Clase 23 Transformaciones isométricas.ppt
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Propiedad Intelectual Cpech
PPTC
AC
020M
T21-
A11
V1
Transformaciones isométricas
Propiedad Intelectual Cpech
ACOMPAÑAMIENTO ANUALMT 21
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Propiedad Intelectual Cpech
Aprendizajes esperados
• Conocer los movimientos en el plano cartesiano.
• Aplicar traslación en puntos y figuras.
• Identificar vectores de traslación utilizando posición inicial y final.
• Aplicar rotaciones a puntos y figuras planas.
• Aplicar simetría axial a puntos y figuras planas.
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Propiedad Intelectual Cpech
Transformaciones isométricas
Traslación
Contenidos
Rotación Simetría axial
Simetría central
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Propiedad Intelectual Cpech
La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto, en una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes).
2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).
Tipos de transformaciones isométricas
- Traslación
- Rotación
- Simetría
Transformaciones isométricas
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Propiedad Intelectual Cpech
Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.
P(x, y)T(a, b)
P´( x + a, y + b )
Una traslación en el plano cartesiano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b).
Traslación
P(1, 2)T(3, 4)
P´(1 + 3, 2 + 4)
P´(4, 6)
Ejemplo
Trasladar el punto P(1, 2) según el vector traslación T(3, 4).
(Sumando cada componente)
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Propiedad Intelectual Cpech
-1 1 2 3
3
1 2
4
y
x 4 5
-3
-2
-4
P
P´
Gráficamente, se tiene que en el plano cartesiano:
P(1, 2)T(3, 4)
P´(4, 6)
5 6
Traslación
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Propiedad Intelectual Cpech
Corresponde a un movimiento circular en un ángulo determinado con respecto a un centro de rotación.
<
αO
O: centro de rotación
α: ángulo de rotación
La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj.
Rotación
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Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo
Rotar la figura en 90° con respecto al punto O.
<
90°O
Rotación
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Propiedad Intelectual Cpech
En el plano cartesiano, si se rota un punto con respecto al origen en ciertos ángulos, se pueden conocer las coordenadas de la imagen de este.
90° 180° 270° 360°
A(x,y)
Punto
Ángulo
(– y, x) (– x, – y) (y, – x) (x, y)
Si el punto tiene coordenadas A(x, y) y se rota en alguno de estos ángulos: 90°, 180°, 270° ó 360°, las coordenadas resultantes de la imagen vienen especificadas en la siguiente tabla:
Rotación
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Propiedad Intelectual Cpech
Rotar el punto A(3, – 4) en 90° con respecto al origen.
Ejemplo
Sabemos que si rotamos el punto A(x, y) en 90° con respecto al origen, éste cambia a las coordenadas A’(– y, x).
A(3, – 4)Rotar en 90°
A´(4, 3)
Rotación
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Propiedad Intelectual Cpech
Eje de simetría
En la simetría axial, cada punto de la figura original está a la misma distancia del eje que su imagen.
Se puede considerar una simetría axial como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).
Simetría axial
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Propiedad Intelectual Cpech
Encontrar el punto simétrico de A(3, 4) si el eje de simetría es la recta y = 2.
Ejemplo
1
234
2 3 4-1-2-3
1
5A
A’
Eje de Simetría: y = 2
El punto A(3, 4) está 2 unidades sobre el eje de simetría (y = 2), luego su simétrico debe estar 2 unidades bajo el eje, es decir, el punto A’(3, 0).
Simetría axial
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?
Ejemplo
Una recta será eje de simetría del cuadrado si lo divide en dos partes simétricas.
- Al trazar una diagonal: La diagonal es un eje de simetría. La otra diagonal también es eje de simetría.
-Al trazar una recta por los puntos medios de dos lados opuestos:Esta recta es un eje de simetría.La recta que pasa por los puntos medios del otro par de lados opuestos también es eje de simetría.Luego, el cuadrado tiene 4 ejes de simetría.
Simetría axial
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Propiedad Intelectual Cpech
Si la simetría axial de un punto es respecto a los ejes coordenados, se pueden obtener las coordenadas de la imagen como:
- Simetría con respecto al eje X.
(x, y) (x, – y)
- Simetría con respecto al eje Y.
(x, y) (– x, y)
(Se mantiene la primera coordenada, y se cambia de signo la segunda)
(Se mantiene la segunda coordenada, y se cambia de signo la primera)
Simetría axial
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Propiedad Intelectual Cpech
La simetría central con respecto al origen, es equivalente a una rotación en 180º con respecto al origen.
OA A´
Corresponde a la reflexión de una figura respecto a un punto.
O : centro de simetría
AO = OA’
Simetría central
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuál es la alternativa correcta?
1. Al punto P(– 9, – 4) se le aplicó una traslación obteniéndose el punto P’(2, – 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vector traslación?
A) (– 2, – 2)B) (11, – 2)C) (11, 2)D) (– 11, 2)E) (– 11, – 2)
Apliquemos nuestros conocimientos
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Propiedad Intelectual Cpech
Sea T(x, y) el vector traslación que mueve el punto P(– 9, – 4) hasta el punto P’(2, – 2).
