CINEMÁTICA

La cinemática es parte de la mecánica que estudia las propiedades geométricas del movimiento de los cuerpos prescindiendo de su inercia (masa) y de las fuerzas aplicadas a éstos.

Los métodos cinemáticos poseen una importancia práctica propia, por ejemplo, durante el estudio de la transmisión del movimiento en los mecanismos. Por esta razón, gracias a las exigencias de la industria de la construcción de maquinaria en desarrollo, la cinemática se convirtió en una rama independiente de la Mecánica.

La tarea principal de la Cinemática consiste en determinar, conociendo la ley del movimiento del cuerpo (o del punto) dado, todas las magnitudes cinemáticas que caracterizan el movimiento del cuerpo entero, así como el movimiento de cada uno de sus puntos por separado (trayectorias, velocidades, aceleraciones, etc.).

MOVIENTO RECTILINEO

Todo punto material que se mueve a lo largo de un recta se considera como un movimiento rectilíneo.

La posición de un punto que se encuentre en P respecto al punto de referencia O en el instante t es s.

La posición del punto en P’ en el instante después ∆ t+t corresponde a ∆ s+s.

El desplazamiento ∆ s sucedió en ∆ t .

Observación:

Si el punto se moviera en el sentido negativo de s, el desplazamiento fuera negativo.

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

v=dsdt

= s{+v si ∆ s>0−v si ∆ s<0

a=dvdt

=v ∆ v<0con+v entonces , desacelera

Observe que la aceleración sería positiva en el caso que la partícula tuviese una velocidad negativa, pero fuese en cada instante menos negativa.

Eliminando el diferencial de tiempo dt entre la ecuación de velocidad definida en función de s y la aceleración definida en función de v, tenemos:

vdv=ads o bien s d s= s ds

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones diferenciales del movimiento rectilíneo de un punto. Los problemas de movimiento rectilíneo en los que intervengan variaciones finitas de los desplazamientos y velocidades se resuelven integrando estas ecuaciones diferenciales fundamentales.

Representaciones gráficas de s , a , v y t

RELACIONES ENTRE LA POSICIÓN

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Cuando la aceleración depende del tiempo o es constante:

Relación para obtener el desplazamiento si conocemos la aceleración es 0:

s ( t )=∫ v (t )dt y si v es constante:

s=v t+s0 Relación de la velocidad si la

aceleración es constante:

v (t )=∫a ( t )dt y si a es constante:

v=a t+v0 En el caso de un movimiento rectilíneo

con a constante.

s ( t )=∫t1

t2

v (t )dt=∫t1

t2

(a t+v0 )dt=12a t 2+v0t+s0

Cuando la aceleración depende de la

velocidad a ( v )=dvdt

t=∫0

t

dt=∫v0

vdva(v )

s=s0+∫v0

vvdva(v)

La aceleración como función del desplazamiento

∫v0

v

vdv=∫s0

s

a ( s )ds

∫v0

vdsa (s)

=∫0

t

dt

MOVIMIENTO EN COORDENADAS CARTESIANAS, UNIFORME O ACELERADO

Si el vector posición en función del tiempo lo definimos como r=r (t) lo describiremos en coordenadas cartesianas ortogonales y sus ecuaciones paramétricas serán:

{x=x (t)y= y (t )z=z (t)

Describiremos las variables cinemáticas en el siguiente grafico:

Área bajo la curva

∫s1

s2

ds=∫t1

t2

vdt

Área bajo la curva

∫v1

v2

dv=∫t 1

t 2

adt

La posición en cada instante viene dada por el vector de posición r=OP.

La velocidad v da la tasa de variación de la posición.

La aceleración a da la tasa de variación de la velocidad.

El tiempo t es el parámetro en función del que se describe el movimiento.

VARIABLES DEL MOVIMIENTO DEFINIDAS EN INSTANTES E INTERVALOS DE TIEMPO

La velocidad instantánea es definida por la derivada temporal:

v=lim∆→ 0

r (t+∆ t )−r (t)∆ t

=d rdt

= x (t ) i+ y (t ) j+ z (t) k

La velocidad media se define en un intervalo de tiempo:

vmed=r (t 2 )−r ( t1)t2−t1

La aceleración instantánea también se define por la derivada temporal de la velocidad instantánea:

a= lim∆t →0

v (t+∆ t )−v ( t)∆ t

=d vdt

= x (t ) i+ y (t ) j+ z (t) k

O también: a=d vdt

=d2 rd t 2

La aceleración media:

amed=v (t 2 )− v (t 1)t 2−t1

Observación:

La tercera derivada con respecto al tiempo

del vector posición d3 rd t 3

, es la variación de

la aceleración se denomina “tirón” (jerk) y se utiliza para evaluar la comodidad del transporte en un vehículo o cargas súbitas en las máquinas.

EJEMPLO:

Se conoce la velocidad de una partícula en los instantes t 1 y t 2:

{Ent 1=2 v1=16 i+3 j+18 k enm / sEn t2=5 v2=−5 i+16 j enm /s

Y para la aceleración se conoce su fórmula como:

a=pt i+ qtj+rlntk .Con p ,q , r constantes.

Determinar la aceleración de la partícula en los instantes t 1 y t 2.