2008

Ing. Susana Martinez C.

Operaciones con Logaritmos

Operaciones con Logaritmos 2008

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Ing. Susana Martínez C.

DEFINICIÓN Se llama logaritmo de un número al exponente al que hay que elevar otro número

llamado base para obtener el número dado. Así

etc.25,5

55

15

2

1

0

luego, siendo la base 5, el logaritmo en base 5 de 1, se escribe 1Log5 , es cero,

porque al elevar la base a cero el resultado es 1 (argumento del logaritmo)

Cualquier número positivo se puede tomar como base de un logaritmo. Los

logaritmos más empleados son los llamados vulgares o de base 10 [Ej: Log(X)]y

los naturales o neperianos [Ln(6)](cuya base es e = 2,718281…).

1. Las siguientes reglas generales son importantes a la hora de escribir o calcular

un logaritmo

2. La base de un logaritmo no puede ser nunca un número negativo

3. Los números negativos no tienen logaritmo, es decir

aLogb no existe

4. Independientemente de la base, el logaritmo de la misma base siempre es uno, es

decir

1bLogb

5. Independientemente de la base, el logaritmo de uno siempre es cero, es decir

01Logb

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Ing. Susana Martínez C.

6. Independientemente de la base, el logaritmo de cualquier número mayor que

uno, siempre será positivo

7. Independientemente de la base, el logaritmo de cualquier número menor que

uno pero mayor que cero, siempre será negativo

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS Logaritmo de un producto: el logaritmo de un producto siempre será igual a la

suma de los logaritmos de los factores

yLogxLogyxLog bbb

Logaritmo de un cociente: el logaritmo de un cociente siempre será igual a la resta

de los logaritmos de los factores

yLogxLogy

xLog bbb

Logaritmo de una potencia: el logaritmo de una potencia siempre será igual al

exponente multiplicado por el logaritmo del factor

xLogaxLog ba

b

Logaritmo de una raíz: el logaritmo de una raíz siempre será igual al logaritmo

de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz

n

xLogxLog bn

b

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SIMPLIFICACIÓN DE LOGARITMOS Las propiedades anteriormente vistas, permiten simplificar los logaritmos, es así

como Log3(7X) puede reescribirse como Log3(7) + Log3(X)

OPERACIONES CON LOGARITMOS Suma y/o resta: Solo se pueden sumar y/o restar logaritmos que sean semejantes,

es dcir, que posean igual base e igual argumento, para ello basta con sumar o

restar, según sea el caso, los coeficientes que acompañan a cada logaritmo. En

algunos casos, es posible simplificar las expresiones y convertirlas en logaritmos

semejantes.

Ejemplo: Efectuar las operaciones que se indican a continuación

5Ln(8XY) – Ln(4X) + (7/2)Ln(2) Simplificando los términos anteriores con la finalidad de asemejanrlos, se tiene,

5Ln(8XY) = 5Ln(2·4X) = 5Ln(2) + 5Ln(4X) Sustituyendo la expression anterior en la operación inicial

5Ln(8XY) – Ln(4X) + (7/2)Ln(2) = 5Ln(2) + 5Ln(4X) – Ln(4X) + (7/2)Ln(2)

Sumando las cantidades semejantes

5Ln(8XY) – Ln(4X) + (7/2)Ln(2) = (5 + 7/2)Ln(2) + (5 – 1)Ln(4X)

Finalmente se obtiene como resultado

5Ln(8XY) – Ln(4X) + (7/2)Ln(2) = (17/2)Ln(2) + 4Ln(4X)

Nota: Las operaciones de multiplicación y/ división no aplican para los

logaritmos.