Martes 18:30 a 20:00 ALunes 18:30 a 20:00 BLunes 20:00 a 21:30 C

I II MejorExamen 6 6 10Lecciones 2 2Deberes/Actuación 2 2

Unidad 1Introducción a la Estadística

Concepto de estadística

Conceptos Básicos

Presentación de datos

Método numérico

Método graficoUnidad 2

Probabilidad básica Conceptos básicos

Calculo de la probabilidad

Probabilidad condicional

Probabilidad total

Regla de Bayes

Unidad 3Distribución de probabilidad de

variable discreta

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución Geométrica

Distribución Binomial negativa

Unidad 4Distribución de probabilidad de

variable continuas

Distribución de probabilidad Uniforme

Distribución de probabilidad normal

Unidad 5Tamaño de muestra

Tamaño de muestra

BIBLIOGRAFIA: Estadística matemática con aplicaciones, Mendenhall William. Edicion 6

Estadística: Es una rama de las matemáticas que trata de la recopilación, el análisis, la interpretación y la presentación de una gran cantidad de datos numérico o cualitativosPoblación o universo: Es la totalidad de cosa o elementos que se consideran en una investigaciónMuestra: Es una porción de la población que se selecciona para un determinado análisisParámetro poblacional: Es una medida que se calcula para describir una característica de una poblaciónEstadístico muestral: Es una medida que se calcula para describir una característica a partir de solo una muestra.Obs: Los estadísticos muestrales se utilizan para obtener conclusiones sobre los verdaderos parámetros de la población.

Tipo de muestraSegún la forma de cómo se obtiene la muestra se clasifican en:

Muestra probabilística o aleatoria: Cuando los componentes de la muestra se elijan de acuerdo a probabilidades conocidas. Existen varias entre los principales tenemos:M.A.S. M.A.E. M.xG. Muestra no probabilístico o determinístico: Se eligen a los elementos de acuerdo algún criterio o disponibilidad.Presentación de datosEntre los principales tenemos:Método numéricoMedia: Se calcula sumando todas las observaciones de un conjunto de datos y a esta suma dividiendo para el número de observaciones. Tambien se la conoce como Promedio, Dado x1, x2, x3, …, xn observaciones:X̄=(x1+x2+. . .+xn )/nMediana: Es el valor que se encuentra en el centro de una sucesión ordenada de datos y en él se encuentra el 50% de los datos. Y su formula depende de n.Par:

~X=( x ( n/2 )+ x (n /2+1 ) )

2Impar:~X=x ( n+1/2 )

Donde x(1), x(2), x(3), …, x(n) son las observaciones ordenadasModa: Es el valor que aparece con mas frecuencia en un conjunto de datos, puede suceder que tengamos 2 o más modaM: El que mas se repiteRango Medio: Es el promedio de la observaciones mayor y menor.

RM=

( x ( n )+ x (1 ) )2

Rango: Es la diferencia entre la observación mayor y menor de un conjunto de datos, también conocido como recorrido por que va desde el principio al final.R=x( n )−x (1 )

Varianza: Toma en consideración la forma que se distribuyen los datos alrededor de la media, tiene como desventaja que es una medida cuadrática.

S2=∑i=1

n

(xi− x̄ )2 /n−1

Desviación estándar o típicaCoeficiente de Variación: Es una medida de dispersión que permite comparar las distancias con respecto a la media de dos o más grupos de datos.

CV = XS

Ejemplo:Edades del curso.Ejemplo 2:Realizar un análisis estadístico con los siguientes conjuntos de datos:Se ha realizado una investigación donde se determino el número de dispositivos que poseen las computadoras del cual se obtuvo los siguientes resultados:HP

67 68 63 64 58 54 50 59 54 56 5656 50 54 54 51 58 58 53 51 62 63

CLONES52 53 63 62 62 65 61 52 60 60 6566 63 61 63 58 61 61 63 60 60 64

Realizar una comparación entre los dos grupos.

