Clase de Vectores 2d
-
Upload
shadgedrick -
Category
Documents
-
view
225 -
download
0
Transcript of Clase de Vectores 2d
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
1/16
REPASO DE TRIGONOMETRIA
Donde: A, B Y C son los vrtices
a,b y c son los catetos
Algunas funciones trigonomtricas que conocemos:
sin =cateto opuestohipotenusa
= ac
cos =cateto adyacentehipotenusa
= bc
tan = catetoopuestocatetoadyacente
= ab
sec =cos 1 =cb
cosec = sen 1 =ca
cot=
tan 1
=ba
Pitgoras a 2 b2= c 2
El teorema de pitgoras nos brinda algunas identidades :
Dividiendo cada miembro por c 2
a2
c2
b2
c2 = c
2
c2
[ac
]2
[ bc
]2
= c2
c2
sen2
cos2 = 1
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 1
A
B
C
a
b
c
De poco uso en la fisica
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
2/16
Dividiendo ahora la ecuacin de pitgoras por a 2 yb2
a2
a2
b2
a2 =
c 2
a2
a2
b2
b2
b2 =
c2
b2
1 [ba ]
2
=[ca ]
2
[ab ]2
1=[ cb ]2
1 cot2 = cosec 2 tan2 1= sec 2
LEY DEL COSENO
Se utiliza para encontrar la magnitud de un lado de un triangulo no rectngulo conociendo la mag
de los dos lados y el ngulo entre ellos (se utiliza tambin en vectores)
C = A2 B2 2ABcos
Ley del coseno
LEY DE LOS SENOSSe utiliza para calcular la magnitud y ngulos de tringulos (sean rectngulos o no). Se utilizan tamen vectores.
Rsen
= Asen
= Bsen
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 2
A C
B
R B
ATriangulo normal
Triangulo vectorial
R B
A
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
3/16
Ley de los senosEjemplo # 1: Desde una determinada posicin en un camino, una persona observa la parte ms auna torre de alta tensin con un angulo de elevacin de 25. Si avanza 45 m en linea recta hacia lade la torre, divisa la parte mas alta con un angulo de elevacin de 55. Considerando que la vist
observador est a unos 1.70 m. Encuentre la altura h de la torre.
Solucin:
x sen 25
=45 m
sen 30, x= 45m
sen 30 sen 25 , x=38.04 m
Trabajando con el siguiente triangulo, para encontrar la altura de la torre.
38.04 m sen 90
= h sen 55
, h= 31.16 m , h total = 31.16 1.70m
h total = 32.86m R/
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 3
h
45 m
1.70 m5525
25 125
30
45 m
?
X = ?
55
h38.04 m
90
35
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
4/16
UNIDAD 1 LGEBRA VECTORIAL
1.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
CANTIDADES ESCALARES: Una cantidad escalar, consiste en un nmero y una unidad de medEjemplos:Temperatura (T) 98.6 FVolumen (V) 125 mlMasa (m) 58 kgrea (A) 500 m2 Tiempo 5.25 seg.Etc.Operaciones con escalares: Aritmtica ordinaria.
CANTIDADES VECTORIALES: Una cantidad vectorial queda totalmente determinada slo cuanconoce su magnitud (modulo), su direccin (orientacin angular) y su sentido (punta de la flecha)Ejemplos:Desplazamiento (x) 14.5 m al suroesteVelocidad (v) 98 km/h hacia el sur
Aceleracin (a) 9.80 m/s2
hacia abajoFuerza (F) 57 N, 45 al norte del este
Momento ( ) 38 N.m entrando al plano
Etc.REPRESENTACIN GRFICA DE UN VECTOR
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 4
1
2Trayectorias
N
EO
S
Direccin
Magnitud Sentido
N
S
EO
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
5/16
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
6/16
1.3 OPERACIONES CON VECTORES (PROPIEDADES) GRFICAMENTE1.3.1 SUMA
R= A B R= B A
A B B A Ley conmutativa
R= A B
Mtodo del paralelogramo
SUMAR LOS VECTORES
R= A B C ; R= D C
R= R
A B C = D C Ley Asociativa
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 6
A
B
A B
R B A
R
Mtodo del triangulo
A
B
R
A BC
AB C
R D
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
7/16
1.3.2 DIFERENCIA (RESTA DE VECTORES)
R= A B
R= A B
MTODO ANALTICO1.4 COMPONENTES DE LOS VECTORES (C. R.) EN 2DLa proyeccin de un vector sobre un eje, se denomina componente de un vector.
