Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Gabriel Cuev… · TESIS DE MAESTRÍA...
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cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Análisis de la Transferencia de Calor Conjugada en un Sistema Solar Pasivo de Muro Trombe
Presentada por
Gabriel Cuevas Figueroa Ing. Mecánico por la Universidad Autónoma de Baja California
Como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor
Co-Directores de tesis:
M. C. Jesús Arce Landa Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García
Cuernavaca, Morelos, México 19 de Septiembre de 2008
cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Análisis de la Transferencia de Calor Conjugada en un Sistema Solar Pasivo de Muro Trombe
Presentada por
Gabriel Cuevas Figueroa Ing. Mecánico por la Universidad Autónoma de Baja California
Como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor
Co-Directores de tesis: M. C. Jesús Arce Landa
Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García
Jurado: Dr. José Jassón Flores Prieto – Presidente Dra. Yvonne Chávez Chena – Secretario
Dra. Sara Lilia Moya Acosta – Vocal Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 19 de septiembre de 2008
Dedicatorias
Dedicatorias
Dedico este trabajo a mi madre Aída por todo su apoyo y motivación incondicional
durante todo este tiempo, por ser una gran mujer y demostrarme la importancia del trabajo y
los logros que conlleva, Gracias Mamá.
A mi padre Raúl por el apoyo con su serenidad y tranquilidad, así como por enseñarme
la importancia y el valor de la vida, por el ánimo y la confianza brindada a lo largo de este
tiempo, Gracias Papá.
A toda mi familia por la gran motivación incondicional durante este tiempo, a mi abue,
a mis tíos y tías, a mis primos, primas y a mis hermanos.
A la memoria de mis amigos y familiares ejemplares que me han hecho un mejor ser
humano, Gracias Tío Cristóbal, Don Ramón y Chavita.
A todo el personal del cenidet por hacer de éste, un centro de investigación con gran
importancia a nivel nacional.
A mis amigos y compañeros de generación: José Manuel Tun, José Augusto, Miguel
Ángel, Guillermo, Luis Carlos, Vladimir, Jorge, David, Luis Alberto, Mario, Jaime, Iván,
Marcelo, Felipe y demás compañeros por compartir buenos momentos durante la maestría.
Y finalmente dedico este trabajo con especial cariño a ti Fany, por tantos momentos
felices, por apoyarme y ser mi mejor amiga, por creer en mí y por cambiar mi mundo con tu
amor, TVB MiLú.
quizás ustedes no lo saben, pero…
Agradecimientos
Agradecimientos
Al Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor, por la dirección y apoyo en este trabajo, así
como por su valioso tiempo y toda la ayuda brindada durante el desarrollo de la tesis.
Al M.C. Jesús Arce Landa por la codirección de esta investigación así como por los
importantes comentarios en su revisión.
A la Dra. Gabriela Álvarez García, por sus sugerencias y apreciables observaciones
en el borrador de la tesis.
Al comité revisor: Dra. Sara Lilia Moya Acosta, Dra. Yvonne Chávez Chena y
Dr. José Jassón Flores Prieto, por sus importantes comentarios y sugerencias
durante la revisión de la tesis.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet),
por darme la oportunidad de cumplir con una de mis metas.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT),
por el apoyo económico para la manutención durante el estudio de la maestría.
A la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST),
por el apoyo económico brindado para la terminación de la maestría.
A la Universidad Autónoma del Estado de Baja California (UABC),
por el apoyo proporcionado al inicio de la maestría.
Contenido
Contenido Lista de Figuras v
Lista de Tablas ix
Nomenclatura xi
Resumen xv
Abstract xvii
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 Ubicación del problema 1
1.2 Revisión bibliográfica 13
1.2.1 Muro Trombe 13
1.2.2 Transferencia de calor conjugada 21
1.3 Conclusión de la revisión bibliográfica 25
1.4 Objetivos generales y particulares 25
1.5 Alcance 25
CAPÍTULO 2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO
2.1 Modelo físico de la cavidad con muro Trombe 27
2.2 Modelo matemático convectivo de la cavidad con muro Trombe 29
2.2.1 Ecuaciones gobernantes 29
2.2.2 Consideraciones de las ecuaciones gobernantes 30
2.2.3 Condiciones de frontera del modelo convectivo 33
2.3 Modelo matemático de la transferencia de calor por conducción a través de una
pared semitransparente
34
2.3.1 Ecuación gobernante 34
2.3.2 Condiciones de frontera del modelo conductivo 35
2.4 Eficiencia térmica del sistema 36
2.5 Número de Nusselt 37
2.6 Conclusiones 37
i
Contenido
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
3.1 Métodos de solución de las ecuaciones de conservación 39
3.2 Método de volumen finito 39
3.3 Ecuación generalizada de convección-difusión 41
3.3.1 Ecuación de convección-difusión 41
3.3.2 Integración de la ecuación generalizada 42
3.3.3 Esquemas numéricos 47
3.4 Algoritmo SIMPLE y SIMPLEC 49
3.4.1 Representación del término de gradiente de presión 49
3.4.2 Representación de la ecuación de continuidad 50
3.4.3 La malla desplazada 51
3.4.4 Formulación del algoritmo SIMPLE 52
3.4.5 Formulación del algoritmo SIMPLEC 58
3.4.6 Evaluación de las propiedades físicas 61
3.4.7 Tratamiento del sólido interno 62
3.5 Método de solución para el modelo conductivo en la pared semitransparente 63
3.6 Implementación de las condiciones de frontera 64
3.6.1 Condición de Drichlet (1ª clase) 65
3.6.2 Condición de Neuman (2ª clase) 65
3.6.3 Condición de Neuman (3ª clase) 66
3.7 Métodos para la solución del sistema de ecuaciones gobernantes 67
3.8 Criterios de convergencia 68
3.9 Conclusiones 69
CAPÍTULO 4 VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO DESARROLLADO
4.1 Problemas de referencia 71
4.1.1 Problema en una cavidad con pared deslizante 72
4.1.2 Problema de convección natural en una cavidad cuadrada calentada
diferencialmente
75
4.1.3 Problema de convección natural en un termosifón con forma de C 80
4.1.4 Problema de convección natural en una cavidad cuadrada calentada
diferencialmente con un sólido interno
86
ii
Contenido
4.1.5 Transferencia de calor en una pared Semitransparente 90
4.2 Análisis de independencia de malla 93
4.3 Análisis del criterio de convergencia 94
4.4 Conclusiones 99
CAPÍTULO 5 RESULTADOS
5.1 Parámetros de estudio 101
5.1.1 Parámetros fijos en el sistema de muro Trombe 101
5.1.2 Configuración del canal 102
5.1.3 Espesor y tipo de material de muro 102
5.1.4 Efecto del número de Rayleigh 103
5.2 Patrón de flujo 103
5.3 Efecto del ancho del canal 108
5.3.1 Velocidades a lo ancho del canal 108
5.3.2 Temperatura a lo ancho del canal 110
5.3.3 Velocidades en las ventilas del canal 112
5.3.4 Temperatura en las ventilas del canal 114
5.3.5 ΔT en el canal para los números de Rayleigh 115
5.4 Efecto del espesor y tipo de muro 116
5.4.1 Eficiencia para el muro de adobe 116
5.4.2 Eficiencia para el muro de concreto 118
5.5 Correlación del número de Nusselt en la superficie del muro hacia el canal 123
5.6 Comparación de un sistema de muro Trombe con y sin una cavidad anexa
(habitación)
124
5.7 Conclusiones 127
CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES
6.1 Conclusiones 129
6.2 Recomendaciones 132
Bibliografía 133
iii
Lista de Figuras
Lista de Figuras
Figura Descripción Página
2.1 Modelo Físico del sistema de muro Trombe. 28
3.1 Volumen de control sobre una malla bidimensional. 43
3.2 Volumen de control sobre una malla unidimensional. 50
3.3 Campo de presión alternante. 50
3.4 Campo de velocidad en una dimensión. 51
3.5a Volumen de control para las variables escalares. 51
3.5b Volumen de control para la velocidad a) u y b) v. 51
3.6 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLE. 57
3.7 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLEC. 60
3.8 Distancias asociadas con la interfase e. 62
3.9 Diagrama de flujo para el cálculo de la conducción de calor a través de
la pared semitransparente.
64
4.1 Modelo Físico. 72
4.2 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=100. 73
4.3 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=400. 74
4.4 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=1000. 74
4.5 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente. 75
4.6 Componentes de la velocidad (u*, v*), líneas de corriente (Ψ*) e
isotermas (T*) para a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y
d) Ra = 106.
79
4.7 Modelo físico del termosifón en forma de C. 80
4.8 Isotermas para Ra = 103 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo. 82
4.9 Isotermas para Ra = 105 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo. 83
4.10 Isotermas para Ra = 106 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo. 83
4.11 Comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente
para todos los números de Ra con diferentes razones de aspecto:
a) A=2, b) A=4, c) A=6 y d) A=10.
85
4.12 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno. 86
v
Lista de Figuras
Figura Descripción Página
4.13 Gráficas de isotermas para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando
con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º.
87
4.14 Gráficas de líneas de corriente para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0,
comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento
de 15º.
87
4.15 Número de Nusselt local graficado para Ra = 105, ζ = 0.5 y
k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un
incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
88
4.16 Número de Nusselt local graficado para Ra = 106, ζ = 0.5 y
k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un
incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
88
4.17 Número de Nusselt promedio graficado para números de Ra =103 a
106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de
15º y con un incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
89
4.18 Modelo físico de la pared semitransparente. 90
4.19 Distribución de temperaturas a través de un vidrio de 6 mm para
diferentes To.
92
4.20 Efecto del refinamiento de la malla en el centro de la cavidad para a) v
y b) u.
93
4.21 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para a) v
y b) u.
98
4.22 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad
para T en a) y y b) x.
99
5.1 Tamaños de canal (s) estudiados a)1/30, b)1/15 y c)1/10. 102
5.2 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para: a)
Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de adobe con d = 1/10
y canal con s = 1/15.
105
vi
Lista de Figuras
Figura Descripción Página
5.3 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para: a)
Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de concreto con d =
1/10 y canal con s = 1/15.
107
5.4 Posiciones para estudio de velocidades y temperaturas en el canal. 108
5.5 Perfiles de velocidad v en la posición P1 del canal. 109
5.6 Perfiles de velocidad v en la posición P2 del canal. 109
5.7 Perfiles de velocidad v en la posición P3 del canal. 110
5.8 Perfiles de temperatura en la posición P1 del canal. 111
5.9 Perfiles de temperatura en la posición P2 del canal. 111
5.10 Perfiles de temperatura en la posición P3 del canal. 112
5.11 Perfiles de velocidad u en la entrada del canal. 113
5.12 Perfiles de velocidad u en la salida del canal. 113
5.13 Perfiles de temperatura en la entrada del canal. 114
5.14 Perfiles de temperatura en la salida del canal. 115
5.15 Diferencia de temperatura entre la entrada y la salida del canal en
función del ancho de canal (s).
116
5.16 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de adobe. 117
5.17 Eficiencia para el Ra = 106 con muro de adobe. 117
5.18 Eficiencia para el Ra = 107 con muro de adobe. 118
5.19 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de concreto. 119
5.20 Eficiencia para el Ra = 106 con muro de concreto. 119
5.21 Eficiencia para el Ra = 107 con muro de concreto. 120
5.22a Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 105 con adobe y
concreto.
120
5.22b Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 106 con adobe y
concreto.
121
5.22c Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 107 con adobe y
concreto.
121
5.23 Comparación de las eficiencias máximas del adobe y concreto para todos
los Ra.
122
vii
Lista de Figuras
Figura Descripción Página
5.24 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y
b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y d = 1/6.
125
5.25 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y
b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y
d = 1/10.
125
5.26 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y
b) Superficies isotérmicas para un Ra = 107 con s = 1/15 y
d = 1/30.
126
viii
Lista de Tablas
Lista de Tablas
Tabla Descripción Página
Recomendaciones de los sist ara diferentes climas.
3
los resultados obtenidos con los reportados en la
4.2 red 84
4.3 es termofísicas del vidrio. 91
ared semitransparente.
ergencia.
1
para los número de Ra
5.3 promedio en la habitación para los casos con eficiencias 122
5.4 arente hacia el canal. 127
1.1 emas pasivos p 4
2.1 Propiedades ópticas y termofísicas de un vidrio de 6mm. 5
3.1 Equivalencias de la formulación generalizada. 42
3.2 Función A(|Pe|). 49
4.1 Comparación de
literatura para: a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y d) Ra = 106.
Comparación del número de Nu promedio obtenido en la pa
77
caliente.
Propiedad
4.4 Flujos de calor para el sistema de la p 92
4.5 Diferencias porcentuales para diferentes tamaños de malla. 94
4.6a Resultados para un Ra = 105 con diferentes criterios de conv 95
4.6b Resultados para un Ra = 106 con diferentes criterios de convergencia. 96
4.6c Resultados para un Ra = 107 con diferentes criterios de convergencia. 97
5.1 Propiedades termofísicas de los materiales. 03
5.2 Dimensiones de la cavidad en centímetros
analizados.
Temperatura
103
máximas del adobe y concreto para todos los Ra.
Flujos de calor promedio en la pared semitransp
ix
Nomenclatura
Nomenclatura Símbolos Latinos
Símbolo Definición A Razón de aspecto A(|Pe|) Función de Peclet aP, aE, aW, aN ,aS Coeficientes de la ecuación discretizada b Razón de alto de ventilas Cp Calor específico del aire a presión constante, J/kg K Cpg Calor específico del vidrio a presión constante, J/kg K d Espesor del muro, m ρg Densidad del vidrio, kg/m3 Hx Ancho de la cavidad, m Hxg Ancho del vidrio, m Hy Altura de la cavidad, m Nu Número de Nusselt promedio P Presión del fluido, N/m2 Pe Número de Peclet Pr Número de Prandtl q Flujo de calor, W/m2 qconv-int Flujo de calor convectivo al interior de la cavidad, W/m2 qref Flujo de calor de referencia, W/m2
másicoR Residuo de la ecuación de continuidad Ra Numero de Rayleigh S Término fuente s Ancho del canal, m Sg Coeficiente de extinción del vidrio SP Término fuente dependiente de la variable SC Término fuente independiente de la variable t Tiempo, s T Temperatura, ºC ó K Tc Temperatura en la pared fría, ºC ó K Text Temperatura exterior, ºC ó K Tini Temperatura inicial, ºC ó K Tg Temperatura en la pared semitransparente, ºC ó K
Tgprom Temperatura promedio en el interior de la pared semitransparente, ºC ó K
xi
Nomenclatura
Símbolos Latinos
Símbolo Definición u Velocidad en dirección horizontal, m/s v Velocidad en dirección vertical, m/s x Coordenada en dirección horizontal, m y Coordenada en dirección vertical, m Símbolos Griegos
Símbolo Definición α Difusividad térmica, m2/s α Factor de relajación α*
g Absortividad de la pared semitransparente β Coeficiente de expansión térmica, K-1 δxe, δxw Distancia entre nodos computacionales en dirección horizontal, m δyn, δys Distancia entre nodos computacionales en dirección vertical, m Δt Incremento en el tiempo, s ΔT Diferencia de temperaturas, °C ó K Δx Espesor de un volumen de control en dirección horizontal, m Δy Espesor de un volumen de control en dirección vertical, m ε*
g Emisividad de la pared semitransparente Ф Función de disipación viscosa, N/m2 s φ Variable dependiente general (u, v, P, T) Γ Coeficiente de difusión λ Conductividad térmica del aire, W/m K λg Conductividad térmica de la pared semitransparente, W/m K λmuro Conductividad térmica del muro, W/m K λrazón Razón de conductividades térmicas del muro y aire υ Viscosidad cinemática, m2/s μ Viscosidad dinámica, kg/m s ρ Densidad del aire, kg/m3 ρ*
g Reflectividad de la pared semitransparente τ*g Transmisividad de la pared semitransparente τij Tensor de esfuerzos viscosos, N/m2 τxx Esfuerzos normales en dirección horizontal, N/m2 τyy Esfuerzos normales en dirección vertical, N/m2 τxy Esfuerzos tangenciales, N/m2
xii
Nomenclatura
Subíndices
Símbolo Definición e Este ext Exterior n Norte s Sur w Oeste g Vidrio C Fria Superíndices
Símbolo Definición * Indica adimensional Abreviaturas
Símbolo Definición 2D Dos dimensiones ADI Método Implícito de Dirección Alternante
(Alternating Direction Implicit) CDS Esquema de Diferencias Centradas
(Central Difference Scheme) CFD Dinámica de Fluidos Computacionales
(Computational Fluid Dynamics) MDF Método de diferencias finitas MEF Método de elemento finito MVF Método de volumen finito QUICKE Interpolación Cuadrática Extendida de Corriente Arriba para el Transporte
Convectivo (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics Extended)
SIMPLE Método Semi-Implícito para las Ecuaciones Acopladas a la Presión (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations)
SIMPLEC SIMPLE – Consistente (SIMPLE – Consistent)
SIMPLER SIMPLE – Revisado (SIMPLE – Revised)
TDMA Algoritmo de Matriz Tridiagonal (Tri-Diagonal Matrix Algorithm)
TRNSYS® Herramienta de Simulación para Sistemas Energéticos Transitorios (Transient Energy System Simulation Tool)
xiii
Resumen
Resumen El presente trabajo de investigación trata sobre la modelación de flujo laminar en una
cavidad bidimensional simulando un sistema solar pasivo de muro Trombe. Para ello se
describen los modelos físicos y matemáticos para el estudio del movimiento de fluido con la
transferencia de calor, el cual involucra la solución de las ecuaciones de conservación de
masa, momentum y energía en una cavidad con un sólido embebido. La transferencia de calor
se considera conjugada, abarcando los fenómenos de conducción-convección. Se analiza la
conducción a través del vidrio al igual que en el muro, la convección natural al interior de la
cavidad, así como las pérdidas convectivas y radiativas al exterior de la misma. El objetivo
principal de este trabajo es estudiar la transferencia de calor conjugada con flujo laminar en un
sistema solar pasivo compuesto por un muro Trombe aplicado en climas fríos, con la finalidad
de obtener una configuración óptima desde el punto de vista térmico.
Se estudiaron diferentes problemas para llegar a la solución del problema principal. En
cada uno de los problemas estudiados se describieron las geometrías y las condiciones de
frontera, así como también se mostró la verificación de cada uno de estos con la literatura,
encontrándose resultados satisfactorios. En el estudio paramétrico para proponer una
configuración óptima se consideraron tres tamaños de cavidad, tres configuraciones de ancho
de canal, cinco espesores de muro y dos tipos de material de muro Trombe. Entre los
resultados se presenta una discusión de los patrones de flujo para cada uno de los materiales
del muro Trombe, en los cuales se observó que a medida que se aumenta el tamaño de la
cavidad se intensifican los niveles de velocidad en el canal del sistema térmico.
Con base en los resultados de eficiencia del sistema se determinó utilizar un muro de
concreto, ya que presenta una mayor eficiencia térmica que un muro de adobe. En conclusión
general, basado en la temperatura promedio de la cavidad y eficiencia se obtuvo para ambos
materiales que el mejor comportamiento térmico fue para una configuración con un espesor de
muro d = 1/30 y un ancho de canal s = 1/10 (para las dos cavidades más pequeñas) y s = 1/15
xv
Resumen
(para la cavidades más grande). La configuración óptima corresponde a un muro de concreto
con espesor d = 1/30 y un ancho de canal s = 1/15. Finalmente, se determinaron las
correlaciones para la transferencia de calor convectiva en función de los parámetros
analizados.
xvi
Abstract
Abstract
This research work studies a natural convection model of a two dimension rectangular
cavity which simulates a Trombe wall passive solar system. The physical and mathematical
models for the combined study of the mechanics of the fluid and heat transfer are described.
The problem involves the solution of mass, momentum and energy conservation equations of a
cavity with an embedded solid. The following phenomenons are studied: conduction trough
the glass and the wall, natural convection inside the cavity, as well as heat convective and
radiative losses outside the cavity. The main goal in this research work is to study conjugate
heat transfer in laminar regime for a passive solar system constituted by a Trombe wall for
cold climates, in order to, from a thermal point of view, obtain the optimum configuration.
To achieve the solution of the main problem, different configurations were studied.
Geometry and boundary conditions for each study case were decided, and comparisons with
literature were carried out finding good agreements. A parametric study was carried out taking
into account three sizes for the cavity, three different widths for the channel, five different
thick and two types of materials for the Trombe wall, in order to find the optimal
configuration. A discussion of the flux patterns obtained for each study case is presented.
Results showed that, based on the system efficiency, the concrete wall proved to be the
optimal as far as the wall thickness refers, due to it has a better thermal efficiency than the
adobe wall. In conclusion, according to the average temperature inside the cavity, the best
thermal behavior for both, concrete and adobe, was obtained for a configuration where the
wall thickness was set as d = 1/30 and the channel width as s = 1/10 (for the two smaller
cavities) and s = 1/15 (for the biggest cavity). Based on this, the optimal configuration resulted
to be the d = 1/30 width concrete wall and a channel width of s = 1/15. The final part of the
work was to set correlations for the calculation of the convective heat transfer as a function on
these parameters.
xvii
Introducción Capítulo 1
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se muestra la importancia de este tema de investigación, la
revisión bibliográfica realizada, el objetivo del presente trabajo, así como su alcance. Primero
se muestra la ubicación del problema, la cual muestra a grandes rasgos, la importancia del
problema a resolver; posteriormente se presenta la revisión bibliográfica divida en dos partes,
primero los trabajos referentes a sistemas de muro Trombe y después a trabajos relacionados
con la transferencia de calor conjugada, los cuales servirán para facilitar la compresión del
problema; finalmente, se presenta el objetivo y el alcance del presente trabajo de
investigación.
1.1 Ubicación del Problema
La arquitectura sustentable consiste en diseñar edificios considerando la respuesta del
medio ambiente, el consumo de los recursos y la sensibilidad de la comunidad. El concepto
del desarrollo sustentable abarca los materiales para construir y dar mantenimiento a un
edificio, la energía y el agua necesaria para que funcione, así como la capacidad de proveer un
ambiente sano y productivo para los ocupantes del edificio. Con frecuencia, el desarrollo
sustentable ha sido denominado como diseño sensible al clima o edificios de alto rendimiento.
Con las estrategias de esta técnica de diseño, se puede lograr más de un 50% en la
reducción del consumo de energía en edificios de nueva generación. Los edificios que
requieren menos recursos para construirse y funcionar, tendrán menor impacto en el ambiente,
comparados con los edificios convencionales de la actualidad. Este impacto conduce a una
menor contaminación atmosférica, menor consumo y contaminación del agua, un mejor
confort humano, mayor creatividad, productividad y satisfacción para los ocupantes. El diseño
sustentable puede lograrse a través de un proceso consolidado de diseño para el edificio
completo.
La sustentabilidad es un concepto que trata básicamente de la interacción del medio
ambiente, la economía y la equidad social. Es un camino a través del cual se demuestra
1
Introducción Capítulo 1
nuestro legado hacia el futuro. Se trata de una aspiración a una mejor calidad de vida para
nuestros hijos y los hijos de nuestros hijos (LANL, 2002).
Los edificios de alto rendimiento están diseñados y construidos para minimizar el
consumo de recursos, reducir los costos del ciclo de vida y maximizar la salud y el desempeño
ambiental a través de una amplia gama de herramientas. Los edificios de alto rendimiento
pueden:
- Lograr un ahorro de energía superior al 50% comparados con los edificios
convencionales.
- Reducir el consumo de agua, costos de mantenimiento y reparación y sobre todo las
multas por contaminación ambiental.
Los edificios convencionales consumen un gran porcentaje de la energía eléctrica
producida. Sin importar cuál sea la fuente, el uso de esta energía tiene una consecuencia, la
contaminación, la cual puede ocasionarse por la extracción de combustibles fósiles,
contaminantes liberados a la atmósfera por la combustión de estos combustibles o por la
producción y desecho de materiales nucleares.
El ahorro de energía minimiza una amplia variedad de impactos ambientales y posibles
riesgos a la salud. Los edificios sustentables tienen beneficios que van más allá de la reducción
de nuestra dependencia de los combustibles fósiles. Los ocupantes de los edificios sustentables
son más productivos, más creativos y en general, más sanos.
El proceso del diseño completo del edificio es una estrategia multidisciplinaria que
integra efectivamente todos los aspectos del desarrollo del lugar, diseño del edificio,
construcción y operación, así como tratar de reducir al mínimo el consumo de recursos y los
impactos ambientales.
Una casa con sistemas pasivos diseñada correctamente, no debe considerarse como una
extensión del diseño convencional agregando “muros y ventanas”. Por el contrario, el deseo de
crear una casa que sea atractiva mientras ahorra energía pasivamente, requerirá una
2
Introducción Capítulo 1
consideración sería de algunos principios básicos del diseño solar pasivo y la planificación del
uso de energía (Crosbie, 1997).
Las diferentes estrategias para diseñar y construir una casa pasiva pueden ser
agrupadas en cuatro tipos de sistemas básicos: ganancia directa, muro de almacenamiento
térmico, sistemas de ganancia indirecta y lazo convectivo. Cada uno de estos tipos puede
visualizarse como un ensamble de componentes, donde cada uno desempeña una función
única y todos son requeridos para una operación efectiva del sistema completo.
• Ganancia directa: En este sistema, la habitación es el colector solar, absorbedor de
calor y sistema distribuidor. La pared semitransparente orientada hacia el sur deja
pasar la energía solar a la habitación donde incide directa e indirectamente sobre las
superficies tales como piso y paredes.
• Muro de almacenamiento térmico: Para este sistema, la masa absorbedora se localiza
entre la incidencia solar y la habitación. La masa absorbe la energía solar que incide en
ella y la transmite a la habitación por conducción y convección.
• Sistemas de ganancia indirecta: Este sistema tiene una geometría especial con un techo
y paredes inclinados semitransparentes.
• Lazo convectivo: Este sistema tiene sus componentes separados de la habitación. La
característica de este sistema es que aísla la habitación del sistema de ganancia pasiva.
Existen, de hecho, cuatro temas relacionados con el diseño que influyen en el diseño y
en la construcción de una casa con sistemas pasivos: seleccionar el sistema adecuado,
especificar los componentes, estimar el ahorro de energía y realizar un estudio económico.
• Seleccionar el sistema
Actualmente, mucha de la experiencia de los constructores e investigadores, indica que
cada uno de los sistemas mencionados anteriormente se desempeña mejor y tiende a
3
Introducción Capítulo 1
beneficiar en la economía, si se instala en una región climática en particular. Para definir
estos cuatro tipos de sistemas pasivos, se consideran cuatro tipos de regiones climáticas:
leve, moderada, moderada a severa y severa. Una o más de estas regiones climáticas se
identifican como más apropiadas para cada sistema. Las recomendaciones se pueden
resumir en la Tabla 1.1 (Crosbie, 1997).
Tabla 1.1 Recomendaciones de los sistemas pasivos para diferentes climas.
Sistema Clima apropiado
Ganancia directa Leve a moderado
Muro de almacenamiento térmico Leve a severo
Suspace adjunto Moderado a severo
Lazo convectivo Moderado a severo
Estas recomendaciones sólo son una guía general para seleccionar el sistema, y no deben
reemplazar análisis económicos y energéticos, debido a la experiencia o preferencia
particular. Sin embargo, estas recomendaciones indican, hasta cierto punto, el clima en el
cual, las características de operación del sistema son mejor empleadas.
