FACULTAD DE INGENIERAINGENIERA CIVIL

Curso: ESTTICA

Docente: MARIO R. CARRANZA LIZA

Tema: CENTROIDE DE FIGURAS COMPUESTAS

Integrantes:1. LEON RABANAL, JAIME SAUL.2. LESCANO NARRO, ROSA ANDREA.3. LEYVA COJAL, DEYVIS ALEXANDER.4. LUZON PAREDES, OSCAR PAUL SANTIAGO.

Cajamarca, 9 de junio 2015

CENTROIDE DE FIGURAS COMPUESTAS CAPTULO I: INTRODUCCIN

En los trabajos de ingeniera rara vez se tiene que localizar centroides por integracin, porque los centroides de figuras geomtricas comunes ya se conocen y se encuentran tabulados; sin embrago con frecuencia necesitamos localizar los centroides de reas compuestas de varias partes, en las que cada parte tienen una forma geomtrica particular, como un rectngulo, un crculo o un cuadrado. Ejemplos de tales reas compuestas son las secciones transversales de vigas y columnas que usualmente consisten en elementos rectangulares.El Centroide es un punto que de define el centro geomtrico de un objeto. Su localizacin puede determinarse a partir de frmulas semejantes utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material del que est compuesto un cuerpo es uniforme u homogneo, la densidad o el peso especfico sern constantes en todo el cuerpo. Las frmulas resultantes definen al centroide de un cuerpo, ya que son independientes del peso del cuerpo.Existen diversos conceptos centroidales que son usados en la ingeniera: El centro de masa, el centro de presin y el centro de gravedad, son ejemplos de ellos. Todos se parecen porque tienen coordenadas y, adems, son puntos; pero se diferencian por lo que representan. El centro de masa es solo para los cuerpos que tienen masa. El centro de presin es el punto donde acta la resultante de un sistema de fuerzas y el centro de gravedad es donde acta la fuerza gravitacional, la cual denominamos peso. Por lo tanto, no podemos llamar centro de masa a lo que es un centro de rea; tampoco podemos llamar centro de rea al centro de presin o al centro de gravedad.

Cada trmino debe ser coherente con lo que representa. Sin embargo, el centroide es un trmino ms neutro y el puede ser rea, volumen, masa, presin o gravitacional. En ocasiones es usado como sinnimo para no repetir constantemente la misma palabra.

OBJETIVOS

Objetivo General Determinar los centroides de las figuras compuestas.Objetivo Especfico Determinar el centroide a partir de clculos estticos haciendo uso de secciones transversales. Conocer el punto de concentracin de todas las fuerzas de una figura compuesta. Determinar las coordenadas centroidales de cada figura mediante AutoCAD.FORMULACIN DEL PROBLEMA

Disear figuras compuestas para poder determinar su centroide es decir el punto donde se concentran todas las fuerzas del cuerpo.HIPTESIS

Si un cuerpo puede mantenerse en equilibrio, entonces mediante el clculo de su centroide esto se haga posible.JUSTIFICACIN DEL PROBLEMA

Aplicar clculos estticos y determinar el centroide de las figuras compuestas mediante frmulas tericas y comprobarlo experimentalmente.CAPTULO 2: MARCO TERICO

CONCEPTO DE CENTROIDEEs un concepto puramente geomtrico, mientras que los otros dos trminos se relacionan con las propiedades fsicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tenerdensidaduniforme, o la distribucin de materia a travs del objeto debe tener ciertas propiedades, tales comosimetra. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de uncampo gravitatoriouniforme.

Propiedades.

El centroide geomtrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que est fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un tazn de fuente, por ejemplo, se encuentra en la central de vaco del objeto.

Si el centro de gravedad se define, se trata de un punto fijo de todas las isometras en su grupo de simetra. En particular, el centroide geomtrico de un objeto se encuentra en la interseccin de todos los hiperplanos de simetra. El centro de gravedad de muchas figuras (polgono regular, poliedro regular, cilindro, rectngulo, rombo, crculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc) puede ser determinada por este principio.

EL CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE Es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. As, el c.g. de una esfera hueca est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo. En fsica, adems del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geomtrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes. Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad slo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y direccin constante. Centro geomtrico (Centroide) y centro de masa: El centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o cuando la distribucin de materia en el sistema es simtrico. En nuestros estudios de Ingeniera Civil se asume que el cuerpo se encuentra en condicin ideal, es decir, el campo gravitatorio e uniforme y el objeto motivo de estudio es homogneo; luego el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto. Los dos mtodos ms utilizados para el clculo del CENTROIDE de una figura geomtrica plana son el Mtodo de las reas y el Mtodo de integracin directa. Si una figura geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura coincide con este eje. CENTROIDEEl centroide es un punto que define el centro geomtrico de un objeto. Su localizacin puede determinarse a partir de frmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especficos. VOLUMENSi un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localizacin del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las frmulas que resultan son: X = "x dvY = "y dvZ = "z dv dv " dv " dv AREA. De manera semejante, el centroide para el rea superficial de un boleto, como una palanca o un casco puede encontrase subdividiendo el rea en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de rea en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = "x dAY = "y dAZ = "z dA " dvA " dA " dA LINEA. Si la geometra del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una lnea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente: X = "x dLY = "y dLZ = "z dL " dL " dL " dL NOTA: En todos los casos anteriores la localizacin del centroide no est necesariamente dentro del objeto. Tambin los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetra. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetra el centroide de la forma estar lo largo del eje. CLCULO DE LOS CENTROIDES En Matemticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las lneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes. Asimismo, la definicin puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto no dimensional. Si se establece fsicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geomtrico. Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, slo el rea de la figura geomtrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide tambin se denomina como centro geomtrico. El clculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del clculo del centroide es que el centroide de un objeto convexo yace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura. Existen muchos mtodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el mtodo de la plomada, el mtodo de descomposicin geomtrica y el mtodo de integracin. Entre todos, el mtodo de integracin es el mtodo ms fcil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura. Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea bsica consiste en dividir la figura en rectngulos pequeos y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediante calcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectngulo, el cual est dibujado dentro de la curva de arriba, es x y la altura correspondiente es y2 y1. Entonces el momento total y el rea de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 y1) dx y (y2 y1) dx, respectivamente. Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total rea total = Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la frmula puede ser modificada a

Una fuerte captacin de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma prctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestin. Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 ser encontrado.

