Circunferencia
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Circunferencia
Índice La Circunferencia. La Circunferencia como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia. Ecuación analítica de la circunferencia. Ejemplo.
Circunferencia
La circunferencia, se obtiene como un caso particular de elipse, se origina al cortar el cono con un plano perpendicular al eje del cono.
Corte
Eje
Plano
Circunferencia
Circunferencia como lugar geométricoEs el lugar
geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante.
Elementos de la circunferencia En toda circunferencia
conviene considerar:
C: es el centro de la circunferencia.
P: un punto cualquiera de la circunferencia.
r: se le conoce como radio y es la distancia del centro de la circunferencia al punto P.
P (x, y)
r
C (a, b)
Ecuación analítica de la circunferencia Si hacemos coincidir el
centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.
Ecuación analítica de la circunferencia
Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Podemos desarrollar
resolviendo los cuadrados y obtenemos:
x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0
Ecuación analítica de la circunferencia
x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0
Si reemplazamos D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 Tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
EJEMPLO: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4 El centro de la circunferencia es (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6 La ecuación de la circunferencia queda:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Haz click y observa la
gráfica
EJEMPLO: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4 El centro de la circunferencia es (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6 La ecuación de la circunferencia queda:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
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