = E Q, donde W es en joules

(o julios), E es en volts ( o voltios ) y Q es en coulombs ( o culombios ) . Dado que la

carga total (Q) es el producto de la corriente media entre I y el tiempo (t) de

transferencia (Q = It) la energa puede expresarse como: W = E Q = EIt

Sustituyendo E = IR de la ley de Ohm, (trabajo) W = (IR) X I X t = I2 Rt

donde W es en joules (tambin denominado watts-segundos), I es en amperes, R es

en ohms y t es en segundos.

Al circular la corriente a travs de un conductor produce calor. Por el principio

de la conservacin de la energa, la energa elctrica (W) consumida debe ser igual a

la energa trmica producida, o sea energa calorfica (en joules) = W = I2 Rt = E It

Como el calor se mide generalmente en caloras y el equivalente elctrico de 1

calora = 4,18 joules (o 1 joule = 0,239 caloras) , la energa trmica (H) liberada, en

caloras, est dada por H (caloras) = 0.239 x energa trmica (en joules) = 0.239 I2 Rt

La potencia elctrica (P) disipada en un circuito de corriente contnua es la

relacion de energa entregada ( por segundo) , o la relacin de trabajo efectuado. Por

lo tanto, la potencia es la energa (o trabajo) dividido por el tiempo, o sea

2WP E *I R * It

P es en watts (o vatios) , E es en volts, I en amperes, R en ohms y t en

segundos. Sustituyendo en la ecuacin por la ley de Ohm, I = E/R, obtenemos una

tercera forma: 2E E

P E * I E * WattsR R

La unidad prctica (mks) de potencia es el watt.

1 watt = 1 Joule/segundo = 107 ergs/segundo (sistema cgs)

1 kilowatt (1 Kw) = 1.000 watts = 1,34 caballo-vapor

1 caballo-vapor (HP) = 746 watts




6

1. Cul es el calor total producdo por una resistencia elctrica que drena una

corriente de 8 amps a 120 volts durante 10 minutos?

SOLUCIN. La energa calorfica (en joules) = E It = 120 volts x 8 amps x (10 x 60)

seg = 576.000 joules

Energa trmica en caloras = 0,239 x energa trmica en joules = 0,239 x 576.000

joules = 137.664 caloras.

2. Un calefactor elctrico que trabaja en 120 volts, est formado por dos resistencias

de 30 ohms. Las resistencias se pueden conectar en serie o en paralelo. Determinar el

calor (en caloras) desarrollado en cada caso durante 10 minutos (Fig. 1-11).

Solucin. Para la conexin serie, la resistencia total es 60 ohms.

(La conexin en paralelo produce cuatro veces ms calor que la conexin serie.)




7

VARIACION DE LA RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORES CON LA

TEMPERATURA

La resistencia de los conductores depende de la temperatura. Cada material tiene su

coeficiente de temperatura de la resistencia, (Tabla 1)

TABLA 1: Resistencia Especfica, Conductividad Especfica y Coeficiente de

Temperatura de la Resistencia de Algunos Materiales.

Material Resistencia especfica

, m

mm2

Conductividad especfica

g, 2mm

m

Coeficiente

de Temperatura,

(1/grad)

Cobre 0.0175 57.2 0.004

Aluminio 0.028 35.7 0.004

Manganina 0.43 2.32 0.00006

Constatan 0.5 2 0.00004

Nicromio 1 1 0.00017

Niquelina 0.40 2.5 0.0003

La variacin de la resistencia de un conductor a un cambio de temperatura de hasta

200 C se determina con: 1 0 2 1R R * 1 * t t

R1 = resistencia del conductor a temperatura final,

R0 = resistencia del conductor a temperatura final,

= Coeficiente de temperatura de la resistencia del conductor; 1/C

Siempre es necesario conocer la temperatura de operacin del conductor elctrico,

para evitar accidentes, desde paradas hasta incendios.

3. Se desea calentar 35,000 m3/h aire desde 20C hasta 90C, el aire tiene cp =

1.006 kJ/(kg*C9 y = 1.20 kg/m3. en el proceso se pierden por conveccin 190 w

Las resistencias de calentamiento, son de Nicrom y estn conectadas en paralelo,

tienen 5 y 7 respectivamente y son alimentadas con una fuente de 220 V y Rinterna

= 0.25

El proceso trabaja 120 h/mes

Los conductores de alimentacin tienen longitud total de 75 m, son de cobre y tienen

dimetro = 6 mm.