• Especificar los componentes
Una vez que se selecciona el sistema, es indispensable especificar los elementos que
componen el sistema, es necesaria una selección exacta de los materiales y sus
dimensiones. En la mayoría de los casos, el procedimiento para especificar el material y
su tamaño es simple y sencillo. Para el caso del muro de almacenamiento térmico, se
requiere especificar el componente de almacenamiento, seleccionar el material y el
tamaño.
• Estimar el ahorro de energía
En muchas etapas del proceso de diseño, es útil tener acceso a métodos para el análisis del
diseño y uso de energía, para el propósito de obtener el tamaño de los componentes del
sistema pasivo y estimar el uso de consumo de energía de la casa. Dependiendo de la
complejidad del diseño y de la precisión requerida de los resultados, existen una gran
4
Introducción Capítulo 1
cantidad de métodos para el diseño y el análisis del uso de energía. Estos métodos pueden
ser agrupados en dos categorías reflejando las herramientas utilizadas, el grado de
dificultad, la flexibilidad para evaluar un intervalo de diseño y tipos de materiales, así
como, la presición de los resultados de cada método. Las dos categorías son
procedimientos con manuales y programas computacionales (Crosbie, 1997).
o Procedimientos con manuales
Incluyen métodos mediante los cuales puede ser calculado el uso de energía
utilizando papel y lápiz, y generalmente, gráficas, tablas. Los manuales utilizados
son por lo general códigos simplificados de programas computacionales.
En el proceso de simplificación se pierde un poco de flexibilidad para estimar
características diferentes del edificio, a diferencia de las que permite el programa
computacional. Desafortunadamente, al utilizar estos métodos con manuales, no se
tiene la flexibilidad de variar la dimensión y el tipo de material, y por lo tanto, se
debe esperar que el uso de energía propuesto tendrá un pequeño error si se utilizan
unas dimensiones diferentes a las propuestas en el manual. El programa
computacional a partir del cual se obtuvo el manual, puede permitir al usuario
variar la geometría y material de los componentes, a diferencia del método con
manuales, que solo puede ser utilizado si las características de los componentes
analizados son similares a las consideradas en el manual.
Esta pérdida de flexibilidad puede también prohibir la evaluación de diseños
innovadores. Por lo tanto, los métodos con manuales son aplicables sólo para un
número limitado de casos de diseño, permitiendo sólo valores estimados para
algunos casos geométricos. La mayoría de los métodos son fáciles para
familiarizarse, y un análisis puede tomar desde unos cuantos minutos hasta unas
cuantas horas, dependiendo del método.
o Programas computacionales
Por mucho, los métodos de análisis más flexibles, completos y detallados son los
métodos de programas computacionales. Estos programas calculan, en poco
tiempo, un perfil muy preciso de los patrones de uso de energía para la casa a
5
Introducción Capítulo 1
diseñar. Un análisis similar desarrollado con manualmente, llevaría meses de
cálculo. Este alto grado de presicion en el cálculo de energía puede, y de hecho
está, fuera de la proporción con el diseño que se evalúa.
• Realizar un estudio económico
La venta de casas ha sido tradicionalmente una función de una serie de factores, uno de los
más importantes es el precio, específicamente, el costo inicial. Anteriormente, rara vez se
consideraban para la compra de una casa, otros costos asociados con la propiedad,
específicamente, los gastos de servicios. En consecuencia, la mayoría de las decisiones
económicas relacionadas con el diseño, selección de materiales y la planificación, tendían
a estar basados en el enganche. Por mucho, el costo mayor de una casa son las
mensualidades y debido a los bajos costos de la energía, la eficiencia en el consumo
energético era un factor poco considerado en el diseño de una casa.
En la actualidad, auque sigue siendo importante, la función del costo inicial para la toma
de decisiones, está siendo sustituida por un indicador económico capaz de reflejar el
impacto de los costos de la energía. Este indicador combina tanto el costo inicial así como
el costo del consumo de energía en un único valor, denominado, costo mensual total. Este
costo mensual total, incluye tanto los pagos de la casa (abono e intereses) y los costos de
energía.
Como ejemplo se pueden tomar dos casas, una casa sin diseño sustentable con un precio
normal, el cual se paga una parte de enganche y otra mensualmente aunado al consumo de
energía. Y otra casa equivalente, excepto que el diseño es modificado para incorporar
características de sistemas solares pasivos y conservación de energía. Evidentemente, el
costo de esta casa será mayor, pero el costo total mensual será menor que el de la casa
convencional, debido al ahorro en el consumo de energía.
Dentro de estas herramientas, los sistemas solares pasivos proporcionan métodos
sustentables para calefacción, enfriamiento, ventilación y suministro de energía para los
edificios. Basado en un minucioso análisis de las cargas térmicas y las necesidades de energía
6
Introducción Capítulo 1
a través de las estaciones del año, estos sistemas se pueden utilizar para sustituir o al menos
reducir el consumo de energía.
Los sistemas solares pasivos dependen del diseño inteligente, de la organización de los
espacios en una casa y de la selección adecuada de los materiales de construcción para obtener
beneficios tanto de calentamiento como de enfriamiento mediante la energía disponible en el
medio ambiente. Estos sistemas dependen de dos propiedades básicas de los materiales: (1) la
habilidad de almacenar grandes cantidades de calor y de transmitirlo lentamente a la
habitación; y (2) la habilidad del vidrio y otros materiales semitransparentes para transmitir la
radiación solar (luz), permaneciendo opacos a la radiación térmica (calor). Cuando un sistema
pasivo deja pasar luz a través de su superficie orientada hacia el sur, esta luz incide en objetos
y superficies dentro de la habitación y es transformada en calor. La ventana previene que una
gran parte de este calor regrese al medio exterior, dado que el vidrio es opaco al calor radiante.
Este fenómeno, conocido como efecto invernadero, será familiar para aquel que ha abierto la
puerta de un carro que ha estado expuesto al sol con las ventanas cerradas en un día de verano.
La razón por la cual el vidrio es utilizado en la arquitectura para aprovechar la energía
solar es la siguiente: si la radiación con longitud de onda corta incide sobre un vidrio, ésta
puede atravesarlo, por lo tanto, el vidrio transmite parte de esta radiación solar, que
posteriormente incidirá sobre una superficie como el suelo, una pared o será absorbida.
Durante este proceso, la radiación es transformada en radiación con longitud de onda larga,
esta radiación de calor es transmitida a la habitación. A diferencia de la radiación con longitud
de onda corta, la radiación con longitud de onda larga no puede atravesar el vidrio,
ocasionando que la habitación se caliente. Muchas herramientas para calentar y ventilar
naturalmente pueden ser obtenidas mediante esta propiedad de transmisión de calor en un solo
sentido que es inherente del vidrio (Knaack, 2007).
Actualmente, la mayoría de la investigación y desarrollo en el área de sistemas solares
pasivos se ha relacionado con proveer calor, más que con enfriar el ambiente. Esto no significa
que un sistema no puede ser adaptado para enfriamiento. Los elementos de almacenamiento
pueden ser utilizados para conservarse a “bajas temperaturas”, y de esta manera absorber el
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Introducción Capítulo 1
calor de la habitación (es decir, enfriarlo) durante días de verano. Por lo general, este
enfriamiento está acompañado con estrategias de ventilación natural.
Algunos sistemas pasivos básicos están compuestos de 5 elementos indispensables:
• Colector: El colector solar está compuesto por un vidrio semitransparente o
translúcido, sellado en un marco y localizado en la pared sur de la casa. La superficie
del vidrio colector puede ser posicionada verticalmente, como una ventana o inclinada,
con una pendiente.
• Absorbedor: El absorbedor es una superficie sólida, por lo general de color oscuro, que
está expuesta a la luz solar que entra a través del vidrio colector. El absorbedor
convierte la radiación solar en calor, el cual es entregado directamente al espacio
interior para su uso inmediato o para transmitirlo a un componente de almacenamiento.
• Almacén: El componente de almacenamiento está constituido por un material o
materiales que tienen la capacidad de almacenar el calor por un período de horas o tal
vez días. La masa del material es una medida importante de su capacidad para
almacenar calor. La baja razón de transferencia de calor del material de
almacenamiento, ayuda a mantener una temperatura confortable y estable en la
habitación calentada. En algunos casos, los materiales de almacenamiento pueden ser
utilizados para almacenar el frío para absorber el calor de la habitación y enfriarla. El
material de almacenamiento está diseñado conforme a la cantidad de calor solar que el
colector está diseñado para proveer y por lo general se localiza en el cuarto a calentar o
enfriar, o adyacente a él. El absorbedor y almacén por lo general son el mismo.
• Distribuidor: El componente distribuidor entrega la energía recibida y/o almacenada
hacia la habitación. La distribución puede ser por medios naturales, como la irradiación
de calor del muro o el movimiento de aire por convección natural, o también puede ser
mejorada mediante bombas pequeñas o ventiladores que transportan el calor del
absorbedor hacia la habitación.
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Introducción Capítulo 1
• Sistema de Control: El sistema de control regula la pérdida o ganancia del calor hacia o
fuera de los sistemas pasivos. Existen básicamente 3 tipos de sistemas de control: (1)
dispositivo para sombreado, el cual reduce la cantidad de radiación permitida para
pasar a través del vidrio colector; (2) reflectores, los cuales aumentan la cantidad de
radiación solar que pasa a través del vidrio colector; (3) aislamiento movible, el cuál
reduce el flujo de calor a través del colector y dentro de la habitación.
En general, todos estos componentes interactúan de la siguiente manera:
• El colector recibe y envía la radiación solar hacia el absorbedor.
• El absorbedor “convierte” la radiación en calor.
• El medio de almacenamiento retiene el calor que no es utilizado inmediatamente.
• El componente de distribución transfiere el calor entre el absorbedor y/o el almacén
hacia la habitación, y finalmente,
• El componente de control reduce la pérdida de calor y aumenta la ganancia de
radiación solar en la temporada de calentamiento y/o cubre al colector durante la
temporada de enfriamiento, reduciendo la ganancia de calor.
En lugares con ocupación periódica, el calentamiento solar pasivo puede ser suficiente
para cumplir con las necesidades de calefacción al interior. Con los sistemas de ganancia solar
directa, el deslumbramiento puede ser problemático. La configuración precisa y la selección
de los materiales apropiados varían para cada uno de los componentes, dependiendo del tipo
de sistema.
El almacenamiento de calor es una herramienta muy útil de los sistemas solares
pasivos, ya que la masa térmica en interiores tiene la capacidad de reducir las oscilaciones de
la temperatura al interior del edificio, a pesar de la variación de la carga térmica interna y la
fluctuación de la temperatura al exterior. Además, puede utilizarse como un componente de
almacenamiento de calor en un sistema pasivo, ya sea de calefacción o enfriamiento. Para la
calefacción, la masa absorberá la radiación solar así como las ganancias de calor internas en
un día soleado, que más tarde re-radiará ese calor almacenado cuando sea necesario. Como
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Introducción Capítulo 1
estrategia de enfriamiento en verano, la masa puede ser enfriada con aire durante la noche,
quedando disponible para absorber el calor durante el día.
Existen dos aplicaciones para la masa absorbedora de calor, un tipo es la calentada
solarmente, la cual está en contacto directo con la luz del Sol, como los pisos y paredes de
almacenamiento térmico. El otro tipo consiste en una masa distribuida en todo el edificio, la
cuál va en contra de la construcción ligera. Para absorber y desechar calor en un ciclo diario,
la masa debe estar expuesta al espacio interior, sin ningún recubrimiento. Las paredes aisladas
al exterior aíslan la masa del medio ambiente y ayudan a mejorar el rendimiento térmico de la
pared.
Dentro de los sistemas de masa térmica calentados solarmente, se encuentra el muro
Trombe o pared de almacenamiento térmico, que consiste de un muro masivo con un espacio
de aire y una superficie de cristal al exterior. El muro recibe calor del sol a través del vidrio y
un recubrimiento negro o alguno seleccionado aumenta la absorción de calor. Este calor se
mueve lentamente a través del muro para calentar el interior de la habitación. El muro Trombe
absorbe el calor durante el día y lo libera a la habitación durante la noche. El muro Trombe es
una herramienta apropiada para suministrar calor en edificios con bajos niveles de control
térmico.
El sistema de muro de almacenamiento térmico es aquel en el que el componente de
almacenamiento es posicionado entre el colector y la habitación. El muro de almacenamiento
generalmente provee soporte a la estructura, además de servir como componente de
almacenamiento en el sistema. Ocasionalmente, estos son utilizados para enfriamiento, el
muro de almacenamiento térmico son básicamente utilizados para satisfacer los
requerimientos para el calentamiento de la habitación. En general, deben ser considerados para
zonas que experimentan de moderados a severos inviernos (Crosbie, 1997).
Los muros de almacenamiento térmico están diseñados principalmente para el
calentamiento de la habitación pero pueden ser utilizados en ciertas condiciones climáticas
para proveer enfriamiento. Para el calentamiento, son eficientes en zonas con inviernos de
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Introducción Capítulo 1
moderados a severos. Para enfriamiento, son mejor adaptados en áreas con altas oscilaciones
de temperatura durante el día.
El colector en un sistema de muro de almacenamiento térmico, es por lo general una
pared semitransparente de vidrio o plástico orientada hacia el sur, localizada directamente
frente al muro que sirve como componente de almacenamiento. Se pueden instalar
componentes aislantes junto al colector en el espacio de aire entre el colector y la pared de
almacenamiento, así mismo se pueden instalar dispositivos de cortina en el exterior.
En un sistema de muro para almacenamiento térmico, la colección, absorción,
almacenamiento y control de la energía solar ocurren fuera de la habitación. El calor es
conducido a la habitación mediante el muro de almacenamiento, el cual por lo general forma
un lado de la habitación. Esta pared puede o no tener ventilas, las cuales pueden colocarse en
la parte inferior y superior. También se pueden integrar ventanas en el muro, las cuales
proveen luz, una mejor vista y un poco de calor mediante ganancia directa. Cabe mencionar
que estas ventanas reducen el área efectiva del muro de almacenamiento.
En la temporada de calentamiento, la radiación solar entra mediante el colector solar y
es absorbida y almacenada en el muro. El muro se calienta, transmitiendo una parte de su calor
a la habitación y otra parte a la columna de aire entre el colector y el muro. Esta columna de
aire puede ser dirigida directamente a la habitación, en este caso, el sistema es denominado
como muro Trombe, o el aire puede permanecer estancado en la parte superior, en este caso es
un muro con estancamiento. En ambos casos, el calor del muro será irradiado hacia la
habitación durante el día y las horas de la tarde. Si es diseñado correctamente, el muro puede
proveer la cantidad de calor adecuada a la habitación durante la noche. Parte del calor
generado en el espacio de aire entre el colector y el muro de almacenamiento es perdido
mediante el vidrio hacia el exterior. Mientras más caliente esté este aire, mayores son las
pérdidas de calor. Estas pérdidas potenciales pueden reducirse al instalar ventilas en la pared
de almacenamiento.
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Introducción Capítulo 1
Debido a que el aire caliente tiende a subir y el aire frío a bajar, se puede instalar un
sistema natural pasivo para proveer aire caliente a la habitación mediante un sistema con
ventilas. Las ventilas colocadas en la parte superior del muro permiten que el aire, el cual ha
sido calentado en el canal, a fluir de manera natural hacia la habitación adyacente. Las ventilas
en la parte inferior permiten el flujo de aire frío hacia el canal de aire desde la habitación,
creando de esta manera, un lazo para la circulación del aire calentado (termocirculación).
No se requieren dispositivos mecánicos para mover el aire, sin embargo, instalar un
ventilador pequeño puede aumentar la eficiencia del sistema. Se debe tener cuidado para
asegurar que el patrón de circulación no se invierte durante la noche.
En un sistema ventilado, el aire calentado alcanza temperaturas de 32ºC (Crosbie,
1997). La pérdida de este calor reduce consecuentemente la cantidad de calor disponible
almacenado por el muro. Debe considerarse un muro ventilado cuando existen climas fríos, y
se requieren grandes cantidades de calor durante el día y la noche, de esta manera es posible
proveer una determinada cantidad de calor directamente a la habitación.
El muro Trombe se ha usado tradicionalmente para calentamiento de espacio
habitacionales, permitiendo al aire del cuarto entrar por la parte inferior del muro,
calentándose en el colector y regresando a la habitación en la parte superior.
Para calcular el flujo de aire en el colector se requiere la temperatura en el muro y el
vidrio o los flujos de calor correspondientes, que pueden ser conocidos con base a la ganancia
de energía solar, emisividad del vidrio, propiedades del muro, entre otras. Las ventajas del
muro Trombe se presentan a continuación.
El deslumbramiento y la degradación de los materiales por los rayos ultravioleta no
son problema, comparado con los sistemas de ganancia directa.
El tiempo que transcurre entre la absorción de energía solar de la superficie exterior en
la pared y la entrega de calor al interior de la habitación, es suficiente para entregar
este calor cuando es más necesario, es decir, en la noche.
12
Introducción Capítulo 1
La masa de almacenamiento térmico necesaria para lograr un nivel deseado de
desempeño térmico se puede proporcionar en un área relativamente pequeña,
concentrada en la habitación.
La temperatura promedio de la irradiación del muro Trombe puede mejorar la
comodidad de la habitación adyacente.
Es por esto que el presente estudio se enfoca en el análisis numérico del
comportamiento de un sistema de muro Trombe, así como de la geometría y material de sus
componentes en los fenómenos de transferencia de calor conjugada al interior de una
habitación. De esta manera se pretende ampliar el conocimiento del comportamiento de los
sistemas pasivos y determinar los parámetros que influyen en la transferencia de calor. A
continuación se presenta la revisión bibliográfica de estudios realizados en sistemas de muro
Trombe así como de sistemas con transferencia de calor conjugada.
1.2 Revisión Bibliográfica
El estudio bibliográfico se realizó dividiendo los trabajos revisados en dos áreas
principales. La primera sección es sobre los estudios en cavidades con Muro Trombe, mientras
que en la segunda se revisan los estudios de Transferencia de Calor Conjugada.
1.2.1 Muro Trombe
En 1979, Akbari y Borgers estudiaron la transferencia de calor por convección natural
en régimen laminar entre las superficies del canal del muro trombe, considerando los perfiles
de velocidad normales y paralelos a la dirección del flujo del fluido, la caída de presión debido
a la aceleración en la entrada del canal y el efecto del perfil uniforme de temperaturas en las
superficies del canal para un amplio intervalo de flujos y temperaturas. Los autores utilizaron
el método de diferencias finitas para resolver las ecuaciones gobernantes en una forma
adimensional, como resultados presentan perfiles de velocidad y temperatura, así como el
número de Nusselt para diferentes valores de flujo volumétrico. Los autores compararon los
datos obtenidos y desarrollaron correlaciones para estimar las características del desempeño
13
Introducción Capítulo 1
dado el ancho del canal, altura y la temperatura de las superficies. Finalmente, concluyen que
esta herramienta predice el comportamiento del sistema con un 6% de error.
Posteriormente, en 1984, Borgers y Akbari analizaron el flujo convectivo entre placas
paralelas en régimen turbulento para representar el canal de un muro Trombe. Las
características del flujo turbulento son calculadas mediante el modelo de longitud de mezcla
de Prandtl, el cual incorpora parámetros empíricos encontrados en la literatura. Los autores
consideraron el aire como fluido, para un amplio intervalo de geometrías del canal,
temperaturas relativas de superficie y razones de flujo. Se realizaron simulaciones mediante la
técnica de diferencias finitas y obtuvieron correlaciones para estimar variables importantes
dada la geometría del canal, temperatura de las superficies y la temperatura en la entrada del
flujo de aire. Se analizó un intervalo del número de Grashof de 105 a 109. Los autores
utilizaron la técnica de mínimos cuadrados para desarrollar correlaciones, las cuales proveen
una estimación de variables importantes. Las correlaciones generadas consideran parámetros
como la caída de presión, el número de Nusselt total, así como el flujo de calor a lo largo del
eje de flujo; estas expresiones son algebraicamente diferentes que las obtenidas para flujo
laminar, debido a la presencia del flujo turbulento. Los autores concluyen que este modelo
predice mejor el comportamiento para flujos másicos elevados que el que considera flujo
laminar.
Uno de primeros estudios numéricos de sistemas de calentamiento pasivo que
considera un muro trombe y una habitación es el reportado por Ormiston et al., (1986), éste
considera flujo laminar en dos dimensiones en una cavidad con un sólido interno. Las dos
paredes horizontales y la pared vertical derecha de la cavidad se encuentran aisladas, mientras
que la pared izquierda es una pared semitransparente por donde la irradiancia solar pasa hasta
llegar a la pared absorbedora de longitud H y espesor W. El fluido dentro de la habitación es
aire, el cual recibe energía desde la pared absorbedora en el interior del canal provocando un
incremento en su temperatura, de tal manera que se genera un movimiento ascendente desde el
canal (formado por la pared exterior y el muro trombe) y hacia el interior de la habitación. Las
ecuaciones que gobiernan el sistema fueron escritas en coordenadas ortogonales generalizadas
y para la solución se usó el método de volumen finito. El código numérico implementado fue
14
Introducción Capítulo 1
previamente validado con resultados reportados en la literatura. Entre los resultados, se
reportan las líneas de corriente, las isotermas y los números de Nusselt como función del
número de Ra. Los autores concluyen que para la geometría dada, el flujo y la transferencia de
calor se caracterizan por dos números de Rayleigh, uno interno Rai que gobierna la convección
natural en el canal y un externo RaE que gobierna la convección natural entre la habitación y el
canal.
Ben Yedder y Bilgen (1991) estudiaron numéricamente el desempeño de un sistema de
muro Trombe, considerando flujo laminar en dos dimensiones en una cavidad. En el vidrio se
consideró isotérmico y el muro absorbe en totalidad el flujo de calor solar, el cual es
transferido al aire en el canal con un flujo constante mediante convección natural, así como a
la cavidad adyacente mediante convección y conducción. Los autores consideraron tamaños
prácticos para las ventilas y examinaron el efecto de parámetros geométricos, tales como, el
tamaño de las ventilas, la distancia entre el muro y la pared fría, así como el efecto de la
conductividad a través del muro, con gradientes de temperatura entre la pared fría y el vidrio
desde -10 ºC hasta 10 ºC. Se estudió el desempeño térmico del sistema de muro Trombe
incluyendo el colector solar y el cuarto adyacente considerando parámetros geométricos y
condiciones de frontera siguiendo estudios experimentales y aplicaciones prácticas. Se usó el
método de volumen finito en conjunto con el algoritmo SIMPLER para resolver las
ecuaciones gobernantes. Los autores presentan la distribución de temperaturas y los campos de
velocidades, así como el número de Nu y la eficiencia del sistema en función del número de
Ra. Los resultados indican que el ΔT y el número de Ra, son parámetros importantes que
afectan la transferencia de calor.
Smolec y Thomas (1993) realizaron un estudio teórico y experimental de la
transferencia de calor en un sistema de muro Trombe. Analizaron la transferencia de calor
mediante balances globales a lo largo de cuatro zonas del muro Trombe, obteniendo una
relación para el número de Nu, validando los resultados con un modelo real. Dentro de los
resultados, los autores presentaron la comparación numérica y experimental para el cambio de
la temperatura en función del tiempo a lo largo del muro satisfactoriamente y pequeñas
diferencias en la zona del canal. Los autores revelaron que la transferencia de calor en el canal,
15
Introducción Capítulo 1
depende de las ventilas interiores, en lugar de las investigaciones de la transferencia de calor
por convección a lo largo de placas verticales, así mismo concluyeron que la dependencia de
la transferencia de calor por convección a lo largo del canal, considerando la distancia entre el
muro y el vidrio, es diferente a la transferencia de calor por convección a lo largo de dos
placas verticales.
Uygur y Egrican (1996) estudiaron numéricamente el problema por convección natural
en régimen turbulento para zonas calentadas pasivamente. Los autores consideraron una
cavidad con un sólido embebido simulando un sistema pasivo de muro Trombe. Para resolver
este problema, los autores desarrollaron un modelo de turbulencia, en el cual trataron de
representar el efecto dominante de las fuerzas de cuerpo, así como la baja turbulencia debido a
las fuerzas de cuerpo y los efectos viscosos. Para el análisis se usó una razón de aspecto de
uno y un número de Ra = 1010, también se consideraron las aproximaciones estándar de
viscosidad/difusividad turbulenta. La técnica de volumen finito fue usada para la
discretización de las ecuaciones gobernantes y el algoritmo SIMPLE fue utilizado para acoplar
las ecuaciones. Los autores presentan isotermas y líneas de corriente. Se concluyó que la
aproximación de Darly Harlow representa mejor los flujos secundarios en la esquina inferior
fría, comparados con la aproximación estándar, mejorando la convergencia computacional y
disminuyendo el tiempo de cómputo.
Mohamad y Sezai estudiaron en 1997 la convección natural en un termosifón con
forma de C, el sistema puede ser considerado como un modelo de muro Trombe, tomaron en
cuenta números de Ra de 103 a 107 y razones de aspecto de 2, 4, 6 y 10, con un número de Pr
fijo de 0.7. Los autores resolvieron este problema mediante el método de volumen finito y
utilizaron el algoritmo SIMPLER para acoplar las ecuaciones. Presentaron números de Nu
locales y promedio para las paredes fría y caliente, también muestran el patrón de flujo y las
isotermas en el espacio de aire entre la pared y el muro. Se concluyó que la razón de
transferencia de calor del muro caliente a la pared fría disminuye significativamente al
aumentar el Ra y que el flujo másico en el termosifón aumenta al incrementar el número de Ra
o la razón de aspecto.
16
Introducción Capítulo 1
Buzzoni et al, en 1998 realizaron un análisis energético de sistemas solares pasivos. Se
estudió numéricamente el problema de convección natural relacionado con el uso de un
sistema solar pasivo con el propósito de calentar una habitación. El sistema consistió de una
modificación del sistema de muro Trombe. Los autores consideraron diferencias como el
aislamiento en la pared sur, ductos solares separados por una placa delgada de metal y un
colchón de aire para almacenar calor sobre el techo de la habitación. El problema fue resuelto
mediante el método de diferencias finitas, en el cual se determinó el perfil de temperaturas en
los componentes del sistema y el patrón de flujo en el ducto solar. Se presentan los flujos de
calor, la velocidad promedio del aire y la temperatura promedio en la parte superior del ducto
para cada hora. Los resultados numéricos fueron comparados con datos experimentales
reportados en la literatura, siendo éstos satisfactorios. Se concluyó que este sistema permite
obtener una ganancia de calor remarcable, pero su popularidad es escasa, debido a que
requiere una arquitectura más compleja y una investigación más cara, pero representa una
herramienta pasiva confiable para reducir el consumo de energía en el calentamiento de
habitaciones.
La técnica de la dinámica de fluidos computacionales (CFD-Computational Fluid
Dynamics) para simular el flujo de aire y la transferencia de calor en diferentes sistemas ha
sido muy utilizada durante las últimas décadas gracias al avance sorprendente de las
computadoras. Gan (1998) reportó un estudio numérico de un muro trombe para ventilación de
edificios con recuperación de calor. Se aplicó la técnica de recuperación de calor en edificios
ventilados en forma natural. El programa de CFD fue validado con resultados experimentales
reportados en la literatura bajo condiciones similares. Todas las paredes del canal son opacas y
se calentaron desde 30ºC a 60ºC mediante calentadores eléctricos. Se reporta para todos los
casos una diferencia promedio entre las predicciones teóricas y los valores experimentales de
3.5% y una diferencia máxima de 5.6%. Se observa que la razón de flujo se incrementa
cuando aumenta la temperatura de la pared.