Método GráficoLa presentación de los datos puede hacerse en forma ordenada, si son datos:  

Cualitativos Cuantitativos  

- Orden alfabético - Forma creciente (menor al mayor).

- Escribir, primero el que más se repite, luego el que sigue y así sucesivamente.

- Forma decreciente (mayor al menor)

Distribución de frecuenciaTambién conocida como tabla de frecuencia, es una tabla resumen en la que dispone los datos divididos en grupos ordenados numéricamente o alfabéticamente (cuantitativos o cualitativamente) denominados clases o categorías. Él # de elementos que pertenece a una determinada clase se llama frecuencia de clase. Tiempo de intervalo = REDONDEAR (rango

# de clase que se desea) Cuando los datos se encuentran agrupados generalmente la anchura de la clase es representada por cada elemento del conjunto de datosEjemplo: Las edades del curso.Clase - Frecuencia – Frecuencia relativa – Frecuencia Acumulada

Realmente el gráfico se observa mejor, llama más la atención el gráfico y se puede interpretar mejor y más rápido. Por eso se utilizan para la representación de la información una serie de gráficas como son:

Histograma Se utiliza en datos cuantitativos en distribuciones de frecuencia. Son rectángulos verticales unidos entre sí, en donde sus lados son los límites reales inferior y superior de clase y cuya altura es igual ala frecuencia de clase. Polígono de frecuencia

Consiste en una serie de segmentos que unen los puntos cuyas abscisas son los valores centrales de cada clase y cuyas ordenadas son proporcionales a sus frecuencias respectivas.

Polígono de frecuencia relativaEs similar al polígono de frecuencia con la diferencia que se trabaja con las frecuencias relativas.

Grafica Circular o PastelSe forma al dividir un círculo en sectores circulares de manera que: a) Cada sector circular equivale al porcentaje correspondiente al dato o grupo que representa. b) La unión de los sectores circulares forma el círculo y la suma de sus porcentajes es 100.  

Ojiva o polígono de frecuencia relativa acumuladaUna gráfica de distribución de frecuencias relativa acumuladas es llamada una ojiva. Se trazan los límites reales superiores contra las frecuencias relativa acumuladas.    

Probabilidades básicas Experimento:Es el proceso por medio del cual se obtiene la observación o dato Ejemplo:

Si se lanza una moneda se obtiene una cara (c) o un sello (s) Si se lanza un dado se obtiene un conjunto {1,2,3,4,5,6} Si se lanza una moneda dos veces los posibles resultados

{cc,cs,sc,ss}

Espacio muestralEs un conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento, se lo conoce con la letra S y cada uno de los resultados se denomina “punto muestral”Evento: Se denomina evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Un evento se llama simple si no se puede descomponer en sub-eventos, es decir un evento simple es aquel que contiene de un solo punto muestral.Obs.- Si el resultado de un experimento es un elemento del evento, se dice que dicho evento ha ocurrido.

Ejemplo: Se lanza un dado y se observa la cara superior.

= { }Evento A = números pares de dado

A = { }

Si sale se dice que dicho evento a ocurrido.

S es el evento cierto o seguro, puesto que cualquier elemento de S puede ocurrir

El se lo denomina evento imposible. Ej: Sacar un número mayor a 6.

Como los eventos son subconjuntos del espacio muestral se puede utilizar la teoría de conjunto para describirlo.

Sean A y B dos eventos:1) AUB es el evento “A ó B ó ambos”2) AB es el evento “Tanto A como B”3) A es el evento “No A”4) A – B es el evento “A pero no B”5) Si AB = se dice que A y B son eventos mutuamente excluyente, es decir

que no puede ocurrir ambos a las vez.Ej: {c,s} A: sacar cara y B: sacar sello AB =

En un experimento aleatorio siempre existe incertidumbre sobre el posible resultado de este. Como medida de la oportunidad, alternativa o probabilidad de que ocurre un evento es útil asignar un número entre cero y uno, si estamos seguros de que ocurrirá el

evento decimos que su probabilidad es uno, pero si estamos seguros de que no va ocurrir decimos que la probabilidad es 0.