Entonces se tiene:
P(– 9, – 4) + T(x, y) = P’(2, – 2)
(– 9 + x, – 4 + y) = (2, – 2)
– 9 + x = 2 – 4 + y = – 2
x = 2 + 9x = 11
y = – 2 + 4y = 2
Por lo tanto, el vector traslación es T(11, 2).
Sumando las coordenadas:
Igualando las componentes se tienen dos ecuaciones:
(Despejando las incógnitas en ambas ecuaciones)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
Habilidad: Aplicación
C
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuál es la alternativa correcta?
2. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una rotación de 270° de la figura con respecto al punto P?
A)
B)
C)
D)
E)
P
Apliquemos nuestros conocimientos
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Propiedad Intelectual Cpech
Una rotación positiva gira la figura en sentido anti horario en el ángulo dado.
P270°
Luego, la figura que mejor representa una rotación en 270° es la de la alternativa C).
Apliquemos nuestros conocimientos
Habilidad: Comprensión
C
Resolución:
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuál es la alternativa correcta?
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSAS?
I) Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1).
II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1), se obtiene el punto Q’(– 6, – 2).
III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270°, seobtiene el punto S’(– 3, 2).
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III
Apliquemos nuestros conocimientos
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Propiedad Intelectual Cpech
Analizando las opciones:
I) Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1).
Al rotar un punto A(x, y) en 360° con respecto al origen, se obtiene un punto de coordenadas A’(x, y).
Esto quiere decir, que el punto A queda con las mismas coordenadas.
Por lo tanto, la imagen de R(1, 2) al rotarlo en 360° es R’(1, 2).
Luego, la opción I) es Falsa.
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
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II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1) se obtiene el punto Q’(– 6, – 2).
Al trasladar el punto Q en el vector T se tiene:
Por lo tanto, el punto Q’ = (– 6, – 2).
Luego, la opción II) es verdadera.
Q(– 4, – 1) + T(– 2, – 1) =
(– 4 + – 2, – 1 + – 1) =
(Sumando las coordenadas)
(– 6, – 2)
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
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III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270° se obtiene el punto S’(– 3, 2).
Una rotación negativa de 270° es equivalente a una rotación positiva de 90°.
Al rotar positivamente el punto (x, y) en 90° se tiene el punto de coordenadas (– y, x).
Al rotar el punto S(– 2, 3) se obtiene el punto S’(– 3, – 2).
Por lo tanto, la opción III) es Falsa.
Como debemos considerar solo las Falsas, I) y III), la alternativa correcta es E).
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
Habilidad: Análisis
E
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuál es la alternativa correcta?
4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P(3, – 6) con respecto al origen?
A) P’(– 6, – 3)B) P’(– 6, 3)C) P’(– 3, – 6) D) P’(– 3, 6) E) P’(6, – 3)
Apliquemos nuestros conocimientos
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Propiedad Intelectual Cpech
Como el origen es el punto (0, 0), el punto simétrico de P(3, – 6) corresponde a una simetría central.
La simetría central con respecto al origen, corresponde a una rotación en 180°.
Una rotación en 180° en torno al origen cambia un punto (x, y) en (– x, – y)
Aplicando la rotación en 180°:
P’(– 3, 6)
180°P’(3, – 6)
P’
P
Centro de rotación
y
x 3
6
–3–2
–6
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
D Habilidad: Aplicación
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Propiedad Intelectual Cpech
¿Cuál es la alternativa correcta?
5. Al punto P(– 5, 7) se le aplica una simetría con respecto al origen; luego, una traslación mediante el vector T(– 3, 2); y finalmente, una simetría con respecto al eje Y. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de P después de aplicar dichas transformaciones isométricas?
A) (– 2, – 5)B) (– 2, 5)C) (2, – 5)D) (2, 5)E) (5, – 2)
Apliquemos nuestros conocimientos
![Page 27: Clase 23 Transformaciones isométricas.ppt](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062501/5695d28f1a28ab9b029ae2e2/html5/thumbnails/27.jpg)
Propiedad Intelectual Cpech
1°: Aplicando la simetría central en torno al origen (es equivalente a una rotación en 180°):
P(– 5, 7) P’(5, – 7)180°
2°: Al punto P’ se le aplica una traslación mediante el vector T(– 3, 2).
P’(5, – 7) P’’(5 + (– 3) , – 7 + 2) = P’’(2, – 5)T(– 3, 2)
3°: Al punto P’’ se le aplica una simetría con respecto al eje Y.
P’’(2, – 5) P’’’(– 2, – 5)Simetría eje Y
Luego, las coordenadas de la imagen de P(– 5, 7) después de las sucesivas transformaciones isométricas son (– 2, – 5).
Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución:
Habilidad: Aplicación
A
![Page 28: Clase 23 Transformaciones isométricas.ppt](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022062501/5695d28f1a28ab9b029ae2e2/html5/thumbnails/28.jpg)
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Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremosÁrea y volumen de sólidos
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Equipo Editorial: Área Matemática