Bohórquez en el 2001 presentó un resumen del muro Trombe, enfatizando en los
aspectos de funcionamiento, así como en los factores importantes en el diseño y construcción,
tomando en cuenta los factores externos tales como el clima, la latitud y la orientación; como
17
Introducción Capítulo 1
factores internos consideró al muro, el vidrio, las ventilas, entre otros factores. Así mismo,
también presentó una forma para calcular el rendimiento basado en las pérdidas y ganancias de
calor del espacio, determinación de la temperatura media del interior y variación de la
temperatura del muro, finalizando con las ventajas del muro Trombe.
En el 2002 Tadrari, Abdelbaki y Zrikem estudiaron numéricamente la transferencia de
calor conjugada en un sistema solar de muro trombe. Estudiaron en una cavidad rectangular la
transferencia de calor por conducción, convección natural y radiación, con una pared de vidrio
y un muro masivo absorbiendo la radiación solar, mientras que la otra es isotérmica y las
horizontales adiabáticas. Esta configuración es una representación aproximada del muro
Trombe no ventilado. Los autores estudiaron el efecto del número de Rayleigh en la dirección
e intensidad tanto del flujo como de la transferencia de calor. Los autores obtuvieron
resultados utilizando datos típicos de sistemas de muro Trombe y concluyeron que para un ΔT
de 10 K se presenta un valor crítico de Ra del orden de 1.7x108, por lo que el flujo cambia de
sentido. La transferencia de calor en el muro es prácticamente unidimensional, mientras que
en el fluido es bidimensional. Los mismos resultados mostraron que más del 75% de la
transferencia de calor total se realiza por radiación.
Onbasioglu y Egrican (2002) presentaron los resultados experimentales de las
mediciones simultáneas de temperaturas, velocidades y flujos de calor en un sistema de
calentamiento solar pasivo (muro Trombe). El sistema experimental fue un modelo a escala
representativo de una habitación y la pared considerada como cuerpo almacenador de energía,
en este caso el material usado no tenía la capacidad de almacenamiento. Los parámetros
medidos permiten determinar los parámetros térmicos para caracterizar el sistema, éstos son el
ancho y altura del canal así como también las temperaturas al interior de la habitación. Los
resultados muestran que el enfriamiento nocturno ocurre por la convección natural de la
reversa termo-circulación. Se sugiere que las ventanas de la habitación deberían ser cubiertas
para evitar la termo-circulación durante la noche y reducir las pérdidas de calor.
Ruiz et al. (2005) desarrollaron un modelo numérico para calcular las dimensiones de
los componentes de un muro Trombe y su aplicación como técnica de enfriamiento pasivo. Se
18
Introducción Capítulo 1
propuso este sistema como una técnica de ventilación natural para remover el calor en verano
de los edificios mediante un análisis de diferencias finitas. Los autores consideraron diferentes
climas de España y analizaron los resultados mediante la técnica de diferencia de grados día,
también presentaron gráficamente la influencia del modo de operación, la influencia del
vidrio, así como la influencia del aislante y el espesor del muro. Mediante este estudio
paramétrico, se establecieron normas de diseño en función de las condiciones climáticas. Se
concluyó que los diferentes modos de operación del muro Trombe afectan en su
comportamiento térmico, el manejar doble vidrio mejora el desempeño y finalmente, que la
diferencia de grados día es una herramienta satisfactoria para evaluar el desempeño del muro
Trombe.
Recientemente, Hernández et al. (2006) publicaron los resultados del estudio
experimental y numérico de un muro Trombe para ventilar una habitación. El modelo
numérico fue basado en balances globales termodinámicos, el cual permite tener variaciones
del tiempo de las variables ambientales y la radiación solar. Los resultados de temperatura del
modelo teórico fueron validados con los datos experimentales, estas temperaturas fueron
medidas con termistores. La máxima desviación encontrada entre los datos medidos y
determinados teóricamente fue de 5.5ºC, esta diferencia corresponde a la temperatura del
fluido a la salida de la cavidad. Los autores concluyeron que el modelo teórico propuesto
puede ser empleado para conocer el comportamiento térmico de este tipo de sistemas sólo con
definir las características geométricas del sistema y las condiciones ambientales donde el
sistema será usado.
Posteriormente, en el 2007 Burek y Habeb analizaron experimentalmente el flujo de
aire y la eficiencia térmica en chimeneas solares y muros Trombe. El equipo de prueba estaba
compuesto por un canal vertical abierto en la parte inferior y superior, las dimensiones del
canal son 1.02 m de alto y 0.92 m de ancho, la profundidad del canal puede variar desde los 20
mm a 110 mm. Para que asemejara a un colector solar, tenía una cubierta transparente y una
superficie absorbedora pintada de color negro mate. El calor fue suministrado mediante
resistencias eléctricas colocadas justo detrás de la superficie absorbedora. Los autores
consideraron flujos de calor de 200 a 1000 W, con incrementos de 200 W. Se registraron las
19
Introducción Capítulo 1
temperaturas y la velocidad del aire. Los autores concluyeron que el flujo másico está en
función del flujo de calor y de la profundidad del canal. También, se llegó a la conclusión de
que la eficiencia térmica del sistema (como colector solar) está en función del flujo de calor y
es independiente de la profundidad del canal, y que para un sistema práctico, la entrada y
salida se pueden conectar a una habitación mediante ductos.
Shen et al. (2007) estudiaron numéricamente el comportamiento térmico de paredes en
sistemas de muro Trombe clásicos y compuestos. Utilizaron el método de diferencias finitas y
el paquete computacional TRNSYS®, así mismo, compararon los resultados obtenidos para
uno de sus modelos con los obtenidos mediante TRNSYS®. Los autores encontraron un
modelo que se adaptaba a su configuración, obteniendo importantes diferencias en los
resultados, debido a esto realizaron un modelo experimental para comparar las mediciones con
los resultados de TRNSYS®, obteniendo nuevamente diferencias debido a unos coeficientes,
finalmente, crearon un nuevo modelo en TRNSYS® para un muro compuesto, comparándolo
con los resultados numéricos que habían sido validados mediante la experimentación.
Presentan la comparación de resultados obtenidos mediante estos métodos, así como los
resultados entre el muro Trombe clásico y el compuesto. Demostrando que el muro Trombe
compuesto tiene un mejor desempeño térmico en climas fríos y/o nublados, ya que incluye
una capa aislante. Los autores concluyen que TRNSYS® es una herramienta de simulación
que permite estudiar el desempeño y calcular balances de energía en estos tipos de muros
masivos con diferentes condiciones climáticas.
Nwachukwu y Okonkwo (2007) analizaron el recubrimiento absorbedor de calor en la
superficie de la pared de almacenamiento de un sistema de muro Trombe. Se estudió el efecto
de recubrimientos con diferentes absortancias para mejorar la transferencia de calor en la
superficie del muro Trombe. Los autores realizaron un análisis de balances globales,
considerando coeficientes de transferencia de calor entre placas paralelas verticales. El estudio
muestra que se puede mejorar la entrega de calor del muro a la habitación mediante la
aplicación de un recubrimiento con naturaleza superior (alta absortividad y baja emisividad)
en la superficie del muro que recibe calor. Los autores concluyen que la capacidad de
absorción y almacenamiento del muro pueden ser mejorados mediante la aplicación de un
20
Introducción Capítulo 1
recubrimiento de mejor absortancia, siendo esta, una técnica de mejora para la absorción de
calor en la superficie exterior del muro Trombe, elevando de esta manera la razón de entrega
de calor a la habitación.
1.2.2 Transferencia de Calor Conjugada
House et al (1990) estudiaron el efecto de un cuerpo sólido conductor en el centro de una
cavidad con transferencia de calor por conducción en régimen laminar. Los autores
consideraron 3 valores para la razón de conductividades, 0.2, 1.0 y 5.0, así como tres tamaños
adimensionales del cuerpo, 0, 0.5 y 0.9. Se utilizó el promedio armónico para los coeficientes
en la interfase entre los volúmenes de control, obteniendo resultados físicamente reales para
los cambios abruptos en estos coeficientes. Se presentaron resultados para un Pr = 0.71, tales
como líneas de corriente, isotermas y los números de Nusselt. El análisis mostró que el
proceso de flujo de fluido y la transferencia de calor están gobernados por los números de Pr y
Ra, el tamaño del cuerpo y la razón de conductividades del sólido con respecto al fluido.
Huang y Aggarwal (1995) analizaron el efecto de la conducción de calor con
convección natural en una cavidad con una fuente de calor en el centro. Los autores estudiaron
numéricamente los efectos de la conducción de calor en las fronteras sólidas debido a la
transferencia de calor por convección natural en una cavidad rectangular para régimen laminar
en dos dimensiones. La transferencia de calor parte de una fuente de calor a temperatura
constante en el centro de la cavidad. Dentro de los parámetros estudiados se consideraron el
número de Ra, el espesor del muro, la razón de transferencia de calor y la razón de
difusividades. Los autores utilizaron el método del volumen finito en la cavidad y el de
diferencias finitas en el muro, así mismo realizaron un estudio paramétrico para analizar los
efectos de la conducción de calor y la convección natural. Mostrando en los resultados que la
transferencia de calor por convección natural en régimen laminar no es cualitativamente
alterada debido a la conducción en el muro, sin embargo, cuantitativamente los resultados
cambian significativamente por la consideración de la conducción en el muro. Además,
reportan los efectos del cambio de condiciones de frontera al exterior de los muros. Las
correlaciones presentadas para el número de Nu en función del número de Ra, indican que la
21
Introducción Capítulo 1
transición ocurre entre Ra = 104 a 105. Para Ra ≥ 105, la capa límite existe cerca de la fuente
de calor y a lo largo de la parte aislada. Además, para Ra ≥ 106, se pueden observar celdas
secundarias sobre y por debajo de la fuente de calor. El valor preciso del número de Ra para la
presencia de celdas secundarias depende de la razón de conductividades en la pared.
Concluyendo que la conducción en el muro reduce la razón de disipación de la cavidad y que
el número de Nusselt promedio disminuye a medida que se aumenta la razón del espesor de la
pared y/o si la conductividad térmica del muro disminuye, los autores también observaron que
la conducción es el modo de transferencia de calor dominante para bajos números de Ra,
mientras que predomina la convección a medida que el Ra incrementa.
Oh, Ha y Kim (1997) presentaron un estudio numérico de la transferencia de calor
mediante convección natural en una cavidad calentada diferencialmente con un cuerpo
conductor generador de calor, considerando números de Ra de 103 y 104, la relación del
gradiente de temperaturas de 0 a 50, mientras que el número de Pr, la razón de área y la razón
de conductividades, se mantienen constantes a: 0.71 (aire), 0.25 y 1, respectivamente. Se usó
el algoritmo SIMPLE para acoplar las ecuaciones. Los resultados muestran que para el Ra de
103, las isotermas parecen simétricas a lo largo de la línea horizontal para valores pequeños de
la razón del gradiente de temperaturas, y cambia su forma simétrica con respecto a la diagonal
al invertir la razón del gradiente de temperaturas. Debido a que los efectos de la convección
aumentan con respecto al número de Ra, para Ra = 104, las isotermas son asimétricas y
cambian a simétricas a lo largo de la línea vertical. Observando que a medida que la razón del
gradiente de temperaturas se incrementa, el flujo dominado por el gradiente de temperatura a
lo largo de la cavidad, se convierte en el dominado por la fuente de calor. Finalmente, presenta
una relación para el número de Nu en la pared caliente, en función del número de Nu en la
pared fría y de la razón del gradiente de temperatura. Concluyendo que existe un proceso de
transición del flujo dominado por la diferencia de temperatura a través de la cavidad y el
dominado por la fuente de calor.
Sun y Emery (1997) estudiaron numéricamente el efecto de la conducción de calor en
un muro, con fuentes internas de calor y un deflector interno en una cavidad rectangular con
transferencia de calor por convección natural. Este trabajo se realizó para estudiar el
22
Introducción Capítulo 1
comportamiento de un calorímetro experimental en una ventana y de esta manera corregir las
pérdidas del calorímetro. El problema se resolvió por medio del método de volumen finito,
para un amplio intervalo de números de Ra, relaciones de calor interno-externo, relación entre
las conductividades del sólido-fluido y alturas del deflector. La velocidad y la presión se
acoplaron por medio del algoritmo SIMPLE. Para Ra bajos se utilizaron los esquemas híbrido
y QUICKE, mientras que para Ra altos se utilizó el esquema QUICKE de segundo orden. Las
ecuaciones discretizadas se resolvieron iterativamente mediante el método de línea por línea
TDMA. Se utilizó una malla no uniforme, con mayor concentración de los nodos cerca de los
sólidos. Los autores presentaron comparaciones cualitativas y cuantitativas de la influencia de
la transferencia de calor acoplada de convección y conducción. La comparación entre las
predicciones numéricas y las mediciones experimentales, muestran que es inapropiado
especificar condiciones de frontera de primer orden en la superficie de la ventana del
calorímetro y despreciar la conducción a través del deflector, ventana y paredes. Concluyeron
que la transferencia de calor se ve fuertemente influenciada por el efecto del acoplamiento
entre la conducción del deflector, la convección del fluido y la fuerza de la fuente interna de
calor cuando el deflector se localiza cerca de la pared.
Ha, Jung y Kim (1999) realizaron un estudio numérico para la transferencia de calor
por convección natural en una cavidad calentada diferencialmente en estado transitorio, con un
cuerpo conductor generador de calor, los fluidos se consideraron sodio, aire y agua, para los
números de Ra de 103 y 104. Los autores utilizaron la técnica de volumen finito. Se
presentaron isolíneas de corriente e isotermas en función del tiempo adimensional para
diferentes razones del gradiente de temperatura, números de Ra, número de Pr y razón de
conductividades térmicas. Los resultados muestran que al aumentar la razón de
conductividades térmicas, el sistema responde más lento, debido al decremento relativo de la
conductividad térmica del fluido, de esta manera, la temperatura en la cavidad desciende al
aumentar la razón de conductividades térmicas para la misma relación del gradiente de
temperatura. Los autores concluyeron que el flujo del fluido aumenta al incrementar en
número de Ra, aumentado la tasa de transferencia de calor convectivo en la pared fría y
caliente.
23
Introducción Capítulo 1
Das y Reddy (2006) analizaron la transferencia de calor por convección natural
conjugada en una cavidad cuadrada inclinada conteniendo un sólido conductor. Utilizaron el
método de volumen finito, la malla desplazada y el algoritmo SIMPLE, se consideró el
esquema QUICK para los flujos convectivos y el esquema de diferencias centradas para los
flujos difusivos. Mediante la función del promedio armónico, se calcularon las propiedades en
la interfase del sólido/fluido, debido a la variación abrupta. El sistema de ecuaciones fue
resuelto mediante el algoritmo de matriz tridiagonal (TDMA) y el método del falso trasiente.
Se presentaron isotermas e isolíneas de corriente para los números de Ra de 103 a 106,
variando los ángulos de inclinación desde 15º hasta 90º, con incrementos de 15º, y razones de
conductividad térmica del sólido y fluido de 0.2 a 5.0 y una razón de tamaño de cuerpo de 0.5.
Se concluyó que la transferencia de calor para Ra 103 se desarrolla por medio de la
conducción, a medida que el número de Ra aumenta, la convección comienza a predominar.
Zhao, Tang y Liu, (2006) simularon la convección natural conjugada en cavidades con
un sólido interno, considerando fuentes de calor internas y externas. Se analizaron dos casos,
el caso A, que consideraba las paredes horizontales aisladas, la pared izquierda con un flujo de
calor y la derecha isotérmica, y el caso B, con las paredes verticales adiabáticas, la pared
inferior con un flujo de calor y la pared superior a una temperatura constante. Los autores
utilizaron el método de volumen finito y el esquema de diferencias centradas de segundo
orden. Las ecuaciones fueron acopladas mediante el algoritmo SIMPLE, utilizando la función
armónica para las propiedades en la interfase sólido fluido y las ecuaciones discretizadas se
resolvieron de una manera iterativa utilizando el método de línea por línea para la matriz
tridiagonal (TDMA). Se presentaron isotermas e isolíneas de corriente para distintos número
de Ra considerando el caso A y B, también se presentó el número de nusselt, el valor mayor de
temperatura así como el valor absoluto de la función de corriente en función del número de Ra
para los casos A y B. La transferencia de calor se ve mejorada al incrementar el número de Ra.
24
Introducción Capítulo 1
1.3 Conclusión de la Revisión Bibliográfica
Del estudio bibliográfico se concluye que no se encontraron trabajos que realizaran el
análisis de la transferencia de calor conjugada conducción-convección en una cavidad con un
sistema solar pasivo de muro Trombe, considerando la transferencia de calor por conducción
en el vidrio ni en el muro, el intercambio convectivo de la pared semitransparente hacia la
habitación y las pérdidas convectivas y radiativas al medio exterior.
1.4 Objetivos Generales y Particulares
El objetivo de este trabajo es el de realizar el estudio de transferencia de calor
conjugada con flujo laminar en un sistema solar pasivo compuesto por un muro Trombe,
considerando la influencia del medio ambiente a través de las paredes. Se propone en general
estudiar la transferencia de calor conjugada en el sistema conformado por:
ventana - espacio de aire - muro Trombe – habitación
así como estudiar particularmente la conducción a través de la ventana de vidrio, la
convección natural en la habitación y en el canal del muro Trombe, el flujo de calor radiativo
incidente sobre la superficie del muro y la conducción de calor a través del mismo.
1.5 Alcance
Implementar un código numérico para la solución de las ecuaciones de conservación
en flujo laminar y calcular la transferencia calor por convección. Considerando la
implementación del modelo conductivo en la pared semitransparente y en el muro Trombe
para acoplarlo al modelo convectivo junto con el flujo de calor radiativo incidente sobre éste,
y de esta manera determinar los coeficientes de transferencia de calor por convección y
radiación en sistemas compuestos por un muro Trombe.
25
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
CAPÍTULO 2 MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO
En este capítulo se describirá el modelo físico del sistema de muro Trombe, el modelo
matemático y las consideraciones para este estudio. Primero se presenta el modelo físico del
sistema de muro Trombe, después el modelo matemático de la transferencia de calor por
convección, conducción a través de una pared opaca, así como para una pared
semitransparente, finalizando con la definición del número de Nusselt.
2.1 Modelo Físico de la Cavidad con Muro Trombe
El sistema de muro Trombe consiste de un colector, un muro masivo y la habitación
(Figura 2.1). La radiación solar que pasa a través del vidrio e incide, calienta la superficie del
muro masivo, entonces el muro es enfriado mediante convección natural por aire en el canal.
El muro pierde un porcentaje del calor solar absorbido hacia el aire que circula a través de las
ventilas a la habitación adyacente. La otra parte del calor es transmitido a la habitación
mediante conducción. El vidrio, el cuál está en contacto con el aire del medio exterior
transmite calor mediante conducción. El cuarto se considera aislado en las superficies superior
e inferior, por lo tanto, se asume que estas superficies son adiabáticas y que el flujo de calor
ganado por la habitación es disipado a través de la otra pared vertical, la cual tiene una
superficie a una temperatura constante.
Al considerar la transferencia de calor mediante convección natural por el aire y
conducción a través del vidrio y del muro masivo, el problema puede ser reducido a una
cavidad con dos superficies horizontales adiabáticas. Dos superficies verticales, una pared
semitransparente conductora de calor sobre la cual incide perpendicularmente un flujo
radiativo y otra a una temperatura constante. La superficie del muro Trombe, el cuál se
considera como un sólido embebido en el fluido, el cual recibe el calor transmitido por el
vidrio. Dependiendo del ancho del canal y ventilas, así como del material y espesor de muro,
se pueden obtener diferentes configuraciones para el análisis de la transferencia de calor. Se
calculará la transferencia de calor por convección al interior de la cavidad, considerando al
canal y a la habitación, el flujo de calor radiativo incidente sobre el muro, la transferencia de
27
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
calor por conducción a través de la pared semitransparente y del muro, y finalmente, las
pérdidas convectivas y radiativas al exterior de la pared semitransparente.
Irradiación Solar
G=736W/m2
Medio
Exterior
CanalCanalMuro
Trombe
Muro
Trombe
Pared
Fría
Pared
Fría
VidrioVidrio
Tc
Habitación
qconv
HabitaciónHabitación
qconv
qconv-extqconv-ext
qrad-extqrad-ext
To
ρG
τG
αG
qcondqcond
qcondqcond
Hx
HyHy
bb
ss
dd
Hxg
qconv-intqconv-int
x
y
Figura 2.1 Modelo Físico del sistema de muro Trombe
Los parámetros geométricos son tomados con base en las aplicaciones del sistema de
muro Trombe: razón de aspecto A = Hy/Hx = 1.0, razón de ancho de canal
s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de alto de ventilas b = s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de
espesor de muro d = 1/30, 1/15, 1/10, 2/15 y 1/6 de Hx. Los parámetros térmicos son Ra de
105 a 107 y razones de conductividad λrazón = λmuro / λ = 18.5 (correspondiente a un muro de
adobe) y 68 (correspondiente a un muro de concreto).
28
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
2.2 Modelo Matemático Convectivo de la Cavidad con Muro Trombe
A continuación se resumirán las ecuaciones gobernantes para el análisis de la
transferencia de calor por convección en la cavidad del sistema solar pasivo de muro Trombe.
2.2.1 Ecuaciones Gobernantes
Las ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos, representan principios matemáticos de
las leyes de conservación de la física, las cuales son las siguientes:
· La masa de un fluido se conserva (Principio de Conservación de Masa).
· La razón de cambio de cantidad de movimiento corresponde a la suma de las fuerzas
sobre una partícula de fluido (Segunda Ley de Newton).
· La razón de cambio de energía es igual a la suma de la razón de calor adicional y la
razón de trabajo realizado sobre una partícula de fluido (Primera Ley de la
Termodinámica).
Ecuación de Conservación de Masa
La masa no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Este principio es básico en el
estudio del movimiento de fluidos. Esta ecuación es obtenida mediante un balance, donde la
razón de incremento de masa es igual a la razón neta de flujo de masa, es decir, el incremento
de masa dentro de un volumen de control, debe ser igual al flujo de masa saliente a través de
las superficies del volumen de control, la ecuación de continuidad queda de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂∂
zw
yv
xu
tρρρρ (2.1)
Ecuación de Conservación de Cantidad de Movimiento
Esta ecuación está basada en la Segunda Ley de Newton, la cual establece que la razón
de cambio de cantidad de movimiento de un volumen de control, corresponde a la suma de
fuerzas sobre ese volumen de control. Estas fuerzas son: de superficie (presión y viscosas) y
29
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
de cuerpo (gravitacional, centrífuga, coriolis y electromagnética). Las primeras actúan sobre la
superficie del volumen de control y las segundas sobre la masa del volumen de control.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
zxyxxx Szyxx
Pz
uwy
uvx
uutu
+∂
∂+∂
∂+
∂∂+
∂∂−=
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂∂ τττρρρρ (2.2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y
zyyyxy Szyxy
Pz
vwy
vvx
vutv
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂−=
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂∂ τττρρρρ (2.3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z
zzyzxz Szyxz
Pz
wwy
wvx
wutw
+∂
∂+∂
∂+
∂∂+
∂∂−=
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂⋅∂+
∂∂ τττρρρρ (2.4)
Ecuación de Conservación de Energía
Esta ecuación es derivada a partir de la primera ley de la termodinámica, la cual
enuncia que la razón de cambio de la energía de una partícula de fluido es igual a la razón de
calor adicionado al volumen de control. De esta forma, se obtiene la ecuación de conservación
de energía.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyxzzyzxzzyyyxy
zxyxxx
SSSz
wy
wx
wz
vy
vx
v
zu
yu
xu
zPw
yPv
xPu
zwE
yvE
xEu
tE
+++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂∂
∂+
∂∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+∂
∂+
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
ττττττ
τττρρρρ
(2.5)
2.2.2 Consideraciones a las Ecuaciones Gobernantes
Para este estudio, existen términos de las ecuaciones gobernantes que no son
representativos, y pueden despreciarse. Las simplificaciones consideradas en este trabajo, se
describen a continuación.
1) Flujo incompresible: En este caso, el flujo se considera incompresible, esto no significa
que la densidad sea constante, sino que está sólo en función de la temperatura. En el
caso de los líquidos, la compresibilidad puede despreciarse, en cambio para los gases,
se desprecia sólo si el número de Match está por debajo de 0.3. De esta manera, tales
flujos pueden considerarse incompresibles.
30
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
2) Aproximación de Boussinesq: Cuando un fluido está acompañado por la transferencia
de calor, las propiedades del fluido están en función de la temperatura. Estos cambios
por más pequeños que sean, pueden ocasionar el movimiento del fluido. Si la densidad
no cambia significativamente, se puede considerar constante en los términos
transitorios y convectivos, tomándola en cuenta como variable únicamente en el
término gravitacional. Esta consideración es la aproximación de Boussinesq. Por lo
general, se considera que la densidad varía linealmente con la temperatura, sólo si se
incluye el efecto de la fuerza de cuerpo en dirección vertical, sobre la densidad media
en el término de presión. El término restante puede expresarse como sigue:
( ) ( )∞∞ −≈− TTgβρρ (2.6)
donde β es el coeficiente de expansión térmica.
3) Fluido Newtoniano: Un fluido Newtoniano es considerado aquel en el que los
esfuerzos viscosos son proporcionales a las razones de deformación. En la forma
tridimensional de la ley de viscosidad de Newton para flujos compresibles, se
encuentran dos constantes de proporcionalidad: a) la viscosidad dinámica, μ, para
relacionar los esfuerzos con las deformaciones lineales, y b) la viscosidad, ζ, para
relacionar los esfuerzos con la deformación volumétrica. Los esfuerzos viscosos tienen
nueve componentes, donde seis son independientes y se muestran a continuación:
Uxu
xx ⋅∇+∂∂
= ζμτ 2 Uyv
yy ⋅∇+∂∂
= ζμτ 2 Uzw
zz ⋅∇+∂∂
= ζμτ 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==xv
yu
yxxy μττ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
==xw
zu
zxxz μττ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==yw
zv
zyyz μττ
(2.7)
El efecto de la viscosidad ζ es pequeño, y está definido por 3/2μζ −= . Cuando el
fluido se considera incompresible, el término 0=⋅∇ U . Entonces, al sustituir los
esfuerzos (2.7) en las ecuaciones de cantidad de movimiento, se obtiene una forma más
útil para el desarrollo del método de volumen finito. Las ecuaciones obtenidas para el
flujo laminar, se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes.
31
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
4) Difusión viscosa despreciable: este término está representado por ( )U∇⋅τ en la
ecuación de energía. Este término influye sólo sobre la temperatura o la energía
interna, y únicamente se aprecia en sistemas con flujos de alta velocidad, en los cuales,
los gradientes de velocidad son grandes. Por lo tanto, puede despreciarse para flujos
con bajas velocidades, como es el caso en este trabajo de investigación.
5) Fluido no-participante: El aire se considera un medio no-participante, debido a que los
efectos de la radiación (emitancia, absortancia, dispersión, etc.) no influyen sobre él, el
aire es un medio transparente a la radiación. Esto es válido si se considera aire a bajas
temperaturas y con bajo contenido de humedad.