Probabilidad: Sea un espacio muestra S, a cada evento A (AS) se le asigna un número P(A), denominado la probabilidad de A, de tal manera que cumple los siguientes axiomas:

1) P(A) >= 02) P(S) = 13) Si A1, A2,..., An son eventos mutuamente excluyente P(A1U A2U...U An) = P(A1)

+ P(A2) + ... + P(An)Además de estos tres axiomas tenemos los siguientes resultados:

1) P() = 02) A S 0 <= P(A) <= 13) P(Ac) = 1 – P(A)4) Si A1 A2 P(A1) < P(A2)

Calculo de la probabilidad de un evento.Hay sólo tres formas universalmente aceptadas de enfocarla:1. Enfoque de la frecuencia relativa o posteriori2. Enfoque subjetivo3. Enfoque clásico o a priori

Enfoque de frecuencia relativa o posterioriEn el método de la frecuencia relativa se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empíricas. Se tiene en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en el pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos históricos. La probabilidad de un suceso de acuerdo con el enfoque de la frecuencia relativa viene determinado por:P(E) = Número de veces que el suceso ha ocurrido en el pasado/Número total de observaciones

Enfoque subjetivoEn muchas ocasiones no se dispone de datos históricos. Por consiguiente, no es posible calcular la probabilidad a partir del comportamiento anterior. La única alternativa es la de estimar la probabilidad según nuestro mejor criterio. Este enfoque subjetivo exige que asignemos la probabilidad de cualquier suceso basándose en las mejores pruebas disponibles. El enfoque subjetivo se utiliza para asignar una probabilidad a un suceso que no ha ocurrido nunca. Un ejemplo podría ser la probabilidad de que una mujer sea elegida presidente del Ecuador. Como no hay datos históricos en que apoyarse, deberemos recurrir a nuestra opiniones y creencias para hacer una estimación subjetiva.

Enfoque clásico o a prioriDe los tres métodos de asignar una probabilidad, el enfoque clásico es el que más a menudo se relaciona con los juegos de azar.

Si un suceso puede ocurrir de k maneras diferentes (favorables), de entre un numero N maneras posibles, todas ellas igualmente factibles entonces la probabilidad de que dicho evento ocurra es K sobre N. Probabilidad = Favorables / Posibles.

Ejemplo: Supongamos que se lanzan dos monedas, y que se observa el resultado de los lados que quedan hacia arriba:

a) Encuentre Sb) Sea A el evento de observar exactamente una cara obtenga los punto muestrales de Ac) Sea B el evento de observa al menos un cara obtenga los punto muestrales de Ba) Calcule la Probabilidad de A, B, B`, AB, AUB, A-B.

Cuatro corredores igualmente calificados, Juan, Guillermo, Eduardo y David, corren los 100 metros libres, y se registra el orden de llegada:

a) Establezca los elementos del espacio muestral.b) Cual es la probabilidad que David gane la competencia.c) Cuál es la probabilidad que David gane y Juan quede en segundo lugard) Cuál es la probabilidad que Eduardo quede en último lugar

Probabilidad Condicional: Sea A y B dos sucesos tal que P(A)>0 [P(A) 0], se busca la probabilidad de B dado que el evento A ocurrió se denomina probabilidad condicional de B dado A y se define por:

P(AB)P(B/A) = ----------------

P(A)

Ej: Se lanza un dado a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5?b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5, dado que se sabe que salió un número

impar?c) Si el resultado es un # primo, cual es la probabilidad de sacar 2.

