CIRCULO DE MOHR

POR: YEISON ALEJANDRO GAVIRIACOD:3008

ESCUELA COLOMBIANA DE CARRERAS INDUSTRIALESBOGOTA

INTRODUCCIONChristian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teora de estructuras. El ms conocido y til aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnolgicos es el mtodo para determinar los esfuerzos mximos y mnimos de compresin y tensin adems de los esfuerzos cortantes el cual se llama Circulo de Mohr, este mtodo fue desarrollado cerca del ao 1882. El mtodo de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibujo de un crculo en el planosT. El crculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendicularesconelesfuerzocortante(T) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal () en el eje horizontal. A continuacin se har una breve explicacin sobre este mtodo haciendo nfasis en los conceptos ms importantes adems de la resolucin de problemas empleando este mtodo

ElCrculo de Mohres una tcnica usada eningenieraygeofsica pararepresentar grficamenteun tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de inercia,deformacionesytensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de unacircunferencia(radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo delesfuerzo cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.Este mtodo fue desarrollado hacia1882por elingeniero civilalemn Christian Otto Mohr(1835-1918).CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS.El crculo de Mohr es una representacin grafica de los estados de esfuerzo a los que estn sometidos los slidos. El eje X nos entrega los valores de los esfuerzos normales en los puntos en que corta el circulo (1 y 2). La lnea paralela al eje Y que pasa por el centro del circulo muestra los esfuerzos de corte mximo y mnimo al intersecarse con le circulo.Para graficar el crculo de Mohr se debe tener en cuenta lo siguiente:1. Se deben calcular antes los esfuerzos principales .x ,y ,z yxy= Fx/A y=Fy/A z=Fz/A2. Dibujar un plano cartesiano con escalas iguales tanto en X como en Y.3. El siguiente paso es ubicar los puntosA(x,xy) y B(y, -xy).4. Trazar una lnea que una los puntos A y B.5. Encontrar el centro del crculo con la ecuacin c= (x +y)/26. Hallar el radio del crculo:

7. Trazar el crculo.8. El ngulo 2 indica la deformacin en grados, o cuanto se desplazo el solid de su ejeinicial.9. Identificar los puntos extremos.Se dibuja un punto en X de coordenadasx yxy, y un punto Y de coordenadas y y xy.Se traza una lnea uniendo los puntos X y Y, la cual define el punto de interseccin con eleje X (o Sigma) y se dibuja el circulo con centro en C, con dimetro XY. Al observar que laabcisa de C y el radio del crculo son respectivamente iguales a las cantidades med y R.Las abscisas de los puntos A y B en donde el crculo interseca el eje representanrespectivamente los esfuerzos principalesmax ymin en el punto considerado.

Caso bidimensional

Circunferencia de Mohr para un estado de tensin bidimensional.En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:

Podemos concluir que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa latensin normal(o)y el eje vertical representa latensin cortanteo tangencial(T)para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando losvalores propiosdeltensor tensinque en este caso viene dado por:

Caso tridimensionalEl caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (o) y tangencial (T), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (O,T) caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 crculos. Esto es ms complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin de posibles pares (O,T) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Circunferencia de Mohr para momentos de inerciaPara slidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inerciaalrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son anlogas a las del clculo de esfuerzos: Centro de la circunferencia:

Radio de la circunferencia:

Podemos ver a continuacin otro ejemplo de circulo de mohr, en este caso es llamado mohr para esfuerzos.Ejemplo.

-Trace el circulo de Mohr para:

Solucinx=200 Pay=-100 Paxy=50 PaA(200,50) B(-100,-50)c=(200 - 100)/2 = 50 Par=((150^2)+(50^2))^(1/2)= 158.11