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1
CLASE 3 – MÓDULO II
En esta clase nos proponemos conocer el conjunto de los números
racionales, identificar las distintas maneras de expresar los números que
lo forman y conocer los procedimientos que permiten ordenar sus
elementos.
¿Cómo citar esta clase?
Programa Oportunid@des, Dirección de Educación de Jóvenes y Adultos,
Consejo General de Educación de Entre Ríos, 2018. Matemática, Clase 3,
Módulo II.
2
Hasta ahora hemos trabajado con números que usamos para contar, para decir
nuestra edad, o para ubicarnos en relación a un punto de referencia con valores
positivos o negativos. Pero en la vida de todos los días usamos otros números,
decimos medio (1
2) kilo de pan, mi estatura es de 1,65m, el precio de un producto
es de $17,50. Estos números que expresamos con coma o como fracción son
elementos del conjunto de los Números Racionales al que simbolizamos con 𝑄.
Este conjunto está formado por los enteros y las fracciones. Todas las fracciones
se pueden escribir como expresión decimal.
2 −3
2= −1,5 −27
1
3= 0.333 …
Existen algunos números que no se pueden expresar como fracción, por ello no
son racionales, y los estudiaremos más adelante.
Las fracciones son parte de nuestra vida de todos los días y verás que resulta
sencillo entender de qué se trata mirando el siguiente video.
Hacé control + clic sobre la imagen para seguir el vínculo.
FRACCIONES
NÚMEROS RACIONALES
3
Cuando hablamos de una sola cosa hacemos referencia a la unidad.
También podemos tomar un conjunto de cosas como unidad.
Cuando dividimos una unidad en partes iguales, hablamos de fracción.
4
Cada una de las partes iguales en que dividimos la torta es un sexto(𝟏
𝟔)de la torta
y cada parte en la que dividimos la caja de huevos es un cuarto(1
4)de la caja.
Una fracción tiene dos partes, el numerador que se escribe arriba de la raya
fraccionaria y el denominador, debajo:
El denominador indica la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la
unidad y el numerador, cuántas de estas partes se toman.
Las fracciones también pueden ser negativas, en ese caso el signo menos se
coloca a la altura de la raya de fracción o en el numerador.
Por ejemplo:
−2
3= −
2
3
Observa el siguiente cuadro que te permite conocer algunas fracciones y cómo se
leen.
5
Si el numerador es mayor que el denominador como en 5
2 , la fracción se llama
fracción impropia y se puede escribir como número mixto 21
2 .
Fracción Parte de la
unidad
Cómo se lee
1
2
Un medio
2
3
Dos tercios
3
4
Tres cuartos
2
5
Dos quintos.
5
12
Cinco doceavos.
5
2 ó 2
1
2
Cinco medios o
dos enteros y un medio.
Cuando el
denominador
es un número
mayor que 10
se agrega la
terminación
avos al
nombre del
número.
6
Todas las fracciones tienen una expresión decimal equivalente. Por ser
equivalentes, así como las fracciones se pueden convertir en expresiones
decimales también las expresiones decimales se pueden expresar como
fracciones.
Si dividimos el numerado entre el denominador de una fracción, obtenemos la
expresión decimal que le corresponde. denominador.
En algunos casos al hacer la división obtenemos resto cero y diremos que la
expresión decimal obtenida es exacta.
A veces la división no tiene resto cero y se siguen repitiendo las mismas cifras
en el cociente infinitamente. En esos casos decimos que la expresión decimal es
periódica.
Si la parte decimal está formada solo por las cifras que se repiten (el período)
decimos que es una expresión decimal periódica pura.
En cambio, si en la parte decimal hay cifras no periódicas a la izquierda del
período se trata de una expresión decimal periódica mixta.
Fracción Expresión decimal Tipo de expresión decimal 1
2
1:2 = 0,5
Expresión decimal exacta.
−12
5
-12:5 = -2,4
Expresión decimal exacta.
2
3
2: 3 = 0,666666 … = 0, 6̂
Expresión decimal periódica pura. En este caso el periodo es 6.
