Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico · 2014-02-14 · A mis amigos aquí en...

Centro Nacional de Investigacióny Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un controlador tipo GPI para unrodamiento magnético considerando fallas internas yuna perturbación en el rotor: Enfoque de platitud

diferencial

que presenta:

Jesús Alberto Suriano SánchezIngeniero Electrónico por el Instituto tecnológico de Salina Cruz

como requisito para la obtención del grado de:

Maestro en Ciencias en Ingeniería ElectrónicaDirector de tesis:

Alejandro Rodríguez Palacios

Co-director de tesis:

Carlos Daniel García Beltrán

Cuernavaca, Morelos. México. 23 de Febrero de 2012.

Centro Nacional de Investigacióny Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Diseño de un controlador tipo GPI para unrodamiento magnético considerando fallas internas yuna perturbación en el rotor: Enfoque de platitud

diferencial

que presenta:

Jesús Alberto Suriano SánchezIngeniero Electrónico por el Instituto tecnológico de Salina Cruz

como requisito para la obtención del grado de:

Maestro en Ciencias en Ingeniería ElectrónicaJurado:

Dr. Andrés Blanco Ortega PresidenteM. C. Pedro Rafael Mendoza Escobar SecretarioDr. Alejandro Rodríguez Palacios VocalDr. Carlos Daniel García Beltrán Vocal suplente

Cuernavaca, Morelos. México. 23 de Febrero de 2012.

Dedicatorias

A Dios, por iluminarme en los momentos más difíciles de mi corta vida.

A mis padres Melquiades y Margarita, por apoyarme en todas mis decisiones. Este logroes de ustedes.

A mis hermanos Juán Marcos, José Cruz y Sergio Iván, por compartir juegos, travesurasy momentos inolvidables que llevo en mis memorias.

A mis abuelitos Juán, Amanda, José e Hilaria por el ejemplo de dedicación y fortaleza.

Y a todas aquellas personas que han marcado mi vida con su amistad.

Agradecimientos

A Dios.

A mi familia por apoyarme incondicionalmente en cada momento de mi vida. Gracias porlos consejos y enseñanzas que me han brindado.

A cada uno de mis asesores Dr. Alejandro Rodríguez Palacios, Dr. Carlos Daniel GarcíaBeltrán, por brindarme su paciencia y guiarme durante el desarrollo de este tema deinvestigación mediante sus enseñanzas, consejos y observaciones.

A mis revisores Dr. Andrés Blanco Ortega, M. C. Pedro Rafael Mendoza Escobar, por suatención y tiempo, por sus observaciones, recomendaciones, comentarios que enriquecieroneste trabajo.

A mis profesores Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez, Dr. Manuel Adam Medina,Dr. Carlos Manuel Aztorga, Dr. Gerardo Vela Valdez, Dr. Carlos Daniel García Beltrán,Dr.Juán Reyes Reyes, M. C. Pedro Rafael Mendoza Escobar, M. C. José Martín Gómez, Dr.Víctor M. Alvarado, Dra. Guadalupe López López , M. C. Guadalupe Madrigal Espinosa,por sus enseñanzas.

A mis amigos y compañeros de generación de la carrera de Ingeniería Electrónica delInstituto Tecnológico de Salina Cruz.

A mis amigos aquí en la maestría: Luis Emanuel (amigo de antaño), Ricardo, Rigoberto,Juán Manuel, Juán Aqui, Gabriela, Marlem, Ubaldo y Michel. Gracias por los momentosamenos, por el apoyo en las dicultades, por las risas, por la carrilla, por contagiarme desus desdenes hacia los problemas.

A las personas que están detrás del telón, que facilitaron la culminación de este proyecto:Ing. Mario Moreno, Srita. Ana María Peña, Sra. Maira Correa, Sra. Mónica, Lic.Guadalupe Garrido, Lic. Alfredo Terrazas, Lic. Patricia Armas. Gracias.

Agradezco al Cenidet, por abrirme las puertas para que continuara creciendo profesional-mente.

Finalmente, al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la DirecciónGeneral de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por el apoyo económico que mefacilitaron para poder culminar mis estudios de maestría.

Resumen

En esta tesis se presenta el diseño de controladores tipo GPI basado en el concepto deplatitud diferencial para el control de un rodamiento magnético activo de cuatro polos,considerando fallas internas y una perturbación en el rotor.

El controlador propuesto cuenta con ciertas características que permiten que el sistemadel rodamiento magnético opere satisfactoriamente en presencia de las fallas y de unaperturbación. Como el sistema es plano diferencialmente, el concepto de platitud diferencialse emplea para resolver el problema de planeación de movimiento y seguimiento detrayectoria.

Se combina el controlador GPI con el controlador de prealimentación que proporcionaplatitud diferencial para el diseño de un esquema de control de dos grados de libertad,este diseño reúne las bondades del controlador retroalimentado y prealimentado.

Los esquemas de dos grados de libertad se implementaron en el sistema no lineal, así comosu equivalente lineal del rodamiento magnético y se compararon los resultados obtenidos.

El buen desempeño de los controladores diseñados para los sistemas lineales y no linealeses, en gran parte, por la acción de control de la prealimentación que se anticipa a lasfallas y las perturbaciones, y de la acción de control de la retroalimentación que añadeversatilidad y robustez.

Abstract

This thesis presents the design of GPI type controllers based on the concept of dierentialatness to control an active magnetic bearing four pole, considering internal fault and adisturbance in the rotor.

The proposed controller has certain features that allow the magnetic bearing systemoperates satisfactorily in the presence of faults and disturbance. As the system isdierentially at, the concept of dierential atness is used to solve the problem of motionplanning and trajectory tracking.

GPI controller is combined with the feedforward controller that provides dierentialatness to design a control scheme with two degrees of freedom, this design combinesthe benets of feedback and feedforward controller.

Schemes of two degrees of freedom are implemented in the nonlinear system and itsequivalent linear magnetic bearing and compared the results obtained.

The good performance of controllers designed for linear and nonlinear systems is in largepart by the action of the feedforward control that anticipates failures and disturbances,and the action of feedback control that adds versatility and robustness.

Contenido general

Contenido general i

Lista de guras v

Lista de tablas viii

Nomenclatura ix

1. Introducción 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Planteamiento y justicación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Platitud diferencial 18

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1. Platitud y controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Sistemas lineales en la forma de espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Sistemas SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. Sistemas MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3. Planeación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4. Seguimiento de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

CONTENIDO GENERAL

2.3. Equivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1. Sistemas no lineales SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2. Planeación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.3. Seguimiento de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Modelo del rodamiento magnético activo 48

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Modelado del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Modelo del subsistema magneto-mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4. Modelo del subsistema electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5. Modelo no lineal del sistema horizontal h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6. Modelo no lineal del sistema vertical v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7. Modelo del rodamiento magnético activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7.1. Retratos fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.2. Interferencia entre los sistemas horizontal h y vertical v . . . . . . . 61

3.8. Fallas en el rodamiento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8.1. Conjunto de fallas a evaluar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Linealización por retroalimentación robusta del rodamiento magnéticoactivo 68

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Linealización por retroalimentación del estado . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1. Linealización por retroalimentación del estado de sistemas MIMO . 69

4.3. Linealización por retroalimentación del estado robusta . . . . . . . . . . . 73

4.4. Linealización por retroalimentación del estado del rodamiento magnético . 76

4.5. Linealización por retroalimentación robusta del rodamiento magnético . . . 87

5. Diseño de los controladores basado en platitud diferencial para elrodamiento magnético 92

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Algoritmo de diseño de los controladores basado en platitud diferencial . . 92

5.2.1. Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ii

CONTENIDO GENERAL

5.2.2. Sistema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3. Aplicación del algoritmo de diseño de los controladores basado en platituddiferencial en el sistema del rodamiento magnético . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.1. Sistema linealizado mediante la linealización por retroalimentacióndel estado robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


6. Resultados 139

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2. Desempeño nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1. Sistema linealizado por retroalimentación robusta . . . . . . . . . . 141


6.3. Desempeño en presencia de fallas en los componentes . . . . . . . . . . . . 151



6.4. Desempeño en presencia de una perturbación en el rotor . . . . . . . . . . 163



6.5. Comparación de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7. Conclusiones 176

7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A. Conceptos básicos para la linealización por retroalimentación del estado179

B. Cálculo de otra salida plana para el sistema lineal 182

B.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B.2. Sistema lineal del rodamiento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

C. Proposición de otra salida plana para el sistema no lineal 192

C.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

C.2. Sistema no lineal del rodamiento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

iii

CONTENIDO GENERAL

D. Códigos de programación 201

D.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

D.2. Códigos de programación del sistema lineal del rodamiento magnético . . . 202

D.3. Códigos de programación del sistema no lineal del rodamiento magnético . 215

Bibliografía 223

iv

Lista de guras

1.1.1. Rodamientos magnéticos activos comerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6.1. Diagrama a bloques del esquema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Construcción de una curva cúbica de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Curva de Bézier y sus dos primeras derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1. Representación gráca de la propiedad de platitud diferencial: Laequivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund entre las trayectorias del sistemaequivalente (abajo) y las del sistema no lineal (arriba). . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Rodamiento magnético activo con una conguración de cuatro polos. . . . 50

3.7.1. Corte transversal del sistema del rodamiento magnético acoplado a un motor. 57

3.7.2. Retrato fase para el subsistema asociado a las variables x1 y x2. . . . . . . 59

3.7.3. Retrato fase para el subsistema asociado a las variables x3 y x4. . . . . . . 60

3.7.4. Variables del estado del sistema no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.5. Variables del estado del sistema linealizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.6. Error de la posición angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.7. Interferencia en la suspensión magnética de dos ejes. . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1. Esquema de la linealización por retroalimentación del estado. . . . . . . . 73

4.3.1. Esquema de la linealización por retroalimentación robusta. . . . . . . . . . 76

5.3.1. Planeación de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.2. Planeación de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.1. Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema lineal h. . . . . . . . 142

6.2.2. Parametrizaciones en modo nominal, sistema lineal h. . . . . . . . . . . . 142

v

LISTA DE FIGURAS

6.2.3. Señales de control nominales, sistema lineal h. . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.4. Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema lineal v. . . . . . . . 144

6.2.5. Parametrizaciones en modo nominal, sistema lineal v. . . . . . . . . . . . 144

6.2.6. Señales de control nominales, sistema lineal v. . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2.7. Posicionamiento del centro de masa del rotor, sistema lineal. . . . . . . . . 145

6.2.8. Comparaciones de los errores de seguimiento nominales, sistema lineal. . . 146

6.2.9. Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema no lineal h. . . . . . 147

6.2.10.Parametrizaciones en modo nominal, sistema no lineal h. . . . . . . . . . 147

6.2.11.Señales de control nominales, sistema no lineal h. . . . . . . . . . . . . . 148

6.2.12.Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema no lineal v. . . . . . 149

6.2.13.Parametrizaciones en modo nominal, sistema no lineal v. . . . . . . . . . 149

6.2.14.Señales de control nominales, sistema no lineal v. . . . . . . . . . . . . . 150

6.2.15.Posicionamiento del centro de masa del rotor, sistema no lineal. . . . . . 150

6.2.16.Comparaciones de los errores de seguimiento nominales, sistema no lineal. 151

6.3.1. Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema lineal h. . . . . . 152

6.3.2. Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema lineal h. . . . . . . . . . 153

6.3.3. Señales de control en presencia de fallas, sistema lineal h. . . . . . . . . . 154

6.3.4. Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema lineal v. . . . . . 154

6.3.5. Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema lineal v. . . . . . . . . . 155

6.3.6. Señales de control en presencia de fallas, sistema lineal v. . . . . . . . . . 156

6.3.7. Posicionamiento del rotor en presencia de fallas, sistema lineal. . . . . . . 156

6.3.8. Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de fallas, sistemalineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3.9. Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema no lineal h. . . . 158

6.3.10.Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema no lineal h. . . . . . . . 158

6.3.11.Señales de control en presencia de fallas, sistema no lineal h. . . . . . . . 159

6.3.12.Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema no lineal v. . . 160

6.3.13.Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema no lineal v. . . . . . . . 160

6.3.14.Señales de control en presencia de fallas, sistema no lineal v. . . . . . . . 161

6.3.15.Posicionamiento en presencia de fallas, sistema no lineal. . . . . . . . . . 162

6.3.16.Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de fallas, sistemano lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

vi

LISTA DE FIGURAS

6.4.1. Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistema lineal h.164

6.4.2. Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema lineal h. . . . . 164

6.4.3. Señales de control en presencia de la perturbación, sistema lineal h. . . . . 165

6.4.4. Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistema lineal v.166

6.4.5. Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema lineal v. . . . . 166

6.4.6. Señales de control en presencia de la perturbación, sistema lineal v. . . . . 167

6.4.7. Posicionamiento del centro de masa del rotor en presencia de laperturbación, sistema lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.4.8. Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de la perturba-ción, sistema lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.4.9. Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistema nolineal h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.4.10.Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema no lineal h. . 170

6.4.11.Señales de control en presencia de la perturbación, sistema no lineal h. . . 170

6.4.12. Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistema nolineal v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.4.13.Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema no lineal v. . . 172

6.4.14.Señales de control en presencia de la perturbación, sistema no lineal v. . . 172

6.4.15. Posicionamiento del centro de masa del rotor en presencia de laperturbación, sistema no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.4.16. Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de laperturbación, sistema no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

D.2.1. Diagrama de simulación del sistema lineal horizontal h del rodamientomagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

D.2.2. Diagrama de simulación del sistema lineal vertical v del rodamientomagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

D.3.1.Diagrama de simulación del sistema no lineal horizontal h del rodamientomagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

D.3.2.Diagrama de simulación del sistema no lineal vertical v del rodamientomagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

vii

Lista de tablas

1.2.1. Clasicación de fallas para el sistema de control del AMB. . . . . . . . . . 13

3.7.1.Valores numéricos de los parámetros del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7.2. Características técnicas del compresor con rodamiento magnético. . . . . 57

6.3.1. Fallas en los componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.5.1. Comparación del desempeño de los controladores diseñados. . . . . . . . . 174

D.1.1.Orden de ejecución de los archivos de simulación. . . . . . . . . . . . . . 201

viii

Nomenclatura

Síglas

AMB Rodamiento magnético activo.

GPI Controlador proporcional integral generalizado.

IB Integrador Backstepping.

LRE Linealización por Retroalimentación del Estado.

LRR Linealización por Retroalimentación del estado Robusta.

MIMO Múltiples entradas múltiples salidas.

SISO Una entrada una salida.

Símbolos Griegos

α, β Orden superior de las derivadas.

∆I0 Aumento en el valor de la corriente de premagnetización.

∆L0 Aumento en el valor de la inductancia.

∆Ri Aumento en el valor de las resistencias del circuito electromagnético de cadaelectroimán del AMB.

γ Índice de Kronecker.

Λ Matriz de dimensión n×n.

ix

Nomenclatura

λ Vector de dimensión 1×n.

ν ∈ Rm Vector de entrada de dimensión m.

ψ Matriz de dimensión m×n.

θer Error angular.

ϕc(x) Cambio de coordenadas de la LRE.

ϕr(x) Cambio de coordenadas de la LRR.

u = ϕ2

(F, F , ..., F (n)

)Parametrización diferencial de la entrada en términos de la salida

plana y sus derivadas.

u∗ (t) = ϕ2

(F ∗, F ∗, . . . , F ∗(n)

)Control nominal parametrizado por la salida plana y sus

derivadas.

x = ϕ1

(F, F , ..., F (n−1)

)Parametrización diferencial del estado en términos de la salida

plana y sus derivadas.

Símbolos matemáticos

rr Radio del rotor del AMB.

rs Radio interno del AMB.

λ(x) Función escalar.

λ1(x, I1), λ2(x, I2) Enlaces de ujo del sistema h del AMB.

λ3(y, I3), λ4(y, I4) Enlaces de ujo del sistema v del AMB.

R Campo de los números reales.

A Matriz de dimensión n×n.

Ac, Bc Matrices en la forma canónica de Brunovsky.

Ar, Br Matrices de un sistema en su aproximación lineal tangencial entorno en un puntode operación.

B,G Matrices de dimensiones n×m.

B1(x, I1), B2(x, I2) Fuerzas contra electromotrices del sistema h del AMB.

x

Nomenclatura

B3(y, I3), B4(y, I4) Fuerzas contra electromotrices del sistema v del AMB.

e Señal de error.

F Salida plana.

f , g Campos vectoriales suaves.

F ∗ Salida plana deseada.

F1, F2 Fuerzas magnéticas generadas en el sistema h del AMB.

F3, F4 Fuerzas magnéticas generadas en el sistema v del AMB.

fdmx Interferencia de fuerza radial en el sistema h del AMB.

fdmy Interferencia de fuerza radial en el sistema v del AMB.

fNFBx Fuerza radial de retroalimentación del sistema h del AMB.

fNFBy Fuerza radial de retroalimentación del sistema v del AMB.

go Intersticio.

h Sistema horizontal del AMB.

I1, I2 Corrientes eléctricas que circulan en cada polo del sistema h del AMB.

I3, I4 Corrientes eléctricas que circulan en cada polo del sistema v del AMB.

k, p Orden superior de las derivadas.

K,L Matrices de dimensiones m×m y m×n respectivamente

Kc Matriz de controlabilidad de Kalman de n×nm.

L1(x, I1), L2(x, I2) Inductancias del sistema h del AMB.

L3(y, I3), L4(y, I4) Inductancias del sistema v del AMB.

m Masa del rotor del AMB.

M(x) Matriz de desacoplamiento de la LRE.

xi

Nomenclatura

P0 Valor nal para una curva de Bézier.

Pi Valor inicial de una curva de Bézier.

R1, R2 Resistencias elétricas de cada polo del sistema h del AMB.

R3, R4 Resistencias elétricas de cada polo del sistema v del AMB.

t Tiempo.

t0 Para una curva de Bézier, tiempo nal.

ti Para una curva de Bézier, tiempo inicial.

u ∈ Rm Vector de entrada de dimensión m.

uc (x,wc) Control no lineal linealizante del sistema de la LRE.

ur (x,wr) Control no lineal linealizante del sistema de la LRR.

v Sistema vertical del AMB.

v1, v2 Voltajes generados en cada polo del sistema h del AMB.

v3, v4 Voltajes generados en cada polo del sistema h del AMB.

W ∗1 , W

∗2 , W

∗3 , W

∗4 Coenergías magnéticas del AMB.

wc Entrada lineal del sistema de la LRE.

wr Entrada lineal del sistema de la LRR.

x ∈ Rn Vector del estado de dimensión n.

x0, y0 Puntos de equilibrio.

xc ∈ Rn Vector de variables del estado de la LRE.

xr ∈ Rn Vector de variables del estado de la LRR.

z ∈ Rn Vector de estado en las nuevas coordenadas de dimensión n.

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Capítulo 1

Introducción

1.1. Introducción

La suspensión estable de una esfera metálica en un campo magnético es un tema de interésdesde el comienzo del año 1930. A parte del impacto visual que genera, sirve para ilustrarmuchos principios fundamentales de electromagnetismo y de electrodinámica, teoría decontrol y diseño de circuitos analógicos y digitales [1]. Para suspender el objeto, la fuerzadel campo magnético debe ser contraria y de igual magnitud a la fuerza de gravedad. Elpunto de equilibrio que se produce entre la fuerza de atracción y la fuerza de gravedad esinestable.

En la literatura se pueden encontrar trabajos diversos sobre el tema de diseño y control deun sistema de suspensión magnética. Por ejemplo, en [1, 2] se diseña y se controla (mediantetécnicas de diseño de controladores lineales) un sistema de suspensión magnética con nesdidácticos, mientras que otros se ocupan del diseño y comparación de controladores nolineales con los lineales [3].

El sistema de suspensión está compuesto por un electroimán que genera la fuerzamagnética de atracción que suspende a un objeto magnetizable. Ahora, si se colocanvarios electroimanes simétricamente, se obtiene un nuevo dispositivo, el cual se denominarodamiento magnético activo (AMB1 por sus siglas del inglés de Active Magnetic Bearing).

A partir de la década de 1960, el AMB empezó a desplazar al rodamiento mecánicoconvencional en diversas aplicaciones dentro de los campos industrial, médico y cientíco.Sus características particulares tales como mayor eciencia, reducción del ruido y de lavibración, eliminación de lubricantes, cargas elevadas, altas velocidades de rotación y altadurabilidad, han hecho que los rodamientos magnéticos sean un caso de estudio en unaamplia gama de aplicaciones [4].

La aplicación más frecuente se encuentra en las máquinas eléctricas, en donde se reemplazael rodamiento mecánico por el rodamiento que trabaja bajo el principio de la levitación

1En lo sucesivo, se usarán rodamiento magnético activo y AMB indistintamente.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

magnética, el cual minimiza el mantenimiento, dado que no existen partes móviles en estedispositivo. Además, es posible operar la máquina con velocidades imposibles de alcanzarcon los rodamientos clásicos, por el calentamiento que se produce en ellos. Así pues, sepuede trabajar a 60, 000 rpm y con cargas de 3 kN , dependiendo de la construcción delrodamiento magnético [5].

El AMB es un dispositivo electromecánico, el cual se constituye por un conjunto de pares deelectroimanes encontrados, colocados simétricamente, con el objeto de suspender y alinearun rotor magnetizable concéntrico al rodamiento. El sistema del rodamiento magnético esaltamente no lineal debido a las fuerzas electromagnéticas, ya que cada una de ellas esuna función no lineal de la corriente que la produce y del intersticio (separación entreun electroimán del AMB y la supercie del rotor). También es un sistema inestable,pues requiere el ajuste constante de las fuerzas para el posicionamiento concéntrico yla alineación estable del rotor dentro del AMB.

La Figura 1.1.1 muestra dos rodamientos magnéticos comerciales de ocho y de dieciséispolos (es decir, cuentan con ocho y dieciséis electroimanes).

(a) Conguración de 8 polos (b) Conguración de 16 polos

Figura 1.1.1 Rodamientos magnéticos activos comerciales.

En la industria existen diversas conguraciones en cuanto al número de polos en los AMB's.Los más comunes son los rodamientos magnéticos de 4, 8 ,16 y hasta de 32 polos. El númerode polos dependerá de la precisión con que se desea posicionar el rotor y, además, el númerode pares de polos proporcionan mayor grado de libertad.

Este dispositivo es una puerta abierta para la aplicación de diferentes diseños decontroladores. Sin embargo, el problema de control es complicado, porque para aplicar un

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1.1. INTRODUCCIÓN

control activo al sistema AMB, es necesario construir un controlador con alto desempeñoen tiempo real para estabilizar y controlar un rotor suspendido, ya que la dinámica delsistema es rápida.

El problema de control no lineal del AMB se ha estudiado desde principios de la década de1990. En el caso general, existe una rica variedad de enfoques para solucionar el problemade control del rodamiento magnético, que van desde linealizar el modelo del rodamientoentorno a un punto de operación, pasando por metodologías para el diseño de controladoresno lineales como linealización mediante retroalimentación [6, 7], linealización medianteretroalimentación robusta [6], integrador backstepping [8], modos deslizantes [9], controlsaturado [10, 11], control robusto [12]; hasta una metodología que hace uso de la estructurafísica del sistema para el diseño de controladores con el objeto de facilitar la tarea deplaneación de movimiento y seguimiento de trayectoria: Platitud2 diferencial [13].

De los enfoques mencionados, Platitud diferencial es relativamente nuevo en el contextode control automático. Este enfoque emplea el marco del álgebra diferencial, donde elproblema de diseño del controlador va ligado al problema de encontrar la salida planadel sistema. La salida plana es un conjunto de variables endógenas3, igual en número alnúmero de entradas.

La platitud diferencial es una propiedad estructural de una clase de sistemas no lineales.Un sistema es plano diferencialmente, si se le puede encontrar un conjunto de variablesespecícas que parametriza diferencialmente las variables del sistema.

Como la salida plana determina las variables mediante la parametrización diferencial,ya no es necesario integrar las ecuaciones diferenciales que describen al sistema. Unaconsecuencia importante de platitud diferencial es, que al parametrizar diferencialmenteel vector de entrada mediante la salida plana, se está obteniendo el controlador y, comoéste está en función de un conjunto de variables endógenas, este controlador contieneinformación interna del sistema, y por lo tanto, es un controlador prealimentado.

La propiedad de platitud diferencial es útil para el problema de planeación de movimientoy seguimiento de trayectoria. Al construir una curva algebraica fuera de línea, ya seamediante una interpolación polinomial o seleccionando una dentro del conjunto de curvasde Bézier o por cualquier otro método, para la salida plana, se determina el control nominalnecesario. Además, también es adecuada para manejar el seguimiento de trayectoria,en particular cuando se requiere que la salida plana, con signicado físico, realice elseguimiento de una trayectoria de referencia.

Dentro del contexto de los sistemas no lineales, no existe una metodología general paraobtener la salida plana. Se requiere, proponer un conjunto de variables con base enla naturaleza del sistema, en el objetivo de control y en la intuición ingenieril, de talmanera que satisfaga la denición de la salida plana. Para el caso de los sistemas lineales

2El término original surgió del francés platitude, en inglés se traduce como atness; sin embargo, noexiste una traducción directa al castellano, se pueden utilizar planidad, platitud o aplanamiento. Bastacon decir que el concepto se reere a la calidad de plano.

3Que se origina o nace en el interior.

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controlables y para los sistemas no lineales anes en el control con una entrada, si existeun procedimiento sistemático para obtenerla.

En esta tesis se considera el enfoque de platitud diferencial introducido en el contexto decontrol automático en el trabajo [14], y aplicado en [13] para solucionar el problema deplaneación de movimiento y seguimiento de trayectoria para un rodamiento magnético decuatro polos considerando fallas internas y una perturbación en el rotor.

En la siguiente sección se presenta la literatura revisada para la tesis.

1.2. Estado del arte

El AMB genera fuerzas mediante campos magnéticos. En este dispositivo no hay contactofísico entre el rodamiento y el rotor, lo que evita el uso de lubricantes y el desgaste.Una ventaja especial de estos rodamientos únicos es que se puede controlar activamentela dinámica del rotor. Entonces, estas propiedades permiten diseños novedosos, altasvelocidades con la posibilidad del control activo de la vibración, operación sin contactomecánico, menos mantenimiento y por lo tanto, bajos costos.

Ejemplos de áreas de aplicación real de los rodamiento magnéticos son :

Técnicas de vacío.

Turbo maquinarias.

Máquinas herramientas, accionamientos eléctricos, y almacenamiento de energíamediante volantes inerciales.

En la física y en instrumentos para su uso en el espacio exterior.

Suspensión libre de contacto para micro técnicas.

Identicación y equipos de prueba en la dinámica del rotor.

Aislamiento de vibraciones.

La principal área de aplicación, en realidad, es la turbo maquinaria [15].

Algunas aplicaciones industriales en las cuales este dispositivo forma parte de equipos conpartes rotatorias son: Bombas, compresores, bombas de vacío turbo moleculares, volantesinerciales, turbinas, molinos de viento, centrifugadoras, entre otras. También la suspensiónmagnética se aplica a objetos no rotatorios tales como: Plataformas con movimiento deprecisión, levitación de un modelo dentro de un túnel de viento, sistemas con vibracionesaisladas, así como para el tratamiento de tumores cerebrales.

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1.2. ESTADO DEL ARTE

Una razón importante por la que el rodamiento magnético no se aplica ampliamente en elámbito industrial es la complejidad del sistema de control [5]. Generalmente, el problemade diseño de control es complicado por la dinámica rápida del AMB.

El enfoque clásico para el diseño de un controlador para el rodamiento magnético consistíaen realizar una linealización mediante una serie de Taylor entorno a un punto de operación;pero si este punto se llegara a mover, el sistema podría inestabilizarse como consecuenciade las no linealidades que no se tomaron en cuenta.

Otra alternativa es tratar el control no lineal del rodamiento magnético. Para ello, sepueden utilizar los enfoques de diseño tales como linealización por retroalimentación delestado clásica (LRE4) [16, 17], linealización por retroalimentación robusta (LRR5) [6, 18],así como enfoques que utilizan la estructura del modelo del sistema para desarrollar uncontrolador. Un enfoque en particular que se basa en la estructura física del sistema parala obtención del controlador es el concepto de platitud diferencial.

Control del rodamiento magnético

El AMB es un campo amplio para la aplicación de diversas técnicas de diseñode controladores no lineales y lineales. La alta precisión que se requiere para elposicionamiento del rotor en el sistema inherentemente inestable del rodamientomagnético, requiere un modelo matemático bien denido.

En general, los controladores no lineales tienen mejor desempeño que los controladoreslineales para el control preciso del sistema del rodamiento magnético. Su mayor desventajaes la complejidad y su sensibilidad.

Con respecto al diseño de controladores lineales, numerosos diseños se han probadoe implementado en aproximaciones lineales de un modelo no lineal del rodamientomagnético.

Uno de los problemas en el control del rodamiento magnético es como de modelar el rotor.Por ejemplo, en [5] se realiza de dos maneras: En el primer caso, el rotor se modela comodos masas separadas dentro del rodamiento. En el segundo caso, la estabilización del rotorse considera como un problema global de un cuerpo rígido dentro del campo magnético,que en este caso lo generan los electroimanes del rodamiento. En ambos casos, para elcontrol del rodamiento para la suspensión del rotor concéntrico a éste, se diseñan unoscontroladores LQ para cada caso. Los resultados en simulación muestran que el diseño delcontrolador, para el caso en que se considera el rotor como una masa global, presenta unmejor desempeño y un menor esfuerzo computacional en comparación con el primer caso.

Otro problema con respecto al control del AMB surge cuando el rotor se desbalanceagenerando una perturbación de tipo sinusoidal. En este caso, para estabilizar la dinámicarotacional de un eje vertical dentro del rodamiento magnético, se diseñó en [9] un

4De las siglas de la frase: Linealización por retroalimentación del estado.5De las siglas de la frase: Linealización por retroalimentación robusta.

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controlador por modos deslizantes con cualidades de seguimiento de referencias. Además,se diseñó un observador basado en modos deslizantes para la estimación del estado y dela perturbación que requiere el controlador diseñado.

En el trabajo [19] también se aborda el tema de desbalance del rotor en el AMB. Éstese maniesta como un desplazamiento síncrono del rotor o como una fuerza síncronatransmitida. Para compensar este desbalance, se usa un enfoque que se basa en la nociónque el desbalance es independiente del giro del motor (la frecuencia de la revolución delrotor es inferior a la frecuencia natural del rotor), el rotor se modela como un cuerpo rígido.Este enfoque consiste de una identicación en línea de los parámetros físicos que tienenque ver con el desbalanceo del rotor, que consiste en la localización del centro de masa yla dirección del eje principal de inercia. Estos parámetros identicados se emplean paraactualizar un controlador adaptable estabilizante para el sistema AMB en lazo cerrado.

Con respecto al diseño de controladores no lineales, existen varios trabajos dentro delmarco de control para el sistema no lineal del rodamiento magnético.

El problema de anular una perturbación en presencia de incertidumbre paramétrica, paraun sistema de levitación magnética vertical, es un caso que se aborda en [20]. El problemase ataca utilizando funciones saturadas, además, éstas se diseñan con motivo de reducir elconsumo de energía. Se comparan tres diseños de controladores usando retroalimentaciónsaturada, diseño de un controlador que hace uso de las corrientes complementarias(conmuta las corrientes en cada polo, de manera que si un polo está energizado el otro seencuentra apagado), controlador que usa las corrientes cuasi complementarias (conmutalas corrientes, pero a diferencia de la anterior, si un polo está energizado el otro tambiénlo esta pero con una corriente de oset6) y el controlador balanceado.

De los tres diseños mencionados anteriormente, el mejor desempeño lo obtuvo elcontrolador balanceado, ya que en este enfoque, ambos electroimanes se activan paraproporcionar la entrada de control necesaria para compensar la perturbación. A diferenciade la estrategia de las corrientes complementarias, que necesita el conocimiento perfectode los parámetros físicos del sistema. Además, presenta fuertes limitaciones si el problemaque debe de abordarse es un seguimiento de trayectoria en presencia de incertidumbreparamétrica.

El problema anterior también se aborda en [10], que extiende la estructura de controlpropuesto. Del mismo modo, los resultados se comparan desde el punto de vista energético.El diseño que se propone es un controlador balanceado mediante retroalimentaciónsaturada. Su propósito es distribuir la acción de control en ambos electroimanes medianteun rediseño de las entradas de corrientes. Este controlador reduce el consumo de energíadel sistema en comparación con las estrategias de corrientes complementarias y cuasicomplementarias.

El problema de la alta sensibilidad del sistema de control en presencia de la incertidumbreparamétrica y la no linealidad del rodamiento, se abordan en [7]. Para hacer frente a este

6Oset: Compensación, constante.

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problema, se diseña un enfoque no lineal, que trata de una combinación del diseño decontrol linealizante estrada - estado y el enfoque backstepping. La ventaja de este enfoquees que mantiene el buen desempeño del controlador no lineal sobre un intervalo amplio decondiciones de operación, en comparación con la operación de un punto de equilibrio jode un sistema lineal.

El modelo no lineal del rodamiento magnético con una conguración de cuatro polos, quese aborda en [8], se emplea en esta tesis. En este trabajo, se afronta el problema de lasno linealidades que se asocian con la dinámica electromecánica del AMB, con el diseñode un integrador Backstepping (IB). Este enfoque proporciona el marco adecuado paracontrarrestar la no linealidad de la dinámica electromecánica.

Una de las principales ventajas de las herramientas de diseño de control IB es, la disposiciónpara las modicaciones sistemáticas deseables de la estructura de control, tal como lacompensación para la incertidumbre paramétrica o la eliminación de la medición del estado.Una vez aplicada esta técnica de control, se diseña una señal deseada para la trayectoriade la fuerza que debe de seguir el sistema, para asegurar que la posición del rotor siga ala trayectoria deseada de la posición.

Otra manera de afrontar el diseño de un controlador para el sistema no lineal delrodamiento magnético es utilizando la linealización por retroalimentación del estado(LRE), que se presenta en [17]. Este enfoque consiste en calcular una transformaciónde coordenadas y una ley de control no lineal linealizante, que al aplicarse al sistemano lineal, éste se exprese como un sistema lineal controlable equivalente en la formacanónica de Brunovsky. A este nuevo sistema se le impone la dinámica deseada medianteun controlador lineal externo. Sin embargo, este sistema equivalente carece de signicadofísico, pues elimina las no linealidades del sistema.

La linealización por retroalimentación robusta (LRR) es una técnica diseñada con el objetode no perder el signicado físico del sistema. Este enfoque que se propone en [18], emplealos resultados que se obtienen de la LRE para calcular una nueva transformación decoordenadas y una nueva ley de control no lineal linealizante, de tal forma que el sistemano lineal se expresa en un sistema lineal controlable equivalente, que es la aproximaciónlineal tangencial alrededor de un punto de operación nominal. Esta técnica causa unaligera transformación en el comportamiento natural del sistema original.

Las comparaciones de las técnicas LRE y LRR se llevan a cabo al combinarse con lametodología de diseño de controladores lineales robustos H∞ al aplicarse en un sistemade rodamiento magnético que se presenta en [6]. Los resultados arrojados en este trabajoindican que la linealización LRR es robusta en presencia de la variación paramétrica; lalinealización LRE se indeterminó ante varias combinaciones de la variación de parámetros.

En [21], se propone el diseño de un controlador basado en platitud diferencial para elcontrol de un juguete caminador bípedo, el cual se constituye por dos piernas y un cuerpocentral giratorio. El enfoque propuesto le permite al juguete una caminata suave, conpasos de longitudes razonablemente arbitrarias, de modo que no se impactan las piernascon el suelo. Al encontrar dos salidas endógenas independientes, se demuestra que el

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caminador bípedo es plano diferencialmente, ya que estas salidas parametrizan las variablesdel sistema.

El trabajo que se reporta en [13] es la base de esta tesis. Se aborda el control no linealdel rodamiento magnético usando el enfoque de platitud diferencial para el diseño de uncontrolador mediante la condición de corriente complementaria y cuasi complementaria.Los objetivos de este trabajo se exponen primero en el problema del posicionamiento deuna esfera dentro de un campo magnético controlado mediante un par de electroimanes(los electroimanes se encuentran sobre el eje vertical), este sistema cuenta con un gradode libertad; y posteriormente se extrapola para un sistema de cuatro grados de libertad.

Haciendo uso del concepto de platitud diferencial, se propone en el trabajo anterior unconjunto de variables que calica como salida plana. Este conjunto de variables parametrizalas variables del sistema, por lo que una consecuencia de la parametrización es que seobtiene el controlador nominal. La elección del conjunto de variables que calica comosalida plana está en función de la estrategia de control que se emplea.

Las componentes del conjunto de variables que se propone y que calica como salidaplana son la posición y la aceleración del rotor. Como las componentes de esta salidaplana son independientes, es posible conmutar la corriente en cada electroimán mediante lafunción de la condición de la corriente complementaria. El controlador calculado mediantela parametrización (que en realidad es una prealimentación) se combina con el diseño deuna ley de retroalimentación no lineal para el posicionamiento del rotor.

La nalidad de aplicar platitud diferencial al rodamiento magnético es tener el dominiodel comportamiento del rotor a lo largo de una trayectoria dada admisible. Esto implicaser capaz de hacer planeación de movimiento y seguimiento de trayectoria.

Se desarrolla el esquema de diseño de control que se basa en la estructura física del modelomatemático del sistema. Los objetivos de control consisten en llevar el rotor de una posicióny velocidad inicial arbitraria, a otra posición y velocidad nal arbitraria estable.

Se trabaja primero con un sistema de posicionamiento en el eje vertical, para exponerposteriormente las ideas de diseño del esquema de control basado en el concepto de platituddiferencial para el seguimiento de referencias preestablecidas, y segundo, proponer unasalida plana para el sistema, de manera que todo esto se extrapola para el rodamientomagnético de cuatro grados de libertad.

Por último, se presenta en [22] el controlador proporcional integral generalizado, ocontrolador GPI7 que evade la necesidad de observadores asintóticos, y además, es unatécnica de control retroalimentado para los sistemas lineales que utiliza integrales iteradasde la salida y de la entrada para compensar el error en las leyes de retroalimentación delestado lineal, sintetizado en términos de reconstructores integrales del estado. Estos son,a grandes rasgos, parametrizaciones de integrales iteradas del estado, usando solamentelas entradas y las salidas del sistema.

7GPI, por sus siglas en inglés: Generalized Proportional Integral.

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En el trabajo anterior, se utiliza el controlador GPI basado en platitud diferencial para laregulación y estabilización del fenómeno del sloshing8 en líquidos dentro de un recipienteen movimiento horizontal. La propiedad de platitud del modelo permite simplicar la ta-rea de planeación de movimiento y seguimiento de trayectoria. Para evitar las medicionesde velocidad y/o estimaciones asintóticas mediante observadores dinámicos, se propone elcontrolador GPI, el cual solamente utiliza las mediciones de entradas y salidas disponibles.

Platitud diferencial

Platitud diferencial es una propiedad intrínseca de algunos sistemas dinámicos controladosque permite simplicar la tarea de planeación de movimiento, sin la necesidad de solucionarlas ecuaciones diferenciales que describen a los sistemas, mientras que opcionalmentefacilita el problema de diseño del controlador retroalimentado para un conjunto de sistemaslineales desacoplados invariantes en el tiempo.

En términos generales, platitud es equivalente a controlabilidad y, por consiguiente, muchossistemas de interés presentan esta propiedad. La propiedad de platitud permite unaparametrización completa de todas las variables del sistema (el estado, las entradas ylas salidas) en términos de un conjunto nito de variables independientes y de un númeronito de sus derivadas, denominado la salida plana.

La salida plana y sus derivadas, determinan el posible estado con la ayuda de las entradas ysus derivadas. En consecuencia, en un sistema plano se disfruta de una propiedad especialde observabilidad mediante el estado con respecto a este conjunto de salidas articiales. Elnúmero de componentes de la salida plana es igual al número de componentes del vectorde entrada de control. En términos generales, la salida plana es una variable interna delsistema y, por lo tanto, es una función del estado y de un número nito de las derivadasde las componentes de la entrada.

La característica única que permite la parametrización de todas las variables del sistema,hace de platitud una herramienta para el análisis que revela la naturaleza de cada variabledel sistema en su relación aislada con un conjunto de variables de importancia centraldesde el punto de vista de controlabilidad y observabilidad.

La parametrización invertible, conectada con la denición de la salida plana, genera unabiyección local entre las soluciones del estado del sistema y las trayectorias arbitrarias enel espacio de la salida plana. Al especicar las trayectorias deseadas para la salida plana,el estado nominal y las trayectorias de la entrada están completamente determinadas, sinintegrar las ecuaciones diferenciales. Entonces, platitud permite, fuera de línea, comprobary ajustar las características disponibles del comportamiento deseado de las restriccionesdel estado, entrada o salida, con relativa facilidad [23].

Generalmente, es difícil establecer la salida plana; debido que no existe una metodologíasistemática para determinarla, con excepción del caso de los sistemas lineales controlables

8Sloshing: Oscilaciones o uctuaciones indeseables, que se generan en la supercie del líquido a causadel movimiento horizontal del recipiente que lo contiene.

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y los sistemas no lineales anes en el control con una entrada. Sin embargo, mediante elconocimiento de la física del sistema, el experto puede proponer una salida plana con baseen la inspección e intuición ingenieril en el modelo del sistema.

E. Cartan y D. Hilbert son los antecesores del concepto de platitud diferencial [24].Ellos buscaban transformaciones no lineales de coordenadas espaciales y temporales queconvirtieran al sistema en estudio en uno fácilmente integrable. Estas transformaciones sonun conjunto de variables, las cuales parametrizan las soluciones del sistema sin resolverlas ecuaciones diferenciales. La formulación de platitud diferencial dentro del marco delcontrol automático se debe a los trabajos de Fliess y sus colegas Jean Lévine, PhilippeMartin y Pierre Rouchon. Ellos introdujeron los sistemas planos, los cuales son equivalentesa sistemas lineales mediante un tipo especial de retroalimentación.

Los primeros artículos fundamentales, y sus avances, aparecieron en el año de 1993. Elprimer artículo [25] está dedicado a la platitud de los sistemas no lineales y la ideaasociada de la carencia de platitud. El marco de la contribución es el álgebra diferencial.En este trabajo, la idea de platitud aparece como una consecuencia natural del problemade equivalencia formulado en un contexto algebraico diferencial. A través de un ejemplo deun sistema no lineal multivariable que describe a un montacargas, se muestra, que platitudes apropiada para tratar con sistemas físicos, incluso si ellos no están descritos en la formatradicional de ecuaciones diferenciales, sino como un conjunto de ecuaciones diferencialessujetas a un conjunto de restricciones algebraicas.

Se explora en [26] la noción de la carencia de platitud a través de un conjunto de ejemplosfísicos interesantes, tales como el péndulo Kapitsa, bola y viga, entre otros. Se propone elenfoque de control de alta frecuencia para exhibir la platitud del sistema promedio en unavariedad de estos ejemplos.

El marco del álgebra diferencial se puede retomar en un contexto puramente geométricodiferencial, involucrando los espacios de jets innitos, variedades diferenciales y camposde Cartan. Esta generalización engloba naturalmente la idea de espacio y del tiempode las transformaciones de coordenadas, conduciendo la atención a la conexión de lastransformaciones de Lie-Bäcklund en los problemas de equivalencia de los sistemasdinámicos y en la linealización por retroalimentación. La revisión completa de platituden este contexto aparece en [27].

Un enfoque estrechamente relacionado con la idea anterior, se presenta en el trabajo deRathinam [28], en el cual se estudia la platitud de una equivalencia absoluta desarrolladopor E. Cartan. La contribución de Rathinam es asociar la platitud con los sistemasLagrangianos que poseen una entrada de control menos en comparación con el númerode grados de libertad del sistema, el cual se caracteriza mediante el uso de las variablesde conguración. El autor señala tal platitud como una platitud de conguración.

Es razonable decir que la intuición de las formulaciones algebraicas y geométricas deplatitud fue, en gran medida, motivada por la teoría algebraica de los sistemas linealesbasados en los módulos [29].

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Platitud indudablemente se relaciona al problema general de sistemas equivalentes. Comoconsecuencia de ello, platitud está íntimamente relacionada con la linealización porretroalimentación. Un problema trascendental en el control de sistemas no lineales, inclusosi son exactamente linealizables por retroalimentación, es el problema relacionado a laplaneación de movimiento. Un punto de vista de platitud, diferente a la linealización porretroalimentación, requiere ver esta propiedad clave como una manera fácil y útil paragenerar las trayectorias de las soluciones nominales del sistema controlado de acuerdo conlos objetivos de control deseados.

Platitud diferencial es una área desaante con un campo amplio para aportaciones.Platitud invariablemente tiene cosas nuevas que ofrecer en muchas subdiciplinas dentro delámbito de control automático con una incidencia en el entorno industrial. Como ejemplo,el área de control predictivo, conocido por ser una de las metodologías más aplicables enaplicaciones industriales, recientemente se ha reinterpretado y evaluado desde el punto devista de platitud, con benecios sustanciales en muchos trabajos interesantes de M. Fliessy R. Márquez [30, 31].

Estas aportaciones también han preparado los fundamentos para el control proporcionalintegral generalizado (GPI), el cual evade la necesidad de observadores asintóticos ysintetiza controladores de integrales iteradas de las salidas y entradas de una manerapráctica. Otra aportación importante en el uso de platitud, se debe a Hagenmayer yDelaleau [32], donde se aprovecha la noción de linealización exacta por prealimentaciónbasada en platitud, para obtener con facilidad controladores retroalimentados para elseguimiento de trayectoria. De hecho, las contribuciones al control GPI complementan demanera natural la idea de linealización por prealimentación exacta.

Platitud simplica el problema de seguimiento de trayectoria, así como la tarea de diseñodel controlador. La diversidad de las áreas de las que se pueden extraer ejemplos, hacede platitud, una técnica de análisis y de diseño general para los sistemas no lineales. Co-mo muchas otras técnicas de diseño de control emergentes, no se necesita identicar lascaracterísticas particulares del procesamiento de energía del sistema en particular, ni senecesita llevar a cabo una serie de cálculos algebraicos para lograr descubrir la propiedadparticularmente útil que caracteriza al sistema. Esto, por supuesto, no impide combinarventajosamente la propiedad esencial de platitud, con otras técnicas interesantes de di-seño de controladores como por ejemplo, Pasividad, Modos deslizantes, Linealización porretroalimentación, diseño de Lyapunov, Control óptimo, Backstepping, entre muchas otras.

Fallas en el AMB

Ahora se presenta una revisión bibliográca de algunos trabajos que han tratado sobrefallas en el rodamiento magnético activo.

Los equipos y dispositivos que se emplean en la industria pueden ser objeto de fallas o demal funcionamiento que modican el desempeño del sistema y su controlador.

El problema de contrarrestar las fallas en los equipos juega un papel fundamental para

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evitar riesgos al personal y al dispositivo. Así como también mantener la disponibilidad yconabilidad del equipo.

Al presentarse una falla en el equipo, el efecto de esta falla se propaga en todas o envarias de las variables del sistema, provocando cambios no permitidos en el sistema comoel aumento del ruido, desviaciones en el modelo del sistema, entre otros.

Una falla en cualquier sistema es una desviación no permitida del funcionamiento delsistema de su condición aceptable usual. Existen dos enfoques para contrarrestar las fallas:El control tolerante activo y el control tolerante pasivo [33]. El enfoque activo modica elcontrol del sistema de acuerdo a los requerimientos de desempeño y de estabilidad. Paraello se basa en el conocimiento previo de los tipos de fallas esperados. Se denomina activopor el hecho de que realiza la acomodación en línea.

El segundo enfoque emplea las herramientas del control robusto con la nalidad demantener al sistema insensible a la variación paramétrica o a determinadas perturbacionesacotadas. El controlador que se diseña para el sistema siempre presenta los mismosparámetros y el sistema la misma estructura. El objetivo consiste en hacer que el sistemase desempeñe de la manera en que fue diseñado.

Los componentes que hacen posible que el AMB funcione como tal, pueden presentar malfuncionamiento por causa del deterioro y del envejecimiento. Por tal motivo, es necesarioestudiar los tipos de fallas que se puedan asociar a éste.

Los modos o tipos de fallas que se asocian a los rodamientos magnéticos, es un obstáculoque impide que este dispositivo se pueda aplicar en un rango de aplicaciones industriales.Estos tipos de fallas incluyen la desconexión de la energía eléctrica, fallas en el amplicadorde potencia, fallas en el sensor de posición y el mal funcionamiento de los controladores.

Una alternativa para contrarrestar algunas de las fallas es diseñar un sistema tolerantea fallas para el AMB, para que el dispositivo pueda operar ecientemente dentro de losrequerimientos de desempeño y estabilidad, a pesar de algunas fallas en el sistema.

En [34] se propone un sistema de rodamiento magnético tolerante a fallas, para una bombade vacío turbo molecular. El sistema tolerante a fallas puede hacer frente a fallas en elamplicador/actuador y en el sensor de posición, que son los dos tipos de fallas másfrecuentes dentro del sistema AMB. Se usa el método de linealización por polarizaciónjunto con un amplicador de potencia lineal. Ahora, para tolerar fallas en los sensores,se diseñó un sensor inductivo en forma de anillo. La estructura multipolo de este sensorpermite introducir redundancia en el sensado.

Otro diseño de sistema tolerante a fallas se presenta en [35] para una suspensión magnética.El enfoque que se propone de control tolerante fuera de línea emplea una matriz dedistribución de corriente, la cual cambia la corriente en cada polo cuando se presentauna falla en uno de ellos, con esto se mantiene linealizadas y desacopladas las relacionesentre la fuerza de control y el voltaje de control. En general, existen 2n − 1 posibles fallasen los polos, para diferentes conguraciones del AMB de n polos. Este enfoque se empleóen rodamientos magnéticos homopolares de 4, 6 y 7 polos.

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Los autores de [36] proponen un diagnóstico de fallas para el sistema del AMB, paramonitorear en lazo cerrado y analizar los patrones de las fallas en línea en caso dela ocurrencia de cualquier mal funcionamiento. Se combinan dos metodologías para eldiagnóstico usando estimadores de parámetros y de estado, para detectar, identicar yanalizar las fallas en sensores y actuadores en sistemas rotor/AMB. El algoritmo de fallasque se propone tiene la capacidad de detectar múltiples fallas en sensores.

En [37] se presenta una clasicación especíca de fallas, clasicándolas como fallas internasy externas. A continuación se muestra la clasicación en la Tabla 1.2.1:

Fallas externas Fallas internasCambios repentinos en la

cargaElectrónica de potencia

Pérdida de masa en el rotor Mal funcionamiento deltransductor

Movimiento de la base Falla en la bobina en elmagneto del rodamiento

Deformación del rotor Errores de cálculo en elsoftware

Impacto en el rotor Avería en el hardware decálculo

Fricción en el rotor Falla en en rotor

Tabla 1.2.1 Clasicación de fallas para el sistema de control del AMB.

Para más detalles de esta clasicación de fallas, véase la Sección 3.8 del Capítulo 3.

En los trabajos de Mai [38, 39], se propone un nuevo enfoque de control tolerante a fallaspara los sistemas que poseen la propiedad de platitud diferencial. Este nuevo enfoque seaplica en el primer trabajo, a manera de ejemplo, a un sistema lineal invariante en eltiempo SISO9 y, en el segundo trabajo también se aplica, como ejemplo, en un sistema nolineal MIMO10.