8

Determinar el rendimiento del sistema

Hallar el dimetro del alambre de nicrom (para cada resistencia) si tiene n 2A

3.15mm

y el dimetro del alambre de cobre si tiene n 2A

2.55mm

Hallar el costo de calentamiento si el kw-h cuesta 0.32 Nuevos soles

4. Se desea preparar una resistencia de calentamiento, de Nicromio, con =

1mm2/m, el cual debe calentar 70 litros de agua en 40 minutos, desde 20C hasta

45C. El calentador tiene una eficiencia de 90%. La resistencia de calentamiento

trabajar con 220 V. Nicrom 2A

2.75mm

Densidad del agua = 975 kg/m3, calor especfico del agua = 4.187 kJ/(kg*C). Hallar:

El dimetro del conductor de Nicromio para construir la resistencia de calentamiento

La longitud necesaria del conductor de nicromio

Solucin

33

Util

kg kJ0.07m * 975 * 4.187 * 45 20 C

kg * CmQ 1.95kw

3600

Potencia elctrica absorbida: uTotalQ 1.98

P 2.2kw 220V * I I 10A0.90

Seccin transversal de la resistencia de Calentamiento

2Cable

2

I 10AS 3.6mm d 2.153mm

A2.75

mm

Resistencia del conductor: 22,200w R *I R 22

Longitud de la resistencia de calentamiento: Nicrom

R * S 22 * 3.64L 80.08m

1

5. - Un conductor de cobre con coeficiente de temperatura de 0,0045 (1/C), se utiliza

para construir la bobina para un motor elctrico, el cual desarrolla una potencia til de

2,350 w, con rendimiento de 86.5%, y trabaja con 110 V. Al desarrollar la potencia

indicada se tiene una temperatura en la resistencia de 70 C, siendo la temperatura de

montaje 10 C. Conductor 2A

2.50mm

Cobre = 0.0174 *mm2/m. Hallar:

El dimetro del conductor para sumir la carga

La longitud necesaria del conductor a temperatura de montaje

Hallar la prdida por efecto Joule en el motor

Solucin

2Absorbida 70 C

2,350P 2,716.80w R * I 110v * I

0.865




9

Despejando y procesando: 70 CI 24.70A R 4.453

Resistencia a temperatura de montaje: 0 14.453 4.453

R 3.511.271 0.0045 C * 60 C

Seccin transversal del conductor: 2Cu ConductorI 24.70

S 9.88mm d 3.55mm2.5

Longitud necesaria del conductor: 2

2

3.51 * 9.88mmL 1993mm

mm0.0174 *

m

Prdida de calor por efecto Joule: 2 70Q I * R R 24.70 4.453 3.51 23.30w


1mm2/m, la carga trmica a suministrar es de 120000 J en 35 min. Trabajar con 220

V. del nicromio es 2,70 A/mm2, hallar:



El rendimiento del calentador elctrico

7. - Una onda senoidal de tensin tiene la siguiente ecuacin: u = UM*sen(t)

El generador elctrico genera Energa elctrica a f = 50 Hz y 3000 rpm y UM = 180 V

Hallar el valor de u cuando la onda senoidal ha recorrido 3.5 ciclos

Hallar el valor de t para u = 160 V


1mm2/m, la carga trmica a suministrar es de 3,95 kJ en 1,61 s. la resistencia de

calentamiento trabajar con 110 V. En el proceso se pierde 0,33 kw de calor a la

atmsfera. Si la densidad de corriente del nicromio es 2,80 A/mm2, hallar:


El rendimiento del calentador elctrico


SOLUCION

La carga trmica = 3,95 kJ/1,61 s = 2,453 kw

Flujo trmico total suministrado por la resistencia elctrica: Carga trmica (Qutil +

Qperdido):

Qtotal = 2,453 + 0,33 = 2,783 kw

Se tiene: Flujo trmico total = 2783 w = 110 V *I I = 25,30 A = R*I2

Sistema

Tcnico Qtotal (kw) Qtil (kw)

Qperdida (kw)




10

R = 2738/25,302 = 4,35

De la ecuacin de densidad de corriente para un conductor: = I/S = 2,75 A/mm2

Despejando S = 25,30/2,75 = 9,20 mm2 conductor

4 9,20d 3,42mm

La longitud del conductor es: R S 4,35 9,20L 40,02m1

Rendimiento del calentador: util

total

Q 2453w0,8814 88,14%

Q 2783w

9. - Un conductor de cobre con coeficiente de temperatura de 0,004 1/C, se utiliza

para construir una resistencia para un motor elctrico, el cual debe desarrollar una

potencia de 350 w, con una tensin de 110 v. al desarrollar la potencia indicada se

tiene una temperatura en la resistencia de 60 C, siendo la temperatura de montaje de

