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CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO
1. Introducción.
Tomando en cuenta la naturaleza de nuestro proyecto, es fundamental un detallado análisis
físico, que comprende la cinemática y dinámica del robot. En este artículo se estudiará la
cinemática.
Básicamente, el análisis cinemático de un robot comprende el estudio de su movimiento
con respecto a un sistema de referencia, de aquí, que esto implica:
• Cinemática directa.- A partir de valores conocidos de las articulaciones y
parámetros geométricos de los elementos del robot, se calcula la posición y
orientación del efector final1 con respecto a un sistema de referencia.
• Cinemática inversa.- Consiste en determinar la configuración que debe adoptar
un robot para obtener una posición y orientación determinadas del efector final.
• Matriz Jacobiana.- Establece relación entre las velocidades de las articulaciones
y el efector final.
Cabe destacar que las articulaciones pueden ser prismáticas (traslación) o giratorias.
Para determinar la posición y rotación de un cuerpo son suficientes seis grados de libertad
(tres de traslación y tres de rotación). Para definir la posición es común utilizar coordenadas
cartesianas (x,y,z) y para definir la rotación se suele utilizar los ángulos de Euler, que de entre
sus muchas notaciones, para este capítulo nosotros adoptaremos la convención roll(α), pitch(β)
y yaw(γ), tal como muestra la figura 1.
1 Extremo del robot, el cual es objeto de estudio.
1 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Figura 1. Posición y rotación de un cuerpo en el espacio (3D).
Por consiguiente, un robot necesita seis grados de libertar para lograr una posición y
orientación determinadas de su efector final. Si existe menos de seis grados de libertad, la serie
de posiciones y orientaciones alcanzables es limitada, en cambio, si hay más de seis grados de
libertad habrá redundancia, entonces, existirá un infinito número de posibilidades para alcanzar
una posición y orientación del efector final, siendo esto útil cuando se desea evitar obstáculos u
optimizar el tiempo, eligiendo configuraciones alternativas para las articulaciones.
2. Cinemática directa del robot.
Como se había mencionado anteriormente, el problema cinemático directo consiste en
encontrar la posición y orientación del efector final con respecto a un sistema de referencia, a
partir del estado de las articulaciones que conforman el robot, de manera que:
),...,2,1(),...,2,1(
),...,2,1(),...,2,1(),...,2,1(),...,2,1(
nnz
nny
nnx
qqqfqqqfz
qqqfqqqfyqqqfqqqfx
γ
β
α
γ
βα
==
====
Ec. 1
en donde, q1, q2, … , qn representan los valores de las articulaciones en un determinado
instante.
Existen varios métodos para encontrar la cinemática directa de un robot; entre los más
difundidos se tiene al uso de relaciones geométricas, el mismo que no es muy utilizado, por ser
un método asistemático y sirve para robots de pocos grados de libertad. Quizás el método más
difundido sea aquel que utiliza matrices de transformación homogénea, por presentar grandes
2 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
ventajas al momento de analizar un sistema complejo. Otra alternativa es la resolución de
cinemática directa mediante cuaternios2.
2.1. Matrices de transformación Homogénea.
Una matriz de transformación homogénea 4x4 relaciona dos sistemas de coordenadas, de
forma que:
01 .STS = Ec. 2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
EscaladoaPerspectivTraslaciónRotación
WFPR
Txx
xx
1131
1333 Ec. 3
en donde, S1 representa el sistema de coordenadas móviles y S0 es el sistema de coordenadas de
referencia. En robótica se realiza una pequeña simplificación de modo que la matriz T se reduce
a:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10101333 TraslaciónRotaciónPR
T xx Ec. 4
que representa la posición y orientación de un sistema de coordenadas con respecto a un sistema
de referencia.
Mediante una matriz de transformación homogénea se asocia a cada eslabón un sistema de
referencia solidario, siendo posible representar rotaciones y traslaciones relativas entre los
eslabones. Una matriz de transformación entre dos eslabones consecutivos se representa de la
siguiente manera:
ii A1−
Mediante estas matrices se puede representar ya sea total o parcialmente la cinemática de
un robot, por ejemplo:
54
43
53
54
43
32
21
10
50
.
....
AAA
AAAAAAT
=
==
2 Refiérase a la publicación “Cinemática”, http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm
3 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
y lo más importante, es que la cinemática puede ser desarrollada mediante métodos
sistemáticos.
