Circuitos Electricos

Tema II:Rgimen transitorio

Regmenes permanente y transitorio................................................................................... 35Notacin del rgimen transitorio .......................................................................................... 36Elementos pasivos en rgimen transitorio.......................................................................... 37Clculo de condiciones iniciales y finales ............................................................................ 38

Ejemplo 1 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 39Ejemplo 2 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 41Ejemplo 3 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 43Ejemplo 4 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 44Ejemplo 5 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 46Ejemplo 6 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 47Ejemplo 7 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 49Ejemplo 8 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 51Ejemplo 9 de clculo de condiciones iniciales y finales ........................................................ 53Ejemplo 10 de clculo de condiciones iniciales y finales ...................................................... 54

Anlisis en rgimen transitorio.............................................................................................. 55Respuesta natural de un circuito RL ................................................................................... 56

Significado de la constante de tiempo................................................................................... 58Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL.................................................................... 59

Respuesta natural de un circuito RC ................................................................................... 60Respuesta forzada en circuitos RL y RC............................................................................ 62Respuesta en rgimen transitorio de circuitos con un solo elemento reactivo .......... 63Ejemplos de respuesta forzada.............................................................................................. 64

Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC .................................................................. 64Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL................................................................... 65

Respuesta de un circuito con dos elementos reactivos no agrupables......................... 66Solucin de las ecuaciones diferenciales .............................................................................. 67Solucin de la ecuacin homognea..................................................................................... 68Obtencin de las expresiones temporales............................................................................. 69Ejemplo 1 de respuesta de circuito con dos elementos ......................................................... 70Observaciones...................................................................................................................... 72Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 73Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 75Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 77Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 79Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 81Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 82Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos ......................................................... 83

Circuitos con elementos desacoplados ................................................................................ 85Observaciones...................................................................................................................... 86Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados .............................................................. 87Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados .............................................................. 89Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados .............................................................. 91

Circuitos con cambios sucesivos........................................................................................... 92Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos....................................................................... 93Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos....................................................................... 95Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos....................................................................... 97

34 Anlisis de redes. Transparencias de clase

Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO

Regmenes permanente y transitorio

Rgimenpermanente

Las excitaciones (fuentes)llevan mucho tiempo aplicadas.

Las caractersticas de las fuentesno cambian con el tiempo.

La respuesta del circuito(corrientes y tensiones)es de la misma naturalezaque las excitaciones

Condiciones de estudio

Rgimenpermanente continuo.

Rgimenpermanente sinusoidal.

Rgimentransitorio

Algunas excitaciones (fuentes)se aplican o se suprimenbruscamente (instantneamente;en un tiempo nulo)

La respuesta del circuito(corrientes y tensiones)es de distinta naturalezaque las excitacionesdebido a la presenciade elementos reactivos

Condiciones de estudio

Rgimen transitorioentre dos regmenespermanentes de continua.

Anlisisintegro-diferencial.

En un circuito cuyos elementos pasivos son nicamente resistenciasno hay rgimen transitorio aunque cambien las excitaciones;el circuito se adapta instantneamente a las nuevas condiciones de excitacin.

Anlisis de redes. Transparencias de clase 35


Notacin del rgimen transitorio

Excitacionescontinuasiniciales

Excitacionescontinuas

finalesUna

o m

sex

cita

cion

es

Otr

osel

emen

tos

t = t0

Circuito

Interruptorideal

AbiertoCircuito abierto

CerradoCortocircuito

t = t0- t = t0

+

Rgimenpermanente

continuoinicial

Rgimenpermanente

continuofinal

Rgimentransitorio

t = - t =

t0- = t0 = t0

+Respuestacontinua

Respuestacontinua

Respuestavariable

con el tiempo

t = tT

t = t0- : final del rgimen permanente continuo inicial

t = t0+: inicio del rgimen transitorio

t = tT: final del rgimen transitorio; comienzo del permanente continuo finalt = : final del rgimen permanente continuo final

Salvo que se indique explcitamente lo contrario, se supondr t0 = 0 s.



Elementos pasivos en rgimen transitorio

Representacingrfica

Relacinfuncional

Representacingrfica

Relacinfuncional

R

+vR-

iR(t)

L

+vL-

iL(t)

C

+vC-

iC(t)

ResistenciavR(t) = RiR(t)

pR(t) = vR(t)iR(t)

Inductancia

vL(t) = LdiL(t)

dtpL(t) = vL(t)iL(t)

Capacidad

iC(t) = CdvC(t)

dtpC(t) = vC(t)iC(t)

R

+vR-

iR(t)

L

+vL-

iL(t)

C

+vC-

iC(t)

ResistenciavR(t) = - RiR(t)

pR(t) = - vR(t)iR(t)

Inductancia

vL(t) = - LdiL(t)

dtpL(t) = - vL(t)iL(t)

Capacidad

iC(t) = - CdvC(t)

dtpC(t) = - vC(t)iC(t)

Consecuencias

Inductancia

La corriente novara bruscamente(dara origen atensin infinita)

La tensin puedevariar bruscamente

iL(t0+) = iL(t0

- )

vL(t0+) =

vL(t0- )

Capacidad

La tensin novara bruscamente(dara origen acorriente infinita)

La corriente puedevariar bruscamente

iC(t0+) = iC(t0

- )

vC(t0+) = vC(t0

- )

Resistencia

La corrientey la tensin puedenvariar bruscamente

iR(t0+) =

iR(t0- )

vR(t0+) =

vR(t0- )

Continua

Cortocircuito

Circuitoabierto

iL cualquiera

vC cualquiera

vL = 0 V

iC = 0 A



Clculo de condiciones iniciales y finales

Situacin del circuitocorrespondiente a

Continua- t t0-

Condicionesen t = t0

-Condiciones

en t = t0+

Condicionesen t =

Para todos t, L y C

vL(t) = 0 ViC(t) = 0 A

Para todos t, L y C,hallar

iL(t), vC(t)

y otras magnitudes(Kirchhoff,

mallas, nudos)


Transitorio

Para todas L y CiL(t0

+) = iL(t0- )

vC(t0+) = vC(t0

- )

Para todas L y C,hallar


mallas, nudos)


Continua

Para todos t, L y C

vL(t) = 0 ViC(t) = 0 A

Para todos t, L y C,hallar

iL(t), vC(t)


mallas, nudos)

vL(t0+), iC(t0

+)

t0 t tT tT t

A iL y vC se las denomina magnitudes fundamentalesporque definen el comportamiento de inductancias y capacidades.



Ejemplo 1 de clculo de condiciones iniciales y finales

IG C R

t = 0 R

L

Se suponen conocidos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = .

IG C R

R

L

iC +vC-

iL

+vL-

Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones.

La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que - t 0, y, en particular, para t = 0-.

El circuito se halla en rgimenpermanente continuo, ya que la fuente es continua.

La capacidad es un circuito abierto en continua(corriente nula).

La corriente de la fuente ha de circularpor la resistencia en paralelo con la capacidad,ya que sta es un circuito abierto.Las tensiones en ambos elementos son igualespor estar en paralelo.

La inductancia es un cortocircuito en continua(tensin nula).

No hay corriente en la inductanciaporque no est conectada a la excitacin.

iC(0-) = 0 A

IG = iC + vCR

vC(0-) = RIG

vL(0-) = 0 V

iL(0-) = 0 A



IG C R

R

L

iC +vC-

iL+vL-

Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensioneselegidos anteriormente.

