Clase 07 - Método de Pendiente Deflexión.pdf
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Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural Método de Pendiente Deflexión
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 3
Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los
soportes son:
A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm
E=210GPa I=800 (10^6) mm4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS:
• Tramo AB:
• Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
2 2
AB 2 2
2 2
BA 2 2
(Pab ) (300)(3)(3 )FEM =- =- = -225 kNm
l 6
(Pab ) (300)(3)(3 )FEM = = =225 kNm
l 6
2 2
BC 2 2
2 2
BA 2 2
Pab (200)(3)(3 )FEM =- =- = -150 kNm
l 6
(Pab ) (200)(3)(3 )FEM = = =150 kNm
l 6
• Tramo CD(igual al tramo AB):
EFECTOS DE ASENTAMIENTO:
• Tramo AB:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2 2
CD 2 2
2 2
DC 2 2
(Pab ) (300)(3)(3 )FEM =- =- = -225 kNm
l 6
(Pab ) (300)(3)(3 )FEM = = =225 kNm
l 6
0.03m= =0.005
6ml
△
• Tramo BC:
• Tramo CD:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
0.008m= =0.00133
6ml
△
0.042m= =0.007
6ml
△
ECUACIÓN DE MOMENTO:
Sabiendo que EI=16800 kNm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
AB AB A B
AB A B
BA BA A B
BA A B
BC BC B C
BC B C
CB CB B C
CB
2EI 3M =FEM + (2θ +θ - )
L LM =-225+56000(2θ +θ -0.015)
2EI 3M =FEM + ( +2 - )
LM =225+56000( +2 -0.015)
2EI 3M =FEM + (2 + - )
LM =-150+56000(2 + -0.00399)
2EI 3M =FEM + ( +2 - )
LM =150+
L
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
△
△
B C
CD CD C D
CD C D
DC DC C D
DC C D
56000( +2 -0.00399)
2EI 3M =FEM + (2 + - )
LM =-225+56000(2 + +0.021)
2EI 3M =FEM + ( +2 - )
LM =225+56000(2 + +0.021)
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
• Ecuaciones de equilibrio:
luego como las rotulas y las articulaciones no soportan
momentos; se tiene:
Luego de (1):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
AB
BA BC
CB CD
DC
M =0 (1)
M +M =0 (2)
M +M =0 (3)
M =0 (4)
A B-225+56000(2 + -0.015)=0 (a)θ θ
De (2):
De (3):
De (4):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
A B B C225+56000( +2 -0.015)-150+56000(2 + -0.00399)=0 ( b)θ θ θ θ
B C C D150+56000( +2 -0.00399)-225+56000(2 + -0.021)=0 (c)θ θ θ θ
C D225+56000(2 + -0.021)=0 (d)θ θ
Resolviendo (a), (b), (c) y (d):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
AB
BA
BC
CB
CD
DC
M =0
M =153.88 kNm
M =-153.88 kNm
M =-107.08 kNm
M =107.08 kNm
M =0
A
B
C
D
=0.0081 rad
=0.0028 rad
=-0.0017 rad
=-0.0117 rad
θθθθ
Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga
continúa de dos luces de igual longitud .
W
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 4
2 2
AB BC
2 2
CB BA
-WL -WLFEM = FEM =
12 12WL WL
FEM = FEM =12 12
ASENTAMIENTOS:
Δ=0
ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2
AB A B
2
BA A B
2
BC B C
2
CB B C
2EI WLM = (2 + )- (1)
L 122EI WL
M = ( +2 )+ (2)L 12
2EI WLM = (2 + )- (3)
L 122EI WL
M = ( +2 )+ (4)L 12
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:
De (2):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
BA BC
AB
CB
M +M =0 (5)
M =0 (6)
M =0 (7)
2
A B
2
B C
4EI 2EI WL+ - =0 (8)
L L 122EI 4EI WL
+ + =0 (9)L L 12
θ θ
θ θ
2
BA A B
2EI 4EI WLM + + (10)
L L 12θ θ=
De (3) :
De (5):
De (8) se tiene que:
De (13) en (12) se tiene que:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2
BC B C
4EI 2EI WLM + - (11)
L L 12θ θ=
A B C
2 EI 8EI 2EI+ + =0 (12)
L L Lθ θ θ
3B
A
WL= - (13)
48EI 2
θθ
3
B C
WL 2=- - (14)
168EI 7θ θ
De (14) en (9) se tiene que:
De (15) en (14) se tiene que:
De (16) en (13) se tiene que:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
3
C
WL=- (15)
48EIθ
B=0 (16)θ
3
A
WL= (17)
48EIθ
• Momentos:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2
BA
WLM = (18)
8
2
BC
WLM =- (19)
8
Diagrama de cortante y momentos
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12 mm.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
En este caso no se presentan momentos de empotramiento.