2
15
2: 15 = 0,133333 … = 0,13̂
Expresión decimal periódica mixta. La parte decimal no periódica es 1 y el periodo es 3.
FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES
7
Ya vimos en el primer video de esta clase el concepto de fracciones
equivalentes, pero es necesario encontrar un método numérico que permita
obtenerlas. Aquí te lo presento:
Fracciones equivalentes son las fracciones que representan la misma cantidad.
Observa:
Si en una fracción multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo
número se obtiene una fracción equivalente. Esta forma de obtener fracciones
equivalentes se llama amplificación.
3
4
6
8
En ambos casos se pintó
la misma parte del entero,
eso quiere decir que
3
4 y
6
8 son fracciones
equivalentes.
3
4=
3.2
4.2=
6
8
3
4=
6
8
FRACCIONES EQUIVALENTES
8
En este otro caso:
Observa:
Si dividimos por el mismo número el numerador y el
denominador de una fracción obtenemos una fracción
equivalente por simplificación.
Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar.
3
6
1
2
3
6 y
1
2 son fracciones
equivalentes, está pintada la
misma parte del entero.
3
6=
3: 3
6: 3=
1
2
3
6=
1
2
9
ACTIVIDAD 1 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR
1. Completa la tabla
Gráfico Fracción Cómo se lee
Tres quintos
Siete tercios
2
7
9
5
7
20
Veinticinco centésimos
2. Expresa las siguientes fracciones en forma decimal e indica el tipo de
expresión decimal obtenida en cada caso. (Puedes usar calculadora)
10
Fracción Expresión decimal Tipo de expresión decimal
5
7
3
12
8
3
9
18
11
30
2
45
3. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas, si es posible, una
de ellas que sea por simplificación:
𝑎) 3
2= 𝑑)
8
24=
𝑏)11
3= 𝑒)
5
6=
𝑐) 5
3= 𝑓)
9
45=
4. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreducible.
𝑎) 15
40=
𝑏) −24
100= 𝑐)
20
120=
𝑑) 18
81=
𝑒) −50
45= 𝑓)
−32
1000=
𝑔)45
250=
ℎ) 18
90= 𝑖)
50
250=
11
En muchas situaciones es importante que las fracciones se expresen usando para
todas un mismo denominador. Es conveniente que ese denominador sea el
mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.
Consideremos las fracciones:
5
6;
−7
4 𝑦
8
15
El denominador común para todas ellas es el mínimo común múltiplo (MCM) de
sus denominadores.
Para hallar ese MCM escribamos la lista de los primeros múltiplos de cada
denominador. El primer valor que se repita en todas las listas será el MCM.
6̇ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …
4̇= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 38, …
15̇ = 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
Como vemos el primer valor que se repite es 60.
Luego será: MCM(6,4,15)=60.
El denominador común para 5
6;
−7
4 𝑦
8
15es 60.
Ahora transformemos estas fracciones en otras equivalentes de denominador 60.
Dividimos el denominador común encontrado por cada uno de los denominadores
de las fracciones. Usamos ese número para amplificar las fracciones.
DENOMINADOR COMÚN
12
60: 6 = 10 5
6=
5.10
6.10=
50
60
60: 4 = 15 −7
4=
−7.15
4.15=
−105
60
60: 15 = 4 8
15=
8.4
15.4=
32
60
Comencemos leyendo el siguiente problema:
Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas Comunitarias
en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para alimentar a sus familias
y los excedentes lo distribuyen a instituciones que se dedican a proporcionar
comida a personas en situación de vulnerabilidad o bajo la línea de pobreza. En la
última siembra decidieron dividir el terreno, destinando 1
3 del terreno al cultivo de
lechuga, 1
6 para sembrar pimientos y
5
12 para cultivar tomates. ¿A qué cultivo
dedican la mayor parte del terreno? ¿A cuál la menor?
A continuación te explico cómo proceder para comparar fracciones.
Luego de leer el tema responde a las preguntas y envíalas al tutor junto
con la actividad 2, del final de esta semana.
Las fracciones se pueden ordenar de menor a mayor o de mayor a menor
teniendo en cuenta la cantidad que representan.
Si las fracciones tienen el mismo denominador.