Para la resolución del problema cinemático directo, consideremos a la matriz de
transformación como:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000zzzz
yyyy
xxxx
paon
paonpaon
T Ec. 5
en donde, aplicando la ecuación 2 con S0 en el origen (0,0,0), se obtiene S1=[px py pz]T y se ha
encontrado la posición del sistema coordenado S1 con respecto al sistema S0. Para encontrar la
orientación (ángulos de Euler):
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
x
x
z
y
no
aaa
arccos
arcsin
arctan
γ
β
α
Ec. 6
y el problema cinemático directo ha sido resuelto completamente.
2.2. Representación de Denavit – Hartenberg.
En 1955 Denavit-Hartenberg propusieron un método sistemático que consiste en ubicar un
sistema coordenado solidario Si a cada eslabón i, para pasar de un eslabón a otro, mediante
cuatro transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas
del eslabón.
Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que
permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las
transformaciones son las siguientes:
1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi.
2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di.
3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai.
4. Rotación alrededor del eje xi, un ángulo αi.
4 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de
realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:
) x,T( ) ,0,0a ( T )d0,0, T( )z, T( A ii iii1-i αθ= Ec. 7
y realizando el producto de matrices:
Ec. 8
entonces, únicamente requerimos los cuatro parámetros de Denavit – Hartenberg para obtener la
matriz de transformación que relaciona a los sistemas coordenados de dos eslabones
consecutivos.
Para una descripción detallada del algoritmo de Denavit-Hartenberg, refiérase al Anexo 1
al final de esta tesis:
2.3. Resolución de la cinemática directa del robot bípedo.
En este punto nos concentraremos en encontrar los parámetros de Denavit – Hartenberg
para todas las articulaciones del robot. En la figura 2 se puede visualizar la estructura del robot y
los sistemas coordenados de cada articulación, los mismos que han sido establecidos siguiendo
el algoritmo de Denavit – Hartenberg.
Nótese que se desprenden dos cadenas cinemáticas en la estructura del robot:
1211
1110
109
98
82
21
10
76
65
54
43
32
21
10
......
......
AAAAAAAT
AAAAAAAT
d
i
=
= Ec. 9
en donde, Ti corresponde a la pierna izquierda y Td a la pierna derecha.
Es fundamental mencionar algunas convenciones que se han tomado para el análisis
cinemático. En primer lugar, se han establecido los sentidos de giro de cada articulación
siguiendo la Regla de la mano derecha. Otro punto importante es que existe desplazamiento en
un solo eje entre dos articulaciones consecutivas; esto es muy importante al momento de
construir el robot. Se ha tomado como referencia global la posición del sensor de medida
inercial (SMI).
5 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Figura 2. Posicionamiento de los ejes de cada articulación.
En la tabla 1 se muestran los parámetros de Denavit – Hartenberg correspondientes a la
cadena cinemática izquierda (Ti), en cambio, en la tabla 2 los parámetros correspondientes a la
cadena cinemática derecha (Td).
6 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Art. θ d a α
1 θ1 + π/2 0 0 π/2
2 θ2 0 -l12 -π/2
3 θ3 - π/2 -l23 0 -π/2
4 θ4 + π/2 -l34 0 π/2
5 θ5 - π/2 0 l45 π/2
6 θ6 0 l56 0
7 θ7 0 l67 0
Tabla 1. Parámetros de Denavit – Hartenberg de la cadena cinemática izquierda..
Art. θ d A α
1 θ1 + π/2 0 0 π/2
2 θ2 0 -l12 -π/2
3 θ3 - π/2 l28 0 -π/2
9 θ9 + π/2 -l89 0 π/2
10 θ10 - π/2 0 L910 π/2
11 θ11 0 L1011 0
12 θ12 0 L1112 0
Tabla 2. Parámetros de Denavit – Hartenberg de la cadena cinemática derecha..
Al obtener los parámetros de las tablas 1 y 2, prácticamente queda resuelto el problema
cinemático directo, pues solamente queda la multiplicación de matrices aplicando la ecuación 9,
para posteriormente encontrar la posición y orientación del efector terminal (Ec. 5 y Ec. 6) con
respecto al sistema de coordenadas globales (SMI).