6) Efecto bidimensional: La transferencia de calor y el flujo del fluido en el sistema se
consideran sólo en dos dimensiones, ya que la tercera dimensión se asume muy larga, y
de esta forma, es válido que un corte transversal alejado de los extremos proporcione
información correspondiente al comportamiento del sistema.
7) Estado permanente: En este estudio solo interesa conocer el estado final del sistema
(muro Trombe) y no sus etapas durante el tiempo.
Al aplicar estas simplificaciones, considerando las propiedades constantes y las fuerzas
de cuerpo sólo en dirección “y”, en la ecuación de masa, las ecuaciones de Navier Stokes y la
ecuación de energía (temperatura), las ecuaciones de Navier Stokes simplificadas para flujo
laminar se escriben como sigue:
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+
∂∂
+∂∂
yv
xu
tρρρ (2.8)
( ) ( ) ( )xP
yu
yxu
xyuv
xuu
tu
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ μμρρρ (2.9)
( ) ( ) ( ) ( )∞−+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ TTgyP
yv
yxv
xyvv
xuv
tv βρμμρρρ (2.10)
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂yT
CyxT
CxyvT
xuT
tT
pp
λλρρρ (2.11)
32
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
Para el caso de la región sólida embebida en la cavidad la ecuación de energía se reduce a la
ecuación (2.12):
( ) ( ) ( )g
ppS
yT
CyxT
CxyvT
xuT
tT
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ λλρρρ (2.12)
donde:
pg C
GS τ= es el término de generación de calor, considerado como el flujo de calor transmitido
por el vidrio al interior del sistema, el cual se consideró absorbido en su totalidad por la
superficie del muro.
2.2.3 Condiciones de Frontera del modelo convectivo
Las condiciones de frontera para las velocidades son de no deslizamiento, en todas las
paredes, esto es:
( ) ( ) 0,, =+= yHxHxuyHxu gg para 0 ≤ y ≤ Hy
( ) ( ) 0,0, == Hyxuxu para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx
( ) ( ) 0,, =+= yHxHxvyHxv gg para 0 ≤ y ≤ Hy
( ) ( ) 0,0, == Hyxvxv para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx
Las condiciones de frontera para la temperatura en las paredes verticales son:
( ) ( )x
yHxTx
yHxT gggg ∂
∂=
∂
∂−
,,λλ en x = Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy
T = TC en x = Hx+ Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy
y para las paredes horizontales :
0=∂∂
yT en y = 0 para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx
0=∂∂
yT en y = Hy para Hxg ≤ x ≤ Hxg+Hx
33
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
En la sección del sólido interno sólo se considera la transferencia de calor por
conducción, ya que las velocidades son cero en todo el dominio de esta sección, así mismo se
consideran las propiedades termofísicas del sólido.
Para la zona del sólido:
Hxg + s ≤ x ≤ Hxg + s + d
b ≤ y ≤ Hy − b
Las velocidades son:
( ) 0, =yxu
( ) 0, =yxv
Y la temperatura en la interfase del sólido con el fluido:
airemuro xT
xT
∂∂
=∂∂ λλ
2.3 Modelo Matemático de la Transferencia de Calor por Conducción a Través de una
Pared Semitransparente
Para determinar el perfil de temperaturas en el vidrio (pared semitransparente), se
utiliza la ecuación de conducción de calor, considerando la transferencia de calor
bidimensional junto con la función de atenuación de energía, asumiendo el flujo de calor
incidente normal a la superficie. A continuación se muestra la ecuación gobernante.
2.3.1 Ecuación gobernante
La distribución de temperaturas al interior y al exterior de una pared semitransparente,
es obtenida mediante la ecuación de conducción de calor considerando la función de
atenuación por absorción y dispersión, la ecuación de transferencia de calor a través de un
elemento diferencial de una pared semitransparente, está dada como:
34
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
( )dxd
CyT
CyxT
CxtT
gp
g
gp
gg
gp
ggg Θ+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂∂
=∂
∂ 1λλρ (2.13)
donde Θ es la función de atenuación de energía por absorción y dispersión, y depende del
coeficiente de extinción del vidrio (sg) como (Modest, 1993):
( ) ( )[ ]xHxsGx gg −−=Θ exp (2.14)
Para este modelo, se considera la irradiación solar incidente en forma normal al vidrio, con un
valor constante de un AM2 (736 W/m2).
Tabla 2.1 Propiedades ópticas y termofísicas
de un vidrio de 6mm
Vidrio (6mm) α*
g = 0.14 τ*g = 0.78 ρ*
g = 0.08 ε*
g = 0.85
λ*g = 1.4 W/m⋅K
Cp*g = 750 J/kg⋅K
ρ*g = 2500 kg/m3
El valor para el coeficiente de transferencia de calor por convección es otra
consideración, el cual se toma de 6.8 W/m2⋅K para una velocidad de 3 m/s en el exterior a
temperatura ambiente (ASHRAE, 1977).
2.3.2 Condiciones de Frontera del modelo conductivo
Las condiciones de frontera son: paredes horizontales (superior e inferior) adiabáticas
y las paredes verticales se encuentran intercambiando energía por convección y radiación
hacia el exterior del sistema, así como por convección al interior. Las condiciones de frontera
se pueden escribir para la temperatura en las paredes verticales como:
35
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
( ) ( )[ ] ( )[ ]44,0,0,0
ogogog
g TyTTyThx
yT−−−−=
∂
∂σελ en xg = 0 para 0 ≤ y ≤ Hy
( ) ( )x
yHxTx
yHxT gggg ∂
∂=
∂
∂−
,,λλ en xg = Hxg para 0 ≤ y ≤ Hy
y para las paredes horizontales :
0=∂
∂
yTg en y = 0 para 0 ≤ xg ≤ Hxg
0=∂
∂
yTg en y = Hy para 0 ≤ xg ≤ Hxg
2.4 Eficiencia térmica del sistema
Conocer el valor de la eficiencia de un sistema térmico permite seleccionar el sistema
óptimo con las características que presenten un mejor desempeño térmico. Ben Yedder et al.
(1991) definen la eficiencia de un sistema de muro Trombe en función de los flujos de calor en
la pared fría y el flujo de calor incidente sobre el muro, esta expresión está dada por:
τη
= (2.15)
donde:
Q = Flujo de calor en la pared fría
τQ = Flujo de calor transmitido a través del vidrio
η = Eficiencia térmica del sistema de muro Trombe
En la Sección 5.4 se analiza la eficiencia del muro Trombe en función del efecto del
espesor y tipo de muro, para todos los casos estudiados del muro de adobe y concreto.
También se muestra la eficiencia en función del ancho del canal para cada espesor de muro de
adobe y concreto, para los números Ra estudiados.
36
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
2.5 Número de Nusselt
El número de Nusselt es útil para cuantificar la transferencia de calor total del sistema,
está definido como la razón de cantidad de transferencia de calor por convección con respecto
a un flujo de calor de referencia (Oosthuizen y Naylor, 1999).
refqqNu = (2.16)
donde qref es el flujo de calor por conducción a través de la cavidad:
HxTTqref
24 −= λ (2.17)
donde T4= Temperatura promedio en la superficie interior de la pared semitransparente y
T2= Temperatura promedio de la pared vertical derecha de la cavidad.
El flujo de calor q se considera como la transferencia de calor al sistema desde la superficie
interior de la pared semitransparente,
( )gHxxx
yxTq=∂
∂=
,λ (2.18)
así como en la superficie de la pared fría.
( )HxHxx g
xyxTq
+=∂∂
=,λ (2.19)
2.6 Conclusiones
El modelo físico utilizado asemeja un sistema de muro Trombe, el cual considera la
transferencia de calor por convección en la habitación y en el canal, la transferencia por
conducción en la pared semitransparte y en el muro interno, así como también se toman en
cuenta las pérdidas convectivas y radiativas de la pared semitransparente hacia el medio
exterior. Las ecuaciones gobernantes de los modelos matemáticos convectivo y conductivo,
con sus respectivas condiciones de frontera, predicen de una manera satisfactoria el fenómeno.
Cabe resaltar que para simplificar estas ecuaciones gobernantes se tomaron diferentes
37
Modelo Físico y Matemático Capítulo 2
consideraciones, tales como, flujo incompresible, la aproximación de Boussinesq, fluido
newtoniano, difusión viscosa despreciable y fluido no-participante. La eficiencia del sistema
permite seleccionar una configuración óptima y finalmente, el número de Nusselt presentado
es útil para cuantificar la transferencia de calor total del sistema.
38
Metodología de Solución Capítulo 3 CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN
En esta Sección se presentan los métodos para la solución de las ecuaciones de
conservación, la ecuación de convección-difusión así como sus equivalencias con las
ecuaciones gobernantes, también se presenta la discretización de la ecuación de convención-
difusión de la variable φ, para llegar a una notación de coeficientes agrupados. Finalmente, se
describen de manera general los esquemas numéricos empleados.
3.1 Métodos de Solución de las Ecuaciones de Conservación
El resolver numéricamente una ecuación diferencial consiste en obtener un conjunto de
números, de los cuales se puede adquirir la distribución de la variable dependiente.
Mediante el método numérico, los valores de las variables dependientes son tratados
como variables principales, éstos se consideran en un número finito de posiciones (nodos de
malla) en el dominio de cálculo. El método tiene como fin transformar el conjunto de
ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas, para las cuales pueden ser
resueltas mediante un algoritmo.
Las ecuaciones discretizadas, derivadas de las ecuaciones diferenciales, pueden
obtenerse mediante diferentes métodos como lo son:
Método de Diferencias Finitas (MDF),
Método de Volumen Finito (MVF) y
Método de Elemento Finito (MEF), entre otros.
3.2 Método de Volumen Finito
El método de volumen finito fue originalmente desarrollado como una forma especial
de la formulación de diferencias finitas. Utiliza la forma integral de las ecuaciones de
conservación, mientras que el dominio de estudio es dividido en un número finito de
39
Metodología de Solución Capítulo 3 volúmenes de control contiguos, en los cuales se aplican estas ecuaciones de conservación.
Dentro de cada volumen de control, en su centro se encuentra un nodo computacional, en el
que las variables son calculadas. Para expresar los valores de las variables en la superficie de
los volúmenes de control, es necesario utilizar algún tipo de interpolación.
Debido a que se utiliza algún tipo de fórmula de cuadratura para las integrales de
superficie, éstas se consideran aproximadas. Como resultado, mediante este método se obtiene
una ecuación algebraica para cada volumen de control, la cual considera los valores de los
nodos vecinos.
Este método puede utilizarse para cualquier tipo de malla, inclusive en geometrías
complejas, ya que la malla sólo define las fronteras de los volúmenes de control. El método es
conservativo por construcción, es decir, las propiedades relevantes se cumplen por
conservación para cada volumen de control, de esta manera, las integrales de superficie
utilizadas para representar flujos convectivos y difusivos, son las mismas para las interfases
(fronteras) de los volúmenes de control contiguos. La aproximación del método de volumen
finito es tal vez la más sencilla para entender y programar, debido a que todos los términos que
requieren ser aproximados, lo hacen mediante un significado físico.
Los pasos para desarrollar un algoritmo utilizando el método de volumen finito son los
siguientes:
· Integrar las ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos sobre todos los volúmenes de
control del dominio de solución.
· Discretizar las aproximaciones finitas en los términos de las ecuaciones integradas, ya
que representan procesos, tales como: convección, difusión y fuentes. De esta forma,
se convierten las ecuaciones integrales en un sistema de ecuaciones algebraicas.
· Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas mediante un método iterativo.
Dado que los fenómenos físicos de la vida cotidiana son complejos y no lineales,
pueden ser resueltos mediante aproximaciones iterativas. El procedimiento más utilizado para
ligar la presión y la velocidad de una manera efectiva, es el algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit
Method Linking Pressure Equations), mientras que para resolver sistemas de ecuaciones
40
Metodología de Solución Capítulo 3 algebraicas, el método más común es el de línea por línea (LBL) (Versteeg y Malalasekera,
1995).
3.3 Ecuación Generalizada de Convección-Difusión
A continuación se presenta la ecuación de convección-difusión y la forma en la que
ésta se relaciona con las ecuaciones gobernantes. Se desarrolla la discretización de esta
ecuación con la variable general φ, para de llegar a una notación de coeficientes agrupados.
Asimismo, se describen en forma general los esquemas numéricos empleados.
3.3.1 Ecuación de Convección-Difusión
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan los procesos en este estudio, pueden
compactarse en una única expresión, denominada ecuación generalizada de
convección-difusión. Mediante esta ecuación se pueden representar las diferentes ecuaciones
bajo un principio de conservación de masa, cantidad de movimiento, etc.
Patankar (1980) presenta la ecuación generalizada que representa las ecuaciones de
conservación como:
( ) ( ) Sxx
uxt jj
jj
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
Γ∂∂
=∂∂
+∂
∂ φφρρφ (3.1)
La ecuación (3.1) está compuesta por cuatro términos, de izquierda a derecha, el
primer término representa la acumulación de la variable φ en el volumen de control (término
transitorio), el segundo término representa el flujo neto de φ en el volumen diferencial,
ocasionado por el transporte de φ debido a los movimientos convectivos (término convectivo),
el tercer término representa el flujo neto de φ en el volumen de control debido a las corrientes
difusivas (término difusivo) y el último término representa a la generación de la variable φ en
el interior del volumen de control (término fuente). Este último término agrupa a todos los
coeficientes que no se pueden agregar en los términos transitorio, convectivo y difusivo.
41
Metodología de Solución Capítulo 3
Debido a que la ecuación generalizada es útil para las ecuaciones de conservación de
masa, momento y energía, éstas pueden expresarse en términos generales de φ, Γ y S. La Tabla
3.1 muestra las equivalencias de los términos, respecto a la ecuación generalizada.
Tabla 3.1 Equivalencias de la formulación generalizada.
Ecuación de
conservación φ Γ S
Masa 1 0 0
Momento en x
u μ
xP∂∂
−
Momento en y
v μ ( )oTTg
yP
−+∂∂
− βρ
Energía
T PCλ
0
3.3.2 Integración de la Ecuación Generalizada
En la Figura 3.1 se muestra un volumen de control sobre una malla cartesiana
bidimensional, la cual es utilizada para discretizar la ecuación generalizada. Esta Figura
representa un volumen de control numérico de la malla espacial y está relacionado con sus
nodos vecinos: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (W) por los flujos Ji.
42
Metodología de Solución Capítulo 3
Δy
Δx
S
N
EW
y
x
(δy)s
(δy)n
(δx)w (δx)e
n
s
w eP
Js
Jn
Je
Jw
ΔyΔy
ΔxΔx
S
N
EW
y
x
y
x
(δy)s
(δy)n
(δy)s
(δy)n
(δx)w (δx)e(δx)w (δx)e
n
s
w eP
Js
Jn
Je
Jw
Figura 3.1 Volumen de control sobre una malla bidimensional.
Esta ecuación generalizada al escribirse en 2D para coordenadas cartesianas queda
como:
( ) ( ) ( ) Syyxx
vy
uxt
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂
∂ φφφρφρρφ (3.2)
Al integrar espacialmente la ecuación (3.2) sobre los límites geométricos (fronteras)
del volumen de control, se obtiene:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =Δ−+Δ−+ΔΔ∂
∂ xvvyuuyxt snwe φρφρφρφρρφ
____)(
yxSxyy
yxx snwe
ΔΔ+Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ+Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ__φφφφ
(3.3)
De la ecuación anterior cabe mencionar que los términos (ρφ), (ρuφ), etc. son términos
promedios representados para todo el volumen de control, así como de la salida o de la entrada
del mismo. De este modo, existe un pequeño error, puesto que se consideran distribuciones
uniformes en todo el volumen de control, también en las fronteras existe un error en la
aproximación espacial, el cual tiende a minimizarse a medida de que el tamaño de los
volúmenes de control se hace más pequeño.
La ecuación (3.3) no está integrada en el tiempo, para considerar la variación de las φ’s
en el tiempo de t(n) a t+Δt (n+1), se hace uso de la siguiente expresión:
43
Metodología de Solución Capítulo 3
( )[ tffdt nntt
t
Δ−+= +Δ+
∫ φφφ 11 ] (3.4)
donde:
si se tiene el esquema explicito 0.0=f
si se tiene el esquema Crank-Nicolson 5.0=f
si se tiene el esquema implícito 0.1=f
(3.5)
debido que se considera , el resultado de la integración temporal de la ecuación (3.3) en
el volumen de control es:
0.1=f
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =Δ−+Δ−+ΔΔΔ− ++++
+
xvvyuuyxt
ns
nn
nw
ne
nP
nP 1111
1
φρφρφρφρρφρφ
yxSxyy
yxx
nn
s
n
n
n
w
n
e
ΔΔ+Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ+Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ +++++
11111 φφφφ
(3.6)
Para simplificar esta ecuación (3.6), se definen los siguientes términos que ayudan a
compactar la ecuación, donde los flujos convectivos a través de las caras del volumen de
control son:
xvFxvFyuF
yuF
ss
nn
ww
ee
Δ=Δ=Δ=Δ=
)()()()(
ρρρρ
(3.7)
Términos difusivos en las caras del volumen de control:
xy
D
xy
D
yx
D
yx
D
s
ss
n
nn
w
ww
e
ee
ΔΓ
=
ΔΓ
=
ΔΓ
=
ΔΓ
=
)(
)(
)(
)(
δ
δ
δ
δ
(3.8)
44
Metodología de Solución Capítulo 3 Números de Peclet:
sss
nnn
www
eee
DFPeDFPeDFPe
DFPe
====
(3.9)
Así como los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control (flujos
convectivos más flujos difusivos):
( )
( )
( )
( ) xy
vJ
xy
vJ
yx
UJ
yx
UJ
sss
nnn
www
eee
Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ−=
Δ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
Γ−=
Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ−=
Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Γ−=
φφρ
φφρ
φφρ
φφρ
(3.10)
Al sustituir la ecuación (3.10) en la ecuación (3.6) y tomando n = 0, se obtiene la
siguiente expresión como:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) yxSJJJJyxt snwe
PP ΔΔ=−+−+ΔΔΔ− 0ρφρφ (3.11)
El término fuente S puede ser dependiente de la variable φ, por lo tanto, para
considerar esta situación, debe separarse en dos partes. Una parte que será dependiente de la
variable φ y la otra, que no dependerá de la variable φ directamente.
Quedando este término como:
PPC SSS φ+= (3.12)
Donde el término SC es el que no depende de la variable φ directamente. Considerando esto, la
ecuación (3.11) se expresa como:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) yxSSJJJJyxt PPCsnwe
PP ΔΔ+=−+−+ΔΔΔ− φρφρφ 0
(3.13)
En particular, para la ecuación de conservación de masa (continuidad), la ecuación
(3.13) se reduce a:
( ) ( ) ( ) 00
=−+−+ΔΔΔ−
snwePP FFFFyx
tρρ (3.14)
45
Metodología de Solución Capítulo 3
El principio de continuidad se debe introducir en la discretización de la ecuación de
convección-difusión ya que puede mejorar la convergencia. De esta forma, se cumple con el
principio de continuidad en la solución final obtenida mediante el proceso iterativo.
Multiplicando la ecuación (3.14) por φP y restando la ecuación resultante a la ecuación
(3.13), se obtiene finalmente la ecuación discretizada que se utiliza para el sistema de
ecuaciones.
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ ] =−−−+−−−+ΔΔΔ
− PssPnnPwwPeeP
PP FJFJFJFJyxt
φφφφρφφ0
0
( ) yxSS PPC ΔΔ+
)
φ (3.15)
La formulación del esquema generalizado (Patankar, 1980) es utilizada para convertir
la ecuación discreta en una notación de coeficientes agrupados, ésta expresa la variable de un
nodo P en función de la variable de los nodos vecinos N, S, E, W y en función de otros
parámetros que engloban al término fuente.
( ) (( ) (( ) (( ) ( PSSPss
NPNPnn
PWWPww
EPEPee
aFJaFJaFJ
aFJ
φφφφφφφφφ))))
φφφ
−=−−=−−=−
−=−
(3.16)
La ecuación de convección (ecuación generalizada) en notación de coeficientes
agrupados, al sustituir la ecuación (3.16) en la ecuación (3.15) queda como:
baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ (3.17a)
o también como:
baa vecinosvecinosvecinos
PP += ∑ φφ (3.17b)
donde:
( ) [ ]0,max eeeE FPeADa −+= (3.18)
( ) [ ]0,max wwwW FPeADa += (3.19)
( ) [ ]0,max nnnN FPeADa −+= (3.20)
( ) [ ]0,max sssS FPeADa += (3.21)
46
Metodología de Solución Capítulo 3
yxStyxaaaaa PPSNWEP ΔΔ−
ΔΔΔ
++++= 0ρ (3.22)
yxStyxb CPP ΔΔ+
ΔΔΔ
= 00 φρ (3.23)
La función A(|Pe|) es una función dependiente del esquema de aproximación utilizado,
los cuales se describirán en la siguiente Sección. La diferencia entre los esquemas de
aproximación es básicamente la manera obtener el valor de la variable en las fronteras de los
volúmenes de control.
3.3.3 Esquemas numéricos
Una incógnita en todas las ecuaciones obtenidas es el valor de las variables en las caras
de los volúmenes de control, debido a que mediante estos valores se obtienen los flujos y así
los coeficientes necesarios para resolver las variables en el punto P.
Los puntos que contienen la información en el caso de 2D son: P, N, S, E y W, y se
desconocen los valores en la frontera de los volúmenes de control. En el método del volumen
finito, es muy importante conocer el valor de las variables en las caras de los volúmenes de
control, puesto que la convergencia del algoritmo y la precisión de los resultados dependen del
cálculo de la variable en la interface del volumen de control.
Para determinar los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control,
ecuación (3.10), se muestra que es indispensable conocer los flujos convectivos y difusivos.
Existen diferentes esquemas de aproximación, la diferencia entre ellos radica en la selección
del tipo de aproximación para los términos convectivos; debido a que para aproximar el
gradiente difusivo, se recomienda utilizar una diferencia centrada. Está demostrado
analíticamente que la mejor aproximación para los términos difusivos es una diferencia
centrada (Versteeg y Malalasekera, 1995). Por otra parte, las aproximaciones utilizadas en los
términos convectivos son más complejas y dependiendo del tipo de aproximación utilizado, se
pueden llegar a tener problemas con la convergencia o hasta soluciones irreales o ilógicas.
47
Metodología de Solución Capítulo 3
Los esquemas de aproximación de bajo orden, son aquellos que hacen más simple la
formulación, relacionan directamente los valores de las variables en las caras de los volúmenes
de control con los puntos nodales más cercanos a su alrededor (N, S, E, W). Estos esquemas
siempre utilizan uno o dos puntos nodales para aproximar el valor en la interfase del volumen
de control. Los esquemas de bajo orden más conocidos son:
a) Esquema de corriente arriba (upwind scheme): Este esquema aproxima el valor de la
variable en la frontera del volumen de control con el valor inmediato próximo a la frontera,
dependiendo del sentido de la velocidad. El esquema de corriente arriba presenta
resultados aceptables físicamente, pero con baja precisión. Para obtener mejores resultados
es recomendable utilizar una malla más densa.
b) Esquema centrado (central difference scheme): El esquema centrado utiliza el promedio de
los dos valores nodales próximos a la interface, para aproximar la variable. Este esquema
funciona bien para problemas de bajas velocidades, pero no es recomendable para
situaciones altamente convectivas, ya que carece en la representación adecuada del
transporte convectivo de las propiedades.
c) Esquema híbrido (hybrid scheme): El esquema híbrido combina las características del
esquema centrado y del esquema corriente arriba. Utiliza el esquema centrado cuando se
presentan velocidades bajas y cuando las velocidades son altas, se utilizan las
características del esquema corriente arriba.
d) Esquema exponencial (exponential scheme): El esquema exponencial está basado en la
solución analítica unidimensional, considerando propiedades constantes y estado
permanente. Este esquema funciona bien en problemas de una dimensión, pero implica
mucho tiempo de cómputo, debido a que el cálculo del exponente puede ocasionar
problemas. No es recomendable en problemas multidimensionales.
e) Esquema de ley de potencia (power law scheme): El esquema de ley de potencia es una
variación del esquema híbrido con base al esquema exponencial, este esquema provee una
precisión en los resultados similar al esquema exponencial, pero favorece a la
convergencia.
48
Metodología de Solución Capítulo 3
La integración de la ecuación generalizada de la Sección 3.3.2 se basa en los esquemas
numéricos de bajo orden. La ecuación generalizada (3.17) utiliza los coeficientes en función
del número de Peclet local en cada interface. Este número es usado en la función A(|Pe|) para
los diferentes esquemas de bajo orden, la función A(|Pe|) se muestra en la Tabla 3.2
(Patankar, 1980).
Tabla 3.2 Función A(|Pe|).
Esquema numérico A(|Pe|)
Corrientes arriba 1
Centrado 1-0.5|Pe|
Híbrido max[0,(1-0.5|Pe|)]
Exponencial |Pe|/(exp(|Pe|)-1)
Ley de potencia max[0,(1-0.1|Pe|)5]
3.4 Algoritmo SIMPLE y SIMPLEC
En esta parte se muestra el uso y la importancia de las mallas desplazadas, así como la
descripción y el diagrama de flujo para los algoritmos SIMPLE y SIMPLEC.
3.4.1 Representación del término de gradiente de presión
El gradiente de presión puede ser explicado mediante el siguiente ejemplo en una
dimensión, al discretizar la ecuación de momentum en x para el caso de la Figura 3.2,
representando el gradiente de presión (-dP/dx) integrado sobre el volumen de control.
La presión neta ejercida en la sección transversal del volumen de control está
representada por la ecuación Pw-Pe, la cuál es obtenida al discretizar la ecuación de
momentum en dirección x. Para expresar Pw-Pe en términos de los nodos de la malla completa,
se recurre a la interpolación lineal. Si la malla utilizada es uniforme, las caras e y w se
localizan en los puntos medios entre cada nodo, por lo tanto, la aproximación se escribe de la
siguiente manera:
49
Metodología de Solución Capítulo 3
xPP
xPP
xPP
xpp EWEPPWew
Δ−
=Δ+
−Δ+
=Δ−
222 (3.24)
W P E
x
w e
Figura 3.2 Volumen de control sobre una malla unidimensional.
La ecuación (3.24) contiene la diferencia de presiones entre dos nodos alternantes y no
entre los nodos adyacentes. Otra implicación de esta aproximación se puede apreciar en la
Figura 3.3, en donde se propone un campo de presiones alternantes, y al evaluar la ecuación
(3.24), se obtiene un gradiente de presión igual a cero, lo cual indica que en las ecuaciones de
cantidad de movimiento, la distribución de presión es constante y uniforme, siendo esto una
inconsistencia.
100 50
x
100 50 100
Figura 3.3 Campo de presión alternante.
Esta es la razón principal de desplazar las mallas para las componentes de velocidad, lo
cual se describirá más adelante.
3.4.2 Representación de la ecuación de continuidad
Un problema similar al anterior ocurre cuando se discretiza la ecuación de continuidad.
Si se esta ecuación se discretiza para el caso de la Figura 3.4 y se integra sobre el volumen de
control, se obtiene:
0=− we uu (3.25)
50
Metodología de Solución Capítulo 3
100 400
x
100 400 100U=
Figura 3.4 Campo de velocidad en una dimensión.