Probabilidad Total: Sea un evento cualquiera A donde se puede descomponer en A1,A2,...,An eventos mutuamente excluyente se obtiene la probabilidad total:

P(A) = ni=1 P(Ai) P(A/Ai) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + .. + P (An) P(A/An)

Regla de Bayes: Sea A1, A2,..,An eventos mutuamente excluyentes tales que la probabilidad de P(Ai) > 0 y además S = A1UA2U...An. Es decir al menos uno de los Ai debe ocurrir. Entonces si A es un evento cualquiera:

P(Ai / A) = P(Ai) P(A/Ai)n

i=1 P(Ak) P(A/Ak)

Ejemplo: Una urna A contiene 5 bolas rojas y 2 bolas blancas y una urna B contiene 3 rojas y 7 blancas. Antes de sacar una bola de las urnas se lanza una moneda si se obtiene cara se saca una bola de la urna A sí se obtiene sello se saca de la urna B.

a) Hallar la probabilidad de sacar una bola blanca.b) Si no se sabe el resultado del lanzamiento de la moneda pero se sabe que salió

una bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja la urna A?Ejemplo: Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reaccionan positivamente en dicha circunstancia mientras que el porcentaje de los hombres es del 40%, se sometió a una prueba de 20 personas, de las cuales 15 mujeres y 5 hombres y se les pide desarrollar un cuestionario para descubrir las reacciones positivas o negativas. Se pide:a) Una respuesta escogida al azar de las 20 personas resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que sea contestada por un hombre?b) ¿Cuál es la probabilidad que un resultado escogido al azar sea negativa?

Variable aleatoria: Sea S un espacio muestral y sea X una función que va del espacio muestral a los números reales:

X: S Rw X(w)

Es decir a cada punto muestral se le asigna un número real esta función se denomina variable aleatoria.Ejemplo: Se lanza una moneda dos veces y vamos a definir un función sea X la VA el número de caras en cada punto muestral.

{cc,cs,sc,ss} X(cc)=2; X(cs)=1; X(sc)=1; X(ss)=0

Y sea la VA el número de caras menos el número de sellos.Obs. Una VA que toma un número finito o numerable de valores se denomina VA discreta, por el contrario se denomina VA continuo o no discreta.

La función de probabilidadLa probabilidad de que la VA discreta X tome el valor de x es decir p(X=x) se define como la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales de S que tiene asignado el valor de x. A P(X=x) se la conoce como p(x) es una función que asigna probabilidades a cada valor de x por lo que se denomina Función de Probabilidad de la VA X y satisface o cumple:

a) p(x) >= 0b) p(x) = 1

Función de distribuciónLa funcion de distribución acumulada o simplemente función de distribución para una VA X se define por

f(x) = p(X<= x)0 Si x < x1p(x1) Si x1 <= x < x2

f(x) = p(x1)+p(x2) Si x2 <= x < x3..p(x1)+...+p(xn) Si xn <= x

Valor Esperado: Sea X una variable aleatoria discreta se define la esperanza de X o el valor esperado de X por:

E [ X ]=∑

i=1

n

x i p (xi )

Propiedades de E(X)

a) Si C es constante = E[C] = Cb) E[ax + b] = a E[x] + b c) E[x + y] = E[ x ] + E[ y ] d) Si g1(x), g2(x), ....,gn (x) son funciones de x entonce E [ g1(x) + g2(x) + ....+ gn (x) ] = E[g1(x)]+ .........+ E [ gn ( x ) ]

Ejemplo: Se lanza al aire 3 monedas independientes, teniendo presente el orden de los lanzamientos. Sea Y la variable que representa la cantidad de dinero ganado en una apuesta que se realiza de la siguiente manera: Si la primera cara ocurre en el primer lanzamiento se gana un dólar, si la primera cara ocurre en el segundo lanzamiento gana dos dólares y si ocurre en el tercer lanzamiento gana tres dólares. Si no cae una cara se perderá 5 dólares (es decir se gana –5.), se pide:

a) Encuentre la función de probabilidad de Y b) Encuentre la función acumulada de Y c) E[Y]d) E[5Y - 4]

Distribución de probabilidad discretaPrueba de BernoulliUna prueba bernoulli se define como un experimento que tiene las siguientes características:

1) El experimento tiene dos resultados posibles (éxito – fracaso)(verdadero-falso)2) La probabilidad de éxito en cada prueba es constante e igual a p (la probabilidad

de fracaso = 1-p)

Éxito Si tiene una probabilidad p.X

Fracaso Si tiene una probabilidad q=1-p

Distribución binomialContiene n prueba bernoulli recuerden que cada prueba tiene 2 posibles resultados, la variable representa el número total de éxito en las n pruebas, a esta se la denomina VA Binomial.