Este enfoque emplea el método de estimación algebraica de derivadas para estimar fallasen actuadores sin la necesidad de sintetizar observadores o ltros. El método permite larápida acomodación del control en presencia de la falla, como consecuencia de la rápidaestimación.

Los artículos se enfocan en el problema que se conoce como: Problema fundamental de lageneración residual, que tiene por objeto la detección y el aislamiento de las fallas para

9SISO, por sus siglas en inglés: Single Input Single Output10MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple Input- Multiple Output

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el caso de fallas múltiples. Generalmente, para minimizar el efecto de la falla sobre eldesempeño del controlador, la ley de control se modica tomando en cuenta los resultadosdel diagnóstico de fallas. Esto puede causar una acción de control aditiva. Sin embargo,los límites de saturación de la señal de control puede requerir el cambio de la trayectoriade referencia para mantener un esquema de acomodación de fallas exitoso. En cambio,el nuevo enfoque de control tolerante a fallas basado en platitud usando la estimaciónalgebraica de derivadas, evita la saturación de la señal de control y permite la replaneaciónde la trayectoria en presencia de la falla.

De acuerdo con la bibliografía que se revisó, ahora se puede plantear el problema deltrabajo.

1.3. Planteamiento y justicación del problema

En años recientes se ha incrementado el uso del rodamiento magnético en diversasaplicaciones de diferentes áreas, tanto en los equipos que cuentan con partes rotatorias,como también en dispositivos que no poseen partes móviles. Esto se debe a las ventajasque ofrece con respecto al rodamiento mecánico, tales como altas velocidades de rotación,capacidad para cargas elevadas, mayor durabilidad, eliminación de los lubricantes, etc.Esto conduce a que el dispositivo sea más eciente como consecuencia de su característicaprincipal, la ausencia de contacto físico entre el rotor y el rodamiento magnético.

Sin embargo, el problema de control es complicado, porque es un sistema altamente nolineal, inherentemente inestable y con una dinámica muy rápida. Las primeras incursionespara controlar el rodamiento consistieron en realizar una linealización mediante una seriede Taylor entorno a un punto de operación, para poder aplicar técnicas de diseño decontroladores lineales. Posteriormente, y más recientemente, se trató el diseño del controlno lineal para el sistema no lineal.

En el estado del arte se llevó a cabo una revisión bibliográca con respecto a diseños decontroladores para el AMB, y se encontró que una manera de simplicar el problema dediseño del controlador para el rodamiento magnético es aplicar el concepto de platituddiferencial, ya que se basa en la estructura física del sistema para la obtención delcontrolador. A su vez, este concepto permite facilitar la tarea de planeación y seguimientode trayectoria, la cual es el objetivo de esta tesis.

La dicultad reside en encontrar la salida plana para parametrizar las variables delsistema (las variables de estado y el vector de entrada), y así obtener el control nominalparametrizado necesario. Proponer una salida plana involucra tener conocimiento sobre elsistema, y también depende de los objetivos de control.

En este trabajo se aborda la aplicación del concepto de platitud diferencial para unrodamiento magnético de 4 polos, ya que todo lo que se hace con esta conguración sepuede extrapolar para un número mayor de polos.

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1.4. HIPÓTESIS

Con respecto a fallas en el sistema, no se encontró literatura que aborde fallas en elrodamiento magnético en el contexto de platitud diferencial. Por ello, en esta tesis, sehace uso del concepto de platitud diferencial para proponer una salida plana que, permitaobtener el controlador nominal mediante la parametrización, planear el movimiento delrotor y el seguimiento a una referencia de una manera práctica y sencilla. Además, seprovocan fallas en el rodamiento para probar el desempeño del controlador basado enplatitud diferencial.

Lo anterior se lleva acabo tanto para el sistema linealizado por retroalimentación robusta(LRR) como para el sistema no lineal del rodamiento magnético. Se compara el desempeñodel sistema no lineal con el desempeño del sistema equivalente lineal en su modo nominal,en presencia de una perturbación y de fallas.

1.4. Hipótesis

Se puede emplear la estrategia de planeación de movimiento y seguimiento de trayectoriapara el diseño de controladores basado en el concepto de platitud diferencial, considerandofallas internas y una perturbación en el rotor para un rodamiento magnético activo decuatro polos.

A continuación se presenta el objetivo general de esta tesis.

1.5. Objetivo general

Usar la estrategia de planeación de movimiento y seguimiento de trayectoria para el di-seño de controladores basado en el concepto de platitud diferencial para un rodamientomagnético activo de cuatro polos, considerando fallas internas y una perturbación en elrotor.

Objetivos especícos

Comprender: El modelo matemático del AMB reportado en [8], la herramienta de platituddiferencial para la obtención de la salida plana, la noción de planeación de movimiento yseguimiento de trayectoria en el contexto de platitud diferencial, las nociones básicas decontrol tolerante a fallas para provocar fallas internas y una perturbación en el sistemaAMB. Analizar los resultados de las simulaciones del sistema en lazo cerrado.

1.6. Metodología

Primero, se determinó que el modelo matemático del rodamiento magnético es un sistemadiferencialmente plano. Para esto se calculó una salida plana para el caso del sistema

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lineal, y una salida plana para el sistema no lineal, que parametrizan las variables delvector de entrada. Con esto se obtuvo el controlador nominal que permite la planeaciónde movimiento.

Segundo, con base en el resultado del párrafo anterior, se realizó el diseño de loscontroladores basado en platitud diferencial. Éste consta de una parte de prealimentación(el controlador parametrizado por la salida plana) y una retroalimentación para elseguimiento de una trayectoria de referencia. El controlador retroalimentado que sepropuso fue el controlador proporcional integral derivativo (GPI), porque éste sólo necesitauna salida medible para reconstruir el vector del estado con base en esta salida. Por lotanto, no se requiere diseñar observadores dinámicos. Además, la estructura misma de estecontrolador retroalimentado proporciona robustez ante la presencia de perturbaciones yfallas.

Tercero, los esquemas de control diseñados para el sistema lineal y no lineal, se simularony se comparó su desempeño nominal. Para analizar el desempeño de estos esquemas, seprovocaron fallas en el sistema, además de una perturbación. Se obtuvo que los esquemasdiseñados, presentan un buen desempeño ante la presencia de las fallas y la perturbación.

Finalmente, la comparación de los esquemas de control para los sistemas lineal y no linealdel AMB, dieron por resultado que el esquema de control para el sistema no lineal presentamejor desempeño en el modo nominal, en presencia de fallas y de una perturbación en elseguimiento de la trayectoria de referencia.

En la Figura 1.6.1, se ilustra el esquema de control propuesto para la solución del problemade planeación de movimiento y seguimiento de trayectoria, tanto para el sistema linealizadopor retroalimentación robusta como para el sistema no lineal.

Figura 1.6.1 Diagrama a bloques del esquema propuesto.

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1.7. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

1.7. Organización de la tesis

El documento se encuentra dividido en siete capítulos, a continuación se describebrevemente el contenido de cada cada uno.

En este Capítulo 1, se presentó la denición del rodamiento magnético, el estado del artecon respecto a los trabajos realizados para su control, una introducción general respectoa platitud diferencial y de trabajos que emplean este enfoque, documentos que tratansobre fallas en los rodamiento. Así también se presentó el planteamiento y justicación delproblema para llevar a cabo este trabajo de tesis.

En el Capítulo 2, se presenta el concepto de platitud diferencial para los sistemas linealesen la representación en la forma de espacio de estado, así como también para los sistemasno lineales, tanto para los casos SISO y MIMO. Así, como las herramientas que seránutilizadas para calcular la salida plana para el caso de lo sistema lineales y, las condicionesnecesarias y sucientes para para calicar un conjunto de variables propuesto como lasalida plana que posteriormente simplicarán la tarea de planeación y seguimiento detrayectoria.

En el Capítulo 3, está dedicado al análisis y presentación del modelo del rodamientomagnético activo. Se muestra el desarrollo de la obtención del modelo matemático paraun AMB de cuatro polos, así también se pone a la luz que el sistema es inherentementeinestable. Por último se presenta el acoplamiento de los dos pares de polos con que cuentael rodamiento. Además, se incluye una breve revisión de las fallas más comunes que puedenocurrir, con el objeto de provocar algunas para analizar el desempeño del rodamiento bajoestas circunstancias.

El Capítulo 4, presenta la metodología de la linealización por retroalimentación delestado (LRE) para linealizar el modelo matemático del rodamiento, con el objeto deutilizar los resultados que proporciona esta linealización para llevar a cabo la linealizaciónpor retroalimentación robusta (LRR). También se pone en evidencia las ventajas queproporciona la LRR con respecto a la LRE.

En el Capítulo 5, se presenta el cálculo y la proposición de la salida plana para el diseñodel controlador basado en platitud diferencial para el sistema linealizado a la LRR y parael sistema no lineal respectivamente, basado en la teoría expuesta en el Capítulo 2.

El Capítulo 6, presenta las pruebas de simulación y el análisis de resultados que se obtienena partir de la aplicación del diseño del controlador basado en platitud diferencial, en modonominal, en presencia de fallas y de perturbaciones.

Finalmente en el Capítulo 7 se presentan las conclusiones generales del trabajo de tesis,así como las propuestas para los trabajos futuros.

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Capítulo 2

Platitud diferencial

2.1. Introducción

Un uso típico de la teoría de control en diversos sistemas de control modernos es invertirla dinámica del sistema para calcular las entradas adecuadas para realizar una tareaespecíca. Esta inversión puede implicar la búsqueda de las entradas apropiadas parallevar a un sistema de control de un estado a otro. También, puede implicar la búsquedade las entradas para seguir una trayectoria deseada para algunas o todas las variablesdel estado del sistema. En general, la solución para un problema de control dado no seráúnica, si es que existe y, por lo tanto, se debe hacer un compromiso en el desempeño delsistema entre la estabilidad y el esfuerzo de control.

El problema de la dinámica inversa supone que se conoce la dinámica del sistema y queademás es ja. En la práctica, el ruido y la incertidumbre siempre están presentes enlos sistemas y se deben considerar para lograr un desempeño aceptable del sistema. Laformulación de diseños de controladores retroalimentados permite al sistema respondera errores y a condiciones de operación cambiantes en tiempo real y puede afectarsustancialmente la operatividad mediante la estabilización del sistema y la extensión desus capacidades.

El paradigma básico que se utiliza en muchos sistemas de control, si no es que en todos,son las técnicas de control que explotan la estructura matemática del sistema para obtenersoluciones a los problemas de la dinámica inversa y la regulación de retroalimentación. Laestructura más común que se explota es la estructura lineal, donde se aproxima el sistemadado mediante su linealización y, entonces se aplican las propiedades de los sistemas decontrol lineal combinadas con una función costo apropiada para proporcionar solucionesen forma cerrada.

Como los sistemas que se busca controlar son cada vez más complejos, el uso de laestructura lineal a menudo ya no es suciente para resolver los problemas de controlque están surgiendo en las aplicaciones. Esto es especialmente cierto en los problemas de

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2.1. INTRODUCCIÓN

la dinámica inversa, donde la tarea deseada puede generar múltiples regiones de operacióny por lo tanto es inadecuado el uso de un sólo sistema lineal.

Además de la simple estructura lineal, se han buscado diferentes tipos de estructuraspara resolver los problemas de la dinámica inversa. Este capítulo, se centra en una claseespecíca de sistemas, denominados sistemas planos diferencialmente1, para la cual laestructura de las trayectorias de la dinámica no lineal se puede caracterizar completamente.

Los sistemas planos son una generalización de los sistemas lineales (en el sentido quetodos los sistemas lineales controlables son planos), pero las técnicas que se emplean parael control de los sistemas planos son muy diferentes de muchas de las técnicas existentespara los sistemas lineales.

Platitud es particularmente útil para solucionar los problemas de la dinámica inversa yde la construcción fuera de línea, de aquella solución deseada (curva algebraica) en eluso de la estructura de platitud para resolver problemas de control más general. Además,permite simplicar los problemas de control de planeación de movimiento y seguimientode trayectoria cuando se trata con los sistemas planos.

En el álgebra diferencial, se considera un sistema como un campo diferencial generadomediante un conjunto de variables (vector de estado y las entradas). Se dice que el sistemaes plano si se puede encontrar un conjunto de variables, llamado la salida plana, de maneraque el sistema sea algebraico (no diferencialmente) sobre el campo diferencial generadomediante el conjunto de variables de la salida plana [40].

En general, un sistema es plano diferencialmente si se puede encontrar un conjunto desalidas (las componentes del conjunto es igual en número al número de entradas) de maneraque el estado y la entrada del sistema se pueden determinar de estas salidas sin resolverlas ecuaciones diferenciales.

Recientemente, platitud se ha denido en un contexto más geométrico, donde lasherramientas para el control no lineal están disponibles. Un enfoque es utilizar sistemasdiferenciales exteriores y considerar a un sistema de control no lineal como un sistemaPfaano en un espacio apropiado [41]. En este contexto, platitud se puede describir entérminos de la noción de equivalencia denida por Cartan [42, 43, 44].

2.1.1. Platitud y controlabilidad

Platitud diferencial es una idea asociada con los sistemas de ecuaciones diferencialessubdeterminados. Ella representa la posibilidad de parametrizar completamente cadavariable del sistema en términos de un conjunto privilegiado nito de variables libresen el sistema.

Para comprender las características básicas de platitud, considere un sistema de necuaciones lineales algebraicas con n + m incógnitas ξ = (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+m) =(x, xn+1, . . . , xn+m) = (x, F ), escrito como:

1En lo sucesivo, se emplea sistema plano o plano diferencialmente de manera indistinta.

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CAPÍTULO 2. PLATITUD DIFERENCIAL

Ax+BF, B 6= 0, rango [A, B] = n

x = ax

Donde [A, B] es la matriz aumentada formada por A y B. Asuma que A es invertible(det (A) 6= 0) y que B tiene rango pleno m. Claramente, todas las soluciones para x sepueden expresar en términos del vector desconocido F como:

x = −A−1BF

es decir, todas las soluciones están parametrizadas en términos de F . Por otro lado, ya quela matriz B de n×m es de rango completo, la variable F se puede expresar en términosde las componentes de x como se muestra en la siguiente expresión,

F = −(BTB

)−1BTAx

Donde(BTB

)−1BT es la pseudoinversa de B, (la teoría de la pseudoinversa se desarrolla en

[45]). El sistema lineal [A, B] ξ = 0 exhibe entonces un conjunto privilegiado de variables,las componentes de F = (xn+1, . . . , xn+m), que son internas al sistema de ecuaciones, lascuales son capaces de hacer que x tome cualquier valor (nito) arbitrario deseado.

Ahora, suponga que la matriz A no es invertible, es decir, tiene rango n −m. Entonces,F ya no puede tomar cualquier valor, ya que será igual a cero para cualquier x deseadaque se encuentre en el kernel (espacio nulo) de A. Como consecuencia, no es cierto que lascomponentes de x se puedan parametrizar por completo en términos de F . La propiedadde hacer capaz que x tome cualquier valor deseado, mediante la elección adecuada de F ,se pierde.

Note que, en la discusión anterior, el papel del vector F puede haberse desempeñado, enprincipio, por otro subconjunto de m variables de ξ, para la cual la matriz correspondienteA es invertible y la matriz B tiene rango pleno.

Por otra parte, los sistemas de control se representan frecuentemente en términosde ecuaciones diferenciales del estado, lineal o no lineal, con m entradas de control.Usualmente, el número n de variables del estado, es mayor que el número m de entradas decontrol, y el número de ecuaciones diferenciales es igual al número de variables del estado.Entonces, las entradas de control, las cuales son funciones desconocidas que generalmentese requiere determinar, constituyen un conjunto de variables adicionales, que hacen que elsistema de ecuaciones quede subdeterminado.

Los sistemas planos diferencialmente, exhiben una propiedad que recuerda a la manifestadaen el ejemplo algebraico anterior. No es sorprendente que tal propiedad se puede encontraren muchos sistemas controlados, ya que muchos de ellos se constituyen por un sistema deecuaciones subdeterminados.

20

2.1. INTRODUCCIÓN

La controlabilidad es una propiedad fundamental deseable de los sistemas dinámicoscontrolados (ya sean continuos, discretos, lineales, no lineales, de dimensión nita o no).Entonces, la posibilidad de encontrar la propiedad de platitud en un sistema dinámico,signicará tener al sistema controlado satisfaciendo de alguna manera la propiedadomnipresente de controlabilidad.

Dado que la controlabilidad se relaciona fuertemente con la posibilidad de que la trayectoriadel estado del sistema haga razonablemente lo que se desee en un intervalo nito de tiempo,entonces, platitud se ligará fuertemente con la capacidad de planear trayectorias del estadofactibles fuera de línea y concebir los controladores retroalimentados correspondientes, quehacen que el estado del sistema siga precisamente esas trayectorias deseadas.

A continuación se da una denición de lo que se entiende por un sistema plano.

Denición 2.1 [46] Un sistema no lineal de la forma x = f (x, u), con x ∈ Rn, u ∈ Rm

y n ≥ m, es plano diferencialmente, si existe un conjunto de variables F = (F1, .., Fm) demanera que:

F y sus derivadas sucesivas en el tiempo F , F , ... son independientes.

F es función de x, u y posiblemente de un número nito de las derivadas en eltiempo de las componentes de u, es decir F = ϕ0

(x, u, u, ..., u(q)

)para un entero q.

x y u se pueden expresar como funciones de las componentes de F y de un

número nito de sus derivadas temporales: x = ϕ1

(F, F , ..., F (n−1)

), u =

ϕ2

(F, F , ..., F (n)

).

Las componentes de F son diferencialmente independientes. Al conjunto de variables Fcon estas propiedades se le denomina la salida plana.

Como una consecuencia, al especicarse una curva algebraica para la salida plana F ∗, sedeterminan de manera única las trayectorias del estado y el comportamiento nominal delas entradas de control:

x∗ = ϕ1

(F ∗, F ∗, . . . , F ∗(n−1)

)(2.1.1)

u∗ (t) = ϕ2

(F ∗, F ∗, . . . , F ∗(n)

)(2.1.2)

Por lo tanto, una ventaja en el reconocimiento de platitud es, que tanto las tareas deplaneación de movimiento y la especicación del controlador resultan ser simples. Platitudse relaciona con el hecho de que el conjunto de trayectorias integrales (soluciones) delsistema están en correspondencia uno a uno, de manera suave, con trayectorias libres(curvas algebraicas) que yacen en un espacio de dimensión m, el espacio de la salidaplana.

21


2.2. Sistemas lineales en la forma de espacio de estado

En esta sección, se presenta el concepto de platitud diferencial en el marco de los sistemasdinámicos lineales invariantes en el tiempo de una entrada y una salida (SISO), y demúltiples entradas y salidas (MIMO). Generalmente, se desea estabilizar la salida delsistema o realizar el seguimiento de una trayectoria deseada de referencia. Estos problemasse simplican si el sistema es plano, independientemente de la naturaleza de la dinámicainterna asociada con la variable de salida (dinámica cero, dinámica residual).

En el contexto particular de los sistemas lineales, la conexión entre platitud ycontrolabilidad es, quizás, la más clara: Un sistema lineal invariante en el tiempo es planosí, y sólo sí, es controlable. La controlabilidad es una propiedad estructural de los sistemasno autónomos2, que permite la posibilidad de generar movimientos arbitrarios.

La identicación de la salida plana en un sistema lineal es de importancia particular,ya que la correspondiente parametrización diferencial asociada con la salida plana,permite simplicar el problema de estabilización o de seguimiento, para el correspondienteproblema denido sobre la salida plana. Para el problema de control especíco de llevarla dinámica de un sistema de un estado inicial en reposo a otro estado nal en reposo(problema de control rest to rest), platitud es particularmente útil y proporciona unasolución indirecta elegante para el problema.

Una característica importante de platitud es que, todas las propiedades del sistema, larelación de la entrada con el estado, estado con la salida y la entrada-salida, se puedeninferir de la parametrización diferencial de las variables del sistema.

2.2.1. Sistemas SISO

En el contexto de los sistemas lineales controlables, platitud diferencial y el concepto decontrolabilidad son equivalentes. A continuación se da la siguiente proposición:

Proposición 2.1 [46] Un sistema lineal es plano sí, y sólo sí es controlable.

Considere el siguiente sistema mono variable, lineal y controlable:

x = Ax+Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm (2.2.1)

donde A es una matriz de n× n y B es un vector de dimensión m, donde m = 1.

Denición 2.2 [46] Dos sistemas x = Ax+Bu y z = Λz+Gν son equivalentes medianteun cambio lineal de coordenadas y una retroalimentación (no degenerada), o brevemente,equivalentes mediante retroalimentación lineal estática (equivalencia SLF 3), si existen

2También llamados sistemas forzados, son aquellos sistemas que cuentan con entradas, en las cuales,mediante señales externas al sistema, se les pueden imponer una dinámica deseada.

3SLF, de las siglas de static linear feedback.

22

2.2. SISTEMAS LINEALES EN LA FORMA DE ESPACIO DE ESTADO

dos matrices invertibles Kc y L y una matriz K, de manera que si x y u satisfacen ax = Ax+Bu y si z = Kcx y la retroalimentación ν = Kx+Lu, entonces z y ν satisfacenz = Λz +Gν y recíprocamente.

Las matrices de retroalimentación K (invertible) y L tienen dimensiones m×m y m× n,respectivamente. Aquí Kc es la matriz inversa de controlabilidad de Kalman (o matrizinversa de cambio de coordenadas) de n× n, como se muestra:

Kc =[B, AB, ..., An−1B

]−1(2.2.2)

Como las matrices Kc y L son invertibles, se deduce que dos sistemas equivalentesSLF tienen las mismas dimensiones del estado y de la entrada. Para expresar que estaequivalencia depende solamente de las matrices que denen a los dos sistemas, se dice quelos pares (A, B) y (Λ, G) son equivalentes en el sentido SLF.

La Denición 2.2 corresponde a una relación de equivalencia, que es trivialmente reexivay transitiva. Se prueba la simetría: Si existen Kc, K y L, de manera que x = Ax + Bues equivalente en el sentido SLF a z = Λz + Gν, con z = Kcx y ν = Kx + Lu, latransformación de simetría está dada mediante x = K−1

c z y u = −L−1Kx + L−1ν, esdecir:

Derivando el cambio de coordenadas,

z = Kcx = Kc(Ax+Bu) (2.2.3)

despejando u de la retroalimentación ν = Kx+ Lu se tiene:

u = −L−1Kx+ L−1ν (2.2.4)

sustituyendo (2.2.4) en (2.2.3),

z = Kc

(Ax+B

(−L−1Kx+ L−1ν

))z = Kc

(Ax−BL−1Kx

)+KcBL

−1ν

z = Kc(A−BL−1K)x+KcBL−1ν (2.2.5)

Ahora, despejando x de z = Kcx,

x = K−1c z (2.2.6)

sustituyendo (2.2.6) en (2.2.5) se obtiene la expresión:

23


z = Kc

(A−BL−1K

)K−1c z +KcBL

−1ν (2.2.7)

Entonces se llega a la forma z = Λz + Gν, donde Λ = Kc (A−BL−1K)K−1c y

G = KcBL−1. De estas dos últimas expresiones se pueden despejar A y B, es decir,

A = K−1c (ΛKc +GK), B = K−1

c GL.

Se sabe que el sistema (2.2.1) es controlable sí, y sólo sí, rank ([B, AB, ..., An−1B]) = n, esdecir, esta matriz tiene exactamente n columnas linealmente independientes. Los vectorescolumna de esta matriz forman una base de Rn, isomórca a la base canónica ortonormalde Rn, cuyo i-ésimo vector está constituido de n − 1 ceros y de un sólo 1 en la i-ésimaposición. Esta base canónica se genera mediante el vector cíclico G de la matriz Λ dadapor:

Λ =

0 1 0 · · · 00 0 1 0...

.... . . . . .

0 0 0 10 0 0 · · · 0

, G =

00...01

(2.2.8)

El sistema z = Λz + Gν está en la forma canónica de Brunovsky, que es equivalente enel sentido SLF al sistema original. Dicho en otras palabras, existen matrices Kc y K y unescalar L de manera que si z = Kcx y ν = Kx+Lu, entonces z satisface z = Λz +Gν, esdecir:

z1 = z2

z2 = z3...

zn−1 = znzn = ν

(2.2.9)

La coordenada del estado F = z1 parametriza por completo las variables transformadasdel estado y, por lo tanto, a las variables originales x, así como también la entrada u. Enrealidad, resulta simple vericar que las variables transformadas y la entrada ν se puedenescribir en términos de F y de un número nito de sus derivadas temporales,

z1 = F

z2 = F...zn = F (n−1)

ν = F (n)

24


Como consecuencia, todas las variables originales del estado x se pueden parametrizar entérminos de la salida F . El estado transformado es entonces la salida plana F = z1. Acontinuación, se enuncia la siguiente proposición:

Proposición 2.2. [23] La salida plana de un sistema lineal controlable en la representaciónde espacio de estado:

x = Ax+Bu

se determina mediante la combinación de las variables del estado, que se obtienen del úl-timo renglón de la matriz de controlabilidad inversa de Kalman Kc = [B, AB, ..., An−1B],es decir,

F =[

0 0 · · · 1] [B, AB, ..., An−1B

]−1x (2.2.10)

Entonces, en un sistema lineal SISO, la salida plana se puede hacerse siempre dependersolamente de las variables del estado del sistema. Esto tiene una consecuencia importantecon respecto la observabilidad de la salida plana.

Suponga por el momento que la salida plana F es función solamente del vector de estadox. Además, como el sistema es lineal, asuma que F es una función lineal del vector deestado x,

F = λx

para un cierto vector λ de 1× n. El problema de encontrar la salida plana es ahora cómoencontrar este vector la λ.

Anótese el siguiente vector de derivadas de F

F = λx

F = λx = λAx+ λBu

F = λA2x+ λABu+ λBu...

F (n−1) = λAn−1x+ λAn−2Bu+ ...+ λBu(n−2)

En notación matricial queda de la siguiente manera:F

F

F...

F (n−1)

=

λλAλA2

...λAn−1

x+

0 0 · · · 0λB 0 · · · 0λAB λB · · · 0...

... · · · ...An−2B An−3B · · · λB

uuu...

u(n−2)

(2.2.11)

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A partir de aquí, sólo se debe obtener x en términos de F y de sus derivadas temporales,entonces, todas las entradas de la matriz que relaciona F y sus derivadas, a u y susderivadas, deben de eliminarse. Por lo tanto, λ se tiene que diseñar de tal manera quedebe satisfacer,

λB = 0, λAB = 0, · · · , An−2B = 0, λAn−1 6= 0

es decir, λ [B, AB, ..., An−1B] =[

0 0 · · · 1], donde

λ =[

0 0 · · · 1] [B, AB, ..., An−1B

]−1=[

1 · · · 0 0]

es ortogonal a cada vector columna de Kc, excepto en la última, es decir, λAn−1 6= 0. Deotra manera, λ sería ortogonal a un conjunto de n vectores linealmente independientes enRn y esto signicaría que λ podría ser cero, lo cual es imposible.

Derivando una vez más la secuencia de la expresión (2.2.11), se obtiene zn = λAnx +λAn−1Bu, es decir,

ν = λAnx+ λAn−1Bu

donde K = λAn y L = λAn−1B. Entonces, se han construido las matrices Kc y K y L quetransforman al sistema x = Ax + Bu en la forma canónica de Brunovsky, z = Λz + Gν,con Λ y G dados por (2.2.8).

Además, note que la matriz de observabilidadλλAλA2

...λAn−1

debe ser invertible. Esto signica que la salida plana es una salida observable, es decir,que es una variable interna, que también es de grado relativo n, de lo contrario, sería unavariable exógena4.

2.2.2. Sistemas MIMO

Considere el sistema multivariable, lineal y controlable:

x = Ax+Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm (2.2.12)

4Que procede desde afuera. Señal externa.

26


donde la matriz B es de rango completo m > 1 y se compone de los vectores columnab1, . . . , bm. Para que el sistema sea controlable, la matriz de controlabilidad de KalmanKc = [B, AB, . . . , An−1B] de n× nm debe ser de rango completo, es decir, debe tener ncolumnas linealmente independientes .

Sea bi la i-ésima columna de B, de manera que la matriz de controlabilidad se puedereescribir de la siguiente forma:

Kc =[b1 . . . bm Ab1 . . . Abm . . . A

n−1b1 . . . An−1bm

](2.2.13)

En el caso multivariable, se establece la lista de todas las columnas linealmenteindependientes de Kc comenzando por b1 y recorriendo la matriz de izquierda hacia laderecha, mediante la eliminación de las columnas linealmente dependientes seleccionadaspreviamente a la izquierda. Como rank (B) = m, las primeras m columnas de Kc debenestar necesariamente en esta lista.

Por lo tanto, de la matriz de controlabilidad de Kalman, es posible extraer una matriz C,de n× n, invertible con n columnas que se usan como una nueva base para el espacio deestado [47], dada por

C = [b1, Ab1, . . . , Aγ1−1b1, b2, Ab2, .., Aγ2−1b2, . . . , bm, Abm, . . . , Aγm−1bm] (2.2.14)

que tiene exactamente n columnas independientes si el par (A, B) es controlable. Losenteros γ1, . . . , γm se denen como 1 ≤ γi ≤ n para toda i = 1, . . . , m de manera queγ1 + . . .+ γm = n. El índice γi indica en donde van actuar las nuevas entradas del sistemaequivalente. A estos índices se les denomina los índices de controlabilidad de Kronecker.

Con base en lo anterior, la salida plana se obtiene de la combinación lineal de las variablesdel estado con la siguiente expresión:

F = ψC−1x (2.2.15)

donde ψ = (ψ1 . . . ψm) con ψi, i = 1, ..., m son los vectores renglón de n componentes dela forma:

ψi = [0, ..., 0, ..., 0, λi, ..., 0]

con un 1 en la posición∑j

i=1 λi.

En este caso de múltiples entradas, la forma canónica de Brunovsky se construye porbloques, cada uno tiene la misma estructura de Λ y G y la misma dimensión del subespaciocíclico generado mediante cada columna de B,

z = Λz +Gν (2.2.16)

27


con

Λ =

Λ1 0 0 · · · 00 Λ2 0 · · · 00 0 Λ3 0 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Λm

, G =

G1 0 0 · · · 00 G2 0 · · · 00 0 G3 0 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Gm

donde cada Λi es una matriz de dimensión γi × γi y cada Gi es un vector de γi × 1 quetienen la siguiente forma

Λi =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · 0

, Gi =

000...1

Con base en los resultados expuestos en las Subsecciones 2.2.1 y 2.2.2 queda claro que lametodología para los sistemas lineales SISO y MIMO permite, mediante un procedimientosistemático, encontrar la salida plana del sistema, mediante la equivalencia entre losconceptos de platitud y controlabilidad.

2.2.3. Planeación de movimiento

Generalizando en el contexto de los sistemas multivariables, considere de nuevo el sistemacontrolable x = Ax + Bu, que es equivalente en el sentido SLF a un sistema en la formacanónica de Brunovsky z = Λz+Gν, con z = Kcx y ν = Kx+Lu. Se desea encontrar unatrayectoria que inicie en x (0) = x0 en t = 0 con una entrada de control inicial u (0) = u0,y que nalice en x (T ) = xT en t = T con una entrada de control nal u (T ) = uT . Estascondiciones se expresan en z y en ν como:

z (0) = Kcx0, ν (0) = Kx0 + Lu0, z (T ) = KcxT , ν (T ) = KxT + LuT (2.2.17)

Las primeras componentes de zi de (2.2.16) con i = 1, ..., m, se renombran por Fi de talmanera que,

F(γi−1)i = zγi , F

(γi)i = νi

con la notación F (γi)i = dγi

dtγiFi donde γ1 + ... + γm = n. Los índices γi indican en donde

actuarán las nuevas entradas. Entonces (2.2.17) se interpreta como las condiciones sobrelas derivadas sucesivas de Fi hasta el orden γi, en los tiempos 0 y T . Consecuentemente,

28


si se proporciona una curva algebraica diferenciable n veces t ∈ [0, T ] 7→ F ∗i (t) ∈ R,que satisfaga las condiciones inicial y nal de (2.2.17), entonces todas las variables delsistema se puede deducir mediante diferenciación sin resolver las ecuaciones diferencialesdel sistema.

En particular, la entrada νi se obtiene como la derivada de orden n-ésimo de F ∗icon respecto al tiempo, el control u∗ se deduce de u∗ = −L−1KK−1

c z∗ + L−1νi, con

z∗ =(F1, ..., F

(γ1−1)1 , ..., Fm, ..., F

(γm−1)m

). Por lo tanto, la trayectoria x∗ se obtiene co-

mo x∗ = K−1c z∗, de manera que u∗ satisface exactamente x∗ = Ax∗ +Bu∗.

Curvas de Bézier

Ahora, sólo queda encontrar la curva algebraica F ∗i . Esto se puede solucionar usandouna curva de Bézier diferenciable al menos γi − 1 veces, de manera que se satisfagan lascondiciones iniciales y nales.

Las curvas de Bézier son un sistema desarrollado en la década de 1960 para el trazadode dibujos técnicos, en el diseño aeronaútico y de automóviles [48]. Estas curvas sonadaptables y suaves que también se utilizan para interpolar, aproximar, ajustar curvasy representar objetos. En este caso, se ocuparán las curvas de Bézier para establecerseñales de referencia F ∗i , que mediante un controlador retroalimentado deberán de seguirlas salidas planas.

La curva de Bézier une dos puntos mediante una curva suave en lugar de unirlos por unarecta. En la Figura 2.2.1 se muestra un ejemplo de una curva de Bézier.

Figura 2.2.1 Construcción de una curva cúbica de Bezier.

Los elementos esenciales de una curva de Bézier son: Los puntos P0, P1, P2 y P3 a los quese les denomina puntos de anclaje o nodos. A la gura que forman esos nodos se le llamapolígono de control. La forma de la curva se dene mediante unos puntos invisibles Q0,Q1, Q2 llamados puntos de control.

El grado de la curva de Bézier depende del número de lados del polígono de control. Asíque, para la Figura 2.2.1, el grado de la curva de Bézier es de tercer orden. Entre máslados tenga el polígono de control, más suave será la curva de Bézier.

29


Un tipo de curva de Bézier se describe mediante la expresión [49]:

B(t) =

P0 t < t0∑n

i=0n!

i!(n−i)!

(ti−tti−t0

)n−i (t−t0ti−t0

)Pi t0 < t < tf

Pf t > tf

(2.2.18)

donde P0, Pf son los valores inicial y nal, respectivamente; t0, tf el tiempo inicial y nal,respectivamente y, n es el orden de la curva. Este tipo de curva está diseñada para elproblema particular de control de llevar a un sistema dinámico de un estado inicial enreposo a otro estado nal en reposo (problema de control rest to rest).

La Figura 2.3.1 ilustra una curva de Bézier y sus dos primeras derivadas para mostrar quees una curva suave diferencialmente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

Tiempo [s]

Pos

ició

n [m

]

Curva de Bezier y sus primeras dos derivadas

Curva de Bézier

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

Vel

ocid

ad [m

/s]

1ra derivada

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

Ace

lera

ción

[m/s

2 ]

2da derivada

Figura 2.2.2 Curva de Bézier y sus dos primeras derivadas.

De esta manera, las curvas de Bézier son útiles para denir señales de referencias que sondiferenciables, particularmente adecuadas en el contexto de platitud diferencial.

2.2.4. Seguimiento de trayectoria

Ahora, se muestra cómo se puede emplear la forma canónica de Brunovsky para el diseñode controladores. Se vuelve al sistema en la forma canónica

F (γ1) = ν1

... (2.2.19)

F (γm) = νm

30


Se asume que el vector de estado x es medible. Entonces, se desea seguir la trayectoriade referencia F ∗i , con F

∗(γi)i = ν∗i , que ya se diseñó en la Sección 2.2.3 de planeación

de movimiento. La desviación entre la trayectoria medida y su referencia está dada porei = Fi − F ∗i y satisface la ecuación diferencial de n-ésimo orden e(γi−1)

i = νi − ν∗i . Estadesviación junto con sus γi − 1 primeras derivadas se puede calcular en todo momento dela medición del estado x.

El objetivo es garantizar la convergencia a cero de ei y de sus γi − 1 derivadas sucesivas.Por lo que la dinámica de la desviación se puede escribir de la siguiente manera:

e(γi−1)1 = −

γi−1∑j=0

kie(i)i

A la expresión anterior se le agrega un término integral para disminuir el error deseguimiento ei = Fi − F ∗i , quedando de la siguiente manera

e(γi−1)1 = −

γi−1∑j=0

ki,je(i)i − ki+1,j+1

ˆ T

0

(ei) de (2.2.20)

Para obtener el sistema del error de seguimiento en forma matricial, primero se deriva laexpresión (2.2.20) para eliminar la integral y, entonces, se obtiene la siguiente expresión,

eiei...

e(γi)i

=

0 1 0 . . . 00 0 1 0...

. . . . . .0 0 0 1−k0 −k1 −k2 . . . kγi

eiei...

e(γi−1)i

(2.2.21)

Las entradas ki de la matriz del sistema del error (2.2.21), son los coecientes dela expresión (2.2.20). La evolución de la señal de error será estable asintóticamenteexponencialmente a cero sí, y sólo sí, los coecientes se seleccionan de tal forma quelos m polinomios característicos sγi+1 +

∑γij=0 ki,js

ji + ki+1,j+1 (ei) = 0 del sistema en lazo

cerrado sean Hurwitz.

De esta manera, se asegura que la dinámica del error es estable asintóticamenteexponencialmente.

Por último, sustituyendo ei = Fi − F ∗i y e(γi−1)i = νi − ν∗i , con F

∗(γi)i = ν∗i , en (2.2.20) y

despejado νi, se obtiene el controlador retroalimentado,

νi = F∗(γi)i −

γi−1∑j=0

ki,j (Fi − F ∗i )(i)i − ki+1,j+1

ˆ T

0

(Fi − F ∗i ) de (2.2.22)

31


La expresión anterior representa a un controlador proporcional integral generalizado (GPI),éste requiere que por lo menos una variable del sistema sea medible para reconstruir a partirde esta salida, el vector de estado. Aún más, si la salida plana tiene sentido físico para elsistema y es medible, entonces, esta técnica de control se puede combinar adecuadamentecon el concepto platitud diferencial. Se proporciona más información del control GPI enla Sección 2.4.4. de seguimiento de trayectoria para los sistemas no lineales.

2.3. Equivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund

Intuitivamente, un sistema plano es un sistema cuyas curvas integrales se pueden mapearinyectivamente en curvas algebraicas en un espacio adecuado, cuya dimensión puede serdiferente a la dimensión del espacio del estado original. Para formalizar esto, se necesitaintroducir ciertas nociones y herramientas de geometría diferencial, pues se requieretrabajar con mapeos inyectivos e innitamente diferenciables entre espacios vectorialeso variedades de dimensiones diferentes.

De acuerdo al teorema del rango constante, tales mapeos entre variedades de dimensiónnita no existen. Por lo tanto, esto puede ser posible sólo si las variedades originales seencajan en variedades de dimensión innita. La manera clásica de hacer esto, consiste enusar las coordenadas naturales junto con una sucesión innita de sus derivadas temporales,a lo que se le llama un jet de orden innito. En este contexto, si dos variedades de jets deorden innito se mapean de manera inyectiva y diferenciable, se dice que son equivalentesen el sentido de Lie-Bäcklund [50].

Como se ha venido repitiendo a lo largo del capítulo, la platitud diferencial de un sistemano lineal implica la existencia de un conjunto de variables, denominado la salida plana,de tal manera que todas las variables del sistema se pueden expresar como funciones deéste y de un número nito de sus derivadas. Estas relaciones son invertibles, en el sentidoque las componentes de la salida plana se pueden expresar como funciones del estado, lasentradas y de un número nito de sus derivadas.

Una interpretación geométrica de platitud diferencial, adecuada al objetivo de planeaciónde movimiento es la siguiente: Las funciones que relacionan las variables del estado conla salida plana, constituyen un difeomorsmo entre el espacio del estado y las entradas,por un lado, y el espacio de la salida plana por otro lado. Este difeomorsmo estableceuna correspondencia entre las trayectorias del sistema t→ (x (t) , u (t)) y las curvas libres(curvas algebraicas) t → F (t). A esta correspondencia se le denomina equivalencia en elsentido de Lie-Bäcklund. En la Figura 2.3.1 se muestra la representación gráca de estaequivalencia.

Las curvas algebraicas deben satisfacer las condiciones iniciales establecidas para lastrayectorias t → (x (t) , u (t)). En el espacio de la salida plana, el problema de encontrarestas curvas algebraicas t → F (t) es sencillo, por lo que, una vez parametrizadas estas

32

2.3. EQUIVALENCIA EN EL SENTIDO DE LIE-BÄCKLUND

F (t), bastará proyectarlas hacia el espacio del estado y de las entradas para obtener lastrayectorias t→ (x (t) , u (t)) deseadas.

Figura 2.3.1 Representación gráca de la propiedad de platitud diferencial: Laequivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund entre las trayectorias del sistema equivalente(abajo) y las del sistema no lineal (arriba).

Para el lector interesado sobre la equivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund, véase alCapítulo 5 de la referencia [50], o el reporte técnico [40].

A continuación, se dan las nociones básicas de la equivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund.

Equivalencia en el sentido de Lie-Bäcklund

Se dene una relación de equivalencia que formaliza la idea de que dos sistemas sonequivalentes, si existe una transformación suave invertible que pone en correspondenciasus trayectorias. La importancia de esta noción de equivalencia natural se encuentra en elhecho que admite una interpretación en términos de la retroalimentación dinámica.

33


Considere dos variedades de jets de orden innito χ = X × U × Rm con su campo deCartan f , y η = Y × V × Rq con su campo de Cartan g. Sea un mapeo suave Ψ : χ→ η.Si t→ ξ (t) es una trayectoria de

(χ, f

), es decir,

∀ξ, ξ (t) = f (ξ (t))

la composición de la función t→ ζ (t) = Ψ (ξ (t)) satisface la regla de la cadena,

ζ (t) =∂Ψ

∂ξ(ξ (t)) ξ (t) =

∂Ψ

∂ξ(ξ (t)) f (ξ (t))

La expresión de arriba involucra solamente sumas innitas aún incluso si las matrices ylos vectores tienes dimensiones innitas, de hecho, una la de ∂Ψ

∂ξcontiene solamente un

número innito de términos que no son nulos, porque una componente de Ψ sólo dependede un número nito de coordenadas.

Ahora, si los campos vectoriales f y g se relacionan mediante Ψ, se tiene,

∀ξ, g (Ψ (ξ)) =∂Ψ

∂ξ(ξ) f (ξ)

entoncesζ (t) = g (Ψ (ξ (t))) = g (ζ (t))

lo que signica que t → ζ (t) = Ψ (ξ (t)) es una trayectoria de (η, g). Si además, Ψ tieneuna inversa suave Φ, entonces, f y g se relacionan mediante Φ, y existe una correspon-dencia suave uno a uno entre las trayectorias de los dos sistemas. A tal mapeo invertibleΨ que relaciona f y g se le denomina transformación endógena.

Denición 2.4 [40] Los sistemas(χ, f

)y (η, g) son equivalentes en (p, s) ∈ χ × η si

existe una transformación endógena de un entorno de p a un entorno de s.(χ, f

)y (η, g)

son equivalentes si son equivalentes en cada par de puntos (p, s) de un subconjunto abiertodenso de χ× η.

2.4. Sistemas no lineales

2.4.1. Sistemas no lineales SISO

Un sistema no lineal es plano diferencialmente si existe una función diferencial del estado(es decir, si ésta no satisface ninguna ecuación diferencial y, además, es una función delestado y de un número nito de sus derivadas temporales), a la que se llama la salidaplana, de manera que todas las variables del sistema, esto es, el estado, la salida y laentrada se pueden expresar como funciones diferenciales de la salida plana.

34

2.4. SISTEMAS NO LINEALES

Contrario a la creencia injusticada, platitud no es solamente otra manera de realizarlinealización por retroalimentación para los sistemas no lineales [23]. De hecho, esuna propiedad estructural del sistema que permite establecer todas las característicassobresalientes que son necesarias para la aplicación de una técnica de diseño deun controlador retroalimentado en particular (por ejemplo, backstepping, pasividad,linealización por retroalimentación del estado y por supuesto el controlador GPI).

Es una propiedad que simplica el problema de la linealización exacta para un sistema nolineal, ya sea que el sistema sea mono variable o no, ya sea que sea afín en las entradasde control o no. Además, platitud y sus consecuencias se aplican directamente a cualquiersistema no lineal, a pesar de la naturaleza no lineal o afín de las entradas de control enlas ecuaciones del sistema.

Platitud produce de manera inmediata el comportamiento del sistema en lazo abierto(nominal) que se requiere para la tarea de seguimiento de una trayectoria deseada en par-ticular. Por lo tanto, es la más adecuada para el seguimiento de trayectoria, para evitarla saturación en el controlador, y para el control predictivo, especialmente para aquelloscasos de seguimiento de trayectoria de salida que incluyen salidas de fase no mínimas.

Deniciones

Considere el siguiente sistema no lineal con una entrada con la siguiente forma general:

x = f (x, u) x ∈ Rn, u ∈ R (2.4.1)

donde f = (f1, ..., fn) es un campo vectorial suave en función de x y de u, el rango de lamatriz Jacobiana con respecto a u, ∂f

∂ues pleno, es decir, es 1.

Denición 2.5 En general, se dice que ϕ es una función diferencial de x, si

φ = φ(x, x, x..., xβ

)donde β es un número entero.

Si x obedece a un conjunto de ecuaciones diferenciales controladas como en (2.4.1),entonces, necesariamente, la derivada en el tiempo de mayor orden del estado implicadoen la denición de una función diferencial, conduce, en términos generales, a considerarderivadas de las componentes de la entrada de control u. En otras palabras, una funcióndiferencial del estado x es una función del estado y de un número nito de las derivadastemporales de la entrada.

φ = φ(x, u, u, u..., u(β−1)

)35


Denición 2.6 Se dice que un sistema de la forma (2.4.1), es plano diferencialmente, siexiste una función diferencial del estado x, denotada por F , la cual se expresa como

F = h(x, u, u, u..., u(α)

)de manera que el sistema inverso de x = f (x, u), con F como la entrada, y u como lasalida, no tiene ninguna dinámica.

Un sistema es plano si existe una cierta salida articial, de manera que esta salidaparametriza diferencialmente completamente todas las variables del sistema. Esto signicaque, el estado, las entradas y las variables de la salida original en el sistema pueden, a suvez, escribirse como funciones diferenciales de la salida plana, es decir:

x = A(F, F , ..., F (γ)

), u = B

(F, F , ..., F (γ+1)

)donde γ es un entero y n = γ + 1. La razón detrás de la presencia de una o más derivadasde F en la expresión de la entrada se entiende con facilidad de (2.4.1) y del hecho de que

A = f (A, B) , A =∂A

∂FF +

∂A

∂FF + ...+

∂A

∂F (α)∂F (α+1) (2.4.2)

La relación de los sistemas planos de una entrada con sistemas linealizables mediante re-troalimentación del estado estática y una transformación de las coordenadas de la entradaque dependen del estado, es muy interesante: son equivalentes.

Resultados sobre platitud diferencial de sistemas no lineales SISO

Denición 2.7 Un sistema mono variable de la forma x = f (x, u) con x ∈ Rn y u ∈ Res plano diferencialmente sí, y sólo sí es linealizable por retroalimentación del estado.

Suponga que el sistema es linealizable por retroalimentación. Esto signica que existe unatransformación de coordenadas del estado, z = ϕ (x), y una transformación de coordenadasde la entrada dependiente del estado u = θ (x, ν) de manera que el sistema equivalente eslineal y controlable. Se asume, sin pérdida de generalidad, que el sistema equivalente estáen la forma canónica de Brunovsky,

z1 = z2, z2 = z3, ..., zn = ν

Entonces, se puede decir que F = z1 es la salida plana. De hecho, el vectorz = (z1, z2, ..., zn) se constituye por F y de sus n − 1 derivadas temporales

z =(F, F , ..., F (n−1)

). Por lo tanto, x = ϕ−1 (z) está claramente parametrizado

diferencialmente por F y, dado que ν = F (n), también lo es u. Se tiene que

36


x = ϕ−1(F, F , ..., F (n−1)

), u = θ

(ϕ−1

(F, F , ..., F (n−1)

), F (n)

)(2.4.3)

y el sistema es plano diferencialmente.

Para probar la necesidad, suponga que el sistema es plano diferencialmente. Entonces x yu son parametrizables diferencialmente en términos de una cierta salida plana F , es decir,x = A

(F, F , ..., F (γ)

)y u = B

(F, F , ..., F (γ+1)

), donde n = γ+1. Note que, en este caso,

la salida plana puede depender solamente del estado del sistema y no sobre la entrada decontrol y de sus derivadas temporales F = h

(x, u, u, u..., u(α)

). Porque si este fuera el

caso, la parametrización de u lleva hacia la expresión de la forma u = β(x, u, ..., u(γ+1+α)

)que está diciendo que la representación del estado de x = f (x, u) podría contener lapresencia de derivadas de la entrada, el cual nunca fue el caso. Entonces F = λ (x).

Ahora, suponga que n > γ + 1. Entonces, si se deja que z =(F, F , ..., F (γ)

)∈ Rγ+1,

se obtiene de x = ϕ−1 (z) que x está parametrizado completamente por un número defunciones independientes menor que n. Esto quiere decir que (n− γ − 1) componentes delvector de estado x son dependientes algebraicamente del resto de las variables de estado y,por consiguiente, x no es realmente un vector de estado. Por otro lado, si γ+1 = p > n, elsistema de dimensión p, u = B

(F, F , ..., F (p)

), el cual es equivalente al sistema F (p) = ν

bajo la transformación de coordenadas de la entrada u = B(F, F , ..., F (p−1), ν

), tiene una

realización dimensional n < p en términos de x y de u. En otras palabras, las componentesde z =

(F, F , ..., F (p−1)

)no son independientes y F satisface ella misma una ecuación

diferencial, lo que contradice la denición de la salida plana.

Lo siguiente es un conjunto de resultados generales tomados de Fliess y Lévine [51].

Platitud de sistemas prolongados

Denición 2.8 Considere el sistema x = f (x, u) con x ∈ Rn y u ∈ R, y sea α un enteropositivo. El sistema asociado x = f (x, z), zα = u es el sistema prolongado de orden α. Elsistema original se le puede denominar sistema reducido.

Teorema 2.1 Considere el sistema reducido x = f (x, u) con x ∈ Rn y u ∈ R, del sistemaprolongado x = f (x, z), zα = u. El sistema es plano sí, y sólo sí el sistema reducidotambién lo es.

Se realiza la prueba (Esbozo de la demostración). Sea el sistema prolongado planodiferencialmente. Entonces existe una salida F que satisface:

x = A(F, F , ..., F (γ)

), z = D

(F, F , ..., F (γ+1)

), u = B

(F, F , ..., F (γ+1+α)

)37


Esto signica que el sistema x = f (x, z) con z como la entrada, es también planodiferencialmente, con F como la salida plana. Ahora, sea el sistema reducido x = f (x, u)

plano, es decir, x = A(F, F , ..., F (γ)

)y u = B

(F, F , ..., F (γ+1)

). Si ahora se toma a u

como una parte de un nuevo vector de estado z de dimensión superior y se redene laentrada u como u = zα.