Para expresar ue-uw en términos de la malla centrada, se asume una interpolación lineal
para la velocidad. Si la malla es uniforme, las caras e y w se localizan en los puntos medios
entre cada nodo, por lo que se obtiene la siguiente aproximación:
0222
=Δ−
=Δ+
−Δ+
=Δ−
xuu
xuu
xuu
xuu WEPWEPwe (3.26)
De esta manera, se comprueba que la ecuación de continuidad discretizada requiere las
velocidades en los nodos alternantes de la malla y no en la interfaz del volumen de control.
Como consecuencia para la Figura 3.3, se tiene un campo de velocidades irreal, que cumple
con la ecuación de continuidad.
3.4.3 La Malla Desplazada
Para resolver los problemas antes mencionados se pueden considerar mallas
desplazadas para calcular las variables, esto es, utilizar una malla diferente para cada variable,
ya sea escalar o vectorial. Las variables escalares tales como la temperatura y presión son
calculadas sobre los nodos centrales de la malla principal o centrada (Figura 3.5a)
y
x
y
x
S
N
EW eP Δy
Δx
n
w
s
Figura 3.5a Volumen de control para las variables escalares.
51
Metodología de Solución Capítulo 3
En el caso de las componentes de velocidad, se obtiene un beneficio importante al
posicionar dichas componentes sobre una malla diferente de la malla principal utilizada para
las variables escalares, esto es, sobre una malla desplazada (staggered grid), de esta forma, se
reducen las dificultades de las ecuaciones de momentum, así como en el acoplamiento de la
velocidad y la presión.
y
xS
N
EW eP
ueΔy
S
N
EW
n
P
vn
Δx
a) b)
y
xS
N
EW eP
ueΔy
S
N
EW
n
P
vn
Δx
y
x
y
xS
N
EW eP
ueΔy
S
N
EW eP
ueΔy
S
N
EW
n
P
vn
Δx
S
N
EW
n
P
vn
Δx
a) b) Figura 3.5b Volumen de control para la velocidad a) u y b) v.
Como se muestra en la Figura 3.5b, la posición donde se calculan las componentes de
velocidad es en las caras de los volúmenes de control de la malla principal, por lo tanto, la
malla es desplazada en dirección “x” y “y”, y de esta manera coinciden las fronteras del
volumen de control con los puntos nodales de la malla principal.
3.4.4 Formulación del Algoritmo SIMPLE
El algoritmo SIMPLE fue desarrollado por Patankar y Spalding (1972) para realizar el
acoplamiento de las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento. SIMPLE
significa Método Semi Implícito para Ecuaciones Acopladas con la Presión. Para poder
desarrollarlo es necesario tomar en cuenta los volúmenes de control para las componentes de
velocidad u y v, mostrados en la Figura 3.5.
52
Metodología de Solución Capítulo 3
Una vez discretizadas las ecuaciones de cantidad de movimiento como se mostró en la
Sección 3.3, pueden escribirse como:
( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ (3.27)
( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ (3.28)
El término (PP-PE)Ae de la ecuación (3.27) representa la fuerza de presión que actúa
sobre un volumen de control para la variable u. En la ecuación (3.28), el término (PP-PN)An
describe la fuerza de presión que actúa sobre un volumen de control para la variable v.
El proceso de cálculo mediante el algoritmo SIMPLE comienza con la suposición de
un campo de presión P*. Este campo de presión P* se utiliza para resolver las ecuaciones
discretizadas de cantidad de movimiento (3.27) y (3.28), de esta manera, se obtiene un campo
de velocidades supuesto, obtenido mediante las variables u* y v*, por lo tanto, estas
ecuaciones también se pueden representar como:
( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ **** (3.29)
( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ **** (3.30)
Entonces, si se toma a P’ como el valor corregido de la presión, el cual es la diferencia
entre la presión correcta P y la presión supuesta P*, se tiene: *''* PPPPPP −=+= (3.31)
De igual forma, se calcula el valor para la corrección de las velocidades u’ y v’, para
relacionar el campo correcto de velocidad u y v, con el campo supuesto de velocidad u* y v*. *''* uuuuuu −=+= (3.32)
*''* vvvvvv −=+= (3.33)
Si se sustituyen los valores corregidos de P, u y v en las ecuaciones (3.27) y (3.28), se
obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ueEEPPVecinosVecinoseee bAPPPPuuauua ++−+++=+ ∑ '*'*'*'* (3.34)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] vnNNPPVecinosVecinosnnn bAPPPPvvavva ++−+++=+ ∑ '*'*'*'* (3.35)
53
Metodología de Solución Capítulo 3
Al desarrollar las ecuaciones (3.29) y (3.30) y restárseles a las ecuaciones de cantidad
de movimiento (3.34) y (3.35) respectivamente, se obtiene una expresión de las ecuaciones
discretizadas de cantidad de movimiento en función de la corrección de velocidades y presión.
( ) eEPVecinosVecinosee APPuaua '''' −+=∑ (3.36)
( ) nNPVecinosVecinosnn APPvava '''' −+=∑ (3.37)
En este método, se considera la siguiente aproximación, o bien, la omisión de los
siguientes términos:
∑ ≈ 0'VecinosVecinosua (3.38)
0≈∑ 'VecinosVecinosva (3.39)
La principal característica del algoritmo SIMPLE es esta aproximación, dado que los
términos de las ecuaciones (3.38) y (3.39) representan una influencia directa o implícita de la
corrección de presión sobre la velocidad, y el omitirlos es lo que hace que el algoritmo sea
semi-implícito. Además, se considera que al final del ciclo iterativo, estos términos
desaparecen, de tal forma que el omitirlos no representa ningún error en la solución de las
ecuaciones de conservación.
Sin embargo, al implementar el algoritmo SIMPLE en un código computacional, se
tiene que utilizar un factor de relajación (α), debido principalmente a que la corrección de la
presión en las ecuaciones es muy susceptible a la divergencia durante el proceso iterativo,
debido a la omisión de estos términos. Por consiguiente, la expresión para la presión y las
velocidades corregidas son: '* PPP Pα+= (3.40)
'* uuu uα+= (3.41)'* vvv vα+= (3.42)
54
Metodología de Solución Capítulo 3
Si α toma un valor entre 0 y 1, se tiene un efecto de bajo-relajación, este es el caso del
algoritmo SIMPLE. Por el contrario, si α toma un valor mayor a 1, el efecto es de sobre-
relajación (Patankar, 1980).
Una vez omitidos los términos mencionados, las ecuaciones (3.36) y (3.37) se pueden
reescribir como:
( ) eEPee APPua ''' −= (3.43)
( ) nNPnn APPva ''' −= (3.44)
Las cuales se pueden simplificar utilizando los siguientes términos:
e
ee a
Ad = (3.45)
n
nn a
Ad = (3.46)
Al sustituir estos términos en las ecuaciones (3.43) y (3.44), se obtiene:
( ) '''EPee PPdu −= (3.47)
( )'''NPnn PPdv −= (3.48)
De esta manera, las ecuaciones de corrección para las componentes de velocidad u y v,
son:
( ) ''*EPeee PPduu −+= (3.49)
( ) ''*NPnnn PPdvv −+= (3.50)
Ahora, es necesario satisfacer la ecuación de continuidad, la cual, después de ser
integrada al igual que en la Sección 3.3, se obtiene:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00 =Δ−+Δ−+ΔΔΔ
− xvvyuutyx
snwePP ρρρρρρ (3.51)
Después de sustituir las ecuaciones de corrección para cada componente de velocidad y
agrupar términos, se obtiene la ecuación discretizada para P’:
55
Metodología de Solución Capítulo 3
bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= ''''' (3.52)
En la ecuación anterior (3.52), los coeficientes están dados por:
xda nnN Δ= ρ (3.53)
xda ssS Δ= ρ (3.54)
yda eeE Δ= ρ (3.55)
yda wwW Δ= ρ (3.56)
SNWEP aaaaa +++= (3.57)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] xvvyuutyxb nsewPP Δ−+Δ−+
ΔΔΔ
−= ****0 ρρρρρρ (3.58)
En la Figura 3.6 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLE.
56
Metodología de Solución Capítulo 3
Se renombran todas las variables
bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= '''''
( )
( )''*
''*
'* 10
NPn
nnn
EPe
eee
PPPPP
PPaAvv
PPaAuu
PPP
−+=
−+=
<<+=
αα
baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ
φφ =
=
=
=
*
*
*
*
vv
uu
PP
∗∗∗∗ φ , ,, vup
SIMPLE
Se supone un campo de presión, velocidad y otras variables
( )( ) v
nnNPVecinosVecinosnn
ueeEPVecinosVecinosee
badPPvava
badPPuaua
+−+=
+−+=
∑∑
****
****
Se resuelven las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento
Se resuelve la ecuación de corrección de presión
Se corrigen la presión y las velocidades
Se resuelven otras ecuaciones discretizadas
Convergencia
Sí
No
Impresión
∗∗ vu ,
'pvu , , ∗∗
pvu , ,
Figura 3.6 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLE.
57
Metodología de Solución Capítulo 3 3.4.5 Formulación del Algoritmo SIMPLEC
El algoritmo SIMPLEC fue propuesto por Van Doormal y Raithby (1984), que
significa Método Semi Implicito Consistente para Ecuaciones Acopladas con la Presión, y
sigue el mismo procedimiento que el algoritmo SIMPLE, con la diferencia de que las
ecuaciones de cantidad de movimiento son manipuladas de una manera diferente.
En el método SIMPLEC se considera que omitir los términos dados por las ecuaciones
(3.38) y (3.39), es una aproximación inconsistente del algoritmo SIMPLE, dado que si se
corrige la presión P mediante P’, los componentes de velocidad responden a este cambio de
presión por y , mientras que los coeficientes vecinos lo hacen mediante y .
Estos cambios en la velocidad serán todos del mismo orden de magnitud, por lo tanto, omitir
unos términos en el lado derecho de las ecuaciones (3.36) y (3.37), y retener otros de magnitud
similar en el lado izquierdo de las mismas, representa una inconsistencia. Una aproximación
“consistente” se obtiene al sustraer de ambos lados de estas ecuaciones los siguientes términos
respectivamente.
'eu '
nv 'vecinosu '
vecinosv
∑ 'eVecinosua (3.59)
∑ 'nVecinosva (3.60)
Ahora, las ecuaciones (3.36) y (3.37) se pueden escribir como:
( )[ ] ( ) eEPeVecinosVecinoseVecinosee APPuuauaua '''''' −+−=− ∑∑ (3.61)
( )[ ] ( ) nNPnVecinosVecinosnVecinosnn APPvvavava '''''' −+−=− ∑∑ (3.62)
La aproximación del algoritmo SIMPLEC se basa en omitir los términos entre
corchetes de las ecuaciones (3.61) y (3.62). Esto se justifica correctamente al recordar que las
velocidades de corrección y , son el resultado de las velocidades vecinas y 'eu '
nv 'vecinosu '
vecinosv
58
Metodología de Solución Capítulo 3 respectivamente, por lo que los términos entre corchetes sí pueden considerarse nulos. Por lo
tanto, las ecuaciones (3.61) y (3.62), se pueden escribir como:
( ) eEPeVecinosee APPuaua '''' −=−∑ (3.63)
( ) nNPnVecinosnn APPvava '''' −=−∑ (3.64)
De las ecuaciones anteriores, se tiene entonces una modificación para los términos de
y dn, los cuales se muestran a continuación:
∑−
=Vecinose
ee aa
Ad (3.65)
∑−=
Vecinosn
nn aa
Ad (3.66)
La secuencia de pasos en el algoritmo SIMPLEC es la misma a la del algoritmo
SIMPLE, pero con las siguientes excepciones:
1. Los términos d’s, ahora son obtenidos mediante las ecuaciones (3.65) y (3.66), en lugar de
las ecuaciones (3.45) y (3.46).
2. Los nuevos términos d’s se sustituyen en las ecuaciones de corrección de los componentes
de velocidad 'eu y '
nv , dados por (3.47) y (3.48), y en las ecuaciones de corrección de
presión P’ (3.53) – (3.56).
En la Figura 3.7 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC.
59
Metodología de Solución Capítulo 3
Se renombran todas las variables
bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= '''''
( )
( )
∑
∑
−−
+=
−−
+=
=+=
vecinosn
nNPnn
vecinose
eEPee
PPPPP
aaAPPvv
aaAPPuu
PPP
''*
''*
'* 0.1αα
baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ
φφ =
=
=
=
*
*
*
*
vv
uu
PP
∗∗∗∗ φ , ,, vup
SIMPLEC
Se supone un campo de presión, velocidad y otras variables
( )( )( )( ) v
NPVecinosnnVecinosVecinosnn
uEPVecinoseeVecinosVecinosee
bPPaadvava
bPPaaduaua
+−−+=
+−−+=
∑∑∑∑
****
****
Se resuelven las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento
Se resuelve la ecuación de corrección de presión
Se corrigen la presión y las velocidades
Se resuelven otras ecuaciones discretizadas de variables dependientes
Convergencia
Sí
No
Impresión
∗∗ vu ,
', pvu , ∗∗
pvu, ,
Figura 3.7 Diagrama de flujo algoritmo SIMPLEC.
60
Metodología de Solución Capítulo 3
Es importante mencionar que las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de
movimiento y energía, las cuales pueden ser representadas mediante la ecuación generalizada
de convección-difusión, se presentaron en estado transitorio. Sin embargo, el alcance del
presente estudio sólo presenta soluciones en estado permanente, para lograr esto, se recurrió al
método de “falso transitorio”. Este método fue utilizado por Mallinson y De Vahl Davis en
1973, que consiste principalmente en convertir ecuaciones elípticas en parabólicas, agregando
derivadas en el tiempo, es decir, si existe una solución en estado permanente y es única, puede
ser obtenida de una manera más eficiente, introduciendo un término de falso transitorio en la
ecuaciones gobernantes, siendo esta hipótesis la base del método.
El término de falso transitorio conduce a un grupo de ecuaciones, las cuales son
resueltas a través de un tiempo ficticio. Al utilizar este método no se requieren iteraciones
adicionales, además de que la convergencia de la solución para las ecuaciones puede ser
mejorada con pasos de tiempo grandes, debido a que la convergencia en cada paso de tiempo
no es necesaria.
3.4.6 Evaluación de las Propiedades Físicas
La presión y la temperatura son evaluadas en el nodo central de cada volumen de
control de la malla principal es por esto que las propiedades termofísicas sólo están definidas
en este punto. Cuando sea necesario conocer el valor de estas variables en la frontera del
volumen de control, se realizará mediante algún tipo de interpolación, ya que según el
algoritmo utilizado para el acoplamiento se necesitan las propiedades termofísicas en esta
posición.
Las propiedades termofísicas pueden ser evaluadas mediante una aproximación lineal,
es decir, con un promedio de los valores conocidos, sólo si se utiliza una malla uniforme. En
cambio, si se utiliza una malla no uniforme, las propiedades termofísicas no pueden evaluarse
de esta manera, ya que las distancias de la frontera del volumen de control al punto donde se
conocen estas propiedades termofísicas no son iguales. La Figura 3.8 explica gráficamente la
geometría.
61
Metodología de Solución Capítulo 3
S
N
EW
(δx)PE
eP
(δx)Pe (δx)Ee
S
N
EW
(δx)PE
eP
(δx)Pe (δx)Ee
Figura 3.8 Distancias asociadas con la interfase e.
La aproximación armónica propuesta por Patankar (1980) es utilizada para calcular el
valor de la propiedad termofísica en las fronteras de los volúmenes de control. Mediante esta
aproximación se evitan los posibles errores de la aproximación lineal. Para evaluar las
propiedades termofísicas en las fronteras de los volúmenes de control en el desarrollo de este
trabajo, se implementó esta aproximación. La cual se expresa matemáticamente como:
( )( ) ( )EePPeE
PEEPe xx
xδλδλ
δλλλ+
= (3.67)
3.4.7 Tratamiento del Sólido Interno
Como se mencionó anteriormente, la solución numérica de las ecuaciones gobernantes
es realizada mediante el método de volumen finito, usando el algoritmo SIMPLE sobre una
malla desplazada.
En la presente formulación el dominio computacional fue dividido en volúmenes de
control tales que sus caras quedaran en la frontera del sólido interno. Las ecuaciones son
resueltas en la región del fluido y en la del sólido simultáneamente con una modificación
adecuada. En la región del fluido las ecuaciones de momentum son resueltas de manera
normal y cuando se llega al medio sólido, las velocidades se manipularon haciéndolas cero
62
Metodología de Solución Capítulo 3 utilizando los coeficientes aPu y aPv. De esta manera las velocidades u y v se hacen cero en el
domino del sólido.
La ecuación de energía es resuelta utilizando una consideración para la región del
fluido y otra para el sólido, manteniendo la continuidad del flujo en la interfase del sólido y
del fluido. Las condiciones determinadas en la interfase del sólido/fluido son satisfechas
simultáneamente. El código asegura la continuidad de los flujos en todos los volúmenes de
control. Los cambios abruptos de las propiedades termofísicas son tratados usando la
aproximación armónica (3.67).
3.5 Método de Solución para el Modelo Conductivo en la Pared Semitransparente
Para la conducción de calor, se expresó el modelo matemático en el capítulo anterior
(Sección 2.4), donde se muestra que no existen términos para los flujos convectivos, esto se
debe a que es considerado como un medio sólido. A este modelo también se le puede aplicar la
discretización general obtenida para la ecuación de convección-difusión. Esta ecuación, se
hace válida para el modelo conductivo de la pared semitransparente, sólo si los F’s se anulan,
considerando esto, la ecuación (3.17) se reduce a:
bTaTaTaTaTa SSNNWWEEPP ++++= (3.68)
donde:
( )( ) y
xCp
Dae
eggeE Δ==
δλ
(3.69)
( )( ) y
xCp
Daw
wggwW Δ==
δλ
(3.70)
( )( ) x
yCp
Dan
nggnN Δ==
δλ
(3.71)
( )( ) x
yCp
Das
sggsS Δ==
δλ
(3.72)
63
Metodología de Solución Capítulo 3
tyxaaaaa PSNWEP Δ
ΔΔ++++= 0ρ (3.73)
( )[ ] ( )[ ]( ) yxHxSxHxSGCp
Ttyxb iggigg
gPP Δ−−−−−+
ΔΔΔ
= −100 expexp1ρ (3.74)
En la Figura 3.9 se muestra el diagrama de flujo para calcular la transferencia de calor
por conducción a través de la pared semitransparente.
Conducción
Datos de entrada: dimensiones y propiedades termofísicas
Inicialización de la Temperatura: T*
Cálculo de los coeficientes de la ecuación discretizada: a’s y b
Cálculo de las nuevas temperaturas
Renombrar las temperaturas
T*=T
Convergencia
Impresión
No
Sí
Conducción
Datos de entrada: dimensiones y propiedades termofísicas
Inicialización de la Temperatura: T*
Cálculo de los coeficientes de la ecuación discretizada: a’s y b
Cálculo de las nuevas temperaturas
Renombrar las temperaturas
T*=T
Convergencia
Impresión
No
Sí
Figura 3.9 Diagrama de flujo para el cálculo de la conducción
de calor a través de la pared semitransparente.
3.6 Implementación de las Condiciones de Frontera
Al implementar el algoritmo SIMPLE o SIMPLEC, se pueden resolver las ecuaciones
gobernantes de flujo de fluidos y transferencia de calor. Sin embargo, la exactitud de la
solución de las ecuaciones discretizadas, es altamente dependiente de la especificación
correcta de las condiciones de frontera. Debido a su notación de coeficientes agrupados, la
metodología del volumen finito, facilita la implementación de los tres tipos de condiciones de
64
Metodología de Solución Capítulo 3 frontera más recurrentes en los problemas de flujo de fluidos y transferencia de calor. Las
condiciones de frontera más comunes son las condiciones de Dirichlet y las condiciones de
Neumann (Ozisik, 1994).
3.6.1 Condición de Dirichlet (1ª clase)
La condición de frontera de primera clase, también llamada condición de Dirichlet, se
basa en fijar un valor de la variable dependiente en los nodos que se localizan en la frontera de
los volúmenes de control, los cuales están colocados en los límites del dominio de interés.
Mediante la ecuación generalizada para 2D, es posible explicar la implementación de este tipo
de frontera, dada por:
baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ (3.75)
Al igual que en todos los puntos del dominio, los nodos de la frontera también se
deben de expresar mediante esta ecuación general, esto es, que el punto principal P (φP) de la
variable dependiente, debe tomar el valor impuesto en la frontera, es decir, su valor es
totalmente independiente de los otros nodos. Para esta condición de frontera, los coeficientes
de la ecuación (3.75) toman los siguientes valores:
Frontera
WESN
P
baaaa
a
φ=====
=0
1
3.6.2 Condición de Neuman (2ª clase)
La condición de frontera de segunda clase, denominada como condición de Neuman
(al igual que la de tercera clase), se presenta cuando se conoce el cambio de la variable
dependiente en dirección normal a una coordenada espacial o temporal y se representa con
siguiente expresión:
An=
∂∂φ (3.76)
65
Metodología de Solución Capítulo 3
Para la condición de frontera de segunda clase, el valor de A es cero (A=0). Por
ejemplo, si la variable es dependiente en dirección normal a la coordenada espacial x, en la
frontera derecha (Este) del dominio, la aproximación para la expresión (3.76) es:
0=−
=∂∂
xxPE
δφφφ (3.77)
Representando esta aproximación de la misma forma que en la ecuación general
discretizada (3.75), se obtiene: 0=− PE φφ
Esto es, que la variable dependiente en el punto principal P, toma el valor del punto
nodal próximo en esa dirección, e implica que:
00
1
=
=====
baaa
aa
SNW
EP
3.6.3 Condición de Neuman (3ª clase)
La condición de frontera de tercera clase es similar a la de segunda clase, con la
diferencia de que en la expresión (3.76), A≠0. En este caso, la aproximación numérica para
esta expresión es:
Axx
PE =−
=∂∂
δφφφ (3.78)
por lo tanto:
xAEP δφφ −=
De esta relación, se deduce que la variable dependiente en el punto principal P, es
dependiente del valor de la variable en el punto nodal próximo y del valor impuesto en la
frontera. De esta manera, los coeficientes de la ecuación (3.75) para la condición de frontera
de tercera clase, toman los siguientes valores:
xAbaaa
aa
SNW
EP
δ−====
==0
1
66
Metodología de Solución Capítulo 3
Considerando el modelo físico presentado en el capítulo anterior, se deduce que las
condiciones de frontera que se emplean en este trabajo, son de primera, segunda y tercera
clase.
3.7 Métodos para la Solución del Sistema de Ecuaciones Algebraicas
Para resolver los sistemas de ecuaciones algebraicas, existen dos métodos: el método
directo y el método indirecto o iterativo. Dentro de los métodos directos están la inversión de
la matriz por la regla de Kramer y la eliminación gaussiana. Entre los métodos iterativos se
tienen el método de Gauss Seidel (GS), el método de línea por línea (LBL), el método de
factorización incompleta, el método del gradiente conjugado, entre otros.
Estos métodos iterativos, se basan en la repetida aplicación de algoritmos sencillos, los
cuales, por lo general, alcanzan la convergencia después de un cierto número de iteraciones.
Para cada ciclo de iteración se establece arbitrariamente un número de operaciones, en
contraste con los métodos directos, no se puede saber con anticipación el número de
iteraciones que serán necesarias para cumplir con el criterio de convergencia. El sistema de
ecuaciones debe satisfacer cierto criterio para satisfacer la convergencia.
Al discretizar las ecuaciones diferenciales parciales, se obtuvo un sistema de
ecuaciones algebraicas, este sistema se resolvió mediante el método de Gauss-Seidel en
direcciones alternantes implícitas (LGS-ADI). Este método se desarrolló al combinar el
método de LBL con el método de GS utilizado de forma alterna, por ejemplo, para un
problema de 2D, una iteración del método LGS-ADI consiste en primero aplicar el método de
LGS en dirección x, y posteriormente con los resultados obtenidos se aplica el LGS en
dirección y. La convergencia de este método es más rápida, debido a que la información de las
condiciones de frontera es transportada más eficientemente hacia los nodos interiores del
dominio.
Para la sección del vidrio se utilizó el método MSIP (Modified Strongly Implicit
Procedure) propuesto por Schneider y Zedan en 1981, este método es una modificación del
67
Metodología de Solución Capítulo 3 SIP (Strongly Implicit Procedure) el cual está basado en un procedimiento iterativo que
implica la solución directa y simultánea del conjunto de ecuaciones, modificando la matriz de
ecuaciones original a través de una descomposición en [L] [U] (Referencia, año).
3.8 Criterios de Convergencia
Mediante los métodos numéricos, la solución del sistema de ecuaciones algebraicas se
considera aceptable cuando éste satisface un criterio de convergencia. Este criterio de
convergencia consiste en obtener un residuo de la ecuación en cada iteración. Por medio del
principio de continuidad, es posible comprobar el residuo másico para cada volumen de
control, el cual es muy importante en los problemas de convección natural debido al
acoplamiento de las variables.
Para este trabajo, se utilizó el residuo másico normalizado como criterio de
convergencia para satisfacer la ecuación de conservación de masa, la cual está dada por:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]másico
P
nsewPP
másico
tyx
xvvyuutyx
R ερ
ρρρρρρ≤
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ΔΔΔ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Δ−+Δ−+
ΔΔΔ
−=
∑
max ****0
(3.79)
Para el caso de las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento y de
energía, las variables dependientes (u,v y T) deben satisfacer un residuo no normalizado, el
cual se obtiene mediante la desviación cuadrática siguiente:
( )[ ] φφ εφφ ≤+−= ∑ ∑ 2baaR VecinosVecinosPP (3.80)
Para todas las variables, el valor que deben obtener estas ecuaciones para satisfacer con
la convergencia del código computacional, debe ser Rφ <1x10-7 de acuerdo con el análisis de
residual mostrado en la Sección 4.3.
68
Metodología de Solución Capítulo 3 3.9 Conclusiones
Para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales existen diferentes métodos, siendo
el de volumen finito el utilizado en el presente trabajo, debido a que permite seleccionar
diferentes esquemas de bajo y alto orden para resolver las ecuaciones gobernantes de flujos de
fluidos y transferencia de calor. El algoritmo SIMPLEC es el utilizado para acoplar las
ecuaciones, mientras que las propiedades físicas en las fronteras de los volúmenes de control
son evaluadas mediante la aproximación armónica. Este problema considera condiciones de
frontera de los tres tipos mencionados en la Sección 3.6. Finalmente, los métodos para
resolver los sistemas de ecuaciones algebraicas permiten obtener criterios de convergencia del
orden de 10-10.
69
Problemas de Referencia Capítulo 4 CAPÍTULO 4 VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO DESARROLLADO
En este capítulo se presenta la verificación y validación del código desarrollado
comparándolo con problemas de referencia encontrados en la literatura. Primero se presenta el
problema de una cavidad cuadrada con la pared deslizante en la parte superior bajo
condiciones isotérmicas, publicado por Ghía et al. en 1982. Posteriormente, se resuelve el
problema de transferencia de calor por convección natural en una cavidad cuadrada calentada
diferencialmente en régimen laminar con paredes horizontales adiabáticas, resuelto por De
Vahl Davis (1983). De la misma manera se presenta la solución de la convección natural en un
termosifón en forma de C reportado por Mohamad et al. (1997), así como la de una cavidad
cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno con diferentes ángulos de
inclinación, publicado por Das et al. (2006). Finalmente, se presenta la transferencia de calor
en una pared semitransparente, obteniendo un balance de energía satisfactorio. Los resultados
obtenidos de todos los problemas se comparan cualitativamente y cuantitativamente con los
reportados en la literatura, obteniéndose resultados satisfactorios.