X = X1+X2+...+XnBinomial n pruebas bernoulli

Def. Sea X una VA se dice que tiene una distribución de probabilidad binomial, si la probabilidad de que ocurra x existos en n pruebas esta dada por la función de probabilidad:

P( X=x )=p ( x )=(nx ) px qn−x

Valor Esperado: n*p

para x = 0,1,2,....n q = 1-p y (nx )= n !

x ! (n−x )!

El director de un programa especial de TV informa que dicho programa es visto por el 35% de los televidentes en un sector metropolitano. De una muestra aleatoria de 10 familias con el TV en funcionamiento:

a) Cual es la probabilidad de que exactamente 5 familias vean dicho programa.b) Determine la probabilidad de que nadie vea el programa de televisión.c) Determine la probabilidad de que como mínimo 2 familias lo vean.d) Calcule el E(x) del numero de familias que ven el programa.

Distribución poissonSea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0,1,2, tal que su función de probabilidad esta dada por:

p( x )= λx ℓ− λ

x ! Y el Valor esperado es Landa

A esta distribución se la denomina Poisson, y en alguno casos se la utiliza para aproximar a la distribución binomial.Si en la distribución binomial n (numero de prueba) es grande (mayor 50), mientras que p (probabilidad de éxito) esta cerca de cero el evento se llama suceso raro (menor 0.001). En la práctica la binomial se aproxima por medio de la distribución de poisson con los siguientes parámetros:

Landa = n * pq aproximadamente 1p aproximadamente 0

Otra utilización de la distribución de Poisson es en la escala de tiempo.

Algunos ejemplo con distribución de poisson: El número de defectos por lotes en un proceso de producción El número de negocios que quiebran por semana La muerte por año, en una universidad agraria, debido a suicidio por baja nota El número de huelga industriales.

EjemploEn la selva amazónica, de que personas se contagie de fiebre amarilla por un mosquito la probabilidad es de 0.0004. Encuentre la probabilidad de que un total de 6000 personas de una ciudad amazonas:

a) 10 personas se contagiéb) 1 personas se contagiéc) Mas de 1 personas se contagié

En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de caja, conforme una distribución de Poisson con un promedio de siete personas por hora, ¿Cuál es la probabilidad que:a) lleguen exactamente cinco clientes b) lleguen al menos dos clientesc) no lleguen más de tres clientes

Distribución GeométricaUna variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad geométrica si su función de probabilidad esta por:

p( x )=qx−1 p x = 1,2,3,...Ε ( X )=1

p

La variable aleatoria X representa el número de prueba bernoulli necesarias, para alcanzar el primer éxito, es decir se debe preguntar ¿Cuántas pruebas se necesitan para el primer éxito?. La distribución geométrica se usa frecuentemente como modelo para distribución que manejan tiempo de espera.

EjemploLa probabilidad de que un motor falle durante cualquier periodo de una hora es de 0.02.a) Cuál es la probabilidad de que el motor falle en la 5ta prueba. b) Encuentre la probabilidad de que dicho motor funcione bien durante las primeras 2 horas.

Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en cierta area para encontrar un pozo productivo (que tenga petróleo). La probabilidad de encontrar un pozo productivo es de 0.2

a) Cuál es la probabilidad de que primer pozo productivo sea el 3er pozo perforadob) Cuál es la probabilidad de que primer pozo productivo sea el 5to pozo perforadoc) Cuantos pozos se espera perforar hasta encontrar el primer pozo productivod) Cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo

productivo si solamente puede perforar 10 pozos

Distribución binomial negativaSea X la variable que representa el número de pruebas bernoulii hasta e incluyendo aquella en que el r-ésimo éxito ocurra. A x se la denomina VA binomial negativa o de Pascal, su función de probabilidad esta dada por

p( x )=(x−1r−1 ) pr qx−r

x = r, r+1, r+2, ... Ε ( X )= r

pEjemploRefiriéndonos del ejemplo de los pozos petrolerosa) Cual es la probabilidad de que el tercer pozo productivo ocurra en el quinto pozo perforado.b) Cual es la probabilidad de que el segundo pozo productivo ocurra en el quinto pozo perforado.c) Cual es la probabilidad de que el segundo pozo productivo ocurra en el octavo pozo perforado.

d) Calcule el valor esperado en los casos anteriores.