Por lo tanto, la nueva entrada también es parametrizable diferencialmente en términos dela salida plana original. El sistema prolongado también es plano.

Esta característica de los sistemas planos permite una linealización natural de los canalesde la entrada de control sin perder la propiedad de platitud.

Platitud y retroalimentación estática invertible del estado

El sistema x = f (x, u) es plano, sí, y sólo sí, el sistema en lazo cerrado x = f (x, a (x, ν)) =φ (x, ν) es plano con u = a (x, ν) siendo una retroalimentación invertible, es decir,ν = b (x, u) con u = a (x, b (x, u)).

Sea x = f (x, u) plano con la salida plana dada mediante F . Entonces x =

A(F, F , ..., F (γ)

), u = B

(F, F , ..., F (γ+1)

). Ya que la retroalimentación u = a (x, ν)

es invertible y ν = b (x, u), se sigue que la nueva entrada

ν = b (x, u) = b(A(F, F , ..., F (γ)

), B(F, F , ..., F (γ+1)

))también está parametrizada diferencialmente mediante la salida plana, F , y el sistematransformado x = φ (x, ν) también es plano.

Sistemas no lineales MIMO

En el contexto de los sistemas no lineales multivariables, no existe una condición necesariay suciente general para obtener la salida plana, especialmente en aquellos casos donde esnecesaria una extensión de la dinámica del sistema para realizar su linealización medianteretroalimentación estática del estado y un cambio de coordenadas.

Platitud en este contexto también ofrece una manera de extender adecuadamente elsistema no lineal, para obtener una relación igual entre las entradas de control y lasderivadas de orden superior de las componentes de la salida plana de donde se puedeevaluar la inversión del sistema. Evidentemente, no se asegura que la extensión adecuadadel sistema original resulte siempre en un mapeo invertible de la entrada a la salida planacon derivada de orden superior.

El lenguaje matemático en el que se estableció platitud fue en el contexto del álgebradiferencial. La idea clave es la de sistemas equivalentes bajo retroalimentación. Eneste marco, la platitud aparece como una primera extensión natural del concepto decontrolabilidad lineal en el dominio de sistemas no lineales.

38


Todos los sistemas planos tienen linealizaciones controlables. Entonces, si se acepta llamara un sistema no lineal, como controlable, cuando su linealización tangencial también lo es,se dirá que todo sistema plano es controlable. Sin embargo, la situación contraria no escierta, ya que existen muchos sistemas no lineales que no son planos, cuya linealizacióntangencial es controlable (por ejemplo el péndulo invertido sobre un carro).

El concepto de platitud se convierte en un lenguaje más sosticado de equivalenciade sistemas mediante las transformaciones de Lie-Bäcklund en el marco de geometríadiferencial de dimensión innita, o geometría en el espacio. Todo sistema plano esequivalente, o difeomórco, bajo retroalimentación dinámica endógena, a un sistemacontrolable.

Para determinar la salida plana de los sistemas no lineales multivariables es necesario te-ner un conocimiento físico, una inspección cuidadosa y una instrucción adecuada sobre elsistema.

Sistemas linealizables mediante retroalimentación estática del estado

Los sistemas no lineales multivariables que son exactamente linealizables mediante unatransformación de coordenadas del estado y una retroalimentación estática del estado,constituyen la clase más simple de sistemas planos.

Denición 2.9 Un sistema multivariable de la forma x = f (x, u) con x ∈ Rn y u ∈ Rm

es plano diferencialmente sí, y sólo sí, es linealizable por retroalimentación.

Suponga que el sistema es linealizable por retroalimentación. Esto signica que existe unatransformación de coordenadas del estado, z = ϕ (x), y una transformación de coordenadasde la entrada dependiente del estado u = θ (x, ν) de manera que el sistema equivalente eslineal y controlable. Se asume, sin pérdida de generalidad, que el sistema equivalente estáen la forma canónica de Brunovsky,

zi = zi+1, zi+1 = zi+2, ..., zri = νi

donde ri es un entero y i = 1, ...,m. Entonces, se puede decir que Fi = zi es la salidaplana. De hecho, el vector z = (z1, ..., zr1−1, ..., zm, ..., zrm−1) se compone por Fi y de sus

ri−1 derivadas temporales z =(F1, F1, ..., F

(r1−1), ..., Fm, Fm, ..., F(rm−1)

). Por lo tanto,

x = ϕ−1 (z) está claramente parametrizado diferencialmente por Fi y, dado que νi = F (ri),también lo es u. Se tiene que

x = ϕ−1(F1, F1, ..., F

(r1−1), ..., Fm, Fm, ..., F(rm−1)

)(2.4.4)

u = θ(ϕ−1

(F1, F1, ..., F

(r1−1), ..., Fm, Fm, ..., F(rm−1)

), F

(r1)1 , ..., F (rm)

m

)39


y el sistema es plano diferencialmente. Esta denición es una extensión de la Denición2.6 presentada para el caso mono variable y la prueba es análoga.

Sistemas linealizables mediante retroalimentación dinámica y platitud diferen-cial

Dentro de los sistemas no lineales mono variables, si un sistema no es linealizable medianteretroalimentación estática del estado y una transformación de coordenadas del estado,entonces, el sistema tampoco es linealizable por retroalimentación dinámica del estado.Este resultado [52], limita la clase de sistemas planos a los sistemas linealizables porretroalimentación dentro de los sistemas no lineales SISO.

En el contexto de los sistemas no lineales multivariables, la situación es completamentediferente. Cuando un sistema que no es linealizable mediante la retroalimentación estáticadel estado, aún se puede linealizar por la retroalimentación dinámica del estado.

Una característica importante de platitud es que cuando se sabe que el sistema es plano,la parametrización diferencial de las entradas de control inmediatamente indica que unade las salidas necesita ser extendida dinámicamente, y en qué orden, para lograr tener lasposibilidades de inversión local de la relación que enlaza las derivadas de orden superiorde las componentes de la salida plana a las entradas de control auxiliares, representadomediante un número suciente de las derivadas de la entrada original.

A continuación se muestra un ejemplo para comprender mejor la idea de la retroalimen-tación dinámica.

Ejemplo. Considere el siguiente sistema no lineal en la forma de una cadena

x1 = u1

x2 = u2

x3 = u1x2

Una posible elección de salida plana que satisface la Denición 2.1 es:

F =

[F1

F2

]=

[x1

x3

]La variable F parametriza diferencialmente a las variables del sistema de la siguientemanera:

x1 = F1, x3 = F2

40


se despeja la variable x2 de x3 = u1x2 obteniéndose x2 = x3u1, donde u1 = F1 y x3 = F2,

entonces

x2 =F2

F1

ahora solo queda determinar la parametrización de las entradas, donde

u1 = F1

se obtuvo de parametrizar a x2, sólo resta determinar la parametrización de la segundaentrada, entonces, del sistema se sabe que u2 = x2, donde x2 = F2

F1, es decir,

u2 =d

dt

(F2

F1

)=F2F1 − F1F2(

F1

)2

El sistema tiene un grado relativo mal denido para las salidas planas, ya que F1 = u1 yF2 = u1x2 dan una relación singular de las entradas a las componentes de la salida planay un desajuste de los órdenes de las derivadas con el orden del sistema.

Sin embargo, la parametrización diferencial de las entradas u1 y u2 muestra que u1 necesitauna extensión de primer orden para igualar los órdenes de las derivadas de las componentesde la salida plana en la expresión para u2. Entonces, se deriva una vez más la expresiónu1 = F1, de lo que se obtiene u1 = F1 y deniendo una nueva variable como u1 = ε, seobserva que la nueva relación entrada-salida ahora es invertible,

[εu2

]=

[1 0

− F2

(F1)2

1F1

][F1

F2

]

Claramente, la relación se dene mal cuando F1 = 0, en este caso, la relación no seríainvertible.

El sistema es equivalente a un sistema lineal de cuarto orden dado por:

F1 = ν1, F2 = ν2

Las leyes externas dadas mediante ν1 y ν2 se diseñan para colocar los polos de la dinámicalineal entrada-salida resultante. Se observa que u1 se obtiene mediante la integración deε = u1, por lo que el controlador es dinámico.

Retroalimentación dinámica endógena

41


En ciertas condiciones, es posible modicar a un sistema que no tiene grado relativodenido5 en un sistema que sí lo tiene. Esto no se puede realizar usando la linealizaciónpor retroalimentación estática, ya que esta propiedad es invariante usando este tipo deretroalimentación. Por ello, se emplea una estructura de retroalimentación que incorporeun conjunto adicional de variables del estado, que en general depende de las señales decontrol ui originales y de las variables de estado del sistema.

Sea el sistema(χ, f

)cuya representación en dimensión nita es x = f (x, u). Una

retroalimentación dinámica endógena de una ecuación diferencial z = β (x, z, ν) esu = α (x, z, ν). La palabra endógena reeja el hecho que las variables de retroalimentaciónz y ν son, en un sentido, generados por las variables originales x y u.

Entonces, el sistema en lazo cerrado es

x = f (x, α (x, z, ν))

z = β (x, z, ν)

En este caso, las variables de las que dependen las nuevas variables del estado, se dice queson endógenas, porque pertenecen al sistema original. Este tipo de retroalimentación se ledenomina linealización por retroalimentación dinámica endógena.

Denición 2.10 Considere el sistema(χ, f

). Se le denomina retroalimentación

dinámica endógena a una retroalimentación dinámica de la forma

z = α (x, z, ν) , u = β (x, z, ν) (2.4.5)

de tal manera que el sistema en lazo cerrado es equivalente en el sentido de Lie-Bäcklundal sistema

(χ, f

).

Dicho de otra manera, existe un isomorsmo de tipo Lie-Bäcklund Φ, con inversa Ψ, demanera que (x, u) = Φ (x, z, ν) y (x, z, ν) = Ψ (x, u). Lo que implica que z, ν y ν,..., sepueden expresar como funciones de x, u y un número de sus derivadas sucesivas de u.

Por lo tanto, de esta denición se concluye que un integrador de orden arbitrario es unaretroalimentación dinámica endógena. El siguiente resultado esclarece la relación entreeste tipo de retroalimentación y la equivalencia en el sentido Lie-Bäcklund.

Se consideran dos sistemas(χ, f

)y (η, g), los cuales se denen por x = f (x, u) y

y = g (x, ν), respectivamente.

5Cuando un sistema no tiene grado relativo denido, implica que el número de veces que se tiene quederivar la salida para que aparezca explícitamente por lo menos una componente del vector de entrada,no coincide con el orden del sistema

42


Teorema 2.2 Suponga que los sistemas(χ, f

)y (η, g) son equivalentes en el sentido de

Lie-Bäcklund. Entonces existe una retroalimentación dinámica endógena (2.4.5) tal que elsistema en lazo cerrado

x = f (x, α (x, z, ν))

z = β (x, z, ν) (2.4.6)

es difeomórco al sistema prolongado:

y = g (y, w)

w(r+1) = ν (2.4.7)

con r sucientemente grande.

Para precisar el Teorema 2.2 en el contexto de platitud, se incluye la siguiente denición:

Denición 2.11 Se dice que un sistema es linealizable mediante retroalimentación diná-mica endógena si existe una retroalimentación dinámica endógena de la forma (2.4.5) y undifeomorsmo de la variedad extendida X × Z que transforma el sistema en lazo cerradocorrespondiente en un sistema lineal controlable.

Corolario 2.1 Todo sistema plano es linealizable mediante una retroalimentación dinámi-ca endógena. De manera inversa, todo sistema linealizable mediante una retroalimentacióndinámica endógena es plano.

Además, si el sistema se expresa mediante x = f(x, u) con x en una variedad de dimensiónn y u de dimensión m, existen enteros r1, ..., rm con

∑mi=1 ri ≥ n tal que x y u están dados

mediante

x = ϕ1

(F1, F1, ..., F

(r1−1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(rm−1)m

)u = ϕ2

(F1, F1, ..., F

(r1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(rm)m

)(2.4.8)

de manera que el sistema en lazo cerrado es difeomórco a un sistema lineal controlableen la forma canónica:

F(r1)1 = ν1

... (2.4.9)

F (rm)m = νm

43


Las demostraciones del Teorema 2.2 y del Corolario 2.1 se presentan en las páginas 129 y143 de la referencia [50].

Platitud diferencial vs retroalimentación dinámica

Las aplicaciones de platitud a problemas interesantes de ingeniería se pueden encontrar endiversas áreas. Es importante señalar que muchas clases de sistemas usados comúnmenteson planos dentro de la teoría de control no lineal. En realidad, cualquier sistemaque se pueda transformar en un sistema lineal, mediante un cambio de coordenadas,transformaciones por retroalimentación estática o transformaciones por retroalimentacióndinámica, también es plano.

Un mal entendido común que se le da a platitud es que signique linealizar porretroalimentación dinámica. Es cierto que cualquier sistema plano se puede linealizarpor retroalimentación usando retroalimentación dinámica. Sin embargo, platitud es unapropiedad del sistema y no implica que uno intente transformar al sistema medianteretroalimentación dinámica y un cambio de coordenadas apropiado, a un sistema lineal.

De hecho, el poder de platitud es precisamente que no convierte a los sistemas no linealesen lineales. Cuando un sistema es plano, es una indicación de que la estructura no linealdel sistema está bien caracterizada y se puede aprovechar esa estructura para el diseñode algoritmos de control para la planeación de movimiento, seguimiento de trayectoria yestabilización. La linealización por retroalimentación dinámica es una técnica, aunque amenudo es una opción pobre si la dinámica del sistema es sustancialmente diferente endiferentes regímenes de operación [40].

Otra ventaja del estudio de platitud sobre la linealización por retroalimentación dinámicaes que platitud es una propiedad geométrica del sistema, independientemente de la elecciónde las coordenadas. En particular, es difícil discutir la noción de un sistema lineal en laforma de espacio de estado sobre una variedad, ya que la denición de linealidad requierede un espacio lineal subyacente. De esta manera, la platitud se puede considerar como lanoción geométrica adecuada de linealidad, aun incluso si los sistemas son altamente nolineales en casi cualquier representación natural.

2.4.2. Planeación de movimiento

Cuando se concluye que un sistema es plano diferencialmente, implica que se determinó susalida plana. Entonces esta salida endógena caracteriza todas las variables del sistema. Así,se puede construir una curva algebraica para la salida plana, cuyas condiciones iniciales ynales deben coincidir con las condiciones del sistema. La parametrización de las variablesresulta de la siguiente manera:

x = ϕ0

(F, F , ..., F (n−1)

), u = ϕ1

(F, F , ..., F (n)

)(2.4.10)

44


Entonces es suciente encontrar una trayectoria t 7→ F (t) al menos n veces diferencia-ble que satisfaga las condiciones inicial y nal. Las trayectorias de t 7→ x (t) y t 7→ u (t)se deducen mediante su parametrización por F y de sus derivadas hasta un orden n en(2.4.10). Además, para t 7→ F (t) simplemente se le calcula una curva algebraica medianteun polinomio de Bézier, presentado en la Sección 2.2.3 de planeación de movimiento.

Trayectorias rest to rest

Un problema particular de control en ciertos sistemas dinámicos, es el problema de moverun cuerpo de un estado en reposo inicial a otro estado en reposo nal. Es decir, los sistemasestán en reposo en un estado inicial y nalizan en reposo en un estado nal.

El estado inicial es (x (ti) , u (ti)) y el estado nal es (x (tf ) , u (tf )). En esos estados setiene x (ti) = 0, u (ti) = 0 y x (tf ) = 0, u (tf ) = 0. De acuerdo con (2.4.10) se tiene elestado inicial y nal,

x (ti) = ϕ0 (F (ti) , 0, ..., 0) , u (ti) = ϕ1 (F (ti) , 0, ..., 0)

x (tf ) = ϕ0 (F (tf ) , 0, ..., 0) , u (tf ) = ϕ1 (F (tf ) , 0, ..., 0)

Las expresiones anteriores se obtienen al reemplazar las derivadas de F por 0 en los tiemposinicial y nal.

Este problema de llevar la dinámica de un sistema de un estado inicial en reposo aotro estado nal en reposo, es un problema que se asocia a sistemas dinámicos comoel montacargas, el rodamiento magnético, levitador magnético, entre otros.

2.4.3. Seguimiento de trayectoria

Para la solución del problema de planeación de movimiento, se necesita el conocimientode la dinámica del modelo del sistema, es decir, con la información previa se calcula unatrayectoria de referencia que deberá seguir la dinámica del sistema.

Platitud diferencial es adecuada para manejar el problema del seguimiento para lossistemas no lineales, especialmente cuando se requiere que la salida plana tenga unsignicado físico para llevar a cabo el seguimiento de una trayectoria deseada.

Para el caso de un sistema plano, el seguimiento de trayectoria se puede diseñar por elCorolario 2.1 estableciendo la equivalencia a un sistema simple mediante retroalimentacióndinámica endógena.

Si F es una salida plana del sistema x = f(x, u) cuyo estado es x y entrada u, que sesuponen medibles, y si F ∗ es la trayectoria de referencia de la salida plana, la desviación

45


entre ellas se denota por ei = Fi − F ∗i , i = 1, ...,m, como las componentes del error. Porel Corolario 2.1 se puede calcular una retroalimentación dinámica endógena, tal que elsistema hasta un difeomorsmo, que se expresa como F (ri) = νi. Si se hace F ∗(ri) = ν∗i , laecuación del error queda como:

e(ri)i = νi − ν∗i

Entonces es suciente jar componente a componente:

νi = ν∗i −ri−1∑j=0

ki,jeji , i = 1, ...,m

A la expresión anterior se le agrega un término integral para disminuir el error deseguimiento ei = Fi − F ∗i , quedando de la siguiente manera

νi = ν∗i −ri−1∑j=0

ki,j (Fi − F ∗i )j − ki+1,j+1

ˆ T

0

(Fi − F ∗i ) de (2.4.11)

La evolución de la señal de error será estable asintóticamente exponencialmente a cero sí, ysólo sí, los coecientes del controlador lineal retroalimentado se seleccionan de tal maneraque los m polinomios característicos sri+1 +

∑rij=0 ki,js

ji + ki+1,j+1 (ei) = 0 del sistema en

lazo cerrado sean Hurwitz, es decir, todas las raíces de los polinomios yacen en el semiplanoizquierdo del plano complejo. Entonces el error e converge exponencialmente:

erii = −ri−1∑j=0

ki,jeji − ki+1,j+1

ˆ T

0

(ei) de, i = 1, ...,m

y F y todas sus derivadas de orden menor o igual a ri convergen a su referenciaF ∗, ..., F ∗(ri). La expresión (2.4.11) es un controlador proporcional integral generalizado(GPI)

Controlador proporcional integral generalizado (GPI)

La expresión en (2.4.11) representa a un controlador proporcional integral generalizado.Para que este enfoque se pueda aplicar, se requiere, por lo menos, que una variable delsistema sea medible, para reconstruir a partir de esta salida y de su referencia, el vectorde estado. Ahora, si la salida plana tiene signicado físico para un sistema, entonces, sepuede utilizar este enfoque para realizar el seguimiento de una trayectoria deseada parala salida plana.

El controlador GPI es una aportación reciente en el marco del control automático. Suprincipal línea de desarrollo descansa en los sistemas lineales de dimensión innita conalgunas extensiones a [53]:

46


Sistemas lineales diferenciales con retardos.

Sistemas no lineales.

La idea principal es evitar el uso explícito de observadores del estado recurriendo a lareconstrucción estructural del vector del estado. Esta reconstrucción se basa en las entradasy en las salidas, más una compensación iterada del error integral de la entrada y de lasalida [54].

El método ignora las condiciones iniciales y las entradas clásicas de las perturbacionestales como perturbaciones constantes, rampas, perturbaciones cuadráticas, etc., es decir,ignora posiblemente perturbaciones polinómicas temporales inestables.

El controlador GPI es un esquema de control interesante que posee las siguientescualidades:

Permite reconstruir el estado con base en las salidas disponibles, en lugar de mediro estimar asintóticamente mediante observadores del estado del sistema.

Su carácter integral introduce robustez con respecto a las perturbaciones aditivas.

A diferencia del PID clásico, el GPI elude el término derivativo para evitar enfatizar lospicos que pueda generar una perturbación o una falla en la señal de retroalimentación(señal de error). De esta manera, se evita que el sistema se inestabilice. El adjetivo degeneralizado proviene del hecho de que aparte de eludir el término derivativo, se evita eluso de los observadores asintóticos.

También se ha estudiado la robustez del GPI con respecto a la incertidumbre paramétricacomo se reporta en [55]. En este trabajo se muestra que tales propiedades de robustezexisten, siempre y cuando se tengan un conocimiento preciso de los parámetros del sistema.

La expresión (2.4.11) que representa a un controlador de retroalimentación de tipo GPI,se puede combinar ventajosamente con el controlador de prealimentación de la expresión(2.4.8), el cual se obtiene de aplicar el concepto de platitud diferencial. La combinaciónde estos controladores resulta un controlador de dos grados de libertad, una parte deprealimentación y otra de retroalimentación. Esta combinación reúne las bondades queposee cada controlador. En el Capítulo 5, en la Sección 5.2, se presentan las ventajas ydesventajas de cada controlador, así como la manera de diseñar el controlador GPI basadoen platitud diferencial.

El controlador GPI posee cualidades atractivas ya descritas arriba, que lo hace adecuadoen situaciones en donde se presenten fallas o perturbaciones aditivas. En el Capítulo 6,en la Sección 6.3 se presentan los resultados de las simulaciones del AMB en presencia defallas y de una perturbación. Es por ello que se diseñarán controladores GPI basado enplatitud diferencial tanto para el sistema linealizado por retroalimentación robusta, comopara el sistema no lineal del rodamiento magnético, ya que se provocarán fallas y unaperturbación en el sistema.

47

Capítulo 3

Modelo del rodamiento magnético

activo

3.1. Introducción

El modelo del rodamiento magnético que se presenta en este capítulo, posee unaconguración de cuatro polos. El rotor se modela como un cuerpo rígido con el objeto deobtener dos modelos con la dinámica desacoplada, uno en la dirección horizontal llamadosistema horizontal h, y otro en la dirección vertical, denominado sistema vertical v.

En este capítulo, se obtiene el modelo matemático del rodamiento magnético que se empleaen el Capítulo 4 para obtener su equivalente lineal, también se ocupa en el Capítulo 5para el diseño de su controlador basado en platitud diferencial. También se obtiene lalinealización mediante la serie de Taylor del modelo para desacoplarlo posteriormente, conel n obtener los retratos fase que evidencian la inestabilidad del sistema.

Por último, se presenta una clasicación general de las posibles fallas que puedenpresentarse en el sistema y, con base en esta clasicación, se selecciona un conjunto defallas para evaluarlas en el sistema para llevar a cabo un análisis del comportamiento delcontrolador diseñado en el capítulo correspondiente.

3.2. Modelado del rotor

El rotor que se suspende vía un rodamiento magnético activo, se modela como un cuerporígido en la mayoría de las aplicaciones que cuentan con partes móviles rotatorias. Estopermite que la dinámica del eje horizontal y del eje vertical estén desacopladas y seansimétricas1 [7, 13], siempre y cuando la frecuencia rotacional no iguale a la frecuencia

1En este caso, que las dinámicas sean simétricas, implica que los componentes (resistencia, inductancias,etc.) que conforman cada sistema poseen el mismo valor.

48

3.3. MODELO DEL SUBSISTEMA MAGNETO-MECÁNICO

natural del rotor. En este caso, el modelo se representa mediante un conjunto de ecuacionesdiferenciales no lineales.

Para el caso en que se igualen dichas frecuencias, el rotor ya no se comporta como una masasólida, ahora lo hace como si fuera un cuerpo exible y, en este caso, la dinámica en cadaeje están interactuando. Esto complica el manejo del modelo del rodamiento magnético, yaque implica representarlo mediante ecuaciones diferenciales parciales difíciles de solucionar.

Los principales problemas que se presentan cuando se igualan la frecuencia rotacional yla natural del rotor, es decir, cuando se manejan velocidades extremadamente altas, son[56]:

Vibración en la rotación como consecuencia del comportamiento de cuerpo exibledel rotor, y

El acoplamiento en la dinámica entre los ejes horizontal y vertical del AMB debidoal efecto giroscópico.

En este capítulo, se considera un rodamiento magnético de cuatro polos y, se tiene encuenta que el rotor se modela como un cuerpo rígido, lo que permite que la dinámica encada eje esté desacoplada y sea simétrica.

3.3. Modelo del subsistema magneto-mecánico

El rodamiento magnético activo es un sistema electromecánico que se constituye por dossubsistemas: El magneto-mecánico y el electromagnético. Éste presenta una conguraciónde cuatro polos y dos grados de libertad [8], como se muestra en la Figura 3.3.1. Estospares de electroimanes se distribuyen simétricamente sobre los ejes horizontal h y verticalv y se conforman por un núcleo ferromagnético y un devanado. La corriente que circulaa través de cada bobina genera una fuerza magnética que atrae a un rotor magnetizablepara suspenderlo neutralizando el efecto que la fuerza de gravedad ejerce sobre él.

Considerando que el rotor es un cuerpo rígido cilíndrico homogéneo y balanceado, se tomaen cuenta que la dinámica en cada eje es simétrica y está desacoplada. Por tal motivo, lasfuerzas magnéticas que se producen en los electroimanes son independientes entre sí. Por lotanto, se puede visualizar el modelo como dos sistemas desacoplados, uno que actúa en ladirección h, y otro en la dirección v. La dinámica en cada eje se puede describir medianteun modelo magneto-mecánico y otro electromagnético, que se relacionan mediante losenlaces de ujo magnético del sistema [7, 13].

49

CAPÍTULO 3. MODELO DEL RODAMIENTO MAGNÉTICO ACTIVO

Figura 3.3.1 Rodamiento magnético activo con una conguración de cuatro polos.

Las corrientes eléctricas I1, I2, I3, I4, que circulan en cada devanado respectivamente, yque dependen de los voltajes v1, v2, v3, v4, generan fuerzas magnéticas F1, F2, F3, F4, queestabilizan al rotor. Las resistencias de las bobinas son R1, R2, R3, R4, la masa y el radiodel rotor son m y rr respectivamente, re es el radio interno del rodamiento magnético y goes el intersticio (gap) entre la supercie del rotor y cada electroimán.

A continuación, se presentan una lista de las suposiciones que facilitan la simplicacióndel modelo matemático del rodamiento magnético, con el objeto de obtener los modelos hy v desacoplados.

No se considera la dinámica de los sensores y actuadores en el modelo matemático.

El rotor es un cuerpo rígido cilíndrico homogéneo y balanceado.

Se desprecia el efecto giroscópico, se considera que la velocidad rotacional generauna frecuencia inferior a la frecuencia natural del rotor.

Los niveles de corriente están acotados, esto con el n de evitar posibles saturacionesmagnéticas en los núcleos ferromagnéticos de cada electroimán.

50

3.3. MODELO DEL SUBSISTEMA MAGNETO-MECÁNICO

Los devanados son altamente inductivos, y la inductancia depende únicamente de lavariación del intersticio.

Este dispositivo se analiza como un circuito magnético lineal con un núcleo ferro-magnético altamente permeable, cuya reluctancia es despreciable en comparacióncon la reluctancia del intersticio (entrehierro) [57].

Por la simetría de la conguración, el movimiento para cada eje se puede modelar usandola segunda ley de Newton de la siguiente forma [8]:

mx =1∑j=2

Fj(x, Ij) (3.3.1)

my =3∑i=4

Fi(y, Ii) +mg (3.3.2)

donde y(t), y(t) y y(t) representan la posición, velocidad y la aceleración, respectivamente,en la dirección del eje vertical v; x(t), x(t) y x(t) representan la posición, velocidad yla aceleración, respectivamente, en la dirección del eje horizontal h, Ii e Ij representanlas corrientes en cada devanado, Fi(y, Ii) y Fj(x, Ij) son las fuerzas que produce cadaelectroimán, y g es el efecto que produce la fuerza de gravedad en el eje v.

Las fuerzas magnéticas que se aplican dependen solamente de la dirección principal demovimiento y de la corriente medida en el devanado (por ejemplo, F1(y, I1) dependesolamente de y e I1). Los ejes h y v están restringidos por −go < x < go y −go < y < gorespectivamente.

Desarrollando las expresiones (3.3.1), (3.3.2), los modelos para los ejes h y v son,respectivamente;

mx = F1(x, I1) + F2(x, I2) (3.3.3)

my = F3(y, I3) + F4(y, I4) +mg (3.3.4)

donde F1(x, I1), F2(x, I2), F3(x, I3) y F4(x, I4) son las fuerzas magnéticas, y se denotanpor las expresiones:

F1(x, I1) =∂W ∗

1

∂x=

∂

∂x

ˆ I1

0

λ1(x, I1)dI1, F2(x, I2) =∂W ∗

2

∂x=

∂

∂x

ˆ I2

0

λ2(x, I2)dI2 (3.3.5)

F3(y, I3) =∂W ∗

3

∂y=

∂

∂y

ˆ I3

0

λ3(y, I3)dI3, F4(y, I4) =∂W ∗

4

∂y=

∂

∂y

ˆ I4

0

λ4(y, I4)dI4 (3.3.6)

51


donde λ1(x, I1), λ2(x, I2), λ3(y, I3) y λ4(y, I4) representan los enlaces de ujo y ligan ladinámica magneto-mecánica con la dinámica electromagnética; y W ∗

1 , W∗2 , W

∗3 y W ∗

4 sonlas coenergías magnéticas de cada electroimán, respectivamente. La fuerza magnética quegenera cada electroimán está en función de la coenergía almacenada en el devanado. Lasrelaciones entre las fuerzas magnéticas y las coenergías se derivan de un balance de energía[57].

3.4. Modelo del subsistema electromagnético

Para el caso de la parte electromagnética, los circuitos magnéticos se consideran lineales.Cada electroimán genera enlaces de ujo cerrando un circuito electromagnético .

Así como el modelo de enlace de ujo permite calcular el modelo de la fuerza que segenera por las fases eléctricas (3.3.5) y (3.3.6) , también permite obtener la dinámica delsubsistema eléctrico para las fases eléctricas. Aplicando la ley de voltajes de Kirchhopara un circuito electromagnético y la ley de la inducción de Faraday, la dinámica delsubsistema para cada circuito electromagnético, se expresa como [57]:

R1I1 +d

dtλ1(x, I1) = v1, RI2 +

d

dtλ2(x, I2) = v2 (3.4.1)

R3I3 +d

dtλ3(y, I3) = v3, RI4 +

d

dtλ4(y, I4) = v4 (3.4.2)

desarrollando las expresiones anteriores se obtiene,

R1I1 +∂

∂I1

λ1(x, I1)I1 +∂

∂xλ1(x, I1)x = v1 (3.4.3)

R2I2 +∂

∂I1

λ2(x, I2)I2 +∂

∂xλ2(x, I2)x = v2 (3.4.4)

R3I3 +∂

∂I3

λ3(y, I3)I3 +∂

∂yλ3(y, I3)y = v3 (3.4.5)

R4I4 +∂

∂I4

λ4(y, I4)I4 +∂

∂yλ4(y, I4)y = v4 (3.4.6)

Las inductancias L1(x, I1), L2(x, I2), L3(y, I3) y L4(y, I4) (que se suponen positivas) y lasfuerzas contra electromotrices B1(x, I1), B2(x, I2), B3(y, I3) y B4(y, I4) se calculan comosigue:

52

3.4. MODELO DEL SUBSISTEMA ELECTROMAGNÉTICO

L1(x, I1) =∂

∂I1

λ1(x, I1), L2(x, I2) =∂

∂I2

λ2(x, I2) (3.4.7)

B1(x, I1) =∂

∂xλ1(x, I1), B2(x, I2) =

∂

∂xλ2(x, I2) (3.4.8)

L3(y, I3) =∂

∂I3

λ3(y, I3), L4(y, I4) =∂

∂I4

λ4(y, I4) (3.4.9)

B3(y, I3) =∂

∂yλ3(y, I3), B4(y, I4) =

∂

∂yλ4(y, I4) (3.4.10)

Ahora, si se sustituye (3.4.7) y (3.4.8) en (3.4.3) y (3.4.4) respectivamente y, además, (3.4.9)y (3.4.10) en (3.4.5) y (3.4.6) respectivamente, se obtienen las siguientes expresiones:

L1(x, I1)I1 +R1I1 +B1(x, I1)x = v1 (3.4.11)

L2(x, I2)I2 +R2I2 +B2(x, I2)x = v2 (3.4.12)

L3(y, I3)I3 +R3I3 +B3(y, I3)y = v3 (3.4.13)

L4(y, I4)I4 +R4I4 +B4(y, I4)y = v4 (3.4.14)

Despreciando las pérdidas y los efectos de borde del campo magnético y si se considera queel circuito magnético es lineal [8], el enlace de ujo se expresa en términos de la inductanciade la siguiente forma:

λ1(x, I1) = L1(x)I1, λ2(x, I2) = L2(x)I2 (3.4.15)

L1(x) =Lo

k − 2x, L2(x) =

Lok + 2x

(3.4.16)

con

λ3(y, I3) = L3(y)I3, λ4(y, I4) = L4(y)I4 (3.4.17)

L3(y) =Lo

k − 2y, L4(y) =

Lok + 2y

(3.4.18)

53


donde k = 2go + a; go es el espacio libre cuando el eje está en la posición x = 0, a es unaconstante positiva que se introduce para modelar el hecho de que la permeabilidad de loselectroimanes es nita, go es una cantidad cinemática constante que se da por go = rs−rr,y Lo es un parámetro constante positivo que depende del número de vueltas de la bobinadel electroimán, de la permeabilidad de la interfaz material/aire, del área de la seccióntransversal del electroimán.

3.5. Modelo no lineal del sistema horizontal h

Las ecuaciones magneto-mecánica (3.3.3) y electromagnética (3.4.11), (3.4.12), quecaracterizan el comportamiento dinámico del AMB en el eje h, se muestran a continuación:

mx = F1(x, I1) + F2(x, I2)

v1 = L1(x, I1)I1 +R1I1 +B1(x, I1)x (3.5.1)

v2 = L2(x, I2)I2 +R2I2 +B2(x, I2)x

Se sustituye (3.4.16) en (3.4.15), y el resultado se sustituye en (3.4.7) y (3.4.8),respectivamente, para obtener L1, L2, B1 y B2; y en (3.3.5), respectivamente, para obtenerF1 y F2. Las expresiones que se obtienen para F1, F2, L1, L2, B1 y B2, se sustituyen en(3.5.1), para obtener

mx =LoI

21

(k − 2x)2 −LoI

22

(k + 2x)2

v1 =Lo

k − 2xI1 +R1I1 +

2LoI1

(k + 2x)2 x (3.5.2)

v2 =Lo

k − 2xI2 +R2I2 +

2LoI2

(k + 2x)2 x

Ahora, se eligen las variables del estado como x1 = x, x2 = x, x3 = I1 + Io, x4 = I2 + Ioy las entradas de control u1 = v1 − R1Io, u2 = v2 − R2Io, donde Io es una corriente depremagnetización.

El modelo del sistema en la forma x = f(x) + g(x)ux, con x ∈ R4 y ux ∈ R2, es:

x1

x2

x3

x4

=

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+1

Lo

0 00 0

k − 2x1 00 k + 2x1

[ u1

u2

](3.5.3)

54

3.6. MODELO NO LINEAL DEL SISTEMA VERTICAL V

el cual es un sistema no lineal afín en el control. De manera similar se va a obtener elmodelo no lineal para el sistema v que se describe a continuación.

3.6. Modelo no lineal del sistema vertical v

Las ecuaciones magneto-mecánica (3.3.4) y electromagnética (3.4.13), (3.4.14), quecaracterizan el comportamiento dinámico del AMB en el eje v, se muestran a continuación:

my = F3(y, I3) + F3(y, I3) +mg

v3 = L3(y, I3)I3 +R3I3 +B3(y, I3)y (3.6.1)

v4 = L4(y, I4)I4 +R4I4 +B4(y, I4)y

Se sustituye (3.4.18) en (3.4.17), y el resultado se sustituye en (3.4.9) y (3.4.10),respectivamente, para obtener L3, L4, B3 y B4; y en (3.3.6), respectivamente, para obtenerF3 y F4. Las expresiones que se obtienen para F3, F4, L3, L4, B3 y B4, se sustituyen en(3.6.1), para obtener

my =LoI

23

(k − 2y)2 −LoI

24

(k + 2y)2 +mg

v3 =Lo

k − 2yI3 +R3I3 +

2LoI3

(k + 2y)2 y (3.6.2)

v4 =Lo

k − 2yI4 +R4I4 +

2LoI4

(k + 2y)2 y

Ahora, se eligen las variables del estado para el sistema vertical como y1 = y, y2 = y, y3 =I3 + Io, y4 = I4 + Io y las entradas de control u3 = v3 −R3Io, u4 = v4 −R4Io, donde Io esuna corriente de premagnetización.

El modelo del sistema en la forma y = f(y) + g(y)uy, con y ∈ R4 y uy ∈ R2, es:

y1

y2

y3

y4

=

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+1

Lo

0 00 0

k − 2y1 00 k + 2y1

[ u3

u4

](3.6.3)

55


3.7. Modelo del rodamiento magnético activo

Las expresiones (3.5.3) y (3.6.3), caracterizan el comportamiento dinámico del rodamientomagnético activo de cuatro polos de los sistemas h y v, respectivamente, y se presentan acontinuación:

x1

x2

x3

x4

=

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+1

Lo

0 00 0

k − 2x1 00 k + 2x1

[ u1

u2

]

y1

y2

y3

y4

=

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+1

Lo

0 00 0

k − 2y1 00 k + 2y1

[ u3

u4

]

cuyo únicos puntos de equilibrio son x0 = 0 y y0 = 0 respectivamente.

Los parámetros nominales del sistema se tomaron del artículo [6] y se presentan en laTabla 3.7.1.

Parámetro Valor Descripciónm 2 kg Masa del rotorg0 10−3 m IntersticioL0 3× 10−4 H Inductancia de los electroimanesa 1,25× 10−5 m Constante positivaR1 1 Ω Resistencia del conductorR2 1 Ω Resistencia del conductorI0 6× 10−2 A Corriente de premagnetizaciónk 2,0125× 10−3 m Espacio libre cuando el rotor está posicionado

Tabla 3.7.1 Valores numéricos de los parámetros del sistema.

Los parámetros de la Tabla 3.7.1 corresponden a un rodamiento magnético de cuatropolos de aplicación industrial [5]. Estos parámetros también se emplean en la referencia[8]. La constante g0 es el espacio libre entre el rotor y el rodamiento magnético, es decir,es el espacio permisible en el cual el rotor se puede mover libremente. La corriente de

56

3.7. MODELO DEL RODAMIENTO MAGNÉTICO ACTIVO

premagnetización I0, es la corriente inicial necesaria para activar los electroimanes delrodamiento, para mantener al rotor en la posición deseada (x1 = 0).

Las expresiones (3.5.3) y (3.6.3), de los sistemas h y v, respectivamente, no incluyen ladinámica rotacional del rotor y se considera que un extremo del rotor está acoplado a unmotor, que tampoco se toma en cuenta en el modelo.

En la siguiente gura se muestra un corte transversal del sistema del rodamiento magnéticoacoplado a un motor.

Figura 3.7.1 Corte transversal del sistema del rodamiento magnético acoplado a unmotor.

La Figura 3.7.1 muestra que un extremo del rotor está acoplado a un motor que hace giraral rotor cuando está posicionado concéntricamente en el rodamiento.

La conguración que muestra la Figura 3.3.1 se emplea en diversas aplicaciones tales como:Bombas, compresores, bombas de vacío turbo moleculares, volantes inerciales, turbinas,molinos de viento, centrifugadoras, entre otras.

Un ejemplo de aplicación de esta conguración se encuentra especícamente en uncompresor cuyas características se muestran en la siguiente tabla 2:

Tipo de rodamiento Activo, radialVelocidad 32, 000 rpm

Peso del rotor 110 kgDiámetro interior del rodamiento 110 mm

Capacidad de carga 2200 NPotencia del motor 550 kW

Intersticio 0,8× 10−3 m

Tabla 3.7.2 Características técnicas del compresor con rodamiento magnético.

En la Tabla 3.7.2 se muestra las especicaciones técnicas de un compresor que incluye alrodamiento magnético. Note que el intersticio es menor en comparación que el mostradoen la Tabla 3.7.1.

2Características técnicas tomadas de www.mecos.com/en/applications/compressors_expanders.php

57


3.7.1. Retratos fase

En lo que resta de esta subsección, sólo se obtendrá los puntos de equilibrio, los retratosfase del subsistema magneto-mecánico y electromagnético, y la simulación del sistema nolineal y su equivalente lineal en lazo abierto del sistema horizontal h; ya que los resultadospara el sistema vertical v son análogos.

Para obtener los puntos de equilibrio del sistema x0 = [x01 x

02 x

03 x

04]T , se hace x = 0, y como

consecuencia se obtienen las siguientes expresiones:

x01 =

k(x04 − x0

3)

2(x03 + x0

4) + 4I0

; x02 = 0; x0

3 =u0

1

R1

; x04 =

u02

R2

Como se puede visualizar en las expresiones anteriores, x03 y x0

4 dependen de los posiblesvalores de u0

1 y u02. Por lo tanto existen una innidad de puntos de equilibrio. Pero como

el objetivo es mantener el eje concéntrico en el rodamiento, entonces las señales de controldeben ser u0

1 = 0 y u02 = 0. Por lo tanto, se tiene que x0 = 0.

Para obtener la linealización del sistema en el punto de equilibrio x0, se calcula la matrizJacobiana, la cual se expresa como Df(x)|x=x0 . Para este caso la matriz Jacobiana es:

Df(x)|x=x0 =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R1 0

0 2kI0 0 − k

L0R2

(3.7.1)

Sustituyendo en (3.4.10) los valores numéricos de los parámetros de la Tabla 3.7.1, se tiene:

Df(x)|x=x0 =

0 1 0 0

530 0 4,44 −4,440 −59,62 −6,70 00 59,62 0 −6,70

Los eigenvalores para esta matriz son:

λ1 = +13,32; λ2 = −6,70; λ3 = −10,01 + 12,90j; λ4 = −10,01− 12,90j;

Del resultado anterior, λ1 y λ2 están relacionados físicamente con la posición y la velocidad,respectivamente. Los eigenvalores λ3 y λ4 son complejos conjugados que representan uncomportamiento oscilatorio amortiguado, que se relacionan físicamente con las corrientesde las bobinas. Sin embargo, λ1 es positivo como consecuencia de la posición inestable deleje, por lo tanto, el sistema es también inestable.

Además, como los eigenvalores ni tienen parte real nula ni son imaginarios puros, porel Teorema Hartman-Grobman [58], se arma que el comportamiento cualitativo del

58


sistema no lineal x = f(x) alrededor del punto de equilibrio x0, es similar al sistemaA = Df(x)|x=x0 mediante un homeomorsmo (aplicación continua y con inversa continua).Es decir, en las cercanías del punto de equilibrio, A es una aproximación lineal tangencialde f .

Como los eigenvalores son distintos, es posible desacoplar el sistema. Las variables x1 yx2 se asocian con el subsistema magneto-mecánico y con los eigenvalores λ1 y λ2; y lasvariables x3 y x4 se asocian con el subsistema electromagnético y con los eigenvalorescomplejos conjugados λ3 y λ4.

Se obtienen los retratos fase, uno para los eigenvalores reales y otro para los eigenvalorescomplejos conjugados. En las Figuras 3.7.2 y 3.7.3 se muestran los retratos fase de lasvariables x1 con x2, y x3 con x4 respectivamente del vector del estado.

Figura 3.7.2 Retrato fase para el subsistema asociado a las variables x1 y x2.

En la Figura 3.7.2 se muestra el retrato fase para las variables del estado x1 y x2 querepresentan a la posición y velocidad, respectivamente. El sistema cuenta con un puntosilla en el punto de equilibrio, esto provoca que el sistema se aleje del punto de equilibriopara cualquier condición inicial diferente a este punto.

En la 3.7.3 se muestra el retrato fase para las variables de estado x3 y x4 que representan alas corrientes de las bobinas de los electroimanes. Se observa que las trayectorias convergenlogarítmicamente al punto de equilibrio, a esto se le denomina foco un estable.

En general, el sistema del rodamiento magnético es inestable como consecuencia del puntosilla que se presenta en el retrato fase del subsistema magneto-mecánico.

59


Figura 3.7.3 Retrato fase para el subsistema asociado a las variables x3 y x4.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.01

0.02

0.03

tiempo

m

Posicion

Posicion del eje

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

tiempo

m/s

Velocidad

Velocidad del eje

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

50

100

tiempo

Am

pe

re

Corriente del electroimán 1

Corriente del polo 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.02

0.04

0.06

tiempo

Am

pe

re



Figura 3.7.4 Variables del estado del sistema no lineal.

60


En las Figuras 3.7.4 y 3.7.5 se muestra la evolución de las variables del estado en lazoabierto tanto para el sistema no lineal como para el sistema lineal.

En la Figura 3.7.4 se muestra la evolución de las variables del vector del estado del sistemano lineal. Se observa que las variables divergen como consecuencia de la posición inestabledel eje.

En la Figura 3.7.5 se muestra la evolución de las variables del vector del estado enlazo abierto del sistema linealizado a la manera de Taylor. De igual forma, las variablesdivergen. Las posiciones y velocidades presentan comportamientos similares, mientras quelas corrientes dieren un poco como consecuencia de la linealización.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.02

0.04

0.06

tiempo

m

Posicion

Posicion del eje

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

tiempo

m/s

Velocidad

Velocidad del eje

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−3

−2

−1

0

tiempo

Am

pe

re



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

tiempo

Am

pe

re



Figura 3.7.5 Variables del estado del sistema linealizado.

3.7.2. Interferencia entre los sistemas horizontal h y vertical v

Las fuerzas radiales generadas por los electroimanes del AMB se alinean sobre los ejesperpendiculares (véase la Figura 3.3.1 en la Sección 3.3) que generalmente coinciden con

61


los desplazamientos en el eje X y en el eje Y . Sin embargo, existen algunas causas queproducen el desalineamiento de las fuerzas radiales que hacen que los sistemas horizontalh y vertical v del rodamiento magnético se intereran entre sí.

Por ejemplo, una causa sería un defecto de fábrica en la construcción. Considérese unelectroimán de un rodamiento magnético se construyó con una desalineación en un ángulocon respecto a los sensores de desplazamiento radial. Debido a esto, la fuerza no se puedealinear a lo largo de su línea de acción, ya que la fuerza presenta un error de posiciónangular. Esto produce interferencia, haciendo ahora que la fuerza tenga componentese interactúen con las otras fuerzas. Otras posibles causas de interferencia se enlistan acontinuación [59]:

Las corrientes parásitas debido al fenómeno de Foucault (corrientes de eddy) puedengenerar un retardo en la fuerza radial. Cuando se opera un rotor sólido a altasvelocidades, las corrientes parásitas uyen en la supercie del rotor generandocomponentes con fases retardadas en la distribución de la señal de ujo con respectoal rotor. Este retraso de fase en las corrientes parásitas provoca un error de direcciónen la fuerza radial generada.

El efecto giroscópico se produce cuando la máquina cuenta con una longitud axialcorta y un rotor con radio grande. Este efecto también genera interferencia en lafuerza radial.

En los motores que poseen rodamientos magnéticos, la dirección de la fuerza radialincluye errores si el controlador tiene errores en la estimación o detección de laposición angular del campo magnético rotatorio. También, estos errores se puedenoriginar por los armónicos del espacio de la fuerza magneto motriz y la distribuciónde la permeabilidad.

La interferencia de las fuerzas de los sistemas h y v puede causar serios problemas e inuiren el control del rodamiento magnético a tal grado que el sistema puede inestabilizarse.

La Figura 3.7.6 muestra un sistema de coordenadas x, y y z, en el cual se muestran lascomponentes de las fuerzas radiales con un error angular. Esto hace que exista interferenciaentre el sistema h que actúa a lo largo del eje x y el sistema v que actúa a lo largo del ejey del AMB. A continuación, se muestran las fuerzas radiales de retroalimentación fNFBxy fNFBy con errores en la posición angular.

62


Figura 3.7.6 Error de la posición angular.

El rotor gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. Como se puede observar,las fuerzas radiales de retroalimentación fNFBx y fNFBy (de color rojo) ya no actúansobre los ejes x y y respectivamente, ahora tienen componentes (los vectores amarillos),el vector fuerza fNFBy sin θer interactúa en la dirección x y el vector fuerza −fNFBx sin θerinteractúa en la dirección y. El desperfecto en la construcción del rodamiento con respectoa los sensores de posición genera un error angular. La dirección del error angular se denecomo θer y la interferencia de las fuerzas radiales se puede expresar de la siguiente manera:

fdmy = −fNFBx sin θer

fdmx = fNFBy sin θer

fdmy = KmxfNFBx (3.7.2)

fdmx = KmyfNFBy (3.7.3)

donde

Kmx = − sin θer (3.7.4)

Kmy = sin θer (3.7.5)

La Figura 3.7.7 muestra un diagrama a bloques para conectar los sistemas h y v cuandose tiene interferencia generada por el error angular.

63


Figura 3.7.7 Interferencia en la suspensión magnética de dos ejes.

Las salidas son las posiciones radiales y las entradas son las referencias. Los bloques supe-rior e inferior son para los modelos dinámicos de los sistemas h y v respectivamente. Lasinterferencias se generan mediante los bloques Kmx y Kmy. Aquí se puede despreciar lafuerza radial que genera cos θer, porque θer se considera pequeño.

Aplicación al rodamiento magnético

Ahora se aplica la teoría presentada en esta subsección para el rodamiento magnético.Se considera que el sistema horizontal h y el sistema vertical v están interactuando,independientemente del tipo de interferencia que se puede presentar ya mencionada enesta subsección.

Se considera que se tiene un factor Kmx = −0,1 y Kmy = 0,1 y sustituyendo estos valoresen las expresiones (3.7.2) y (3.7.3) se obtiene:

fdmy = − (0,1) fNFBx

fdmx = (0,1) fNFBy

que son las fuerzas de compensación que resultan el 10 % de cada fuerza radial deretroalimentación. Estas fuerzas de compensación fdmx, fdmy se suman a fNFBx, fNFBy,respectivamente, como se mostró en la Figura 3.7.7.

Ahora sólo queda calcular la dirección del error angular a partir de Kmx y Kmy. Comoestos factores tienen la misma magnitud, sólo basta calcular el error angular en cualquierade las expresiones (3.7.4) y (3.7.5). Despejando el error angular, se tiene,

64

3.8. FALLAS EN EL RODAMIENTO MAGNÉTICO

θer = 6,37 (3.7.6)

Los factores Kmx = −0,1 y Kmy = 0,1 que modelan cualquiera de las causas deinterferencia expuestas anteriormente, se emplearán para acoplar los sistemas horizontalh y vertical v del rodamiento magnético en el Capítulo 6.

3.8. Fallas en el rodamiento magnético

Todos los sistemas físicos están expuestos a presentar mal funcionamiento, por causa deldeterioro o envejecimiento de sus componentes por el uso diario del equipo. El rodamientomagnético no está exento a presentar fallas, pues puede sufrir un comportamiento anormalo degradado. De esta manera, el AMB también es un sistema que puede ser propenso afallas, lo cual no es deseable.

