TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201

𝐿𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0

𝐿𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑠2𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 (0)

𝐿 𝑥(𝑡)𝜇(𝑡 − 𝑡0) = 𝑒−𝑠𝑡0𝑋(𝑠)

𝐿 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑎𝑋 𝑠 + 𝑏𝑌(𝑠)

Primera derivada

Segunda derivada

Retardo temporal

Linealidad

𝐿 𝑥 𝑡 𝑑𝑡𝑡

0

=𝑋(𝑠)

𝑠 Integral

c(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) Convolución

Propiedades de Laplace

Transformadas Comunes

𝑒−𝑎𝑡 1

𝑠 + 𝑎

cos(𝑎𝑡) 𝑠

𝑠2 + 𝑎2

sen(𝑎𝑡) 𝑎

𝑠2 + 𝑎2

𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝐴𝜇(𝑡) 𝐴

𝑠

𝛿(𝑡) 1

Transformadas Comunes

• Calcular transformadas de las siguientes señales:

𝑞 𝑡 = 𝑒𝑡/8

𝑝 𝑡 = 8𝜇(𝑡)

𝑠 𝑡 = 𝑒−13𝑡 + 10𝛿(𝑡)

𝑢 𝑡 = 7cos(2𝜋𝑡)

𝑣 𝑡 = 5sen(10𝜋𝑡)

𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡)

𝑢 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 + 𝑣 𝑡 ∗ 𝑠(𝑡)

′∗′ ∶ 𝐶𝑂𝑁𝑉𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁

Transformadas Comunes

• Calcular transformadas de los siguientes sistemas:

Be 𝑡 + 𝑒 (𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒

𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)

Funciones de Transferencia

• Transferencia es la relación existente entre la salida y la entrada de un sistema

G U Y

𝑌 = 𝐺(𝑈)

Funciones de Transferencia

• Divisor de Tensión:

𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝑅2

𝑅2 + 𝑅1𝑉𝑖𝑛

𝑉𝑜𝑢𝑡𝑉𝑖𝑛

=𝑅2

𝑅2 + 𝑅1

𝑅2𝑅2 + 𝑅1

𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛

Funciones de Transferencia

• Podemos entender una transferencia como FUNCION, es decir:

• Por ejemplo:

𝑦 = 𝐻(𝑢)

𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3 H(u) U = 2 Y = 13

Funciones de Transferencia

• Se puede definir la Función de Transferencia como:

• Siempre y cuando las condiciones iniciales sean iguales a cero.

𝐻 𝑠 = 𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)

Funciones de Transferencia

• Respuesta a Impulso – La transformada de Laplace de un impulso unitario es

1 – Entonces:

• Entonces la transformada de la respuesta a impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.

𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)

Funciones de Transferencia

• Determinar la salida “y” en función de “u” y “p”.

H

+

+

p

u y

𝑦 = 𝑝 + 𝐻(𝑢)

Polos y Ceros

• Polos: Son las raíces del denominador de una función de transferencia.

• Ceros: Son las raíces del numerador de una función de transferencia.

𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠

𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏0𝑎𝑛𝑠

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎0

Polos

• La ubicación de los polos de una función de transferencia en el plano “s” determina el comportamiento del sistema que modela.

• Los polos ubicados en el semi plano izquierdo (SPI) son siempre estables ya que a entradas acotadas se obtienen salidas acotadas mientras que en el semi plano derecho (SPD) sucede al contrario.

Polos

Región Estable Región Inestable Región Críticamente

Estable

Polos

𝑒−𝑎𝑡 1

𝑠 + 𝑎

cos(𝑎𝑡) 𝑠

𝑠2 + 𝑎2

sen(𝑎𝑡) 𝑎

𝑠2 + 𝑎2

𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝐴𝜇(𝑡) 𝐴

𝑠

Polos

• Polos Reales:

• Polos Imaginarios:

𝐻 𝑠 =1

(𝑠 + 𝑎)(𝑠 − 𝑏)

𝐼𝑚

𝑅𝑒 −𝑎 𝑏

𝐻 𝑠 =1

(𝑠2 + 𝑐2)

−𝑐

𝑐

X

X

X

X

Polos

• Polos Complejos conjugados:

𝐼𝑚

𝑅𝑒 −𝜉𝜔𝑛

𝐻 𝑠 =1

(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛 +𝜔𝑛2)

𝜔𝑛 1 − 𝜉2 X

X −𝜔𝑛 1 − 𝜉2

𝜔𝑛

𝑠1 = −𝜉𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 1 − 𝜉2

𝑠2 = −𝜉𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 1 − 𝜉2

Polos

• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea estable y tenga un polo en el origen.

• ¿Se puede decir que sea críticamente estable?.

𝐻 𝑠 =𝑠 + 𝑎

(𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏)

Ejercicios

• Calcular los polos de los siguientes sistemas e indicar si son inestables:

• Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo sistema como entrada del primer sistema el conjunto sea estable.

Be 𝑡 + 𝑒 (𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒

𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)

Soluciones en el tiempo

• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es separar el denominador de una fracción en una suma de fracciones mas simples.

• Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los coeficientes de cada orden de “s”.

• Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.

𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠

𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏0𝑎𝑛𝑠

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎0

=𝐴𝑠 + 𝐵

𝑠2 + 𝑐1𝑠 + 𝑐0+

𝐶

𝑠 + 𝑐2+⋯+

𝐷

𝑠

Soluciones en el tiempo

• Calcular la salida del circuito si la entrada es un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45.

𝑉𝑐 =𝑉𝑓

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

𝑉𝑐 =20

𝑠(𝑠2 + 9𝑠 + 20)

𝑉𝑐 =1

𝑠+

4

𝑠 + 5−

5

𝑠 + 4

𝑣𝑐(𝑡) = 1 + 4𝑒−5𝑡 − 5𝑒−4𝑡

Soluciones en el tiempo

• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo

𝐻 𝑠 =𝑠 − 1

(𝑠 + 3)(𝑠 − 2)

𝑌 𝑠 =𝐴

𝑠 + 3+

𝐵

𝑠 − 2 𝐴 𝑠 − 2 + 𝐵 𝑠 + 3 = 𝑠 − 1

𝐴 + 𝐵 = 1

3𝐵 − 2𝐴 = −1

𝐴 =4

5

𝐵 =1

5

𝑌 𝑠 =4/5

𝑠 + 3+

1/5

𝑠 − 2

𝑦 𝑡 =4

5𝑒−3𝑡 +

1

5𝑒2𝑡

Soluciones en el tiempo

• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo

𝐻 𝑠 =𝑠 + 6

(𝑠2 + 4𝑠 + 13)

𝑌 𝑠 =(𝑠 + 2) + 4

((𝑠 + 2)2+9)

𝑦 𝑡 = 𝑒−2𝑡 cos(3𝑡) +4

3𝑒−2𝑡 sin(3𝑡)

𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔

(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2

(𝑠 + 2)

((𝑠 + 2)2+32) +4

3⋅

3

((𝑠 + 2)2+32)

Recapitulación

• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema: – Estable – Críticamente Estable – Inestable

• Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se

pueden definir en distintas regiones del plano de Laplace.

• Un sistema puede ser identificado mediante su respuesta al Impulso.