4.1 Problemas de Referencia
Durante el desarrollo de un código computacional, es indispensable verificar y validar
los resultados obtenidos con resultados publicados en la literatura, éstos últimos pueden ser
resultados experimentalmente o mediante otros códigos computacionales (casos benchmark).
Este tipo de comparación es realizada con el fin de encontrar errores de programación y de
esta manera tener resultados confiables mediante el código desarrollado. Los problemas de
referencia resueltos para el presente trabajo son los siguientes:
· Cavidad cuadrada con pared deslizante.
· Cavidad cuadrada calentada diferencialmente.
· Convección natural en un termosifón con forma de “C”.
· Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con sólido interno.
· Transferencia de calor a través de una pared semitransparente.
71
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.1 Problema de una Cavidad con Pared Deslizante
El problema consiste en una cavidad cuadrada, con ancho Hx que es igual al alto Hy,
cuya pared superior se desliza con una velocidad Uo. Este caso es denominado también “The
Driven Cavity Problem”. Los resultados obtenidos son comparados con los de Ghía et al.
(1982). En la Figura 4.1 se muestra el modelo físico del problema con sus condiciones de
frontera. Este fenómeno está gobernado por las ecuaciones de conservación de masa y
momentum. El acoplamiento de estas ecuaciones gobernantes es el objetivo principal del
problema.
u=U0, v=0
u=0, v=0 u=0, v=0
u=0, v=0
Hx
Hy
x
y
Figura 4.1 Modelo Físico.
Para discretizar las ecuaciones de cantidad de movimiento se utilizaron la técnica de
mallas desplazadas y un algoritmo de acoplamiento presión-velocidad. El procedimiento de
integración y discretización se presentó en el Capítulo 3.
Este problema, al igual que la mayoría de los problemas de flujos de fluidos y
transferencia de calor, está expresado mediante un número adimensional, esto es con el fin de
aplicar resultados experimentales a situaciones físicas diferentes o incluso con propiedades del
fluido diferentes, en este problema en específico, se utilizó el número de Reynolds, el cuál
72
Problemas de Referencia Capítulo 4 relaciona las fuerzas inerciales y viscosas, así como distinguir los diferentes regímenes de
flujo, tales como laminar o turbulento, y está definido como:
Re =μ
ρ HxUo (4.1)
Para este problema, se consideraron constantes la densidad del fluido y la viscosidad
dinámica, el término Uo, representa la velocidad de la pared deslizante y Hx, la longitud de la
cavidad. Los resultados son expresados en forma adimensional, los cuáles son definidos por:
oo Uvv
Uuu
HxyY
HxxX ==== ****
El algoritmo SIMPLEC fue utilizado para el acoplamiento de la presión y la velocidad.
Se analizaron valores del número de Reynolds de 100, 400 y 1000, en mallas computacionales
uniformes de 61x61, 121x121 y 221x221, respectivamente. Los términos convectivos fueron
evaluados mediante el esquema de Ley de Potencia.
Figura 4.2 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=100.
73
Problemas de Referencia Capítulo 4
Figura 4.3 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=400.
Figura 4.4 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad Re=1000.
En las Figuras 4.2, 4.3 y 4.4 se presenta la comparación de los resultados obtenidos
con la solución de referencia. Cualitativamente, se aprecia una similaridad entre los resultados,
mientras que cuantitativamente, sólo presentan una diferencia porcentual máxima del 7.94%,
esto para las componentes de velocidad en el centro de la cavidad, comparadas con los
resultados de Ghía et al. (1982).
74
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.2 Problema de Convección Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada
Diferencialmente con Flujo Laminar
En este problema se aplica la transferencia de calor por convección natural de un fluido
incompresible en régimen laminar. Se considera una cavidad bidimensional con paredes
horizontales adiabáticas y paredes verticales isotérmicas calentadas diferencialmente.
Para este caso el movimiento es provocado por los cambios de la densidad provocados
por las temperaturas en las fronteras verticales. La solución de este problema consiste en
determinar los campos de velocidad y temperaturas mediante la solución acoplada de las
ecuaciones gobernantes de conservación de masa, momentum y energía, considerando
constantes las propiedades termofísicas y la aproximación de Boussinesq.
Para llevar a cabo este estudio se consideró una cavidad cuadrada de ancho Hx y altura
Hy, compuesta por dos paredes verticales isotérmicas calentadas diferencialmente
(TH-TC) y dos paredes horizontales adiabáticas. En la Figura 4.5 se muestra el modelo físico.
∂T/ ∂y=0
T = TH T = TC
∂T/ ∂y=0
Hx
Hy
AIRE(medio no participante)
x
y
Figura 4.5 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente.
Para obtener resultados adimensionales, se emplearon Hx y (gβΔTHx)1/2 como
parámetros para las escalas de longitud y velocidad, respectivamente. La temperatura
75
Problemas de Referencia Capítulo 4 adimensional se definió como T*= (T-Tc)/ΔT. El problema en forma adimensional quedó en
función del número de Rayleigh (Ra=gβΔT H3x/αν) y del número de Prandtl (Pr=ν/α),
donde ν es la viscosidad cinemática y α es la difusividad térmica.
En la Tabla 4.1 se muestran los resultados de la comparación (Nuprom, Numáx, Numín,
umáx, vmáx) en las posiciones adimensionales locales x* y y* en función del número de Rayleigh
en el intervalo de 103-106, Pr=0.71 y un tamaño de malla de 61x61 nodos. El código se
resolvió mediante el algoritmo SIMPLEC. Las comparaciones de este estudio se realizaron
con los resultados reportados por Barakos et al. (1994), De Vahl Davis et al. (1983), Markatos
et al. (1984) y Fusegi et al. (1991).
Para Ra = 103 la diferencia mayor es del 0.735% para la u máxima, el Ra = 104
presenta una diferencia del 0.865% para la v máxima, siendo esta la mayor. El Ra = 105 tiene
una diferencia mayor del 1.610% con el Nu máximo, finalmente, para el Ra = 106 se tiene una
diferencia mayor del 1.982% con el Nu mínimo. Estas diferencias son respecto a los resultados
del benchmark de De Vahl Davis et al. (1983).
76
Problemas de Referencia Capítulo 4
Tabla 4.1 Comparación de los resultados obtenidos con los reportados en la literatura para: a) Ra=103, b) Ra=104, c) Ra=105 y d) Ra=106.
a) Ra=103 Parámetros Barakos et al.
(1994) De Vahl Davis et al.
(1983) Markatos et al.
(1984) Fusegi et al.
(1991) Presente estudio
Nuprom 1.114 1.117 1.108 1.105 1.118 (0.089)*
Numáx (y*) 1.581 (0.099) 1.505 (0.092) 1.496 (0.083) 1.420 (0.083) 1.509(0.093) (0.265)*
Numín (y*) 0.670 (0.994) 0.692 (1.000) 0.720 (0.993) 0.764 (1.000) 0.690(0.991) (0.289)*
umáx (y*) 0.153 (0.806) 0.137 (0.813) 0.133 (0.832) 0.132 (0.833) 0.136(0.805) (0.735)*
vmáx (x*) 0.155 (0.181) 0.139 (0.178) 0.135 (0.168) 0.131 (0.200) 0.139(0.177) (0)*
b) Ra=104 Parámetros Barakos et al.
(1994) De Vahl Davis et al.
(1983) Markatos et al.
(1984) Fusegi et al.
(1991) Presente estudio
Nuprom 2.245 2.238 2.201 2.302 2.251(0.577)*
Numáx (y*) 3.539 (0.143) 3.528 (0.143) 3.482 (0.143) 3.652 (0.623) 3.555(0.144) (0.759)*
Numín (y*) 0.583 (0.994) 0.586 (1.000) 0.643 (0.993) 0.611 (1.000) 0.585(0.991) (0.170)*
umáx (y*) 0.193 (0.818) 0.192 (0.823) 0.192 (0.832) 0.201 (0.817) 0.192(0.822) (0)*
vmáx (x*) 0.234 (0.119) 0.233 (0.119) 0.231 (0.113) 0.225 (0.117) 0.231(0.110) (0.865)*
c) Ra=105 Parámetros Barakos et al.
(1994) De Vahl Davis et al.
(1983) Markatos et al.
(1984) Fusegi et al.
(1991) Presente estudio
Nuprom 4.51 4.509 4.43 4.646 4.547(0.835)*
Numáx (y*) 7.636 (0.085) 7.717 (0.081) 7.626 (0.083) 7.795 (0.083) 7.844(0.082) (1.610)*
Numín (y*) 0.773 (0.999) 0.729 (1.000) 0.824 (0.993) 0.787 (1.000) 0.730(0.993) (0.136)*
umáx (y*) 0.132 (0.859) 0.130 (0.855) 0.134 (0.857) 0.147 (0.855) 0.130(0.854) (0)*
vmáx (x*) 0.258 (0.066) 0.257 (0.066) 0.259 (0.067) 0.247 (0.065) 0.256(0.069) (0.389)*
d) Ra=106 Parámetros Barakos et al.
(1994) De Vahl Davis et al.
(1983) Markatos et al.
(1984) Fusegi et al.
(1991) Presente estudio
Nuprom 8.806 8.817 8.754 9.012 8.864 (0.530)*
Numáx (y*) 17.442 (0.036) 17.925 (0.037) 17.872 (0.037) 17.670 (0.037) 17.924(0.0342) (0.005)*
Numín (y*) 1.001 (0.999) 0.989 (1.000) 1.232 (0.993) 1.257 (1.000) 1.009(0.996) (1.982)*
umáx (y*) 0.077 (0.859) 0.077 (0.850) 0.082 (0.872) 0.084 (0.856) 0.077(0.856) (0)*
vmáx (x*) 0.262 (0.039) 0.260 (0.0379) 0.263 (0.0375) 0.259 (0.033) 0.260(0.0342) (0)*
* Diferencia porcentual absoluta con respecto a los resultados de De Vahl Davis.
77
Problemas de Referencia Capítulo 4
Los valores de comparación corresponden al número de Nusselt promedio, máximo y
mínimo en la pared caliente de la cavidad, así como también para las componentes de
velocidad adimensionales máximas en el centro de la cavidad. Adicionalmente, en la Figura
4.6 se presentan como resultados isolíneas adimensionales de las componentes de la velocidad
(u*, v*), las líneas de corriente (ψ*) y las isotermas (T*).
En la Figura 4.6, se puede observar que para Ra=103 las isotermas son casi paralelas a
las paredes verticales, mostrando de esta forma, que predomina la transferencia de calor por
conducción entre las paredes caliente y fría. En cambio, con un número de Ra=104 los
gradientes de temperatura son más grandes cerca de las paredes verticales, pero disminuyen
conforme se acercan al centro de la cavidad, mostrando el efecto convectivo cerca de las
paredes verticales.
Cuando se tiene un Ra=105, se obtiene un comportamiento similar, de modo que, la
transferencia de calor por convección en la capa límite viscosa afecta la distribución de
temperatura, de manera tal, que los gradientes de temperatura en el centro de la cavidad son
cercanos a cero o cambian de signo. Para este valor de Ra, las isotermas en el centro de la
cavidad son aproximadamente horizontales, reflejando así un flujo estratificado.
Para Ra=106, la transferencia de calor que predomina es la convección, la capa límite
adyacente en las paredes verticales es muy delgada y las isotermas son únicamente verticales
en esta zona de la cavidad. De los resultados anteriores, se puede concluir que los resultados
obtenidos fueron satisfactorios.
78
Problemas de Referencia Capítulo 4
u* v* Ψ T
* *
a) Ra = 103
b) Ra = 104
c) Ra = 105
d) Ra = 106
Figura 4.6 Componentes de la velocidad (u*, v*), líneas de corriente (Ψ*) e isotermas (T*)
para a) Ra = 103, b) Ra = 104, c) Ra = 105 y d) Ra = 106.
79
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.3 Problema de convección natural en un termosifón con forma de C
En este problema se analiza la convección natural en régimen laminar en dos
dimensiones para un termosifón en forma de C (Figura 4.7). Este puede ser visualizado como
una pared sólida embebida dentro de una cavidad abierta en un extremo, dejando un espacio
de aire entre el bloque sólido y las paredes de la cavidad. Cuando el sólido es calentado, la
fuerza de flotación del fluido hace que el fluido entre en el espacio entre las paredes y el sólido
por la parte inferior y salga por la superior. La razón de flujo depende del número de Rayleigh
y razón de aspecto. El análisis se realiza para un intervalo del número de Ra de 103 a 106 y
razones de aspecto de 2, 4, 6 y 10. El número de Pr es considerando 0.7. El ancho del espacio
de aire se mantiene constante con un tamaño de 1/4L.
LLw
H1
H2
HTHTH TC
x
y
TC
Figura 4.7 Modelo físico del termosifón en forma de C.
Se considera el flujo laminar en estado permanente en dos dimensiones y la
transferencia de calor dentro del termosifón. La pared caliente se mantiene a una temperatura
constante de TH, mientras que la temperatura de la pared fría es TC. Las fronteras inferior y
superior se consideran adiabáticas. La temperatura en la entrada del termosifón es constante e
igual a la temperatura ambiente, TC. El flujo es inducido únicamente por convección natural y
80
Problemas de Referencia Capítulo 4 no se imponen velocidades a la entrada o a la salida. El fluido se considera incompresible y las
propiedades termofísicas son constantes, considerando la aproximación de Boussinesq.
Las condiciones de frontera para la velocidad son cero en las fronteras sólidas. Para la
temperatura en las superficies horizontales se consideran como adiabáticas, para la pared
izquierda se definen como:
Para 0 ≤ y ≤ H1:
CTTvxu
===∂∂ ,0
Para H1 ≤ y ≤ H2:
0=∂∂
==xTvu
Para y > H2:
0=∂∂
=∂∂
=∂∂
xT
xv
xu
En el sólido:
Para x < LW, H1 < y < H2
HTTvu === ,0
Se resolvió mediante el método de volumen finito utilizando el algoritmo SIMPLER,
utilizando un tamaño de malla de 81x151, 81x201, 81x251, 81x301, para las razones de
aspecto de 2, 4, 6 y 10, respectivamente.
Los resultados obtenidos se comparan cualitativa y cuantitativamente a continuación.
En la Figura 4.8 se presentan las isotermas para las cavidades con un número de Ra de
103 con una razón de aspecto A = 2, en la Figura a) se presenta el campo reportado por
Mohamad (1997) y en la Figura b) el campo obtenido en el presente estudio. En la parte
inferior existe una zona con una temperatura promedio, a medida que el aire va subiendo por
el canal se presentan isotermas verticales con capas límites muy delgadas en la superficie del
muro, esto indica que el fenómeno de convección es el que predomina, finalmente a la salida
81
Problemas de Referencia Capítulo 4 el aire se encuentra a temperatura caliente, cabe destacar que cualitativamente no existen
diferencias significativas en esta comparación.
a) b)
Figura 4.8 Isotermas para Ra = 103 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.
En la Figura 4.9 se muestran las isotermas para una cavidad con Ra de 105 y una razón
de aspecto A = 2, en la Figura a) se presentan los resultados reportados por Mohamad (1997) y
en la Figura b) los resultados del presente estudio, nuevamente de manera cualitativa ambos
perfiles se encuentran similares, en la parte inferior existe una zona con temperatura fría y otra
con una distribución de temperatura uniforme, la temperatura en el canal tiene isotermas
verticales con capas límites muy delgadas en la superficie del muro, indicando que el
fenómeno de convección es el predominante, en la salida el aire presenta isotermas
horizontales.
82
Problemas de Referencia Capítulo 4
a) b)
Figura 4.9 Isotermas para Ra = 1x105 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.
a) b)
Figura 4.10 Isotermas para Ra = 1x106 y A = 2, (a) Mohamad y (b) Presente trabajo.
En la Figura 4.10 se presentan las isotermas para una cavidad con un número de Ra de
104 y razón de aspecto A = 2, en la Figura a) los presentados por Mohamad (1997) y en la
Figura b) los resultados obtenidos en el presente estudio, cualitativamente no se encuentran
diferencias significativas en los resultados obtenidos con los de la bibliografía.
83
Problemas de Referencia Capítulo 4
Para realizar una comparación de manera cuantitativa, en la Tabla 4.2 se muestra la
comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente del presente estudio y de
Mohamad et al. (1997), para los Ra desde 103 hasta 106 con razones de aspecto
A = 2, 4, 6 y 10.
Tabla 4.2 Comparación del número de Nu promedio obtenido en la pared caliente.
A=2
Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.34 4.10 5.53% 104 4.28 4.03 5.78% 105 5.91 5.92 0.25% 106 12 11.82 1.52%
A=4
Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.23 3.99 6.63% 104 4.18 3.95 5.51% 105 5.35 5.26 1.53% 106 10.42 10.34 0.76%
A=6
Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.21 3.96 5.96% 104 4.18 3.93 5.88% 105 5.10 5.01 1.73% 106 9.61 9.65 0.37%
A=10
Ra Mohamad et al. (1997) Presente estudio %dif 103 4.18 3.94 5.82% 104 4.17 3.92 5.94% 105 4.81 4.69 2.56% 106 8.58 8.64 0.81%
Para la razón de aspecto A = 2, el número de Ra de 105 presenta la menor diferencia
con 0.25% mientras que para el Ra de 104 se presenta la mayor diferencia del 5.78%. En el
caso de la razón de aspecto A = 4 el número de Ra de 103 presenta la diferencia con 6.63%.
Para el caso de razón de aspecto A = 6 el Ra de103 presenta la mayor diferencia con 5.96%.
Finalmente, para el caso de razón de aspecto A = 10, el Ra de 104 presenta la mayor diferencia
(5.94%). Esta comparación de resultados muestra que los resultados obtenidos en general son
satisfactorios en un máximo de 6.63%.
84
Problemas de Referencia Capítulo 4
0
2
4
6
8
10
12
14
1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra
Nu
Presente EstudioMohamad et al.
0
2
4
6
8
10
12
1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra
Nu
Presente EstudioMohamad et al.
a) b)
0
2
4
6
8
10
12
1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra
Nu
Presente EstudioMohamad et al.
0123456789
10
1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ra
Nu
Presente EstudioMohamad et al.
c) d)
Figura 4.11 Comparación del número de Nusselt promedio en la pared caliente para todos los números de Ra con diferentes razones
de aspecto: a) A=2, b) A=4, c) A=6 y d) A=10 .
En la Figura 4.11 se muestra gráficamente la comparación de los resultados obtenidos
para el número de Nusselt promedio en la pared caliente, donde todas las razones de aspecto
presentan el mismo perfil exponencial.
85
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.4 Problema de Convección Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada
Diferencialmente con un Sólido Interno
El presente problema trata de la convección natural para una cavidad calentada
diferencialmente con un ángulo de inclinación en dos dimensiones, ésta contiene un sólido
conductor en su interior. Las paredes horizontales son adiabáticas y paredes verticales son
isotérmicas. Para la comparación se considera un tamaño adimensional de cuerpo ζ = w/L =0.5
y una relación de conductividad térmica del sólido al fluido k* = ks/kf = 5.0. En la Figura 4.12
se muestra el modelo físico.
Los cálculos se realizaron para números de Rayleigh en un intervalo de 103 a 106 y con
una inclinación desde los 15º hasta 90º con incrementos de 15º. Como resultado, se presenta la
comparación cualitativa del número de Nusselt con los resultados reportados por Das (2006).
(pared adiabática)
(pared adiabática)
L
L
Tc = 0.0
Th = 1.0
ww
Lw
=ζ
y
x
g
φ
φ
gsenφ gcosφ
SólidoAire
kf
ks
Figura 4.12 Cavidad cuadrada calentada diferencialmente con un sólido interno.
Para un Ra = 106, Figura 4.13, predomina la transferencia de calor por convección,
muestra una capa límite muy delgada adyacente en las paredes verticales, y con menores
gradientes de temperatura cerca del sólido. Mediante las líneas de corriente, Figura 4.14, se
pueden apreciar vórtices para todos los ángulos de inclinación, esto se debe al tamaño de la
cavidad y al gradiente de temperatura entre la pared y el sólido.
86
Problemas de Referencia Capítulo 4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Figura 4.13 Gráficas de isotermas para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Figura 4.14 Gráficas de líneas de corriente para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, comenzando con
un ángulo de inclinación de 15º y con un incremento de 15º.
87
Problemas de Referencia Capítulo 4 A continuación se muestra la comparación cualitativa de los resultados obtenidos con
los de la bibliografía reportados por Das, 2006. En las Figuras 4.15 y 4.16 se grafica el número
de Nusselt local a lo largo de la pared caliente para diferentes ángulos de inclinación para Ra
105 y 106. El aumento del ángulo de inclinación se refleja en el aumento del número de Nusselt
local. El valor del Nusselt local es mayor para un pequeño ángulo de inclinación.
0
2
4
6
8
10
0 0.25 0.5 0.75 1y
Nu L
15º30º45º60º75º90º
Pared caliente
(a) (b)
Figura 4.15 Número de Nusselt local para Ra = 105, ζ = 0.5 y k* = 5.0, desde 15º a 90º con
incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
0
5
10
15
20
25
0 0.25 0.5 0.75 1y
Nu L
15º
30º
45º
60º
75º
90ºPared caliente
(a) (b)
Figura 4.16 Número de Nusselt local para Ra = 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0 desde 15º a 90º con incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
88
Problemas de Referencia Capítulo 4
En la Figura 4.17 se muestra la variación del número de Nusselt promedio en función
del ángulo de inclinación para números de Ra =103 a 106, se observa que para
Ra =103, el Nusselt promedio permanece constante en el intervalo del ángulo de inclinación,
indicando que predomina la transferencia de calor por conducción. Para el
Ra 106, al incrementar el ángulo de inclinación, el valor del Nu aumenta significativamente.
Con el aumento del número de Ra, la convección es la forma dominante en la transferencia de
calor, dando lugar a un incremento significativo del número de Nusselt promedio.
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9
10 20 30 40 50 60 70 80 90φ
Nu p
rom
Ra = 103Ra = 104Ra = 105Ra = 106
103
104
105
106
Pared Caliente
k*=5.0
(a) (b)
Figura 4.17 Número de Nusselt promedio para Ra =103 a 106, ζ = 0.5 y k* = 5.0, desde 15º a 90º con incremento de 15º, (a) presente trabajo, (b) Das (2006).
De las comparaciones cualitativas anteriores se puede concluir, que los resultados
obtenidos en el presente trabajo predicen satisfactoriamente los resultados reportados por Das
(2006).
89
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.1.5 Transferencia de Calor en una Pared Semitransparente
Para calcular la distribución de temperatura al interior y al exterior de una pared
semitransparente compuesta por un vidrio, se considera el modelo físico de la pared
semitransparente de 6 mm mostrada en la Figura 4.18, donde la temperatura exterior To es
controlada por las condiciones ambientales y la temperatura Ti es la temperatura en el interior
de la cavidad.
Tg
To
TiG
Hxg
Hy
x
y
qconv-intqconv-ext
qrad-ext
Figura 4.18 Modelo físico de la pared semitransparente.
Para las condiciones de frontera, las paredes horizontales (superior e inferior) son
adiabáticas, las paredes verticales se encuentran intercambiando energía por convección hacia
el interior (derecha), así como por convección y radiación hacia el exterior (izquierda) de la
pared.
Para este modelo de conducción de calor a través de la pared semitransparente, se
considera la radiación solar incidente en forma normal al vidrio con un valor constante de 750
W/m2.
Otra consideración es el valor para los coeficientes de transferencia de calor por
convección, el cual se supone de 6.8 W/m2K para una velocidad de 3 m/s en el exterior a
90
Problemas de Referencia Capítulo 4 temperatura ambiente y de 6.2 W/m2K en el interior para la simulación de la pared
semitransparente, este último valor es razonable si se considera un sistema de aire
acondicionado que puede inducir aire a 2.5 m/s, (Xamán, 2004).
En la Tabla 4.3 se muestran las propiedades usadas en este trabajo para la
determinación del campo de temperaturas en la pared semitransparente.
Tabla 4.3 Propiedades termofísicas del vidrio.
Vidrio (6mm) α*
g = 0.14 λ g = 1.4 W/m·K τ*
g = 0.78 Cp g = 750 J/kg·K ρ*
g = 0.08 ρ*g = 2500 Kg/m3
ε* g = 0.85
A continuación se muestran los resultados obtenidos del modelo de transferencia de
calor por conducción a través de un sólido semitransparente. Esencialmente, el modelo
determina la distribución de temperaturas al interior y exterior del sistema, debido a la
fracción de la radiación solar absorbida por el vidrio.
En la Figura 4.19 se presenta la variación de la temperatura a través del sistema para
diferentes temperaturas de aire exterior (To= 0 → 50 ºC, en intervalos de 5ºC) y una
temperatura interior del aire de Ti= 21ºC. El vidrio tiene un espesor de 6 mm. En esta Figura se
pueden apreciar los gradientes máximos de temperaturas de 0.5 y 0.75 ºC, para las
temperaturas límites del intervalo considerado para el aire exterior de 0 y 50 ºC
respectivamente. Conforme el valor de la temperatura del aire exterior To se acerca a la
temperatura interior Ti de 21°C (por ejemplo, para la línea correspondiente a 20°C de la
Figura 4.19), el gradiente de temperatura a través del vidrio se aproxima a cero, tal como se
esperaría físicamente.
91
Problemas de Referencia Capítulo 4
Figura 4.19 Distribución de temperaturas a través de un vidrio
de 6 mm para diferentes To.
En la Tabla 4.4 se presentan los flujos de calor qτ = flujo de calor transmitido al
interior, qα = flujo de calor absorbido por el sistema, qρ = flujo de calor reflejado al exterior,
qi = flujo de calor al interior por convección y radiación, qo = flujo de calor al exterior por
convección y radiación, qi+qτ = flujo de calor total al interior, qo+qρ = flujo de calor total al
exterior, qTotal = flujo de calor total (balance de energía) para el intervalo de temperaturas
exteriores de 0-50 ºC. Se puede observar que al realizar el balance total con respecto a la
irradiación solar que incide en el vidrio, se tiene una diferencia porcentual absoluta del
0.001%, lo cual indica que el balance de energía a través del sistema se ha calculado
satisfactoriamente.
Tabla 4.4 Flujos de calor para el sistema de la pared semitransparente.
T qτ qα qρ qi qo qi+qτ qo+qρ qTOTAL G SHGC (ºC) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (W/m2) (%)
0 585.12 104.88 60.00 -60.68 165.56 524.44 225.56 749.99 750.00 69.92% 10 585.12 104.88 60.00 -8.64 113.52 576.49 173.52 749.99 750.00 76.86% 20 585.12 104.88 60.00 45.59 59.29 630.71 119.29 749.99 750.00 84.10% 30 585.12 104.88 60.00 102.15 2.73 687.27 62.73 749.99 750.00 91.64% 40 585.12 104.88 60.00 161.21 -56.33 746.33 3.67 749.99 750.00 99.51% 50 585.12 104.88 60.00 222.91 -118.03 808.03 -58.03 749.99 750.00 ------
92
Problemas de Referencia Capítulo 4 4.2 Análisis de Independencia de Malla
Una vez obtenido el código numérico, se realizó un análisis de malla para encontrar
una densidad de malla computacional óptima, en la cual los resultados no muestren cambios
significativos y por ende sean independientes del tamaño de malla. A continuación se
presentan los resultados del estudio de independencia de malla para un sistema de muro
Trombe con un ancho de canal y tamaño de ventilas de 1/10 del ancho de la cavidad y un
muro de concreto de 1/10 del ancho de la cavidad para un número de Rayleigh de 107, el cual
es considerado como representativo para todos los casos estudiados.