La ventaja principal de contar con un esquema de control que permita de alguna maneratolerancia a ciertas fallas es admitir la ejecución segura del rotor en presencia de fallas.

Este apartado presenta una clasicación general de fallas que se pueden presentar en elrodamiento. Esta información proporciona una guía para las posible fallas a provocar enel sistema para analizar el desempeño del controlador basado en platitud diferencial. Elconjunto de las fallas a evaluar se considera en el Capítulo 5, y los efectos que puedancausar se presenta en las simulaciones en el Capítulo 6.

De manera general, en el rodamiento magnético las fallas se pueden clasicar en fallasinternas y fallas externas. A continuación se presenta la clasicación tomada de [37].

Las fallas en el sistema de AMB se puede clasicar como internas o externas. Esta clasi-cación relaciona la manera en la que la falla se puede tratar con las siguientes sugerencias.

Fallas externas

Las fallas consideradas como externas son algunas perturbaciones que actúan sobre elsistema. Estas perturbaciones siempre tendrán un componente transitorio y posiblementeun componente en estado estacionario. Las fallas típicas que se pueden clasicar de estamanera se enlistan a continuación:

1. Impacto en el rotor. Esta falla ocurre en muchas aplicaciones, es un impactodirecto en el rotor provocado por un cuerpo extraño. Este tipo de falla puede generaruna fuerza impulsiva que actúa directamente sobre el rotor, y su magnitud dependede la velocidad de impacto, su masa y su rigidez.

2. Pérdida de masa en el rotor. Esta falla puede ocurrir en las turbinas de altavelocidad cuando pierde los álabes de la turbina, cuando éstas se fracturan desdela raíz. Esta falla se puede modelar como un cambio de tipo señal escalón en laamplitud en las fuerzas síncronas que actúan sobre el rotor.

65


3. Movimiento de la base. El movimiento de la base del rodamiento magnético seorigina debido que el dispositivo puede estar interactuando con otras maquinariasmediante transmisiones mecánicas.

4. Deformación del rotor. Esto ocurre por muchas razones cuando el sistema estáen operación. La más común es la deformación por calentamiento causada por lafricción con elementos externos al dispositivo.

5. Cambios repentinos en la carga. Se origina por muchas circunstancias, porejemplo, en aplicaciones en compresores o bombas, un cambio repentino en la presióndel uido debido a un error o falla externa, puede generar un cambio de tipo escalónen la carga del rotor en el eje axial.

6. Fricción en el rotor. El contacto del rotor con otros componentes causa vibracio-nes, tanto en el rotor como en los componentes auxiliares circundantes. Esto puedesuceder por la deformación del rotor, cambios de cargas desbalanceadas o componen-tes dañados. Esto se puede caracterizar mediante una vibración forzada del rotor,principalmente en la frecuencia síncrona.

Fallas internas

1. Circuito de electrónica de potencia, falla en el amplicador. Comúnmentese utiliza un amplicador operacional para la etapa de potencia, la dinámica deéstos depende de la temperatura ambiental, la demanda de potencia entre otros.Habitualmente los amplicadores se conguran ya sea para voltaje o corriente. Losamplicadores de voltaje son más propensos a la sobre carga de corriente. Así quela falla del amplicador en un solo polo signicaría el desbalance de la fuerzas quemantienen al rotor suspendido adecuadamente.

2. Mal funcionamiento del transductor. Este tipo de falla puede producir unavariedad de señales de error. Por ejemplo, es común que un cortocircuito o uncircuito abierto genere señales inapropiadas para el controlador, también el malfuncionamiento se puede originar por daños físicos o deterioros.

3. Pérdida de los canales de la tarjeta de entrada-salida. Esto puede sucedercuando se produce ya sea un corto circuito o un circuito abierto generando en laentrada de control un valor igual a cero.

4. Avería en la bobina del AMB. Ocurre cuando se rompe el aislamiento deldevanado, produciendo corto circuito.

5. Error del equipo de Software. El software de control en tiempo real puede sersusceptible a errores latentes de programación que podrían originarse inesperada-mente y que podría ser difícil detectarlos con anticipación. La programación debe

66

3.8. FALLAS EN EL RODAMIENTO MAGNÉTICO

estar bien estructurada con una minuciosa vericación del programa, a n de evitareste tipo de fallas.

6. Averías en el hardware de cálculo. En este caso, la avería podría originarse porun microprocesador en mal estado, concluyendo la programación abruptamente. Lamanera de evitarlo es tener redundancia material.

7. Fallas en el rotor. Las fallas mecánicas pueden ser catastrócas si no se tiene uncontrol adecuado. Posibles fallas de esta naturaleza incluyen fatiga, agrietamiento,deformación o desprendimiento de una parte del rotor. Estas fallas también se puedenconsiderar como fallas externas.

Con base en lo anterior, se dene el conjunto de fallas que se provoca en el sistema paraanalizar el comportamiento del controlador diseñado en el Capítulo 5.

3.8.1. Conjunto de fallas a evaluar

La clasicación anterior de posibles fallas en el rodamiento proporciona los argumentosnecesarios para seleccionar un conjunto, para provocarlas en los modelos (3.5.3) y (3.6.3)que describen al AMB de cuatro polos.

El conjunto de fallas que se evalúan en el sistema del AMB son: Una falla externa, quees un impacto en el rotor y; la falla interna, que es un conjunto de fallas en el circuitoelectromagnético de cada polo.

La falla externa, o perturbación que se provoca en el sistema, en este caso es un impacto enun determinado instante de tiempo, provocado por una masa rígida desconocida que generaun desbalanceo en el rotor de la forma %1(t) = V sin(ϑt) con una amplitud V = 4m/s2 yuna frecuencia de ϑ = 1 rad/s para el sistema v; para el sistema h es %2(t) = V cos(ϑt).

Con respecto a las fallas internas, el conjunto de fallas que se evalúan incluye:

Un aumento en el valor de las resistencias del circuito electromagnético de cadaelectroimán, que puede interpretarse como una variación de las correspondientesresistencias (±∆Ri, i = 1, 2, 3, 4).

Un aumento en el valor de la inductancia L0 y de la corriente I0 de premagnetización,que puede interpretarse como una variación de la inductancia y de la corriente depremagnetización (±∆L0, ±∆I0).

Estas fallas, las internas, que se provocan en el sistema del AMB, se modelan medianteuna señal de tipo escalón, por lo que son fallas abruptas.

En el siguiente capítulo se realiza la linealización mediante retroalimentación del estado delos modelos (3.5.3) y (3.6.3) del AMB, para que posteriormente, empleando los resultadosde esta linealización se obtenga la linealización por retroalimentación robusta, esta últimaes el que interesa y se empleará en los siguientes capítulos.

67

Capítulo 4

Linealización por retroalimentación

robusta del rodamiento magnético

activo

4.1. Introducción

En este capítulo se realiza la linealización por retroalimentación del estado para elmodelo matemático del rodamiento magnético ( que se constituye por dos sistemas, elhorizontal h y el vertical v.) presentado en el Capítulo 3, para obtener su linealización porretroalimentación robusta (LRR), ya que esta última presenta cualidades que no posee lalinealización clásica.

4.2. Linealización por retroalimentación del estado

La linealización por retroalimentación robusta (LRR) es un enfoque que utiliza losresultados de la linealización por retroalimentación del estado (LRE). Es decir, es unaextensión de la LRE que compensa las deciencias de ésta última.

La linealización por retroalimentación del estado es una técnica que se aplica a lossistemas no lineales anes en el control, con el n de obtener un sistema lineal controlableequivalente que se pueda controlar usando controladores lineales. El sistema equivalentetiene la forma canónica de Brunovsky. Con esta representación y, mediante una nuevaentrada, se impone la dinámica deseada. El inconveniente de esta linealización es quesuprime las no linealidades del sistema y no preserva el sentido físico en el sistemaequivalente.

En cambio, la linealización por retroalimentación robusta causa una pequeña transforma-ción en el comportamiento natural del sistema no lineal, que lo transforma en su apro-

68

4.2. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO

ximación lineal tangencial alrededor de un punto de operación nominal, manteniendo elsentido físico y conservando los parámetros en el sistema linealizado.

Primeramente se presenta la linealización por retroalimentación del estado, para queposteriormente se muestre la metodología para la linealización robusta.

La linealización por retroalimentación es un enfoque de diseño de sistemas de control nolineales. La idea principal es la de transformar, de forma parcial o total, la dinámica nolineal de un sistema a controlar en una dinámica lineal. El hecho de obtener una dinámicaresultante lineal, permite aplicar técnicas lineales para imponer el comportamientodeseado. Por otro lado, el principal inconveniente del método es que requiere el modelomatemático exacto del sistema. De lo contrario, este método resulta ser no robusto si lasno linealidades modeladas presentan incertidumbre.

En el Anexo A se presenta un resumen de los conceptos principales referentes a lalinealización por retroalimentación del estado [17].

El modelo no lineal del rodamiento magnético es un sistema multivariable, por lo que sepresenta el procedimiento para la linealización por retroalimentación del estado para lossistemas MIMO.

4.2.1. Linealización por retroalimentación del estado de sistemas

MIMO

La linealización por retroalimentación del estado permite obtener un sistema con unadinámica lineal mediante una transformación de coordenadas (difeomorsmo) y una leyde control no lineal que cancela las no linealidades.

Este enfoque sólo considera a sistemas no lineales multivariables anes en el control, cuyasecuaciones diferenciales se describen de la siguiente manera.

x = f(x) + g(x)u = f(x) +m∑i=1

gi(x)ui, x ∈ Rn, ui, ym ∈ Rm (4.2.1)

y1 = λ1(x)...

ym = λm(x)

donde f, g1, ..., gm son campos vectoriales suaves, y λ1(x), ..., λm(x) son funciones suaves.Para simplicar la notación, estas expresiones se escribirán en su forma compacta como:

x = f(x) + g(x)u (4.2.2)

y = λ(x)

69

CAPÍTULO 4. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN ROBUSTA DELRODAMIENTO MAGNÉTICO ACTIVO

donde

u =

u1...um

, y =

y1...ym

, g(x) = col [g1(x), . . . , gm(x)] , λ(x) =

λ1(x)...

λm(x)

Denición 4.1 [17] Se dice que el sistema (4.2.1) tiene grado relativo (r1 + ...+ rm = n)en el punto x0 con respecto a las salidas λ1(x) . . . λm(x) si:

1. LgjLkfhi(x) = 0, para todo 1 ≤ j ≤ m, para todo k ≤ ri − 1, para todo 1 ≤ i ≤ m, y

para todo x en un entorno de x0. Es decir, se obtiene el cambio de coordenadas:

xc = ϕc(x) =[ϕc1(x) . . . ϕcm(x)

]T(4.2.3)

conϕci(x) =

[λi(x) Lfλi(x) · · · Lri−1

f λi(x)]T

(4.2.4)

2. La matriz m×m

M(x) =

Lg1Lr1−1f λ1(x) · · · LgmL

r1−1f λ1(x)

.... . .

...Lg1L

rm−1f λm(x) · · · LgmL

r1−1f λm(x)

(4.2.5)

es no singular en x = x0.

El grado relativo ri respecto a la i-ésima salida yi(t), se dene como el número de vecesque se tiene que derivar la salida para que aparezca de forma explícita al menos unacomponente del vector de entrada.

La parte no lineal del sistema equivalente tiene la siguiente forma:

x(r1)c1...

x(rm)cm

=

Lr1f λ1(x)...

Lrmf λm(x)

+

Lg1Lr1−1f λ1(x) · · · LgmL

r1−1f λ1(x)

.... . .

...Lg1L

rm−1f λm(x) · · · LgmL

r1−1f λm(x)

u1

...um

(4.2.6)

que en su forma compacta se puede escribir como:

x(r1)c1...

x(rm)cm

= b(x) +M(x)u (4.2.7)

donde

70

4.2. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO

b(x) =

Lr1f λ1(x)...

Lrmf λm(x)

En la expresión (4.2.6) se aprecia que en x

(r1)c1 , · · · , x(rm)

cm aparecen explícitamente lascomponentes de la entrada u. Entonces, se denen las nuevas entradas de la siguientemanera:

x(r1)c1...

x(rm)cm

=

wc1...

wcm

y por consiguiente

wc = b(x) +M(x)u (4.2.8)

Ahora, para cancelar las no linealidades del sistema (4.2.6) se despeja el vector de entradau de (4.2.8), obteniéndose la siguiente expresión

uc (x,wc) = αc(x) + βc(x)wc (4.2.9)

donde αc(x) y βc(x) se determinan mediante las siguientes expresiones

αc(x) = −M−1(x)b(x), βc(x) = M−1(x) (4.2.10)

El sistema MIMO es linealizable por retroalimentación del estado en las cercanías de x0, detal forma que existe en la vecindad Ω de x0, una transformación de coordenadas xc = ϕc(x)(4.2.3) y una ley de control no lineal dada por (4.2.9).

Al aplicar la retroalimentación linealizante junto con el difeomorsmo, el sistema no lineal(4.2.1) se transforma en

xc = Acxc +Bcwc (4.2.11)

donde

∂ϕc(x)

∂x(f(x) + g(x)αc(x)) |x=ϕ−1

c (xc)= Acxc

∂ϕc(x)

∂x(g(x)βc(x)) |x=ϕ−1

c (xc)= Bc

71


con

Ac =

Ac1 0 0 · · · 00 Ac2 0 · · · 00 0 Ac3 0 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Acm

, Bc =

Bc1 0 0 · · · 00 Bc2 0 · · · 00 0 Bc3 0 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · Bcm

donde cada Aci es una matriz de dimensión ri × ri y cada Bci es un vector de ri × 1 quetienen las siguientes formas

Aci =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · 0

, Bci =

000...1

La estructura lineal equivalente en la que se transforma el sistema está en la forma canónicade Brunovsky. Este método de linealización siempre presenta la misma representaciónlineal para cualquier sistema no lineal linealizable según este método. Las nuevas entradassiempre están desacopladas, es decir, las entradas de control no interactúan entre ellas.

Para linealizar un sistema no lineal en la forma (4.2.1) usando este enfoque, se debeasegurar que es posible obtener el difeomorsmo y el control linealizante. Para ello, primeroes necesario saber si es linealizable mediante este método.

El siguiente teorema establece las condiciones necesarias y sucientes para que el sistemano lineal se pueda linealizar por retroalimentación del estado. Se necesita obtener lasdistribuciones que generan los campos vectoriales f , g:

G0 = gen g1(x), ..., gm(x)G1 = gen g1(x), ..., gm(x), adfg1(x), ..., adfgm(x) (4.2.12)...

Gi = genadkfgj(x) : 0 ≤ k ≤ i, 1 ≤ j ≤ m

para i = 0, 1, ..., n− 1.

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 3.1. [17] Sea la matriz g(x0) de rango m (expresión (4.2.2)). Entonces, elsistema no lineal es linealizable entrada - estado sí, y solo sí, existe una vecindad Ω de x0,tal que se cumplen las siguientes tres condiciones:

Para cada 0 ≤ i ≤ n− 1, la distribución Gi tiene dimensión constante cerca x0.

72

4.3. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO ROBUSTA

La distribución Gn−1 tiene dimensión n.

Para cada 0 ≤ i ≤ n− 2, la distribución Gi es involutiva.

Si se cumple este teorema para un sistema no lineal, también se está asegurando quelos campos escalares λ1(x), . . . , λm(x) que denen al difeomorsmo junto con la leylinealizante existen, y además, (r1 + ...+ rm = n).

En la Figura 4.2.1, se muestra el diagrama a bloques que ilustra la conexión deldifeomorsmo y del control no lineal con el sistema no lineal, de esta manera el sistemase comporta un sistema lineal controlable en la forma de Brunovsky.

Figura 4.2.1 Esquema de la linealización por retroalimentación del estado.

En la siguiente sección se presenta la linealización por retroalimentación robusta queemplea los resultados de la linealización LRE.

4.3. Linealización por retroalimentación del estado

robusta

La linealización por retroalimentación robusta (LRR) es una técnica de linealización queutiliza los resultados de la LRE, para calcular un nuevo difeomorsmo y una nueva leyde control no lineal que linealiza al sistema en cuestión, de tal manera que se obtiene suaproximación lineal tangencial alrededor de un punto de operación nominal.

En este sección se sigue la referencia [18].

Al igual que la sección anterior, se presenta la linealización LRR para los sistemasmultivariables. De nueva cuenta, considere el sistema

x = f(x) + g(x)u = f(x) +m∑i=1

gi(x)ui, x ∈ Rn, ui, ym ∈ Rm (4.3.1)

73


El enfoque consiste en transformar al sistema no lineal (4.3.1) en su aproximación linealtangencial entorno a un punto de operación x0 = 0 en la forma

xr = Arxr +Brwr (4.3.2)

dondeAr = Df(x)|x=x0 , Br = g(0) (4.3.3)

La linealización por retroalimentación robusta es una extensión de la linealización porretroalimentación clásica. Por lo tanto, existe una relación entre ellas, como se muestra acontinuación.

Suponga que las distribuciones G0, G1, . . . , Gn−1, previamente denidas en (4.2.12),satisfacen las hipótesis del Teorema 3.1 para x0 = 0 . Entonces, de [17] existen funcionesreales λ1(x), . . . , λm(x) denidas en una vecindad Ω de x0 = 0, que satisfacen para losnúmeros r1, ..., rm tales que r1 + ...+ rm = n, para toda i, j = 1, . . . , m y toda x ∈ Ω,

Lgiλj(x) = LgiLfλj(x) = · · · = LgiLrj−2f λj(x) = 0

y la matriz M(x), de la expresión (4.2.5), es no singular en el punto x0 = 0

Sobre esta base, considere los resultados de la linealización por retroalimentación delestado:

uc (x,wc) = αc(x) + βc(x)wc

con

αc(x) = −M−1(x)b(x), βc(x) = M−1(x)

b(x) =[Lr1f λ1(x), Lr2f λ2(x) · · · Lrmf λm(x)

]Ty el cambio de coordenadas

xc = ϕc(x)

dado mediante

xc = ϕc(x) =[ϕc1(x) . . . ϕcm(x)

]Tϕci(x) =

[λi(x) Lfλi(x) · · · Lri−1

f λi(x)]T

74

4.3. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO ROBUSTA

Ahora se enuncia el siguiente resultado:

Teorema 3.2. [18] Considere el sistema (4.3.1) y suponga que los campos f y g satisfacenel Teorema 3.1. Entonces, bajo la retroalimentación del estado,

ur (x,wr) = αr(x) + βr(x)wr (4.3.4)

y un difeomorsmo

xr = ϕr(x) (4.3.5)

denidos mediante

αr(x) = αc(x) + βc(x)LT−1ϕc(x) (4.3.6)

βr(x) = βc(x)R−1 (4.3.7)

ϕr(x) = T−1ϕc(x) (4.3.8)

de tal forma que existe una matriz de semejanza no singular

T =∂ϕc(x)

∂x|x=0 (4.3.9)

una matriz invertible

R = M−1(0) (4.3.10)

y una matriz

L = −M(0)∂αc(x)

∂x|x=0 (4.3.11)

con esto, el sistema (4.3.1) se transforma en (4.3.2).

75


El sistema lineal equivalente tiene la forma xr = Arxr + Brwr, donde Ar = Df(x)|x=x0 ,es la matriz jacobiana de f y Br = g(0), representan la aproximación lineal tangencialalrededor de un punto de operación del sistema.

La retroalimentación (4.3.4) y el difeomorsmo (4.3.5) deben de satisfacer lo siguiente,

∂αr(x)

∂x|x=0= 0

∂ϕr(x)

∂x|x=0= In×n

β(0) = Im×m

para no inuir en la parte lineal del sistema no lineal.

Para la demostración del Teorema 3.2 vea la referencia [18].

Aquí, αc, βc, ϕc y M(0) se obtienen de (4.2.10), (4.2.3) y (4.2.5), respectivamente, queresultan del enfoque LRE.

En la Figura 4.3.1, se muestra el diagrama a bloques que ilustra la conexión deldifeomorsmo y del control no lineal con el sistema no lineal. De este modo, el sistema secomporta como un sistema lineal controlable con una dinámica lineal tangencial entornoal punto de operación.

Figura 4.3.1 Esquema de la linealización por retroalimentación robusta.

4.4. Linealización por retroalimentación del estado del

rodamiento magnético

En esta sección, se linealiza por retroalimentación del estado al modelo matemático delrodamiento magnético, con el objeto de obtener en la siguiente sección su linealización porretroalimentación robusta.

76

4.4. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO DELRODAMIENTO MAGNÉTICO

En el Capítulo 3 se obtuvo el modelo matemático del rodamiento, éste consiste en dossistemas, uno es el sistema horizontal h y el otro es el sistema vertical v. La diferenciaentre ellos está en que la fuerza de gravedad afecta al sistema v.

Sistema horizontal h

Primeramente se realiza la linealización por retroalimentación del estado para el sistemahorizontal h. Por comodidad, se presenta de nuevo el modelo del sistema h que se obtuvoen el Capítulo 3.

x1

x2

x3

x4

=

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+1

Lo

0 00 0

k − 2x1 00 k + 2x1

[ u1

u2

](4.4.1)

cuyas salidas son:

[λ1(x)λ2(x)

]=

[x1

x3

](4.4.2)

El sistema presenta la forma compacta x = f(x) + g(x)ux, x ∈ R4, ux, ∈ R2, los camposvectoriales f , g1 y g2 son continuamente diferenciables en toda la región de operación delsistema.

El sistema tiene dos entradas. Por lo tanto, se necesita dos campos escalares ϕc1(x) yϕc2(x), para formar el difeomorsmo y la ley de control linealizante, que se denota mediante

ϕc(x), uc (x,wc) = αc(x) + βc(x)wc

donde wc ∈ R2 es la entrada nueva del sistema.

En este enfoque, lo primero que se necesita es saber si el sistema es linealizablemediante retroalimentación del estado. En este caso, el sistema (4.4.1) es linealizable porretroalimentación del estado, porque cumple con las condiciones del Teorema 3.1, es decir,G0 ∈ R2 y es involutiva, G1 ∈ R3 y es involutiva, G2 ∈ R4 y es involutiva y G3 ∈ R4.

El primer paso de la linealización LRE consiste en encontrar un difeomorsmo, que logreun cambio de coordenadas, de tal manera que el sistema se exprese en una forma favorable.Se toma a xc como el nuevo conjunto de coordenadas, utilizando (4.2.3) se expresa como

xc = ϕc(x) = [ϕc1(x) ϕc2(x)]T (4.4.3)

77


Se empieza tomando como primera nueva coordenada a xc1 = λ1(x) = x1 del vector desalida λ(x) = [x1 x3]T .

Derivando la nueva coordenada con respecto al tiempo, se obtiene:

xc1 = Lfλ1(x) + Lg1λ1(x)u1 + Lg2λ1(x)u2

xc1 =∂

∂x(x1) f (x) +

∂

∂x(x1) g1 (x)u1 +

∂

∂x(x1) g2 (x)u2

desarrollando,

xc1 =∂

∂x(x1)

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+∂

∂x(x1)

00

k−2x1Lo

0

u1+∂

∂x(x1)

000

k−2x1Lo

u2

donde ∂∂x

(x1) =[

1 0 0 0]. Entonces se obtiene:

xc1 = x2

donde Lfλ1(x) representa la derivada de Lie de la función escalar λ1(x) a lo largo delvector f(x). Ahora, del cálculo anterior, se observa que al desarrollarse el productopunto de cada término Lg1λ1(x)u1 y Lg2λ1(x)u2 da por resultado cero. Entonces se tomaxc2 = Lfλ1(x) = x2 como la segunda coordenada nueva, y se deriva nuevamente conrespecto al tiempo:

xc2 = xc1 = L2fλ1(x) + Lg1Lfλ1(x)u1 + Lg2Lfλ1(x)u2

xc2 = xc1 =∂

∂x(x2) f (x) +

∂

∂x(x2) g1 (x)u1 +

∂

∂x(x2) g2 (x)u2

desarrollando,

xc2 =∂

∂x(x2)

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+∂

∂x(x2)

00

k−2x1Lo

0

u1+∂

∂x(x2)

000

k−2x1Lo

u2

78


donde ∂∂x

(x2) =[


xc2 = x2

donde x2 = Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2es la segunda ecuación diferencial de la expresión

(4.4.1).

De igual manera, del cálculo anterior se observa que al desarrollarse el producto puntode cada término Lg1Lfλ1(x)u1 y Lg2Lfλ1(x)u2 da por resultado cero. Entonces se tomaxc3 = L2

fλ1(x) = x2 como la tercera coordenada nueva y se repite el proceso:

xc3 = xc2 = xc1 = L3fλ1(x) + Lg1L

2fλ1(x)u1 + Lg2L

2fλ1(x)u2

xc3 = xc2 = xc1 =∂

∂x(x2) f (x) +

∂

∂x(x2) g1 (x)u1 +

∂

∂x(x2) g2 (x)u2

desarrollando,

xc3 =∂

∂x(x2)

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+2I0 + 2x3

m (k − 2x1)u1 −

2I0 + 2x4

m (k + 2x1)u2

donde

∂

∂x(x2) f (x) = − L0

k − 2x1

(R2x4 +

2L0x2 (x3 + Io)2 (k + 2x1)

(x4 + Io) (k − 2x1)3

)Ahora, del cálculo anterior, se observa que al desarrollarse el producto punto de cadatérmino Lg1L

2fλ1(x)u1 y Lg2L

2fλ1(x)u2 ya no da por resultado cero, es decir, aparecen de

forma explícita las componentes del vector de entrada y, además, se obtiene la primeracomponente del nuevo vector de entrada como w1 = xc3 , el grado relativo es r1 = 3. Estostérminos que no se anularon forman la primera la de la matriz M(x) en la expresión(4.2.5).

Entonces se procede a tomar como la cuarta nueva coordenada a xc4 = λ2(x) = x3 delvector de salida λ(x) = [x1 x3]T . Repitiendo el proceso se tiene:

xc4 = Lfλ2(x) + Lg1λ2(x)u1 + Lg2λ2(x)u2

xc4 =∂

∂x(x3) f (x) +

∂

∂x(x3) g1 (x)u1 +

∂

∂x(x3) g2 (x)u2

79


desarrollando,

xc4 =∂

∂x(x3)

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+∂

∂x(x3)

00

k−2x1Lo

0

u1+∂

∂x(x3)

000

k−2x1Lo

u2

donde ∂∂x

(x3) =[


xc4 = −R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3 + Iok − 2x1

+k − 2x1

Lou1

Del mismo modo, se observa que al desarrollarse el producto punto del término Lg1λ2(x)u1

no da por resultado cero pero sí Lg2λ2(x)u2, de modo que aquí sólo aparece la primeracomponente del vector de entrada y, además, se obtiene la segunda componente del nuevovector de entrada como w2 = xc4 , el grado relativo es r2 = 1. El término que no se anulóforma parte de la segunda la de la matriz M(x).

Los grados relativos indican el número de veces que se derivó cada componente del vectorde salida λ(x) = [x1 x3]T , para que aparecieran de forma explícita las componentes delvector de entrada. Su suma es r1 + r2 = 4, igual al orden del sistema.

Entonces, la matriz M(x) denida por la expresión (4.2.5) tiene la siguiente forma:

M(x) =

[Lg1L

2fλ1(x) Lg2L

2fλ1(x)

Lg1λ2(x) 0

]=

[2I0+2x3m(k−2x1)

− 2I0+2x4m(k+2x1)

k−2x1L0

0

](4.4.4)

Sustituyendo (4.4.4) en las expresiones de (4.2.10), se obtienen αc y βc:

b(x) =

[L3fλ1 (x)

Lfλ2 (x)

]=

[2x4(x4+Io)R2

m(k+2x1)− 2x3(x3+Io)R1

m(k−2x1)

−x3(k−2x1)R1

Lo− 2x2(x3+Io)

(k−2x1)

]

αc(x) = −

[2I0+2x3m(k−2x1)

− 2I0+2x4m(k+2x1)

k−2x1L0

0

]−1

b(x)

αc(x) =

[R1x3 + 2Lox2(x3+Io)

(k−2x1)2

R2x4 + 2Lox2(k+2x1)(x3+Io)2

(k−2x1)3(x4+Io)

](4.4.5)

βc(x) = M−1(x) =

[0 Lo

k−2x1−m(k+2x1)

2(x4+Io)Lo(k+2x1)(x3+Io)

(k−2x1)2(x4+Io)

](4.4.6)

80


Se sustituye (4.4.5) y (4.4.6) en (4.2.9) para obtener la ley de control no lineal uc (x,w) =αc(x) + βc(x)wc, que suprime la dinámica no lineal del sistema, de la siguiente manera,

uc (x,wc) =


(k−2x1)2

R2x4 + 2Lox2(k+2x1)(x3+Io)2

(k−2x1)3(x4+Io)

]+

[0 Lo

k−2x1−m(k+2x1)

2(x4+Io)Lo(k+2x1)(x3+Io)

(k−2x1)2(x4+Io)

]wc (4.4.7)

donde

wc =

[wc1wc2

]=

[xc3xc4

]El cambio de coordenadas realizado mediante la expresión (4.2.3) es:

ϕc(x) =

[ϕc1(x)ϕc2(x)

]=

λ1(x)Lfλ1(x)L2fλ1(x)λ2(x)

=

xc1xc2xc3xc4

=

x1

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

x3

(4.4.8)

con (4.2.4):

ϕc1(x) =[λ1(x) Lfλ1(x) L2

fλ1(x)]T

ϕc2(x) = [λ2(x)]

Entonces, con la ley de control no lineal linealizante (4.4.7) y con el difeomorsmo (4.4.8)el sistema linealizado equivalente es:

xc =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

xc +

0 00 01 00 1

wc (4.4.9)

El sistema (4.4.9) es lineal, controlable y está en la forma canónica de Brunovsky. Esteenfoque elimina los parámetros del sistema no lineal.

Sistema vertical v

De igual manera, primero se realiza la linealización por retroalimentación del estado parael sistema vertical v. Por conveniencia, se presenta de nueva cuenta el modelo del sistemav que se obtuvo en el Capítulo 3. El modelo (4.4.10) considera la fuerza de gravedad quese ejerce sobre el rotor.

81


y1

y2

y3

y4

=

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+1

Lo

0 00 0

k − 2y1 00 k + 2y1

[ u3

u4

]

(4.4.10)

cuyas salidas son: [λ1(y)λ2(y)

]=

[y1

y3

](4.4.11)

El sistema presenta la forma compacta y = f(y) + g(y)uy, y ∈ R4, uy, ∈ R2, los camposvectoriales f , g1 y g2 son continuamente diferenciables en toda la región de operación delsistema.

El sistema tiene dos entradas. Por lo tanto, se necesitan dos campos escalares ϕc1(y)y ϕc2(y), para formar el difeomorsmo y la ley de control linealizante, que se denotanmediante

ϕc(y), uc (y, wc) = αc(y) + βc(y)w

donde wc ∈ R2 es la entrada nueva del sistema.

De igual forma, el sistema (4.4.10) es linealizable por retroalimentación, ya que cumplecon las condiciones del Teorema 3.1.

El primer paso para la linealización consiste en encontrar un difeomorsmo, de tal maneraque el sistema se pueda expresar en un sistema lineal controlable. Se toma a yc como elnuevo conjunto de coordenadas, utilizando (4.2.3) se expresa como

yc = ϕc(y) = [ϕc1(y) ϕc2(y)]T (4.4.12)

Se empieza tomando como primera nueva coordenada a yc1 = λ1(y) = y1 del vector desalida λ(y) = [y1 y3]T .

Derivando la nueva coordenada con respecto al tiempo, se obtiene:

yc1 = Lfλ1(y) + Lg1λ1(y)u3 + Lg2λ1(y)u4

yc1 =∂

∂y(y1) f (y) +

∂

∂y(y1) g1 (y)u1 +

∂

∂y(y1) g2 (y)u2

desarrollando,

82


yc1 =∂

∂y(y1)

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+∂

∂y(y1)

00

k−2y1Lo

0

u1+∂

∂y(y1)

000

k−2y1Lo

u2

donde ∂∂x

(y1) =[


yc1 = y2

donde Lfλ1(y) representa la derivada de Lie de la función escalar λ1(y) a lo largo delvector f(y). Ahora, del cálculo anterior, se observa que al desarrollarse el productopunto de cada término Lg1λ1(y)u3 y Lg2λ1(y)u4 da por resultado cero. Entonces, se tomayc2 = Lfλ1(y) = y2 como la segunda coordenada nueva, y se deriva nuevamente conrespecto al tiempo:

yc2 = yc1 = L2fλ1(y) + Lg1Lfλ1(y)u3 + Lg2Lfλ1(y)u4

yc2 = yc1 =∂

∂y(y2) f (y) +

∂

∂y(y2) g1 (y)u1 +

∂

∂y(y2) g2 (y)u2

desarrollando,

yc2 =∂

∂x(y2)

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+∂

∂x(y2)

00

k−2y1Lo

0

u1+∂

∂x(y2)

000

k−2y1Lo

u2

donde ∂∂x

(y2) =[


yc2 = y2

donde y2 = Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g es la segunda ecuación diferencial de la

expresión (4.4.10).

De igual manera, del cálculo anterior se observa que al desarrollarse el producto puntode cada término Lg1Lfλ1(y)u3 y Lg2Lfλ1(y)u4 da por resultado cero. Entonces se tomayc3 = L2

fλ1(y) = y2 como la tercera coordenada nueva y se repite el proceso:

83


yc3 = yc2 = yc1 = L3fλ1(y) + Lg1L

2fλ1(y)u3 + Lg2L

2fλ1(y)u4

yc3 = yc2 = yc1 =∂

∂y(y2) f (y) +

∂

∂y(y2) g1 (y)u1 +

∂

∂y(y2) g2 (y)u2

desarrollando,

yc3 =∂

∂y(y2)

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+2I0 + 2y3

m (k − 2y1)u1 −

2I0 + 2y4

m (k + 2y1)u2

donde

∂

∂y(y2) f (y) = − L0

k − 2y1

(R4y4 +

2L0y2 (y3 + Io)2 (k + 2y1)

(y4 + Io) (k − 2y1)3

)

Al realizar la derivada de Lie de Lf (y2) se pierde el factor de la fuerza de gravedad,entonces, el cálculo de M(y) es igual a M(x) de la expresión (4.4.4). Por lo tanto, αc, βc yla ley de control no lineal uc (y, w) = αc(y)+βc(y)wc para el sistema v es igual al calculadopara el sistema h.

Ahora, del cálculo anterior, se observa que al desarrollarse el producto punto de cadatérmino Lg1L

2fλ1(y)u3 y Lg2L

2fλ1(y)u4 no da por resultado cero, es decir, aparecen de

forma explícita las componentes del vector de entrada y, además, se obtiene la primeracomponente del nuevo vector de entrada como w3 = yc3 , el grado relativo es r1 = 3. Estostérminos que no se anularon forman la primera la de la matriz M(y) en la expresión(4.2.5).

Entonces se procede a tomar como la cuarta nueva coordenada a yc4 = λ2(y) = y3 delvector de salida λ(y) = [y1 y3]T . Repitiendo el proceso se tiene:

yc4 = Lfλ2(y) + Lg1λ2(y)u3 + Lg2λ2(y)u4

yc4 =∂

∂y(y3) f (y) +

∂

∂y(y3) g1 (y)u1 +

∂

∂y(y3) g2 (y)u2

desarrollando,

84


yc4 =∂

∂x(y3)

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+∂

∂x(y3)

00

k−2y1Lo

0

u1+∂

∂x(y3)

000

k−2y1Lo

u2

donde ∂∂x

(y3) =[


yc4 = −R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3 + Iok − 2y1

+k − 2y1

Lou1

Del mismo modo, se observa que al desarrollarse el producto punto del término Lg1λ2(y)u3

no da por resultado cero pero sí Lg2λ2(y)u4, de modo que aquí sólo aparece la primeracomponente del vector de entrada y, además, se obtiene la segunda componente del nuevovector de entrada como w4 = yc4 , el grado relativo es r2 = 1. El término que no se anulóforma parte de la segunda la de la matriz M(y).

Los grados relativos indican el número de veces que se derivó cada componente del vectorde salida λ(y) = [y1 y3]T , para que aparecieran de forma explícita las componentes delvector de entrada. Su suma es r1 + r2 = 4, igual al orden del sistema.

Entonces, la matriz M(y) denida por la expresión (4.2.5) tiene la siguiente forma:

M(y) =

[Lg1L

2fλ1(y) Lg2L

2fλ1(y)

Lg1λ2(y) 0

]=

[2I0+2y3m(k−2y1)

− 2I0+2y4m(k+2y1)

k−2y1L0

0

](4.4.13)

Sustituyendo (4.4.13) en las expresiones de (4.2.10), se obtienen αc y βc:

b(y) =

[L3fλ1 (y)

Lfλ2 (y)

]=

[2y4(y4+Io)R4

m(k+2y1)− 2y3(y3+Io)R3

m(k−2y1)

−y3(k−2y1)R3

Lo− 2y2(y3+Io)

(k−2y1)

]

αc(y) = −

[2I0+2y3m(k−2y1)

− 2I0+2y4m(k+2y1)

k−2y1L0

0

]−1

b(y)

αc(y) =

[R3y3 + 2Loy2(y3+Io)

(k−2y1)2

R4y4 + 2Loy2(k+2y1)(y3+Io)2

(k−2y1)3(y4+Io)

](4.4.14)

βc(y) = M−1(y) =

[0 Lo

k−2y1−m(k+2y1)

2(y4+Io)Lo(k+2y1)(y3+Io)

(k−2y1)2(y4+Io)

](4.4.15)

85


Se sustituye (4.4.14) y (4.4.15) en (4.2.9) para obtener la ley de control no linealuc (y, w) = αc(y) + βc(y)wc que suprime la dinámica no lineal del sistema de la siguientemanera,

uc (x,wc) =


(k−2y1)2

R4y4 + 2Loy2(k+2y1)(y3+Io)2

(k−2y1)3(y4+Io)

]+

[0 Lo

k−2y1−m(k+2y1)

2(y4+Io)Lo(k+2y1)(y3+Io)

(k−2y1)2(y4+Io)

]wc (4.4.16)

donde

wc =

[wc3wc4

]=

[yc3yc4

]

El cambio de coordenadas realizado mediante la expresión (4.2.3) es:

ϕc(y) =

[ϕc1(y)ϕc2(y)

]=

λ1(y)Lfλ1(y)L2fλ1(y)λ2(y)

=

yc1yc2yc3yc4

=

y1

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

y3

(4.4.17)

con (4.2.4):

ϕc1(y) =[λ1(y) Lfλ1(y) L2

fλ1(y)]T

ϕc2(y) = [λ2(y)]

Entonces, con la ley de control no lineal linealizante (4.4.16) y con el difeomorsmo (4.4.17)el sistema equivalente linealizado es:

yc =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

yc +

0 00 01 00 1

wc (4.4.18)

El sistema (4.4.18) es lineal, controlable y está en la forma canónica de Brunovsky. Seeliminaron las no linealidades del sistema y con la entrada w se impone la dinámicadeseada.

86

4.5. LINEALIZACIÓN POR RETROALIMENTACIÓN ROBUSTA DELRODAMIENTO MAGNÉTICO

4.5. Linealización por retroalimentación robusta del


Con base en los resultados obtenidos de la linealización por retroalimentación del estado,se realiza la linealización por retroalimentación robusta, tanto para el sistema horizontalh, como para el sistema vertical v. Se aclara que si un sistema es linealizable por retroali-mentación del estado, también es linealizable por retroalimentación robusta [6].


La linealización por retroalimentación del estado robusta para el sistema h, emplea losresultados obtenidos de la linealización clásica del sistema h, como se ilustra a continuación:

Para el cálculo de la linealización robusta primero se calcula las matrices T , R y L de lasiguiente manera.

Sustituyendo la expresión (4.4.8) en (4.3.9) y efectuando los cálculos se obtiene la matrizno singular de semejanza como

T =∂ϕc(x)

∂x=

∂

∂x

x1

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

x3

|x=0

T =

1 0 0 00 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 0 1 0

(4.5.1)

Ahora, al sustituir (4.4.4) y evaluar en (4.3.10), con x = 0, se obtiene:

R = M−1(0) =

[0 L0

k

−mk2I0

L0

k

](4.5.2)

Por último, se calcula la matriz L. Para ello se sustituyen las expresiones (4.4.4) y (4.4.5)en (4.3.11),

L = −M(0)∂

∂x


(k−2x1)2

R2x4 + 2Lox2(k+2x1)(x3+Io)2

(k−2x1)3(x4+Io)

]|x=0=

[0 0 −2I0R1

mk2I0R2

mk

0 −2I0k

2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

](4.5.3)

87


Ahora se procede a calcular el difeomorsmo robusto y la ley de control no lineal mediantelas matrices T , R y L.

Sustituyendo (4.4.8) y (4.5.1) en (4.3.8) se calcula el difeomorsmo robusto ϕr como:

ϕr(x) = T−1ϕc(x) =

xr1xr2xr3

xr3 − k2

2I0

((xr3+Iok−2xr1

)2

−(xr4+Iok+2xr1

)2)

+ 4I0Kxr1

(4.5.4)

Para el cálculo de βr se sustituyen (4.4.6) y (4.5.2) obteniéndose:

βr(x) = βc(x)R−1 =

[k

k−2xr10

k(xr3+Io)(k+2xr1)(xr4+Io)(k−2xr1)

− 2I0k(2I0+2xr4)

2I0k(2I0+2xr4)

](4.5.5)

Ahora queda calcular αr de la siguiente manera

αr(x) = αc(x) + βc(x)LT−1ϕc(x) (4.5.6)

con

αc(x) =


(k−2x1)2

R2x4 + 2Lox2(k+2x1)(x3+Io)2

(k−2x1)3(x4+Io)

]

βc(x)LT−1ϕc(x) =

[− 2I0L0xr2k(k−2xr1)

− kR1xr3(k−2xr1)

a+ b

]donde

a =IoR1 (k + 2xr1)

k (xr4 + Io)

[4I0xr1k

+k2

2I0

((xr3 + Iok − 2xr1

)2

−(xr4 + Iok + 2xr1

)2

+ xr3

)]

b = − (xr3 + Io)

(k − 2xr1)2 (xr4 + Io)

(2I0L0xr2

k+ kR1xr3

)El resultado de la linealización por retroalimentación del estado robusta para el modelono lineal (4.4.1) mediante la ley de control de retroalimentación linealizante (4.3.4) y eldifeomorsmo (4.5.4) es:

xr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R1 0

0 2kI0 0 − k

L0R2

xr +k

Lo

0 00 01 00 1

wr (4.5.7)

88


El sistema equivalente es lineal y controlable. Esta estructura conserva el sentido físico delsistema, pues exhibe los parámetros en la dinámica del sistema.

Sistema vertical v

La linealización por retroalimentación del estado robusta para el sistema v, emplea losresultados obtenidos de la linealización clásica del sistema v, como se ilustra a continuación:

De la misma manera, para el cálculo de la linealización robusta primero se calcula lasmatrices T , R y L de la siguiente manera.

Sustituyendo la expresión (4.4.17) en (4.3.9) se obtiene la matriz no singular de semejanzacomo

T =∂ϕc(y)

∂y=

∂

∂y

y1

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

y3

|y=0

T =

1 0 0 00 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 0 1 0

(4.5.8)

Como el factor de la gravedad es un coeciente que no multiplica a ninguna variable, sepierde al efectuar la derivada parcial, por lo que la matriz T es la misma que se obtuvo enla sección anterior.

Ahora, al sustituir (4.4.13) y evaluar en (4.3.10), con x = 0, se obtiene la misma matrizde la sección anterior:

R = M−1(0) =

[0 L0

k

−mk2I0

L0

k

](4.5.9)

Por último, se calcula la matriz L. Para ello se sustituyen las expresiones (4.4.13) y (4.4.14)en (4.3.11), obteniéndose la misma matriz de sección anterior

L = −M(0)∂

∂y


(k−2y1)2

R4y4 + 2Loy2(k+2y1)(y3+Io)2

(k−2y1)3(y4+Io)

]|x=0=

[0 0 −2I0R3

mk2I0R4

mk

0 −2I0k

2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

](4.5.10)

Ahora se procede a calcular el difeomorsmo robusto y la ley de control no lineal mediantelas matrices T , R y L.

89


Sustituyendo (4.4.17) y (4.5.8) en (4.3.8) se calcula el difeomorsmo robusto ϕr como:

ϕr(y) = T−1ϕc(y) =

yr1yr2yr3

yr3 + 4I0kyr1 − k2m

2I0L0

(g + L0

m

((yr3+Iok−2yr1

)2

−(yr4+Iok+2yr1

)2))

(4.5.11)

que diere con respecto al difeomorsmo ϕr(x).

Para el cálculo de βr se sustituyen (4.4.15) y (4.5.9) obteniéndose:

βr(y) = βc(y)R−1 =

[k

k−2yr10

k(yr3+Io)(k+2yr1)(yr4+Io)(k−2yr1)

− 2I0k(2I0+2yr4)

2I0k(2I0+2yr4)

](4.5.12)

La matriz βr(y) resulta ser igual a βr(x).

Ahora queda calcular αr de la siguiente manera

αr(y) = αc(y) + βc(y)LT−1ϕc(y) (4.5.13)

con

αc(y) =


(k−2y1)2

R4y4 + 2Loy2(k+2y1)(y3+Io)2

(k−2y1)3(y4+Io)

]

βc(y)L =

[2I0L0

k(k−2y1)kR3

(k−2y1)0

−2I0L0(y3+Io)(k+2y1)k(y4+Io)(k−2y1)

2I0R3(k+2y1)(2I0+2y4)

− kR3(y3+Io)(k+2y1)

(y4+Io)(k−2y1)2−2I0R4(k+2y1)

k(2I0+2y4)

]

T−1ϕc(y) =

yr1yr2yr3

yr3 + 4I0kyr1 − k2m

2I0L0

(g + L0

m

((yr3+Iok−2yr1

)2

−(yr4+Iok+2yr1

)2))

El resultado de la linealización por retroalimentación del estado robusta para el modelono lineal (4.4.10) mediante la ley de control de retroalimentación linealizante (4.3.4) y eldifeomorsmo (4.5.11) es:

yr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R3 0

0 2kI0 0 − k

L0R4

yr +k

Lo

0 00 01 00 1

wr (4.5.14)

90


La expresión (4.5.14) es la aproximación tangencial alrededor del punto de operación x0

del sistema (4.4.10). Los sistemas lineales controlables equivalentes que se obtuvieron eneste capítulo preservan el sentido físico de los sistemas no lineales h y v. Por lo tanto, si lasno linealidades modeladas presentan incertidumbre, con estos modelos lineales se puedeafrontar este problema.

Los modelos lineales controlables (4.5.7) y (4.5.14) que se obtuvieron, se emplean en elsiguiente capítulo, a los cuales se les aplican los conceptos de platitud diferencial delCapítulo 2 para obtener sus salidas planas y diseñar el controlador basado en platitud.

91

Capítulo 5

Diseño de los controladores basado en

platitud diferencial para el rodamiento

magnético

5.1. Introducción

En esta capítulo se presentan y se aplican los algoritmos de diseño de los controladoresbasado en platitud diferencial para el sistema linealizado equivalente, así como para elsistema no lineal.

Los algoritmos se desarrollan mediante una serie de pasos a seguir, que va desde lavericación de la controlabilidad del sistema, en el caso de los sistemas lineales, laproposición de la salida plana, en el caso de los sistemas no lineales, hasta la vericaciónde estabilidad.

5.2. Algoritmo de diseño de los controladores basado en

platitud diferencial

5.2.1. Sistema lineal

Al modelo linealizado del rodamiento magnético, que se obtuvo mediante la linealizaciónpor retroalimentación robusta en la Sección 4.5, se le aplica la metodología para encontrarla salida plana para el caso de los sistemas lineales controlables, presentada en la Subsección2.2.2. Por ahora, en esta subsección, sólo se presentarán, mediante una secuencia de pasos,las herramientas para calcular la salida plana y el diseño de los controladores basado enel concepto de platitud diferencial. Más adelante, en la Subsección 5.3.1 se aplicarán estasherramientas.

92

5.2. ALGORITMO DE DISEÑO DE LOS CONTROLADORES BASADO ENPLATITUD DIFERENCIAL

En esta subsección, sólo se ejemplica el algoritmo de diseño con el sistema horizontallinealizado h, ya que para el sistema vertical linealizado v es análoga.

Considere el sistema multivariable, lineal y controlable que se obtuvo al aplicar lalinealización por retroalimentación robusta:

xr = Arxr +Brwr xr ∈ Rn, wr ∈ Rm (5.2.1)

donde la matriz Br es de rango completo m > 1 y se compone de los vectores columnabr1 , . . . , brm . El sujo r indica que se está tratando con el sistema linealizado mediante lalinealización por retroalimentación robusta.

Paso 1: Vericar que el sistema sea controlable.

Para aplicar el concepto de platitud diferencial para el caso de los sistemas lineales, primerose debe vericar que el sistema (5.2.1) es controlable, de acuerdo con la Proposición 2.1de la Subsección 2.2.1.

Para vericar que el sistema (5.2.1) es controlable, primero se debe construir la matriz deControlabilidad de Kalman como sigue,

Krc =[br1 . . . brm Abr1 . . . Abrm . . . A

n−1br1 . . . An−1brm

](5.2.2)

Esta matriz se construye con las matrices Ar y Br del sistema (5.2.1). Para que el sistemasea plano, la matriz Krc debe tener rango completo n, es decir, que de la matriz (5.2.2) sepuede extraer una matriz Cr invertible de rango completo n, construida por las columnaslinealmente independientes de Krc .

Para construir la matriz Cr, primero se denen todas las columnas linealmenteindependientes de Krc comenzando con br1 recorriendo de izquierda a derecha la matrizKrc , mediante la eliminación de las columnas linealmente dependientes de las seleccionadaspreviamente de la izquierda. Este proceso se repite para cada columna hasta llegar a brm .La matriz queda de la siguiente manera:

Cr = [br1 , Abr1 , . . . , Aγ1−1br1 , br2 , Abr2 , .., A

γ2−1br2 , . . . , brm , Abrm , . . . , Aγm−1brm ] (5.2.3)

donde γi, con i = 1, 2, ..., m son los índices de controlabilidad de Kronecker del sistema,los cuales satisfacen

∑i γi = n. Además, ya que el rango de Br es igual a m, sus columnas

siempre se deben incluir para construir la matriz Cr.

Al obtener la matriz Cr invertible, se concluye que el sistema (5.2.1) es planodiferencialmente. Entonces, se puede continuar con el siguiente paso: El cálculo de lasalida plana.

Paso 2: Calcular la salida plana.

93

CAPÍTULO 5. DISEÑO DE LOS CONTROLADORES BASADO EN PLATITUDDIFERENCIAL PARA EL RODAMIENTO MAGNÉTICO

Ahora queda aplicar la expresión (2.2.15) de la Subsección 2.2.2 para obtener la salidaplana, que por comodidad se cita a continuación:

F = ψC−1r xr (5.2.4)

La elección de Cr no es única, se pueden construir diferentes matrices seleccionando otrascolumnas linealmente independientes. En general, el número de matrices Cr que se puedenobtener es igual al número de entradas que tenga el sistema, es decir, se puede obtenerCr1 ,..., Crm matrices. Así pues, se puede obtener una sola salida plana para cada matrizinvertible.

