Cinematica

Prof. Dr. Emilio M. Becerra C.

Cinemtica

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Fsica General

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Fsica General Cinemtica

2 Prof. Dr. Emilio M. Becerra Castro

Introduccin

Como una primera etapa en el estudio de la mecnica, se describe el

movimiento de un objeto mientras se ignoran las interacciones con agentes

externos que puedan causar o modificar dicho movimiento. Esta parte de la

mecnica clsica se llama cinemtica. En este sentido podemos describir el

movimiento a partir de ciertas magnitudes fsicas, a saber: posicin, velocidad y

aceleracin.

En esta primera parte slo consideramos el movimiento en una dimensin, esto

es: el movimiento de un objeto a la largo de una lnea recta.

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Clasificacin del Movimiento

En fsica se clasifica por categoras el movimiento:

Movimiento traslacional

Movimiento rotacional

Movimiento vibratorio

Movimiento traslacional: se usa el modelo de

partcula y el objeto en movimiento se describe

como una partcula sin importar su tamao.

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Posicin, velocidad y rapidez

Posicin.

La posicin de una partcula es la ubicacin de la partcula respecto a un punto

de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado.

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El desplazamiento.

El desplazamiento de una partcula se define como su cambio de posicin en

algn intervalo de tiempo. Conforme la partcula se mueve desde una posicin

inicial a una posicin final , su desplazamiento es dada por:

=

Distancia : Es la longitud de una trayectoria seguida por una partcula

= = 0

Distancia 0

La distancia se representa

siempre como un nmero positivo,

mientras que el desplazamiento

puede ser positivo o negativo. El

desplazamiento es un ejemplo de

una cantidad vectorial.

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Velocidad media

La velocidad promedio de una partcula se define como el desplazamiento

de la partcula dividido entre el intervalo de tiempo durante el que ocurre

dicho desplazamiento:

=

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Rapidez promedio

La rapidez promedio de una partcula, es una cantidad escalar, se define

como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total

requerido para recorrer dicha distancia.

=

A diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene direccin y

siempre se expresa como un nmero positivo.

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Velocidad instantnea Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partcula en un instante

especfico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo de

tiempo finito.

= lim

=

Velocidad instantnea del movimiento rectilneo

La rapidez instantnea de una partcula se define como la magnitud de su

velocidad instantnea.

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Obtencin de la velocidad en una grfica x-t

En una grfica posicin en funcin del tiempo para movimiento rectilneo, la

Velocidad instantnea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente a

la curva en ese punto.

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Obtencin de la velocidad en una grfica x-t

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Aceleracin media e instantnea

As como la velocidad describe la tasa de cambio posicin con el tiempo, la

aceleracin describe la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo.

Aceleracin media

Se define como el cambio en la velocidad dividido por el intervalo de tiempo

durante el que ocurre el cambio

=

=

Aceleracin media, movimiento rectilneo

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Aceleracin media e instantnea

Aceleracin instantnea

La aceleracin instantnea es el lmite de la aceleracin media conforme el

intervalo de tiempo se acerca a cero.

= lim0

=

Aceleracin instantnea, movimiento rectilneo

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Obtencin de la aceleracin en una grfica o una grfica x-t

En una grfica de velocidad en funcin del tiempo, la aceleracin instantnea en

cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto.

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Los signos de la aceleracin y la velocidad

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Obtencin de la aceleracin en una grfica o una grfica x-t

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Ejercicios de Aplicacin

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1. La posicin de una partcula en coordenadas cartesianas est dada por la

ecuacin

Donde

x(t)=5+6t2, y(t)=3t, z(t)=6

t en segundos y x, y, z en metros

a) Determine el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s

b) Determine la velocidad media

c) Determine la velocidad y la rapidez en t = 1s.

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2. Cierta partcula se mueve a lo largo de una lnea de acuerdo con la ley:

Halle:

a) La posicin de la partcula en t=1 y en t=2s.

b) La velocidad media en 1 t 2.

c) La velocidad en t=3s.

d) La aceleracin en 1 t 2.

e) La aceleracin instantnea en t = 3s.

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3. Halle la velocidad media en la siguiente grfica para todo el recorrido

x(km)

t(h)

10

2 4 6 7

-5

5

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4. Cierta partcula se halla en P(3,-2,1)m en el instante t1 =2s y en Q(-1,0,3)m en

t2= 2.5s. Halle la velocidad media.