La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que 0 t , y, en particular, para t = 0+.

El circuito entra en transitorioporque han cambiadolas condiciones de excitacinen algunos elementos.

La tensin en la capacidady la corriente en la inductanciano pueden variar bruscamente.

Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

vC(0+) = vC(0

-) = RIG

iL(0+) = iL(0-) = 0 A

IG = iC + vCR

+ iL iC(0+) = 0 A

vC = RiL + vL vL(0+) = RIG

IG C R

R

L

iC +vC-

iL+vL-


La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que 0 t , y, en particular, para t = .

El transitorio ha finalizadoy el circuito se encuentraen rgimen permanente continuo.



iC() = 0 A

vL() = 0 V

IG = iC + vCR

+ iL

vC = RiL + vL

iL() = IG2

vC() = RIG

2




VG

L

R

t = 0

R C

Se suponen conocidos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = .

VG

L

R R C

+ vL -

iLiC +

vC-

Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones.

La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que - t 0, y, en particular, para t = 0-.

El circuito se halla en rgimenpermanente continuo, ya que la fuente es continua.



Ecuacin de malla.

Ecuacin de nudo.

iC(0-) = 0 A

vL(0-) = 0 V

VG = vL + vC vC(0-) = VG

iL = vC1R

+ 1R

+ iC = 2VG

R



VG

L

R R C

+ vL -

iLiC +

vC-


La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que 0 t , y, en particular, para t = 0+.

El circuito entra en transitorioporque han cambiadolas condiciones de excitacinen algunos elementos.

La tensin en la capacidady la corriente en la inductanciano pueden variar bruscamente.

Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

vC(0+) = vC(0

-) = VG

iL(0+) = iL(0

-) = 2VG

R

vCR

+ iC = 0 iC(0+) = - VGR

VG = vL + RiL vL(0+) = - VG

VG

L

R R C

+ vL -

iLiC +

vC-


La figura adjunta muestra la situacin del circuito para todo t tal que 0 t , y, en particular, para t = .

El transitorio ha finalizadoy el circuito se encuentraen rgimen permanente continuo.

La capacidad es un circuito abierto en continua(corriente nula).La inductancia es un cortocircuito en continua(tensin nula).

Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

iC() = 0 A

vL() = 0 V

vCR

+ iC = 0 vC() = 0 V

VG = vL + RiL iL() = VGR




IG

R

t = 0

iCC

+vC-

avL

R iLL

+vL-

Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ,y la variacin de energa en la inductanciaentre t = 0 y t = .

El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se suponen conocidos los valoresde IG, R, L, C y a.

t = 0- ContinuaEcuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL(0-) = 0 V, iC(0

-) = 0 A

iC + iL = 0 iL(0-) = 0 AvC(0

-) = avL + RiL + vL = 0 V

t = 0+ No hay cambios

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vC(0+) = vC(0-) = 0 V, iL(0+) = iL(0-) = 0 A

IG = vCR

+ iC + iL iC(0+) = IG

vC = avL + Ri L + vL vL(0+) = 0 V

t = Continua

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL() = 0 V, iC() = 0 AIG =

vCR

+ iC + iL

vC = avL + Ri L + vL

iL() = IG2

, vC() = RIG

2

wL = pL(t)dt0

= vL(t)iL(t)dt0

= LdiL(t)

dtiL(t)dt

0

= L2

iL2() - iL2(0) =

LIG2

8




IG

R

t = 0

iCC

+vC-

avC

R

iLL

+vL-

RSe suponen conocidos los valoresde IG, R, L, C y a.


Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = , y la variacin de energa en la capacidad entre t = 0 y t = .

t = 0- Continua

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A

IG = vCR

+ iC + vCR

+ iL

vC = avC + Ri L + vL

iL(0) = 1 - a

3 - aIG, vC(0

) = RIG3 - a

t = 0+ No hay cambios

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

iL(0+) = iL(0

) = 1 - a3 - a

IG, vC(0+) = vC(0

) = RIG3 - a

IG = vCR

+ iC iC(0+) = 2 - a3 - aIG

0 = RiL + avC + Ri L + vL

vL(0+) = a - 23 - aRIG



t = ContinuaEcuacinde nudo

Ecuacinde malla

vL() = 0 V, iC() = 0 AIG =

vCR

+ iC vC() = RIG

0 = RiL + avC + Ri L + vL iL() = - aI G2

wC = pC(t)dt0

= vC(t)iC(t)dt0

= vC(t)CdvC(t)

dtdt

0

=

= C2

vC2 () - vC2 (0) = C2

RIG3 - a

2(8 - 6a + a2)




R t = 0 iC

C

+vC-

iLL

+vL-

R

VG

R

RiL

+ v1 - + v2 -Se suponen conocidos los valoresde VG, R, L y C.


Se desea hallar los valores de las tensiones v1 y v2 en t = 0-, t = 0+ y t = .

v1(0-) = RiL(0-) = 0 V

v2(0-) = RiC(0-) = 0 V

No hay excitacin en la inductancia; iL(0-) = 0 A

En continua iC(0-) = 0 A

v1(0+) = RiL(0+) = RiL(0-) = 0 VEcuaciones de malla

iL(0+) = iL(0

-)

vC(0+) = vC(0

-)

v2 = RiL - vC = RiL - vCRi L = RiC + vC vC(0-) = 0 V

v2(0+) = 0 V

VG = RiL + RiL + vL iL() = VG2R

v1() = RiL = V G2

v2() = RiC = 0 V

En continua

iC() = 0 AvL() = 0 V




VG

RG

t = 0

i1+v1-

i2+v2-

i3+v3-R3

gVG

i4+v4-R4

i5+v5-

t = 0

i6+v6-R6

i7+v7-

Se suponen conocidos los valoresde todos los elementosdel circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin de los interruptores. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valores de v3(0+), i1(0+), i2(0+), i7(0+), v7(0+), i6(0+), i5(0+), v7(), e i7().



v3(0+) = v2(0+) = v2(0-) = v1(0-) = 0 V Elementos en paralelo.Continuidad de la tensin en la capacidad.La inductancia es un cortocircuito en continua.

i1(0+) = i1(0

-) = VG - v1(0

-)R G

- i2(0-) -

v1(0-)

R 3 =

V GRG

Continuidad de la corrienteen la inductancia.Ecuacin de nudo.La capacidad es un circuito abiertoen continua.

i2(0+) = - i 1(0

+) - v3(0

+)R 3

= - VGRG

Ecuacin de nudo.

i7(0+) = i7(0

-) = 0 A Continuidad de la corriente en la inductancia.Ausencia de excitacin en la inductancia para t < 0.

v7(0+) = v5(0

+) = v5(0-) = [gVG - i5(0

-)]R4 = gVG R4

Elementos en paralelo.Continuidad de la tensinen la capacidad.Ecuacin de nudo.La capacidad es un circuitoabierto en continua.

i6(0+) =

v6(0+)

R 6 =

v7(0+)

R 6 =

gV GR4R6

Elementos en paralelo.

i5(0+) = gVG -

v4(0+)

R 4 - i6(0

+) - i 7(0+) =

= gVG - v5(0

+)R 4

- i6(0+) - i 7(0

+) = - gV GR4

R6

Ecuacin de nudo.Elementos en paralelo.

v7() = 0 V La inductancia es un cortocircuito en continua.

i7() = gVG - v4()

R 4 - i5() -

v6()R 6

=

= gVG - v7()

R 4 - i5() -

v7()R 6

= gV G

Ecuacin de nudo.Elementos en paralelo.La capacidad es un circuito abierto en continua.