Para la construcción de ψ se necesitan los índices de Kronecker, que indican en donde vana actuar las nuevas entradas del sistema equivalente,

ψ =

ψ1...ψm

con ψi, i = 1, 2, ..., m son los vectores renglón de n componentes de la forma:

ψi = [0, ..., 0, ..., 0, λi, ..., 0]

con un 1 en la posición∑j

i=1 λi.

El número de componentes de la salida plana F es igual en número de entradas del sistema,por lo que se puede obtener m componentes, es decir, F1,...,Fm.

Paso 3: Parametrizar las variables del sistema.

Una vez encontrada la salida plana, se parametrizan diferencialmente las variables delsistema en función de ésta, quedando de la siguiente manera:

xr = ϕ1

(F1, F1, ..., F

(γ1−1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(γm−1)m

)(5.2.5)

wr = ϕ2

(F1, F1, ..., F

(γ1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(γm)m

)(5.2.6)

La parametrización diferencial que la propiedad de platitud proporciona, contieneinformación valiosa sobre el sistema en términos de la salida plana que se relaciona conlas variables del mismo.

El uso más común de la propiedad de platitud diferencial descansa en los aspectos deplaneación de movimiento de los sistemas de control. Debido a que la parametrizacióndiferencial provee naturalmente una relación diferencial explícita con el estado, las salidasy las entradas de control; una trayectoria requerida (curva algebraica) de la salida plana

94


permite la evaluación fuera de línea de la trayectoria nominal del estado, las salidas y delas entradas de control, sin resolver las ecuaciones diferenciales que describen al sistema[23].

Paso 4: Proponer una trayectoria nominal (curva algebraica) para la salida plana.

Para proponer una curva algebraica adecuada para la salida plana, hay que considerar dosaspectos: Tener conocimiento sobre la dinámica del sistema y tener en cuenta el objetivo decontrol para construir una curva algebraica parecida a la trayectoria natural del sistema.

La elección adecuada de la trayectoria nominal F ∗ para la salida plana, determina el vectordel estado y la entrada de control nominales de la siguiente manera:

x∗r = ϕ1

(F ∗1 , F

∗1 , ..., F

∗(γ1−1)1 , ..., F ∗m, F

∗m, ..., F

∗(γm−1)m

)(5.2.7)

w∗r = ϕ2

(F ∗1 , F

∗1 , ..., F

∗(γ1)1 , ..., F ∗m, F

∗m, ..., F

∗(γm)m

)(5.2.8)

La entrada de control (5.2.8), es el control nominal necesario que hace que el sistema sigala trayectoria nominal de la salida plana.

El vector de entrada parametrizado es una prealimentación, porque contiene informacióninterna del sistema, mediante la salida plana. Este tipo de control posee algunas ventajastales como [60]:

Ejecuta la acción correctiva antes que el proceso se perturbe.

Teóricamente, es capaz de realizar un control perfecto.

No afecta la estabilidad del sistema.

También posee algunas desventajas como:

Requiere la medición de la perturbación.

Requiere del conocimiento del modelo del sistema a controlar.

Particularmente sensible a los cambios en los parámetros del sistema (como todoslos controladores en lazo abierto).

El controlador prealimentado (5.2.8) que proporciona la propiedad de platitud diferencial,se puede combinar ventajosamente con otras técnicas interesantes de diseño de controlado-res retroalimentados, como por ejemplo, Pasividad, Modos deslizantes, Linealización porretroalimentación, diseño de Lyapunov, Control óptimo, PID clásico, Backstepping y, porsupuesto, el Controlador proporcional integral generalizado (GPI), entre muchas otras.

95


Los controladores retroalimentados poseen características que el controlador prealimentadono cuenta y recíprocamente. De manera que al combinarlos se complementan, realizandoun mejor control que reúne las bondades de estos dos controladores, en comparación a sicada controlador actuara solo.

Por la Denición 2.2 de la Subsección 2.2.1, el sistema (5.2.1) es equivalente a un sistemaen la forma canónica de Brunovsky. Los índices de Kronecker de la expresión (5.2.8)indican una permutación (cambio de entrada) que señalan las nuevas entradas para elsistema equivalente en la forma canónica de Brunovsky, de manera que el controladorprealimentado se puede escribir de la siguiente manera:

w∗r = ϕ2

(F ∗1 , F

∗1 , ..., ν1, ..., F

∗m, F

∗m, ..., νm

)(5.2.9)

donde ν1 = F∗(γ1)1 , ..., νm = F

∗(γm)m son las nuevas entradas del sistema equivalente

mediante retroalimentación lineal estática (Denición 2.2). Estas entradas transformanal sistema en uno lineal y desacoplado.

Paso 5: Diseño del controlador retroalimentado.

En las nuevas entradas se proponen controladores retroalimentados tipo GPI con lasiguiente estructura (para más detalle diríjase a la Subsección 2.2.4):

νi = F∗(γi)i −

γi−1∑j=0

ki,j (Fi − F ∗i )(i)i − ki,j+1

ˆ T

0

(Fi − F ∗i ) de (5.2.10)

El controlador GPI (5.2.10) está diseñado para que la salida plana Fi siga a sureferencia F ∗i de manera que la evolución de la señal del error sea estable asintóticamenteexponencialmente.

Algunas ventajas que posee el control retroalimentado se enuncian a continuación [61, 62]:

La acción correctiva se produce independientemente de la fuente y del tipo deperturbación.

Requiere poco conocimiento acerca del modelo (a veces no es necesario).

Además de versátil y robusto, cuenta con la capacidad para ajustar el funcionamientotransitorio y estacionario.

Algunas desventajas son:

La acción correctiva actúa después de que ocurre una desviación en la variablecontrolada.

Teóricamente no es capaz de realizar un control perfecto.

96


El sistema se puede inestabilizar en presencia de perturbaciones frecuentes y severas.

Las ventajas y desventajas del control prealimentado (5.2.8), que se obtuvo mediantela platitud, se complementan con las ventajas y desventajas del controlador GPIretroalimentado (5.2.10) compensándose mutuamente sus desventajas.

La expresión (5.2.9) es un controlador de dos grados de libertad que posee las bondadesdel control prealimentado y el retroalimentado.

La elección del controlador GPI reside en los siguientes puntos:

Requiere, por lo menos, que una variable del sistema sea medible, para reconstruira partir de esta salida y de su referencia, el vector del estado del sistema.

Evita el uso de observadores asintóticos para medir el estado del sistema.

La parte integral de (5.2.10) introduce robustez con respecto a las perturbacionesaditivas.

Elude el término derivativo para evitar enfatizar los picos que pueda generar unaperturbación o una falla en la señal de retroalimentación, evitando que el sistema seinestabilice.

Con base en los puntos anteriores, se elige este controlador porque se provocarán fallas enel rodamiento magnético.

En el contexto de platitud diferencial, se pueden realizar los puntos anteriores con baseen la salida plana con signicado físico para el sistema. Entonces, se puede utilizar esteenfoque para realizar el seguimiento de la trayectoria deseada para la salida plana.

Paso 6: Asegurar estabilidad.

La expresión (5.2.10) se puede representar en forma matricial (los cálculos para llegara la forma de espacio de estado se realizaron en la Sección 2.2.4), como se muestra acontinuación,

eiei...

e(γi)i

=

0 1 0 . . . 00 0 1 0...

. . . . . .0 0 0 1−ki, 0 −ki, 1 −ki, 2 . . . ki, γi

eiei...

e(γi−1)i

(5.2.11)

Las entradas ki, γi de la matriz del sistema del error (5.2.11), son los coecientes dela expresión (5.2.10). La evolución de la señal de error será estable asintóticamenteexponencialmente a cero sí, y sólo sí, los coecientes se seleccionan de tal forma quelos m polinomios característicos sγi+1 +

∑γij=0 ki,js

ji + ki+1,j+1 (ei) = 0 del sistema en lazo

cerrado sean Hurwitz.

97


De esta manera, se asegura que la dinámica del error es estable asintóticamenteexponencialmente.

Por último, el controlador basado en platitud diferencial se obtiene al sustituir elcontrolador GPI de la expresión (5.2.10) en la expresión (5.2.9) del controladorprealimentado obtenido mediante el concepto de platitud.

Estos son los pasos a seguir para el diseño del controlador basado en platitud diferencialpara el caso de los sistemas lineales controlables.

5.2.2. Sistema no lineal

Por el momento, en esta subsección, sólo se presenta, mediante una serie de pasos,los recursos necesarios para proponer una salida plana y, además, cómo diseñar loscontroladores basados en el concepto de platitud diferencial. Más adelante, en la Subsección5.3.2, se aplicarán estos pasos.

Considere el sistema no lineal multivariable descrito de la siguiente manera:

x = f(x) + g(x)u, x ∈ Rn, u,∈ Rm (5.2.12)

Para vericar que el sistema (5.2.12) es plano diferencialmente, primero se debe proponerun conjunto de variables que satisfaga las condiciones de la Denición 2.1 de la Subsección2.1.1. Si satisface la denición, el conjunto de variables propuesto, calica como salidaplana. Básicamente, las condiciones que se deben satisfacer son los Pasos 1 y 2.

Paso 1: Proposición de la salida plana.

A diferencia de los sistemas lineales controlables y de los sistemas no lineales anes enel control con una entrada, no existe una metodología general para obtener la salidaplana F de un sistema no lineal general. Sino más bien, se requiere proponer un conjuntode variables que calique como salida plana del sistema (5.2.12). La proposición de esteconjunto de variables obedece a cuestiones más intuitivas tales como:

Conocimiento de la naturaleza del sistema.

Intuición ingenieril.

Objetivos de control.

La proposición de una salida plana no es simple, ya que no es la única. Por lo tanto,una proposición dependerá de los objetivos de control mediante consideraciones físicas eintuición ingenieril, de tal manera que tenga un signicado físico asociado al problema decontrol.

Paso 2: Parametrización de las variables del sistema.

98


Suponga que con base en los puntos anteriores, se ha propuesto un conjunto de variablesque calica como salida plana denotada como F con componentes F1, ..., Fm. Por laDenición 2.1, las variables del sistema, x y u se pueden expresar como funciones delas componentes de F y de un número nito de sus derivadas temporales de la siguientemanera:

x = ϕ1

(F1, F1, ..., F

(r1−1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(rm−1)m

)(5.2.13)

u = ϕ2

(F1, F1, ..., F

(r1)1 , ..., Fm, Fm, ..., F

(rm)m

)(5.2.14)

La parametrización diferencial que la propiedad de platitud proporciona, establece todaslas características sobresalientes del sistema, que son necesarias para la aplicación de unatécnica de diseño de un controlador retroalimentado en particular.

Como la salida plana determina las variables mediante la parametrización diferencial, yano es necesario integrar las ecuaciones diferenciales que describen al sistema (5.2.12). Unaconsecuencia importante de platitud diferencial es, que al parametrizar diferencialmenteel vector de entrada (5.2.14) mediante la salida plana, se está obteniendo el controladory, como está en función de un conjunto de variables endógenas, este controlador contieneinformación interna del sistema, y por lo tanto, es un controlador prealimentado.

Paso 3: Proponer una trayectoria nominal (curva algebraica) para la salida plana.

Para la proposición de una curva algebraica adecuada para la salida plana, se considerandos aspectos: Tener conocimiento sobre la dinámica del sistema y considerar el objetivode control para construir una curva algebraica de manera que se parezca a la trayectorianatural del sistema tomando en cuenta el objetivo de control.

La trayectoria del sistema está en correspondencia, de manera suave, con la curvaalgebraica en el espacio de la salida plana de menor dimensión a la dimensión del espaciodel estado del sistema original. A esta correspondencia se le denomina equivalencia enel sentido de Lie-Bäcklund. Las condiciones iniciales establecidas para las trayectoriasx(t), u(t) deben ser satisfechas por la curva algebraica seleccionada para la salida plana.

La elección adecuada de la trayectoria nominal (curva algebraica) F ∗ para la salida plana,determina el vector de estado y la entrada de control nominales de la siguiente manera:

x∗ = ϕ1

(F ∗1 , F

∗1 , ..., F

∗(r1−1)1 , ..., F ∗m, F

∗m, ..., F

∗(rm−1)m

)(5.2.15)

u∗ = ϕ2

(F ∗1 , F

∗1 , ..., F

∗(r1)1 , ..., F ∗m, F

∗m, ..., F

∗(rm)m

)(5.2.16)

La expresión (5.2.15) es el vector del estado nominal deseado del sistema. La entradade control (5.2.16), es el controlador nominal necesario que hace que el sistema siga latrayectoria nominal de la salida plana.

99


Como el controlador está parametrizado en función de la salida plana (señal endógena), éstecontiene información interna del sistema y, por lo tanto, es un controlador prealimentado.Algunas ventajas y desventajas de este tipo de controlador ya se mencionaron en el Paso4 de la Subsección 5.2.1.

De igual manera, el controlador prealimentado que proporciona la platitud diferencial,se puede combinar ventajosamente con otras técnicas de diseño de controladoresretroalimentados ya mencionados anteriormente.

Por la Denición 2.11 de la Subsección 2.4.2, el sistema (5.2.12) es equivalente a un sistemalineal controlable mediante una retroalimentación endógena y un cambio de coordenadas.

Los enteros r1,..., rm de la expresión (5.2.16) indican una permutación (cambio de entrada)que señalan las nuevas entradas para el sistema lineal controlable equivalente, de modoque el controlador prealimentado se puede escribir de la siguiente manera:

u∗ = ϕ2

(F ∗1 , F

∗1 , ..., ν1, ..., F

∗m, F

∗m, ..., νm

)(5.2.17)

De esta manera, el nuevo sistema (5.2.17), cuya salida es la señal de control u∗ y lasentradas son ν1, ..., νm, es difeomórco a un sistema lineal controlable en la forma canónica:

F∗(r1)1 = ν1

... (5.2.18)

F ∗(rm)m = νm

donde ν1,..., νm son las nuevas entradas del sistema lineal controlable equivalente medianteuna retroalimentación dinámica endógena y un cambio de coordenadas (Denición 2.11).Estas entradas transforman al sistema en uno lineal y desacoplado.

El sistema (5.2.12) es equivalente al sistema lineal (5.2.18) cuyo orden es igual a∑m

i=1 ri ≥n.


De igual manera que en el Paso 5 de la Subsección 5.2.1, en las nuevas entradas delsistema (5.2.17) se proponen controladores retroalimentados de tipo GPI con la siguienteestructura (para más detalles véase la Subsección 2.4.4):

νi = ν∗i −ri−1∑j=0

ki,j (Fi − F ∗i )j − ki+1,j+1

ˆ T

0

(Fi − F ∗i ) de (5.2.19)

Del mismo modo, el controlador GPI (5.2.19) está diseñado para que la salida planaFi siga a su referencia F ∗i de manera que la evolución de la señal del error sea estableasintóticamente exponencialmente.

100

5.3. APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE DISEÑO DE LOS CONTROLADORESBASADO EN PLATITUD DIFERENCIAL EN EL SISTEMA DEL RODAMIENTOMAGNÉTICO

Algunas ventajas y desventajas de este tipo de controlador ya se mencionaron en el Paso5 de la Subsección 5.2.1.

Los motivos por los cuales se eligió el controlador GPI se presentaron en el Paso 5 de laSubsección 5.2.1.

Al sustituir la expresión (5.2.19) en la expresión (5.2.17) se obtiene un controladorde dos grados de libertad que posee las bondades del controlador prealimentado y elretroalimentado.


La evolución de la señal de error será estable asintóticamente exponencialmente a cero síy sólo sí los coecientes del controlador lineal retroalimentado (5.2.19) se seleccionan detal manera que los m polinomios característicos sri+1 +

∑rij=0 ki,js

ji + ki+1,j+1 (ei) = 0 del

sistema en lazo cerrado sean Hurwitz, es decir, todas las raíces de los polinomios yacen enel semiplano izquierdo del plano complejo.

De este modo, se asegura que la dinámica del error es estable asintóticamenteexponencialmente.

Por último, el controlador basado en platitud diferencial se obtiene al sustituir elcontrolador GPI de la expresión (5.2.19) en la expresión (5.2.18) del controladorprealimentado obtenido mediante el concepto de platitud.

Estos son los pasos a seguir para el diseño del controlador basado en platitud diferencialpara el caso de los sistemas no lineales controlables.

El procedimiento descrito para el diseño de los controladores basados en platituddiferencial, tanto para los sistemas lineales como para los sistemas no lineales, se puedeaplicar para cualquier sistema que tenga la propiedad intrínseca de platitud diferencial.

5.3. Aplicación del algoritmo de diseño de los controla-

dores basado en platitud diferencial en el sistema

del rodamiento magnético

En esta sección, se aplica la secuencia de pasos descrita en la Subsección 5.2.1 y Subsección5.2.2 para obtener los controladores basados en platitud diferencial para el caso del sistemalinealizado y el sistema no lineal, respectivamente, del rodamiento magnético activo.

5.3.1. Sistema linealizado mediante la linealización por retroali-

mentación del estado robusta

En la Sección 4.5 del Capítulo 4, se obtuvo la linealización por retroalimentación del estadorobusta del sistema del rodamiento magnético. Con esta técnica se calculó una transforma-ción de coordenadas y una ley de control no lineal linealizante, que al aplicarlos al sistema

101


no lineal, se obtuvo su aproximación lineal tangencial alrededor de un punto de operaciónnominal. A este sistema linealizado se le va a calcular su salida plana y posteriormente sele va a diseñar su controlador basado en platitud diferencial.


La aproximación lineal del modelo matemático no lineal del rodamiento magnético sobre eleje horizontal, obtenida mediante la linealización por retroalimentación robusta, se describeen la forma de espacio de estado y se muestra a continuación:

xr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R1 0

0 2kI0 0 − k

L0R2

xr +

0 00 0kLo

0

0 kLo

wr (5.3.1)

donde el sistema (5.3.1) tiene la forma xr = Arxr +Brwr, con xr ∈ R4 y wr ∈ R2.

A continuación se aplica la secuencia de pasos descrita en la Subsección 5.2.1 para el diseñode los controladores basado en platitud diferencial.


Para aplicar el concepto de platitud diferencial al sistema (5.3.1), primero se debe vericarque el sistema es controlable construyendo la matriz de controlabilidad de Kalman.Entonces, la matriz de Kalman para el sistema (5.3.1) utilizando la expresión (5.2.2),queda,

Krc =[br1 , br2 , Arbr1 , Arbr2 , A

2rbr1 , A

2rbr2 , A

3rbr1 , A

3rbr2]

Sustituyendo las matrices correspondientes en la expresión anterior y realizando lasmultiplicaciones matriciales, se obtiene la matriz de Kalman de orden 4 × 8, como semuestra a continuación:

Krc =

0 0 0 0 2Io

mk−2Iomk

0 0 2Iomk

−2Iomk

−2IoR1

mLo2IoR2

mLokLo

0 −k2R1

L2o

0 kLo

(k2R2

1

L2o− 4I2oLo

mk3

)4I2omk2

0 kLo

0 −k2R2

L2o

4I2omk2

kLo

(k2R2

2

L2o− 4I2oLo

mk3

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2IoR1

mLo2IoR2

mLo2kIoR2

1

mL2o

−2kIoR22

mL2o

− 1mkL4

o(mk5R3

1 − 8I2oL

3oR1) − 4I2o

mkLo(R1 +R2)

− 4I2omkLo

(R1 +R2) − 1mkL4

o(mk5R3

2 − 8I2oL

3oR2)

(5.3.2)

102


La matriz Krc en la expresión (5.3.2) tiene rango completo, es decir, contiene n columnaslinealmente independientes, las cuales se utilizan como una nueva base para el espacio deestado [47].

Las columnas linealmente independientes se emplean para construir una matriz Cr, den× n, invertible (rango completo). Una posible elección es la siguiente:

Cr1 =[br1 , Arbr1 , A2

rbr1 , br2]

La matriz anterior se construyó al seleccionar primero a br1 como su primera columnay, a partir de ésta, se seleccionaron otras que son linealmente independientes y la últimacolumna se deja para br2 . Las columnas que forman a Br se deben incluir en la construcciónde Cr1 porque por medio de ellas se puede inuenciar en la dinámica de la matriz Cr1mediante de las componentes de la entrada wr.

Ahora se procede a calcular los índices de Kronecker de la siguiente manera:

γ1 − 1 = 2 ⇒ γ1 = 3

γ2 − 1 = 0 ⇒ γ2 = 1

donde la suma de los índices de Kronecker γ1 + γ2 = 4 es igual al orden del sistema.

Sustituyendo las columnas linealmente independientes de (5.3.2) en la matriz Cr1 seobtiene,

Cr1 =

0 0 2Io

mk0

0 2Iomk

−2IoR1

mLo0

kLo−k2R1

L2o

kLo

(k2R2

1

L2o− 4I2oLo

mk3

)0

0 0 4I2omk2

kLo

(5.3.3)

Por lo tanto, el modelo lineal (5.3.1) es controlable y desde luego es plano diferencialmente.

Paso 2: Cálculo de la salida plana.

Una vez obtenida (o extraída) la matriz invertible Cr1 de Krc , se prosigue a calcularla salida plana del sistema (5.3.1) empleando la expresión (5.2.4). Para ello, sólo faltaconstruir la matriz ψ utilizando los índices de Kronecker γ1 y γ2.

Como los índices son γ1 = 3, γ2 = 1, la matriz ψ se construye de la siguiente manera:

ψ =

[0 0 1 00 0 0 1

]Ahora se puede realizar el cálculo de la salida plana del sistema linealizado del AMB,mediante la expresión (5.2.4), que por comodidad se cita a continuación:

103


F = ψC−1r1xr

donde

F =

[0 0 1 00 0 0 1

]2IoLok2

mk2R1

2IoLokLo

0mk2R1

2IoLomk2Io

0 0mk2Io

0 0 0

−2IoLok2

0 0 kLo

xrdesarrollando las operaciones matriciales se obtiene,

F =

[F1

F2

]=

[mk2I0xr1

−2I0L0

k2xr1 + L0

kxr4

]Pero las componentes de la salida pueden ser cualquier múltiplo de las variables del estadoxr1 y xr4 por lo que se pueden reescribirse de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[xr1

−xr1 + xr4

](5.3.4)

La salida plana calculada que se presenta en (5.3.4) no es única, ya que se puede obtenerotra matriz Cr2 invertible, con la cual se puede obtener otra salida plana que se muestraa continuación,

F =

[F1

F2

]=

[2I0L0

k2xr1 + L0

kxr3

−mk2I0xr1

]De igual manera, esta salida plana se puede reescribir de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[xr1 + xr3−xr1

](5.3.5)

Cualquiera de las dos salidas planas (5.3.4), (5.3.5) son válidas, ya que las matrices Cr1 yCr2 tienen inversa.

Por lo tanto, se elige la salida plana de la expresión (5.3.4) para llevar a cabo en el siguientepaso la parametrización de las variables del sistema (5.3.1).

Si se eligiera la expresión (5.3.5), se obtendría una parametrización opuesta con respectoa la parametrización mediante la expresión (5.3.4), que en realidad no se gana ni se pierdenada.

En el Anexo B se presenta el cálculo de la salida plana (5.3.5) y la parametrización de lasvariables del modelo linealizado del AMB.

104


Paso 3: Parametrización de las variables del AMB.

Una vez calculada la salida plana, se parametrizan las variables del sistema (5.3.1). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de laexpresión (5.3.4) de la siguiente manera:

xr1 = F1 (5.3.6)

De la segunda componente de la salida plana (5.3.4) se despeja la variable xr4 quedandoxr4 = xr1 + F2 y, sustituyendo (5.3.6) se tiene la parametrización,

xr4 = F1 + F2 (5.3.7)

Se sabe que xr1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (5.3.1) es xr1 = xr2 , entoncesderivando a F1 y sustituyendo se obtiene,

xr2 = F1 (5.3.8)

Para obtener la parametrización de xr3 , se tiene que despejar esta variable de la segundaecuación diferencial de (5.3.1) dada por:

xr2 =8I2

0L0

mk3xr1 +

2I0L0

mk2xr3 −

2I0L0

mk2xr4

despejando se tiene,

xr3 =mk2

2I0L0

(xr2 −

8I20L0

mk3xr1 +

2I0L0

mk2xr4

)se sustituyen a xr1 , xr2 y xr4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.6),(5.3.8) y (5.3.7), respectivamente, en la expresión anterior de manera que se obtiene,

xr3 =mk2

2I0L0

F1 −4I0

kF1 + F1 + F2

xr3 =mk2

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2 (5.3.9)

Ahora, sólo queda parametrizar las entradas de control. Primeramente, se va a despejarwr1 de la tercera ecuación diferencial de (5.3.1) dada por:

xr3 = −2I0

kxr2 −

kR1

L0

xr3 +k

L0

wr1

105



wr1 =L0

k

(xr3 +

2I0

kxr2 +

kR1

L0

xr3

)wr1 =

L0

kxr3 +

2I0L0

k2xr2 +R1xr3

Se sustituyen (5.3.8), (5.3.9) y xr3 = mk2

2I0L0

...F 1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2 en la expresión anterior,

para obtener la parametrización de wr1 en términos de las componentes de la salida planaF1 y F2, como se muestra a continuación:

wr1 =L0

k

(mk2

2I0L0

...F 1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2

)+

2I0L0

k2F1+R1

(mk2

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2

)desarrollando los términos,

wr1 =mk

2I0

...F 1 +

(1− 4I0

k

)L0

kF1 +

L0

kF2 +

2I0L0

k2F1 +

mk2R1

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)R1F1 +R1F2

factorizando términos,

wr1 =

(1− 4I0

k

)R1F1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF1 +

mk2R1

2I0L0

F1 +mk

2I0

...F 1 +R1F2 +

L0

kF2 (5.3.10)

De forma similar, se parametriza la entrada wr2 , primeramente despejándola de la cuartaecuación diferencial de (5.3.1) dada mediante,

xr4 =2I0

kxr2 −

kR2

L0

xr4 +k

L0

wr2


wr2 =L0

k

(xr4 −

2I0

kxr2 +

kR2

L0

xr4

)wr2 =

L0

kxr4 −

2I0L0

k2xr2 +R2xr4

Una vez despejada la entrada wr2 , se sustituyen (5.3.7), xr2 = F1 y xr4 = F1 + F2 en laexpresión anterior para obtener:

106


wr2 =L0

k

(F1 + F2

)− 2I0L0

k2F1 +R2 (F1 + F2)

desarrollando los términos,

wr2 =L0

kF1 +

L0

kF2 −

2I0L0

k2F1 +R2F1 +R2F2


wr2 = R2F1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF1 +R2F2 +

L0

kF2 (5.3.11)

Como ya se dijo en la Subsección 5.2.1 en el Paso 3, las expresiones (5.3.10), (5.3.11) soncontroladores de prealimentación. Las variables endógenas F1, F2 parametrizan a todaslas variables del sistema (5.3.1) y, además, como consecuencia de esta parametrización esla obtención de los controladores wr1 y wr2 que contienen información interna del sistema.

Ahora que ya se tiene parametrizado el vector de entrada wr del sistema AMB linealizado,se puede proponer un conjunto de curvas algebraicas para las variables del estado queconstituyen a las componentes de la salida plana (5.3.4), para obtener de esta manera loscontroladores prealimentados nominales.

Al permitir la parametrización diferencial mediante platitud diferencial, construir unconjunto de curvas algebraicas fuera de línea que servirá de señal de referencia, se estádando una solución elegante al problema de planeación de movimiento.

A continuación, en el siguiente paso, se proponen unas curvas algebraicas para las variablesque conforman a las componentes de la salida plana.

Paso 4: Proposición de las trayectorias nominales (curvas algebraicas) para lascomponentes de la salida plana.

La salida plana que se obtuvo en la expresión (5.3.4) tiene dos componentes, F1 = xr1 yF2 = −xr1 + xr4 . Cada componente está en función de la posición y de la combinaciónlineal de la posición y de una corriente, respectivamente.

De las componentes de la salida plana, F1 tiene signicado físico, pero F2 no lo tiene, yaque la salida plana es una combinación lineal de dos variables con unidades de medidadistintas. Debido a esto, se opta por proponer unas curvas algebraicas nominales, fuera delínea, para las variables de la posición y la corriente, que serán las entradas de referenciapara el sistema del AMB. De esta manera, se obtienen de forma inmediata las componentesnominales de la salida plana nominal como:

F ∗ =

[F ∗1F ∗2

]=

[x∗r1

−x∗r1 + x∗r4

](5.3.12)

107


Para el caso del sistema linealizado del rodamiento magnético en el eje horizontal h, seconstruyen curvas algebraicas para la posición y la corriente, denotadas como x∗r1 y x∗r4 ,respectivamente, mediante el uso de una curva de Bézier expresada en (2.2.18) en laSubsección 2.2.3 de Planeación de movimiento.

El objetivo de control para el sistema AMB es llevar un rotor de una posición inicial enreposo a una posición nal en reposo, este último es el centro del rodamiento magnético.Por lo tanto, la corriente inicial necesaria también estará en reposo e irá variando hastallegar a una corriente nal estable.

Las curvas de Bézier se diseñan acordes con la dinámica del AMB y el objetivo de control.Se construye un par de curvas algebraicas, una para x∗r1 y otra para x∗r4 , diseñadas parallevar la posición y la corriente, respectivamente, de un estado inicial en reposo a un estadonal en reposo. A este tipo de diseño se le denomina trayectoria rest to rest.

Con base en lo anterior se diseña una curva algebraica nominal para x∗r1 y otra para x∗r4que se muestra en la Figura 5.3.1:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10−5

Tiempo [s]

Pos

ició

n [m

]

Planeación de movimiento para x1

x*1

(a) Variable de la posición xr1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo [s]

Cor

rient

e [A

]

Planeación de movimiento para x4

x*4

(b) Variable de la corriente xr4

Figura 5.3.1 Planeación de movimiento.

En la Figura 5.3.1a se muestra el diseño de la curva de tipo Bézier que inicia en reposoen x∗r1(0,1) = 10 × 10−3m y naliza en reposo en la posición x∗r1(0,6) = 0m. De igualmanera, en la Figura 5.3.1b se muestra el diseño para la corriente, que inicia en reposo enx∗r4(0,1) = 0A y que naliza en reposo en x∗r4(0,6) = 0,6A.

Sustituyendo las componentes de la salida plana nominal (5.3.12) en las expresiones(5.3.10) y (5.3.11), se obtienen los controladores nominales que se muestra a continuación:

w∗r1 =

(1− 4I0

k

)R1F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R1

2I0L0

F ∗1 +mk

2I0

...F∗1 +R1F

∗2 +

L0

kF ∗2 (5.3.13)

108


w∗r2 = R2F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R2F

∗2 +

L0

kF ∗2 (5.3.14)

Los índices de Kronecker calculados previamente, indican una permutación o cambio deentrada. El primer índice γ1 = 3, señala, que en la primera componente de salida planacon tercera derivada,

...F∗1, en la expresión (5.3.13), se puede realizar un cambio de entrada.

De manera análoga, el segundo índice γ2 = 1, indica, que en la segunda componente dela salida plana con primera derivada, F ∗2 , en la expresión (5.3.14), se puede realizar uncambio de entrada. Estas nuevas entradas traducen al sistema en uno lineal y desacoplado.


Como el sistema que se está tratando tienes dos índices de Kronecker, γ1 = 3 y γ2 = 1,éstos se sustituyen en la expresión (2.2.19) para obtener:

...F∗1 = ν1

(5.3.15)

F ∗2 = ν2

Sustituyendo las nuevas entradas ν1, ν2 en las expresiones (5.3.13) y (5.3.14), respectiva-mente, se obtiene el nuevo sistema desacoplado cuyas salidas son las señales de control w∗r1y w∗r2 :

w∗r1=(

1− 4I0

k

)R1F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R1

2I0L0

F ∗1 +R1F∗2 +

L0

kF ∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+mk

2I0

ν1︸︷︷︸retroalimentacion

(5.3.16)

w∗r2 = R2F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R2F

∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

kν2︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.17)

Ahora queda diseñar los controladores retroalimentados que actuarán en las nuevasentradas ν1, ν2. En estas entradas pueden actuar controladores como Pasividad, Modosdeslizantes, Linealización por retroalimentación, diseño de Lyapunov, Control óptimo,Backstepping y el control GPI. Se eligen los controladores retroalimentados de tipo GPI(Controlador proporcional integral generalizado) porque evaden la necesidad de diseñarobservadores asintóticos, reconstruyendo estructuralmente el vector de estado basándoseúnicamente de las entradas y salidas disponibles del sistema.

Además, la parte integral introduce robustez con respecto a las perturbaciones y fallas.La ausencia del término derivativo es con el objeto de evitar enfatizar los picos que pueda

109


generar una perturbación o una falla en la señal de retroalimentación, evitando de estamanera, que el sistema se inestabilice.

La manera en como se lleva a cabo el diseño de los controladores GPI, permite compararcada salida con su entrada deseada respectiva del sistema y de sus derivadas sucesivas, demanera que el error tienda a cero, más una compensación integral del error, con el objetode mejorar el seguimiento de la trayectoria deseada.

En el contexto de platitud diferencial, se desea que las componentes de la salida plana alcompararse con sus respectivas trayectorias deseadas, así como de sus derivadas sucesivasconverjan a cero. De este modo el controlador GPI es adecuado para combinarlo con loscontroladores (5.3.16) y (5.3.17).

Como las componentes de la salida plana se constituyen por las variables xr1 y xr4 , sonfactibles de diseñar los controladores GPI con base en estas salidas y de sus referenciasdeseadas respectivas, ya que xr1 y xr4 son medibles. Ahora, la desviación entre cadatrayectoria medida y su referencia está dada por e1 = F1−F ∗1 y e2 = F2−F ∗2 que satisfacenlas ecuaciones diferenciales

...e 1 = ν1 − ν∗1 y e2 = ν2 − ν∗2 , respectivamente. El objetivo es

garantizar la convergencia a cero de e1, e2 y de sus derivadas sucesivas hasta un orden detres y uno, respectivamente.

Sustituyendo i = 1, 2, los índices γ1 = 3 y γ2 = 1 en la expresión general del controladorGPI en la expresión (5.2.10), se obtienen los controladores de la siguiente manera:

ν1 =...F∗1 − k10

(F1 − F ∗1

)− k11

(F1 − F ∗1

)− k12 (F1 − F ∗1 )− k13

ˆ(F1 − F ∗1 ) de (5.3.18)

ν2 = F ∗2 − k20 (F2 − F ∗2 )− k21

ˆ(F2 − F ∗2 ) de (5.3.19)

Se sabe que las componentes de la salida plana son F1 = xr1 , F2 = −xr1 +xr4 , se sustituyenen las expresiones (5.3.18), (5.3.19), respectivamente, obteniéndose:

ν1 =...F∗1−k10

(xr2 − F ∗1

)−k11

(xr2 − F ∗1

)−k12 (xr1 − F ∗1 )−k13

ˆ(xr1 − F ∗1 ) de (5.3.20)

ν2 = F ∗2 − k20 (−xr1 + xr4 − F ∗2 )− k21

ˆ(−xr1 + xr4 − F ∗2 ) de (5.3.21)

Los controladores retroalimentados (5.3.20), (5.3.21) tipo GPI se sustituyen en lasexpresiones (5.3.16), (5.3.17), respectivamente, para así obtener los controladores GPIbasados en el concepto de platitud diferencial para el sistema linealizado en el eje horizontalh.

110



Sustituyendo los errores de seguimiento e1 = F1 − F ∗1 y e2 = F2 − F ∗2 en las expresiones(5.3.18), (5.3.19) y derivando para cancelar las integrales, se obtienen las siguientesecuaciones diferenciales:

....e 1 + k10

...e 1 + k11e1 + k12e1 + k13e1 = 0 (5.3.22)

e2 + k20e2 + k21e2 = 0 (5.3.23)

Ahora, se llevan las ecuaciones diferenciales (5.3.22), (5.3.23) a la representación de espaciode estado, para obtener de esta manera, en forma matricial, la expresión dinámica del errorcomo sigue:

e1

e1...e 1....e i

=

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1k13 k12 k11 k10

e1

e2

e1...e 1

(5.3.24)

[e1

e1

]=

[0 1k21 k20

] [e1

e2

](5.3.25)

Las constantes de la última la de cada representación matricial son los coecientes de lasecuaciones diferenciales (5.3.22), (5.3.23).

Como las ecuaciones diferenciales (5.3.22), (5.3.23) son lineales con coecientes constantesy las condiciones iniciales son cero, se aplica la transformada de Laplace para obtener lospolinomios característicos del error de seguimiento en la variable compleja,

s4 + k10s3 + k11s

2 + k12s+ k13 = 0 (5.3.26)

s2 + k20s+ k21 = 0 (5.3.27)

Los coecientes de cada polinomio se seleccionan de manera que (5.3.26) y (5.3.27) debenser Hurwitz, es decir, las raíces de los polinomios yacen en el semiplano izquierdo del planocomplejo.

Una manera de colocar adecuadamente las raíces es mediante unos polinomios conocidos:

(s2 + 2ζωns+ ω2

n

)(m+ 1)2 = s4 + k10s

3 + k11s2 + k12s+ k13

s2 + 2ζωns+ ω2n = s2 + k20s+ k21

111


donde ζ, ωn > 0 son la razón de amortiguamiento dominante y la frecuencia naturaldeseada, respectivamente, m > 0 es un escalar. Se dice, que para satisfacer la condiciónde polos rápidos se debe satisfacer la condición m > ζωn [63].

De esta manera, seleccionando apropiadamente m, ζ, ωn para cada igualdad, se garantizala estabilidad del sistema y el seguimiento a la referencia deseada.

Sistema vertical v

El procedimiento para el sistema vertical es análogo al que se mostró anteriormente parael sistema horizontal. El sistema linealizado para el sistema vertical v básicamente es igualal sistema horizontal h, ya que el factor de la fuerza de gravedad g, al ser constante, sepierde al llevar a cabo la linealización robusta para dicho sistema.

La aproximación lineal del modelo matemático no lineal del rodamiento magnético sobre eleje vertical v, obtenida mediante la linealización por retroalimentación robusta, se muestraa continuación:

yr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R3 0

0 2kI0 0 − k

L0R4

yr +

0 00 0kLo

0

0 kLo

wr (5.3.28)

donde el sistema (5.3.28) tiene la forma yr = Aryr +Brwr, con yr ∈ R4 y wr ∈ R2.

A continuación se aplica la secuencia de pasos descrita en la Subsección 5.2.1 para el diseñode los controladores basados en platitud diferencial.


Para aplicar el concepto de platitud diferencial al sistema (5.3.28), primero se debe vericarque el sistema es controlable, construyendo la matriz de controlabilidad de Kalman.Entonces, la matriz de Kalman para el sistema (5.3.28) utilizando la expresión (5.2.2),es,


2rbr1 , A

2rbr2 , A

3rbr1 , A

3rbr2]

Sustituyendo las matrices correspondientes en la expresión anterior y realizando lasmultiplicaciones matriciales, se obtiene la misma matriz de Kalman Krc , de orden 4 × 8,como la expresión (5.3.2). De igual manera, tiene rango completo, es decir, contiene ncolumnas linealmente independientes, las cuales se emplean como una nueva base para elespacio de estado.

Las columnas linealmente independientes de Krc se emplean para construir una matriz Cr,de n× n, invertible (rango completo). Una posible elección es la siguiente:

112


Cr1 =[br1 , Arbr1 , A2

rbr1 , br2]

La matriz anterior se construyó de manera análoga como se realizó para el sistemahorizontal. Ahora se procede a calcular los índices de Kronecker de la siguiente manera:

γ1 − 1 = 2 ⇒ γ1 = 3

γ2 − 1 = 0 ⇒ γ2 = 1


Al sustituir las columnas linealmente independientes de Krc en la matriz Cr1 , se obtienela misma matriz (5.3.3). De igual manera, el modelo lineal (5.3.28) es controlable y desdeluego es plano diferencialmente.

Paso 2: Cálculo de la salida plana.

Una vez obtenida (o extraída) la matriz invertible Cr1 de Krc , se prosigue a calcularla salida plana del sistema (5.3.28) empleando la expresión (5.2.4). Para ello, sólo faltaconstruir la matriz ψ utilizando los índices de Kronecker γ1 y γ2.


ψ =

[0 0 1 00 0 0 1


F = ψC−1r1yr

donde

F =

[0 0 1 00 0 0 1

]2IoLok2

mk2R3

2IoLokLo

0mk2R3

2IoLomk2Io

0 0mk2Io

0 0 0

−2IoLok2

0 0 kLo

yrdesarrollando las operaciones matriciales se obtiene,

F =

[F1

F2

]=

[mk2I0yr1

−2I0L0

k2yr1 + L0

kyr4

]113


Pero las componentes de la salida pueden ser cualquier múltiplo de las variables del estadoyr1 y yr4 por lo que se pueden reescribirse de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[yr1

−yr1 + yr4

](5.3.29)

De igual forma, la salida plana calculada que se presenta en (equation (5.3.29)) no esúnica, ya que se puede obtener otra matriz Cr2 invertible, con la cual se puede obtenerotra salida plana que se muestra a continuación,

F =

[F1

F2

]=

[2I0L0

k2yr1 + L0

kyr3

−mk2I0yr1

]De igual manera, esta salida plana se puede reescribir de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[yr1 + yr3−yr1

](5.3.30)

Cualquiera de las dos salidas planas (5.3.29), (5.3.30), son válidas ya que las matrices Cr1y Cr2 tienen inversa.

Por lo tanto, se elige la salida plana de la expresión (5.3.29) para llevar a cabo en elsiguiente paso la parametrización de las variables del sistema (5.3.28).

Si se eligiera la expresión (5.3.30), se obtendría una parametrización opuesta con respectoa la parametrización mediante la expresión (5.3.29), que en realidad no se gana ni se pierdenada.

En el Anexo B se presenta el cálculo de la salida plana (5.3.30) y la parametrización delas variables del modelo linealizado del AMB.

Paso 3: Parametrización de las variables del AMB.

Una vez calculada la salida plana, se parametrizan las variables del sistema (5.3.28). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de laexpresión (5.3.29) de la siguiente manera:

yr1 = F1 (5.3.31)

De la segunda componente de la salida plana (5.3.29) se despeja la variable yr4 quedandoyr4 = yr1 + F2 y, sustituyendo en (5.3.31) se tiene la parametrización:

yr4 = F1 + F2 (5.3.32)

Se sabe que yr1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (5.3.28) es yr1 = yr2 , entoncesderivando a F1 y sustituyendo se obtiene,

114


yr2 = F1 (5.3.33)

Para obtener la parametrización de yr3 , se tiene que despejar esta variable de la segundaecuación diferencial de (5.3.28) dada por:

yr2 =8I2

0L0

mk3yr1 +

2I0L0

mk2yr3 −

2I0L0

mk2yr4


yr3 =mk2

2I0L0

(yr2 −

8I20L0

mk3yr1 +

2I0L0

mk2yr4

)se sustituyen a yr1 , yr2 y yr4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.31),(5.3.33) y (5.3.32), respectivamente, en la expresión anterior de manera que se obtiene,

yr3 =mk2

2I0L0

F1 −4I0

kF1 + F1 + F2

yr3 =mk2

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2 (5.3.34)

Ahora, sólo queda parametrizar las entradas de control. Primeramente, se va a despejarwr3 de la tercera ecuación diferencial de (5.3.28) dada por:

yr3 = −2I0

kyr2 −

kR3

L0

yr3 +k

L0

wr3


wr3 =L0

k

(yr3 +

2I0

kyr2 +

kR3

L0

yr3

)wr3 =

L0

kyr3 +

2I0L0

k2yr2 +R3yr3

Se sustituyen (5.3.33), (5.3.34) y yr3 = mk2

2I0L0

...F 1 +

(1− 4I0

k



wr3 =L0

k

(mk2

2I0L0

...F 1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2

)+

2I0L0

k2F1+R3

(mk2

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)F1 + F2

)115



wr3 =mk

2I0

...F 1 +

(1− 4I0

k

)L0

kF1 +

L0

kF2 +

2I0L0

k2F1 +

mk2R3

2I0L0

F1 +

(1− 4I0

k

)R3F1 +R3F2


wr3 =

(1− 4I0

k

)R3F1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF1 +

mk2R3

2I0L0

F1 +mk

2I0

...F 1 +R3F2 +

L0

kF2 (5.3.35)

De forma similar, se parametriza la entrada wr4 , primeramente despejándola de la cuartaecuación diferencial de (5.3.28) dada mediante,

yr4 =2I0

kyr2 −

kR4

L0

yr4 +k

L0

wr4


wr4 =L0

k

(yr4 −

2I0

kyr2 +

kR4

L0

yr4

)wr4 =

L0

kyr4 −

2I0L0

k2yr2 +R4yr4

Una vez despejada la entrada wr4 , se sustituyen (5.3.32), yr2 = F1 y yr4 = F1 + F2 en laexpresión anterior para obtener:

wr4 =L0

k

(F1 + F2

)− 2I0L0

k2F1 +R4 (F1 + F2)


wr4 =L0

kF1 +

L0

kF2 −

2I0L0

k2F1 +R4F1 +R4F2


wr4 = R4F1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF1 +R4F2 +

L0

kF2 (5.3.36)

Como ya se dijo en la Subsección 5.2.1 en el Paso 3, las expresiones (5.3.35), (5.3.36) soncontroladores de prealimentación. Las variables endógenas F1, F2 parametrizan a todas

116


las variables del sistema (5.3.28) y, además, como consecuencia de esta parametrización esla obtención de los controladores wr3 y wr4 que contienen información interna del sistema.

Ahora que ya se tiene parametrizado el vector de entrada wr del sistema AMB linealizado,se puede proponer un conjunto de curvas algebraicas para las variables del estado queconstituyen a las componentes de la salida plana (5.3.29), para obtener de esta manera loscontroladores prealimentados nominales.

Al permitir la parametrización diferencial mediante platitud diferencial, construir unconjunto de curvas algebraicas fuera de línea que servirá de señal de referencia, se estádando una solución elegante al problema de planeación de movimiento.

A continuación, en el siguiente paso, se proponen unas curvas algebraicas para las variablesque conforman a las componentes de la salida plana.


La salida plana que se obtuvo en la expresión (5.3.29) tiene dos componentes, F1 = yr1y F2 = −yr1 + yr4 . Cada componente está en función de la posición y de la combinaciónlineal de la posición y de una corriente, respectivamente.

De las componentes de la salida plana, F1 tiene signicado físico, pero F2 no lo tiene, yaque la salida plana es una combinación lineal de dos variables con unidades de medidadistintas. Debido a esto, se opta por proponer unas curvas algebraicas nominales, fuera delínea, para las variables de la posición y la corriente, que serán las entradas de referenciapara el sistema del AMB. De esta manera, se obtienen de forma inmediata las componentesnominales de la salida plana nominal como:

F ∗ =

[F ∗1F ∗2

]=

[y∗r1

−y∗r1 + y∗r4

](5.3.37)

Para el caso del sistema linealizado del rodamiento magnético en el eje vertical v, seconstruye curvas algebraicas para la posición y la corriente, denotados como y∗r1 y y∗r4 ,respectivamente, mediante el uso de una curva de Bézier expresada en (2.2.18) en laSubsección 2.2.3 de Planeación de movimiento.

El objetivo de control para el sistema AMB es llevar un rotor de una posición inicial enreposo a una posición nal en reposo, este último es el centro del rodamiento magnético.Por lo tanto, la corriente inicial necesaria también estará en reposo e irá variando hastallegar a una corriente nal estable.

Las curvas de Bézier se diseñan acordes con la dinámica del AMB y el objetivo de control.Se construyen un par de curvas algebraicas, una para y∗r1 y otra para y∗r4 , diseñadas parallevar la posición y la corriente, respectivamente, de un estado inicial en reposo a un estadonal en reposo. A este tipo de diseño se le denomina trayectoria rest to rest.

Con base en lo anterior se diseña una curva algebraica nominal para y∗r1 y otra para y∗r4que se muestra en la Figura 5.3.2:

117


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−10

−8

−6

−4

−2

0

x 10−5

Tiempo [s]

Pos

ició

n [m

]

Planeación de movimiento para y1

y*1

(a) Variable de la posición yr1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo [s]

Cor

rient

e [A

]

Planeación de movimiento para y4

y*4

(b) Variable de la corriente yr4

Figura 5.3.2 Planeación de movimiento.

En la Figura 5.3.2a se muestra el diseño de la curva de tipo Bézier que inicia en reposoen y∗r1(0,1) = −10 × 10−3m y naliza en reposo en la posición y∗r1(0,6) = 0m. De igualmanera, en la Figura 5.3.2b se muestra el diseño para la corriente, que inicia en reposo enx∗r4(0,1) = 0A y que naliza en reposo en x∗r4(0,6) = 0,6A.

Sustituyendo las componentes de la salida plana nominal (5.3.37) en las expresiones(5.3.35) y (5.3.36), se obtienen los controladores nominales que se muestra a continuación:

w∗r3 =

(1− 4I0

k

)R3F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R3

2I0L0

F ∗1 +mk

2I0

...F∗1 +R3F

∗2 +

L0

kF ∗2 (5.3.38)

w∗r4 = R4F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R4F

∗2 +

L0

kF ∗2 (5.3.39)

Los índices de Kronecker calculados previamente, indican una permutación o cambio deentrada. El primer índice γ1 = 3, señala, que en la primera componente de salida planacon tercera derivada,

...F∗1, en la expresión (5.3.38), se puede realizar un cambio de entrada.

De manera análoga, el segundo índice γ2 = 1, indica, que en la segunda componente dela salida plana con primera derivada, F ∗2 , en la expresión (5.3.39), se puede realizar uncambio de entrada. Estas nuevas entradas traducen al sistema en uno lineal y desacoplado.


Como el sistema que se está tratando tienes dos índices de Kronecker, γ1 = 3 y γ2 = 1,éstos se sustituyen en la expresión (2.2.19) para obtener:

...F∗1 = ν3

(5.3.40)

F ∗2 = ν4

118


Sustituyendo las nuevas entradas ν3, ν4 en las expresiones (5.3.38) y (5.3.39), respectiva-mente, se obtiene el nuevo sistema desacoplado cuyas salidas son las señales de control w∗r3y w∗r4 :

w∗r3=(

1− 4I0

k

)R3F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R1

2I0L0

F ∗1 +R3F∗2 +

L0

kF ∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+mk

2I0


(5.3.41)

w∗r4 = R4F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R4F

∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

kν4︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.42)

Ahora queda diseñar los controladores retroalimentados que actuarán en las nuevasentradas ν3, ν4. De igual manera, en las entradas pueden actuar controladorescomo Pasividad, Modos deslizantes, Linealización por retroalimentación, diseño deLyapunov, Control óptimo, Backstepping y el control GPI. Se eligen los controladoresretroalimentados de tipo GPI (Controlador proporcional integral generalizado) porqueevaden la necesidad de diseñar observadores asintóticos, reconstruyendo estructuralmenteel vector de estado basándose únicamente de las entradas y salidas disponibles del sistema.

Además, la parte integral introduce robustez con respecto a las perturbaciones y fallas.La ausencia del término derivativo es con el objeto de evitar enfatizar los picos que puedagenerar una perturbación o una falla en la señal de retroalimentación, evitando de estamanera, que el sistema se inestabilice.

La manera en como se lleva a cabo el diseño de los controladores GPI, permite compararcada salida con su entrada deseada respectiva del sistema y de sus derivadas sucesivas, demanera que el error tienda a cero, más una compensación integral del error, con el objetode mejorar el seguimiento de la trayectoria deseada.