A Tendr dos componentes A x y A y
Si conocemos A y . Utilizando funciones trigonomtricas bsicas:
cos = A x A
, A x = Acos , Componente del vector A en la direccin x
sen =A y A
, A y= Asen , Componente del vector A en la direccin y
por pitgoras: A= A x 2
A y2 , Magnitud del vector A. Por definicin siempre es positiva.
tan = A y A x
, Angulo de direccin del vector A depender de la posicin del vector en el plano
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 7
A B
A
- B
R
AAx
Ay
x
y
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
8/16
Las componentes de un vector no son vectores. Son nmeros positivos negativos en algunos son cero en uno de los ejes.
B x= Bcos B y= B sen
Por pitgoras B= B x2 B y2
Si nosotros queremos sumar el vector A con el vector B por sus componentes rectangulares, lo hac
as: R x= A x B x ; R y= A y B y ; R= R x2 R y2 ; tan =
R y R x
no siempre
Si tenemos n vectores, entonces: R x= A x B x ........ n x R y= A y B y ........ n y
Nomenclatura a utilizar:
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 8
BBx
By
y
x
N
EO
S
+
+
-
-
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
9/16
Ejemplo # 1:Un atleta de alto rendimiento en un da de entrenamiento realiza los siguiedesplazamientos: 5 km hacia el sur, 4.5 km al noreste, 3 km hacia el este y 2.5 km 35 al norte delMuestre en un diagrama vectorial los desplazamientos del atleta y proporcione el desplazamientoque realiz.
Resolviendo el problema por componentes rectangulares y utilizando la nomenclatura vista, tenem A x= 0 , A y= 5 km
B x= Bcos45 ; B x=4.5 kmcos 45 ; B x= 3.18 km
B y= B sen 45 ; B y=4.5 km sen 45 ; B y= 3.18 km
C x= 3km , C y= 0
D x= Dcos35 ; D x=2.5
kmcos35 ; D x=2.05
km D y= D sen35 ; D y=2.5 km sen35 ; D y= 1.43 km
Calculando las componentes rectangulares del vector resultante R x= A x B x C x D x ; R x= 0 3.18 3 2.05 km ; R x = 8.23 km
R y= A y B y C y D y ; R y= 5 3.18 0 1.43 km ; R y= 0.39 km
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 9
E
N
S
O
EO
S
45A
B
E
N N
S S
C35
D
R
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
10/16
Como la componente del vector resultante en el eje x es positiva y la de y es negativa, el vresultante esta ubicado en el cuarto cuadrante.