7 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
2.4. Comprobación de la cinemática directa en Matlab.
Para realizar la comprobación de los parámetros cinemáticos obtenidos, utilizaremos
nuevamente la herramienta SimMechanics de Matlab, pero desde un punto de vista diferente al
expuesto en el artículo “SIMULACIÓN MECÁNICA DE UN ROBOT HUMANOIDE EN
MATLAB”. A continuación enumeramos las diferencias entre estos dos enfoques:
• Se simulan las medidas del robot en una manera más real, es decir, se toman en
cuenta los espacios necesarios para el acoplamiento de los servomotores (por ejm.:
l34, l45, l89, l910), cosa que no ocurría en la simulación anterior, pues se consideraba
a la articulación de la cadera idealmente en forma esférica.
• Para imprimir movimiento a cada articulación se utiliza un modelo de servomotor
mucho más sencillo, dado que en esta instancia no nos interesa la dinámica del
robot.
• Las masas y momentos de inercia de los diferentes eslabones no son de mayor
importancia.
• Los movimientos de las articulaciones son ingresados individualmente, no por una
matriz.
Se asumirán las siguientes medidas para el análisis:
l12 = 10cm, l23 = l28 = 4cm, l34 = l89 = 6cm, l45 = l910 = 3cm, l56 = l67 = l1011 = l1112 = 10cm
En la figura 3 se puede observar el diagrama de simulink equivalente al esquema de la
figura 2.
Figura 3. Diagrama cinemático del robot bípedo en Simulink.
8 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Es importante mencionar que para la simulación en Matlab se ha tomado la convención de
ejes en la cual el vector gravedad está orientado en el eje y (negativo), es decir, se han hecho
coincidir los ejes de Matlab con los ejes del sistema de referencia (x0, y0, z0) del análisis
cinemático; siendo este aspecto fundamental, para que nuestros resultados coincidan totalmente.
Para comprobar los resultados obtenidos se ha realizado el siguiente diagrama que es
complemento del que se expone en la figura 3.
Figura 4. Posición y orientación de los pies del robot cuando todos los ángulos valen 0º.
En la figura 4 se han empleado algunos bloques que nos permitirán sensar tanto la posición
como la orientación de los dos pies del robot.
A continuación se procederá a encontrar la matriz de transformación total (Ti, Td)
correspondientes a valores conocidos de ángulos de las articulaciones.
Cuando todos los ángulos valen 0 grados:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
10004100
390010010
1000410039001
0010
di TT
De lo cual podemos deducir que la posición de la pierna izquierda y derecha es (0,-39,-4) y
(0,-39,4) respectivamente; y la orientación de las dos piernas (aplicando las ecuaciones 6) es: α
= 0, β = 0, γ = π/2. Comparando los resultados con los obtenidos en Simulink (figura 4)
podemos notar que las posiciones coinciden totalmente, sin embargo, la orientación (γ) no
coincide, pues en el modelo de SimMechanics γ = 0. Esto tiene su explicación, fundamentada en
la orientación de los ejes del efector terminal, que en simulink permanece igual al eje de
9 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
referencia global, sin embargo en el análisis cinemático cambia debido a las reglas de Denavit -
Hartenberg.
Figura 5. Orientación de los ejes en el análisis cinemático y en Simulink.
Para corregir este “problema” se podría realizar una transformación extra en el análisis
cinemático o aplicar un factor de corrección de π/2 a γ en el modelo de Simulink, que
precisamente es el valor de rotación (en el eje z) entre los ejes del efector terminal y el sistema
de referencia, en el análisis cinemático.
Se han realizado una serie de comprobaciones con distintos valores de ángulos,
presentando resultados satisfactorios, demostrando así la validez de los parámetros de Denavit –
Hartenberg obtenidos.
3. Cinemática inversa del robot.
El problema cinemático inverso consiste en encontrar el estado de cada una de las
articulaciones que conforman un robot, para lograr una posición y orientación del efector final,
de manera que:
),,,,,( γβαzyxfq kk = Ec. 10
El problema cinemático inverso no es un proceso sistemático, ya que depende
exclusivamente de la configuración de un robot, o sea, en determinados casos puede existir
ambigüedad en la resolución o tener varios resultados.