IG

i1+v1-gvC Ra

t = 0

iC

L1

i2+v2-L2

RbC

- vC +


Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito.Adems, se sabe que i1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 A(el clculo de estos valores se efecta como se indic en ejemplos anteriores).

Se desea hallar los valores de las corrientes en las inductancias para t = .

Solucin aparente

Las corrientes son nulas porque se verifica 0 A = iC() = i1() + i2().Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las corrientes.De hecho, no lo son (como se ve a continuacin)porque las inductancias parten de condiciones iniciales distintas(lo confirma el dato de que las corrientes al inicio del transitorio son distintas).



Para todo t 0 se verifica

v1(t) = v2(t) L1di1(t)

dt = L2

di2(t)dt

Integrando esta expresin se obtiene

L1di1(t)

dtdt = L2

di2(t)dt

dt L1i1(t) = L2i2(t) + K (1)

Dado que (1) se verifica para todo t 0, tambin lo har para t = 0+,con lo que, utilizando los datos del enunciado,

L1i1(0+) = L2i2(0

+) + K K = L1gRbIG (2)

Dado que (1) se verifica para todo t 0, tambin lo har para t = ; es decir,

L1i1() = L2i2() + K (3)

Adems, dado que la capacidad es un circuito abierto en continua,

0 A = iC() = i1() + i2() (4)

Resolviendo el sistema (3-4) se llega a

i1() = gRbIGL1L1 + L2

= - i2()




VG

iL+vL- RiLt = 0

i1

L

C1R

+ v1 -

i2C2

+ v2 -

R


Se suponen conocidos los valores de VG, R, L, C1 y C2.Adems, se sabe que v1(0+) = 0 V, v2(0+) = - VG(el clculo de estos valores se efecta como se indic en ejemplos anteriores).

Se desea hallar los valores de las tensiones en las capacidades para t = .

Solucin aparente

Las tensiones son nulas porque se verifica 0 V = v1() + v2()(las capacidades estn entre los cortocircuitos de la inductancia y un interruptor).Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las tensiones.De hecho, no lo son (como se ve a continuacin)porque las capacidades parten de condiciones iniciales distintas(lo confirma el dato de que las tensiones al inicio del transitorio son distintas).



Para todo t 0 se verifica

i1(t) = i2(t) C1dv1(t)

dt = C 2

dv2(t)dt

Integrando esta expresin se obtiene

C1dv1(t)

dtdt = C 2

dv2(t)dt

dt C1v1(t) = C2v2(t) + K (1)

Dado que (1) se verifica para todo t 0, tambin lo har para t = 0+,con lo que, utilizando los datos del enunciado,

C1v1(0+) = C2v2(0

+) + K K = C2VG (2)

Dado que (1) se verifica para todo t 0, tambin lo har para t = ; es decir,

C1v1() = C2v2() + K (3)

Adems, como se indic ms arriba,

0 V = v1() + v2() (4)

Resolviendo el sistema (3-4) se llega a

v1() = C2VG

C1 + C 2 = - v2()




IG

iL

RiL

t = 0LR

+ vL -

R RiC

C

+vC-

Son datos los valores deIG, R, L y C.

Adems,

iL(0+) =

2I G3

, vC(0+) = -

RIG3


Se desea hallar las derivadascon relacin al tiempode la tensin en la capacidady la corriente en la inductanciaen el instante t = 0+.

Ecuacin de malla 0 = RiC + RiL + vC iC(0+) = - IG3

dvC(t)dt 0+

= iC(0

+)C

= - IG3C

Ecuacin de nudo IG = vL + RiL

R + iL vL(0+) = -

RIG3

diL(t)dt 0+

= vL(0

+)L

= - RI G3L

La derivada con relacin al tiempo de cualquier variableen rgimen permanente continuo es nula.




i1

t = 0+ v1 -

i2+v2-

2

i3+v3-

3

i4+v4-

4 i5+v5-

5 i6+v6-

6

1

VG

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sincambios antes del cambio de posicin de los interruptores. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se conocen los datosindicados en la tabla adjunta.

Se desea averiguar la naturaleza (R, L o C) de los elementos numerados.

t i1 v1 i2 v2 i3 v3 i4 v4 i5 v5 i6 v60- 1 A 1 V 1 A 0 V 1 A 1 V 0 A 1 V 0 A 0 V 0 A 0 V

0+ 1 A 1 V 1 A 0 V 1 A 1 V - 1 A 1 V 1 A 1 V 0 A 1 V

Elemento Naturaleza Razonamiento

1 Resistencia La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.La tensin no es nula en 0-; no puede ser inductancia.

2 Inductancia La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.La tensin es nula en 0-; no puede ser resistencia.

3 Resistencia La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.La tensin no es nula en 0-; no puede ser inductancia.

4 Capacidad La tensin no es nula en 0-; no puede ser inductancia.La corriente es nula en 0-; no puede ser resistencia.

5 Resistencia Cambia bruscamente la tensin; no puede ser capacidad.Cambia bruscamente la corriente; no puede ser inductancia.

6 Inductancia Cambia bruscamente la tensin; no puede ser capacidad.En 0+ hay tensin sin corriente; no puede ser resistencia.



Anlisis en rgimen transitorio

Tipos derespuestas

Natural

La excitacin sesuprime bruscamenteen uno o mselementos

Forzada

La excitacin seaplica bruscamentea uno o mselementos

Determinar la respuesta(evolucin temporal)

Clculo de lasexpresiones temporalesde corrientes y tensionesdurante el transitorio

Objeto

Todas lasexpresiones temporalesson de la misma forma

Respuesta nica



Respuesta natural de un circuito RL

IG

RGiL

L

+vL-

t = 0

R

Son datos los valores de todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida sta, ya no experimenta ms cambios.

Se pretende encontrar la respuesta del circuitopara t > 0.

El rgimen transitorio slo se manifiesta en la parte del circuito que incluye la inductancia. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta.

La respuesta es natural porque se suprime la excitacin de la inductancia.

Como la respuesta es nica, se calcular la expresin temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (iL). La expresin temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aqulla.



Para t > 0 se tiene

vL + RiL = 0 Ecuacin de malla / nudo

Sustituyendo en esta expresin la relacin funcional de la inductancia, se tiene

LdiLdt

+ RiL = 0Ecuacin diferencial que caracteriza la evolucin temporal de iL para t > 0

La solucin de una ecuacin diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma

iL(t) = Ae- t

= LR

Expresin temporal (instantnea)que caracteriza la evolucin de iL para t > 0

Constante de tiempo

Para que la respuesta est completamente determinada,hay que hallar la constante que aparece en la expresin temporal.

Para ello se compara la condicin inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observacin del circuito

con el valor que proporciona la expresin temporal. As,

Por la observacin del circuito(el clculo se hacecomo se indic en secciones anteriores)

Por la expresin temporal

iL(0+) = iL(0

-) = IG

iL(0) = A

A = IG

Expresin temporal de iL para t > 0 iL(t) = IGe- R

Lt

Conocida la expresin temporal (instantnea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.



