Capítulo 13Capítulo 13

Antenas fractales

UNI – FIEE Lima – PERÚ

Ing. Marcial A. López Tafur mlopez@uni.edu.pe

INTRODUCCIÓN

AutosimilaridadAutosimilaridad“Es la propiedad geométrica en la que cada parte es una imagen reducida del

todo” . Mandelbrot

 

Definiciones de Fractal

• “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen.”

Matemáticamente es una figura geométrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación.

Generación de Fractales

Iteraciones matemáticas

Iteraciones geométricas

Algoritmos

Ecuaciones diferenciales no lineales

Modelamiento de estructuras y fenómenos físicos

Ciencias de los computadores: compresión de imagen y sonido, procesamiento digital de imágenes (transformada olita), computación gráfica.

Telecomunicaciones: Fibras ópticas (solitón), Antenas Fractales

Aplicaciones de Fractales

• Los Fractales se han vuelto uno de los principios unificadores de las ramas de la ciencia. Aparte de los gráficos por computadora, las aplicaciones tecnológicas de estas formas geométricas han venido desarrollándose en los últimos años.

• La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Éstas poseen a veces una recarcable invariancia de simplificacion bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales.

Durante la última década, investigadores han empezado a aplicar Fractales para diseños de

antenas. Las antenas parecen ser simples juegos geométricos, pero implican un conocimiento

profundo del electromagnetismo y la geometría fractal.

Es el fundador de una nueva disciplina matemática “ La Geometría Fractal”. En 1958 llega a el Centro de Investigaciones de IBM en Yorktown donde desarrolla su teoria.

Recoge y da nueva vida a ciertos objetos matemáticos (“monstruos”) que desde el siglo XIX ponían en tela de juicio los fundamentos de la geometria euclidiana

Benoit Mandelbrot

 

EuclídeaEuclídea FractalFractal

Tradicional (más de 2000 años) Moderna (aprox. 10 años)

Dimensión entera Dimensión fraccionaria

Trata objetos hechos por el hombre Apropiada para formas naturales

Descrita por fórmulas Algoritmo recursivo (iteración)

Diferencias fundamentales entre la Geometría Euclídea y la Fractal

Definiciones de Fractal: “Que tiene una forma, bien sea sumamente

irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen.”

Es una figura geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaños, tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total.

CONJUNTOS FRACTALES TÍPICOS

Conjunto de Cantor

Curvas de Koch

PROPIEDADES DE LOS FRACTALES

Autosimilaridad

Dimensión fraccionaria

No Derivabilidad

Autosimilaridad:Cada parte del conjunto contiene la misma información que todo el conjunto.

Dimensión fraccionaria:Número de valores reales que necesitamos para describir cualquier punto en el espacio

No Derivabilidad:Las fractales a pesar de que algunos sean continuos, no son derivables en ningún punto.

Propiedades de los Fractales

Con el avance de los sistemas de comunicaciones y el importante incremento de otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, las antenas de banda ancha y de bajo contorno están en gran demanda tanto para aplicaciones comerciales como militares. Antenas multibanda y banda ancha son las más aceptadas en los sistemas de comunicación personal (celulares, trunking, beepers, etc.), pequeñas terminales satelitales y otras aplicaciones inalámbricas. Algunas de estas aplicaciones también requieren que la antena esté embebida en la estructura exterior.

Antenas Fractales

Actualmente se están aplicando extensivamente las antenas fractales obteniéndose muy buenos resultados en cuanto a eficiencia, espacio, ancho de banda y ganancia.

La aplicación de los fractales a las antenas permite la optimización en tamaño y ganancia para arreglos multibanda y banda estrecha. El hecho de que muchos fractales tengan complejidad infinita puede ser usado para reducir el tamaño de la antena y desarrollar antenas bajo contorno

Un gran ancho de banda, radian muy eficazmente para una gama amplia de frecuencias. El rango de frecuencia es especificada por el tamaño más pequeño y más grande presente en la antena. Tienen una ganancia considerable, por encima de un antena dipolo normal y depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencias grande. Poseen una estructura espacial que se relaciona a la ganancia de la antena. Esta estructura espacial puede ser muy útil cuando se requiere direccionalidad.