Una empresa posee un grupo de maquinas fotocopiadoras usadas, el 20 % necesita reparación. Un equipo de mantenimiento lleva 3 cajas de repuesto para reparar las copiadoras. El equipo de mantenimiento seleccionada maquina al azar y las pruebas una tras otra, si una maquina funciona la apartan para su uso posterior, sin embargo la maquina que no funciona utiliza una caja de repuesto, una por cada maquina defectuosa. Supongamos se necesita 10 minutos para probar una maquina en condiciones de trabajo y 30 para probar y reparar una maquina dañada. a) Probabilidad de que la tercera caja se utilice en la décima maquina que prueba.b) Determine la media del tiempo total que transcurre hasta usar las 3 cajas.

La función de probabilidad o densidad de una VA continua.La probabilidad de que la VA continua X tome los valores entre a y b es decir P(a<=x<=b) se define como el área bajo la curva de todos los puntos muestrales de S que tiene rango asignado.

P (a≤x≤b )=∫a

b

f ( x )dx

Donde f(x) es una función de densidad de probabilidad para x que asigna probabilidades a un rango de valores y satisface o cumple:

a) f(x) >= 0 para cualquier valor de x

b)∫−∞

∞

f ( x )dx=1

Función de distribución de una VA continuaLa función de distribución acumulada para una VA continua X se define por :

F(x) = ∫−∞

x

f ( t )dt

Valor Esperado: El valor esperado de una VA continua X es:

E( X )=∫−∞

∞

xf ( x )dx, siempre que exista la integral

Distribución de probabilidad continúasDistribución de probabilidad uniformeUna variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad uniforme si y solamente si la función de densidad de Y es.

f ( x )={ 1t2−t1

,

0

si . t1≤x≤t2

si .no

E [ X ]=t1+t2

2 P(a≤x≤b )= b−a

t2−t1

Ejemplos: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme (-5,5). a) La probabilidad que se encuentre entre –2 y 0.b) La probabilidad que sea mayor a 3c) La probabilidad que sea menor a 0d) Obtenga el valor esperado

Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta entre los marcadores 0 y 10.a) Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de 0 que de 10. b) Calcule la probabilidad de que la distancia con respecto a 0 sea más de tres

veces la distancia con respecto a 10. c) Calcule el valor esperado de la caída del paracaidista.

Distribución de probabilidad NormalUna VA X tiene una distribución de probabilidad normal si, y solamente si la función de densidad de X es:

f ( x )= ℓ

−( x−μ )2

2 σ2

σ √2 π σ>0 ,−∞<μ<∞ ,−∞<x<∞

E[X] = μ es la media y σ2

es la varianzaPara encontrar la probabilidad de la variable aleatoria Normal se utiliza una tabla donde la media es cero y su varianza 1. También conocida como Normal Estandarizada .Ejemplo: Sea Z una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1 determine:

a) Determine P(Z>2)b) Determine P(Z>1.34)c) Determine P(Z<1.95)d) Determine P(Z<-0.34)e) Determine P(-2<Z<2)f) Determine P(0<Z<1.73)

Para las distribuciones normales con media y varianza distinta a 0 y 1 respectivamente se utiliza la siguiente relación:

Z=Y −μσ

Ejemplo: Los resultados de un examen de admisión es un colegio tienen una distribución normal con media 75 y varianza 100.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga más de 72 puntos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga menos de 83 puntos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga entre 80 y 90 puntos?

Tamaño de la muestra

La presentación.