10 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
De igual manera que en el problema cinemático directo, existen varios métodos de
resolución, entre los cuales destacamos:
• Método geométrico.- Este procedimiento es adecuado para robots de pocos
grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de
libertad, dedicados a posicionar el extremo.
• Matriz de transformación homogénea.- Se trata de obtener el modelo cinemático
inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo; es decir,
suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y
orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares.
• Desacoplo cinemático.- Aplicable a robots de 6 grados de libertad, en donde la
resolución total es dividida en dos partes (posición y orientación), dedicando los
tres primeros grados de libertad para posicionar el efector final y los tres restantes
para orientar el mismo.
3.1. Resolución del problema cinemático inverso por matrices de
transformación homogénea.
En nuestro caso particular se desea establecer la configuración de los dos grados de
libertad de los pies (tobillos) mediante una solución cerrada3, para lograr una orientación
determinada de los pies con respecto al sistema de referencia global (SMI). Dado que el sistema
de referencia (x0, y0, z0) es siempre paralelo al piso, implícitamente determinamos la orientación
de los pies con respecto al mismo.
El primer paso para la resolución es obtener la matriz de transformación equivalente a
toda la cadena cinemática, es decir, la matriz que relaciona el sistema de referencia con el
extremo del robot (figura 6). Recordemos que parte de la cadena cinemática ya ha sido resuelta
en el apartado anterior, denotado como Ti y Td, correspondientes a cada una de las piernas del
robot.
3 Relación matemática explícita – no iterativa.
11 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Figura 6. Posicionamiento de los ejes de las articulaciones de los pies.
En la tabla 3 se muestran los parámetros de Denavit – Hartenberg correspondientes a la
figura 6.
Art. θ d A α
s θs 0 l713 -π/2
f θf 0 l1314 0
- 0 0 0 π/2
- π/2 0 0 0
Tabla 3. Parámetros de Denavit – Hartenberg de los pies.
en donde, θs y θf son las articulaciones giratorias correspondientes a los planos sagital y frontal
respectivamente.
La cadena cinemática izquierda queda expresada de la siguiente manera:
Ec. 11 1615
1514
1413
137 .... AAAATT iTi =
en donde, y son transformaciones auxiliares que se utilizan para que el sistema
solidario al efector final coincida con el sistema de referencia global (x0, y0, z0), permitiendo así
una fácil interpretación de la orientación del efector final.
1514 A 16
15A
Encontrada la cadena cinemática completa, el siguiente paso es encontrar identidades
matriciales a partir de las cuales se establecerá la solución cerrada, de tal forma que:
12 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
),,(),,(γβαθγβαθ
ff
ss
ff
==
Ec. 12
entonces, a partir de la ecuación 11, la identidad matricial se establece de la siguiente forma:
Ec. 13 ( ) ( ) 1615
1514
141311
137 .... AAATTA Tii =−−
Definiendo los elementos de la ecuación 13 se tiene:
( )
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
−
10000001
0
0
..
1000010000010010
*
1000001001000001
*
10000100
0
0
..
1000
1000''''
''''''''
1000
1000000100
0
10000010
00
1314
1314
1615
1514
1413
1314
1314
1615
1514
1413
1
713
113
7713
713
137
fff
fff
fff
fff
zzzz
yyyy
xxxx
Ti
zzzz
yyyy
xxxx
izzzz
yyyy
xxxx
i
ss
ss
sss
sss
SlCS
ClSC
AAA
SlCS
ClSC
AAA
PAON
PAONPAON
T
paon
paonpaon
Tpaon
paonpaon
T
CS
lSC
ASlCSClSC
A
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθ
θθθθθθθθ
en donde, )cos(θθ =C y )(θθ senS = . Para no definir completamente a las matrices Ti y
TTi se ha adoptado la convención de vectores [n o a p] y [N O A P] respectivamente, de aquí,
que la matriz (Ti)-1 se representa como [n’ o’ a’ p’].
