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CINEMÁTICA Capítulo 5 CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENTALES ALES ALES ALES ALES Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento. Trayectoria.- Línea recta o cur- va que describe un móvil. Desplazamiento.- Es aquel vector que une el punto de partida con el punto de llega- da ( d r r r = = - 2 1 ) su módulo toma el nombre de distancia. Espacio Recorrido.- Longitud o medida de la trayectoria. Intervalo de Tiempo.- Tiempo empleado en realizarse un acon- tecimiento. (t = t f – t o ) Instante.- Se define así como un intervalo de tiempo pequeño, tan pe- queño que tiende a cero. (t) = (t f – t o ) 0 Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema” significa movimiento.

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CINEMÁTICA

Capítulo 5

CONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTALESALESALESALESALES

Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento.

Trayectoria.- Línea recta o cur-

va que describe un móvil.

Desplazamiento.- Es aquel

vect or que une el punt o de

part ida con el punto de llega-

da (d r r r= = −∆ 2 1) su módulo

toma el nombre de distancia.

Espacio Recorrido.- Longitud

o medida de la trayectoria.

Intervalo de Tiempo.- Tiempo

empleado en realizarse un acon-

tecimiento. (∆t = tf – t

o)

Instante.- Se define así como un intervalo de t iempo pequeño, tan pe-

queño que t iende a cero. (∆t) = (tf – t

o) → 0

Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar

única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar

las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema”

significa movimiento.

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Jorge Mendoza Dueñas98

MOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTOMOVIMIENTO

Es aquél fenómeno físico que consiste en el cam-

bio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en

cada instante con respecto a un sistema de refe-

rencia, el cual se considera fijo. Se afirma también

que un cuerpo está en movimiento con respecto a

un sistema de coordenadas rectangulares elegido

como fijo, cuando sus coordenadas varían a medi-

da que transcurre el t iempo.

Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el

espacio recorrido por un móvil en cada unidad de

tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la velo-

cidad indica la rapidez con la cual se mueve un cuer-

po. Se representa por “v”.

MEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTOMEDIDAS DEL MOVIMIENTO

VELOCIDAD (v )

Unidad de velocidad en el S.I.

ACELERACIÓN (a )

Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el

cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo.

Físicamente el módulo de la aceleración mide la

rapidez con la cual varía la velocidad. Se represen-

ta por “a”.

metro

segundom s/b g

Unidad de la aceleración en el S.I.

metro

segundom s

2

2/d i

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTOCLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO

1.- POR SU TRAYECTORIA

A) Rectilíneo.- Cuando la trayectoria es una

línea recta.

IMPORTANTE

− La aceleración aparece cuando varía la velo-

cidad.

− El sentido del vector aceleración no necesa-

riamente coincide con el sentido del movi-

miento del cuerpo.

B) Curvilíneo.- Cuando la trayectoria es una lí-

nea curva. Entre las más conocidas tenemos:

2.- POR SU RAPIDEZ

A) Uniforme.- Cuando el módulo de la veloci-

dad permanece constante.

B) Variado.- Cuando el módulo de la velocidad

varía con respecto al t iempo.

El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.

Circular.- Cuandola trayectoria es unacircunferencia.

Parabólico.- Cuando la tra-yectoria es una parábola.

Elíptico.- Cuando la tra-yectoria es una elipse.

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Cinemática 99

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme

cuando cumple las siguientes condiciones:

A) La trayectoria que recorre es una línea recta.

B) La velocidad (v ) es constante.

Ilustración

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.

OBSERVACIÓN

En esta clase de movimiento, el móvil recorre

espacios iguales en t iempos iguales.

OBJETIVO

vd

t=

EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

MATERIAL A EMPLEARSE

− Un tubo transparente de 1,50 m de longitud,

aproximadamente.

− Un corcho o tapón que permita tapar el extre-

mo libre del tubo.

− 4 cronómetros.

− Una cinta métrica.

NÚMERO DE ALUMNOS: Cuatro

PROCEDIMIENTO:

1.- Graduar el tubo de 30 en 30 cm como mues-

tra la figura.

2.- Llenar el tubo con agua coloreada hasta el

borde.

3.- Tapar el tubo con el corcho o tapón, de ma-

nera que dent ro del tubo quede at rapado

una burbuja (t ratar en lo posible que dicha

burbuja sea lo más pequeña que se pueda).

4.- Colocar el tubo en la posición mostrada, con

la burbuja abajo.

5.- Al subir la burbuja, tomar el t iempo que de-

mora ésta en recorrer:

0 – 30 cm : 1er alumno

0 – 60 cm : 2do alumno

0 – 90 cm : 3er alumno

0 – 120 cm : 4to alumno

Demostrar que el valor de la velocidad de una

burbuja es constante, ahora, como quiera que la

trayectoria es una línea recta el movimiento de

dicha burbuja será M.R.U.

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Jorge Mendoza Dueñas100

6.- Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.