ASENTAMIENTOS:
Δc=12mm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 5
AB A B
BA A B
BC B C
CB B C
2EIM = (2 + ) (1)
L2EI
M = ( +2 ) (2)L
2EI 3M = (2 + - ) (3)
L2EI 3
M = ( +2 - ) (4)L
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
CD C D
DC C D
DE D E
ED D E
2EI 3M = (2 + + ) (5)
L2EI 3
M = ( +2 + ) (6)L L
2EIM = (2 + ) (7)
L2EI
M = ( +2 ) (8)L
Lθ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en
(1) y (13) en (8) se obtiene:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA BC
CB CD
DC DE
AB
ED
M +M =0 (9)
M +M =0 (10)
M +M =0 (11)
M =0 (12)
M =0 (13)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B
A B BA
B C BC
B C CB
C D CD
C D DC
D E DE
D
4EI 2EI+ =0 (14)
7 72EI 4EI
+ -M =0 (15)7 7
4EI 2EI 9EI+ - -M =0 (16)
7 7 61252EI 4EI 9EI
+ - -M =0 (17)7 7 6125
4EI 2EI 9EI+ + -M =0 (18)
7 7 61252EI 4EI 9EI
+ + -M =0 (19)7 7 6125
4EI 2EI+ -M =0 (20)
7 72EI
+7
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ E
4EI=0 (21)
7θ
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
• (2) y (3) en (9):
• (4) y (5) en (10):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B B C
A B C
2EI 4EI 4EI 2EI 9EI+ + + - =0
7 7 7 7 61252 8 2 9
+ + - =0 (22)7 7 7 6125
θ θ θ θ
θ θ θ
B C C D
B C D
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI+ - + + + =0
7 7 6125 7 7 61252 8 2
+ + =0 (23)7 7 7
θ θ θ θ
θ θ θ
• (6) y (7) en (11):
• Despejando θA de (14) y remplazando en (22):
• (25) en (23):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C D D E
C D E
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI+ + + + =0
7 7 6125 7 72 8 9 2
+ + + =0 (24)7 7 6125 7
θ θ θ θ
θ θ θ
B B C
B C
1 8 2 9- + + - =0
7 7 7 61252 9
=- + (25)7 6125
θ θ θ
θ θ
C D
D
24 18 8 2- + + + =0
49 42875 7 77 9
=- - (26)26 22750
C
C
θ θ θ
θ θ
• (26) en (24):
• (27) en (21):
• (28) en (27)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
D D E
D E
1 9 8 9 2- - + + + =013 79625 7 6125 7
26 108=- - (27)
97 84875
θ θ θ
θ θ
E E
E
52 216 4- - + =0
679 594125 79
= (28)12250
θ θ
θ
D
9=- (29)
6125θ
• (29) en (26):
• (30) en (25):
• (31) en (14)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C =0 (30)θ
B
9= (31)
6125θ
A
9=- (32)
12250θ
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
CALCULO DE LOS MOMENTOS:
• (32) y (31) en (15):
• (31) y (30) en (16):
• (31) y (30) en (17):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA
27M = (33)
42875
BC
27M =- (34)
42875
CB
9M =- (35)
8575
• (30) y (29) en (18):
• (30) y (29) en (19):
• (29) y (28) en (20):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
CD
9M = (36)
8575
DC
27M = (37)
42875
DE
27M =- (38)
42875
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
CALCULO DE LAS REACCIONES:
Tramo AB:
Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
B AB BA
AB
AB
Y AB BA
BA
M =0: -R (7)-M =0
27-R (7)- =0
30012527
R =-300125
F =0: -R +R =0
27R =
300125
∑
∑
C BC BC CB
BC
BC
Y BC CB
CB
M =0: - R (7)+M +M =0
27 9-R (7)+ + =0
42875 857572
R =300125
F =0: R +R =0
72R =-
300125
∑
∑
• Tramo CD:
• Tramo DE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5D CD CD DC
CD
CD
Y CD DC
DC
M =0: -R (7)-M -M =0
9 27-R (7)- - =0
8575 4287572
R =- 300125
F =0: -R +R =0
72R =
300125
∑
∑
D ED DE
ED
ED
Y ED DE
DE
M =0: R (7)+M =0
27R (7)+ =0
30012527
R =-300125
F =0: -R +R =0
27R =
300125
∑
∑
DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5