Características principales

Area pequeña

Impedancia de acople estable para un rango

amplio de frecuencias.

Resonancia multiple

Gran ganancia en algunos casos

Principales Ventajas

Diseño y creación más dificultosa

Baja ganancia en algunos casos

Principales Desventajas

Antena Dipolo de Koch

Antena Sierpiski

Características Antena Sierpiski

Distribución de Corriente Antena Sierpiski

Antena Sierpiski “Cargadas”

Variación de ángulo de apertura:

Antena Sierpiski “Cargadas”

Variación de factor de autosimilaridad:

Triángulos de Sierpinski

       Sistemas Móviles Celulares:Antenas en estaciones base, antenas en teléfonos

receptores.        Dispositivos de Micro ondas:

Circuitos microcinta detectores de radio frecuencia, antenas micro cinta.

       Otras: Aeronáutica, sector automotor, comunicaciones marítimas, aplicaciones militares

Areas de Aplicación

Los campos de aplicación van en aumento desde que Cohen fundó a Fractal Antena Systems (1998) y ahora está trabajando con Antenna T&M fabricando antenas telefónicas celulares para la Motorola.

El ingeniero de T&M John Chenoweth dice que las antenas fractales son 25 por ciento más eficaces que las que se encuentran en la mayoría de los teléfonos, son más baratas de fabricar y operan en bandas múltiples, permitiendo, por ejemplo, que pueda ser construido en el teléfono un receptor de GPS.

Tecnología

En 1997 el grupo Electromagnetics & Photonics Engineering de la Universidad de Cataluña con la compañía Sistemas Radiantes F. Moyano S.A desarrollaron las antenas FRACTUS multibanda para sistemas de teléfonos celulares.

Las Antenas fractales son una buena alternativa para los exigentes requerimientos en los nuevos sistemas de comunicación.

El diseño de éstas implican interdisciplinariedad, ya que se requieren conocimientos de matemáticas fractales y teoría Electromagnética.

Constituyen un nuevo campo de oportunidades.

Conclusiones

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Introducción El avance de la tecnología requiere el uso de equipos más

compactos y de tamaños cada vez más pequeños, por lo que los equipos inalámbricos deben de usar antenas con dimensiones cada vez más pequeñas.

El tamaño de una antena siempre va relacionado estrechamente con la longitud de onda de la banda a ser transmitida.

El término fractal implican las propiedades de autosimilaridad y dimensión fraccionaria.

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Objetivo y AlcanceObjetivos

Alcance

1. Diseñar, mediante el software Matlab, una antena utilizando la geometría fractal.

2. Analizar los beneficios de las antenas fractales frente a las convencionales.

3. Construir la antena, y comprobar experimentalmente los análisis teóricos.

El diseño se realizará utilizando el Fractal de Von Koch La banda de frecuencia a utilizar en las pruebas será de 900Mhz

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Geometría Fractal La Autosimilaridad.

La Dimensión Fraccionaria

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch D= Log (k) / Log (M)

k: Número de partes congruentes. M: Factor por el cual se debe de multiplicar cada parte para obtener la figura original.

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Fractal de Von KochSistemas de Funciones Iteradas (IFS)

En su forma general, trata sobre la evolución de espacios topológicos arbitrarios sometidos a un conjunto de transformaciones específicas.

Dichas transformaciones son expresadas por un IFS definido mediante coeficientes complejos y se expresan de forma general

como: w j (z) = a j z + b

“El argumento de a j representa rotación y su módulo la contracción.”

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Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch

Primera Transformación

La primera transformación es una contracción de 1/3 respecto a la longitud original:

w1 (z) = z/3

Segunda TransformaciónPara la segunda transformación el segmento debe contraerse 1/3, rotarse 60º y desplazarse 1/3 respecto al punto inicial:

w2 (z) = (1/3)e jπ/3 z + 1/3

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Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch (cont.)