Realizando algunas multiplicaciones en la ecuación 13:
13 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−+−+−−−−−
−++++
10000001
00
1000
*
1000
''''''''
''''''''
1314
1314
713
fff
fff
zzzz
yyyy
xxxx
sysxsysxsysxsysx
zzzz
sysxsysxsysxsysx
SlCSClSC
PAONPAONPAON
CpSpCaSaCoSoCnSnpaon
lSpCpSaCaSoCoSnCn
θθθ
θθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
Eligiendo el elemento 2,2 de la matriz resultante:
)(''' fzzyzxz senOaOoOn θ−=−−−
( )zzyzxzf OaOoOnarcsen ''' ++=θ Ec. 14
Para encontrar sθ , se debe relacionar este con fθ , de modo que se elige a continuación el
elemento 1,2:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )fszyyyxyszxyxxx
fzsysxysysxxsysx
senOaOoOnOaOoOn
COSaCaOSoCoOSnCn
θθθ
θθθθθθθ
cos'''cos'''
.''.''.''
−=+++++
−=+++++
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−=
1
2
22
21
arctan)()(
cosarccos
xx
xxf
s
θθ Ec. 15
en donde,
zyyyxy
zxyxxx
OaOoOnx
OaOoOnx
'''
'''
2
1
++=
++= Ec. 16
Un error común al momento de evaluar la cinemática inversa de un robot es no relacionar
las variables (en nuestro caso sθ y fθ ), conduciendo esto a un resultado erróneo. Solamente una
variable es independiente (en nuestro caso fθ ) y las demás deben estar relacionadas entre sí.
Siguiendo un mismo procedimiento se encuentra la cinemática inversa del pie derecho,
sino que en vez de Ti se utiliza Td.
14 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
3.2. Algoritmo para encontrar sθ y fθ .
• Encontrar la cadena cinemática Ti (Td en el caso de la pierna derecha).
• Obtener la inversa de Ti, con esto tenemos .,',',',' etconnn xzyx
• Encontrar a partir de la matriz de rotación, en función de los ángulos
de Euler (roll, pitch, yaw) deseados para cada pie.
zyx OOO ,,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++−
−=
βαγαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβα
βγβγβ
coscoscossensensencossensencossencoscossencoscossensensensencoscossensen
sensencoscoscosMR Ec. 17
en donde:
γαγβα
γαγβαγβ
cossensensencos
coscossensensensencos
−=
+==
z
y
x
O
OO
Ec. 18
• Utilizando las ecuaciones 14, 15 y 16, calcular sθ y fθ .
Nótese que para encontrar la cinemática inversa del robot, no se requiere calcular toda la
cadena cinemática directa, sino que solamente se precisan Ti y Td, calculados en el apartado
anterior, pues el resto de la cinemática directa ha sido utilizada para la deducción de la solución.
3.3. Comprobación de la cinemática inversa en Matlab.
A partir de las figuras 3 y 4 de Simulink, se construye un modelo que nos permita
comprobar la validez de las ecuaciones obtenidas.
En las figuras 7, 8 y 9 se muestra el modelo así como los subsistemas que lo conforman.
15 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Figura 7. Modelo en Simulink para la comprobación de la cinemática inversa.
Figura 8. Subsistema “CUERPO”.
16 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Figura 9. Subsistema “Pie_I”
En la figura 9, podemos observar el bloque “Cinemática inversa” el cual se encarga de
calcular sθ y fθ a partir de α (roll) y γ (yaw); además se distingue el modelo cinemático del
pie, en donde se ingresa el valor de los ángulos calculados para observar el efecto de estos sobre
la orientación del pie.
A continuación en la tabla 4 se muestran algunos valores que se han obtenido de este
análisis, para el pie izquierdo, en un determinado estado del robot: θ1 = 20º, θ2 = -30º, θ3 = 10º,
θ4 = -10º, θ5 = -5º, θ6 = 15º, θ7 = -10º, en donde, la orientación del pie para sθ = 0 y fθ = 0 es:
5602.03668.04944.0
−===
γβα
17 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
Orientación deseada del pie del robot. Grados de libertad
del pie Orientación del pie del robot con sθ y
fθ calculados.
αd βd γd sθ fθ α β γ
0 0 0 5.532 0.4588 4e-5 0.41 2.9e-5
0.5 0 0 5.725 -0.005 0.4997 0.3668 -0.0001
1 0 0 5.919 -0.4692 1 0.4138 -6e-5
-0.5 0 0 5.219 0.8989 -0.5 0.6138 -8.5e-5
-1 0 0 363 1.196 -0.9975 1.374 0.0023
0 0 0.5 5.065 0.2185 0.2983 0.4936 0.5758
0 0 1 649 -0.0625 0.5256 0.3117 1.084
0 0 -0.5 6.091 0.5951 -0.0597 0.1089 -0.503
0 0 -1 0.4095 0.5717 0.1812 -0.1152 -1.011
1 0 -1 0.5173 0.0575 0.4657 0.316 -1.087
-1 0 1 194 0.2025 0.4844 0.5691 1.524
Tabla 4. Valores obtenidos del análisis cinemático inverso del pie izquierdo.