. Aqu a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3 x (x3 - 0) dx (x3 - 0) dx = x4 dx x3 dx= [x5 / 5]02 [x4 / 4]02= 32 / 5 16 / 4= 1.6 Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la frmula, Aqu x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos = y (2 y1/3)dy (2 y1/3) dy= (2y y4/3 ) dy (2 y1/3) dy= [y2 (3y7/3 / 7)]08 [2y (3y4/3 / 4)]08 = 16 3/7(32) = 2.29 Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29) Una caracterstica muy interesante del centroide es que el centroide de un objeto bidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posicin de la media ponderada al centro del objeto dado. En resumen:Mtodo de clculo

En primer lugar se debe identificar la figura a la cual se le buscara el centroide. En segundo lugar es de ver si la figura consta de formas geomtricas definidas. Despus se le sacara el rea a cada forma geomtrica encontrada. (En este caso se ocuparan las frmulas de rea del cuadrado, rectngulo, triangulo, circulo, etc) Despus se debe ocupar las ecuaciones para encontrar el centroide en XC y en YC cuyas formulas son:

XC= (A1*X1)+(A2*X2)+/ A1+A2+.

YC= (A1*Y1)+(A2*Y2)+/ A1+A2+.

Bueno las X1, X2, Y1, Y2 van a depender de la forma geomtrica de cada rea encontrada, porque cada forma geomtrica tiene su frmula. CAPITULO 3: MATERIALES Y HERRAMIENTAS 6 recortes de figuras geomtricas compuestas de cartn cartulina. 1 alfiler. Un hilo de 30cm. Una masa mayor o igual a 5g. Un tablero de dibujo panel E2. Tornillos de pivote P1. Una plomada. Una regla. Papel milimetrado. Placas de acrlico (superficies geomtricas).CAPITULO 4: PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Con ayuda de un hilo atamos a uno de los extremos con un alfiler y en el otro una pequea pesa para luego incrustar dicho alfiler en algunas de las esquinas de las figuras dadas.2. Tomando el alfiler, dejamos en suspensin la figura y la pesa; procediendo a marcar con un lpiz el lugar por donde pasa el hilo sobre la figura en suspensin.3. Realizamos el paso anterior usando otra esquina de la pieza.4. Ahora que se tiene estas dos lneas, se habr formado un punto de interseccin el cual ser la ubicacin del centroide.5. Despus de haber realizado todo este procedimiento en las figuras, procedemos a hallar las ubicacin del centroide, para el cual se utilizarn los ejes: X (horizontal) e Y (vertical).APARTE1. Situar el tablero y fijarlo con tornillo de pivote en una de las perforaciones exteriores, de modo que la placa de acrlico no toque con el panel.2. Colocar una hoja de papel en el tablero.3. Colocar una cuerda en el tornillo de pivote delante de la placa acrlica.4. Colocar el gancho.5. Enganchar la plomada en el tornillo de pivote delante de la placa.6. Sostener el cordn frente a una hoja de papel milimetrado adherida al tablero, deje oscilar hasta que el pndulo llegue a su posicin de equilibrio.7. Trace una recta por la cuerda uniendo el punto de suspensin y la marca.8. Repita los pasos anteriores suspendiendo las placas de otro agujero.9. Marcar las posiciones de las tres cuerdas con punto de lpiz sobre el papel.10. La interseccin de las dos rectas trazadas corresponden al centroide del rea compuesta de dicha placa.11. Sobre el papel milimetrado establezca el sistema de coordenadas centroidales de rea compuesta.12. Repita el ensayo con las otras placas de acrlico.CAPITULO 5: COSTOS

Cartn: S/.10.00. Alfiler: S/.2.00. Hilo: S/.1.00. Masa de acero: S/.5.00.

CAPITULO 6: CONCLUSIONES

Centroide es lo mismo si hablramos de Centro de Gravedad o Centro de Masa; el cual se puede ver como su punto de equilibrio, y es donde se concentras la masa de todo el cuerpo. El centroide de una figura geomtrica es el centro de simetra de la misma. El centroide es utilizado en muchas ramas de la matemtica y la variacin de nmeros en los que se pueden utilizar en muchos casos. En geometra, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la interseccin de todos los hiper planos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiper plano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X. En la Fsica, el centroide puede, bajo ciertas circunstancias, coincidir con el centro de masas del cuerpo material y con el centro de gravedad del mismo. El centroide de un objeto o figura tambin puede definirse como un punto fijo del grupo de isometra de dicha figura.

CAPITULO 7: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADESACTIVIDADFECHARESPONSABLES

Avance del anteproyecto

Sbado 23 de mayoAlumnos

Elaboracin completa del anteproyectoSbado 6 de junioAlumnos

Presentacin del anteproyectoMartes 9 de junioAlumnos

Correccin del anteproyecto

Mircoles 10 de junioAlumnos

Presentacin del anteproyecto corregidoJueves 11 de junioAlumnos

Presentacin del proyectoMartes 30 de junio/Jueves 2 de julioAlumnos

CAPITULO 8: BIBLIOGRAFA

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