Significado de la constante de tiempo

iL(t)

t

IG

0.007IG

respuestanatural

respuesta pararitmo de descenso

constante

0.37IG

tT = 5

Respuesta naturalde un circuito RL

iL(t) = IGe- t

La constante de tiempo es una medidade lo rpido que desaparece (o de cuanto dura) el rgimen transitorio.

Puede decirse que el rgimen permanente continuo finalse establece cuando ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo(pasado ese intervalo, las variaciones en la respuesta son inapreciables).

Esto permite suponer que el circuito est en rgimen permanente continuocuando se produce el cambio de posicin en el interruptor.Si la excitacin correspondiente se ha aplicado en t = - (hace mucho tiempo),es evidente que desde entonces ya transcurrieron cinco constantes de tiempo.



Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL

VG

RG iLL

+vL-

t = 0 R2

R1 R3

+v1-

VG = 24 V, L = 5 mHRG = 12 , R1 = 6 , R2 = 4 , R3 = 10

Se desea obtener la expresin temporal de v1(t > 0), y la variacin de energa en R3 entre t = 0 y t = .

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida sta, ya no experimenta ms cambios.

Para t > 0 se tiene

vLR1 + R2

+ iL + vLR3

= 0

L 1R1 + R2

+ 1R3

diLdt

+ iL = 0

iL(t) = Ae- t

= L 1R1 + R2

+ 1R3

= 1 ms

Ecuacin de nudo

Ecuacin diferencial

Expresin temporal

Constante de tiempo

Por el circuito


iL(0+) = iL(0

-) = VGR1

RGR1 + RGR2 + R1R2 = 1 A

iL(0) = A

A = 1 A

vL(t) = LdiL(t)

dt = - LA e

- t = - 5e- t V (t en ms)

v1(t) = vL(t)R1

R1 + R2 = - 3e- t V (t en ms) Divisor de tensin

w3 = p3(t)dt0

= vL

2(t)R3

dt0

= (- 5e- t)2

10dt

0

= 1.25 mJ



Respuesta natural de un circuito RC

VG

RGi1

R

+vC-

t = 0

C1 C2

i2


El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida sta, ya noexperimenta ms cambios.

Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0.

El rgimen transitorio slo se manifiesta en la parte del circuito que incluye las capacidades. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta.

La respuesta es natural porque se suprime la excitacin de las capacidades.

Aunque hay dos capacidades, el circuito puede ser tratado como si tuviera unaporque ambas pueden ser agrupadas en paralelo.

Como la respuesta es nica, se calcular la expresin temporal de la magnitud fundamentalcorrespondiente al elemento reactivo considerado (vC). La expresin temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aqulla.



Para t > 0 se tiene

i1 + vCR

+ i2 = 0 Ecuacin de nudo

Sustituyendo en esta expresin la relacin funcional de la capacidad, se tiene

(C1 + C2)dvCdt

+ vCR

= 0 Ecuacin diferencial que caracteriza la evolucin temporal de vC para t > 0

La solucin de una ecuacin diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma

vC(t) = Ae- t

= R(C1 + C2)

Expresin temporal (instantnea)que caracteriza la evolucin de vC para t > 0

Constante de tiempo

Para que la respuesta est completamente determinada,hay que hallar la constante que aparece en la expresin temporal.

Para ello se compara la condicin inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observacin del circuito

con el valor que proporciona la expresin temporal. As,

Por la observacin del circuito(el clculo se hace como se indic en secciones anteriores)


vC(0+) = vC(0

-) = VGR

RG + R

vC(0) = A

A = VGRRG + R

Expresin temporal de vC para t > 0 vC(t) = VGR

RG + Re-t/R(C1 + C2)

Conocida la expresin temporal (instantnea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.



Respuesta forzada en circuitos RL y RC

VG

RG Rt =

0

iLL

L descargada para t < 0

La respuestaes forzada

porque se aplicala excitacin VG

RG R

t = 0

+vC-

C

C descargada para t < 0

Para t > 0 se tiene

LdiLdt

+ (RG + R)iL = VGEcuacin diferencial

(obtenida combinandouna ecuacin de circuito

y relacin funcional)

(RG + R)CdvCdt

+ vC = VG

La solucin de una ecuacin diferencial de primer orden en una sola variablecon coeficientes constantes y segundo miembro no nulo

est dada por las matemticas.

iL(t) = B + (A - B)e- t

= LRG + R

Expresin temporal(instantnea)

Constante de tiempo

vC(t) = B + (A - B)e- t

= (RG + R)C

Hay que hallar las constantes que aparecen en la expresin temporal.Se comparan las condiciones inicial y final del transitorio,

que pueden deducirse de la observacin del circuito,con los valores que proporciona la expresin temporal.



Por el circuito

iL(0+) = iL(0

-) = 0 A

Por laexpresin temporal

iL(0) = A

A = 0 A

Por el circuito

vC(0+) = vC(0

-) = 0 V


vC(0) = A

A = 0 V

Por el circuito

iL() = VG

RG + R


iL() = B

B = VGRG + R

Por el circuito

vC() = VG


vC() = B

B = VG

Respuesta en rgimen transitoriode circuitos con un solo elemento reactivo

Ecuacin diferencialque caracteriza

la evolucin temporal

dxdt

+ x = K dxdt

+ x = K = xf

Expresin temporal(expresin instantnea) x(t) = xf + (xo - xf)e

- t

x =iL

vC

xo = x(t = 0)

xf = x(t = )Respuesta natural

xf = x(t = ) = K = 0

Ecuacionesdel circuito

Relacinfuncional

El procedimiento tambin es aplicable si hay varios elementos reactivos de la misma naturaleza que puedan ser agrupados en uno solo.



Ejemplos de respuesta forzadaEjemplo de respuesta forzada en un circuito RC

VA

R1

t = 0

iCC

+vC- R3

R2

VB

iB

VA = 2 V, VB = 2 V, C = 1 FR1 = 2 , R2 = 2 , R3 = 2

El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambiode posicin de los interruptores. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea obtener la expresin temporal (t > 0) de la potencia en la fuente VB.

Para t > 0 se tiene

VB - vCR2

= iC + vCR3

, iC = CdvCdt

CR2R3(R2 + R3)

dvCdt

+ vC = R3

R2 + R3VB

= CR2R3R2 + R3

= 1 s

Ecuacin de nudo y relacin funcional

Ecuacin diferencial

Constante de tiempo

vCo = vC(0) = VA = 2 V

vCf = vC() = R3

R2 + R3VB = 1 V

Por el circuito

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e- t = 1 + e- t V (t en s) Expresin temporal

pB(t) = - VBiB(t) = - VBVB - vC(t)

R2 = - 1 - e- t W (t en s)

Es respuesta forzada porque en t = 0 la capacidad es sometida bruscamentea una excitacin no nula distinta de la que soportaba anteriormente.



Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL

IG

R1

t = 0

R2i1L1

+vL-

i2L2

Son datos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea obtener la expresin temporal (t > 0) de la corriente i1.