Encontrando la magnitud del vector resultante:
R= R x2
R y2
; R= 8.23 km2
0.39 km2
; R=8.24
km R/
tan = R y R x
; = tan 1R y R x
; = tan 1 0.39 km
8.23 km; = 2.71
= 2.71del este al sur R/
1.5 VECTORES CONCURRENTESLa magnitud de la suma de dos vectores concurrentes que forman entre ellos un angulo determina utilizando la siguiente expresin:
R= A2 B2 2ABcos
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 10
R x
R R y
E
N
S
O
R A
B
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
11/16
1.6 VECTORES UNITARIOSUn vector unitario es un vector con magnitud 1, adimensional su nico fin es apuntar, osea descuna direccin y siempre estar asociado a un vector. Se utiliza ms en sistemas 3D
A= A X i A y j A z k ; B= B X i B y j B z k
R= A B
R= A x B x i A y B y j A z B z k
R= R x i R y j R z k
R= R x2
R y2
R z 2
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 11
iX
Y j
Z k Vectores unitarios
x
y
z
i
j
k
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
12/16
1.7 MULTIPLICACIN DE VECTORES
1. Producto Escalar (Punto)2. Producto Vectorial (Cruz)
Si multiplicamos:Vector x Escalar = Vector Escalar x Escalar = Escalar Vector x Vector = Vector
1.7.1 PRODUCTO ESCALAR (Producto punto)Denotado por A.B
A. B= A Bcos
B. A= B Acos
A. B= B. A ley conmutativa parala multiplicacin
CARACTERSTICAS:
El producto punto es una cantidad escalar, y puede ser positiva, negativa o ceroPositiva 0 90
Negativa 90 180
Cero A es perpendicular a B , = 90
PRODUCTO PUNTO CON VECTORES UNITARIOS
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 12
A
B
A
B
Bcos
A
B
A c o
s
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
13/16
i .i =11cos0 = 1 j . jk . k
i . j=11cos90= 0i . k j. k
PRODUCTO PUNTO A TRAVS DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES
A . B= A x i A y j A z k . B x i B y j B z k
A . B= A x . B x i . i A x . B y i . j A x. B z i . k + A y . B x j .i A y . B y j . j A y . B z j . k +
A z . B x k . i A z . B y k . j A z . B z k . k
A . B= A x . B x A y . B y A z . B z
Producto punto en trminos de sus componentes rectangulares
1.7.2 PRODUCTO VECTORIAL (PRODUCTO CRUZ)
Denotado por A X B= V donde V tiene las siguientes propiedades:
1. V es perpendicular al plano delos vectores A y B2. El sentido de V obedece a la regla de la mano derecha
3. A X B= A B sen ? ; B X A= B A sen ?
A X B B X A No es conmutativa
A X B= B X A
A X B X C = A X B A X C Ley distributiva.
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 13
y
z
x
j
k
i
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
14/16
Aplicacin: Introducir o extraer tuercas o tornillos
PRODUCTO VECTORIAL CON VECTORES UNITARIOS
i x i=11 sen 0 = 0 j x j k x k
Utilizando la regla de la mano derecha
i x j= k j x i= k
k x i= j
i x k = j
j x k = i k x j= i
UTILIZANDO LA REGLA DE KRAMER
A X B =
A X B=[ A y X B z A z X B y ]i [ A x X B z A z X B x ] j [ A x X B y A y X B x ]k
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 14
z
x
y
B
A
BXA
AXB
y
z
x
j
k
i
i
j k +
-
i j k Ax Ay AzBx By Bz
+ -+ - +- + -+ - +
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
15/16
Ejemplo # 1: De los siguientes vectores:
A= 40i 10 j 5 k
B= 50 i 30 j 10 k
Donde : C = 3 A y D=12 B
Calcular:
a) C . D
b) C X D
c) D X C
Solucin:
Entonces: C = 120i 30 j 15k y D= 25 i 15 j 5 k
a) C . D= C x . D x C y . D y C z . D z
C . D= 120 . 25 [i . i ] 30 .15 [j . j ] 15 . 5 [k . k ]
C . D= 2475 R/
b) C X D Regla de Kramer
C X D =
C X D=[ 30 X 5 15 X 15 ]i[ 120 X 5 15 X 25 ]j [ 120 X 15 30 X 25 ]k
C X D=[ 150 225 ]i[ 600 375 ] j [ 1800 750 ]k
C X D= 75 i 975 j 2550 k
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 15
i j k 120 -30 15 25 15 -5
+ -
-
7/31/2019 Clase de Vectores 2d
16/16
Regla de la mano derecha
C X D= 120i 30 j 15k X 25i 15 j 5 k
C X D= 120X 25 i X i 120X 15 i X j 120X 5 i X k +
30 X 25 j X i 30 X 15 j X j 30 X 5 j X k +
15 X 25 k X i 15 X 15 k X j 15 X 5 k X k C X D= 150 225 i 600 375 hatj 1800 750 k
C X D= 75 i 975 j 2550 k R/
c) D X C = C X D
D X C = 75 i 975 j 2550k R/
ING. SAMUEL ADOLFO DUEAS APARICIO 16