22 C. La densidad de corriente del conductor es de 2,75 A/mm2. Hallar:

El valor de la resistencia del motor elctrico

La longitud necesaria del conductor si = 0.0174 mm2/m

SOLUCION

P = U*I I = 350w/110 v = 3,181 A = R(en servicio) *I2 R(en servicio) = 350/3,1812 =

34,60

La resistencia inicial (al montaje) es: R0 = R(en servicio) /(1+*t) =

34,60/(1+0,004*(60-22) = 30,034

De la densidad de corriente: S = 3,181 A/2,75 A/mm2 = 1,156 mm2

Resulta de la ecuacin de la resistencia elctrica:

Longitud necesaria del conductor elctrico para el motor: L = 30,034*1,156/0,0174 =

1195,36 m

10. Un circuito RLC paralelo tiene las siguientes cargas:

En rama nr. 1: R = 9 y LX 24.75mH , CX 1.2mF

En rama nr. 2: R = 7 y LX 13.5mH ;

La tensin de la fuente es de 220 V y f = 60 Hz.

El circuito trabaja 7,000 h/ao

El costo de la energa reactiva es 0.013 N.S./KVAR-h

El banco de condensadores cuesta 68 N.S./KVAR

Determinar el R.O.I. de tal modo que al compensar el factor de potencia no se pague

energa reactiva

Solucin

En rama 1:




11

3LX 2* * 60 * 24.75 *10 9.33

C1000

X 2.212 * * 60 *1.2

22

1Z 9 9.33 2.21 11.476

1

9cos 0.7842

11.476 T1

220I 19.17A

11.476

1P 3,307.4w 2

1Q 9.33 2.21 *19.17 2,616.52VAR

En rama 2:

3LX 2* * 60 *13.5 *10 5.10

2 2Z 7 5.1 8.66 27

cos 0.818.66

T2I 25.404A 2

2P 7 * 25.404 4,517.54w 2

2Q 5.1* 25.404 3,291.35VAR

Potencias totales

TP 7,824.94W TQ 5,907.87VAR TS 9,804.72VA Tcos 0.798

Costo: h N.S. N.S.

7,000 * 5.908 0.3 * 7.825 * 0.013 324ao KVAR h ao

Al compensar el factor de potencia, el costo se convierte en beneficio

281.18R.O.I. 0.87aos

324

Potencia del banco de condensadores: Potencia total reactiva potencia reactiva

permitida

CQ 5,907.87 1,772.40 4,135.47VAR

Inversin en banco: 68*4.13547 = 281.18 N.S.

11. Una turbina elica

acciona un generador que

tiene L = 1.15 m, un

dimetro = 0.40 m y un

campo magntico de 9500

Gauss, gira a 3600 rpm. El

rotor de la turbina tiene d = 8 m, rendimiento de 0.45; el aire tiene = 1.10; los

conductores tienen una cada de tensin de 10 V. Hallar: a) El valor del ampermetro

del circuito; b) El rendimiento del circuito elctrico; c) El factor de potencia del circuito;

d) la velocidad del aire a la cual deber trabajar la turbina elica1p

Solucin

Nmero de pares de polos del generador:

permitido1,772.40 Q

3,307.4w

TS T5,907.87 Q

R1 7.5 2R 6.30

M~

A

n 3600rpm

GE 1L 8mH

2L 7.15mH




12

60 * f 60 *60n p 1

p 3600 . Radio del rotor del generador = 20 cm

Velocidad angular del rotor: *n *3600 rad

376.99230 30 s

Velocidad lineal del rotor (perifrica): rotorrad cm

v *R 376.992 *20cm 7539s s

Tensin generada en el alternador: 8GEU 9500*10 *7539*1150 823.635V

2 21Z 7.5 3.016 8.084

2 22Z 6.3 2.70 6.85

1cos 0.9277 2cos 0.92

equivalente T1 813.635V

Z 3.708 I 219.42A1 1 3.708

8.084 6.85

1813.635 V

I 100.647 A8.084

2813.635 V

I 118.78 A6.85

Potencias activas en cargas:

1 1 1 1P 813.635*100.647*0.9277 75969w Q P * tg 30570VAR

1 2 2P 813.635*118.78*0.92 88912.08 w Q P * tg23.08 37876.39 VAR

perdidaconductor

P 10V *219.42 2194.20w

T TP 167075.28w; Q 68446.39VAR

3 2 3 2eje turb aireGE elica

mP * * *U *r *0.45*1.10 *U * 4 167075.28w U 23.77

2 2 s

m167075.28w U 23.77

s

68446.38 vardel tringulo de potencias del circuito: tan 0.40967 22.27

167075.28 w

cos 0.9225

Rendimiento del circuito:

circuito167075.28 w

0.9870169269.48 w

Clase IV Circuitos Paralelo en Corriente Alterna

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