Tercera Transformación

La tercera transformación consiste en una contracción de 1/3 y una rotación de -60º acompañada de un desplazamiento de ½ + j√3/6.

w3 (z) = (1/3)e -jπ/3 z + (1/2 +j√3/6)

38

Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch (cont.)

Cuarta Transformación

Finalmente, la cuarta transformación se compone de una contracción con una rotación de 2/3 respecto al segmento original:

w4 (z) = z/3 + 2/3

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Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch (cont.)

El Sistema de IFS sería el siguiente:

w1 (z) = z/3 w2 (z) = (1/3) e jπ/3 z + 1/3

w3 (z) = (1/3) e -jπ/3 z + (1/2 +j√3/6)

w4 (z) = z/3 + 2/3

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Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch (cont.)

Código en Matlab (1)

function [ ]=generar_fractal(n,f)

% n: Número de iteraciones% f : Frecuencia de trabajo

l=c/(4*f); % Longitud de cada monopolo : 4l*f = cz=[0 l]; % Segmento inicialfor k=1:nw1=(1/3)*z;w2=(1/3)*exp(j*pi/3)*z + l/3;w3=(1/3)*exp(-j*pi/3)*z + l*(.5+j*sqrt(3)/6);w4=(1/3)*z + l*2/3;z=[w1 w2 w3 w4];endplot(z),axis equal

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Fractal de Von KochGeneración del Fractal de Von Koch (cont.)

Código en Matlab (2)function [ ]= antena_miniatura (n) L=75/900; % Longitud de la curvaz= [0 L]; % Segmento inicialfor k=1:nI1= (1/4) * z;I2= (1/4) * exp ( j * pi/3 ) * z + power ( 3/4, k-1 ) * ( L/4 );I3= (1/4) * exp (-j * pi/3) * z + 3 * (l/8) * power (3/4, k-1) + (L/8) * j * sqrt(3) * (power(3/4,k-1));I4= (1/4) * z + 2 * power ( 3/4, k-1 ) * ( L/4 );f= [ I1 I2 I3 I4 ]endplot ( f )axis equal

42

Circuitos Impresos Longitud 16.6cm, iteración # 3

Circuito Impreso de la Antena Fractal 01

Longitud 16.6cm, iteración # 4

Circuito Impreso de la Antena Fractal 02

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Longitud 16.6cm, iteración #5

Longitud 4.687cm, iteración #2Circuito Impreso de la Antena Fractal 03

Circuito Impreso de la Antena Fractal Miniatura

Circuitos Impresos (cont.)

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Longitud 3.515cm, iteración #3

Circuitos Impresos (cont.)

Circuito Impreso de la Antena Fractal Miniatura

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Cálculo de Parámetros de la Antena Para llevar a cabo el estudio del comportamiento de la Antena

Fractal de Von Koch se usó el paquete PDETOOL de MATLAB.

La simulación está basada en la resolución de la ecuación integral de campo eléctrico (EFIE)mediante el método de los momentos.

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Cálculo de Parámetros de la AntenaGeneración de la antena en PDETOOL

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Cálculo de Parámetros de la AntenaMétodo de los Momentos

Obtener la distribución de corriente en una antena significa conocer su comportamiento como radiador y determinar sus parámetros principales como ganancia, patrón de radiación, impedancia, etc.

El Método de los Momentos es un método de aproximación que ayuda a resolver ecuaciones integrales, en donde el integrando es la incógnita.

La distribución de carga eléctrica lineal ρ(r’) crea un potencial eléctrico, V(r).

( arg )

1 ( ')( ) '4 source

ch e

rV r dlo R

ρπ

=∈ ∫

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Cálculo de Parámetros de la Antena

Alambre Recto

Alambre de potencial constante y su segmentación

00

1 ( ') ', 04 ( , ')

l p yI dy y lR y yπ

= ≤ ≤ ∈ ∫

2 2 20

( , ') ( , ') ( ') ( ') ( ')x z

R y y R r r y y x z= =

= = − + +

49

Cálculo de Parámetros de la Antena Se aproxima la distribución de carga desconocida ρ (y’) mediante

una expansión de N términos conocidos con constante, pero coeficientes desconocidos.