IG

iL

L

+vL-

RPara t > 0 se tiene

R = R1R2

R1 + R2, L =

L1L2L1 + L2

IG = vLR

+ iL, vL = LdiLdt

LR

diLdt

+ iL = IG

= LR

Ecuacin de nudo y relacin funcional

Ecuacin diferencial

Constante de tiempo

iLo = iL(0) = 0 A

iLf = iL() = IGPor el circuito

iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e- t = IG(1 - e

- t ) Expresin temporal

L1di1dt

= L2di2dt

= LdiLdt

L1di1dt

dt = LdiLdt

dt L1i1 = LiL + K

t = 0 i1 = 0 A = iL K = 0 Vs

i1(t) = LL1iL(t) =

= L2IG

L1 + L2(1 - e- t )



Respuesta de un circuitocon dos elementos reactivos no agrupables

VG

R t = 0L

iL

+ vL -

iCC

+vC-

Son datos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierredel interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea obtener la respuesta para t > 0.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuitoVG = RiL + vL + vC

iL = iC

(1)

(2)

Relaciones funcionalesvL = L

diLdt

iC = CdvCdt

(3)

(4)

Combinando (1-4) se llega a

Ecuaciones diferencialesque caracterizan la evolucinde iL y vC para t > 0

LCd2vCdt2

+ RCdvCdt

+ vC = VG

LCd2iLdt2

+ RCdiLdt

+ iL = 0



Solucin de las ecuaciones diferenciales

Para cada magnitud fundamentalhay una ecuacin diferencial

ad2x

dt2 + bdx

dt + cx = K

a, b y c son igualespara todas

las magnitudes fundamentales

K puede ser distintopara distintas

magnitudes fundamentales

xf = x(t = ) xf = 0 si K = 0

xh(t)Solucin de la

ecuacin homognea

Ecuacin homognea

ad2x

dt2 + bdx

dt + cx = 0

Solucin

x(t) = xf + xh(t)



Solucin de la ecuacin homognea

Ecuacin homognea

ad2x

dt2 + bdx

dt + cx = 0

Respuestasupercrtica

(sobreamortiguada)

Ecuacin caractersticaas2 + bs + c = 0

Races de laecuacin caracterstica

s1, 2 =- b b2 - 4ac

2a =

= - 2 02

Coeficientede amortiguamiento

1s =b2a

Frecuencia angularde resonancia

0 rads =1s =

ca

s1 y s2 realess1 < 0 > s2

s1 s202 < 2

s1 y s2 realess1 < 0 > s2

s1 = s202 = 2

s1 y s2 complejas

s1 = s2*

02 > 2

d = + 02 2

Respuestacrtica

(amortiguada)

Respuestasubcrtica

(subamortiguada)

xh(t) = Aes 1t + Bes 2t xh(t) = Ate t + Be t

xh(t) = Ae tcos(dt) +

+ Be tsen(dt)t xh(t) 0



Obtencin de las expresiones temporales

Dos ecuacionesde circuito

(mallas, nudos)

Ecuacionesadicionales

Relacionesfuncionales

Ecuacin diferencialde una magnitud fundamental

Expresin temporalde la magnitud fundamental

(constantes: xf, A, B)

Expresin temporal de laotra magnitud fundamental

(constantes: xf, A, B)

Condiciones ent = 0 y t =

Clculo de xf, A, B



Ejemplo 1 de respuesta en circuito con dos elementos

VG

t = 0

R

iCC

+vC-

RkiL

R

iLL

+vL-

a

VG = 1 V, k = - 1R = 1 , L = 1 H, C = 1 F

El circuito de la figura,en el que la fuenteindependiente es continua,ha permanecido mucho tiemposin cambios antes del cambiode posicin de los interruptores.Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtenerlas expresiones temporalesde iL y vC para t > 0.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuito

Fuente dependiente

Relaciones funcionales

va = RiC + vCva = RiL + vL

kiL = iC + vaR

+ iL

iC = CdvCdt

vL = Ldi Ldt

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


Ecuacionesdiferencialesde las variablesfundamentales

2LCd2vCdt2

+ (3 - k)RC + LR

dvCdt

+ (2 - k)vC = 0

2LCd2iLdt2

+ (3 - k)RC + LR

diLdt

+ (2 - k)iL = 0



Se elige arbitrariamente una de las ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la primera) y se aplica el procedimiento general a partir de ella.

Ecuacin caracterstica

Tipo de respuesta

as2 + bs + c = 0a = 2LC = 2 s2

b = (3 - k)RC + LR

= 5 s

c = 2 - k = 3

= b2a

= 54

s-1, 0 = ca = 32

rad/s

2 > 02 respuesta supercrtica

Expresin temporalde la variable considerada(se incluye vCf por generalidad,aunque en este casotal valor es nulo,porque tambin lo esel primer miembro de (6-7)) para t =

vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t

s1 = - + 2 - 02 = - 1 s -1

s2 = - - 2 - 02 = - 1.5 s-1

(6)

Combinando (1-6) se obtiene

Expresin temporalde la otra variable

iL(t) = 1

k - 1vCfR

+ A 2Cs 1 + 1R

es1t + B 2Cs 2 + 1R

es2t =

= - vCf2

+ Aes1t

2 + Bes2t

(7)

Aplicando las condiciones y finales a (6-7) se tiene(slo se utilizan tres ecuaciones porque hay tres incgnitas)

Por el circuito Por la expresin temporal

1 V = VG0 V

0 A

vC(0)

vC()

iL(0)

vCf + A + B

vCf

- vCf2

+ A2

+ B

vCf = 0 V

A = 2 V

B = - 1 V

Respuesta(expresiones temporales)

vC(t) = 2e-t - e-1.5t V (t en s)

iL(t) = e-t - e-1.5t A (t en s)



Observaciones

Las siguientes observaciones se deducen del ejemplo anterior,pero tienen validez general en el caso de rgimen transitorioen circuitos con dos elementos reactivos no agrupables.

Los coeficientes de los primeros miembros de las ecuaciones diferencialesno dependen de las caractersticas de las fuentes independientes.stas slo influyen en los segundos miembros de aqullas.Es decir, la respuesta est determinada por los elementos pasivosy las caractersticas de las fuentes dependientes.

No es posible determinar el tipo de respuesta si no se conocen los valores numricos de los elementos del circuito.Obsrvese que el tipo de respuesta depende de la relacinentre el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia,que estos parmetros dependen de los coeficientes de la ecuacin caracterstica,y que stos dependen de las caractersticas de los elementos del circuito.

En circuitos con dos elementos reactivosno existe nada exactamente equiparable a la constante de tiempo.Para determinar un parmetro aproximadamente equivalentepuede seguirse cualquiera de los siguientes procedimientos:

Obtener el mayor valor de t que hace que un trmino exponencial valga e-5 = 0.0067(en el ejemplo anterior, t = 5 s).

Calcular la mayor de las constantes de tiempoque aparecen en las ecuaciones diferenciales(en el ejemplo anterior, (3 - k)RC = 4 s, L/R = 1 s).