PROCESO ADICIONAL

En un papel milimetrado hacer el gráfico d vs t

PREGUNTAS

1.- ¿Es constante la velocidad de la burbuja?

2.- ¿Cuánto vale su velocidad?

3.- ¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?

4.- ¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el

gráfico)?

5.- ¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?

d (m)1era vez 2da vez 3era vez 4ta vez

Tiempo

Promedio

Tiempo (s)

0 - 0,30

0 - 0,60

0 - 0,90

0 - 1,20

vd

tm s= ( / )

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Cinemática 101

Reloj de arenaReloj de arenaReloj de arenaReloj de arenaReloj de arena

En realidad, existen muchos instrumentos que sirven para medir

el tiempo; antiguamente uno de los aparatos usados para dicho

efecto era el “reloj de arena”.

Para iniciar el conteo del tiempo, se voltea el aparato del tal modo

que la arena quede depositado en la zona superior, de este modo

los granos caerán lentamente hacia la base hasta que al final todo

el material queda depositado en la zona inferior.

El tiempo que demora la arena en caer totalmente siempre será

el mismo.

Gol de tirGol de tirGol de tirGol de tirGol de tiro libreo libreo libreo libreo libre

¿Podría un jugador hacer un gol de de tiro libre?

Para que un jugador realice esta jugada espectacular, tendría que practicar muchas veces; y

tener en cuenta la distancia pelota-arco, la fuerza y dirección del viento, la presión atmosférica,

entre otros parámetros.

Si el jugador fuese un robot que pudiese medir y calcular todos los parámetros antes mencionados,

es seguro que su procesador interno, calcularía la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación que

debería darle al balón para que éste ingrese al arco contrario por muy eficiente que sea su arquero.

En realidad el jugador es una persona y lo más que puede hacer es practicar constantemente

en su campo de fútbol (local).

Sin embargo ayudaría bastante en nuestro medio crear dicho “Robot” que pueda cuantificar

todos los parámetros y calcular la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación desde un punto

preferido para diferentes horas y días para que así el jugador con dichos datos y su inteligencia

pueda tener mayores herramientas para lograr su objetivo: el gol.

Ciencia y Tecnología 101

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Jorge Mendoza Dueñas102

Móvil,Móvil,Móvil,Móvil,Móvil, tra tra tra tra trayyyyyectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamientoectoria y desplazamiento

VVVVVelocidad constanteelocidad constanteelocidad constanteelocidad constanteelocidad constante

Conseguir que un móvil ten-

ga velocidad constante en

las pistas de una ciudad es

casi imposible, debido al uso

contínuo del acelerador y el

freno.

Sin embargo no es difícil ob-

tener una velocidad constan-

te, ello se puede conseguir

en una autopista de tráfico

rápido y mejor aún si el tra-

mo es una línea recta.

TTTTTransmisión del moransmisión del moransmisión del moransmisión del moransmisión del movimiento cirvimiento cirvimiento cirvimiento cirvimiento circularcularcularcularcular

Se muestran dos móviles: el

muchacho y el automóvil, los

cuales parten del mismo pun-

to (A) con la intención de lle-

gar al punto (B).

Ambos eligen trayectorias di-

ferentes, el muchacho elige

el camino peatonal y el auto-

móvil el de la pista; no obs-

tante, el desplazamiento será

el mismo para ambos.

Las fajas y engranajes se

utilizan en los árboles ó

equipos para transmitir el

movimiento circular, con los

engranajes se evitan que

una pieza resbale respecto

a la otra.

Ciencia y Tecnología102

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Cinemática 103

− 10

6m s/

20

6m s/

12

5m s/

− 8

5m s/

4

5m s/

TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento

en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su

velocidad.

a) 2 m/s d) 6 m/s

b) 8 m/s e) 7 m/s

c) 4 m/s

2.- Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.

I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento.

II.- La aceleración es igual a cero.

III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento

es considerado infinitamente grande.

a) VVV d) FFF

b) FVV e) VVF

c) FVF

3.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-

gura podemos decir que su velocidad media es:

a) d) −4 m/s

b) e) 4 m/s

c)

4.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-

gura, podemos decir que su velocidad media es:

a) –5 m/s d)

b) +5 m/s e) N.A.

c)

5.- Los móviles “A” y “B”

parten de las posi-

ciones mostradas

simultáneamente

con vA = 4 m/s y

vB = 3 m/s. ¿Qué

podemos opinar?

Vx

tm = ∆

Vx

tm = ∆

a) “A” llega primero a “P”.

b) “B” llega primero a “P”.

c) Ambos llegan simultáneamente a “P”.

d) Falta precisar información para decidir que res-

ponder.

e) Ninguno llega.