Observa las siguientes fracciones y su representación gráfica:
ORDEN EN EL CONJUNTO Q
13
1
4
2
4
3
4
De acuerdo a la parte pintada en cada gráfico podemos decir que tres cuartos
(3
4) es mayor que dos cuartos (
2
4)y dos cuartos es mayor que un cuarto(
1
4). Como
vemos si los denominadores son iguales a mayor numerador corresponde
mayor fracción.
En símbolos:
1
4<
2
4<
3
4
Si las fracciones tienen el mismo numerador.
1
2
1
3
1
4
Un medio (1
2) es mayor que un tercio (
1
3) y éste es mayor que un cuarto (
1
4). Por lo
tanto, si las fracciones tienen el mismo numerador, cuanto menor es el
denominador, mayor es la fracción.
En símbolos:
Recuerda:
< 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
> 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
14
1
2>
1
3>
1
4
Si sus numeradores y denominadores son distintos.
7
3 𝑦
5
2
Debemos transformarlas en fracciones equivalentes del mismo denominador y
comparar los numeradores.
En forma decimal
En primer lugar se debe observar la parte entera, es decir las cifras que
están a la izquierda de la coma y compararlas. Por ejemplo:
25,3 𝑦 18,129
25 es mayor que 18 y ya podemos afirmar que 25,3 es mayor que 18,129.
En símbolos:
25,3 > 18,129
Si las partes enteras son iguales debemos comparar la parte decimal teniendo
en cuenta el valor posicional de cada cifra, comenzando de izquierda a derecha,
se comparan primero los décimos, luego los centésimos, los milésimos, …
7
3=
14
6
15
6>
14
6→
52
>73
5
2=
15
6
15
Observemos los números 2,4053 y 2,416
Tienen la misma parte entera. Las primeras cifras decimales (décimos) son
iguales en ambos, seguimos comparando las segundas cifras decimales
(centésimos) vemos que el primer número tiene 0 centésimos y el segundo
tiene 1 centésimo, ya podemos concluir que 2,416 es mayor que 2,4053.
En símbolos: 2,416 > 2,4053.
ACTIVIDAD 2 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR
1. Halla fracciones equivalentes a las dadas, de modo que las tres tengan el
mismo denominador:
𝑎) 1
9;
1
3;1
6
𝑏)3
5;7
8;
3
10
2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
Décimos
Centésimos
Milésimos
16
𝑎)1
7;1
3;1
4
𝑏) 3
4;1
4;7
4
𝑐) 4
5;3
2;
9
10
𝑑) −5
8; −
3
4; −
7
10
4. Responde a las preguntas del problema en el inicio de la semana en el tema
Orden en el conjunto Q.
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:
a) 27,32; 27,125; 27,1248
b) 12,5; -15,23; -15,217
17
¿Cuántas fracciones con denominador 2 hay entre -1 y 4? ¿Cuántas con
denominador 5 entre 2 y 3?
Encuentra las respuestas a estas preguntas mirando el siguiente video:
Para representar fracciones en la recta numérica debemos dividir la unidad en
tantas partes iguales como diga el denominador de la fracción y contar, a partir del
cero, tantas subdivisiones como indica el numerador.
LAS FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA
18
Retomemos el problema de la semana anterior:
Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas Comunitarias
en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para alimentar a sus familias
y los excedentes lo distribuyen a instituciones que se dedican a proporcionar
comida a personas en situación de vulnerabilidad social. En la última siembra
decidieron dividir el terreno, destinando 1
3 del terreno al cultivo de lechuga,
1
6 para
sembrar pimientos y 5
12 para cultivar tomates. ¿Qué porcentaje del terreno se
dedica a cada cultivo? ¿Qué porcentaje queda sin cultivar?
A continuación te explico la relación que existe entre las fracciones y los
porcentajes, luego de leer la información responde a las preguntas del problema y
envía tu respuesta al tutor junto con la actividad 3 del final de esta semana.
Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de escribir el
mismo valor:
Gráfico
Fracción Expresión Decimal
Porcentaje
1
2
0,5 50%
2
3
0,6666….. 67%
3
4
0,75 75%
LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES COMO PORCENTAJE
19
2
5
0,4 40%
5
12
0,4166666… 41,67%
5
2 ó 2
1
2
2,5
250%
Convertir una fracción en porcentaje Se divide el numerador por el denominador y se multiplica la expresión decimal
por 100.
Por ejemplo: convertir 5
8 en porcentaje.
Dividir 5 entre 8: 5:8= 0,625.
Multiplicar 0,625.100= 62,5.
5
8 de una cantidad es el 62,5%.
Convertir un porcentaje en fracción
Se divide el porcentaje por 100, la expresión decimal obtenido se transforma en
fracción y se simplifica.
Por ejemplo: convertir 75% en fracción.
Dividir 75 entre 100: 75:100 = 0,75.
Transformar 0,75 en fracción: 75
100 y simplificando:
75:25
100:25=
3
4
20
ACTIVIDAD 3 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR
1. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.
𝑎) 2
5; −
1
5;
7
10
𝑏)−5
3;5
6;
3
2
2. Completa la siguiente tabla con los valores correspondientes.
Fracción Decimal Porcentaje
1
100 0,01 1%
𝟏
𝟐𝟎
0,1
12,5%
𝟏
𝟓
0,25
1
3
50%
0,75
100%
1,25
12
5
21
3. Responde al problema del inicio de la semana:
Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas
Comunitarias en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para
alimentar a sus familias y los excedentes lo distribuyen a instituciones que
se dedican a proporcionar comida a personas en situación de vulnerabilidad
social. En la última siembra decidieron dividir el terreno, destinando 1
3 del
terreno al cultivo de lechuga, 1
6 para sembrar pimientos y
5
12 para cultivar
tomates. ¿Qué porcentaje del terreno se dedica a cada cultivo? ¿Qué
porcentaje queda sin cultivar?
1. En la fiesta del día del estudiante se organizaron competencias por equipo,
cada equipo debía diseñar su bandera. Se podía elegir entre los colores
amarillo, rojo, verde y azul y además agregarle rayas o lunares o sin éstos.
1. Colorea las banderas según las indicaciones:
La cuarta parte es roja, la
mitad amarilla, la décima
parte verde y el resto azul.
La quinta parte de las rojas
y la mitad de las amarillas
son rayadas.
La mitad de las verdes, la
tercera parte de las azules y
la quinta parte de las amarillas tienen lunares negros y el resto son
lisas.
22
2. Completa el cuadro en relación a la actividad anterior
Tipo de bandera Fracción del total Porcentaje
Rojas lisas
Rojas rayadas
Rojas a lunares
Amarillas lisas
Amarillas rayadas
Amarillas a lunares
Verdes lisas
Verdes rayadas
Verdes a lunares
Azules lisas
Azules rayadas
Azules a lunares
3. En las últimas elecciones para intendente del pueblo una de las listas
obtuvo la cuarta parte de los votos. Indica cuáles de las siguientes
expresiones representan esta cantidad. Justifica en cada caso tu elección
por Si o por NO.
Si/No justificación
1
4
0,4
Cuarenta centésimos
40%
25%
Veinticinco centésimos
0,250
23
4. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:
3
2;−2
3;1
6;3
4;−5
6;4
3
5) Ubica las fracciones de la actividad 4) en la recta numérica.
24
Itzcovich, Horacio y Novembre, Andrea (Coords.) Matemática 8. Tinta
Fresca. Buenos Aires.2006.
Laurito, Liliana y otros. Matemática Activa 8. Puerto de Palos. Buenos Aires.
2001.
Mérega, Herminia (Dir.) Actividades de Matemática 8. Santillana. Buenos
Aires. 2006.
Fioritti, Gema y otros. Matemática 1 Enseñanza Secundaria. Editorial SM.
Buenos Aires 2014.
Fuxman Bass, Juan Ignacio. Resolviendo: problemas de matemáticas. Red
Olímpica. Buenos Aires 2010.
Vizcaíno, Adriana. Aritmética. Ministerio de Educación de la Nación. Buenos
Aires 2011.
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BIBLIOGRAFÍA