IB

t = 0

R

iCC

+vC-

R

R

iLL

+vL-

a

IA

R

L

IA = 2 A, IB = 2 AR = 1 , L = 1 H, C = 1 F

El circuito de la figura,en el que las fuentes son continuas ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin de los interruptores.Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener la expresin temporalde la potencia en la fuente IA.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuitoy relaciones funcionales

RCdvCdt

+ vC = va = RiL + LdiLdt

IA = CdvCdt

+ vaR

+ iL

(1)

(2)


Ecuaciones diferenciales

2LCd2vCdt2

+ 3RC + LR

dvCdt

+ 2vC = RIA

2LCd2iLdt2

+ 3RC + LR

diLdt

+ 2iL = IA



con lo que puede deducirse


Tipo de respuesta

a = 2LC = 2 s2, b = 3RC + LR

= 4 s, c = 2

= b2a

= 1 s-1, 0 = ca = 1 rad/s

2 = 02 respuesta crticaExpresin temporal de vC vC(t) = vCf + Ate

- t + Be- t (3)


Expresin temporalde iL

iL(t) = IA - vCfR

+ A 2C - 1R

te- t + - 2CA + B 2C - 1R

e- t =

= 2 - vCf + Ate- t + (B - 2A)e- t

(4)

Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene


2 V = RIB

1 V = RIA

2

1 A = IA2

vC(0)

vC()

iL(0)

vCf + B

vCf

2 - vCf + B - 2A

vCf = 1 V

A = 0.5 V/s

B = 1 V

Respuesta vC(t) = 1 + 0.5te-t + e-t V (t en s)

iL(t) = 1 + 0.5te-t A (t en s)

pA(t) = - va(t)IA = - RiL(t) + LdiL(t)

dtIA = - (2 + e

-t) W (t en s)




IG

t = 0

RiCC

+vC-

iL

L

+vL-

R

IG = 2 AR = 1 , L = 1 H, C = 1 F

El circuito de la figura,en el que la fuente es continua ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor.Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtenerla variacin de energa en la capacidadentre t = 0 y t = .

Para t > 0 se tiene


vC = RiL + LdiLdt

IG = CdvCdt

+ vCR

+ iL

(1)

(2)



LCd2vCdt2

+ RC + LR

dvCdt

+ 2vC = RIG

LCd2iLdt2

+ RC + LR

diLdt

+ 2iL = IG

con lo que puede deducirse


Tipo de respuesta

a = LC = 1 s2, b = RC + LR

= 2 s, c = 2

= b2a

= 1 s-1, 0 = ca = 2 rad/s

2 < 02 respuesta subcrtica

d = + 02 - 2 = 1 rad/s



Expresin temporal de iL iL(t) = iLf + Ae- tcos(dt) + Be- tsen(dt) (3)


Expresin temporalde vC

vC(t) = RiLf + Ae- t[(R - L)cos(dt) - dLsen(dt)] +

+ Be- t[(R - L)sen(dt) + dLcos(dt)] =

= iLf - Ae-tsen(t) + Be-tcos(t)]

(4)

Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene


0 A

1 A = IG2

2 V = RIG

iL(0)

iL()

vC(0)

iLf + A

iLf

iLf + B

iLf = 1 A

A = - 1 A

B = 1 A

Respuesta iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s)

vC(t) = 1 + e-tcos(t) + e-tsen(t) V (t en s)

wC = pC(t)dt0

= vC(t)CdvC(t)

dtdt = C

2vC

2 () - vC2 (0) = - 1.5 J0

El valor de vC() puede obtenerse del circuito o de la expresin temporal

Si se deseara obtener la energa en la resistencia que est en paralelo con la capacidad, el clculo sera

wR = pR(t)dt0

= vC(t)vC(t)

Rdt

0

= [1 + e-tcos(t) + e-tsen(t)]2

Rdt

0




t = 0

iL

L

+vL-VG

R R

iCC

+vC-

R

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener la respuesta para t > 0.

Son datos los valores de VG y ,siendo = RC = L

R.

Para t > 0 se tiene


VG = R CdvCdt

+ iL + RCdvCdt

+ vC

VG = R CdvCdt

+ iL + RiL + LdiLdt


2LCd2vCdt2

+ 3RC + LR

dvCdt

+ 2vC = VG

2LCd2iLdt2

+ 3RC + LR

diLdt

+ 2iL = VGR


Tipo de respuesta

RC = = LR

LC = (RC) LR

= 2

a = 2LC = 22, b = 3RC + LR

= 4, c = 2

= b2a

= 1, 0 = ca =

1

2 = 02 respuesta crtica



Expresionestemporales

vC(t) = vCf + Ate- t + Be- t

iL(t) = VG - vCf

R + A 2C - 1

Rte- t + - 2CA + B 2C - 1

Re- t


0 V

VG2

0 A

vC(0)

vC()

iL(0)

vCf + B

vCf

VG - vCfR

- 2CA + B 2C - 1R

vCf =

VG2

A = 0 V/s

B = - VG2

Respuesta

vC(t) = VG2

(1 - e- t )

iL(t) = VG2R

(1 - e- t )

La expresin temporal de la corriente en la inductanciano est completamente determinada, ya que se desconoce el valor de R.

Pese a las apariencias, la respuesta de este circuito no est relacionadacon la de un circuito con un solo elemento reactivo.La similitud formal se debe nicamente a la circunstanciade que el coeficiente A tenga un valor nulo.




t = 0

VG

RL1

L2

C1

C2

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener la expresin temporal de la potencia en C2para t > 0.

VG = 0.5 V, R = 0.5 L1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH

C1 = 2 mF, C2 = 2 mF

iL

L

+vL-

RiC

C

+vC-IG

Pese a tener cuatro elementos reactivos,el circuito puede ser tratado como si slo tuviera dos,ya que aqullos son agrupables dos a dos.

Para t > 0 el circuito es equivalenteal de la figura adjunta, en la que

IG = VGR

= 1 A

L = L1 + L2 = 1 mH, C = C1C2

C1 + C2 = 1 mF


vC = LdiLdt

- IG = vCR

+ iL + CdvCdt


LCd2vCdt2

+ LR

dvCdt

+ vC = 0

LCd2iLdt2

+ LR

diLdt

+ iL = - IG




Tipo de respuesta

a = LC = 10-6 s2, b = LR

= 210-3 s1, c = 1

= b2a

= 103 s-1, 0 = ca = 103 s-1

2 = 02 respuesta crtica


iL(t) = iLf + Ate- t + Be- t

vC(t) = L[A(1 - t)e- t - Be- t] = 10-3[A(1 - t)e- t - Be- t]


0 A

- 1 A = - IG

0 V

iL(0)

iL()

vC(0)

iLf + B

iLf

10-3(A - B)

iLf = - 1 A

A = 103 A/s

B = 1 A

RespuestaiL(t) = - 1 + te

-t + e-t A (t en ms)

vC(t) = - te-t V (t en ms)

CdvCdt

= C2dvC2

dt

CdvCdt

dt = C2dvC2

dtdt C2vC2 = CvC + K

t = 0 vC2 = 0 V = vC K = 0 As

vC2(t) = CC2vC(t)

pC2(t) = vC2(t)iC(t) = CC2

vC(t)dvCdt

= 0.5t(1 - t)e-2t mW (t en ms)




IG

iCC

+vC- R

RiL

L

+vL-

t = 0

IG = 2 A, R = 1 El rgimen transitorio se caracteriza

por los siguientes parmetros: = 1 s-1, 0 = 2 rad/s

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambiosantes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener los valores de la inductancia y la capacidad.

Para t > 0 se tiene


vC = RiL + LdiLdt

IG = CdvCdt

+ vCR

+ iL

Ecuacin diferencial LCd2vCdt2

+ RC + LR

dvCdt

+ 2vC = RIG

Ecuacin caracterstica a = LC, b = RC + LR, c = 2

1 s-1 = = b2a

= R2L

+ 12RC

2 rad/s = 0 = ca = 2

LC

L = 1 H

C = 1 F




iCC

+vC-

RiL

L

+vL-

t = 0

VG R

Para t > 0,

vC = (1 - t)e-t V (t en s), iL = 0.5te

-t A (t en s)

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambiosantes del cambio de posicin de losinterruptores. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener los valores deVG, R, L y C.