5. La posicin de un mvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa

segn la siguiente ecuacin: = 2 8 20 . Calcule la velocidad del mvil

en el instante en que pasa por el origen.

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Movimiento con velocidad constante

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Movimiento rectilneo uniforme (MRU)

Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el mvil es a lo largo

de una lnea recta y en donde el mvil recorre distancia iguales en tiempos

iguales; vale decir la rapidez del mvil permanece constante y no sufre

aceleracin.

= +

= +

(para constante)

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Grficos del movimiento rectilneo uniforme

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Velocidad vs Tiempo

Caractersticas El valor absoluto del rea es

numricamente igual al espacio

recorrido por el mvil.

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Grficos del movimiento rectilneo uniforme

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Posicin vs tiempo

Caractersticas

a) La grfica x vs t es siempre una lnea

recta que no es paralela a ninguno de

los ejes.

b) El valor de la velocidad es

numricamente igual a la pendiente de

la recta.

= +

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Movimiento con aceleracin constante

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Movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV)

Un movimiento muy comn y simple de movimiento unidimensional, es aquel en

el que la aceleracin es constante. En tal caso la aceleracin promedio

en cualquier intervalo de tiempo es numricamente igual a la aceleracin

instantnea en cualquier instante dentro del intervalo.

=2 12 1

= 0 + slo con aceleracin constante.

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Grfica aceleracin-tiempo para movimiento rectilneo con aceleracin positiva

constante

= = 0

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Deduccin de una ecuacin para la posicin en funcin del tiempo cuando la

aceleracin es constante.

= 0

=

0 + 2

Podemos encontrar :

= 0 + 0 +1

2

2 slo con aceleracin constante.

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Grfica velocidad-tiempo para movimiento rectilneo con aceleracin constante

positiva.

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Grfica de posicin en funcin del tiempo.

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Como la aceleracin influye en: (a) grfica de la posicin vs tiempo (b) velocidad

vs tiempo

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Con frecuencia es til tener una relacin entre posicin, velocidad y

aceleracin(constante) que no incluya el tiempo.

2 = 20 + 2 0 slo con aceleracin constante.

Para un movimiento con aceleracin cero, de las ecuaciones anteriores

tenemos:

= 0 =

= 0 +

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MRU

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1. Dos autos pasan por un mismo punto, en el mismo sentido, con

velocidades de 25m/s y 20m/s. Despus de qu tiempo estarn

separados 100m?

2. Un mvil viaja con M.R.U y debe llegar a su destino a las 7 p.m. Si viajara

a 40 km/h llegara 1 hora despus y si viajara a 60 km/h llegara 1 hora

antes. Qu velocidad debi llevar para llegar a su destino a la hora fijada.

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MRU

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3. Dada la grfica y sabiendo que, en todo momento, la velocidad del

mvil A es de 2 m/s , halle la velocidad del mvil B.

x(m)

t(s)

A B

0

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MRUV

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1. Un carro se mueve con MRUV y al pasar por un punto B tiene una velocidad

de 60 m/s. si 360 m ms adelante su velocidad es de 120 m/s. cul fue su

velocidad 100 m atrs de B?

2. Un auto corre en una pista horizontal con una aceleracin de 2 m/s2 , despus

de 5 s de pasar por el punto A posee una velocidad de 72 km/h. Qu

velocidad tena el auto cuando le faltaba 9 m para llegar al punto A?

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MRUV

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3. Halle la velocidad del mvil al cabo de 10 s, si en la partida ( = 0) el mvil

inicia del reposo

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a (m/s2)

t(s)

2

0 4 8

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Movimiento vertical de cada libre (MVCL)

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Cada libre

El ejemplo ms comn de movimiento con

aceleracin (aproximadamente) constante es la cada

de un objeto bajo la influencia de la atraccin

gravitacional de la tierra. Hay una leyenda segn la

cual fue Galileo quien descubri este hecho al

observar que dos cuerpos de diferente peso soltados

desde la Torre inclinada de Pisa llegaban al suelo al

mismo tiempo.

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Movimiento vertical de cada libre (MVCL)

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Cada libre

Los experimentos muestran que si puede omitirse el

efecto del aire, Galileo est en lo cierto : todos los

cuerpos en un lugar especfico caen con la misma

aceleracin hacia abajo, sea cual fuere su tamao o

peso. La aceleracin constante de un cuerpo en cada

libre se llama aceleracin debida a la gravedad, y

denotamos su magnitud con la letra . Por lo general,

usaremos el valor aproximado de cerca de la superficie

terrestre:

= .