En el contexto de platitud diferencial, se desea que las componentes de la salida plana alcompararse con sus respectivas trayectorias deseadas, así como de sus derivadas sucesivasconverjan a cero. De este modo el controlador GPI es adecuado para combinarlo con loscontroladores (5.3.41) y (5.3.42).

Como las componentes de la salida plana se constituyen por las variables yr1 y yr4 , sonfactibles diseñar los controladores GPI con base en estas salidas y de sus referenciasdeseadas respectivas, ya que yr1 y yr4 son medibles. Ahora, la desviación entre cadatrayectoria medida y su referencia está dada por e1 = F1 − F ∗1 y e2 = F2 − F ∗2 quesatisfacen las ecuaciones diferenciales

...e 1 = ν3 − ν∗3 y e2 = ν4 − ν∗4 , respectivamente. El

objetivo es garantizar la convergencia a cero de e1, e2 y de sus derivadas sucesivas hastaun orden de tres y uno, respectivamente.

Sustituyendo i = 3, 4, los índices γ1 = 3 y γ2 = 1 en la expresión general del controladorGPI en la expresión (5.2.10), se obtienen los controladores de la siguiente manera:

119


ν3 =...F∗1 − k30

(F1 − F ∗1

)− k31

(F1 − F ∗1

)− k32 (F1 − F ∗1 )− k33

ˆ(F1 − F ∗1 ) de (5.3.43)

ν4 = F ∗2 − k40 (F2 − F ∗2 )− k41

ˆ(F2 − F ∗2 ) de (5.3.44)

Se sabe que las componentes de la salida plana son F1 = yr1 , F2 = −yr1 +yr4 , se sustituyenen las expresiones (5.3.43), (5.3.44), respectivamente, obteniéndose:

ν3 =...F∗1−k30

(yr2 − F ∗1

)−k31

(yr2 − F ∗1

)−k32 (yr1 − F ∗1 )−k33

ˆ(yr1 − F ∗1 ) de (5.3.45)

ν4 = F ∗2 − k40 (−yr1 + yr4 − F ∗2 )− k41

ˆ(−yr1 + yr4 − F ∗2 ) de (5.3.46)

Los controladores retroalimentados (5.3.45), (5.3.46) tipo GPI se sustituyen en lasexpresiones (5.3.41), (5.3.42), respectivamente, para así obtener los controladores GPIbasados en el concepto de platitud diferencial para el sistema linealizado en el eje verticalv.



....e 1 + k30

...e 1 + k31e1 + k32e1 + k33e1 = 0 (5.3.47)

e2 + k40e2 + k41e2 = 0 (5.3.48)


e1

e1...e 1....e i

=

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1k33 k32 k31 k30

e1

e2

e1...e 1

(5.3.49)

[e1

e1

]=

[0 1k41 k40

] [e1

e2

](5.3.50)

120




s4 + k30s3 + k31s

2 + k32s+ k33 = 0 (5.3.51)

s2 + k40s+ k41 = 0 (5.3.52)


Una manera de colocar adecuadamente las raíces es mediante la proposición de unospolinomios conocidos:

(s2 + 2ζωns+ ω2

n

)(m+ 1)2 = s4 + k30s

3 + k31s2 + k32s+ k33

s2 + 2ζωns+ ω2n = s2 + k40s+ k41


De esta manera, seleccionando apropiadamente m, ζ, ωn para cada igualdad, se asegurala estabilidad del sistema y el seguimiento a la referencia deseada.


En la sección 3.7 del Capítulo 3, se obtuvo el modelo no lineal del rodamiento magnéticode cuatro polos. A este modelo no lineal se le va a proponer una salida plana y poste-riormente se le diseñará su controlador basado en platitud diferencial. Aquí se aplican lospasos que se describieron en la Subsección 5.2.2.


Considere el sistema no lineal multivariable del rodamiento magnético descrito de lasiguiente manera:

121


x1

x2

x3

x4

=

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+1

Lo

0 00 0

k − 2x1 00 k + 2x1

[ u1

u2

](5.3.53)

Para vericar que el sistema (5.3.53) es plano diferencialmente, primero se requiereproponer un conjunto de variables, de tal manera que satisfaga las condiciones de laDenición 2.1 de la Subsección 2.1.1. Una vez satisfecha la denición, el conjunto devariables propuesto calica como salida plana.



En el trabajo de Lévine en [13], se propuso un conjunto de variables que calica comosalida plana para el rodamiento magnético. La proposición está basada en el objetivode control, que es llevar un rotor de una posición inicial a una posición nal y, además,diseñar el controlador mediante la condición complementaria y cuasi complementaria parasu comparación posterior.

La salida plana propuesta por Lévine, es el conjunto de variables conformadas por laposición del centro de masa del rotor y la raíz cuadrada de la aceleración. Se propusola posición del centro de masa del rotor porque se quiere controlar su traslado hacia elcentro del rodamiento magnético. La segunda componente de la salida plana, la cual es laraíz cuadrada de la aceleración, se propuso con la nalidad de diseñar el controladormediante las condiciones complementaria y cuasi complementaria, permitiendo que lacorriente conmute en cada electroimán, de manera que trabaje uno a la vez y así evitar elcalentamiento del rodamiento.

En esta tesis, el objetivo general es usar la estrategia de planeación de movimiento yseguimiento de trayectoria para el diseño de controladores basado en el concepto deplatitud diferencial para un rodamiento magnético de cuatro polos. Quizás, la ventajamás importante de platitud diferencial es, poder emplear la estrategia de planeaciónde movimiento que permite construir una curva algebraica fuera de línea. Además, sepuede combinar con otras estrategias de control mencionadas anteriormente para lograr elseguimiento de dicha curva algebraica.

Básicamente se desea tener el dominio del comportamiento del centro de masa del rotora lo largo de una trayectoria (curva algebraica) dada admisible. Por lo que se elige comoprimera componente de la salida plana, x1, la posición del centro de masa del rotor. Ahora,sólo resta proponer la segunda componente, en este caso se elige la variable x3 del modelo(5.3.53), ya que se desea controlar la corriente de un electroimán.

La proposición para la salida plana es la siguiente:

122


F =

[F1

F2

]=

[x1

x3

](5.3.54)

En el trabajo de Lévine ya se demostró que la posición del centro de masa del rotor esuna componente de la salida plana. Ahora, se está proponiendo una segunda componente,la variable x3, la corriente. Sólo resta vericar que la segunda variable calique como unacomponente de la salida plana.

La primera condición de la Denición 2.1 está satisfecha, ya que las variables x1 y x3 nodependen entre ellas, por lo que son independientes y sus derivadas sucesivas en el tiempotambién lo son. Además que no satisfacen ecuación diferencial alguna.

La segunda condición también está satisfecha, porque las componentes de la salida planadependen de x1, x3 que son variables del vector del estado.

Queda corroborar la última condición, vericar que el vector del estado y el vector deentrada de control se puedan expresar como funciones de las componentes de F , la salidaplana. En el siguiente paso se verica esta condición.


Ahora, sólo queda vericar que (5.3.54) parametriza las variables del sistema (5.3.53). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de lasalida plana de la siguiente manera:

x1 = F1 (5.3.55)

De igual manera, la segunda parametrización se obtiene de forma inmediata de la segundacomponente de (5.3.54),

x3 = F2 (5.3.56)

Se sabe que x1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (5.3.53) es x1 = x2, entonces,derivando a F1 y sustituyendo se obtiene:

x2 = F1 (5.3.57)

Queda parametrizar la variable x4, para ello, primeramente, se tiene que despejar de lasegunda ecuación diferencial del sistema (5.3.53) dada :

x2 =L0

m

((x3 + I0)2

(k − 2x1)2 −(x4 + I0)2

(k + 2x1)2

)

Sustituyendo a x1, x2 y x3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.55),(5.3.57) y (5.3.56), respectivamente, y despejado a x4 se obtiene:

123


0 =(F2 + I0)2

(k − 2F1)2 −(x4 + I0)2

(k + 2F1)2 −m

L0

F1

(x4 + I0)2 =(k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2 F1

x4 =

((k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2 F1

)1/2

− I0 (5.3.58)

La expresión (5.3.58) es la parametrización de x4.

Ahora, sólo resta parametrizar las entradas de control. Primeramente, se despeja u1 de latercera ecuación diferencial de (5.3.53) dada por:

x3 = −R1

L0

(k − 2x1)x3 −2x2 (x3 + I0)

(k − 2x1)+

(k − 2x1)

L0

u1

Sustituyendo a x1, x2 y x3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.55),(5.3.57) y (5.3.56), respectivamente, y despejado a u1 se obtiene:

(k − 2F1)

L0

u1 = F2 +R1

L0

(k − 2F1)F2 +2F1 (F2 + I0)

(k − 2F1)

u1 =L0

(k − 2F1)F2 +R1F2 +

2I0F1 (F2 + I0)

(k − 2F1)2 (5.3.59)

De forma similar, se parametriza la entrada u2, primeramente, se despeja de la cuartaecuación diferencial de (5.3.53) dada mediante:

x4 = −R2

Lo(k + 2x1)x4 + 2x2

x4 + Iok + 2x1

+(k + 2x1)

L0

u2

Sustituyendo a x1, x2 y x3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.55),(5.3.57) y (5.3.56), respectivamente, y despejado a u2 se obtiene:

(k + 2F1)

L0

u2 = x4 +R2

Lo(k + 2F1)x4 − 2F1

(x4 + Io)

(k + 2F1)2

u2 =L0

(k + 2F1)x4 +R2x4 − 2L0F1

x4 + Io

(k + 2F1)2

124


u2 =L0

(k + 2F1)x4 +R2x4 −

2L0F1

(k + 2F1)2x4 −2IoL0F1

(k + 2F1)2

u2 =L0

(k + 2F1)x4 +

(R2 −

2L0F1

(k + 2F1)2

)x4 −

2IoL0F1

(k + 2F1)2 (5.3.60)

Observe que en la expresión (5.3.60) se necesita sustituir la parametrización de x4, asícomo su primera derivada, x4. Por lo tanto, se desarrolla la primera derivada de x4.

Derivando la parametrización de x4 se obtiene:

x4 =

((k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2 F1

)− 12

(σ1 + σ2 + σ3)

donde:

σ1 =2 (k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0) F2

σ2 = (F2 + I0)2 4 (k − 2F1)2 (k + 2F1) F1 + 4 (k + 2F1)2 (k − 2F1) F1

(k − 2F1)4

σ3 = −mL0

(k + 2F1)2 ...F 1 −

4m

L0

(k + 2F1) F1F1

simplicando:

x4 =1

2 (x4 + I0)

2(k + 2F1)2

(k − 2F1)2(F2 + I0) F2 + σ4 −

m

L0

(k + 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k + 2F1) F1F1

(5.3.61)

donde:

σ4 = (F2 + I0)2

(4 (k + 2F1) F1

(k − 2F1)2 +4 (k + 2F1)2 F1

(k − 2F1)3

)

Para obtener la parametrización de u2 sólo hay que sustituir las expresiones (5.3.58),(5.3.61) en (5.3.60). Así, se obtiene lo siguiente:

u2 =1

2(x4 + I0)

(µ1F2 + µ2F1 − µ3

...F 1 − µ4F1F2

)+ µ5x4 − µ6F1 (5.3.62)

125


donde µ1 = 2L0(k+2F1)(k−2F1)2

(F2 + I0), µ2 = (F2 + I0)2(

4L0

(k−2F1)2+ 4L0(k+2F1)

(k−2F1)3

),

µ3 = m (k + 2F1), µ4 = 4m, µ5 =(R2 − 2L0F1

(k+2F1)2

)y µ6 = 2L0I0

(k+2F1).

Con la parametrización completa de las variables del vector del estado y del vector deentrada, se satisface la tercera condición de la Denición 2.1. Por lo tanto, la proposiciónde la expresión (5.3.54) calica como salida plana.

Las expresiones (5.3.59), (5.3.62) son los controladores de prealimentación. Observe quela parametrización diferencial permite obtener de manera inmediata los controladores u1

y u2 que contienen información interna del sistema.

Como ya se tiene la parametrización diferencial de las entradas de control, se puedeproponer un par de curvas algebraicas para las componentes de la salida plana (5.3.54),con el n de obtener los controladores prealimentados nominales.

La parametrización que proporciona platitud diferencial, permite construir fuera de líneaun par de curvas algebraicas para F1 y F2 que serán las señales de referencia. De estamanera, se está dando una solución elegante al problema de planeación de movimiento.

Otra propuesta de un conjunto de variables que calica como salida plana es x1, x4. En elAnexo C se presenta la comprobación que dichas variables son salidas planas.

A continuación, en el siguiente paso, se proponen unas curvas algebraicas para lascomponentes de la salida plana.


El conjunto de variables (5.3.54), que calicó como salida plana, tiene dos componentes.Estas componentes poseen signicado físico. Se construyen un par de curvas algebraicas,fuera de línea, para las variables de la posición y la corriente, que serán las entradasde referencias nominales para el sistema (5.3.54). De esta manera, se obtienen de formainmediata las componentes nominales de la salida plana nominal como:

F ∗ =

[F ∗1F ∗2

]=

[x∗1x∗3

](5.3.63)

Se construye el par de curvas algebraicas mediante el uso de una curva de Bézier expresadaen (2.2.18) en la Subsección 2.2.3 de Planeación de movimiento. Las curvas de Bézierde construyen acordes con la dinámica del AMB y el objetivo de control. Las curvasalgebraicas x∗1, x

∗3 están diseñadas para llevar la posición y la corriente, respectivamente,

de un estado inicial en reposo a un estado nal en reposo. A este tipo de diseño se ledenomina trayectoria rest to rest.

Las curvas algebraicas que se diseñaron para el sistema linealizado horizontal h, tambiénse ocupan para x∗1, x

∗3 para establecer referencias nominales. El diseño de las curvas

algebraicas se muestra en la Figura 5.3.1.

126


Ahora, sustituyendo las componentes de la salida nominal (5.3.63) en las expresiones(5.3.59), (5.3.62), se obtienen los controladores nominales que se muestra a continuación:

u∗1 =L0

(k − 2F ∗1 )F ∗2 +R1F

∗2 +

2I0F∗1 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2 (5.3.64)

u∗2 =1

2(x∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ3

...F∗1 − µ4F

∗1 F∗2

)+ µ5x

∗4 − µ6F

∗1 (5.3.65)

donde

x∗4 =

((k + 2F ∗1 )2

(k − 2F ∗1 )2 (F ∗2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F ∗1 )2 F ∗1

)1/2

− I0

Los grados relativos que se calcularon en el Capítulo 4, indican el número de veces quese derivó cada componente del vector de salida λ(x) = [x1 x3]T , para que aparecieran deforma explícita las componentes del vector de entrada. Su suma es r1 + r2 = 4, igual alorden del sistema. El primer grado relativo r1 = 3, señala, que en la primera componentede la salida plana con tercera derivada,

...F∗1, en la expresión (5.3.65), se puede realizar un

cambio de entrada. De forma similar, el segundo grado relativo r2 = 1, indica, que en lasegunda componente de la salida plana con primera derivada, F ∗2 , en la expresión (5.3.64),se puede realizar un cambio de entrada. Estas nuevas entradas traducen al sistema en unolineal y desacoplado.


Como el sistema que se está tratando tiene dos grados relativos, r1 = 3, r2 = 1, éstos sesustituyen en la expresión (2.4.9) para obtener:

...F∗1 = νn1

(5.3.66)

F ∗2 = νn2

donde νn1 , νn2 son las nuevas entradas del sistema lineal controlable equivalente medianteuna retroalimentación dinámica endógena y un cambio de coordenadas (Denición 2.11).Estas entradas transforman al sistema en uno lineal y desacoplado.

Sustituyendo las nuevas entradas νn1 , νn2 en las expresiones (5.3.64), (5.3.65), respectiva-mente, se obtiene el nuevo sistema desacoplado, cuya salida son las señales de control u∗1y u∗2:

u∗1 =2L0 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2 F ∗1 +R1F∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

(k − 2F ∗1 )νn1︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.67)

127


u∗2 =1

2 (x∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ4F

∗1 F∗2

)+ µ5x

∗4 − µ6F

∗1︸︷︷︸

prealimentacion

− 1

2 (x∗4 + I0)µ3 νn2︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.68)

Ahora resta diseñar los controladores retroalimentados que actuarán en las nuevas entradasνn1 , νn2 . Existen diversas técnicas que se pueden combinar con los controladores nominalesu∗1 y u∗2 como se mencionó anteriormente. De todas esas posibilidades se eligió a loscontroladores GPI (controlador proporcional integral generalizado) porque evaden lanecesidad de diseñar observadores asintóticos, y reconstruyen estructuralmente el vectorde estado basándose únicamente de las entradas y salidas disponibles del sistema.

Además, la parte integral introduce robustez con respecto a las perturbaciones y fallas.La ausencia del término derivativo es con el objeto de evitar enfatizar los picos que puedagenerar una perturbación o una falla en la señal de retroalimentación, evitando de estamanera, que el sistema se inestabilice.

La manera en como se diseñan los controladores GPI, permite comparar cada salidamedible con su entrada deseada respectiva del sistema, así como sus derivadas sucesivas deesa comparación, de manera que cada salida converge asintóticamente exponencialmentea sus respectivas referencias.

Las componentes de la salida plana, x1, x3 son medibles, por lo que es posible diseñarlos controladores GPI. Ahora, la desviación entre cada trayectoria medida y su referenciaestá dada por e1 = F1 − F ∗1 y e2 = F2 − F ∗2 que satisfacen las ecuaciones diferenciales...e 1 = νn1−ν∗n1

y e2 = νn2−ν∗n2, respectivamente. El objetivo es garantizar la convergencia

a cero de e1, e2 y de sus derivadas sucesivas hasta un orden de tres y uno, respectivamente.

Sustituyendo i = 1, 2, los índices r1 = 3 y r2 = 1 en la expresión general del controladorGPI en la expresión (5.2.19), se obtienen los controladores de la siguiente manera:

νn1 = F ∗2 − k10 (F2 − F ∗2 )− k11

ˆ(F2 − F ∗2 ) de (5.3.69)

νn2 =...F∗1− k20

(F1 − F ∗1

)− k21

(F1 − F ∗1

)− k22 (F1 − F ∗1 )− k23

ˆ(F1 − F ∗1 ) de (5.3.70)

Se sabe que las componentes de la salida plana son F1 = x1, F2 = x3, se sustituyen en lasexpresiones (5.3.70), (5.3.69), respectivamente, obteniéndose:

νn1 = F ∗2 − k10 (x3 − F ∗2 )− k11

ˆ(x3 − F ∗2 ) de (5.3.71)

νn2 =...F∗1 − k20

(x2 − F ∗1

)− k21

(x2 − F ∗1

)− k22 (x1 − F ∗1 )− k23

ˆ(x1 − F ∗1 ) de (5.3.72)

128


Los controladores retroalimentados (5.3.71), (5.3.72) tipo GPI se sustituyen en lasexpresiones (5.3.67), (5.3.68), para así obtener los controladores GPI basados en elconcepto de platitud diferencial para el sistema no lineal en el eje horizontal h.



e2 + k10e2 + k11e2 = 0 (5.3.73)

....e 1 + k20

...e 1 + k21e1 + k22e1 + k23e1 = 0 (5.3.74)


[e1

e1

]=

[0 1k11 k10

] [e1

e2

](5.3.75)

e1

e1...e 1....e i

=

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1k23 k22 k21 k20

e1

e2

e1...e 1

(5.3.76)



s2 + k10s+ k11 = 0 (5.3.77)

s4 + k20s3 + k21s

2 + k22s+ k23 = 0 (5.3.78)



129


s2 + 2ζωns+ ω2n = s2 + k10s+ k11

(s2 + 2ζωns+ ω2

n

)(m+ 1)2 = s4 + k20s

3 + k21s2 + k22s+ k23



Sistema vertical v

El procedimiento para el sistema no lineal vertical es análogo al que se mostróanteriormente para el sistema no lineal horizontal.


y1

y2

y3

y4

=

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+1

Lo

0 00 0

k − 2y1 00 k + 2y1

[ u3

u4

]

(5.3.79)

Para vericar que el sistema (5.3.79) es plano diferencialmente, primero se requiereproponer un conjunto de variables, de tal manera que satisfaga las condiciones de laDenición 2.1 de la Subsección 2.1.1. Una vez satisfecha la denición, el conjunto devariables propuesto calica como salida plana.



Se inspiró en el trabajo de Lévine en [13] para proponer un conjunto de variables quecalique como salida plana, los motivos se exponen en el Paso 1 del sistema no linealhorizontal h.


F =

[F1

F2

]=

[y1

y3

](5.3.80)

130


De igual manera, en el trabajo de Lévine ya se demostró que la posición del centro de masadel rotor es una componente de la salida plana. Ahora, se está proponiendo una segundacomponente, la variable y3, la corriente. Sólo resta que vericar que la segunda variablecalique como una componente de la salida plana.

La primera condición de la Denición 2.1 está satisfecha, ya que las variables y1 y y3 nodependen entre ellas, por lo que son independientes y sus derivadas sucesivas en el tiempotambién lo son. Además que no satisfacen ecuación diferencial alguna.

La segunda condición también está satisfecha, porque las componentes de la salida planadependen de y1, y3 que son variables del vector del estado.

Queda corroborar la última condición, vericar que el vector del estado y el vector deentrada de control se puedan expresar como funciones de las componentes de F , la salidaplana. En el siguiente paso se verica esta condición.


Ahora, sólo queda vericar que (5.3.80) parametriza las variables del sistema (5.3.79). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de lasalida plana de la siguiente manera:

y1 = F1 (5.3.81)

De igual manera, la segunda parametrización se obtiene de forma inmediata de la segundacomponente de (5.3.80),

y3 = F2 (5.3.82)

Se sabe que y1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (5.3.79) es y1 = y2, entonces,derivando a F1 y sustituyendo se obtiene:

y2 = F1 (5.3.83)

Queda parametrizar la variable y4, para ello, primeramente, se tiene que despejar de lasegunda ecuación diferencial del sistema (5.3.79) dada:

y2 =L0

m

((y3 + I0)2

(k − 2y1)2 −(y4 + I0)2

(k + 2y1)2

)+ g

Sustituyendo a y1, y2 y y3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.81),(5.3.83) y (5.3.82), respectivamente, y despejado a y4 se obtiene:

0 =(F2 + I0)2

(k − 2F1)2 −(y4 + I0)2

(k + 2F1)2 −m

L0

F1 +mg

L0

131


(y4 + I0)2 =(k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2 F1 +mg

L0

(k + 2F1)2

y4 =

((k + 2F1)2

(k − 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2 F1 +mg

L0

(k + 2F1)2

)1/2

− I0 (5.3.84)

La expresión (5.3.84) es la parametrización de y4.

Ahora, sólo resta parametrizar las entradas de control. Primeramente, se despeja de latercera ecuación diferencial de (5.3.79) dada por:

y3 = −R3

L0

(k − 2y1) y3 −2y2 (y3 + I0)

(k − 2y1)+

(k − 2y1)

L0

u3

Sustituyendo a y1, y2 y y3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.81),(5.3.83) y (5.3.82), respectivamente, y despejado a u3 se obtiene:

(k − 2F1)

L0

u3 = F2 +R3

L0

(k − 2F1)F2 +2F1 (F2 + I0)

(k − 2F1)

u3 =L0

(k − 2F1)F2 +R3F2 +

2I0F1 (F2 + I0)

(k − 2F1)2 (5.3.85)

De forma similar, se parametriza la entrada u4, primeramente, se despeja de de la cuartaecuación diferencial de (5.3.79) dada mediante:

y4 = −R4

Lo(k + 2y1) y4 + 2y2

y4 + Iok + 2y1

+(k + 2y1)

L0

u4

Sustituyendo a y1, y2 y y3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (5.3.81),(5.3.83) y (5.3.82), respectivamente, y despejado a u4 se obtiene:

(k + 2F1)

L0

u4 = y4 +R4

Lo(k + 2F1) y4 − 2F1

(y4 + Io)

(k + 2F1)2

u4 =L0

(k + 2F1)y4 +R4y4 − 2L0F1

y4 + Io

(k + 2F1)2

u4 =L0

(k + 2F1)y4 +R4y4 −

2L0F1

(k + 2F1)2y4 −2IoL0F1

(k + 2F1)2

132


u4 =L0

(k + 2F1)y4 +

(R4 −

2L0F1

(k + 2F1)2

)y4 −

2IoL0F1

(k + 2F1)2 (5.3.86)

Observe que en la expresión (5.3.86) se necesita sustituir la parametrización de y4, asícomo su primera derivada,y4. Por lo tanto, se desarrolla la primera derivada de y4.


y4 =

((k + 2F1)2

(k − 2F1)2(F2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F1)2F1

)− 12

(τ1 + τ2 + τ3)

donde:

τ1 =2(k + 2F1)2

(k − 2F1)2(F2 + I0) F2

τ2 = (F2 + I0)2 4(k − 2F1)2(k + 2F1)F1 + 4(k + 2F1)2(k − 2F1)F1

(k − 2F1)4

τ3 = −mL0

(k + 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k + 2F1)F1F1 +4mg

L0

(k + 2F1) F1

simplicando:

y4 =1

2 (x4 + I0)

2(k + 2F1)2

(k − 2F1)2(F2 + I0) F2 + τ4 −

m

L0

(k + 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k + 2F1) F1F1 + τ5

(5.3.87)

donde:

τ4 = (F2 + I0)2

(4 (k + 2F1) F1

(k − 2F1)2 +4 (k + 2F1)2 F1

(k − 2F1)3

)

τ5 =4mg

L0

(k + 2F1) F1

Para obtener la parametrización de u4 sólo hay que sustituir las expresiones (5.3.84),(5.3.87) en (5.3.86). Así, se obtiene lo siguiente:

u4 =1

2(y4 + I0)

(µ1F2 + µ2F1 − µ3

...F 1 − µ4F1F2 + ηF1

)+ µ5y4 − µ6F1 (5.3.88)

133


donde η = 4mg.

Con la parametrización completa de las variables del vector del estado y del vector deentrada, se satisface la tercera condición de la Denición 2.1. Por lo tanto, la proposiciónde la expresión (5.3.80) calica como salida plana.

Las expresiones (5.3.85), (5.3.88) son los controladores de prealimentación. Observe quela parametrización diferencial permite obtener de manera inmediata los controladores u3

y u4 que contienen información interna del sistema.

Como ya se tiene la parametrización diferencial de las entradas de control, se puedeproponer un par de curvas algebraicas para las componentes de la salida plana (5.3.80),con el n de obtener los controladores prealimentados nominales.

La parametrización que proporciona platitud diferencial, permite construir fuera de líneaun par de curvas algebraicas para F1 y F2 que serán las señales de referencia. De estamanera, se está dando una solución elegante al problema de planeación de movimiento.

Otra propuesta de un conjunto de variables que calica como salida plana es y1, y4. En elAnexo C se presenta la comprobación que dichas variables son salidas planas.

A continuación, en el siguiente paso, se proponen unas curvas algebraicas para lascomponentes de la salida plana.


El conjunto de variables (5.3.80), que calicó como salida plana, tiene dos componentes.Estas componentes poseen signicado físico. Se construyen un par de curvas algebraicas,fuera de línea, para las variables de la posición y la corriente, que serán las entradasde referencias nominales para el sistema (5.3.79). De esta manera, se obtienen de formainmediata las componentes nominales de la salida plana nominal como:

F ∗ =

[F ∗1F ∗2

]=

[y∗1y∗3

](5.3.89)

Se construye el par de curvas algebraicas mediante el uso de una curva de Bézier expresadaen (2.2.18) en la Subsección 2.2.3 de Planeación de movimiento. Las curvas de Bézierde construyen acordes con la dinámica del AMB y el objetivo de control. Las curvasalgebraicas y∗1, y

∗3 están diseñadas para llevar la posición y la corriente, respectivamente,

de un estado inicial en reposo a un estado nal en reposo. A este tipo de diseño se ledenomina trayectoria rest to rest.

Las curvas algebraicas que se diseñaron para el sistema linealizado vertical v, también seocupan para y∗1, y

∗3 para establecer referencias nominales. El diseño de las curvas algebraicas

se muestra en la Figura 5.3.2.

Ahora, sustituyendo las componentes de la salida nominal (5.3.89) en las expresiones(5.3.85), (5.3.88), se obtienen los controladores nominales que se muestra a continuación:

134


u∗3 =L0

(k − 2F ∗1 )F ∗2 +R3F

∗2 +

2I0F∗1 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2 (5.3.90)

u∗4 =1

2(y∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ3

...F∗1 − µ4F

∗1 F∗2 + ηF ∗1

)+ µ5y

∗4 − µ6F

∗1 (5.3.91)

donde:

y∗4 =

((k + 2F ∗1 )2

(k − 2F ∗1 )2 (F ∗2 + I0)2 − m

L0

(k + 2F ∗1 )2 F ∗1 +mg

L0

(k + 2F ∗1 )2

)1/2

− I0

Los grados relativos que se calcularon en el Capítulo 4, indican el número de veces quese derivó cada componente del vector de salida λ(x) = [y1 y3]T , para que aparecieran deforma explícita las componentes del vector de entrada. Su suma es r1 + r2 = 4, igual alorden del sistema. El primer grado relativo r1 = 3, señala, que en la primera componentede la salida plana con tercera derivada,

...F∗1, en la expresión (5.3.91), se puede realizar un

cambio de entrada. De forma similar, el segundo grado relativo r2 = 1, indica, que en lasegunda componente de la salida plana con primera derivada, F ∗2 , en la expresión (5.3.90),se puede realizar un cambio de entrada. Estas nuevas entradas traducen al sistema en unolineal y desacoplado.


El sistema que se está tratando tiene dos grados relativos, r1 = 3, r2 = 1, éstos se sustituyenen la expresión (2.4.9) para obtener:

...F∗1 = νn3

(5.3.92)

F ∗2 = νn4

donde νn3 , νn4 son las nuevas entradas del sistema lineal controlable equivalente medianteuna retroalimentación dinámica endógena y un cambio de coordenadas (Denición 2.11).Estas entradas transforman al sistema en uno lineal y desacoplado.

Sustituyendo las nuevas entradas νn3 , νn4 en las expresiones (5.3.90), (5.3.91), respectiva-mente, se obtiene el nuevo sistema desacoplado, cuya salida son las señales de control u∗3y u∗4:

u∗3 = R3F∗2 +

2I0F∗1 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2︸︷︷︸prealimentacion

+L0

(k − 2F ∗1 )νn3︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.93)

135


u∗4 =1

2(y∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ4F

∗1 F∗2 + ηF ∗1

)+ µ5y

∗4 − µ6F

∗1︸︷︷︸

prealimentacion

− 1

2(y∗4 + I0)µ3 νn4︸︷︷︸

retroalimentacion

(5.3.94)

De la misma manera, resta diseñar los controladores retroalimentados que actuarán enlas nuevas entradas νn3 , νn4 . En este caso, se eligen los controladores GPI por las mismasrazones que se expuso en el Paso 4 para el sistema no lineal horizontal h.

Las componentes de la salida plana, y1, y3 son medibles, por lo que es posible diseñarlos controladores GPI. Ahora, la desviación entre cada trayectoria medida y su referenciaestá dada por e1 = F1 − F ∗1 y e2 = F2 − F ∗2 que satisfacen las ecuaciones diferenciales...e 1 = νn3−ν∗n3

y e2 = νn4−ν∗n4, respectivamente. El objetivo es garantizar la convergencia

a cero de e1, e2 y de sus derivadas sucesivas hasta un orden de tres y uno, respectivamente.

Sustituyendo i = 1, 2, los índices r1 = 3 y r2 = 1 en la expresión general del controladorGPI en la expresión (5.2.19), se obtienen los controladores de la siguiente manera:

νn3 = F ∗2 − k30 (F2 − F ∗2 )− k31

ˆ(F2 − F ∗2 ) de (5.3.95)

νn4 =...F∗1− k40

(F1 − F ∗1

)− k41

(F1 − F ∗1

)− k42 (F1 − F ∗1 )− k43

ˆ(F1 − F ∗1 ) de (5.3.96)

Se sabe que las componentes de la salida plana son F1 = y1, F2 = y3, se sustituyen en lasexpresiones (5.3.95), (5.3.96), respectivamente, obteniéndose:

νn3 = F ∗2 − k30 (y3 − F ∗2 )− k31

ˆ(y3 − F ∗2 ) de (5.3.97)

νn4 =...F∗1 − k40

(y2 − F ∗1

)− k41

(y2 − F ∗1

)− k42 (y1 − F ∗1 )− k43

ˆ(y1 − F ∗1 ) de (5.3.98)

Los controladores retroalimentados (5.3.97), (5.3.98) tipo GPI se sustituyen en lasexpresiones (5.3.67), (5.3.68), para así obtener los controladores GPI basados en elconcepto de platitud diferencial para el sistema no lineal en el eje vertical v.



136


e2 + k30e2 + k31e2 = 0 (5.3.99)

....e 1 + k40

...e 1 + k41e1 + k42e1 + k43e1 = 0 (5.3.100)

Ahora, se llevan las ecuaciones diferenciales (5.3.99), (5.3.100) a la representación deespacio de estado, para obtener de esta manera, en forma matricial, la expresión dinámicadel error como sigue: [

e1

e1

]=

[0 1k31 k30

] [e1

e2

](5.3.101)

e1

e1...e 1....e i

=

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1k43 k42 k41 k40

e1

e2

e1...e 1

(5.3.102)



s2 + k30s+ k31 = 0 (5.3.103)

s4 + k40s3 + k41s

2 + k42s+ k43 = 0 (5.3.104)

Los coecientes de cada polinomio se seleccionan de manera que (5.3.103) y (5.3.104)deben ser Hurwitz, es decir, las raíces de los polinomios yacen en el semiplano izquierdodel plano complejo.


s2 + 2ζωns+ ω2n = s2 + k30s+ k31

(s2 + 2ζωns+ ω2

n

)(m+ 1)2 = s4 + k40s

3 + k41s2 + k42s+ k43


137



En el siguiente Capítulo 6, presentan los resultados de simulación que se obtuvieron alaplicar los controladores basados en platitud diferencial al rodamiento magnético activono lineal y su equivalente lineal. Se compara el desempeño nominal, en presencia de fallasen los componentes y una perturbación en el eje de los controladores diseñados.

138

Capítulo 6

Resultados

6.1. Introducción

En este capítulo se presentan los resultados que se obtuvieron al aplicar los respectivoscontroladores, basados en el concepto de platitud diferencial, al sistema del rodamientomagnético activo no lineal y su equivalente lineal. Se comparan el desempeño nominal, enpresencia de fallas en los componentes y para una perturbación en el rotor.

En el Apéndice D se presenta la documentación de los programas y los diagramas deSimulink desarrollados en el entorno de Matlab para las simulaciones del rodamientomagnético activo.

Se realizó la simulación del modelo linealizado por retroalimentación robusta en lazocerrado, que se constituye por los sistemas horizontal h y vertical v. Para el sistemalineal horizontal h, se cerró el lazo con los controladores de dos grados de libertad que sediseñaron en la Sección 5.3.1, y que a continuación se presentan de nuevo:

w∗r1 =(

1− 4I0

k

)R1F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R1

2I0L0

F ∗1 +R1F∗2 +

L0

kF ∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+mk

2I0


(6.1.1)

w∗r2 = R2F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R2F

∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

kν2︸︷︷︸

retroalimentacion

donde los controladores GPI son, respectivamente:

139

CAPÍTULO 6. RESULTADOS

ν1 =...F∗1 − k10

(xr2 − F ∗1

)− k11

(xr2 − F ∗1

)− k12 (xr1 − F ∗1 )− k13

ˆ(xr1 − F ∗1 ) de

ν2 = F ∗2 − k20 (−xr1 + xr4 − F ∗2 )− k21

ˆ(−xr1 + xr4 − F ∗2 ) de

Para el sistema lineal vertical v, se cerró el lazo con los controladores de dos grados delibertad que se diseñaron en la Sección 5.3.1, y que a continuación se presentan de nuevo:

w∗r3 =(

1− 4I0

k

)R3F

∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +

mk2R1

2I0L0

F ∗1 +R3F∗2 +

L0

kF ∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+mk

2I0


(6.1.2)

w∗r4 = R4F∗1 +

(1− 2I0

k

)L0

kF ∗1 +R4F

∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

kν4︸︷︷︸

retroalimentacion


ν3 =...F∗1 − k30

(yr2 − F ∗1

)− k31

(yr2 − F ∗1

)− k32 (yr1 − F ∗1 )− k33

ˆ(yr1 − F ∗1 ) de

ν4 = F ∗2 − k40 (−yr1 + yr4 − F ∗2 )− k41

ˆ(−yr1 + yr4 − F ∗2 ) de

De igual manera, se llevó a cabo la simulación del modelo no lineal en lazo cerrado, que seconstituye por los sistemas horizontal h y vertical v. Para el sistema no lineal horizontalh, se cerró el lazo con los controladores de dos grados de libertad que se diseñaron en laSección 5.3.2, que por comodidad se citan a continuación:

u∗1 =2L0 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2 F ∗1 +R1F∗2︸︷︷︸

prealimentacion

+L0

(k − 2F ∗1 )νn1︸︷︷︸

retroalimentacion

(6.1.3)

u∗2 =1

2 (x∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ4F

∗1 F∗2

)+ µ5x

∗4 − µ6F

∗1︸︷︷︸

prealimentacion

− 1

2 (x∗4 + I0)µ3 νn2︸︷︷︸

retroalimentacion


140

6.2. DESEMPEÑO NOMINAL

νn1 = F ∗2 − k10 (x3 − F ∗2 )− k11

ˆ(x3 − F ∗2 ) de

νn2 =...F∗1 − k20

(x2 − F ∗1

)− k21

(x2 − F ∗1

)− k22 (x1 − F ∗1 )− k23

ˆ(x1 − F ∗1 ) de

Para el sistema no lineal vertical v, se cerró el lazo con los controladores de dos grados delibertad que se diseñaron en la Sección 5.3.2, que por comodidad se citan a continuación:

u∗3 = R3F∗2 +

2I0F∗1 (F ∗2 + I0)

(k − 2F ∗1 )2︸︷︷︸prealimentacion

+L0

(k − 2F ∗1 )νn3︸︷︷︸

retroalimentacion

(6.1.4)

u∗4 =1

2(y∗4 + I0)

(µ1F

∗2 + µ2F

∗1 − µ4F

∗1 F∗2 + ηF ∗1

)+ µ5y

∗4 − µ6F

∗1︸︷︷︸

prealimentacion

− 1

2(y∗4 + I0)µ3 νn4︸︷︷︸

retroalimentacion


νn3 = F ∗2 − k30 (y3 − F ∗2 )− k31

ˆ(y3 − F ∗2 ) de

νn4 =...F∗1 − k40

(y2 − F ∗1

)− k41

(y2 − F ∗1

)− k42 (y1 − F ∗1 )− k43

ˆ(y1 − F ∗1 ) de

Se prueba el desempeño de estos controladores provocando fallas en los componentes delsistema y para una perturbación en el rotor. Los resultados correspondientes se presentanen las subsecciones pertinentes.

Las condiciones iniciales que se emplearon para realizar las simulaciones para el sistemalineal y no lineal son las siguientes:

Para el sistema horizontal h se consideró una posición inicial de x01 = 10 × 10−5 m, unavelocidad inicial de x02 = 0 m/s y las corrientes x03 = x04 = 6× 10−2 Ampere.

Para el caso del sistema vertical v se consideró una posición inicial de x01 = −10 × 10−5

m, una velocidad inicial de x02 = 0 m/s y las corrientes x03 = x04 = 6× 10−2 Ampere.

6.2. Desempeño nominal

6.2.1. Sistema linealizado por retroalimentación robusta


141


Los controladores de la expresión (6.1.1) se aplicaron al sistema (5.3.1) para obtener elsistema en lazo cerrado. A continuación se presentan las grácas del desempeño nominaldel sistema lineal horizontal h del rodamiento magnético.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]

Seguimiento de Trayectoria

xr1

x*r1

(a) Posición xr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]

Seguimiento de trayectoria

xr4

x*r4

(b) Corriente xr4 .

Figura 6.2.1 Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema lineal h.

La Figura 6.2.1a muestra que el seguimiento del centro de masa del rotor xr1 con respectoa la referencia nominal x∗r1 , es casi instantáneo. De igual forma, en la Figura 6.2.1b seaprecia que el seguimiento de la corriente xr4 con respecto a su referencia x∗r4 , es casiinmediato. Todo esto es consecuencia de los controladores retroalimentados GPI que sediseñaron para realizar el seguimiento de dichas referencias.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]

Parametrización de xr2

xr2

x*r2

(a) Parametrización de xr2 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


xr3

x*r3

(b) Parametrización de xr3 .

Figura 6.2.2 Parametrizaciones en modo nominal, sistema lineal h.

142


La parametrización de las variables xr2 y xr3 se muestra en la Figura 6.2.2. Se observaen la Figura 6.2.2a que la variable xr2 tiene la misma forma que su parametrización x∗r2dada por la expresión (5.3.8). También se aprecia en la Figura 6.2.2b que la variable xr3posee la misma forma que su parametrización x∗r3 dada por (5.3.9). Esto comprueba queplatitud diferencial puede ser una herramienta valiosa para predecir el comportamiento delas variables del sistema mediante la parametrización.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr1

(a) Señal de control de wr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr2

(b) Señal de control de wr2 .

Figura 6.2.3 Señales de control nominales, sistema lineal h.

En la Figura 6.2.3 se aprecian los esfuerzos necesarios para el posicionamiento concéntricodel rotor en el rodamiento magnético. En las Figuras 6.2.3a y 6.2.3b se observan rizosdespués de 0.6 segundos en las señales de control, ya que cada electroimán atrae al rotorpara mantenerlo posicionado.

Sistema vertical v

Los controladores de la expresión (6.1.2) se aplicaron al sistema (5.3.28) para cerrar el lazodel sistema. A continuación se presentan las grácas del desempeño nominal del sistemalineal vertical v del rodamiento magnético.

143


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


yr1

y*r1

(a) Posición yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr4

y*r4

(b) Corriente yr4 .

Figura 6.2.4 Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema lineal v.

La Figura 6.2.4a muestra que el seguimiento del centro de masa del rotor yr1 con respectoa su referencia nominal y∗r1 , es casi instantáneo. De la misma manera, en la Figura 6.2.4bse observa que el seguimiento de la corriente yr4 con respecto a su referencia y∗r4 , es casiinmediato. Esto se debe al diseño de los controladores retroalimentados GPI para realizarla tarea de seguimiento de dichas referencias.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

x 10−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]

Parametrización de yr2

yr2

y*r2

(a) Parametrización de yr2 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr3

y*r3

(b) Parametrización de yr3 .

Figura 6.2.5 Parametrizaciones en modo nominal, sistema lineal v.

En la Figura 6.2.5 se muestran las parametrizaciones de las variables yr2 y yr3 . Se observaen la Figura 6.2.5a que la variable yr2 tiene la misma forma que su parametrización y∗r2dada por la expresión (5.3.33). También se aprecia en la Figura 6.2.5b que la variable yr3

144


cuenta con la misma forma que su parametrización y∗r3 dada por (5.3.34). Esto hace queplatitud diferencial sea una herramienta valiosa para predecir el comportamiento de lasvariables del sistema mediante la parametrización.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr3

(a) Señal de control wr3 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]V

olts [

V]

Señal de control

wr4

(b) Señal de control wr4 .

Figura 6.2.6 Señales de control nominales, sistema lineal v.

En la Figura 6.2.6 se presentan las señales de control para el posicionamiento concéntricodel rotor en el rodamiento magnético. En las Figuras 6.2.6a y 6.2.6b se observan rizosdespués de 0.6 segundos en las señales de control, esto se debe a que cada electroimánatrae al rotor para mantenerlo posicionado.

−1 0 1

x 10−4

−2

−1

0

1

2x 10

−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]

Posicionamiento del eje para el AMB linealizado a la LRR

Posicionamiento

(a) Posicionamiento.

0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008 1.001 1.0012

x 10−4

−10.04

−10.02

−10

−9.98

−9.96

−9.94

x 10−5

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

(b) Zoom.

Figura 6.2.7 Posicionamiento del centro de masa del rotor, sistema lineal.

145


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−7

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]

Error de seguimiento de xr1

y yr1


Error de seguimiento de yr1

(a) Comparación de los errores de xr1

y yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8x 10

−4

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y yr4



(b) Comparación de los errores de xr4

y yr4 .

Figura 6.2.8 Comparaciones de los errores de seguimiento nominales, sistema lineal.

Se graca la posición en el eje x contra la posición en el eje y de los sistemas hy v, respectivamente, con el n de obtener la Figura 6.2.7a. Esta gráca muestra elcomportamiento del rotor al trasladarse del punto inicial (0,1 × 10−3m,−0,1 × 10−3m)al punto nal (0m, 0m). En la Figura 6.2.7b se realizó un zoom para visualizarel comportamiento inicial del rotor. Se observa que el centro de masa del rotor semueve primeramente a la derecha del rodamiento magnético, pero posteriormente loscontroladores corrigen llevando al rotor al centro del rodamiento magnético. Nótese queel desplazamiento del rotor está dentro de lo que permite el intersticio g0.

En la Figura 6.2.8 se presentan los errores de seguimiento. En la Figura 6.2.8a se muestranlas comparaciones de los errores de seguimiento de xr1 y yr1 ; observe que los errores deseguimiento son casi simétricos y que tienen magnitudes inferiores a 10−7 metros. Loserrores de seguimiento de las corrientes xr4 y yr4 se muestran en la Figura 6.2.8b, observeque los errores son similares. La causa de que los errores absolutos de seguimiento tiendana cero es por la acción de control del controlador GPI.



Para obtener los resultados de simulación en el sistema no lineal h, los controladores de laexpresión (6.1.3) se aplicaron al sistema (5.3.53) para obtener el sistema en lazo cerrado.A continuación se presentan las grácas del desempeño nominal del sistema no linealhorizontal h del rodamiento magnético.

146


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


x1

x*1

(a) Posición x1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


x3

x*3

(b) Corriente x3.

Figura 6.2.9 Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema no lineal h.

La Figura 6.2.9a muestra que el seguimiento del centro de masa del rotor x1 con respectoa su referencia nominal x∗1, es casi instantáneo. En la Figura 6.2.9b se observa queinicialmente, el seguimiento de la corriente x3 con respecto a su referencia x∗3, tiene unadesviación, pero posteriormente la acción de control corrige este error a partir de 0.3segundos. Esto se debe al diseño de los controladores retroalimentados GPI que realizanla tarea de seguimiento de dichas referencias.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]

Parametrización de x2

x2

x*2

(a) Parametrización de x2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


x3

x*3

(b) Parametrización de x4.

Figura 6.2.10 Parametrizaciones en modo nominal, sistema no lineal h.

En la Figura 6.2.10 se muestran las parametrizaciones de las variables x2 y x3 . Se observaen la Figura 6.2.10a que la variable x2 tiene la misma forma que su parametrización x∗2

147


dada por la expresión (5.3.57). También se aprecia en la Figura 6.2.10b que la variablex3 cuenta con la misma forma que su parametrización x∗3 dada por (5.3.56). Esto haceque platitud diferencial se pueda utilizar como una herramienta valiosa para predecir elcomportamiento de las variables del sistema mediante la parametrización.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U1

(a) Señal de control de U1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

Vo

lts [V

]

Señal de control

U2

(b) Señal de control de U2.

Figura 6.2.11 Señales de control nominales, sistema no lineal h.

En la Figura 6.2.11 se presentan las señales de control para el posicionamiento concéntricodel rotor en el rodamiento magnético. En la Figura 6.2.11a se observa que la señal decontrol u1 se estabiliza a partir de 0.8 segundos. El mayor esfuerzo lo realiza u2, lo cualse muestra en la Figura 6.2.11b; se observan oscilaciones después de un 1 segundo en laseñal de control, esto se debe a que u2 realiza el mayor trabajo para mantener casi a cerola desviación entre la variable y3 y su referencia y∗3.

Sistema vertical v

Para obtener los resultados de simulación en el sistema no lineal v, los controladores de laexpresión (6.1.4) se aplicaron al sistema (5.3.79) para obtener el sistema en lazo cerrado. Acontinuación se presentan las grácas del desempeño nominal del sistema no lineal verticalv del rodamiento magnético.

148


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


y1

y*1

(a) Posición y1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y3

y*3

(b) Corriente y3.

Figura 6.2.12 Seguimiento de trayectoria en modo nominal, sistema no lineal v.

La Figura 6.2.12a muestra que el seguimiento del centro de masa del rotor y1 con respectosu referencia nominal y∗1, es casi instantáneo. De igual forma, en la Figura 6.2.12b se apreciaque el seguimiento de la corriente y3 con respecto a su referencia y∗3, es casi inmediato.Todo esto es consecuencia de los controladores retroalimentados GPI que se diseñaronpara realizar el seguimiento de dichas referencias.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]

Parametrización de y2

y2

y*2

(a) Parametrización de y2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.415

0.42

0.425

0.43

0.435

0.44

0.445

0.45

0.455

0.46

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y4

y*4

(b) Parametrización de y4

Figura 6.2.13 Parametrizaciones en modo nominal, sistema no lineal v.

La parametrización de las variables y2 y y4 se muestra en la Figura 6.2.13. Se observaen la Figura 6.2.13a que la variable y2 tiene la misma forma que su parametrización y∗2dada por la expresión (5.3.83). También se aprecia en la Figura 6.2.13b que la variable y4

149


posee la misma forma que su parametrización y∗4 dada por (5.3.84). Esto hace que platituddiferencial sea una herramienta valiosa para predecir el comportamiento de las variablesdel sistema mediante la parametrización.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U3

(a) Señal de control U3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]V

olts [

V]

Señal de control

U4

(b) Señal de control U4.

Figura 6.2.14 Señales de control nominales, sistema no lineal v.

En la Figura 6.2.14 se presentan las señales de control para el posicionamiento concéntricodel rotor en el rodamiento magnético. En la Figura 6.2.14a se observa que la señal decontrol u3 se estabiliza a partir de 0.8 segundos. El mayor esfuerzo lo realiza u4, lo cualse muestra en la Figura 6.2.14b; se observan oscilaciones después de un 1 segundo en laseñal de control, esto se debe a que u4 realiza un mayor esfuerzo por mantener casi a cerola desviación entre la variable y3 y su referencia y∗3.

−1 0 1

x 10−4

−1

0

1

x 10−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]

Posicionamiento del eje para el AMB no lineal

Posicionamiento


9.99 9.995 10 10.005

x 10−5

−1.003

−1.002

−1.001

−1

−0.999

−0.998

x 10−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

(b) Zoom.

Figura 6.2.15 Posicionamiento del centro de masa del rotor, sistema no lineal.

150

6.3. DESEMPEÑO EN PRESENCIA DE FALLAS EN LOS COMPONENTES

Se graca la posición en el eje x contra la posición en el eje y de los sistemas h yv, respectivamente, con el n de obtener la Figura 6.2.15a. Esta gráca muestra elcomportamiento del rotor cuando se traslada del punto inicial (0,1×10−3m,−0,1×10−3m)al punto nal (0m, 0m). En la Figura 6.2.15b se realizó un zoom para visualizarel comportamiento inicial del rotor. Se observa que el centro de masa del rotor semueve primeramente a la izquierda del rodamiento magnético, pero posteriormente loscontroladores corrigen llevando al rotor al centro del rodamiento magnético. Nótese queel desplazamiento del rotor está dentro de lo que permite el intersticio g0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−7

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]

Error de seguimiento de x1 y y

1

Error de seguimiento de x1

Error de seguimiento de y1

(a) Comparación de los errores de x1 yy1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−3

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


3



(b) Comparación de los errores de x3 yy3.