( ')yρ1

( ')N

n nna g y

=

∑

01

14 ( ') '( , ')

Nl

o n nna g y dy

R y yπ

=

∈ = ∑∫

0 2 201

( ')4 '( ')

N l nn

n

g ya dyy y a

π=

∈ =− +

∑ ∫

50

Cálculo de Parámetros de la Antena El alambre es ahora dividido en N segmentos uniformes, cada uno

de longitud Δ = l/N

Para evitar la complejidad de la solución, serán utilizadas las funciones por tramos constantes (llamado pulsos).

0 ' ( 1)( ') 1 ( 1) '

0, 'n

y ng y n y n

n y

, < − ∆= , − ∆ ≤ ≤ ∆ ∆ <

21 2

0 1 20, ,

( 1) ( 1), ,

( ') ( ')4 ' ' ...( ') ( ')

( ') ( ')' ... '( ') ( ')

m m

n ln Nn Nn N

m m

g y g ya dy a dyR y y R y yg y g ya dy a dyR y y R y y

π∆ ∆

∆

∆

− ∆ − ∆

∈ = + +

+ +

∫ ∫

∫ ∫

[Vm] =[Zmn][In]

[In] = [an]

[Vm] = [4πε0]

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Cálculo de Parámetros de la Antena

Secuencia del Código

Crea los elementos rwg

Cálculo de la Matriz de Impedancias

Soluciona Ecuaciones del MoM

Determina Corriente de Superficie

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Cálculo de Parámetros de la Antena

Secuencia del Código

Mesh.mat

Current.mat

“efield1.m”Cálculo de E y H

“efield2.m”Distribución de Intensidad

de Corriente

“efield3.m”Patrón de Radiación.

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Resultados

Antena Fractal 01

Antena Fractal 02

L = 16.6cm

Frecuencia

(MHz)

Ganancia

(dB)

ROE Impedancia

(Ohm)

450 7.0 1.2:1 50

900 10.5 1.2:1 50

1800 9.5 1.2:1 50

L = 16.6cm

Frecuencia

(MHz)

Ganancia

(dB)

ROE Impedancia

(Ohm)

450 7.5 1.3:1 50

900 10.5 1.2:1 50

1800 9.0 1.2:1 50

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Resultados

L = 16.6 cm

Frecuencia

(MHz)

Ganancia

(dB)

ROE Impedancia

(Ohm)

450 5.3 1.5:1 50

900 9.2 1.2:1 50

1800 8.4 1.4:1 50

L = 4.6875 cm

Frecuencia

(MHz)

Ganancia

(dB)

ROE Impedancia

(Ohm)

450 5 1.5:1 50

900 9.2 1.2:1 50

1800 7 1.4:1 50

Antena Fractal 03

Antena Fractal Miniatura 01

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Resultados

L = 3.5156 cm

Frecuencia

(MHz)

Ganancia

(dB)

ROE Impedancia

(Ohm)

450 5.5 1.5:1 50

900 9.2 1.3:1 50

1800 8.5 1.5:1 50

Antena Fractal Miniatura 02

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Conclusiones La geometría de la Antena Fractal de Von Koch genera capacitancia e inductancia

adicional, haciendo innecesaria la presencia de elementos externos para la sintonización.

Se demostró que a mayor miniaturización la resistencia de entrada se ve fuertemente disminuida debido a la gran cantidad de ramas conductoras.

Los Fractales permiten diseñar antenas multibanda. Con la geometría fractal se obtienen antenas que contienen en un sólo objeto, copias de él mismo en diferentes tamaños, esto permite el mismo comportamiento a diferentes

frecuencias.

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Conclusiones Para que una antena ofrezca un comportamiento uniforme en más

de una frecuencia ha de satisfacer 2 criterios: Presentar simetría respecto a un punto.

Ser auto semejante, básicamente ofrecer el mismo aspecto en todas

las escalas.

Ambas características son cubiertas por las antenas fractales y se demostró el carácter multibanda de las mismas.

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Muchas gracias por su atención

UNI -FIEE