Para t > 0 se tiene


vC = LdiLdt

0 = CdvCdt

+ vCR

+ iL

Ecuacin diferencial LCd2iLdt2

+ LR

diLdt

+ iL = 0

Ecuacin caracterstica a = LC, b = LR

, c = 1

En rgimen transitorio la respuesta es crtica,ya que en las expresiones temporales figuran trminos de la forma te-kt.

En la respuesta crtica, el coeficiente de amortiguamientoes el coeficiente del exponente en tales trminos; luego,

= 1 s-1En la respuesta crtica, los valores numricos del coeficiente de amortiguamiento

y la frecuencia angular de resonancia son iguales; luego0 = = 1 rad/s

(por el circuito) VG = vC(0) = 1 V (por la expresin temporal) VG = 1 VPor las expresiones

temporalesPor el circuito Por las expresiones

temporales

e-t - te-t vC = LdiLdt L(0.5e

-t - 0.5te-t) L = 2 H

1 rad/s = 0 = ca = 1LC

C = 0.5 F, 1 s-1 = = b2a

= 12RC

R = 1




iCC

+vC-

R t = 0

VG

L iL

+ vL -

Para t > 0,

vC = 10 - 5e-1000t - 5e-9000t V (t en s)

iL = e-1000t + 9e-9000t mA (t en s)

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener los valores de VG, R, L y C.

Para t > 0 se tiene


iL = CdvCdt

VG = RiL + LdiLdt

+ vC

Ecuacin diferencial LCd2vCdt2

+ RCdvCdt

+ vC = VG

Ecuacin caracterstica a = LC, b = RC, c = 1

La respuesta en rgimen transitorio es supercrtica,ya que en las expresiones temporales figuran trminos exponenciales

con distintos valores de los coeficientes de los exponentes.En la respuesta supercrtica,

esos coeficientes son las races de la ecuacin caracterstica; luego,

s1 = - 1000 s-1, s2 = - 9000 s

-1



s1 = - + 2 - 02

s2 = - - 2 - 02

= - s1 + s22

= 5000 s-1

0 = + 2 - s1 - s2

2

2 = 3000 rad/s

(por el circuito) VG = vC() = 10 V (por la expresin temporal) VG = 10 V

Por las expresionestemporales

Por el circuito

Por las expresionestemporales

0.001e-1000t + 0.009e-9000t iL = CdvCdt C(5000e

-1000t + 45000e-9000t) C = 0.2 F

3000 rad/s = 0 = ca = 1LC

L = 59

H

5000 s-1 = = b2a

= R2L

R = 509

k



Circuitos con elementos desacoplados

R

t = 0

VG

iCC

+vC-

LiL

+ vL -

R


El circuito de la figura, en el que la fuente es continua,ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener las expresiones temporales de la corriente en la inductancia y la tensin en la capacidad para t > 0.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuito,relaciones funcionalesy ecuaciones diferenciales

VG = LdiLdt

+ RiL

0 = CdvCdt

+ vCR

Son ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una en una variable;por tanto, se resuelven como se indic anteriormente.


iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/L

iLo = iL(0) = 2VG

R, iLf = iL() =

VGR

, L = LR

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/C

vCo = vC(0) = VG, vCf = vC() = 0, C = RC



Observaciones

Para t > 0 los dos elementos reactivos y sus respectivas magnitudes elctricasno se influyen entre s; las variables son independientesy los elementos estn totalmente desacoplados.

En circuitos con elementos totalmente desacoplados,a la variable fundamental de cada uno de ellosle corresponde una ecuacin diferencial de primer orden.

Puede haber influencia de un elemento reactivo en otrosin que el segundo influya en el primero.Se habla entonces de elementos parcialmente acoplados (o desacoplados).

A la variable correspondiente al elemento no influido (variable independiente)le corresponde una ecuacin diferencial de primer orden.

A la variable correspondiente al elemento influido (acoplado)le corresponde una ecuacin diferencial de segundo orden.

En circuitos parcial o totalmente desacopladosno puede hablarse de respuesta nica.



Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados

iL

L

+vL-

RiC

C

+vC- RIG

RkvC

t = 0

IG = 2 A, k = 1, R = 1 , L = 1 H, C = 1 F

Se desea obtener las expresiones temporales de iL y vC para t > 0.

El circuito de la figura, en el que lafuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuito,y relaciones funcionales

IG = vCR

+ CdvCdt

0 = (R + R)iL + kvC + LdiLdt

(1)

(2)

(1) es una ecuacin diferencial de primer orden en una sola variable; por tanto,

vCo = vC(0) = RIG3 - k

= 1 V, vCf = vC() = RIG = 2 V, C = RC = 1 s

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/C = 2 - e-t V (t en s) (3)

Sustituyendo (3) en (2) se obtiene

diLdt

+ 2iL + 2 = e-t

La solucin de esta ecuacin diferencial(as como las de otras similares que surgen

en circuitos con elementos parcialmente acoplados)no es sencilla porque el segundo miembro no es una constante.

Por consiguiente, es preferible utilizar un procedimiento alternativo.As, despejando vC de (2) y sustituyendo el resultado en (1), se llega a

Ecuacin diferencialde la variable acoplada

LCd2iLdt2

+ 2RC + LR

diLdt

+ 2iL = - kIG




Tipo de respuesta

a = LC = 1 s2, b = 2RC + LR

= 3 s, c = 2

= b2a

= 1.5 s-1, 0 = ca = 2 rad/s


Expresin temporal de iL

iL(t) = iLf + Aes1t + Bes2t

s1 = - + 2 - 02 = - 1 s-1

s2 = - - 2 - 02 = - 2 s-1

(4)


Expresin temporal de vC

vC(t) = - 2RiLf

k - Ae

s1t

k(2R + Ls1) -

Bes2t

k(2R + Ls2) = - 2iLf - Ae

s1t (5)

Igualando trmino a trmino (3) y (5) iLf = - 1 A

A = 1 A

(por el circuito) 0 A = iL(0) = iLf + A + B (por (4)) B = 0 A

Respuestas (expresiones temporales)

vC(t) = 2 - e-t V (t en s)

iL(t) = - 1 + e-t A (t en s)

Tras la apertura del interruptor, la capacidad no est influida por la inductancia (la primera est desacoplada con relacin a la segunda), pero la inductancia sigue influida por la capacidad a travs de la fuente dependiente (est acoplada).

La similitud de las expresiones temporales es puramente circunstancial(se debe a que se anula el coeficiente de un trmino exponencial de la corriente).