=

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Movimiento de proyectiles

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Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue

una trayectoria determinada por lo efectos de la aceleracin gravitacional y la

resistencia del aire.

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= 0 0

= 0 0

= 0 0 1

22

= 0 0

Tiempo total de vuelo

=20 0

Altura mxima

=0

2 02

2

Alcance horizontal mximo

= 0 020 0

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1. Una piedra es soltada desde la parte superior de un edificio y demora un

segundo en recorrer los ltimos 25 m. Cul es la altura del edificio?

(considere g= 10 m/s2).

2. Un objeto desde cierta altura H respecto de el piso e lanzado verticalmente

hacia arriba con una rapidez de 20 m/s y cae al piso con una rapidez de 50

m/s. Determine el tiempo que estuvo en el aire el objeto, la altura H y la altura

mxima respecto del piso. (g = 10 m/s2)

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1. Un can se dispara en el vaco, bajo un ngulo de 30 con una velocidad de

300 m/s. Calcular:

a) La distancia desde el can hasta el punto donde hace impacto.

b) La altura mxima alcanzada.

c) La velocidad a los 10 s de ser disparado

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2. Una partcula es proyectada con velocidad 0, hasta alcanzar una distancia

sobre la horizontal que es el doble de su altura mxima. Calcular el valor de la

altura mxima en funcin de la aceleracin de la gravedad y la velocidad 0.

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El Vector Aceleracin

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Consideremos la aceleracin de una partcula que se mueve en el espacio. La

aceleracin describe el cambio en la velocidad de la partcula; no obstante al

tratarla como un vector, esta puede describir cambios tanto en magnitud como

en la direccin en la velocidad.

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El Vector Aceleracin

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La aceleracin instantnea en el punto

1 se define como el lmite de la

aceleracin media cuando el punto 2 se

acerca a 1 y y se acercan a cero.

En otras palabras la aceleracin

instantnea es igual a la tasa (variacin)

instantnea de cambio de velocidad con

el tiempo.

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= lim0

=

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Componentes perpendicular y paralela de la aceleracin

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El vector aceleracin de una partcula puede describir cambios en la rapidez de

sta, en la direccin de su movimiento o en ambas.

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Para ver por qu las componentes paralela y perpendicular de tienen tales

propiedades, consideremos dos casos especiales:

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La siguiente figura muestra una partcula que se mueve con trayectoria curva en

tres situaciones distintas : rapidez constante, creciente y decreciente.

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Movimiento en un crculo

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Movimiento circular uniforme : Cuando una

partcula se mueve en un circulo con rapidez

constante, tiene un movimiento circular uniforme.

Un automvil que da vuelta a una curva de radio

constante con velocidad constante, un satlite en

rbita circular, son algunos ejemplos de

movimiento circular uniforme.

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=2

(movimiento circular uniforme)

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Movimiento circular uniforme : Un tipo de

movimiento plano de gran importancia en fsica

es el movimiento circular uniforme, en que la

trayectoria es un crculo y el mdulo de la

velocidad instantnea es constante, de modo que

la partcula describe arcos iguales en intervalos

de tiempo iguales.

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s=R

El arco que corresponde al ngulo sobre el crculo es dado por:

s=0 + ( 0)

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Velocidad angular: Es una cantidad vectorial que mide como cambia la posicin

angular con respecto al tiempo. La direccin de este vector, por conveccin, es

perpendicular al plano del movimiento y con ayuda de la regla de la mano

derecha se puede determinar su direccin.

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=0 +

De donde:

=

=

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Relacin entre la rapidez y el modulo de la velocidad angular:

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=2

=2

v=

=

()

=

=

Relacin entre la aceleracin centrpeta y las magnitudes de las velocidades:

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1. El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por:

= 3 2 + 62 5 m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de

la aceleracin y el radio de curvatura en el instante de tiempo = 2 .

2. En cierto instante el vector velocidad de una partcula tiene una magnitud de

10 m/s y forma un ngulo de 53 con el vector aceleracin, cuyo mdulo es 5 m/s2 .

Determinar el radio de curvatura.

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3. Una partcula a 10 cm del centro de una centrifugadora tiene una aceleracin

centrpeta de 5,000 g.

a) Cul es la frecuencia angular de la centrifugadora?

b) Cul es la velocidad tangencial? (g= aceleracin de la gravedad)

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3 Dr. Emilio M. Becerra Castro

Clasificacin de las Magnitudes Fsicas

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