rea Medios de Representacin

Curvas cicloideas

Ing. Guillermo Ferrario

Objetivos

Conceptuales. Conocer el sistema de generacin de las curvas cicloidales.Diferenciar las curvas cicloides, hipocicloides y epicicloides, junto a sus caractersticas

principales.

Destrezas.El alumno reconozca y trace una cicloide normal, corta y larga.Reconozca una epicicloide y hipocicloide. Trace una curva epicicloide.

Actitudinales.El alumno tendr iniciativa en el planteamiento de propuestas de resolucin de casos

prcticos.Defender y justificar las propuestas planteadas en un marco de respeto a otros

planteamientos y preocupacin por la calidad del resultado final.

La construccin del conocimiento se desarrolla relacionndolo con aquello que ya hemos adquiridos.

Veamos con que podemos relacionar este tema.

Curvas planas

Construcciones GeomtricasCinemtica

Curva cicloide natural o normalUna cicloide es el lugar geomtrico generado por un punto de una circunferencia al rodar sobre una lnea recta; es la curva que describe un punto perteneciente a una rueda que gira sin deslizarse

Sea P (x,y) un punto genrico de la cicloide y r el radio del crculo generador

Tomamos como parmetro el ngulo t que forma el radio CP con la vertical ACEl arco AP es rt e igual al segmento OA, y de la figura podemos deducir:

x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)

y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost).

Por tanto las ecuaciones paramtricas de la cicloide son:

x=r (t- sen t)

y=r (1- cos t).

Descomposicin del movimiento

La cicloide puede verse como la suma de dos trayectoriasDonde b es el radio de la ruleta y t el ngulo

Cicloide Acortada

Es el lugar geomtrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta fija

Es el lugar geomtrico descrito por un punto P situado sobre la prolongacin del radio de una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre una recta fija

Cicloide Alargada

Tipos de cicloide Dependiendo de donde se encuentra P respecto

de la circunferencia generatriz, se denomina: cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la

circunferencia generatriz, (R < r), cicloide comn, si P pertenece a la

circunferencia generatriz, (R = r), cicloide alargada, si P est fuera de la

circunferencia generatriz, (R > r). Donde la circunferencia tiene radio r, y la

distancia del centro al punto P es R.

Cicloides

Ecuaciones paramtricas

Las constantes r y d corresponden, respectivamente, al radio de la circunferencia y a la distancia CP. El parmetro es el ngulo formado por los segmentos CP y CJ. - Si d>r obtenemos la cicloide alargada - Si d

Ejemplo de Cicloide

Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia la izquierda, la parte inferior de su reborde se mueve hacia la derecha, es decir, en direccin contraria

Arriba se representa la curva (cicloide) que describe al girar cada uno de los puntos de la llanta de una rueda del carro de ferrocarril.

Abajo, la curva que describe cada punto exterior del reborde de una rueda de ferrocarril.

Trazado de curvas cicloides

Trazado de las tangentes

Para trazar la tangente en un punto cualquiera P1. Trazar la recta vertical que pasa por el centro C, obtenindose el punto de contacto de la

circunferencia A2. Unir los puntos P y A, lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide.3. Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente

Cicloide Normal

Cicloide Larga

Cicloide Corta

Curva Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeo crculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un crculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

con = + / 2 y, adems, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales,

Considerando la figura podemos escribir:

Epicicloide

Ecuaciones de la Epicicloide

Ecuacin Paramtrica

Considerando la figura podemos escribir: tenemos la ecuacin paramtrica de la

epicicloide:

Casos particulares Cuando r1/r2 es un nmero racional,

i.e., , siendo p y q nmeros enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k = 1 tenemos el cardioide

Si es irracional, la curva es trascendente y cubre completamente la regin entre los radios r1 y r2.

ejemplos de epicicloides

k=1

k=2

k=3

k=4

k=2.1=21/10

k=3.8=19/5

k=5.5=11/2

Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacin de radios R= 4 r (R= radio base, r= radio ruleta)

Dividir la rodante en un nmero de partes iguales , por ejemplo 8

Siendo a el punto generador de la epicicloide se sita coincidente con A al cabo de una vuelta completa, por la relacin de radios.

8 es la posicin del centro de la ruleta

Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante, obtenindose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador.

Para media vuelta de la ruleta , la posicin de a es E, su normal se obtiene uniendo la posicin correspondiente con el centro de la ruleta, la tangente es la perpendicular a esta en ese punto

La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D

Hipocicloide

Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parmetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia

directriz, sin deslizamiento.

Es un tipo de ruleta cicloidal.La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una lnea directriz (o circunferencia de radio infinito)

Las constantes R y r corresponden a los radios de las circunferencias fija y mvil, respectivamente, y el parmetro es el ngulo que forma el segmento OC con la direccin positiva del eje de las abscisas

Casos particulares

Cuando K = r1/r2 es un nmero racional, es decir,

siendo p y q nmeros enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

Si es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2,

Ejemplos]

k=3

k=4

k=5

k=6

k=2.1

k=3.8

k=5.5

k=7.2

La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas. Se obtiene cuando R=4r.

R=2; r=0,5

Algunos ejemplos de Epicicloides

Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija.

R=4r

Epicicloide Natural

La Nefroide, una epicicloide con R=2r:

R=1,6; r=0,8

- La cardioide, una epicicloide con R=r:

Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro, describe una curva llamada epicicloide acortada.

R=8; r=2; h=1.5

Epicicloide Acortada

Epicicloide Alargada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongacin del radio de la rodante C, a una distancia d del centro C, describe una curva llamada epicicloide alargada.

Algunos ejemplos de HipocicloidesLa Deltoide. Se obtiene cuando R=3r.

Hipocicloide Natural

Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda interiormente sobre otra circunferencia fija.

R=1,40; r=0,4

Hipocicloide Acortada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide acortada.

R=5; r=2; h=1

Caso particular

La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse:

R=6; r=3; h=1

Hipocicloide Alargada

Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongacin del radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide alargada

R=5; r=2; h=2.5

Clasificacin de Curvas CicloidalesCurvas Cicloidales

Epicicloides

Cicloides

Hipocicloides

Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga

Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga

Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga

TRANSMISIN del movimiento POR ENGRANAJES Los primeros datos que

existen sobre la transmisin de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes, corresponden al ao 1674, Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide.

Robert Willis, profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicacin prctica de la epicicloide al emplearla en la construccin de una serie de engranajes intercambiables.

PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES Para la transmisin de una relacin constante de

velocidades con engranajes cicloidales los crculos primitivos tienen que permanecer tangentes.

En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efecta entre superficies convexas y cncavas

El diente con perfil de evolvente es ms slido, a igualdad de paso, que el cicloidal.

para la transmisin de una relacin constante de velocidades con engranajes cicloidales los crculos primitivos tienen que permanecer tangentes

La lubricacin de los dientes cicloidales es algo ms eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es til en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes.

porcin de dos ruedas con dientes cicloidales

Fin del desarrollo temtico

Muchas gracias por su atencin

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