6.- Se muestran la velocidad de

dos móviles en M.R.U., al cabo

de 5 s estarán separados:

a) 10 m d) 25 m

b) 15 m e) 30 m

c) 20 m

7.- Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al

cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del

mismo punto.

a) A dista de B 40 m d) C dista de D 40 m

b) C dista de D 55 m e) A dista de B 25 m

c) A dista de B 30 m

8.- La figura muestra dos móviles

en M.R.U. que parten del mis-

mo punto. Al cabo de 6 s ¿qué

distancia los separa?

a) 78 m d) 18 m

b) 48 m e) N.A.

c) 30 m

9.- Marque la proposición correcta.

a) En el M.R.U. el vector velocidad cam b ia

contínuamente.

b) En el M.R.U. la t rayectoria no siempre es una lí-

nea recta.

c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero.

d) El espacio es una magnitud vectorial.

e) Todas las anteriores son falsas.

10.- Marque la proposición correc-

ta según el siguiente esquema.

a) El móvil t iene velocidad

constante.

b) La velocidad del móvil aumenta.

c) El cuerpo se detendrá en el plano inclinado.

d) La velocidad del móvil disminuye.

e) Todas son falsas.

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Jorge Mendoza Dueñas104

1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña

ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

Solución:

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y

efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-

cidad constante), ¿después de que t iempo hará im-

pacto la bala?

Solución:

t horas=12

d vt t= ⇒ =540 45

3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con ve-

locidades constantes. ¿Después de que t iempo se en-

cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?

(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).

Solución:

d vt t= ⇒ =170 85

t s=2

❏ De la figura:

e v t tA A= =40

e v t tB B= =60

4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con veloci-

dades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que

tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

2000 = +e eA B

2000 40 60 2000 100= + ⇒ =t t t

t s=20

❏ De la figura:

e v t tA A= =60

e v t tB B= =40

e eA B= +200

60 40 200 20 200t t t= + ⇒ =

t s=10

OBSERVACIÓN

Tiempo de Encuentro:

e : espacio de separación

inicial

te

v vE

A B

=+

NOTA

Antes de realizar cualquier operación es necesario

homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.

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Cinemática 105

5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de

30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una dis-

tancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven

en la misma dirección y sent ido, y que la velocidad

de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué t iem-

po, “A” estará 50 m delante de “B”?

Solución:

OBSERVACIÓN

Tiempo de Alcance:

e : espacio de separación inicialt

e

v vAL

A B

=− v vA B>

❏ De la figura:

e v t tA A= =30

e v t tB B= =20

e eA B= + +50 50

30 50 20 50 10 100t t t= + + ⇒ =

t s=10

1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.

Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar

el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

Solución:

B problemas complementarios

2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,

B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia

entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de

qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,

si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.

Solución:

❏ Espacio = ?

e OA AB= +

e = +540 720

❏ Distancia = ?

d OB=

d = +540 7202 2

b g b g

d m=900

8 32 23 1+ + = +e e x

40 23 1+ = +v t v t x

40 13 10 2+ = +t t x

40 3 2+ =t x ............ (1)

e e x2 1 8= + −

v t v t x2 1 8= + −

15 10 8t t x= + −

5 8t x= − ............ (2)

t s= 24

7

3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.

¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace

con el triple de velocidad?

Solución:

❏ De (1) y (2):

❏ Cuando el

muchacho baja

❏ De la figura:

❏ También:

❏ De (1) y (2):

❏ Cuando el

muchacho sube

L v= 30b g ..... (1)

L v t= 3 b g ..... (2)

t s=10

e m=1 260

Cuando el muchacho baja

Cuando el muchacho sube

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Jorge Mendoza Dueñas106

t h= 2

4.- Una persona sale todos los días de su casa a la misma

hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se trasla-

da al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su

trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su

casa?

Solución:

5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a

200 m de un árbol, parten simultáneamente en la

m isma d irección. ¿Después de que t iempo ambos

móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y v

B = 6 m/s).

Solución:

❏ De la fig (1):

❏ De la fig (2):

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.

d vt= ..... (α)

d v t= −2 1b g .... (β)

❏ De (α) y (β):

vt v t= −2 1b g

fig (1)

6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al in-

gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s

en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?

Solución:

De la figura:

d d xB A= +2

v t v t xB A= +2

t x=

6 4 2 2 2t t x t x= + ⇒ =

............ (1)

d xA + =200

4 200t x+ =

❏ (1) en (2):

............ (2)

4 200t t+ =

t s= 40

La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-

rre el punto A.

7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de

Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con

velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Ba-

rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por

Huacho?

Solución:

d vt=

200 10 50+ =L b g

L m= 300

8.- Un auto debe llegar a su dest ino a las 7:00 p.m., si

viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a

40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-

sos la hora de part ida es la misma, encontrar dicha

hora de part ida.

❏ Lima a Barranca:

❏ Lima a Huacho:

Dato: velocidad constante = 50 km/h

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.

d vt=

200 4 50= ⇒ =v v km hb g /

d vT=

160 50 3 2= ⇒ =T T h,

fig (2)