En la Figura 4.20, se muestran las componentes de velocidad u y v en el centro de la
cavidad, los tamaños de las mallas utilizadas fueron desde 67x61 hasta 147x141 con
incrementos de 10 nodos a lo largo de cada eje de coordenadas. Es importante mencionar que
en la sección de la pared semitransparente se fijaron 6 nodos en la dirección x.
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0 0.05 0.1 0.15 0.2x(m)
v (m
/s) 67x61
77x71
87x81
97x91
107x101
117x111
127x121
137x131
147x141
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06
u (m/s)
y(m
)
67x61
77x71
87x81
97x91
107x101
117x111
127x121
137x131
147x141
a) b)
Figura 4.20 Efecto del refinamiento de la malla en el centro de la cavidad para a) v y b) u
Se puede observar que a partir de una malla con tamaño de 107x101, las curvas de las
componentes de velocidad quedan sobrepuestas cualitativamente. Para analizar estos
resultados de una forma cuantitativa, en la Tabla 4.5 se presentan las diferencias porcentuales
entre los resultados para los tamaños de malla estudiados para la temperatura en el centro de la
cavidad (T), la temperatura máxima (Tmax) y mínima (Tmin), así como la temperatura promedio
93
Problemas de Referencia Capítulo 4 en la habitación (Thab-prom) y en el sistema completo (Tprom), finalmente también para el número
de Nusselt promedio en la superficie del muro hacia el canal (NuWALL). Para la malla de
107x101, la temperatura muestra una diferencia menor al 0.5%, mientras que para el número
de Nusselt promedio en la superficie del muro hacia el canal, es menor al 1.5%, de esta
manera, se establece que la malla de 107x101 nodos, es la adecuada para realizar los cálculos
del estudio.
Tabla 4.5 Diferencias porcentuales para diferentes tamaños de malla.
Tamaño de malla 67x61 77 x71 87x81 97x91 107x101 117x111 127x121 137x131 147x141
T 304.65 304.94 305.65 306.54 307.34 308.03 308.72 309.35 309.96diferencia 0.093% 0.233% 0.292% 0.258% 0.225% 0.222% 0.205% 0.195%
Tmax 310.94 311.21 312.73 314.17 315.54 317.03 318.30 319.54 320.91
diferencia 0.085% 0.488% 0.459% 0.435% 0.468% 0.400% 0.388% 0.427%
Tmin 296.94 294.65 293.47 293.40 293.42 293.34 293.30 293.27 293.25diferencia 0.776% 0.403% 0.022% 0.007% 0.028% 0.014% 0.011% 0.008%
Tprom 306.46 304.37 306.73 307.44 308.10 308.81 309.39 309.95 310.59
diferencia 0.685% 0.768% 0.233% 0.212% 0.229% 0.189% 0.181% 0.207%
Thab-prom 304.46 300.98 305.06 305.89 306.63 307.36 308.01 308.63 309.28diferencia 1.154% 1.336% 0.272% 0.242% 0.236% 0.212% 0.199% 0.212%
NuWALL 6.82 7.68 7.94 7.79 7.68 7.67 7.58 7.51 7.47
diferencia 11.170% 3.278% 1.858% 1.411% 0.181% 1.182% 0.972% 0.523%
4.3 Análisis del Criterio de Convergencia
El criterio de convergencia de los resultados es un concepto importante en un estudio
numérico. Este criterio se basa en el balance de la ecuación discreta, mediante el cual se
obtiene un residual para cada variable (u, v, P, T) y puede obtenerse durante el proceso
iterativo. Este residual debe disminuir durante toda la simulación y su valor debe tender a
cero. Si este valor tiende a ser más pequeño durante el proceso iterativo, esto indica el grado
de acercamiento a la solución de la ecuación de conservación.
94
Problemas de Referencia Capítulo 4
Tabla 4.6a Resultados para un Ra=105 con diferentes criterios de convergencia
Criterio de convergencia 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 10 -10
T 298.05 299.20 302.22 302.53 302.56 302.56 302.56 302.56diferencia 0.385% 1.011% 0.100% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000%
u -0.00068 -0.00033 -0.00090 -0.00093 -0.00094 -0.00094 -0.00094 -0.00094
diferencia 50.732% 168.485% 3.865% 0.353% 0.035% 0.003% 0.000%
v 0.00179 0.00074 -0.00040 -0.00049 -0.00049 -0.00049 -0.00049 -0.00049diferencia 58.498% 154.380% 20.445% 1.639% 0.161% 0.016% 0.002%
Tmax 307.28 308.73 310.76 311.02 311.07 311.08 311.08 311.08
diferencia 0.472% 0.657% 0.084% 0.018% 0.002% 0.000% 0.000%
Tmin 293.05 293.06 293.09 293.10 293.10 293.10 293.10 293.10diferencia 0.004% 0.011% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%
Tprom 300.24 301.67 305.18 305.53 305.56 305.56 305.56 305.56
diferencia 0.474% 1.164% 0.113% 0.011% 0.001% 0.000% 0.000%
Thab-prom 298.13 299.32 302.27 302.56 302.59 302.59 302.59 302.59diferencia 0.400% 0.987% 0.096% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000%
NuHOT 3.60 3.00 0.95 0.78 0.76 0.76 0.76 0.76
diferencia 16.651% 68.268% 18.639% 2.255% 0.230% 0.023% 0.002%
NuCOLD 2.92 3.53 5.12 5.27 5.29 5.29 5.29 5.29diferencia 20.998% 44.932% 2.914% 0.281% 0.028% 0.003% 0.000%
NuWALL 2.37 2.49 2.84 2.87 2.87 2.87 2.87 2.87
diferencia 5.042% 14.065% 0.995% 0.097% 0.010% 0.001% 0.000%
En la Tabla 4.6 se presentan los valores obtenidos para el Ra=105, 106 y 107 de la
temperatura (T), velocidad u y v en el centro de la cavidad, la temperatura máxima (Tmax),
mínima (Tmin) y promedio en todo el sistema (Tprom), así como la temperatura promedio en la
habitación (Thab-prom), también se presenta el número de Nusselt promedio en la pared
semitransparente (NuHOT), en la pared fría (NuCOLD), y en la superficie del muro hacia el canal
(NuWALL), con diferentes criterios de convergencia, en un sistema de muro Trombe con un
ancho de canal y tamaño de ventilas de 1/10 del ancho de la cavidad y un muro de concreto de
1/10 del ancho de la cavidad, en la Tabla 4.6a se muestra que la diferencia porcentual de las
variables al cumplir con un residual de 10-7 es menor al 2% y menor al 2.5% para los números
95
Problemas de Referencia Capítulo 4 de Nusselt en el sistema, estableciendo de esta manera, que el criterio de convergencia de 10-7
es el adecuado para el estudio numérico del Ra=105.
Tabla 4.6b Resultados para un Ra=106 con diferentes criterios de convergencia
Criterio de convergencia 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 10 -10
T 300.46 303.41 305.695 305.90 305.92 305.93 305.93 305.93diferencia 0.980% 0.752% 0.071% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%
u 0.00419 0.00332 0.00308 0.00305 0.00305 0.00305 0.00305 0.00305
diferencia 20.778% 7.285% 0.837% 0.084% 0.008% 0.001% 0.000%
v -0.00156 -0.00016 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005diferencia 89.555% 128.342% 17.572% 1.357% 0.133% 0.013% 0.001%
Tmax 307.67 310.20 311.93 312.32 312.36 312.36 312.36 312.36
diferencia 0.818% 0.558% 0.124% 0.012% 0.001% 0.000% 0.000%
Tmin 293.10 293.15 293.18 293.19 293.19 293.19 293.19 293.19diferencia 0.015% 0.012% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%
Tprom 301.14 304.16 306.45 306.67 306.69 306.69 306.69 306.69
diferencia 1.003% 0.751% 0.072% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%
Thab-prom 299.99 302.75 304.762 304.96 304.98 304.98 304.98 304.98diferencia 0.918% 0.665% 0.064% 0.006% 0.001% 0.000% 0.000%
NuHOT 6.83 5.26 3.54 3.38 3.36 3.36 3.36 3.36
diferencia 22.964% 32.781% 4.485% 0.465% 0.047% 0.005% 0.000%
NuCOLD 8.08 11.00 13.31 13.53 13.55 13.55 13.55 13.55diferencia 36.151% 20.964% 1.684% 0.165% 0.016% 0.002% 0.000%
NuWALL 2.39 3.20 3.86 3.92 3.92 3.92 3.92 3.92
diferencia 33.959% 20.536% 1.402% 0.136% 0.014% 0.001% 0.000%
Como se muestra en la Tabla 4.6b, la diferencia porcentual para un Ra=106 es menor
al 1.5% para todas las variables y menor al 0.5% para los números de Nusselt, garantizando de
esta manera, que con un residual de 10-7 como criterio de convergencia, los resultados no
cambiarán significativamente.
96
Problemas de Referencia Capítulo 4
Tabla 4.6c Resultados para un Ra=107 con diferentes criterios de convergencia
Criterio de convergencia 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 10 -10
T 301.83 306.38 307.42 307.51 307.52 307.52 307.52 307.52diferencia 1.507% 0.338% 0.030% 0.003% 0.000% 0.000% 0.000%
u 0.00599 0.00336 0.00302 0.00299 0.00298 0.00298 0.00298 0.00298
diferencia 43.795% 10.212% 1.086% 0.109% 0.011% 0.001% 0.000%
v 0.00029 -0.00005 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002 -0.00002diferencia 116.424% 60.020% 14.579% 1.691% 0.172% 0.017% 0.002%
Tmax 309.59 312.15 314.63 314.86 314.88 314.88 314.88 314.88
diferencia 0.827% 0.795% 0.073% 0.007% 0.001% 0.000% 0.000%
Tmin 293.22 293.36 293.37 293.38 293.38 293.38 293.38 293.38diferencia 0.043% 0.010% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000%
Tprom 301.91 306.34 307.55 307.67 307.68 307.68 307.68 307.68
diferencia 1.468% 0.395% 0.036% 0.004% 0.000% 0.000% 0.000%
Thab-prom 301.49 305.32 306.37 306.46 306.47 306.47 306.47 306.47diferencia 1.272% 0.342% 0.032% 0.003% 0.000% 0.000% 0.000%
NuHOT 14.04 8.73 7.31 7.18 7.17 7.16 7.16 7.16
diferencia 37.843% 16.283% 1.748% 0.176% 0.018% 0.002% 0.000%
NuCOLD 17.40 26.09 28.82 29.08 29.11 29.11 29.11 29.11diferencia 49.977% 10.463% 0.901% 0.089% 0.009% 0.001% 0.000%
NuWALL 1.48 5.89 6.78 6.85 6.86 6.86 6.86 6.86
diferencia 298.416% 15.012% 1.151% 0.113% 0.011% 0.001% 0.000%
En la Tabla 4.6c se aprecia de manera cuantitativa que a partir del residual de 10-7 se
tienen diferencias menores al 2% para las variables estudiadas y menores al 0.5% para el
promedio de los números de Nusselt, garantizando de esta manera, que con un residual de 10-7
como criterio de convergencia para un Ra=107, los resultados no cambian significativamente.
97
Problemas de Referencia Capítulo 4
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0 0.05 0.1 0.15 0.2
x (m)
v (m
/s)
10-3
10-4
10-510-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04
u (m/s)
y (m
) 10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
a) b)
Figura 4.21 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para a) v y b) u
En la Figura 4.21 se muestran los resultados obtenidos del estudio del criterio de
convergencia para el Ra=107, considerando un sistema de muro Trombe con un ancho de
canal s = 1/10 del ancho de la cavidad y un muro de concreto con espesor d = 1/10 del ancho
de la cavidad. Para la componente de velocidad u y v a lo largo del eje y y x en la mitad de la
cavidad respectivamente, se puede observar de forma cualitativa que a partir de un residual de
10-5 no existe variación significativa, ya que las líneas quedan sobrepuestas.
En la Figura 4.22 se muestran los perfiles de temperatura para el mismo caso, se puede
observar cuantitativamente que existe una pequeña diferencia con respecto al residual de 10-5,
la cual desaparece a partir de 10-6, debido a que las líneas quedan sobrepuestas, asegurando de
esta manera, la convergencia del código numérico.
98
Problemas de Referencia Capítulo 4
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
295 300 305 310 315
T (K)
y (m
)
10-3
10-410-5
10-610-7
10-810-9
10-10
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
290
295
300
305
310
315
0 0.05 0.1 0.15 0.2
x (m)
T (K
)
10-310-410-510-610-710-810-910-10
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
a) b)
Figura 4.22 Efecto del criterio de convergencia en el centro de la cavidad para T en a) y y b) x.
4.4 Conclusiones
Los diferentes problemas de referencia resueltos permiten la familiarización con la
técnica numérica y la verificación del código. Para el desarrollo del código numérico del
problema planteado inicialmente, esta familiarización involucra adquirir conocimientos y
habilidades en la técnica numérica respecto a los tratamientos de términos difusivos,
convectivos, transitorios así como de diferentes tipos de condiciones de frontera. Para el
problema de la cavidad con pared deslizante se obtuvo una diferencia máxima del 7.94%,
comparados con los de Ghía et al. (1982). En el caso de la cavidad cuadrada calentada
diferencialmente con flujo laminar se obtuvo una diferencia máxima del 1.98%, al compararse
con los resultados de Vahl Davis et al. (1983). Para el caso de la convección natural en un
termosifón en forma de “C” se obtuvo una diferencia máxima del 6.63%, comparado con los
resultados de Mohamad (1997). En el problema de la convección natural con un sólido
interno, se realizó una comparación cualitativa de manera favorable, con los resultados de Das
(2006). El balance de los flujos de calor en el sistema de la pared semitransparente demuestra
que los resultados son satisfactorios para este problema.
99
Problemas de Referencia Capítulo 4
Mediante el análisis de malla se demostró que un tamaño de malla computacional de
107x101 es adecuado para la realización de los cálculos en este estudio. Y finalmente,
mediante el análisis del criterio de convergencia, se consideró el residual de 10-7 como
adecuado, debido a que con este criterio, los resultados ya no cambian significativamente.
100
Resultados Capítulo 5 CAPÍTULO 5 RESULTADOS
En este capítulo se presentan los resultados numéricos para la transferencia de calor
conjugada en un sistema de muro Trombe. El capítulo está conformado por las siguientes
secciones: parámetros que abarcan el estudio, efectos del número de Rayleigh en la
distribución del las velocidades y la temperatura, efecto del ancho del canal, efecto del espesor
y tipo del muro, así como la evaluación de la eficiencia del muro Trombe.
5.1 Parámetros de estudio
La eficiencia de un sistema solar pasivo de muro Trombe se ve reflejada en la
combinación de sus elementos, es por esto que la simulación numérica es una herramienta útil
que nos permite establecer los parámetros para su óptimo desempeño. Ya que mediante la
simulación numérica es posible variar los parámetros que intervienen en el sistema y observar
el comportamiento, con un costo económico relativamente bajo comparado con el análisis
experimental. A continuación se presentan los parámetros de análisis utilizados en este
estudio.
5.1.1 Parámetros fijos en el sistema de muro Trombe
Para este estudio se consideró una cavidad cuadrada con 3 dimensiones diferentes, con
una pared semitransparente en el lado izquierdo con 6 mm de espesor. Para calcular la
transferencia de calor por convección desde la pared semitransparente hacia el medio ambiente
exterior, se consideró un valor del coeficiente convectivo de 6.8 W/m·K a una temperatura de
30 ºC. El flujo de calor impuesto a la pared semitransparente se consideró normal a la
superficie y constante con un valor de 736 W/m2, mientras que la otra pared vertical se
consideró a una temperatura constante de 20 ºC y las paredes horizontales aisladas.
101
Resultados Capítulo 5 5.1.2 Configuración del canal
Para estudiar la eficiencia en la distribución de temperatura al interior de la cavidad se
realizó un análisis considerando el tamaño de las ventilas de entrada y salida igual al ancho del
canal. Esto permitirá analizar el efecto en el patrón de flujo, distribución de velocidades y
temperaturas en la habitación, así como en el canal. En la Figura 5.1, se muestra un muro con
espesor d = 1/10 con respecto al ancho de la cavidad para los 3 tamaños de canal (s)
estudiados a) 1/30, b) 1/15 y c) 1/10, estas razones son con respecto al ancho de la cavidad. El
tamaño de las ventilas está determinado por el ancho del canal, ya que es el mismo.
a) b) c)
Figura 5.1 Tamaños de canal (s) estudiados a)1/30, b)1/15 y c)1/10.
5.1.3 Espesor y tipo de material de muro
Para el sistema de muro Trombe es de vital importancia la absorción y almacenamiento
del calor, es aquí donde el espesor y material del muro juegan un papel importante, en este
trabajo se seleccionan dos tipos de materiales: el adobe y el concreto. También, se tomaron en
cuenta cinco espesores (d) diferentes con respecto al ancho de la cavidad: a) 1/30, b) 1/15, c)
1/10, d) 1/7.5 y e) 1/6. Las propiedades de los materiales se muestran en la Tabla 5.1
(Incropera, 1999).
102
Resultados Capítulo 5
Tabla 5.1 Propiedades termofísicas de los materiales
ρ (Kg/m3)
λ (W/m·K)
Cp (J/Kg·K)
Adobe 1620 0.49 1240 Concreto 2300 1.8 837
5.1.4 Efecto del número de Rayleigh
Este problema está en función de los siguientes parámetros adimensionales: número de
Rayleigh (Ra=gβΔTHx3/αν), así como del número de Prandtl (Pr= ν/α), donde ν es la
viscosidad cinemática y α es la difusividad térmica.
Las dimensiones de la cavidad son diferentes para cada número de Rayleigh, en la
Tabla 5.2 se presentan las dimensiones de la cavidad para cada número de Ra.
Tabla 5.2 Dimensiones de la cavidad para los Ra analizados
Ra 105 106 107 Hx (cm) 3.92 8.46 18.24
5.2 Patrón de Flujo
El patrón de flujo es un aspecto importante para el análisis debido a que muestra la
distribución de temperaturas, así como los perfiles de velocidad, este patrón de flujo está en
función del número de Rayleigh. A continuación se presentan las isolíneas de corriente, el
vector de velocidad e isotermas para cada número de Rayleigh estudiado, la configuración
utilizada es la de un muro de adobe y concreto con un espesor d = 1/10 y un canal con ancho
s = 1/15.
El caso de la Figura 5.2 corresponde al muro de adobe, donde se puede observar que
para el Ra=105 se presenta una distribución de isolíneas de corriente con un patrón elíptico
con dos celdas en el centro, el campo de velocidad muestra que el aire baja por la pared fría y
sube por la pared caliente así como en la sección del canal, a diferencia del centro, donde es
menor y casi nulo el movimiento. Para el caso de las isotermas, los gradientes son más severos
103
Resultados Capítulo 5 cerca de las paredes verticales. Para este Ra, la transferencia de calor por convección en la
capa límite viscosa altera la distribución de temperatura hasta cierto punto que hace que los
gradientes horizontales sean muy pequeños en el centro de la cavidad, en la sección del canal
se presenta un régimen de temperaturas casi conductivo, debido a que las velocidades son
relativamente bajas.
Para el Ra=106, la distribución de las isolíneas de corriente muestra una zona
estratificada más grande en comparación con el Ra = 105, así mismo, el campo de velocidad es
mayor en las paredes de la cavidad y se incrementa significativamente al interior del canal,
dejando una zona de baja velocidad en el centro de la cavidad, el patrón de flujo térmico
muestra que la transferencia de calor por convección es la que predomina, es por esto que la
capa límite adyacente en las paredes es muy delgada y las isotermas son horizontales en el
centro de la cavidad, en cambio, en el canal empieza a desarrollarse un perfil parabólico.
Para el caso de Ra=107 las isolíneas de corriente muestran un patrón asimétrico con
capa límites hidrodinámicas más delgadas comparadas con el Ra = 106, el campo de velocidad
está más desarrollado mostrando valores máximos cercanos a las paredes, aumentando de
tamaño la zona de baja velocidad en el centro de la cavidad; el patrón de velocidad es mayor
en el canal con respecto a los otros Ra, para este caso, las isotermas son horizontales casi en
su totalidad, indicando flujo estratificado, a diferencia del canal, donde se muestra un flujo
parabólico completamente desarrollado.
104
Resultados Capítulo 5
Isolíneas de corriente Campo de velocidad Isotermas
a) Ra=105
b) Ra=106
c) Ra=107
Figura 5.2 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para:
a) Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de adobe con d =1/10
y canal con s = 1/15.
El caso de la Figura 5.3, corresponde a los resultados para el muro de concreto con
Ra=105, 106 y 107. Para el número de Ra=105, el patrón de isolíneas de corriente presenta un
perfil elíptico con dos celdas en el centro, el campo de velocidad muestra al aire bajando por la
pared fría y subiendo por la pared caliente al igual que en la sección del canal, sin considerar
105
Resultados Capítulo 5 al centro, donde tiene una magnitud menor y casi nula. Respecto a la distribución de
temperatura, los gradientes son mayores en la proximidad a las paredes verticales, al igual que
el caso del muro de adobe, la transferencia de calor por convección en la capa límite viscosa
modifica la distribución de temperatura ocasionando que los gradientes horizontales sean muy
pequeños en el centro de la cavidad, en la sección del canal debido a que las velocidades son
relativamente bajas, se presenta un régimen de temperaturas casi conductivo.
Para Ra=106, el patrón de isolíneas de corriente comienza a manifestar una notable
estratificación comparado con el Ra = 105, así mismo, el nivel de velocidad aumenta en las
paredes de la cavidad y se desarrolla significativamente al interior del canal, ocasionando un
movimiento casi nulo en el centro, el patrón de flujo térmico muestra que predomina la
transferencia de calor por convección, de esta manera, la capa límite adyacente en las paredes
es muy delgada y las isotermas son horizontales en el centro de la cavidad, por otra parte, en el
canal comienza a desarrollarse un perfil parabólico.
En el caso de Ra=107, las isolíneas de corriente muestran que la capa límite es más
delgada que los Ra = 105 y 106, el campo de velocidad muestra valores máximos cercanos a
las paredes, asimismo, el valor de la velocidad es mayor al interior del canal con respecto a los
otros Ra, para este caso, las isotermas son horizontales casi en su totalidad, indicando que el
flujo es estratificado, a diferencia del canal, donde se muestra un flujo parabólico desarrollado
hasta media altura del canal.
En conclusión, tanto para el adobe como para el concreto, a medida que se aumenta el
número de Ra, los niveles de velocidad se incrementan en el canal hasta llegar a tener un perfil
parabólico.
106
Resultados Capítulo 5
Isolíneas de corriente Vector de velocidad Temperatura
a) Ra=105
b) Ra=106
c) Ra=107
Figura 5.3 Isolíneas de corriente (ψ), vector de velocidad e isotermas (T) para:
a) Ra=105, b) Ra=106 y c) Ra=107, con un muro de concreto con
d = 1/10 y canal con s = 1/15.
107
Resultados Capítulo 5 5.3 Efecto del ancho del canal
Existe un amplio intervalo de diferencias de temperatura durante el funcionamiento del
muro Trombe provocando razones de flujo volumétrico de bajas a moderadamente altas. Para
el estudio del efecto del ancho de canal se considera un muro de concreto de espesor d = 1/10,
para cada uno de los 3 tamaños del ancho de canal (s) con un Ra = 107. En la Figura 5.4 se
muestran las posiciones donde se grafican los resultados a lo largo del canal, parte inferior
(P1), parte media (P2) y parte superior (P3), así como, la entrada y salida.
P1
P2
P3Salida
Entrada
Figura 5.4 Posiciones para estudio de velocidades y temperaturas en el canal. 5.3.1 Velocidades a lo ancho del canal
En la Figura 5.5 se muestran los perfiles de velocidad vertical en la posición P1 para
todos los tamaños de ancho de canal con un muro de concreto de espesor d = 1/10. Se observa
que la velocidad para un canal de 1/10 tiene un perfil ondulado, con velocidades más altas en
los extremos, esto es debido a que el vidrio y el muro transmiten el calor al aire. Para el canal
de s = 1/15 se presentan velocidades mayores en los extremos y un comportamiento casi
constante en el centro. Para el canal de s = 1/30, la velocidad tiene un perfil parabólico, con las
magnitudes de velocidad mayores de los 3 casos.
108
Resultados Capítulo 5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
v (m
/s) s = 1/10
s = 1/15s = 1/30
Figura 5.5 Perfiles de velocidad v en la posición P1 del canal.
En la Figura 5.6 se muestran los perfiles de velocidad vertical en la posición P2 para
los tres tamaños de canal. Para un canal de ancho s = 1/10, se presentan velocidades más
elevadas en el lado derecho dado que el muro transmite más calor que el vidrio. Sin embargo,
para el canal de ancho s =1/15 se presentan las velocidades más altas de los tres tamaños de
canal, con un perfil parabólico cargado hacia la derecha, debido a que el muro subministra
más calor que el vidrio. Finalmente, para el canal de ancho s =1/30, el perfil también es
parabólico, pero las magnitudes de la velocidad son ligeramente menores comparadas con el
canal de 1/15.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
v (m
/s) s = 1/10
s = 1/15s = 1/30
Figura 5.6 Perfiles de velocidad v en la posición P2 del canal.
109
Resultados Capítulo 5
En la Figura 5.7 se presentan los perfiles de velocidad para la posición P3 para cada
uno de los tamaños de ancho de canal. Para el canal de ancho s = 1/10, la velocidad más alta se
localiza en el lado derecho, dado que está próxima la salida del canal; de igual forma para el
canal de ancho s = 1/15, la velocidad de lado derecho es mayor a la del lado izquierdo hasta 7
veces, presentando las velocidades mayores para los 3 canales estudiados, y finalmente, para
el canal de ancho s = 1/30, el perfil sigue siendo parabólico, con la magnitud más alta de las
velocidades hacia la salida del canal.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
v (m
/s) s = 1/10
s = 1/15s = 1/30
Figura 5.7 Perfiles de velocidad v en la posición P3 del canal.
5.3.2 Temperatura a lo ancho del canal
Para los mismos parámetros con los que se analizó la componente de velocidad, en la
Figura 5.8 se presentan los perfiles de temperatura en la posición P1 para cada uno de los
tamaños del canal, para el canal de ancho s = 1/10 se tiene un perfil parabólico con
temperaturas mayores en los extremos, esto debido a que el vidrio y el muro tienen una
temperatura mayor que el aire entrante; para el canal de ancho s = 1/15 se tiene un perfil
parabólico con valores ligeramente mayores en el centro del canal comparado con el canal de
s = 1/10. El caso del canal de ancho s = 1/30 presenta los valores de temperatura mayores de
los 3 tamaños de canal, también con un perfil parabólico.
110
Resultados Capítulo 5
298
300
302
304
306
308
310
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
T (K
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.8 Perfiles de temperatura en la posición P1 del canal.
