CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROTACIÓN
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UNEFA - Departamento de Ingeniería Curso de Física I p/Lic. Física y Matemática Curso 2013 Univ. Ruben A. Mamani Ch. 1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROTACIÓN 1. Movimiento de rotación- Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si cada punto del cuerpo se mueve en trayectoria circular. Los centros de estos círculos deben estar sobre una línea recta común llamada eje de rotación (eje z de la figura). 2. Variables de rotación- El ángulo es la posición angular de la línea de referencia AP, y normalmente se mide en radianes. Convencionalmente se adopta como sentido positivo de rotación el contrario a las agujas del reloj. Por definición está dado en radianes por la relación: r s siendo s la longitud del arco. El desplazamiento angular de P será = 2 - 1 Se define la velocidad angular media como t t t 1 2 1 2 media la velocidad angular como dt d t t 0 lim Similarmente se define la aceleración angular media t t t 1 2 1 2 media y la aceleración angular () dt d t t 0 lim Para un cuerpo rígido tanto como son únicos (valen lo mismo para cada punto). 3. Rotación con aceleración angular constante- Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación. Movimiento de traslación (dirección fija) con a = cte. Movimiento de rotación (eje fijo) con = cte. at v v 0 t 0 2 0 0 2 1 at t v x x 2 0 0 2 1 t t ) ( 2 0 2 0 2 x x a v v ) ( 2 0 2 0 2 t v v x x 2 0 0 t 2 0 0 2 0 2 1 at vt x x 2 0 2 1 t t 4. Cantidades de rotación como vectores- Así como el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración son vectores, las magnitudes angulares correspondientes, también pueden representarse vectorialmente. Estas magnitudes se representan como vectores perpendiculares al plano de rotación, y cuyo sentido está dado por la regla de la mano derecha.
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Movimiento rotacional de las particulas.
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CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROTACIÓN
1. Movimiento de rotación- Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura
si cada punto del cuerpo se mueve en trayectoria circular. Los centros de
estos círculos deben estar sobre una línea recta común llamada eje de
rotación (eje z de la figura).
2. Variables de rotación- El ángulo es la posición angular de la línea de
referencia AP, y normalmente se mide en radianes. Convencionalmente se
adopta como sentido positivo de rotación el contrario a las agujas del reloj.
Por definición está dado en radianes por la relación: r
s
siendo s la longitud del arco.
El desplazamiento angular de P será
= 2 -1
Se define la velocidad angular media
como ttt
12
12media
la velocidad angular como
dt
d
tt
0lim
Similarmente se define la aceleración angular media ttt
12
12media
y la aceleración angular () dt
d
tt
0lim
Para un cuerpo rígido tanto como son únicos (valen lo mismo para cada punto).
3. Rotación con aceleración angular constante- Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la
cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación.
Movimiento de traslación (dirección fija) con a = cte. Movimiento de rotación (eje fijo) con = cte.
atvv 0 t 0
200
2
1attvxx 2
002
1tt
)(2 020
2 xxavv )(2 020
2
tvv
xx2
00
t
2
00
20
2
1atvtxx 2
02
1tt
4. Cantidades de rotación como vectores- Así como el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración son
vectores, las magnitudes angulares correspondientes, también
pueden representarse vectorialmente.
Estas magnitudes se representan como vectores perpendiculares
al plano de rotación, y cuyo sentido está dado por la regla de la
mano derecha.
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5. Relaciones entre las variables lineales y angulares- distancia recorrida rs .
Diferenciando respecto al tiempo: rdt
d
dt
ds.
rv .
Aceleración tangencial raT .
Aceleración radial (centrípeta) rr
vaR .2
2
Para la rotación de n cuerpo rígido con respecto a un eje fijo, se
cumplen las siguientes relaciones entre las variables lineales y
angulares en forma vectorial
rωv
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d rωr
ωrω
va
vωrαa
vωrαaaa RT
rαa T vωa R
6. Energía cinética rotacional y momento de inercia- Rígido que
gira con respecto a un eje vertical fijo.
La energía cinética de una partícula es 222
2
1
2
1mrmv , la energía
cinética total del cuerpo debido a la rotación es la suma de las energías
cinéticas de todas las partículas que componen el cuerpo.
i
iivmK
2
2
ROT =
i
ii rm
2
2
= 22
2
1
i
ii rm
La cantidad i
ii rm2 se llama momento de inercia o inercia de rotación del cuerpo (I) con respecto al eje de
rotación particular I = i
ii rm2
El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la manera en que está
distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en las ecuaciones
rotacionales.
Por tanto 2ROT
2
1IK
Para cuerpos continuos: dmrI 2
Teorema de ejes paralelos (Steiner) IO = ICM + mr2
El momento de inercia de cualquier cuerpo en torno a un eje cualquiera es igual al momento de inercia alrededor de un eje
paralelo que pase por el centro de masa más la masa total por la distancia entre los dos ejes elevada al cuadrado.
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7. Momentos de inercia de cuerpos
sólidos – En la figura se muestran los momentos de inercia de varios sólidos
de masa M en torno a ejes elegidos.
8. Momento de una fuerza o torque–
El torque () (o torca) o momento de una fuerza F que actúa sobre una
partícula en un punto P, cuya posición
en torno al origen O del marco de referencia está dada por el vector
posición r se define a través de la
expresión
Frτ
Es una magnitud vectorial, cuyo módulo es
igual a = r.F.sen
= r.F.sen F.r
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9. Dinámica de la rotación de un cuerpo rígido-
Trabajo infinitesimal realizado por F
dW = sF d = Fcos.ds = (Fcos.(rd)
dW = Fsen(2
-.(rd) = F.rd
Por tanto: dW = d
Si derivamos respecto al tiempo, obtenemos la potencia
P =
Si actúan varias fuerzas: dWneto = dext = dtext
De acuerdo al teorema trabajo-energía: dW = dK
Pero dK =
2
2OId = IO dIO dty dW = dtext
Por lo que resulta I ext que es la ecuación de la rotación análoga a la segunda ley de Newton
Comparación de las ecuaciones de la dinámica lineal y rotacional
Movimiento lineal Movimiento rotacional
Desplazamiento x Desplazamiento angular Velocidad
dt
dxv
Velocidad angular
dt
d
Aceleración
dt
dva
Aceleración angular
dt
d
Masa (inercia de
traslación)
m Momento de inerica
(inercia de rotación)
I
Fuerza F = m.a Torque = I
Trabajo FdxW Trabajo
dW
Energía cinética 2
2
1mvK
Energía cinética rotacional 2
2
1IK ROT
Potencia P =Fv Potencia P =
Cantidad de movimiento p = mv Momento angular L= I
