Certamen 1 Pauta S1 2015 Vitacura

7/25/2019 Certamen 1 Pauta S1 2015 Vitacura

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Certamen 1, MAT 024

2o Semestre de 2014

Problema 1: Calcule R

|y x2| dA

siendo R=

(x, y)R2 :|x| + |y| 2, y0, |x| 1 Solucion: Segun el signo de y x2, la integral se divide en tres partes:

!" # "

"

$

y=x2

y=2x

y=x+2

R

|y x2| dA

= 1

0

2

x

x2(yx2) dy dx+

0

1

x+2

x2(yx2) dy dx+

1

1

x

2

0

(x2y) dy dx= 1910


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Problema 2: Calcule

Q

x3y3z3 dV, siendo

Q=

(x,y,z) R3 :x >0, y >0, z >0, x2y2 + x2z2 + y2z2 0, v >0, w >0, u + v+ w


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Observacion: Otra forma de resolver este problema es hacer el cambio de variable

u= xy, v=xz, w= yz

Con esto

(u,v,w)

(x,y,z)= det

y x 0z 0 x

0 z y

=2xyz = J= 1(u,v,w)(x,y,z) =

1

2xyz

En las variables u, v y w la region de integracion queda

QN= (u,v,w) : u >0, v >0, w >0, u2 + v2 + w2


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Problema 3: El tallo de una seta es un cilindro circular recto de diametro 1 ylongitud 2, mientras que su cabeza es una semiesfera de radio R. Si la densidad dela seta es constante e igual a k, encuentre el radio de la cabeza para que el centro

de masa de la seta este situado en el plano que une el tallo con la cabeza.

Solucion:

Para simplificar los calculos, dispondremos la figura de manera que el tallo sea elcilindro solido

A=

(x,y,z) R3 :x2 + y2 1

4,2z0

y la cabeza sea la semicircunferencia solida

B={(x,y,z) R3 :x2 + y2 + z2 R2, z0}

No se pierde generalidad al hacer esta suposicion, pues el centro de masa de unsolido es independiente de donde se encuentre ubicado el mismo.

Con esta suposicion, se sigue inmediatamente que (x,y,z) = (0, 0, z).

Como A y B tienen en comun solo parte de sus fronteras, podemos hacer uso delresultado que dice que el centro de masa del conjunto AB, esta dado porCAB =

mA

mA+ mBCA +

mB

mA+ mBCB , siendo mA y mB las masas de A y B

respectivamente, CA y CB los centros de masa de A y B respectivamente.

Es claro que el centro de masa del cilindro esta ubicado en el punto CA= (xA, yA, zA) =(0, 0, 1).Por otro lado CB = (xB, yB, zB) = (0, 0, zB).


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zB = Bkz dV

mB=

Bkz dV

Bk dV = Bz dV

23R

3

Calculemos ahora

B

z dV. Para ello anotaremos el solido en coordenadas esfericas,

con lo cualB

z dV =

20

/20

R0

cos()2 sen() ddd

=

20

d

/20

sen()cos() d

R0

3 d

= 2

1

2

R4

4

=

R4

4

Por lo tanto

zB = 32R3

R4

4 =3

8R

Se tiene entonces CAB = (0, 0, zAB).

Ahora

zAB

= mA

mA+ mBzA+

mB

mA+ mBzB =

1

mA+ mB(mAzA+mBzB)

Las condiciones del problema exigen que zAB

= 0.

zAB

= 0 mAzA+ mBzB = 0 2

(1) +23

R3 3

8R= 0

Resolviendo esta ultima ecuacion se obtiene R= 42.


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Problema 4: Suponga que la curva r(s) esta parametrizada por longitud de arcoy tiene curvatura y torsion constantes,k y respectivamente. Sus vectores tangenteunitario, normal principal y binormal son T(s), N(s) y B(s).

Se define la curva (s) por

(s) = 1

kT(s) +

ss0

B(u) du

Pruebe que todas las rectas normales a (s) son paralelas al plano generado por losvectoresT(s) y B(s) N(s).Solucion:

(s) = 1

kT(s) +

s

s0

B(u) du = (s) = 1k

T(s) + B(s) = 1

kkN(s) + B(s)

es decir (s) =N(s) + B(s).

Derivando nuevamente

(s) =N(s) + B(s) =k T(s) + B(s) N(s) =kT(s) + (B(s) N(s))

o sea

(s) =kT(s)+(B(s)N(s)), y esto justamente quiere decir que las rectasnormales (con vector director paralelo a (s)) son paralelas al plano generado porlos vectores T(s) y N(s) B(s).

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