El tratamiento general de elementos parcialmente acopladosse basa en determinar la variable acoplada como si no se conocierala expresin temporal de la variable independiente.




t = 0

iCC

+vC-R

R

RiL

VG

iLL

+ vL -

R

VG = 2 VR = 1 , L = 4 H, C = 1 F

El circuito de la figura, en el que la fuenteindependiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicindel interruptor. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener las expresionestemporales de iL y vC para t > 0.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuito,y relaciones funcionales

VG = (R + R)iL + LdiLdt

0 = RCdvCdt

+ RiL + vC

(1)

(2)

Expresintemporalde iL

iLo = iL(0) = 2VG3R

= 43

A, iLf = iL() = VG2R

= 1 A, L = L2R = 2 s

iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/L = 1 + e

-0.5t

3 A (t en s) (3)

Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1) se tiene

Ecuacin diferencialde la variable acoplada

LCd2vCdt2

+ 2RC + LR

dvCdt

+ 2vC = - VG


Tipo de respuesta

a = LC = 4 s2, b = 2RC + LR

= 6 s, c = 2

= b2a

= 34

s-1, 0 = ca = 12

rad/s




Expresin temporal de vC


s1 = - + 2 - 02 = - 0.5 s-1

s2 = - - 2 - 02 = - 1 s-1

(4)


Expresin temporal de iL

iL(t) = - vCfR

- Aes1t

R(1 + RCs1) -

Bes2t

R(1 + RCs2) =

= - vCf - 0.5Aes1t (5)

Igualando trmino a trmino (3) y (5) vCf = - 1 V

A = - 23

V

(por el circuito) - 23

V = vC(0) = vCf + A + B (por (4)) B = 1 V

Respuestas(expresiones temporales)

iL(t) = 1 + e-0.5t

3 A (t en s)

vC(t) = - 1 - 2e-0.5t

3 + e-t V (t en s)




R t =

0VG iC

C

+vC-

LiL

+ vL -

R

RGisc

VG = 2 V, RG = 2 R = 1 , L = 1 H, C = 0.5 F

El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste,ya no se producen ms cambios.

Se desea obtener la expresin temporal de la corriente isc para t > 0.

Para t > 0 se tiene

Ecuaciones del circuito,relaciones funcionalesy ecuaciones diferenciales

0 = RCdvCdt

+ vC

VG = RGiL + LdiLdt

+ RCdvCdt

+ vC = RGiL + LdiLdt


iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/L

iLo = iL(0) = VG

RG + R = 2

3 A, iLf = iL() =

VGRG

= 1 A, L = LRG = 0.5 s

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/C

vCo = vC(0) = R

RG + RVG =

23

V, vCf = vC() = 0 V, C = RC = 0.5 s

iL(t) = CdvC(t)

dt + isc(t) +

RCdvC(t)

dt + vC(t)

R isc(t) = 1 +

e-2t

3 A (t en s)

El cortocircuito, al imponer una tensin fija (nula), separa los dos elementos reactivos.



Circuitos con cambios sucesivos

Los interruptores del circuitocambian de posicinen instantes diferentes

Clculo de larespuesta

En cada intervalose aplica

el procedimientoconvencional

Las condiciones iniciales en cada intervaloson las finales del intervalo anterior

Las condiciones finales en cada intervaloson las correspondientes a t = (el circuito no sabeque se producirn cambios posteriores)

En los trminos exponencialesel tiempo se desplaza al origende cada intervalo



Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos

iC

C

+vC-VA

R1

t = 0

R2

t = t1

R3

VB

VA = 4 V, VB = 3 V, C = 1 FR1 = 2 , R2 = 2 , R3 = 2

t1 = 1 s

El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas,ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de t = 0. Despus de t = t1 ya no experimenta ms cambios.

Se desea conocer la variacin de la corriente y la tensin en lacapacidad para 0 < t < .

Para 0 < t t1 se tieneEcuacin del circuitoy ecuacin diferencial R2C

dvCdt

+ vC = 0

vCo = vC(0) = R2

R1 + R2VA = 2 V, vCf = vC() = 0 V, = R2C = 2 s

Expresiones temporalesvC(t) = vCf + (vCo - vCf)e

-t/ = 2e-0.5t V (t en s)

iC(t) = CdvC(t)

dt = - e-0.5t A (t en s)

(1)

(2)

Para t1 t < se tieneEcuacin del circuitoy ecuacin diferencial

VB - vCR3

= CdvCdt

+ vCR2

CR2R3(R2 + R3)

dvCdt

+ vC = R2

R2 + R3VB

A partir de (1) vCo = vC(t1) = vC(t1- ) = 2e-0.5t1 = 1.21 V

vCf = vC() = R2

R2 + R3VB = 1.5 V, =

CR2R3R2 + R3

= 1 s

Expresiones temporales

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-(t - t1)/ = 1.5 - 0.29e-(t - 1) V (t en s)

iC(t) = CdvC(t)

dt = 0.29e-(t - 1) A (t en s)

(3)

(4)



El procedimiento indicado en este ejemplo es aplicable a cualquier otra situacin:mayor nmero de cambios de posicin de los interruptores,circuitos con dos o ms elementos acoplados,o circuitos con elementos parcial o totalmente desacoplados.




iCC

+vC-

VA

t = 0

t = t1

R

kvC iL

L

+vL-

RR

VA = 200 mV, k = 2R = 0.5 k, L = 0.5 H, C = 2 F

t1 = 1 s

El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de t = 0. Despus de t = t1ya no experimenta ms cambios.

Se desea obtener iC(0

+), vC(100 ms) e iL(1.1 s).

Para 0 < t t1 se tiene

iC(0+) =

VA - vC(0+)

R =

V A - vC(0-)

R =

V AR

= 0.4 mA

RCdvCdt

+ vC = V A

En principio habra que resolver esta ecuacin diferencial,obtener la expresin temporal correspondiente,

y sustituir en sta el valor t = 0.1 s.

Sin embargo, puede observarse que la constante de tiempo es

= RC = 1 ms

Para t1 t < se tiene

Ldi Ldt

+ Ri L = kvC

Esta ecuacin indica que la inductancia es un elemento acoplado.Puede ser resuelta por el procedimiento convencional.

Pero es ms sencillo aplicar un procedimiento alternativo.

La parte del circuito que contiene la capacidad contina en rgimen permanenteen este intervalo temporal, ya que no ha experimentado ms cambios,ni los cambios producidos en otra parte del circuito repercuten en ella.

En consecuencia, la ecuacin anterior puede ser sustituida por

Ldi Ldt

+ Ri L = kV A

Ahora habra que resolver esta ecuacin diferencial,obtener la expresin temporal correspondiente,y sustituir en sta el valor t = 0.1 s = (1.1 s - t1).Recurdese que los exponentes correspondientes

a intervalos que no empiezan en 0estn desplazados con relacin a sus respectivos orgenes.

Pero, nuevamente, puede observarse que la constante de tiempo es

= LR

= 1 ms


iC

C

+vC-

VA

t = 0

t = t 1

R R

L

R

VBt =

t 1

1 2

3

45

6

t1 = 100 sPara 0 < t t1 y en la malla 123451

= 10 s-1, 0 = 8 rad/s

El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas,ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de t = 0. Despus de t = t1 ya no experimenta mscambios.

Se desea obtener vC(t1), y determinar el tipo de respuesta en la malla 126451 para t > t1.

Para 0 < t t1 y en la malla 123451


s1, 2 = - 2 - 02 s1 = - 4 s -1, s2 = - 16 s -1


vCf = vC() = 0 V

Aes1t1 = Ae-400 0 V

Bes2t1 = Be-1600 0 V

vC(t1) 0 V

Para t > t1 la malla 126451 es de la misma forma que la 123451(los elementos pasivos tienen los mismos valores

y estn dispuestos de la misma forma; las fuentes independientes no influyen en la respuesta).Luego la respuesta buscada tambin es supercrtica.



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