Figura 6.2.16 Comparaciones de los errores de seguimiento nominales, sistema nolineal.

En la Figura 6.2.16 se presentan los errores de seguimiento. En la Figura 6.2.16a semuestra la comparación de los errores de seguimiento de x1 y y1; observe que los erroresde seguimiento son casi simétricos y que tienen magnitudes pequeñas inferiores a 10−7

metros. Los errores de seguimiento de las corrientes x3 y y3 se muestran en la Figura6.2.16b; observe que los errores son simétricos. La causa de que los errores de seguimientotiendan a cero es por la acción de control del controlador GPI.

6.3. Desempeño en presencia de fallas en los componen-

tes

Una de las fallas más frecuentes son las fallas en los componentes [34]. Esto se puede debera que los componentes están expuestos al deterioro por el uso del dispositivo, por defectode fábrica, o porque simplemente se termina la vida útil de éstos. Esta clase de fallas se

151


modelan como un cambio abrupto en el valor nominal del parámetro. Se utilizan señalesescalones para modelar estos cambios.

Con base en una clasicación de fallas presentada en la Subsección 3.8.1 del Capítulo 3,se denieron las fallas que se provocaron en esta sección.

Se señalan en la siguiente Tabla 6.3.1 las fallas provocadas en los sistemas h y v. Las fallasse presentan en los componentes: L0 la inductancia, I0 la corriente de premagnetizaciónen el sistema en v; R1 y R2 las resistencias de las bobinas en el sistema h.

Fallas en el sistema horizontal h. Fallas en el sistema vertical v.−20 % del valor de R1 en t ≥ 0,3 s 10 % del valor de L0 en t ≥ 0,25 s20 % del valor de R2 en t ≥ 0,5 s 10 % del valor de I0 en t ≥ 0,5 s

Tabla 6.3.1 Fallas en los componentes.

Las fallas de la Tabla 6.3.1 se provocaron en el modelo del sistema linealizado porretroalimentación robusta y en el modelo del sistema no lineal.

A continuación se presentan los resultados cuando se provocan fallas en el sistema linealy no lineal del AMB.



A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar fallas en R1, R2 enel sistema lineal horizontal h.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


xr1

x*r1

(a) Posición xr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


xr4

x*r4

(b) Corriente xr4 .

Figura 6.3.1 Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema lineal h.

152


En la Figura 6.3.1 se muestra el seguimiento de trayectoria en presencia de fallas en loscomponentes R1, R2. En la Figura 6.3.1a se aprecia que el seguimiento del centro de masadel rotor xr1 con respecto a su referencia nominal x

∗r1, aparentemente no se ve afectado por

las fallas del −20 % de R1 en t ≥ 0,3 s y del 20 % de R2 en t ≥ 0,5 s. El efecto de las fallasse puede visualizar en la Figura 6.3.8a, en el error de seguimiento de xr1 . El seguimientode xr4 con respecto a su referencia x∗r4 en la 6.3.1b, de igual manera, aparentemente no seve afectado. El efecto de las fallas se observa en la Figura 6.3.8b, en el error de seguimientode xr4 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


xr2

x*r2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


xr3

x*r3


Figura 6.3.2 Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema lineal h.

En las variables xr2 (primera derivada de xr1) y xr3 se observan claramente que sonafectadas por las fallas en R1, R2 y L0. La Figura 6.3.2a muestra como las fallas delas resistencias y de L0 alteran el aspecto de xr2 a partir del tiempo t ≥ 0,25 s, peroa partir del tiempo t ≥ 0,4 s retoma su forma original, gracias al controlador (6.1.1)que posee las bondades del controlador prealimentado y el controlador retroalimentado.Además, el diseño del GPI evita enfatizar los picos que se pueden generar en la señal deretroalimentación debido a las fallas.

Aunque la falla de L0 se provoca en el sistema vertical v, ésta también afecta al sistemah debido que los sistema h y v están acoplados. De la misma manera, la Figura 6.3.2bmuestra como las fallas de las resistencias y de L0 afectan a la variable xr3 entre los tiempost ≥ 0,25 s y t ≥ 0,35 s, y como ésta recupera su forma debido al controlador (6.1.1) de dosgrados de libertad.

153


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr2


Figura 6.3.3 Señales de control en presencia de fallas, sistema lineal h.

La Figura 6.3.3 muestra las señales de control que se producen cuando el sistema presentafallas. La señal de control ur1 en la Figura 6.3.3a, presenta una oscilación entre los tiempost ≥ 0,25 s y t ≥ 0,40 s, después se estabiliza a cero volts debido a la acción de control delcontrolador. En la señal de control ur2 de la Figura 6.3.3b, se puede apreciar que la fallade L0 se presenta en t ≥ 0,25 s y que la falla de R1 se presenta en t ≥ 0,30 s.

Sistema vertical v

A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar fallas en L0, I0 enel sistema lineal vertical v.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−20

−15

−10

−5

0

5x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


yr1

y*r1

(a) Posición yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr4

y*r4

(b) Corriente yr4 .

Figura 6.3.4 Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema lineal v.

154


En la Figura 6.3.4 se muestra el seguimiento de trayectoria en presencia de fallas en loscomponentes L0, I0. En la Figura 6.3.4a se aprecia que el seguimiento del centro de masadel rotor yr1 con respecto a su referencia nominal y∗r1 , se ve afectado claramente por lasfallas del 10 % de L0 en t ≥ 0,25 s y del 10 % de I0 en t ≥ 0,5 s. También, el efecto delas fallas se puede visualizar en la Figura 6.3.8a, en el error de seguimiento de yr1 . Elseguimiento de la variable yr4 con respecto a su referencia y∗r4 en la Figura 6.3.4b, se veafectado por la falla de L0 en t ≥ 0,25 s. Sin embargo, ésta recupera su forma debido alcontrolador (6.1.2) de dos grados de libertad.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


yr2

y*r2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr3

y*r3


Figura 6.3.5 Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema lineal v.

En las variables yr2 (primera derivada de yr1) y yr3 se observan claramente que sonafectadas por las fallas en L0, I0. La Figura 6.3.5a muestra como las fallas de I0, L0 alteranel aspecto de yr2 a partir del tiempo t ≥ 0,25 s, pero a partir del tiempo t ≥ 0,6 s retomasu forma original, gracias al controlador (6.1.2) que posee las bondades del controladorprealimentado y el controlador retroalimentado. Además, el diseño del GPI evita enfatizarlos picos que se pueden generar en la señal de retroalimentación debido a las fallas.

Las fallas de R1, R2 que se provocan en el sistema horizontal h, no afecta al sistema v apesar que los sistema h y v están acoplados. De la misma manera, la Figura 6.3.5b muestracomo la falla de L0 afecta a la variable yr3 de manera permanente a partir de t ≥ 0,25 s.

155


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

−1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr4


Figura 6.3.6 Señales de control en presencia de fallas, sistema lineal v.

−1 0 1

x 10−4

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

Figura 6.3.7 Posicionamiento del rotor en presencia de fallas, sistema lineal.

La Figura 6.3.6 muestra las señales de control que se producen cuando el sistema presentafallas. La señal de control ur3 en la Figura 6.3.6a, presenta una oscilación entre los tiempost ≥ 0,25 s y t ≥ 0,40 s, después se estabiliza debido a la acción de control del controlador.En la señal de control ur4 de la Figura 6.3.6b, se puede ver claramente que la falla de L0

se presenta en t ≥ 0,25 s.

En la Figura 6.3.7 se observa el traslado del rotor hacia el centro geométrico del rodamientomagnético. Se puede observar que ya no se traslada en linea recta como consecuencia de las

156


fallas, principalmente debido a la falla en la inductancia L0. Sin embargo, el controladorbasado en platitud diferencial satisface el objetivo del posicionamiento del rotor a pesarde la presencia de las fallas. Nótese que el desplazamiento del rotor aún está dentro delintersticio g0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


y yr1




y yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15

20x 10

−3

Tiempo [s]C

orr

ien

te [A

]


y yr4




y yr4 .

Figura 6.3.8 Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de fallas,sistema lineal.

En la Figura 6.3.8a se muestran los errores de seguimiento de las variables xr1 , yr1 . Observeque la falla de L0 tiene un efecto mayor en el error de seguimiento del sistema v encomparación con las fallas de R1, R2 en el error de seguimiento del sistema h. Sin embargo,la acción de control del controlador de dos grados de libertad hace que el error tiendaasintóticamente exponencialmente a cero, de manera que xr1 , yr1 siguen sus respectivasreferencias.

En la Figura 6.3.8b se muestran los errores de seguimiento de las variables xr4 , yr4 . Deigual manera, la falla de L0 tiene un efecto mayor en el error de seguimiento del sistemav en comparación con las fallas de R1, R2 en el error de seguimiento del sistema h. Sinembargo, la acción de control del controlador de dos grados de libertad provoca que elerror tienda asintóticamente exponencialmente a cero, de manera que xr4 , yr4 siguen susrespectivas referencias.



157


A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar fallas en R1, R2 enel sistema no lineal horizontal h.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


x1

x*1

(a) Posición x1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]C

orr

ien

te [

A]


x3

x*3

(b) Corriente x3.

Figura 6.3.9 Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema no lineal h.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


x2

x*2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


x4

x*4


Figura 6.3.10 Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema no lineal h.

En la Figura 6.3.9 se muestra el seguimiento de trayectoria en presencia de fallas en loscomponentes R1, R2. En la Figura 6.3.9a se aprecia que el seguimiento del centro de masadel rotor x1 con respecto a su referencia nominal x∗1, aparentemente no se ve afectado porlas fallas del −20 % de R1 en t ≥ 0,3 s y del 20 % de R2 en t ≥ 0,5 s. El efecto de la fallase puede visualizar en la Figura 6.3.16a, en el error de seguimiento de x1. La falla de R1

158


en t ≥ 0,3 s afecta al seguimiento de x3 con respecto a su referencia x∗3, como se muestraen la 6.3.1b, pero el controlador GPI basado en platitud diferencial disminuye a cero elerror de seguimiento, de modo que x3 retoma su referencia.

En la variable x2 (primera derivada de x1) no se aprecia que sea afectada por las fallas enR1, R2 como se muestra en la Figura 6.3.10a. En la Figura 6.3.10b se observa claramenteque x4 es afectada por la falla de L0 en t ≥ 0,25 s. Pero a partir de t ≥ 0,7 s retomasu forma original, gracias al controlador (6.1.3) que posee las bondades del controladorprealimentado y el controlador retroalimentado. Además, el diseño del GPI evita enfatizarlos picos que se pueden generar en la señal de retroalimentación debido a las fallas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

Vo

lts [V

]Señal de control

U2


Figura 6.3.11 Señales de control en presencia de fallas, sistema no lineal h.

La Figura 6.3.11 muestra las señales de control que se producen cuando el sistema presentafallas. La señal de control u1 en la Figura 6.3.11a, no se ve afectada por las fallas de lasresistencias. En la señal de control u2 de la Figura 6.3.11b, se puede ver claramente quela falla de L0 se presenta en t ≥ 0,25 s y que la falla de R1 se presenta en t ≥ 0,30 s.

Sistema vertical v

A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar fallas en L0, I0 enel sistema no lineal vertical v.

159


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


y1

y*1

(a) Posición y1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y3

y*3

(b) Corriente y3.

Figura 6.3.12 Seguimiento de trayectoria en presencia de fallas, sistema no lineal v.

En la Figura 6.3.12 se muestra el seguimiento de trayectoria en presencia de fallas en loscomponentes L0, I0. En la Figura 6.3.12a se aprecia que el seguimiento del centro de masadel rotor y1 con respecto a su referencia nominal y∗1, se ve afectado por un momento porla falla del 10 % de L0 en t ≥ 0,25 s, pero por la acción del controlador retroalimentadoretoma rápidamente su referencia. También, el efecto de la falla se puede visualizar en laFigura 6.3.16a, a través del error de seguimiento de y1. El seguimiento de la variable y3

con respecto a su referencia y∗3 en la Figura 6.3.12b, no se ve afectado por la falla de L0

en t ≥ 0,25 s.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−15

−10

−5

0

5x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


y2

y*2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.38

0.39

0.4

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y4

y*4


Figura 6.3.13 Parametrizaciones en presencia de fallas, sistema no lineal v.

160


En las variables y2 (primera derivada de y1) y y3 se observan claramente que son afectadaspor la falla en L0. La Figura 6.3.13a muestra como la falla de L0 altera la forma de y2 apartir del tiempo t ≥ 0,25 s, pero a partir del tiempo t ≥ 0,4 s retoma su forma original,gracias al controlador (6.1.3) que posee las bondades del controlador prealimentado y elcontrolador retroalimentado. Además, el diseño del GPI evita enfatizar los picos que sepueden generar en la señal de retroalimentación debido a las fallas.

Las fallas de R1, R2 que se provocan en el sistema horizontal h, no tiene inuencia en elsistema v a pesar que los sistema h y v están acoplados. De la misma manera, la Figura6.3.13b muestra como las fallas de L0, I0 afectan a la variable y4 de manera permanentea partir de t ≥ 0,25 s.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U4


Figura 6.3.14 Señales de control en presencia de fallas, sistema no lineal v.

La Figura 6.3.14 muestra las señales de control que se producen cuando el sistema presentafallas. En la Figura 6.3.14a se muestra la señal de control u3, se observa que en t ≥ 0,25 sse presenta el efecto de la falla de L0. En la señal de control u4 de la Figura 6.3.14b, sepuede ver claramente que la falla de L0 se presenta en t ≥ 0,25 s.

161


−1 0 1

x 10−4

−1

0

1

x 10−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

Figura 6.3.15 Posicionamiento en presencia de fallas, sistema no lineal.

En la Figura 6.3.15 se observa el traslado del rotor hacia el centro geométrico delrodamiento magnético. Se puede observar que al principio existe una ligera desviación,como consecuencia de las fallas, principalmente debido a la falla en la inductanciaL0. Después de la desviación, el rotor toma una trayectoria recta hacia el centro delrodamiento magnético. Sin embargo, el controlador basado en platitud diferencial satisfaceel objetivo del posicionamiento del rotor a pesar de la presencia de las fallas. Nótese queel desplazamiento del rotor aún está dentro del intersticio g0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

−6

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


1




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1x 10

−3

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


3




Figura 6.3.16 Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de fallas,sistema no lineal.

162

6.4. DESEMPEÑO EN PRESENCIA DE UNA PERTURBACIÓN EN EL ROTOR

En la Figura 6.3.16a se muestran los errores de seguimiento de las variables x1, y1. Observeque la falla de L0 tiene un efecto en el error de seguimiento del sistema v en comparacióncon las fallas de R1, R2 en el error de seguimiento del sistema h. Sin embargo, la acción decontrol del controlador de dos grados de libertad hace que el error tienda asintóticamenteexponencialmente a cero, de manera que x1, y1 siguen sus respectivas referencias.

En la Figura 6.3.16b se muestran los errores de seguimiento de las variables x3, y3. Deigual manera, la falla de L0 tiene un efecto mayor en el error de seguimiento del sistemav en comparación con las fallas de R1, R2 en el error de seguimiento del sistema h. Sinembargo, la acción de control del controlador de dos grados de libertad provoca que elerror tienda asintóticamente exponencialmente a cero, de manera que x3, y3 siguen a susrespectivas referencias.

6.4. Desempeño en presencia de una perturbación en el

rotor

La perturbación que se provoca en el sistema AMB, tanto en el sistema no lineal comosu equivalente lineal, es un impacto en el instante t = 0,7 s, provocado por una masarígida que genera un desbalanceo en el rotor de la forma %1(t) = V sin(ϑt) con unaamplitud V = 4m/s2 y una frecuencia de ϑ = 1 rad/s para el sistema v; para el sistemah es %2(t) = V cos(ϑt).

En la Subsección 3.8.1 del Capítulo 3, se denió la perturbación que se provocó en estasección.


En las siguientes guras se muestra el desempeño de los controladores aplicados a susrespectivos modelos en presencia de un impacto en el rotor del sistema AMB.


A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar un impacto de laforma %2(t) = V cos(ϑt) en el rotor del sistema lineal horizontal h.

163


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


xr1

x*r1

(a) Posición xr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


xr4

x*r4

(b) Corriente xr4 .

Figura 6.4.1 Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistemalineal h.

La Figura 6.4.1a muestra el efecto que causa una masa de 4 kg al golpear al rotor del AMBcon una masa de 2 kg. Se observa que en el instante en que sucede, el centro de masa delrotor oscila por un momento, pero a partir de t ≥ 0,8 s retoma su referencia. En la Figura6.4.1b se muestra que la perturbación no afecta al seguimiento de la corriente de xr4 .

Todo esto es consecuencia de los controladores retroalimentados GPI que se diseñaronpara realizar el seguimiento de dichas referencias y evitar enfatizar los picos (ventaja queproporciona la acción integral) que se pueden generar en la señal de retroalimentación.Además, la parte de prealimentación de la expresión (6.1.1) proporciona una correcciónanticipativa a la perturbación.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


xr2

x*r2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


xr3

x*r3


Figura 6.4.2 Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema lineal h.

164


En la parametrización de xr2 en la Figura 6.4.2a, se hace evidente el efecto de laperturbación, ya que es la primera derivada de la posición del rotor xr1 . En la Figura6.4.2b se muestra que la variable xr3 incrementa su magnitud en el momento en queaparece la perturbación, pero la acción de control provoca que la variable xr3 converja acero.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr2


Figura 6.4.3 Señales de control en presencia de la perturbación, sistema lineal h.

En el momento en que se presenta el aumento de masa del rotor, se disparanlas señales de control, como se muestra en la Figura 6.4.3. En ese instante loscontroladores basados en platitud diferencial realizan las correcciones para manteneral rotor concéntrico al rodamiento magnético. La combinación de las bondades de loscontroladores prealimentados y retroalimentados, los cuales conforman a la expresión(6.1.1), hacen posible que las señales de control no se indeterminen.

Sistema vertical v

A continuación se muestran las grácas que se obtuvieron al provocar un impacto de laforma %1(t) = V sin(ϑt) en el rotor del sistema lineal vertical v.

165


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−4

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


yr1

y*r1

(a) Posición yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr4

y*r4

(b) Corriente yr4 .

Figura 6.4.4 Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistemalineal v.

La Figura 6.4.4a muestra el efecto que causa una masa de 4 kg al golpear al rotor del AMBcon una masa de 2 kg. Se observa que en el instante en que sucede, el centro de masa delrotor oscila por un momento, pero a partir de t ≥ 1 s retoma su referencia debido a laacción del controlador. En la Figura 6.4.4b se muestra que la perturbación también afectaal seguimiento de la corriente de yr4 , pero el controlador logra corregir y entonces yr4retoma su referencia.

Todo esto es consecuencia de los controladores retroalimentados GPI que se diseñaronpara realizar el seguimiento de dichas referencias y evitar enfatizar los picos (ventaja queproporciona el término integral) que se pueden generar en la señal de retroalimentación.Además, la parte de prealimentación de la expresión (6.1.2) proporciona una correcciónanticipativa a la perturbación.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


yr2

y*r2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


yr3

y*r3


Figura 6.4.5 Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema lineal v.

166


En la parametrización de yr2 en la Figura 6.4.5a, se hace evidente el efecto de laperturbación, ya que es la primera derivada de la posición del rotor yr1 . En la Figura6.4.5b se muestra que la variable yr3 incrementa su magnitud en el momento en queaparece la perturbación, pero la acción de control provoca que la variable converja a cerode nuevo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

wr4


Figura 6.4.6 Señales de control en presencia de la perturbación, sistema lineal v.

En el momento en que se presenta el aumento de masa del rotor, se disparan las señales decontrol, como se muestra en la Figura 6.4.6. En ese instante los controladores basadosen platitud diferencial realizan las correcciones para mantener al rotor concéntrico alrodamiento magnético.

La combinación de las bondades de los controladores prealimentados y retroalimentados,los cuales conforman a la expresión (6.1.2), hacen posible que las señales de control no seindeterminen.

167


−1 0 1

x 10−4

−2

−1

0

1

2x 10

−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 10−5

−5

0

5

10

15

x 10−5

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

(b) Zoom.

Figura 6.4.7 Posicionamiento del centro de masa del rotor en presencia de laperturbación, sistema lineal.

En la Figura 6.4.7a se muestra el posicionamiento del rotor. Una vez posicionado el rotoren el centro del AMB, se introduce la perturbación de 4 kg en t = 0,7 s. Se observa que elrotor se sale del centro del rodamiento, pero por medio de los controladores de dos gradosde libertad, se vuelve a posicionar al rotor en el origen, como lo muestra la Figura 6.4.7b.Nótese que el desplazamiento del rotor aún está dentro del intersticio g0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


y yr1




y yr1 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y yr4




y yr4 .

Figura 6.4.8 Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de laperturbación, sistema lineal.

168


La Figura 6.4.8a muestra que el error de seguimiento de yr1 es más sensible que el errorde seguimiento de xr1 porque el controlador del sistema vertical v incluye el factor de lafuerza de gravedad, cosa que no incluye el sistema horizontal h. De la misma manera,la Figura 6.4.8b muestra que el error de seguimiento de yr4 es más sensible que el errorde seguimiento de xr4 porque el controlador del sistema vertical v incluye el factor de lafuerza de gravedad.



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


x1

x*1

(a) Posición x1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


x3

x*3

(b) Corriente x3.

Figura 6.4.9 Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistema nolineal h.

En la Figura 6.4.9a se muestra que la perturbación de 4 kg no afecta al seguimiento de laposición x1. De igual forma, en la Figura 6.4.9b se muestra que la perturbación de 4 kg noafecta al seguimiento de la corriente x3.

Todo esto es consecuencia de los controladores retroalimentados GPI que se diseñaronpara realizar el seguimiento de dichas referencias y evitar enfatizar los picos (ventaja queproporciona la acción integral) que se pueden generar en la señal de retroalimentación.Además, la parte de prealimentación de la expresión (6.1.3) proporciona una correcciónanticipativa a la perturbación.

169


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−4

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


x2

x*2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


x4

x*4


Figura 6.4.10 Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema no linealh.

En la parametrización de x2 en la Figura 6.4.10a, se hace evidente el efecto de laperturbación, ya que es la primera derivada de la posición del rotor x1. En la Figura6.4.10b se muestra el efecto de la perturbación en t = 0,7 en la variable x4. La acción decontrol provoca que la variable x4 converja a cero.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U1


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

Vo

lts [V

]

Señal de control

U2


Figura 6.4.11 Señales de control en presencia de la perturbación, sistema no linealh.

En la Figura 6.4.11a se muestra que en t = 0,7 s apenas afecta a la señal de control u1.En la Figura 6.4.11b se observa que la perturbación afecta mas a la señal de control u2.

170


La combinación de las bondades de los controladores prealimentados y retroalimentados,los cuales conforman a la expresión (6.1.3), hacen posible que las señales de control no seindeterminen.

Sistema vertical v

La Figura 6.4.12a muestra el efecto que causa una masa de 4 kg al golpear al rotor delAMB con una masa de 2 kg. Se observa que en el instante en que sucede, el rotor salede su trayectoria por un momento, pero a partir de t ≥ 8 s retoma su referencia debidoa la acción del controlador. En la Figura 6.4.12b se muestra que la perturbación tambiénafecta al seguimiento de la corriente de y3, pero el controlador logra corregir y entonces y3

retoma su referencia.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


y1

y*1

(a) Posición y1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y3

y*3

(b) Corriente y3.

Figura 6.4.12 Seguimiento de trayectoria en presencia de la perturbación, sistemano lineal v.

171


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


y2

y*2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Co

rrie

nte

[A

]


y4

y*4


Figura 6.4.13 Parametrizaciones en presencia de la perturbación, sistema no linealv.

La acción de seguimiento es gracias a los controladores retroalimentados GPI que sediseñaron para realizar el seguimiento de dichas referencias y evitar enfatizar los picos(ventaja que proporciona el término integral) que se pueden generar en la señal deretroalimentación. Además, la parte de prealimentación de la expresión (6.1.4) proporcionauna corrección que se anticipa a la perturbación.

En la parametrización de y2 en la Figura 6.4.13a, se hace aún mas evidente el efecto de laperturbación, ya que es la primera derivada de la posición del rotor y1. En la Figura 6.4.13bse muestra que la variable y4 incrementa su magnitud en el momento en que aparece laperturbación, pero la acción de control provoca que la variable regrese a su forma original.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

Tiempo [s]

Vo

lts [

V]

Señal de control

U4


Figura 6.4.14 Señales de control en presencia de la perturbación, sistema no linealv.

172


En la Figura 6.4.14a se muestra que en t = 0,7 s apenas afecta a la señal de control u3.En la Figura 6.4.14b se observa que la perturbación afecta mas a la señal de control u4.La combinación de las bondades de los controladores prealimentados y retroalimentados,los cuales conforman a la expresión (6.1.4), hacen posible que las señales de control no seindeterminen, y de esta manera, las variables y1, y3 sigan a sus respectivas referencias.

−1 0 1

x 10−4

−1

0

1

x 10−4

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento


−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−6

−1

0

1

2

3

4

5

6

x 10−5

Posición [m]

Po

sic

ión

[m

]


Posicionamiento

(b) Zoom.

Figura 6.4.15 Posicionamiento del centro de masa del rotor en presencia de laperturbación, sistema no lineal.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−5

Tiempo [s]

Po

sic

ión

[m

]


1




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Tiempo [s]

Ve

locid

ad

[m

/s]


3




Figura 6.4.16 Comparaciones de los errores de seguimiento en presencia de laperturbación, sistema no lineal.

173


En la Figura 6.4.15a se muestra el posicionamiento del rotor. Una vez posicionado el rotoren el centro del AMB, se introduce la perturbación de 4 kg en t = 0,7 s. Se observa que elrotor se sale del centro del rodamiento, pero por medio de los controladores de dos gradosde libertad, se vuelve a posicionar al rotor en el origen, como lo muestra la Figura 6.4.7b.Nótese que el desplazamiento del rotor aún está dentro del intersticio g0.

La Figura 6.4.16a muestra que el error de seguimiento de y1 es más sensible que el errorde seguimiento de x1 porque el controlador del sistema vertical v incluye el factor de lafuerza de gravedad, cosa que no incluye el sistema horizontal h. De la misma manera, laFigura 6.4.16b muestra que el error de seguimiento de y3 es más sensible que el error deseguimiento de x3 porque el controlador del sistema vertical v incluye el factor de la fuerzade gravedad.

6.5. Comparación de los resultados obtenidos

En esta sección se comparan los resultados que se obtuvieron en esta tesis con los resultadosreportados en el trabajo de Lévine [13]. En la Tabla 6.5.1 se muestra la comparación deldesempeño de los esquemas de control en estado nominal, en presencia de perturbación yde fallas.

Diseño para seguimiento de trayectorias Nominal Perturbación Fallas

Funciones saturadas usando la técnica deCorrientes complementarias (Enfoque

platitud) [13].

√ × ×

Controlador tipo GPI basado en platituddiferencial.

√ √ √

Tabla 6.5.1 Comparación del desempeño de los controladores diseñados.

La Tabla 6.5.1 resume el resultado de la comparación entre el diseño de los controladorespropuestos en esta tesis con los controladores que se diseñaron en el trabajo de Lévine.

Con base en los resultados obtenidos en este capítulo, los controladores tipo GPI basadosen platitud diferencial presentan un buen desempeño en el seguimiento de las trayectoriasen modo nominal, en presencia de fallas internas y de una perturbación en el rotor. Adiferencia de lo reportado por Lévine, su esquema de control presenta buen seguimientode la trayectoria en modo nominal, pero, en presencia de fallas y de perturbaciones, elsistema deja de seguir a la trayectoria de manera que se inestabiliza.

Esta inestabilización como consecuencia de las fallas y de la perturbación se debe, enparte, a la naturaleza del enfoque de las Corrientes complementarias, ya que esta técnica

174

6.5. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

conmuta la corriente en cada electroimán, de manera que trabaja uno a la vez, mediantefunciones saturadas. Es decir, cuando se presentan las fallas o la perturbación en el sistema,se generan picos en la señal de retroalimentación, y estos picos se producen en el momentode la conmutación de la corriente de un electroimán a otro, lo que causa la inestabilización.

175

Capítulo 7

Conclusiones

7.1. Conclusiones

Se concluye que es posible emplear la estrategia de planeación de movimiento y seguimientode trayectoria para el diseño de controladores basado en el concepto de platitud diferencialpara el rodamiento magnético, considerando fallas internas y una perturbación en el rotor.

El modelo del rodamiento magnético que se utilizó en esta tesis, presenta una conguraciónde cuatro polos. Este modelo es inherentemente inestable y altamente no lineal y seconsideró que el rotor es un cuerpo rígido que opera a velocidades que producen frecuenciasrotacionales por debajo de la frecuencia natural del rotor. Estas consideraciones se tomaroncon la nalidad de obtener dos sistemas desacoplados, el sistema que opera verticalmente,llamado sistema vertical v, y el sistema que trabaja horizontalmente, denominado sistemahorizontal h.

Sin embargo, a pesar de realizar ciertas suposiciones en el modelado para tenerdesacoplados los sistemas del AMB, en la práctica no es posible, ya que los valores de loscomponentes del AMB no son exactos. Debido a esto, se consideró que existe interferenciaentre los sistemas h y v como consecuencia de errores de la estimación del sensor en laposición del centro de masa del rotor.

Para obtener la linealización robusta del rodamiento magnético, se tuvo que realizarprimero su linealización por retroalimentación clásica, ya que para realizar la primera,se tiene que utilizar los resultados de la segunda linealización.

Se seleccionó la linealización robusta del AMB porque esta técnica causa una pequeñatransformación en el comportamiento natural del sistema no lineal, que lo transforma en suaproximación lineal tangencial alrededor de un punto de operación nominal, manteniendoel sentido físico y conservando los parámetros en el sistema linealizado. A diferencia de lalinealización por retroalimentación del estado que tiene el inconveniente de suprimir lasno linealidades del sistema y no preservar el sentido físico en el sistema equivalente. Yaque el sistema equivalente tiene la forma canónica de Brunovsky.

176

7.1. CONCLUSIONES

En esta tesis se trabajó con el modelo lineal que se obtuvo de la linealización robusta y conel modelo no lineal del AMB. La idea de trabajar primero con el modelo lineal equivalentefue para ganar experiencia en el cálculo de su salida plana y el diseño de su controlador.Esta experiencia se utilizó para abordar al modelo no lineal para proponer su salida planay diseñar su controlador.

Se calculó la salida plana del modelo lineal y se propuso un conjunto de variables quecalicó como salida plana para el sistema no lineal. Con esto se vericó que los dos sistemasson planos diferencialmente. La ventaja del modelo lineal es que existe una metodologíapara el cálculo de la salida plana, pero su cantidad depende del número de entradas.Contrario al sistema no lineal, no existe una metodología para calcularlas, ésta dependedel conocimiento del sistema y de los objetivos de control. Sin embargo, la salida plana noes única, puede haber una innidad de ellas para diferentes propósitos de control.

La parametrización de las variables del sistema mediante la salida plana, que proporcionael concepto de platitud diferencial, permitió obtener las trayectorias deseadas de loscontroladores nominales. Éstos son controladores de prealimentación, ya que contieneninformación interna del sistema. Se combinaron ventajosamente con controladoresretroalimentados de tipo GPI, para obtener controladores de dos grados de libertad.

Los controladores de dos grados de libertad, o controladores GPI basados en platituddiferencial, reúnen las bondades que poseen los dos tipos de controladores. Esto permitióque los sistemas lineales (sistema h y v) y los sistemas no lineales (sistema h y v)presentaran un buen desempeño tanto nominal, en presencia de fallas y de la perturbaciónen el rotor.

La elección del controlador GPI residió en que su parte integral introduce robustez conrespecto a las perturbaciones aditivas. Además, porque con base en las salidas disponibles,se puede reconstruir el vector del estado. De esta manera, se evita el diseño de observadoresasintóticos. Ya que uno de los objetivos particulares de esta tesis fue provocar fallas paraprobar el desempeño de los controladores.

En las simulaciones tanto del sistema no lineal como su equivalente lineal, en modonominal, se obtuvo que cada sistema presentaba el seguimiento casi instantáneo de susreferencias. En el desempeño nominal no se apreció con claridad si el sistema lineal o elsistema no lineal tenía un mejor desempeño con respecto al otro.

Las simulaciones para el modelo no lineal y el linealizado del rodamiento en presenciade fallas en los parámetros y la perturbación en el eje arrojaron resultados interesantes.En fallas en los parámetros, ambos controladores cumplen con el objetivo de control, elposicionamiento concéntrico del eje dentro del rodamiento; aunque el controlador no linealbasado en platitud diferencial tiene un mejor desempeño que el controlador lineal basadoen platitud. Esto se debe a que en el proceso de transformación del modelo no linealen su equivalente lineal v, mediante la linealización robusta, se pierde la constante de lagravedad.

De igual manera, los controladores GPI basados en platitud diferencial, en presencia dela perturbación en el rotor, cumplieron con el objetivo de control, es decir, el seguimiento

177

CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES

de las trayectorias. El modelo no lineal del sistema vertical v obtuvo un mejor desempeñoen presencia de la perturbación de una masa de 4 kg que el modelo lineal equivalentev. El buen desempeño del sistema no lineal con respecto al lineal referente al control yseguimiento de sus respectivas referencias, es consecuencia de que el diseño del controladorGPI basado en platitud, incluye las no linealidades del sistema y la constante de gravedad.En contra parte, el controlador por platitud del modelo linealizado es lineal y el factorde la gravedad se pierde en el proceso de la linealización. Sin embargo, cumple con elposicionamiento del eje.

El buen desempeño de los controladores diseñados para los sistemas lineales y no linealeses, en gran parte, por la acción de control de la prealimentación que se anticipa a lasfallas y las perturbaciones, y de la acción de control de la retroalimentación que añadeversatilidad y robustez.

7.2. Trabajos futuros

Finalmente, en esta sección, se presentan los trabajos futuros.

A continuación, se enumeran los trabajos futuros que se pueden seguir investigando apartir de este trabajo.

1. Implementar en un sistema de rodamiento magnético físico los controladores GPIbasados en platitud diferencial que se diseñaron en esta tesis.

2. Diseñar controladores GPI basados en platitud diferencial para el AMB, pero en elcontexto de incertidumbre paramétrica. Como lo hace Hernández en [55] que estudiala robustez del GPI con respecto a la incertidumbre paramétrica, pero aplicado aotro sistema.

3. Aplicar el nuevo enfoque de control tolerante a fallas basado en el método deestimación algebraica de derivadas en el contexto de platitud diferencial, para elrodamiento, como lo reporta Mai en sus trabajos [38, 39] que lo aplica a ejemplosdidácticos.

4. Diseñar otros controladores basados en platitud para el AMB, tales como Pasividad,Modos deslizantes, Linealización por retroalimentación, diseño de Lyapunov, Controlóptimo, PID clásico, Backstepping, con el n de comparar los resultados con losresultados de esta tesis.

178

Apéndice A

Conceptos básicos para la linealización

por retroalimentación del estado

La teoría de la linealización por retroalimentación del estado (LRE) se sustenta en diversosconceptos matemáticos de la geometría diferencial.

A continuación se presentan los conceptos matemáticos como el gradiente de una funciónescalar, el Jacobiano de una función vectorial y la derivada direccional de un campo escalaren la dirección de un campo vectorial, conocida como la derivada de Lie. También, se dene,el concepto de difeomorsmo (Transformación de coordenadas) y se presenta el teoremade Frobenius, el cual se reere a la existencia de soluciones para sistemas de ecuacionesen derivadas parciales.

Los conceptos y deniciones que se presentan a continuación se tomaron de la referencia[17].

Gradiente de una función escalar

Si λ (x) es una función escalar del estado (en Rn), su gradiente es un vector de dimensión1× n, el cual se dene como:

5 λ =∂λ

∂x=[

∂λ∂x1

· · · ∂λ∂xn

](A.0.1)

Matriz Jacobiana de una función vectorial

Si f (x) es una función del estado (en Rn), también denominada campo vectorial, la matrizJacobiana viene dada mediante una matriz de dimensión n× n denida por:

5 f =∂f

∂x=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

.... . .

...∂fn∂x1

· · · ∂fn∂xn

(A.0.2)

179

APÉNDICE A. CONCEPTOS BÁSICOS PARA LA LINEALIZACIÓN PORRETROALIMENTACIÓN DEL ESTADO

Denición A.1. Sea la función escalar λ : Rn −→ R y el campo vectorial f : Rn −→ Rn.Se dene la derivada de Lie o derivada direccional de λ en la dirección de f como la funciónescalar dada por:

Lfλ = 5λ · f (A.0.3)

Las derivadas direccionales múltiples pueden denirse recursivamente como:

L0fλ = f, Lifλ = Lf

(Li−1f λ

)= 5

(Li−1f λ

)· f i = 1, 2, ... (A.0.4)

De la misma manera, si g (x) es otro campo vectorial, entonces la función escalar doblederivada direccional de λ respecto a f y g se da mediante:

LgLfλ = 5 (Lfλ) · g (A.0.5)

Este concepto es importante desde el punto de vista de control, porque las derivadasrespecto al tiempo de la salida de un sistema dinámico, puede expresarse en términos dela derivada de Lie.

Denición A.2. Sean f y g dos campos vectoriales en Rn. Se dene el campo adjunto deg respecto a f o corchete de Lie de la siguiente manera:

adfg = [f, g] = 5gf −5fg (A.0.6)

y de forma recursiva

ad0fg = g, adifg =

[f, adi−1

f g]

i = 1, 2, ... (A.0.7)

Difeomorsmos y transformaciones en el espacio del estado

Denición A.3. Sea una función Φ : Rn −→ Rn denida en una región Ω del espacio delestado es un difeomorsmo es suave (Diferenciable) y su inversa Φ−1 existe y es tambiénsuave. Si Ω es todo el espacio de Rn, entonces Φ (x) es un difeomorsmo global.

Lema A.1. Sea Φ (x) una función suave denida en una región Ω de Rn. Si el Jacobianode 5Φ es no singular en el punto x0 de Ω, entonces Φ (x) es un difeomorsmo local enuna sub región de Ω.

Los difeomorsmos son transformaciones no lineales que se emplean para transformar lasvariables del estado en las que se expresa un sistema no lineal en las coordenadas de unsistema lineal.

El teorema de Frobenius

180

El teorema de Frobenius trata sobre la existencia de soluciones para sistemas de ecuacionesen derivadas parciales. Antes de enunciar el teorema de Frobenius, es necesario denir queson sistemas completamente integrables y sistemas involutivos.

Denición A.3. Se dice que un conjunto de campos vectoriales linealmente independientef1, ..., fm en Rn es completamente integrable sí, y sólo sí, existe n−m funciones escalaresλ1 (x), λ2 (x),..., λn−m (x), donde x es el estado del sistema, tales que satisfacen el siguientesistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

Lfjλi = 5λi · fj = 0 1 ≤ i ≤ n−m, 1 ≤ j ≤ m (A.0.8)

y los gradientes 5λi son linealmente independientes.

Observación: Note que al ser m el número de campos vectoriales y n la dimensión delespacio asociado, el número de funciones escalares incógnitas λi es n−m, y por lo tantoel número de ecuaciones en derivadas parciales es el producto del número de camposvectoriales por el número de funciones incógnitas, esto es, m (n−m).

Denición A.3. Se dice que un conjunto de campos vectoriales linealmente independien-tes f1, ..., fm en Rn es involutivo sí, y sólo sí, existen funciones escalares αijk : Rn −→ Rtales que:

[fi, fj] (x) =m∑k=1

αijk (x) fk (x) ∀i, j (A.0.9)

Involutividad signica que si se forman los corchetes de Lie de cualquier par de camposvectoriales del conjunto f1, ..., fm, el campo vectorial resultante se puede expresar comola combinación lineal del conjunto original de campos vectoriales. Note que:

Los campos vectoriales constantes siempre son involutivos. En realidad, el corchetede Lie de dos vectores constantes es el vector cero, que se puede expresar trivialmentecomo la combinación lineal de los campos vectoriales.

Un conjunto constituido de un vector f es involutivo. De hecho,

[f, f ] = (5f) · f − (5f) · f = 0

Visto lo anterior, ahora se puede presentar el teorema de Frobenius:

Teorema A.1. Sea f1, ..., fm un conjunto de campos linealmente independientes. Elconjunto es completamente integrable sí y sólo sí, es involutivo.

181

Apéndice B

Cálculo de otra salida plana para el

sistema lineal

B.1. Introducción

En la Subsección 5.3.1 del Capítulo 5, se obtuvo la salida plana para los sistemaslinealizados horizontal h y vertical v. Como se mencionó en esa subsección, la salida planano es única, ya que se puede obtener otra matriz Cr2 invertible de la matriz de Kalman,que proporciona otro conjunto de índices de Kronecker para obtener otra conguraciónde ψ. En general, el número de matrices invertibles depende del número de entradas delsistema, y por lo tanto, será el número de salidas planas.

A continuación se presenta el cálculo de otra salida plana para los sistemas linealeshorizontal h y vertical v, respectivamente.

B.2. Sistema lineal del rodamiento magnético


La aproximación lineal del modelo matemático no lineal del rodamiento magnético sobre eleje horizontal, obtenida mediante la linealización por retroalimentación robusta, se describeen la forma de espacio de estado y se muestra a continuación:

xr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R1 0

0 2kI0 0 − k

L0R2

xr +

0 00 0kLo

0

0 kLo

wr (B.2.1)

182

B.2. SISTEMA LINEAL DEL RODAMIENTO MAGNÉTICO

donde el sistema (B.2.1) tiene la forma xr = Arxr +Brwr, con xr ∈ R4 y wr ∈ R2.

Aquí sólo se mostrará que la salida plana que se calcule, también parametriza a las variablesdel vector del estado y las entradas de control. El diseño de los controladores tipo GPIbasado en platitud diferencial también es análogo a lo presentado en la Subsección 5.3.1.

Primero se debe vericar que el sistema es controlable, para ello primero se construye lamatriz de Kalman. Entonces, la matriz de Kalman para el sistema (B.2.1) utilizando laexpresión (5.2.2), queda,


2rbr1 , A

2rbr2 , A

3rbr1 , A

3rbr2]

Sustituyendo las matrices correspondientes en la expresión anterior y realizando lasmultiplicaciones matriciales, se obtiene la matriz de Kalman de orden 4 × 8, como semuestra a continuación:

Krc =

0 0 0 0 2Io

mk−2Iomk

0 0 2Iomk

−2Iomk

−2IoR1

mLo2IoR2

mLokLo

0 −k2R1

L2o

0 kLo

(k2R2

1

L2o− 4I2oLo

mk3

)4I2omk2

0 kLo

0 −k2R2

L2o

4I2omk2

kLo

(k2R2

2

L2o− 4I2oLo

mk3

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2IoR1

mLo2IoR2

mLo2kIoR2

1

mL2o

−2kIoR22

mL2o

− 1mkL4

o(mk5R3

1 − 8I2oL

3oR1) − 4I2o

mkLo(R1 +R2)

− 4I2omkLo

(R1 +R2) − 1mkL4

o(mk5R3

2 − 8I2oL

3oR2)

(B.2.2)

La matrizKrc en la expresión (B.2.2) tiene rango completo, puesto que contiene n columnaslinealmente independientes, las cuales se utilizan como una nueva base para el espacio deestado [47].

Otra posible elección de columnas linealmente independientes se emplea para construir lamatriz Cr2 , de n× n, invertible (rango completo). La elección queda:

Cr2 =[br1 , br2 , Arbr2 , A2

rbr2]

Con base en la estructura de Cr2 se procede a calcular los índices de Kronecker de lasiguiente manera:

γ1 − 1 = 0 ⇒ γ1 = 1

γ2 − 1 = 3 ⇒ γ2 = 3

183

APÉNDICE B. CÁLCULO DE OTRA SALIDA PLANA PARA EL SISTEMA LINEAL


Sustituyendo las columnas linealmente independientes de (B.2.2) en la matriz Cr2 seobtiene,

Cr2 =

0 0 0 −2Io

mk

0 0 −2Iomk

2IoR2

mLokLo

0 0 4I2omk2

0 kLo−k2R2

L2o

kLo

(k2R2

2

L2o− 4I2oLo

mk3

) (B.2.3)

Por lo tanto, el modelo lineal (B.2.1) es controlable y desde luego es plano diferencialmente.

Ahora se prosigue calcular la salida plana del sistema (B.2.1) empleando la expresión(5.2.4). Para ello, sólo falta construir la matriz ψ utilizando los índices de Kronecker γ1 yγ2.


ψ =

[1 0 0 00 0 0 1


F = ψC−1r2xr

donde

F =

[1 0 0 00 0 0 1

]2IoLok2

0 Lok

0

−2IoLok2

−mk2R2

2IoLo0 Lo

k

−mk2R2

2IoLo−mk

2Io0 0

−mk2Io

0 0 0

xrdesarrollando las operaciones matriciales se obtiene,

F =

[F1

F2

]=

[2I0L0

k2xr1 + L0

kxr3

−mk2I0xr1

]Pero las componentes de la salida pueden ser cualquier múltiplo de las variables del estadoxr1 y xr3 por lo que se pueden reescribirse de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[xr1 + xr3−xr1

](B.2.4)

184


Una vez calculada la salida plana, se parametrizan las variables del sistema (B.2.1). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la segunda componente de laexpresión (B.2.4) de la siguiente manera:

xr1 = −F2 (B.2.5)

De la primera componente de la salida plana (B.2.4) se despeja la variable xr3 quedandoxr3 = −xr1 + F1 y, sustituyendo (B.2.5) se tiene la parametrización,

xr3 = F1 + F2 (B.2.6)

Se sabe que xr1 = −F2 y que la primera ecuación diferencial de (B.2.1) es xr1 = xr2 ,entonces derivando a F2 y sustituyendo se obtiene,

xr2 = −F2 (B.2.7)

Para obtener la parametrización de xr4 , se tiene que despejar esta variable de la segundaecuación diferencial de (5.3.1) dada por:

xr2 =8I2

0L0

mk3xr1 +

2I0L0

mk2xr3 −

2I0L0

mk2xr4


xr4 =mk2

2I0L0

(−xr2 +

8I20L0

mk3xr1 +

2I0L0

mk2xr3

)se sustituyen a xr1 , xr2 y xr3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (B.2.5),(B.2.7) y (B.2.6), respectivamente, en la expresión anterior de manera que se obtiene,

xr4 =mk2

2I0L0

F2 −4I0

kF2 + F1 + F2

xr4 =mk2

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1 (B.2.8)

Ahora, sólo queda parametrizar las entradas de control. Primeramente, se va a despejarwr1 de la tercera ecuación diferencial de (B.2.1) dada por:

xr3 = −2I0

kxr2 −

kR1

L0

xr3 +k

L0

wr1


185


wr1 =L0

k

(xr3 +

2I0

kxr2 +

kR1

L0

xr3

)wr1 =

L0

kxr3 +

2I0L0

k2xr2 +R1xr3

Se sustituyen (B.2.7), (B.2.8) y xr3 = F1 + F2 en la expresión anterior, para obtener laparametrización de wr1 en términos de las componentes de la salida plana F1 y F2, comose muestra a continuación:

wr1 =L0

k

(F1 + F2

)− 2I0L0

k2F2 +R1 (F1 + F2)


wr1 =L0

kF1 +

L0

kF2 −

2I0L0

k2F2 +R1F1 +R1F2


wr1 = R1F2 +

(1− 2I0

k

)L0

kF2 +R1F1 +

L0

kF1 (B.2.9)

De forma similar, se parametriza la entrada wr2 , primeramente despejándola de la cuartaecuación diferencial de (B.2.1) dada mediante,

xr4 =2I0

kxr2 −

kR2

L0

xr4 +k

L0

wr2


wr2 =L0

k

(xr4 −

2I0

kxr2 +

kR2

L0

xr4

)wr2 =

L0

kxr4 −

2I0L0

k2xr2 +R2xr4

Se sustituyen (B.2.7), (B.2.8) y xr4 = mk2

2I0L0

...F 2 +

(1− 4I0

k



wr2 =L0

k

(mk2

2I0L0

...F 2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1

)+

2I0L0

k2F2+R2

(mk2

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1

)186



wr2 =mk

2I0

...F 2 +

(1− 4I0

k

)L0

kF2 +

L0

kF1 +

2I0L0

k2F2 +

mk2R2

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)R2F2 +R2F1

factorizando términos, se tiene:

wr2 =

(1− 4I0

k

)R2F2 +

(1− 2I0

k

)L0

kF2 +

mk2R2

2I0L0

F2 +mk

2I0

...F 1 +R2F1 +

L0

kF1 (B.2.10)

Se observa que las parametrizaciones que se obtuvieron con la salida plana (B.2.4)son opuestas con respecto a las parametrizaciones mediante la expresión (5.3.5) en laSubsección 5.3.1.

Sistema vertical v

La aproximación lineal del modelo matemático no lineal del rodamiento magnético sobre eleje vertical v, obtenida mediante la linealización por retroalimentación robusta, se muestraa continuación:

yr =

0 1 0 0

8I20L0

mk30 2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 − 2kI0 − k

L0R3 0

0 2kI0 0 − k

L0R4

yr +

0 00 0kLo

0

0 kLo

wr (B.2.11)

donde el sistema (B.2.11) tiene la forma yr = Aryr +Brwr, con yr ∈ R4 y wr ∈ R2.

De igual modo, sólo se mostrará que la salida plana que se calcule, también parametriza alas variables del vector del estado y las entradas de control. El diseño de los controladorestipo GPI basado en platitud diferencial también es análogo a lo presentado en la Subsección5.3.1.

Primero se debe vericar que el sistema es controlable, para ello primero se construye lamatriz de Kalman. Entonces, la matriz de Kalman para el sistema (B.2.11) utilizando laexpresión (5.2.2), queda,


2rbr1 , A

2rbr2 , A

3rbr1 , A

3rbr2]

Sustituyendo las matrices correspondientes en la expresión anterior y realizando lasmultiplicaciones matriciales, se obtiene la misma matriz de Kalman Krc , de orden 4 × 8,como la expresión (B.2.2). De igual manera, tiene rango completo, es decir, contiene n

187


columnas linealmente independientes, las cuales se emplean como una nueva base para elespacio de estado.

Las columnas linealmente independientes de Krc se emplean para construir una matriz Cr,de n× n, invertible (rango completo). La elección queda:

Cr2 =[br1 , br2 , Arbr2 , A2

rbr2]

La matriz anterior se construyó de manera análoga como se realizó para el sistemahorizontal. Ahora se procede a calcular los índices de Kronecker de la siguiente manera:

γ1 − 1 = 0 ⇒ γ1 = 1

γ2 − 1 = 2 ⇒ γ2 = 3


Al sustituir las columnas linealmente independientes de Krc en la matriz Cr1 , se obtienela misma matriz (B.2.3). De igual manera, el modelo lineal (B.2.11) es controlable y desdeluego es plano diferencialmente.

Ahora se calcula la salida plana del sistema (B.2.11) empleando la expresión (5.2.4). Paraello, sólo falta construir la matriz ψ utilizando los índices de Kronecker γ1 y γ2.