Para el análisis de las temperaturas en la posición P2, en la Figura 5.9 se muestran los
perfiles de temperatura para cada uno de los tamaños del canal. Para un canal de ancho
s = 1/10, el perfil es parabólico, para el canal de ancho s = 1/15 se presenta un incremento de
temperatura en el centro del canal de hasta 2ºC con respecto al canal de espesor s = 1/10.
Finalmente, para el canal de espesor s = 1/30 el perfil de temperatura presenta una tendencia
lineal, con una pendiente positiva, con una diferencia de 1ºC entre la temperatura del vidrio y
la superficie del canal.
307
308
309
310
311
312
313
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
T (K
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.9 Perfiles de temperatura en la posición P2 del canal.
111
Resultados Capítulo 5
En la Figura 5.10 se muestran los perfiles de temperatura en la posición P3 para todos
los tres tamaños de canal (s) analizados; para un canal de espesor s = 1/10 el perfil es casi
constante en la mitad de la parte izquierda, mientras que en la mitad derecha, el perfil tiene
una pendiente lineal ascendente con una diferencia de temperatura de 3ºC entre el vidrio y el
muro. Para el canal de ancho s = 1/15 el perfil tiene una pendiente positiva con valores
mayores a los del canal de s = 1/10, con una diferencia de temperatura de 3.5ºC. Finalmente,
para el canal de ancho s = 1/30, la pendiente es más pronunciada, con una diferencia de
temperatura de 3ºC, este caso presenta los valores de temperatura más elevados de los 3
canales en todas las posiciones del canal.
310
311
312
313
314
315
316
0 0.005 0.01 0.015 0.02
x (m)
T (K
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.10 Perfiles de temperatura en la posición P3 del canal.
5.3.3 Velocidades en las ventilas del canal
En la Figura 5.11 se muestran los perfiles de velocidad horizontal en la posición de la
entrada para los parámetros fijados anteriormente en esta Sección 5.3. Para un canal de ancho
s = 1/10, la velocidad muestra un perfil parabólico con velocidades mayores en la parte
superior, esto se debe a que el muro está más caliente que el suelo, este caso presenta los
valores de velocidades más pequeños comparados con los otros dos tamaños de canal. Para un
canal de ancho s = 1/15, la velocidad tiene un perfil parabólico con velocidades mayores en la
parte superior, siendo estas menores a los valores del canal de s =1/30. Para un canal de ancho
112
Resultados Capítulo 5 s = 1/30, la velocidad tiene un perfil lineal con una pendiente negativa con valores mayores en
la parte superior cercana al muro presentando los valores mayores de los 3 canales.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
u (m/s)
y (m
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.11 Perfiles de velocidad u en la entrada del canal.
En la Figura 5.12 se presentan los perfiles de velocidad horizontal en la salida para los
tres tamaños de canal analizados. En general, los tres casos presenta un perfil parabólico a la
salida del canal con velocidades máximas desde el centro de la ventila hacia la parte inferior.
0.1640.1660.1680.17
0.1720.1740.1760.1780.18
0.1820.184
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
u (m/s)
y (m
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.12 Perfiles de velocidad u en la salida del canal.
113
Resultados Capítulo 5 5.3.4 Temperatura en las ventilas del canal
En la Figura 5.13 se muestran los perfiles de temperatura en la posición de la entrada
para los tres anchos de canal analizados. Para un canal de ancho s = 1/10 el perfil de
temperatura es logarítmico, nuevamente la temperatura mayor se localiza en los nodos
próximos al muro, debido a que éste es la fuente de calor, con un valor promedio de
temperatura de 299.11 K. Para un canal de ancho s = 1/15 el perfil también es logarítmico con
temperaturas mayores en la parte superior, siendo estas menores al canal con ancho de
s = 1/10 con un valor promedio de temperatura de 299.09 K. Finalmente, para un canal de
ancho s = 1/30, la temperatura tiene un perfil logarítmico con el valor mayor cercano al muro
con un valor promedio de temperatura de 298.73 K, siendo este ligeramente menor al del canal
con ancho s = 1/10.
00.0020.0040.0060.0080.01
0.0120.0140.0160.0180.02
297 298 299 300 301 302 303 304 305 306
T (K)
y (m
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.13 Perfiles de temperatura en la entrada del canal.
En la Figura 5.14 se muestran los perfiles de temperatura a la salida del canal para los
tres anchos de canal analizados. El canal de ancho s = 1/10, el perfil se comporta casi
constante en la mitad superior mientras que en la mitad inferior presenta una diferencia de
3ºC, con un valor promedio de temperatura de 312.72 K. Para un canal de ancho
s = 1/15, el perfil presenta una pendiente lineal con temperaturas más altas en los nodos
cercanos al muro con un valor promedio de temperatura de 313.50 K, siendo estas ligeramente
114
Resultados Capítulo 5 mayores a las del canal de s = 1/10. Finalmente, para un canal de ancho s = 1/30, el perfil de la
temperatura es lineal con el valor mayor en el nodo próximo al borde del muro, siendo este el
valor de temperatura más grande de todos los canales y con un valor promedio de temperatura
de 314.76 K .
0.1640.1660.1680.17
0.1720.1740.1760.1780.18
0.1820.184
311 312 313 314 315
T (K)
y (m
) s = 1/10s = 1/15s = 1/30
Figura 5.14 Perfiles de temperatura en la salida del canal.
5.3.5 ΔT en el canal para los números de Rayleigh
Para el caso del muro de concreto de espesor d = 1/10, en la Figura 5.15 se presentan
las diferencias de la temperatura promedio entre la entrada y la salida del canal en función del
ancho del canal para todos los Ra bajo estudio. Para el Ra=105, se observa un perfil lineal con
pendiente positiva, presentando para el ancho de canal s = 1/10 una diferencia de 7ºC, siendo
este valor el mayor de los tres canales. Para el Ra=106, se tiene un perfil casi lineal con
pendiente positiva, teniendo la diferencia mayor con un valor de 12ºC con el tamaño de canal
s = 1/15. Finalmente para el Ra=107, se tiene casi un comportamiento lineal con una pendiente
negativa, presentando la mayor de las diferencias de temperatura para el canal con ancho
s = 1/30 con un valor de 16ºC.
115
Resultados Capítulo 5
0
3
6
9
12
15
18
0 1/30 1/15 1/s
ΔT (K
)
10
Ra 10 5
Ra 10 6
Ra 10 7
5
6
7
Figura 5.15 Diferencia de temperatura entre la entrada y la salida del canal en función del
ancho de canal (s) para un espesor de muro d = 1/10.
5.4 Efecto del espesor y tipo de muro
A continuación se presenta la eficiencia del sistema de muro Trombe calculada
mediante la ecuación (2.15), en función del ancho de canal para todos los espesores de muro
de las configuraciones estudiadas. Como se mencionó en la Sección 2.5, conocer el valor de la
eficiencia de un sistema térmico permite seleccionar la configuración óptima con las
características que presenten un mejor desempeño térmico.
5.4.1 Eficiencia para el muro de adobe
A continuación se presenta el efecto del espesor y tipo de muro, en función de la
eficiencia del muro Trombe para todos los casos estudiados del muro de adobe. La eficiencia
en función del ancho del canal para cada espesor de muro de adobe y Ra = 105 se muestra en
la Figura 5.16. La eficiencia mayor se obtiene con un espesor de muro d = 1/30 para todos los
anchos de canal, con un valor máximo de 9.78% para el ancho del canal s = 1/10 y un valor
mínimo de 9.30% para con canal de un ancho s = 1/15. La menor eficiencia se tiene con un
muro de espesor d = 1/6 para todos los anchos de canal, su valor máximo es de 9.32% para
116
Resultados Capítulo 5 s = 1/10 y su valor mínimo es de 9.05% para s = 1/15. En general, para todos los espesores de
muro, la mayor eficiencia se obtiene para el ancho de canal de s = 1/10.
9.00
9.20
9.40
9.60
9.80
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (%
)d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.16 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de adobe.
Análogamente, en la Figura 5.17 se muestran los valores de la eficiencia un
Ra = 106. La mayor eficiencia se obtiene para el caso d = 1/30 para todos los valores de ancho
de canal. El valor máximo es de 11.02% para s = 1/10. La menor eficiencia se presenta para el
caso de d = 1/6 para todos los casos analizados de s. El valor menor es de 8.68% para s = 1/30.
8.50
9.00
9.50
10.00
10.50
11.00
11.50
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (%
)
d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.17 Eficiencia para el Ra = 106 con muro de adobe.
117
Resultados Capítulo 5
Similarmente, a los casos anteriores de Ra = 105 y 106, en la Figura 5.18 se presenta la
eficiencia para un Ra = 107. A diferencia de las eficiencias obtenidas para
Ra = 105, 106 donde los valores máximos de eficiencia se presenta para s = 1/10 para todos los
d, en este caso la mayor eficiencia se obtiene para s = 1/15 para todos los casos de d.
Nuevamente, el muro con espesor d = 1/30 presenta los valores máximos de eficiencia, con un
valor máximo de 11.04%.
9.00
9.50
10.00
10.50
11.00
11.50
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (
%)
d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.18 Eficiencia para el Ra = 107 con muro de adobe.
5.4.2 Eficiencia para el muro de concreto
En esta Sección se presenta el efecto del espesor y tipo de muro, en función de la
eficiencia del muro Trombe para todos los casos estudiados del muro de concreto. La
eficiencia en función del ancho del canal para cada espesor de muro de concreto y
Ra = 105 se muestra en la Figura 5.19. La eficiencia mayor se obtiene con un espesor de muro
d = 1/30 para todos los anchos de canal, con un valor máximo de 11.28% para el ancho del
canal s = 1/10 y un valor mínimo de 10.60% para con canal de un ancho
s = 1/30. El valor mínimo de la eficiencia se tiene de 9.05% con un muro de espesor
d = 1/15 para s = 1/30. En general, para todos los espesores de muro, la mayor eficiencia se
obtiene para el ancho de canal de s = 1/10.
118
Resultados Capítulo 5
10.50
10.70
10.90
11.10
11.30
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (
%)
d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.19 Eficiencia para el Ra = 105 con muro de concreto.
De la misma manera, en la Figura 5.20 se muestran los valores de la eficiencia un
Ra = 106. La mayor eficiencia se obtiene para el caso d = 1/30 para todos los valores de ancho
de canal. El valor máximo es de 12.87% para s = 1/10. La menor eficiencia se presenta para el
caso de d = 1/6 para todos los casos analizados de s. El valor menor es de 10.44% para
s = 1/30.
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
12.50
13.00
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (%
)
d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.20 Eficiencia para el Ra = 106 con muro de concreto.
De igual forma a los casos anteriores de Ra = 105, 106, en la Figura 5.21 se presenta la
eficiencia para un Ra = 107. A diferencia de las eficiencias obtenidas para Ra = 105, 106 donde
los valores máximos de eficiencia se presenta para s = 1/10 para todos los d, en este caso la
119
Resultados Capítulo 5 mayor eficiencia se obtiene para s = 1/15 para todos los casos de d. Nuevamente, el muro con
espesor d = 1/30 presenta los valores mayores de eficiencia, con un valor máximo de 11.04%.
11.00
11.50
12.00
12.50
13.00
13.50
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (
%)
d = 1/30d = 1/15d = 1/10d = 1/7.5d = 1/6
Figura 5.21 Eficiencia para el Ra = 107 con muro de concreto.
En la Figura 5.22 a, b y c se presenta la comparación de la eficiencia en función del
ancho del canal para el adobe y concreto para los Ra = 105, 106 y 107. Estas eficiencias
corresponden a los valores más altos obtenidos de los espesores de muro (d) para cada
material. En general, se puede apreciar que el concreto presenta mejor desempeño térmico que
el adobe para todos los valores de Ra analizados.
9.10
9.50
9.90
10.30
10.70
11.10
11.50
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (
%)
adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)
Figura 5.22a Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 105
con adobe y concreto.
120
Resultados Capítulo 5
9.00
9.80
10.60
11.40
12.20
13.00
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (
%)
adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)
Figura 5.22b Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 106
con adobe y concreto.
9.80
10.30
10.80
11.30
11.80
12.30
12.80
13.30
0 1/30 1/15 1/10
s (m)
η (%
) adobe (d = 1/30)concreto (d = 1/30)
Figura 5.22c Comparación de las mejores eficiencias para Ra = 107
con adobe y concreto.
En la Figura 5.23 se muestra la eficiencia en función del Ra para las máximas
eficiencias obtenidas del adobe y el concreto. En general, las eficiencias del concreto son
mayores que las del adobe para casa uno de los Ra considerados. En Ra = 105, 106 y 107, las
eficiencias del concreto son mayores que las del adobe en un 15.33%, 16.76% y 19.50%
respectivamente.
121
Resultados Capítulo 5
9.00
9.50
10.00
10.50
11.00
11.50
12.00
12.50
13.00
13.50
1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08
Ra
η (%
)adobeconcreto s = 1/15
d = 1/30 s = 1/10 d = 1/30
s = 1/10 d = 1/30
s = 1/15 d = 1/30
s = 1/10 d = 1/30 s = 1/10
d = 1/30
Figura 5.23 Comparación de las eficiencias máximas del adobe y concreto
para todos los Ra.
En la Tabla 5.3 se muestran los valores para la temperatura promedio en la habitación
para los casos con eficiencia máximas del adobe y concreto para todos los Ra mostrados en la
Figura 5.23. El adobe presenta valores mayores de temperatura respecto al adobe en 1.10, 1.59
y 1.92 K, para los Ra = 105, 105 y 107 respectivamente.
Tabla 5.3 Temperatura promedio en la habitación para los casos con eficiencias máximas del
adobe y concreto para todos los Ra
Ra 105 106 107 Adobe 301.70 303.44 304.46Concreto 302.80 305.03 306.38
122
Resultados Capítulo 5 5.5 Correlación del número de Nusselt para el sistema
El número de Nusselt permite determinar cuantitativamente la transferencia de calor
promedio en el sistema estudiado. En esta Sección se determina el valor promedio de este
número en la superficie de la pared semitransparente (NuHOT) y en la pared fría (NuCOLD) en
función del espesor del muro (d) para los casos del ancho de canal (s) con eficiencias máximas
de cada número de Ra estudiado.
La ecuación (5.1) muestra la correlación del NuHOT para los Ra de 105 y 106 con un
canal de s = 1/10 para todos los espesores de muro (d) de adobe estudiados, así mismo, la
ecuación (5.2) muestra la correlación para el NuCOLD con las mismas condiciones.
( ) ( )d1.185735-Ra03.697921x16-HOT
-7e1.379476+Ra04.013868x1Nu ⋅⋅= (5.1)
( ) ( )d0.462730-Ra06.674643x16-COLD
-8e4.161218+Ra08.442210x1Nu ⋅⋅= (5.2)
La ecuación (5.3) presenta la correlación para el NuHOT con Ra de 107 con un canal de
s = 1/15 para todos los espesores de muro (d) de adobe estudiados, por otra parte, en la
ecuación (5.4) se tiene la correlación para el NuCOLD con las mismas características.
d-0.685363HOT e10.283103Nu = (5.3)
d0.304063-COLD e26.767097Nu = (5.4)
La ecuación (5.5) muestra la correlación del NuHOT para los Ra de 105 y 106 con un
canal de s = 1/10 para todos los espesores de muro (d) de concreto estudiados, así mismo, la
ecuación (5.6) muestra la correlación para el NuCOLD con las mismas condiciones.
( ) ( )d1.928438-Ra04.932128x16-HOT
-7e0.599644+Ra03.301005x1Nu ⋅⋅= (5.5)
( ) ( )d0.341531-Ra101.0800085x6-COLD
-7e4.529126+Ra09.673692x1Nu ⋅⋅= (5.6)
123
Resultados Capítulo 5
La ecuación (5.7) presenta la correlación para el NuHOT con Ra de 107 con un canal de
s = 1/15 para todos los espesores de muro (d) de concreto estudiados, por otra parte, en la
ecuación (5.8) se tiene la correlación para el NuCOLD con las mismas características.
d-1.554045HOT e7.394539Nu = (5.7)
d-0.417883COLD e31.005845 Nu = (5.8)
Estas correlaciones presentan una desviación máxima porcentual del 1.95%
5.6 Comparación de un sistema de muro Trombe con y sin una cavidad anexa
(habitación)
A continuación se presenta una comparación de dos configuraciones representativas de
un muro Trombe. La primera es una configuración que considera una pared semitransparente
vertical y un sólido embebido en una cavidad, el cual corresponde al problema del presente
proyecto de tesis, la segunda configuración es un canal con una superficie vertical isoterma y
un sólido isotérmico vertical, este problema fue resuelto por Mohamad et al. (1997). Para fines
de comparación cualitativa y cuantitativa se considera un Ra = 107 y un ancho de canal
s = 1/15 para las siguientes espesores de muro (d = 1/6, 1/10, 1/30).
En las Figuras 5.24, 5.25 y 5.26 se comparan cualitativamente los campos de
temperatura obtenidos en el sistema con un ancho de canal s = 1/15 y un espesor de muro
d = 1/6, 1/10 y 1/30 respectivamente, los tres espesores de muro d presentan un
comportamiento similar. El sistema que considera la conducción de calor (Figura a) tiene un
perfil parabólico en el canal hasta la mitad de la altura y posteriormente isotermas paralelas a
la pared semitransparente con valores elevados de temperatura, el muro presenta un perfil de
temperaturas estratificado. El sistema de muro y canal (Figura b), presenta en el canal un perfil
de temperatura predominado por la convección, ya que la capa límite en las superficies es
muy delgada y las isotermas son únicamente verticales.
124
Resultados Capítulo 5
a) b)
Figura 5.24 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies
isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/6.
a) b)
Figura 5.25 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/10.
125
Resultados Capítulo 5
a) b)
Figura 5.26 Comparación de los dos sistemas a) Conducción de calor y b) Superficies
isotérmicas para un Ra de 1x107 con s = 1/15 y d = 1/30.
En la Tabla 5.4 se presenta la comparación de los flujos de calor promedio desde la
pared izquierda hacia el canal del sistema con cavidad y sin cavidad. Se puede observar que
cuando se considera la configuración sin cavidad, los flujos de calor son mucho mayores que
los obtenidos con el presente proyecto. Para ambas configuraciones, los flujos de calor
disminuyen con el Ra y con d. Esta comparación permite ver que al usar una configuración
con paredes isotérmicas, los coeficientes de transferencia de calor serán sobreestimados.
126
Resultados Capítulo 5
Tabla 5.4 Flujos de calor promedio en la pared semitransparente hacia el canal.
Ra = 105 Conducción de calor Superficies isotérmicas s d Qvidrio-canal(W/m2) Qvidrio-canal(W/m2)
1/10 1/30 10.571 308.003 1/10 1/15 9.658 157.184 1/10 1/10 9.051 106.108 1/10 2/15 8.612 80.207 1/10 1/6 8.294 64.456
Ra = 106 Conducción de calor Superficies isotérmicas s d Qvidrio-canal(W/m2) Qvidrio-canal(W/m2)
1/10 1/30 19.705 164.489 1/10 1/15 18.695 79.443 1/10 1/10 17.885 53.525 1/10 2/15 17.167 40.417 1/10 1/6 16.509 32.64
Ra = 107 Conducción de calor Superficies isotérmicas s d Qvidrio-canal(W/m2) Qvidrio-canal(W/m2)
1/15 1/30 17.465 84.555 1/15 1/15 16.499 43.858 1/15 1/10 15.71 28.851 1/15 2/15 15.017 21.811 1/15 1/6 14.396 17.654
5.7 Conclusiones
Los resultados obtenidos para el sistema solar pasivo de muro Trombe considerando
convección natural en régimen laminar, muestran que el efecto del número de Rayleigh en
intervalo de 105≤ Ra ≤ 10
7 sobre el patrón de flujo, es un aumento en el flujo del fluido al
igual que para la transferencia de calor, teniéndose para Ra = 105 un régimen conductivo y
llega a ser convectivo para Ra = 107. El canal de ancho s = 1/15 presenta mayores velocidades
a la salida que los demás tamaños de canal. El muro de material de concreto el que permite
mayor flujo de calor al interior de la habitación, siendo el mejor el de espesor d = 1/30 y con
una eficiencia de 13.20% para un ancho de canal s = 1/15, presentando un 19.50% mejor
eficiencia que el de adobe. La correlación para calcular en número de Nusselt en la pared
semitransparente al igual que en la pared fría para los casos de ancho de canal (s) con
eficiencias máximas en función del número de Rayleigh y del espesor del muro (d) en el
127
Resultados Capítulo 5 sistema de muro Trombe para materiales de adobe y concreto, presenta una desviación
porcentual máxima del 1.95%. Finalmente, mediante la comparación de un sistema de muro
Trombe considerando la conducción a través del muro y la pared semitransparente, con un
sistema considerando superficies isotérmicas, se concluye que al considerar este último, los
coeficientes de transferencia de calor serán sobreestimados.
128
Conclusiones Capítulo 6 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES
6.1 Conclusiones
Como se mencionó en el Capítulo 1, el objetivo del presente trabajo es el de analizar la
transferencia de calor conjugada con flujo laminar en un sistema solar pasivo compuesto por
un muro Trombe, considerando la influencia del medio ambiente a través de las paredes,
tomando en cuenta la conducción a través de la ventana de vidrio, la convección natural, la
conducción de calor en el muro Trombe. Dentro del estudio se consideraron tres tamaños de
cavidad, dos materiales de muro, cinco espesores de muro y tres anchos de canal, para
encontrar la configuración óptima, basada en la temperatura promedio de la habitación y la
eficiencia del sistema.
El modelo físico del estudio consistió en una cavidad cuadrada con las paredes
horizontales adiabáticas. Dos superficies verticales, una pared semitransparente conductora de
calor sobre la cual incide perpendicularmente la irradiación solar y otra a una temperatura
constante. La superficie del muro Trombe, el cuál se considera como un sólido embebido,
recibe el calor transmitido por el vidrio y lo transmite por conducción al fluido. Dependiendo
del ancho del canal y ventilas, así como del material y espesor de muro, se pueden obtener
diferente configuraciones, y por lo tanto, resultados de la transferencia de calor. Se analizó la
transferencia de calor por convección al interior de la cavidad, considerando al canal y a la
habitación, el flujo de calor radiativo incidente sobre el muro, la transferencia de calor por
conducción a través de la pared semitransparente y del muro, y finalmente, las pérdidas
convectivas y radiativas al exterior de la pared semitransparente.
Los parámetros geométricos fueron tomados con base en las aplicaciones del sistema
de muro Trombe: razón de aspecto A = Hy/Hx = 1.0, razón de ancho de canal
s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de alto de ventilas b = s = 1/30, 1/15 y 1/10 de Hx, razón de
espesor de muro d = 1/30, 1/15, 1/10, 2/15 y 1/6 de Hx. Los parámetros térmicos son Ra de
105 a 107 y razones de conductividad λrazón = λmuro / λ = 18.5 (correspondiente a un muro de
129
Conclusiones Capítulo 6 adobe) y 68 (correspondiente a un muro de concreto), estas combinaciones se realizaron con el
objetivo de analizar la transferencia de calor al interior de la habitación.
El sistema gobernado por las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía en
régimen laminar, fue resuelto numéricamente con el método de volumen finito, utilizando el
algoritmo SIMPLEC para acoplar las ecuaciones.
El código numérico fue verificado y validado mediante comparaciones de los
resultados obtenidos con resultados numéricos reportados en la literatura, de la cual se
concluye que se obtuvieron resultados satisfactorios.
El análisis paramétrico realizado al sistema solar pasivo de muro Trombe mediante los
resultados obtenidos permite concluir lo siguiente:
1. Mediante el análisis del patrón de flujo se observó que la transferencia de calor y la
velocidad dependen directamente del número de Ra, que a medida que se incrementa el
Ra se presentan gradientes horizontales nulos en el centro de la cavidad y que los
niveles de velocidad en el canal se incrementan tanto para el adobe como para el
concreto.
2. Mediante el análisis realizado al perfil de velocidades en la sección del canal para el
muro de concreto con espesor d = 1/10 de Hx y los tres tamaños de canal estudiados (s
= 1/10, 1/15 y 1/30 de Hx), se encontró que el caso del canal de ancho s = 1/15 de Hx
presenta valores mayores de velocidad a la salida.
3. Considerando el tipo de material de construcción del muro Trombe, se obtuvo que el
concreto es más efectivo, dado que mejora la transferencia de calor al aumentar la
eficiencia. Esto se debe a sus propiedades térmicas, lo que le permite que transmita
mayor cantidad de calor al aire comparado con el adobe.
130
Conclusiones Capítulo 6
4. Una vez analizados los espesores de muro para ambos materiales, se observó que el
calor transferido a la habitación es inversamente proporcional al espesor de muro
seleccionado, de esta manera se seleccionó el muro con espesor d = 1/30 de Hx, el cual
permite mayor flujo de calor hacia la habitación tanto para el adobe como para el
concreto.
5. Tomando en cuenta la eficiencia y el valor de temperatura promedio al interior de la
cavidad es la configuración del canal con ancho s = 1/15 de Hx y un muro de concreto
con espesor d = 1/30 de Hx la que presenta el mejor comportamiento térmico.
6. Finalmente, se obtuvieron correlaciones para determinar el número de Nusselt en la
pared semitransparente y en la pared fría, en función del espesor de muro (d) y el
número de Rayleigh para los casos de ancho de canal (s) con eficiencias máximas,
estas correlaciones presentan una diferencia porcentual máxima respecto a los
resultados numéricos del 1.95%.
7. De la comparación del sistema que considera la transferencia de calor a través del
sólido interno y el que lo considera con temperatura constante se observó que al usar
una configuración con paredes isotérmicas, los flujos de calor son sobreestimados.
Como conclusión general, se establece que el sistema de muro Trombe con material de
concreto y con un espesor d = 1/30 de Hx con un canal con ancho s = 1/15 de Hx es el
adecuado para aprovechar de mejor manera la energía solar. Con base en las configuraciones
analizadas, se demuestra que el muro de concreto con espesor de 1/30 es el de mejor
desempeño para todos los anchos de canal estudiados, basado en la eficiencia de la
transferencia de calor y temperatura promedio al interior de la habitación.
131
Conclusiones Capítulo 6 6.2 Recomendaciones
Con la finalidad de continuar con el estudio de los sistemas solares pasivos y ampliar
los conocimientos en esta línea de investigación, se recomiendan los siguientes estudios a
futuros:
1. Evaluar el efecto de la razón de aspecto de la cavidad, considerando cavidades
alargadas para modelar una configuración de tipo edificación.
2. Considerar muros Trombe aletados, para comparar con un sistema de muro Trombe
clásico para explorar el aumento o disminución de la eficiencia.
3. Realizar estudios que consideren el intercambio radiativo entre las superficies del
sistema para obtener resultados más aproximados a los fenómenos reales.
4. Resolver las ecuaciones diferenciales parciales que se presentan en este estudio en
estado transitorio para tener en cuenta la variación temporal de la irradiación solar y la
temperatura exterior.
5. Considerar condiciones de frontera con paredes conductoras de calor tanto en el techo
como en la pared fría para tomar en cuenta los efectos externos.
6. Realizar cálculos tridimensionales de la transferencia de calor conjugada para obtener
resultados más aproximados a los fenómenos reales.
7. Analizar la transferencia de calor considerando flujo en régimen turbulento, con el fin
de estudiar cavidades con dimensiones reales.
8. Realizar también estudios experimentales en sistemas pasivos para validar los códigos
computacionales.
132
Bibliografía
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