Analizando la tabla 4, podemos obtener algunas conclusiones importantes. Dado que en el
pie del robot existen únicamente dos grados de libertad ( sθ y fθ ), es imposible controlar la
orientación del pie del robot totalmente, presentándose ambigüedad en algunos casos.
Definitivamente, β no se puede controlar. Para α y γ existe control en un cierto rango de
variación. Todos estos aspectos se deben tener en cuenta al momento de implementar el control
en la práctica.
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ANEXO 1
ALGORITMO DE DENAVIT - HARTENBERG
En el presente anexo se explicará el algoritmo de Denavit – Hartenberg, y para una mejor
comprensión se acompañará con un ejemplo demostrativo.
El objetivo es encontrar los parámetros de Denavit – Hartenberg del siguiente arreglo, el
mismo que es parte del robot bípedo (articulaciones de la cadera).
Figura A1.1. Articulaciones de la cadera del robot bípedo.
A continuación se detallan los pasos a seguir:
A1.1. Identificación de articulaciones.
• Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y
acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del
robot.
• Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro.
Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.
• Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de
libertad y acabando en n).
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Figura A1.2. Identificación de articulaciones.
A1.2. Localización de ejes.
• Para i de 0 a n-1, situar el eje zi, sobre el eje de la articulación i+1.
• Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0
se situaran de modo que formen un sistema dextrógiro4 con z0.
• Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi
con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el
punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1.
• Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.
• Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.
• Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección
de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.
Note que para encontrar el sentido de giro de las articulaciones se aplica la regla de la mano
derecha, con el dedo pulgar siguiendo a zi.
4 Que gira en el mismo sentido de las agujas del reloj.
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Figura A1.3. Localización de ejes.
A1.3. Obtención de parámetros.
• Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden
paralelos.
• Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar (Si-1)
para que xi y xi-1 quedasen alineados.
• Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que
habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).
• Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con
xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si).
Figura A1.4. Obtención de los parámetros de Denavit – Hartenberg.
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A continuación se muestran los parámetros obtenidos de la figura A1.
Art. θ d a α
1 θ1 + π/2 -l01 0 π/2
2 θ2 - π/2 0 l12 π/2
3 θ3 0 l23 0
Tabla A1.1. Parámetros de Denavit – Hartenberg..
Nótese que para pasar de Si-1 a Si-1’ se realiza la rotación θi, y de Si-1’ a Si la rotación αi, tal
como muestra la figura A1. Se debe poner especial cuidado en los signos; para las
rotaciones con la regla de la mano derecha y para las traslaciones observando el sentido de
los ejes.
A1.4. Obtención de las matrices de transformación.
• Obtener las matrices de transformación i-1Ai.
• Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del
extremo del robot T = 0A1, 1A2... n-1An.
• La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de
traslación) del extremo referido a la base, en función de las n coordenadas articulares.
32
21
1022333
32333
32
2122
21222
21
01
11
11
10
..
10000100
00
10000010
200
1000010
0000
AAATSlCSClSC
A
ClSCSlCS
Al
SCCS
A
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθ
en donde, )cos(θθ =C y )(θθ senS = .
22 Oscar Luis Vele G.
CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .
BIBLIOGRAFÍA
HIBBELER R. “Ingeniería Mecánica - Dinámica”. Prentice Hall. Séptima edición.
1996.
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Segunda edición, 1960.
CASTEJÓN, Cristina. “Parámetros de Denavit-Hartenberg”.
“Cinemática”, Universidad de Guadalajara .
http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm
“Cinemática del robot”, Universidad de Vigo. .
http://www.aisa.uvigo.es/DOCENCIA/AyRobotica/cinematica.pdf
“Localización espacial” , Universidad de Vigo.
“SimMechanics Help”. Matlab6.5. Release 13.
“Virtual Reality Toolbox 3.0 Help”. Matlab6.5. Release 13.
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