ψ =

[1 0 0 00 0 0 1


F = ψC−1r1yr

donde

F =

[1 0 0 00 0 0 1

]2IoLok2

0 Lok

0

−2IoLok2

−mk2R4

2IoLo0 Lo

k

−mk2R4

2IoLo−mk

2Io0 0

−mk2Io

0 0 0

yrdesarrollando las operaciones matriciales se obtiene,

F =

[F1

F2

]=

[2I0L0

k2yr1 + L0

kyr3

−mk2I0yr1

]188


Pero las componentes de la salida pueden ser cualquier múltiplo de las variables del estadoyr1 y yr3 por lo que se pueden reescribirse de la siguiente manera:

F =

[F1

F2

]=

[yr1 + yr3−yr1

](B.2.12)

Una vez calculada la salida plana, se parametrizan las variables del sistema (B.2.11). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la segunda componente de laexpresión (B.2.12) de la siguiente manera:

yr1 = −F2 (B.2.13)

De la primera componente de la salida plana (B.2.12) se despeja la variable yr3 quedandoyr3 = −xr1 + F1 y, sustituyendo (B.2.13) se tiene la parametrización,

yr3 = F1 + F2 (B.2.14)

Se sabe que yr1 = −F2 y que la primera ecuación diferencial de (B.2.11) es yr1 = xr2 ,entonces derivando a F2 y sustituyendo se obtiene,

yr2 = −F2 (B.2.15)

Para obtener la parametrización de yr4 , se tiene que despejar esta variable de la segundaecuación diferencial de (B.2.11) dada por:

yr2 =8I2

0L0

mk3yr1 +

2I0L0

mk2yr3 −

2I0L0

mk2yr4


yr4 =mk2

2I0L0

(−yr2 +

8I20L0

mk3yr1 +

2I0L0

mk2yr3

)se sustituyen a yr1 , yr2 y yr3 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (B.2.13),(B.2.15) y (B.2.14), respectivamente, en la expresión anterior de manera que se obtiene,

yr4 =mk2

2I0L0

F2 −4I0

kF2 + F1 + F2

yr4 =mk2

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1 (B.2.16)

189


Ahora, sólo queda parametrizar las entradas de control. Primeramente, se va a despejarwr3 de la tercera ecuación diferencial de (B.2.11) dada por:

yr3 = −2I0

kyr2 −

kR3

L0

yr3 +k

L0

wr3


wr3 =L0

k

(yr3 +

2I0

kyr2 +

kR3

L0

yr3

)wr3 =

L0

kyr3 +

2I0L0

k2yr2 +R3yr3

Se sustituyen (B.2.14), (B.2.15) y yr3 = F1 + F2 en la expresión anterior, para obtener laparametrización de wr3 en términos de las componentes de la salida plana F1 y F2, comose muestra a continuación:

wr3 =L0

k

(F1 + F2

)− 2I0L0

k2F2 +R3 (F1 + F2)


wr3 =L0

kF1 +

L0

kF2 −

2I0L0

k2F2 +R3F1 +R3F2


wr3 = R3F2 +

(1− 2I0

k

)L0

kF2 +R3F1 +

L0

kF1 (B.2.17)

De forma similar, se parametriza la entrada wr4 , primeramente despejándola de la cuartaecuación diferencial de (B.2.11) dada mediante,

yr4 =2I0

kyr2 −

kR4

L0

yr4 +k

L0

wr4


wr4 =L0

k

(yr4 −

2I0

kyr2 +

kR4

L0

yr4

)wr4 =

L0

kyr4 −

2I0L0

k2yr2 +R4yr4

190


Se sustituyen (B.2.15), (B.2.16) y yr4 = mk2

2I0L0

...F 2+

(1− 4I0

k

)F2+F1 en la expresión anterior,


wr4 =L0

k

(mk2

2I0L0

...F 2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1

)+

2I0L0

k2F2+R4

(mk2

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)F2 + F1

)desarrollando los términos,

wr4 =mk

2I0

...F 2 +

(1− 4I0

k

)L0

kF2 +

L0

kF1 +

2I0L0

k2F2 +

mk2R4

2I0L0

F2 +

(1− 4I0

k

)R4F2 +R4F1

factorizando términos, se tiene:

wr4 =

(1− 4I0

k

)R4F2 +

(1− 2I0

k

)L0

kF2 +

mk2R4

2I0L0

F2 +mk

2I0

...F 1 +R4F1 +

L0

kF1 (B.2.18)

De igual manera, se observa que las parametrizaciones que se obtuvieron con la salidaplana (B.2.12) son opuestas con respecto a las parametrizaciones mediante la expresión(equation (5.3.29)) en la Subsección 5.3.1.

191

Apéndice C

Proposición de otra salida plana para el

sistema no lineal

C.1. Introducción

En la Subsección 5.3.2. del Capítulo 5, se propuso un conjunto de variables que calicócomo la salida plana para los sistemas no lineales horizontal h y vertical v. En el casode los sistemas no lineales, no existe una metodología para calcular la salida plana. Sinomás bien, como se mencionó en esa subsección, para que una conjunto de variables puedacalicar como salida plana, éste debe satisfacer las condiciones de la Denición 2.1 de lasalida plana.

En este caso, se requiere proponer un conjunto de variables que calique como salida planadel sistema dado. La proposición de este conjunto de variables obedece a cuestiones masintuitivas tales como el conocimiento de la naturaleza del sistema, intuición ingenieril ylos problemas de control a resolver.

En el contexto de los sistemas no lineales, la salida plana no es única, sino que puede haberuna innidad para cada objetivo de control mediante consideraciones físicas e intuicióningenieril, de tal manera que tenga un signicado físico asociado al problema de control.

A continuación se presenta otra proposición de un conjunto de variables que calica comosalida plana para los sistemas no lineales horizontal h y vertical v, respectivamente.

C.2. Sistema no lineal del rodamiento magnético


192

C.2. SISTEMA NO LINEAL DEL RODAMIENTO MAGNÉTICO


x1

x2

x3

x4

=

x2

Lom

(x3+Iok−2x1

)2

−(x4+Iok+2x1

)2

−R1

Lo(k − 2x1)x3 − 2x2

x3+Iok−2x1

−R2

Lo(k + 2x2)x4 + 2x2

x4+Iok+2x1

+1

Lo

0 00 0

k − 2x1 00 k + 2x1

[ u1

u2

](C.2.1)

Para vericar que el sistema (C.2.1) es plano diferencialmente, primero se requiereproponer un conjunto de variables que debe satisfacer las condiciones de la Denición 2.1de la Subsección 2.1.1. Una vez satisfecha la denición, el conjunto de variables propuestocalica como salida plana.

En esta tesis, el objetivo general es usar la estrategia de planeación de movimiento yseguimiento de trayectoria para el diseño de controladores basado en el concepto deplatitud diferencial para un rodamiento magnético de cuatro polos.

Básicamente se desea tener el dominio del comportamiento del centro de masa del rotora lo largo de una trayectoria (curva algebraica) dada admisible. Por lo que se elige comoprimera componente de la salida plana, x1, la posición del centro de masa del rotor. Ahora,sólo resta proponer la segunda componente, en este caso se elige la variable x4 del modelo(5.3.53), ya que se desea tener el control de una corriente.


F =

[F1

F2

]=

[x1

x4

](C.2.2)

En el trabajo de Lévine [13] ya se demostró que la posición del centro de masa del rotor esuna componente de la salida plana. Ahora, se está proponiendo una segunda componente,la variable x4, la corriente. Sólo resta vericar que la segunda variable calique como unacomponente de la salida plana.

La primera condición de la Denición 2.1 está satisfecha, ya que las variables x1 y x4 nodependen entre ellas, por lo que son independientes y sus derivadas sucesivas en el tiempotambién lo son. Además que no satisfacen ecuación diferencial alguna.

La segunda condición también está satisfecha, porque las componentes de la salida planadependen de x1, x4 que son variables del vector del estado.

Queda corroborar la última condición, vericar que el vector del estado y el vector deentrada de control se puedan expresar como funciones de las componentes de F , la salidaplana.

193

APÉNDICE C. PROPOSICIÓN DE OTRA SALIDA PLANA PARA EL SISTEMA NOLINEAL

Ahora, sólo queda vericar que (C.2.2) parametriza las variables del sistema (C.2.1). Laprimera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de lasalida plana de la siguiente manera:

x1 = F1 (C.2.3)

De igual manera, la segunda parametrización se obtiene de forma inmediata de la segundacomponente de (C.2.2),

x4 = F2 (C.2.4)

Se sabe que x1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (C.2.1) es x1 = x2, entonces,derivando a F1 y sustituyendo se obtiene:

x2 = F1 (C.2.5)

Queda parametrizar la variable x3, para ello, primeramente, se tiene que despejar de lasegunda ecuación diferencial del sistema (5.3.53) dada :

x2 =L0

m

((x3 + I0)2

(k − 2x1)2 −(x4 + I0)2

(k + 2x1)2

)

Sustituyendo a x1, x2 y x4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.3),(C.2.5) y (C.2.4), respectivamente, y despejado a x3 se obtiene:

0 =(x3 + I0)2

(k − 2F1)2 −(F2 + I0)2

(k + 2F1)2 −m

L0

F1

(x3 + I0)2 =(k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 +m

L0

(k − 2F1)2 F1

x3 =

((k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k − 2F1)2 F1

)1/2

− I0 (C.2.6)

La expresión (C.2.6) es la parametrización de x3.

Ahora, sólo resta parametrizar las entradas de control. Primeramente, se despeja u1 de latercera ecuación diferencial de (C.2.1) dada por:

x3 = −R1

L0

(k − 2x1)x3 −2x2 (x3 + I0)

(k − 2x1)+

(k − 2x1)

L0

u1

194


Sustituyendo a x1, x2 y x4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.3),(C.2.5) y (5.3.56), respectivamente, y despejado a u1 se obtiene:

(k − 2F1)

L0

u1 = x3 +R1

L0

(k − 2F1)x3 +2F1 (x3 + I0)

(k − 2F1)

u1 =L0

(k − 2F1)x3 +R1x3 − 2L0F1

(x3 + Io)

(k − 2F1)2

u1 =L0

(k − 2F1)x3 +R1x3 −

2L0F1x3

(k − 2F1)2 −2IoL0F1

(k − 2F1)2

u1 =L0

(k − 2F1)x3 +

(R1 −

2L0F1

(k − 2F1)2

)x3 −

2IoL0F1

(k +−2F1)2 (C.2.7)

Observe que en la expresión (C.2.7) se necesita sustituir la parametrización de x3, así comosu primera derivada, x3. Por lo tanto, se desarrolla la primera derivada de x3.


x3 =

((k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k − 2F1)2 F1

)− 12

(σ5 + σ6 + σ7)

donde:

σ5 =2 (k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0) F2

σ6 = (F2 + I0)2 4 (k + 2F1)2 (k − 2F1) F1 + 4 (k − 2F1)2 (k + 2F1) F1

(k + 2F1)4

σ7 = −mL0

(k − 2F1)2 ...F 1 −

4m

L0

(k − 2F1) F1F1

simplicando:

x3 =1

2 (x3 + I0)

2(k − 2F1)2

(k + 2F1)2(F2 + I0) F2 + σ8 −

m

L0

(k − 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k − 2F1) F1F1

(C.2.8)

donde:

195


σ8 = (F2 + I0)2

(4 (k − 2F1) F1

(k + 2F1)2 +4 (k − 2F1)2 F1

(k + 2F1)3

)

Para obtener la parametrización de u1 sólo hay que sustituir las expresiones (C.2.6), (C.2.8)en (C.2.7). Así, se obtiene lo siguiente:

u1 =1

2(x3 + I0)

(µ7F2 + µ8F1 − µ9

...F 1 − µ10F1F2

)+ µ11x4 − µ12F1

donde µ7 = 2L0(k−2F1)(k+2F1)2

(F2 + I0), µ8 = (F2 + I0)2(

4L0

(k+2F1)2+ 4L0(k−2F1)

(k+2F1)3

),

µ9 = m (k − 2F1), µ10 = 4m, µ11 =(R2 − 2L0F1

(k−2F1)2

)y µ12 = 2L0I0

(k−2F1).

De forma similar, se parametriza la entrada u2, primeramente, se despeja de la cuartaecuación diferencial de (C.2.1) dada mediante:

x4 = −R2

Lo(k + 2x1)x4 + 2x2

x4 + Iok + 2x1

+(k + 2x1)

L0

u2

Sustituyendo a x1, x2 y x4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.3),(C.2.5) y (C.2.4), respectivamente, y despejado a u2 se obtiene:

(k + 2F1)

L0

u2 = F2 +R2

L0

(k + 2F1)F2 −2F1 (F2 + I0)

(k + 2F1)

u2 =L0

(k + 2F1)F2 +R2F2 +

2I0F1 (F2 + I0)

(k + 2F1)2 (C.2.9)

Se observa que las parametrizaciones que se obtuvieron con la salida plana (C.2.2)son opuestas con respecto a las parametrizaciones mediante la expresión (5.3.54) en laSubsección 5.3.2.

Sistema vertical v

El procedimiento para el sistema no lineal vertical es análogo al que se mostróanteriormente para el sistema no lineal horizontal.


196


y1

y2

y3

y4

=

y2

Lom

(y3+Iok−2y1

)2

−(y4+Iok+2y1

)2

+ g

−R3

Lo(k − 2y1) y3 − 2y2

y3+Iok−2y1

−R4

Lo(k + 2y2) y4 + 2y2

y4+Iok+2y1

+1

Lo

0 00 0

k − 2y1 00 k + 2y1

[ u3

u4

]

(C.2.10)

Para vericar que el sistema (C.2.10) es plano diferencialmente, primero se requiereproponer un conjunto de variables, de tal manera que satisfaga las condiciones de laDenición 2.1 de la Subsección 2.1.1. Una vez satisfecha la denición, el conjunto devariables propuesto calica como salida plana.


F =

[F1

F2

]=

[y1

y4

](C.2.11)

De igual manera, en el trabajo de Lévine ya se demostró que la posición del centro de masadel rotor es una componente de la salida plana. Ahora, se está proponiendo una segundacomponente, la variable y4, la corriente. Sólo resta que vericar que la segunda variablecalique como una componente de la salida plana.

La primera condición de la Denición 2.1 está satisfecha, ya que las variables y1 y y4 nodependen entre ellas, por lo que son independientes y sus derivadas sucesivas en el tiempotambién lo son. Además que no satisfacen ecuación diferencial alguna.

La segunda condición también está satisfecha, porque las componentes de la salida planadependen de y1, y4 que son variables del vector del estado.

Queda corroborar la última condición, vericar que el vector del estado y el vector deentrada de control se puedan expresar como funciones de las componentes de F , la salidaplana.

Ahora, sólo queda vericar que (C.2.11) parametriza las variables del sistema (C.2.10).La primera parametrización se obtiene de manera directa de la primera componente de lasalida plana de la siguiente manera:

y1 = F1 (C.2.12)

De igual manera, la segunda parametrización se obtiene de forma inmediata de la segundacomponente de (C.2.11),

y4 = F2 (C.2.13)

Se sabe que y1 = F1 y que la primera ecuación diferencial de (C.2.10) es y1 = y2, entonces,derivando a F1 y sustituyendo se obtiene:

197


y2 = F1 (C.2.14)

Queda parametrizar la variable y3, para ello, primeramente, se tiene que despejar de lasegunda ecuación diferencial del sistema (C.2.10) dada:

y2 =L0

m

((y3 + I0)2

(k − 2y1)2 −(y4 + I0)2

(k + 2y1)2

)+ g

Sustituyendo a y1, y2 y y4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.12),(C.2.14) y (C.2.13), respectivamente, y despejado a y3 se obtiene:

0 =(y3 + I0)2

(k − 2F1)2 −(F2 + I0)2

(k + 2F1)2 −m

L0

F1 +mg

L0

(y3 + I0)2 =(k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 +m

L0

(k − 2F1)2 F1 +mg

L0

(k − 2F1)2

y3 =

((k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k − 2F1)2 F1 +mg

L0

(k − 2F1)2

)1/2

− I0 (C.2.15)

La expresión (C.2.15) es la parametrización de y3.

Ahora, sólo resta parametrizar las entradas de control. Primeramente, se despeja u3 de latercera ecuación diferencial de (C.2.10) dada por:

y3 = −R3

L0

(k − 2y1) y3 −2y2 (y3 + I0)

(k − 2y1)+

(k − 2y1)

L0

u3

Sustituyendo a y1, y2 y y4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.12),(C.2.14) y (C.2.13), respectivamente, y despejado a u3 se obtiene:

(k − 2F1)

L0

u3 = y3 +R3

L0

(k − 2F1)y3 +2F1 (y3 + I0)

(k − 2F1)

u3 =L0

(k − 2F1)y3 +R3y3 − 2L0F1

(y3 + Io)

(k − 2F1)2

u3 =L0

(k − 2F1)y3 +R3y3 −

2L0F1y3

(k − 2F1)2 −2IoL0F1

(k − 2F1)2

198


u3 =L0

(k − 2F1)y3 +

(R3 −

2L0F1

(k − 2F1)2

)y3 −

2IoL0F1

(k +−2F1)2 (C.2.16)

Observe que en la expresión (C.2.16) se necesita sustituir la parametrización de y3, asícomo su primera derivada, y3. Por lo tanto, se desarrolla la primera derivada de y3.

Derivando la parametrización de y3 se obtiene:

y3 =

((k − 2F1)2

(k + 2F1)2 (F2 + I0)2 − m

L0

(k − 2F1)2 F1

)− 12

(τ6 + τ7 + τ8)

donde:

τ6 =2(k − 2F1)2

(k + 2F1)2(F2 + I0) F2

τ7 = (F2 + I0)2 4(k + 2F1)2(k − 2F1)F1 + 4(k − 2F1)2(k + 2F1)F1

(k + 2F1)4

τ8 = −mL0

(k − 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k − 2F1)F1F1 +4mg

L0

(k − 2F1) F1

simplicando:

y3 =1

2 (y3 + I0)

2(k − 2F1)2

(k + 2F1)2(F2 + I0) F2 + τ9 −

m

L0

(k − 2F1)2...F 1 −

4m

L0

(k − 2F1) F1F1 + τ10

(C.2.17)

donde:

τ9 = (F2 + I0)2

(4 (k − 2F1) F1

(k + 2F1)2 +4 (k − 2F1)2 F1

(k + 2F1)3

)

τ10 =4mg

L0

(k − 2F1) F1

Para obtener la parametrización de u3 sólo hay que sustituir las expresiones (C.2.15),(C.2.17) en (C.2.16). Así, se obtiene lo siguiente:

u3 =1

2(y3 + I0)

(µ7F2 + µ8F1 − µ9

...F 1 − µ10F1F2 + ηF1

)+ µ11y4 − µ12F1 (C.2.18)

199


donde η = 4mg.

De forma similar, se parametriza la entrada u4, primeramente, se despeja de la cuartaecuación diferencial de (C.2.10) dada mediante:

y4 = −R4

Lo(k + 2y1) y4 + 2y2

y4 + Iok + 2y1

+(k + 2y1)

L0

u2

Sustituyendo a y1, y2 y y4 por sus parametrizaciones dadas en las expresiones (C.2.12),(C.2.14) y (C.2.13), respectivamente, y despejado a u4 se obtiene:

(k + 2F1)

L0

u4 = F2 +R4

L0

(k + 2F1)F2 −2F1 (F2 + I0)

(k + 2F1)

u4 =L0

(k + 2F1)F2 +R4F2 +

2I0F1 (F2 + I0)

(k + 2F1)2 (C.2.19)

Se observa que las parametrizaciones que se obtuvieron con la salida plana (C.2.11)son opuestas con respecto a las parametrizaciones mediante la expresión (5.3.80) en laSubsección 5.3.2.

200

Apéndice D

Códigos de programación

D.1. Introducción

En este apéndice se presenta la documentación de todos los programas que se desarrollaronpara la simulación del rodamiento magnético de cuatro polos. También, se describe,a grandes rasgos, la estructura general de cada programa y, además, se indican quéexpresiones se emplearon para obtener las simulaciones y sus correspondientes grácas.

Dentro del disco que acompaña a esta tesis, se encuentra una carpeta con el título deControl del rodamiento magnético y, dentro de ésta, se encuentran las carpetas con losnombres AMB_LRR_FLAT_eje_X_Y, AMB_No_lineal_FLAT_eje_X_Y, que cadauna contiene los archivos de simulación del sistema lineal y no lineal, respectivamente.

Cada carpeta contiene los siguientes programas y la numeración indica el orden en el cualse deben de ejecutar para obtener las grácas correspondientes, como se muestra en laTabla D.1.1.

Archivos: Sistema lineal Archivos: Sistema no lineal1.− fn_bez ier22.−Datos_LRR_lineal_X_Y3.−AMB_Nonlinear_LRR_X4.−AMB_Nonlinear_LRR_Y5.−Graficas_Flat_LRR_X_Y_fig_individual

1.− fn_bez ier22.−Datos_No_lineal_X_Y3.−AMB_Nonlinear_X4.−AMB_Nonlinear_Y5.−Graficas_Flat_No_lineal_X_Y_fig_individual

Tabla D.1.1 Orden de ejecución de los archivos de simulación.

Los programas Gracas_Flat_LRR_X_Y_g_individual y Gracas_Flat_No_lineal-_X_Y_g_individual, ejecutan, respectivamente, de manera automática los archivosen simulink (Diagramas de simulación) denominados Flat_LRR_Nolineal_X_Y yFlat_Nonlinnear_AMB_X_Y, los cuales se encuentran en sus respectivas carpetas.

201

APÉNDICE D. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN

D.2. Códigos de programación del sistema lineal del


El código que se presenta a continuación se llama fn_bezier2. Es la programación de laexpresión (2.2.18) para generar las curvas algebraicas de tipo Bézier. Este tipo de curvaestá diseñada para el problema particular de control de llevar a un sistema dinámico deun estado inicial en reposo a otro estado nal en reposo (problema de control rest to rest).

%________________________________________________%PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE LAS CURVAS DE BÉZIER%_________________________________________________function pb = fn_bez ier2 ( ts , Ps , n , t )% Función Bez ier . Entrega en pb e l Vector de Puntos de un% pol inomio Bez ier .% Se de f inen en t s = [ t0 t f ] , l o s t iempos i n i c i a l y f i n a l% Se de f inen en P = [P0 Pf ] , l o s v a l o r e s i n i c i a l y f i n a l% Se de f i n e e l orden de l po l inomio n % Tiempo T

%#### Condiciones i n i c i a l e s ####P0 = Ps ( 1 ) ; % Valor I n i c i a lPf = Ps ( 2 ) ; % Valor Fina lt0 = t s ( 1 ) ; % Tiempo I n i c i a lt f = t s ( 2 ) ; % Tiempo Fina l

% Creación de l o s PuntosP = 0 : n ; % Vector de Puntospar = mod(n , 2 ) ; % Determina s i e l orden es pari f par == 0 % Orden Par

for i = 2 : n/2P( i ) = P0 ;

end

for i = ( ( n/2)+2):nP( i ) = Pf ;

end

P( ( n/2)+ 1)=P0 + (Pf−P0 )/2 ;else % Orden Impar

for i = 2 : ( n+1)/2P( i ) = P0 ;

end

for i = ( ( n+1)/2)+1:n+1P( i ) = Pf ;

end

end

P(1) = P0 ; % Valor I n i c i a lP(n+1) = Pf ; % Valor Fina l

202

D.2. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN DEL SISTEMA LINEAL DELRODAMIENTO MAGNÉTICO

cont = 0 ;i f t < t0

cont = cont + 1 ;B( cont ) = P0 ;

else

i f t <= t fy=0;

for i = 0 : na = f a c t o r i a l (n )/ ( f a c t o r i a l ( i )∗ f a c t o r i a l (n−i ) ) ;b = ( ( t f−t )/ ( t f−t0 ) )^(n−i ) ;c = ( ( t−t0 )/ ( t f−t0 ))^ i ;d = P( i +1);y = y + a∗b∗c∗d ;

end

cont = cont + 1 ;B( cont ) = y ;

else

cont = cont + 1 ;B( cont ) = Pf ;

end

end

pb = B;

Código de programación del Sistema horizontal h

A continuación se presenta y se describe a grandes rasgos la estructura del programa delsistema horizontal h. Básicamente el código está dividido en tres partes. En la primeraparte del código, se denen los parámetros de simulación, se congura el programa deacuerdo con el número de variables, entradas y salidas del sistema. Por último se denenlas condiciones iniciales de simulación del programa.

%______________________________________________________________% %SISTEMA HORIZONTAL h DEL AMB LINEALIZADO POR RETROALIMENTA−% %CIÓN ROBUSTA%______________________________________________________________function [ sys , x0 , s t r , t s ] = AMB( t , x , u , f lag )% Parámetros de s imulac ión :m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %OhmsI0 = 6∗10^−2; % Amperek=2∗g0+a ; %m

% Conf igurac ión de l programa :

203


switch f lag

case 0 % In i c i a l i z a c i ó nsys = [ 4 , %Número de e s tados cont inuos d e l s i s tema

0 , % Números de e s tados d i s c r e t o s d e l s i s tema5 , %Número de s a l i d a s d e l s i s tema2 , %Número de entradas d e l s i s tema0 , % rese rved must be zero1 , % Indicador de a l imentac ión d i r e c t a1 ] ; %Número de muestreos

% Condiciones i n i c i a l e s d e l s i s tema :x0 = [0.1∗10^−3 ,0 , I0 , I0 ] ' ;s t r = [ ] ; t s = [ 0 0 ] ; % Tiempo de muestreo : [ periodo , o f f s e t ]

En la segunda parte del código se programaron las expresiones αr (4.5.6), βr (4.5.5), la leyde control no lineal linealizante (4.3.4) y el sistema (4.4.1); las cuales son alfar_x, betar_x,U y el Sistema no lineal del AMB de la forma x_dot= f(x) + g(x)u, respectivamente. Lasexpresiones programadas en esta parte se encuentran en el Capítulo 4.

case 1% al far_x = al fac_x + betac_x∗L∗inv_T∗ zcal far_x = [ R1∗x(3)+2∗L0∗x ( 2 )∗ ( ( I0+x ( 3 ) ) / ( ( k−2∗x(1))^2))−k∗R1 ∗ . . .

( ( x ( 3 ) ) / ( k−2∗x (1)))−(2/k )∗ I0 ∗L0 ∗ ( ( x ( 2 ) ) / ( k−2∗x ( 1 ) ) ) ;R2∗x(4)−x (3 )∗ ( ( 2/ k )∗ I0 ∗ ( (R2)/(2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x ( 1 ) ) . . .−(2/k )∗ I0 ∗ ( (R1)/(2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x(1))+k∗R1 ∗ . . .

( ( I0+x ( 3 ) ) / ( ( I0+x ( 4 ) )∗ ( k−2∗x (1 ) )^2 ) )∗ ( k+2∗x (1)))+k∗R2 ∗ . . .( ( ( ( ( I0+x (3 ) )^2 )/ ( ( k−2∗x (1))^2)) − ( ( ( I0+x ( 4 ) ) ^ 2 ) / . . .( ( k+2∗x (1 ) )^2 ) ) ) / ( 2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x (1))−(8/(k ^ 2 ) ) ∗ . . .I0 ^2∗R2∗ ( ( x (1 ) ) / (2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x(1))+2∗L0∗x ( 2 ) ∗ . . .( ( ( I0+x (3 ) )^2 )/ ( ( I0+x ( 4 ) )∗ ( k−2∗x (1 ) )^3 ) )∗ ( k+2∗x ( 1 ) ) − . . .(2/k )∗ I0 ∗L0∗x ( 2 )∗ ( ( I0+x ( 3 ) ) / ( ( I0+x ( 4 ) )∗ ( k−2∗x ( 1 ) ) ^ 2 ) ) ∗ . . .( k+2∗x ( 1 ) ) ] ;

% betar_x = betac_x∗inv_Rbetar_x = [ (k/(k−2∗x ( 1 ) ) ) 0

k ∗ ( ( I0+x ( 3 ) ) / ( ( I0+x ( 4 ) )∗ ( k−2∗x (1 ) )^2 ) )∗ ( k+2∗x ( 1 ) ) − . . .(2/k )∗ ( ( I0 )/(2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x ( 1 ) )(2/k )∗ ( ( I0 )/(2∗ I0+2∗x ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗x ( 1 ) ) ] ;

%#### Contro l no l i n e a l l i n e a l i z a n t e ####

U= al far_x + betar_x ∗ [ u ( 1 ) ; u ( 2 ) ] ;

% Sistema no l i n e a l d e l AMB de l a forma x_dot= f ( x ) + g ( x )usys (1 ) = x ( 2 ) ;sys (2 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( x(3)+ I0 )^2/(k−2∗x(1))^2)−(x(4)+ I0 )^2/(k+2∗x ( 1 ) )^2 ) ;

204


sys (3 ) = −R1∗(k−2∗x (1 ) )∗ x (3)/L0 − 2∗x (2 )∗ ( x(3)+ I0 )/ ( k−2∗x ( 1 ) )+ . . .( ( k−2∗x (1 ) ) / L0)∗U( 1 ) ;

sys (4 ) = −R2∗( k+2∗x (1 ) )∗ x (4)/L0 + 2∗x (2 )∗ ( x(4)+ I0 )/ ( k+2∗x ( 1 ) )+ . . .( ( k+2∗x (1 ) ) / L0)∗U( 2 ) ;

En esta última parte del código se obtienen las salidas del sistema lineal. Se programó eldifeomorsmo robusto ϕr dado por la expresión (4.5.5).

case 2 % Actua l i z a c i ón de l o s e s tados d i s c r e t o ssys = [ ] ; %No hacer nada

case 3

% Sa l i da s d e l s i s tema AMB l i n e a l i z a d osys (1 ) = x ( 1 ) ;sys (2 ) = x ( 2 ) ;sys (3 ) = x ( 3 ) ;sys (4 ) = x (3)−(1/2)∗(( k^2)/( I0 ) ) ∗ ( ( ( ( I0+x (3 ) )^2 )/ ( ( k−2∗x ( 1 ) )^2 ) ) − . . .

( ( ( I0+x (4 ) )^2 )/ ( ( k+2∗x (1))^2)))+(4/ k )∗ I0 ∗x ( 1 ) ;% der ivada de l a v e l o c i dadsys (5 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( x(3)+ I0 )^2/(k−2∗x(1))^2)−(x(4)+ I0 )^2/(k+2∗x ( 1 ) )^2 ) ;case 9 % Fina l i z a c i ón de l programa

sys = [ ] ; %No hacer nadaotherw i s e

DAStudio . error ( ' Simulink : b locks : unhandledFlag ' , num2str( f lag ) ) ;end

Para provocar fallas internas en el sistema h sólo se agregó las siguientes lineas despuésdel caso Case 1 de la siguiente manera:

%### Fa l l a s en l a s r e s i s t e n c i a s ###i f ( t >=0.3)

R1= 1−1∗0.2;e l s e i f ( t >=0.5)R2= 1+1∗0.2;

end

De manera similar, para provocar la perturbación se agregaron los siguientes comandosdespués del Case 1.

%### Perturbac ión en e l ro to r ###i f ( t >=0.7) && ( t <=0.71)

m = 4∗cos ( t ) ;end

Código de programación del Sistema vertical v

A continuación se presenta y se describe la estructura del programa del sistema verticalv. En la primera parte del código, se denen los parámetros de simulación, se congura

205


el programa de acuerdo con el número de variables, entradas y salidas del sistema. Porúltimo se denen las condiciones iniciales de simulación del programa.

%_______________________________________________________________________% %SISTEMA VERTICAL v DEL AMB LINEALIZADO POR RETROALIMENTACIÓN−% ROBUSTA%_______________________________________________________________________function [ sys , y0 , s t r , t s ] = AMB( t , y , u , f lag )% Parámetros de s imulac ión :m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %OhmsI0 = 6∗10^−2; % Amperek=2∗g0+a ; %mg= 9 . 8 1 ; %m/s

% Conf igurac ión de l programa :switch f lag

case 0 % I n i t i a l i z a t i o nsys = [ 4 , %Número de e s tados cont inuos d e l s i s tema

0 , % Números de e s tados d i s c r e t o s d e l s i s tema5 , %Número de s a l i d a s d e l s i s tema2 , % nNúmero de entradas d e l s i s tema0 , % rese rved must be zero1 , % Indicador de a l imentac ión d i r e c t a1 ] ; %Número de muestreos

% Condiciones i n i c i a l e s d e l s i s tema :x0 = [−0.1∗10^−3 ,0 , I0 , I0 ] ' ;s t r = [ ] ; t s = [ 0 0 ] ; % Tiempo de muestreo : [ periodo , o f f s e t ]

En esta segunda parte del código, de igual manera, se programaron las expresiones αr(4.5.13), βr (4.5.12), la ley de control no lineal linealizante (4.3.4) y el sistema (4.4.10); lascuales son alfar_y, betar_y, U y el Sistema no lineal del AMB de la forma y_dot= f(y)+ g(y)u, respectivamente. Las expresiones programadas en esta parte se encuentran en elCapítulo 4.

case 1% al far_y = al fac_y + betac_y∗L∗inv_T∗ zcal far_y = [R1∗y(3)+2∗L0∗y ( 2 )∗ ( ( I0+y ( 3 ) ) / ( ( k−2∗y(1))^2))−k∗R1 ∗ . . .

( ( y ( 3 ) ) / ( k−2∗y (1)))−(2/k )∗ I0 ∗L0 ∗ ( ( y ( 2 ) ) / ( k−2∗y ( 1 ) ) ) ;R2∗y(4)−y (3 )∗ ( ( 2/ k )∗ I0 ∗ ( (R2)/(2∗ I0+2∗y ( 4 ) ) ) ∗ . . .( k+2∗y(1))−(2/k )∗ I0 ∗ ( (R1)/(2∗ I0+2∗y ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗y ( 1 ) )+ . . .k∗R1∗ ( ( I0+y ( 3 ) ) / ( ( I0+y ( 4 ) )∗ ( k−2∗y ( 1 ) ) ^ 2 ) ) ∗ . . .

206


( k+2∗y (1)))−(8∗ I0 ^2∗R2/k^2)∗y (1 )∗ ( k+2∗y ( 1 ) ) / . . .(2∗ I0+2∗y(4))+2∗L0∗y (2 )∗ ( I0+y (3) )^2∗ ( k+2∗y ( 1 ) ) / . . .( ( I0+y ( 4 ) )∗ ( k−2∗y (1))^3)+(k∗m∗R2∗( k+2∗y (1 ) ) / L0 ∗ . . .(2∗ I0+2∗y ( 4 ) ) ) ∗ ( g+(L0/m)∗ ( ( I0+y (3) )^2/( k−2∗y (1 ) )^2 − . . .( I0+y (4) )^2/( k+2∗y(1))^2))−2∗ I0 ∗L0∗y (2 )∗ ( I0+y ( 3 ) ) ∗ . . .( k+2∗y (1 ) ) / k∗( I0+y ( 4 ) )∗ ( k−2∗y ( 1 ) ) ^ 2 ] ;

% betar_y = betac_y∗inv_R ;betar_y = [ ( k/(k−2∗y ( 1 ) ) ) 0

k ∗ ( ( I0+y ( 3 ) ) / ( ( I0+y ( 4 ) )∗ ( k−2∗y (1 ) )^2 ) )∗ ( k+2∗y ( 1 ) ) − . . .(2/k )∗ ( ( I0 )/(2∗ I0+2∗y ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗y ( 1 ) )(2/k )∗ ( ( I0 )/(2∗ I0+2∗y ( 4 ) ) ) ∗ ( k+2∗y ( 1 ) ) ] ;

%#### Contro l no l i n e a l l i n e a l i z a n t e ####

U= al far_y + betar_y ∗ [ u ( 1 ) ; u ( 2 ) ] ;

% Sistema no l i n e a l d e l AMB de l a forma y_dot= f ( y ) + g ( y )usys (1 ) = y ( 2 ) ;sys (2 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( y(3)+ I0 )^2/(k−2∗y(1))^2)−(y(4)+ I0 )^2/(k+2∗y(1))^2)+g ;sys (3 ) = −R1∗(k−2∗y (1 ) )∗ y (3)/L0 − 2∗y (2 )∗ ( y(3)+ I0 )/ ( k−2∗y ( 1 ) )+ . . .

( ( k−2∗y (1 ) ) / L0)∗U( 1 ) ;sys (4 ) = −R2∗( k+2∗y (1 ) )∗ y (4)/L0 + 2∗y (2 )∗ ( y(4)+ I0 )/ ( k+2∗y ( 1 ) )+ . . .

( ( k+2∗y (1 ) ) / L0)∗U( 2 ) ;

En esta última parte del código se obtienen las salidas del sistema lineal mediante laprogramación del difeomorsmo robusto ϕr dado por la expresión (4.5.11).


case 3

% Sa l i da s d e l s i s tema AMB l i n e a l i z a d osys (1 ) = y ( 1 ) ;sys (2 ) = y ( 2 ) ;sys (3 ) = y ( 3 ) ;sys (4 ) = y(3)+(4/k )∗ I0 ∗y (1)−(1/2)∗(( k^2)∗m/( I0 ∗L0 ) )∗ ( g+(L0/m) ∗ . . .

( ( ( ( I0+y (3 ) )^2 )/ ( ( k−2∗y (1))^2)) − ( ( ( I0+y ( 4 ) ) ^ 2 ) / . . .( ( k+2∗y ( 1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ;

% der ivada de l a v e l o c i dadsys (5 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( y(3)+ I0 )^2/(k−2∗y(1))^2)−(y(4)+ I0 ) ^ 2 / . . .

( k+2∗y(1))^2)+g ;case 9 % Fina l i z a c i ón de l programasys = [ ] ; %No hacer nadaotherw i s eDAStudio . error ( ' Simulink : b locks : unhandledFlag ' , num2str( f lag ) ) ;end

207


Para provocar fallas internas en el sistema v sólo se agregó las siguientes lineas despuésdel caso Case 1 de la siguiente manera:

%### Fa l l a s en L0 y I0 ###i f ( t >=0.25)

L0= 3∗10^−4+3∗10^−4∗0.1;e l s e i f ( t >=0.5)I0= 6∗10^−2+6∗10^−2∗0.1;

end

De manera similar, para provocar la perturbación se agregaron los siguientes comandosdespués del Case 1.


m = 4∗ sin ( t ) ;end

Datos de simulación para el sistema completo del rodamiento magnético

Este código tiene los datos para la ejecución de los programas AMB_Nonlinear_LRR_Xy AMB_Nonlinear_LRR_Y. A continuación se describe la estructura del código.

En esta primera parte se presentan los parámetros que requiere el archivo de simulinkdenominado Flat_LRR_Nolineal_X_Y para ser ejecutado.

%________________________________________%DATOS PARA LA EJECUCIÓN DE LOS PROGRAMAS%_________________________________________%#### Parametros d e l s i s tema AMB ####m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %OhmsI0 = 6∗10^−2; % Amperek = 2∗g0+a ; %mg = 9 . 8 1 ; %m/s^2

En esta segunda parte del código se programaron los coecientes de los controladorestipo GPI basados en platitud diferencial para el sistema horizontal h. Estos coecientesse sustituyeron en la expresión (2.2.22) para obtener dos controladores retroalimentadospara el seguimiento de trayectorias.

%#### Ganancias para e l con t ro l ador GPI de l s i s tema h de l AMB ####

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a pos i c i ón

208


% Ganancias d e l po l inomio de 4 orden de l a po s i c i on

wnxr1=500; g i x r1 =50; Bxr1=100;K1xr = conv (conv ( [ 1 Bxr1 ] , [ 1 Bxr1 ] ) , [ 1 2∗ g ix r1 ∗wnxr1 wnxr1 ^ 2 ] ) ;

kx3=K1xr ( 2 ) ; kx2=K1xr ( 3 ) ;kx1=K1xr ( 4 ) ; kx0=K1xr ( 5 ) ;

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a c o r r i e n t e

wnxr2=60; g ix r2 =3;Kx1=2∗g ix r2 ∗wnxr2 ; Kx0=wnxr2^2;

En esta tercera parte se programaron las ganancias de los controladores tipo GPI basadosen platitud diferencial para el sistema vertical v. Estas ganancias se sustituyeron paraen la expresión para obtener los controladores retroalimentados para el seguimiento detrayectorias. En la última parte se programaron los coecientes de acoplamiento para elacoplamiento de los sistemas h y v.

%#### Ganancias para e l con t ro l ador GPI de l s i s tema v de l AMB ####

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a po s i c i ón

wnYr1=400; giYr1=40; BYr1=90;K1Yr = conv (conv ( [ 1 BYr1 ] , [ 1 BYr1 ] ) , [ 1 2∗ giYr1∗wnYr1 wnYr1 ^2 ] ) ;

kY3=K1Yr ( 2 ) ; kY2=K1Yr ( 3 ) ; kY1=K1Yr ( 4 ) ; kY0=K1Yr ( 5 ) ;

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a c o r r i e n t e

wnYr2=60; giYr2=1;KY1=2∗giYr2∗wnYr2 ; KY0 =wnYr2^2;

%#### Factor de Acoplamiento de l o s s i s t emas h y v ###

% fy = kmx∗Fx% f x = kmy∗Fy% Fx y Fy son l a s f u e r z a s e l e c t r i c a s que no es tan sobre l o s e j e s X y Y% respec t i vamente .kmx = 0 . 1 ; kmy = 0 . 1 ;

Todos los datos que contiene el programa ya descrito son para llevar a cabo la ejecucióndel archivo de simulink denominado Flat_LRR_Nolineal_X_Y.

209


Diagramas de Simulink del sistema del rodamiento magnético linealizado

En la Figura D.2.1 se muestra el diagrama de simulación del rodamiento magnético linealh en el entorno del paquete de Matlab, denominado Simulink.

Figura D.2.1 Diagrama de simulación del sistema lineal horizontal h del rodamientomagnético.

Las expresiones (5.3.16), (5.3.17) son los controladores prealimentados que se implemen-taron en el ambiente de Simulink. De igual manera, los controladores retroalimentados(5.3.20), (5.3.21) de tipo GPI se implementaron en el mismo entorno.

En la Figura D.2.2 se muestra el diagrama de simulación del rodamiento magnético linealv en el entorno del paquete Simulink.

210


Figura D.2.2 Diagrama de simulación del sistema lineal vertical v del rodamientomagnético .


Los diagramas de Simulink que se mostraron en las Figuras D.2.1 y D.2.2 se encuentranen la misma hoja de simulación, la cual se llama Flat_LRR_Nolineal_X_Y.

Programa para la obtención de las grácas de las simulaciones

Por último, se describe la estructura del programa desarrollado para obtener las grácascorrespondientes del sistema lineal.

En esta primera parte se ejecuta de manera automática el archivo de SimulinkFlat_LRR_Nolineal_X_Y mediante el comando sim. Después, se obtienen las grácasdel seguimiento de las referencias de la posición del rotor y de la corriente para sistema h.

%_________________________________________________________%PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LAS GRÁFICAS DEL AMB LINEAL%_________________________________________________________% Simula e l a rch i vo de Simul inksim Flat_LRR_Nolineal_X_Yn= 2 ; %grosor de l a s l i n e a s

%#### Gráf icas para e l e j e x d e l AMB l i n e a l i z a d o a l a LRR ####% Seguimiento e j e X

f igure ( 1 ) ;

211


plot ( t , xr1_X , ' r ' , t ,F1_X, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itx_r_1 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t x ∗_r_1 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Seguimiento de Trayector ia ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Pos i c i ón [m] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 2 ) ;plot ( t , xr4_X , ' g ' , t ,F1_X+F2_X, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itx_r_4 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t x ∗_r_4 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ; set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Seguimiento de t r a y e c t o r i a ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Cor r i ente [A] ' , ' FontSize ' , 30)set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

En esta parte del código se obtienen las grácas de las parametrizaciones de las variablesxr2 y xr3 y se comparan con las del sistema.

% Parametr ización e j e xf igure ( 3 ) ;

plot ( t , xr2_X , ' r ' , t ,F1d_X, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itx_r_2 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t x ∗_r_2 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Parametr izac ión de x_r_2 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Veloc idad [m/ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 4 ) ;plot ( t , xr3_X , ' g ' , t , xr3para_X , 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itx_r_3 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t x ∗_r_3 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Parametr izac ión de x_r_3 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Cor r i ente [A] ' , ' FontSize ' , 30)set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

De manera similar, en esta parte del programa se obtienen las grácas del seguimiento delas referencias de la posición del rotor y de la corriente para sistema v.

% Seguimiento e j e Yf igure ( 5 ) ;

212


plot ( t , xr1_Y , ' r ' , t ,F1_Y, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ ity_r_1 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t y ∗_r_1 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Seguimiento de Trayector ia ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Pos i c i ón [m] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 6 ) ;plot ( t , xr4_Y , ' g ' , t ,F1_Y+F2_Y, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ ity_r_4 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t y ∗_r_4 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Seguimiento de t r a y e c t o r i a ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Cor r i ente [A] ' , ' FontSize ' , 30)set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

En esta parte se obtienen las guras de las parametrizaciones de la variables yr2 y yr3 .

% Parametr ización e j e yf igure ( 7 ) ;

plot ( t , xr2_Y , ' r ' , t ,F1d_Y, 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ ity_r_2 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t y ∗_r_2 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Parametr izac ión de y_r_2 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Veloc idad [m/ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 8 ) ;plot ( t , xr3_Y , ' g ' , t , xr3para_Y , 'bh ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ ity_r_3 ' , ' \ f o n t s i z e 20\ i t y ∗_r_3 ' , ' Locat ion ' ,

' SouthEast ' ) ;t i t l e ( ' Parametr izac ión de y_r_3 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Cor r i ente [A] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

En esta parte se obtienen las señales de control wr1 y wr2 del sistema h.

%#### Gráf icas de l a s s eña l e s de con t r o l wr1 y wr2 en e l e j e X ####f igure ( 9 ) ;

plot ( t ,Ur1_X, ' r ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;

213


l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itw_r_1 ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Señal de con t r o l ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Volts [V] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 1 0 ) ;plot ( t ,Ur2_X, ' g ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itw_r_2 ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Señal de con t r o l ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Volts [V] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

En esta parte se obtienen las señales de control wr3 y wr4 del sistema v.

%#### Gráf icas de l a s s eña l e s de con t r o l wr3 y wr4 en e l e j e Y ####f igure ( 1 1 ) ;

plot ( t ,Ur1_Y, ' r ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itw_r_3 ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Señal de con t r o l ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Volts [V] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 1 2 ) ;plot ( t ,Ur2_Y, ' g ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ itw_r_4 ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) ;t i t l e ( ' Señal de con t r o l ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Volts [V] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

Ahora se muestra el código que genera la gráca del posicionamiento del rotor en elcentro del rodamiento magnético. Se graca el posicionamiento del sistema h contra elposicionamiento del sistema v.

%#### Gráf ica d e l pos ic ionamiento d e l ro to r ####f igure ( 1 3 ) ;

plot (xr1_X , xr1_Y , ' r ' , ' LineWidth ' , 2 . 5 ) ; grid on ;axis ( [−0.12 e−3 0 .12 e−3 −0.2e−3 0 .2 e−3])l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ i tPos i c i onamiento ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) ;set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )

214

D.3. CÓDIGOS DE PROGRAMACIÓN DEL SISTEMA NO LINEAL DELRODAMIENTO MAGNÉTICO

t i t l e ( ' Pos ic ionamiento de l e j e para e l AMB l i n e a l i z a d o a l a LRR' ,' FontSize ' ,28 , 'FontName ' , ' Times ' ) ;

xlabel ( ' Pos i c i ón [m] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Pos i c i ón [m] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

Por último, en esta parte se gracan los errores de seguimiento x∗r1−xr1 y x∗r4−xr4 , y∗r1−yr1

y y∗r4 − yr4 de los sistemas h y v, respectivamente, del rodamiento magnético.

%#### Gráf ica de l o s e r ro r e s de segu imiento para l o s s i s t emas h y v ####f igure ( 1 4 ) ;

plot ( t ,F1_X−xr1_X , ' r ' , t ,F1_Y−xr1_Y , 'b ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ i tE r r o r de seguimiento de x_r_1 ' ,

' \ f o n t s i z e 20\ i tE r r o r de segu imiento de y_r_1 ' , ' Locat ion ' ,' SouthEast ' ) ;

set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Error de segu imiento de x_r_1 y y_r_1 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' ,

' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Pos i c i ón [m] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;set (gca , ' Fonts i z e ' , 2 0 ) ;

f igure ( 1 5 ) ;plot ( t ,F1_X+F2_Y−xr4_X , ' g ' , t ,F1_X+F2_Y−xr4_Y , 'b ' , ' LineWidth ' ,n ) ; grid on ;l e g = legend ( ' \ f o n t s i z e 20\ i tE r r o r de seguimiento de x_r_4 ' ,

' \ f o n t s i z e 20\ i tE r r o r de segu imiento de y_r_4 ' , ' Locat ion ' ,' SouthEast ' ) ;

set ( leg , 'FontName ' , ' De fau l t ' )t i t l e ( ' Error de segu imiento de x_r_4 y y_r_4 ' , ' FontSize ' ,40 , 'FontName ' ,

' Times ' ) ;xlabel ( 'Tiempo [ s ] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;ylabel ( ' Cor r i ente [A] ' , ' FontSize ' , 3 0 ) ;

D.3. Códigos de programación del sistema no lineal del


De igual manera, se programó la expresión (2.2.18) que se encuentra en el Capítulo 2, quees el mismo código que se presentó anteriormente con el nombre fn_bezier2

Código de programación del Sistema horizontal h

A continuación se presenta y se describe a la estructura del programa del sistema horizontalh. Básicamente el código está dividido en tres partes. En la primera parte del código, sedenen los parámetros de simulación, se congura el programa de acuerdo con el número

215


de variables, entradas y salidas del sistema y, por último, se denen las condiciones inicialesde simulación del programa.

%_________________________________________% %SISTEMA HORIZONTAL h DEL AMB NO LINEAL%_________________________________________function [ sys , x0 , s t r , t s ] = AMB( t , x , u , f lag )

% Parámetros de s imulac ión :m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %OhmsI0 = 6∗10^−2; % Amperek=2∗g0+a ; %m




% Condiciones i n i c i a l e s d e l s i s tema :x0 = [0.1∗10^−3 ,0 , I0 , I0 ] ' ;s t r = [ ] ;t s = [ 0 0 ] ; % Tiempo de muestreo : [ periodo , o f f s e t ]

En esta segunda parte del código se programó la expresión (3.5.3) del sistema no linealhorizontal h, el cual se encuentra comentado como Sistema no lineal del AMB de la formax_dot= f(x) + g(x)u.

case 1% Sistema no l i n e a l d e l AMB de l a forma x_dot= f ( x ) + g ( x )usys (1 ) = x ( 2 ) ;sys (2 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( x(3)+ I0 )^2/(k−2∗x(1))^2)−(x(4)+ I0 ) ^ 2 / . . .

( k+2∗x ( 1 ) )^2 ) ;sys (3 ) = −R1∗(k−2∗x (1 ) )∗ x (3)/L0 − 2∗x (2 )∗ ( x(3)+ I0 )/ ( k−2∗x ( 1 ) )+ . . .

( ( k−2∗x (1 ) ) / L0)∗u ( 1 ) ;sys (4 ) = −R2∗( k+2∗x (1 ) )∗ x (4)/L0 + 2∗x (2 )∗ ( x(4)+ I0 )/ ( k+2∗x ( 1 ) )+ . . .

( ( k+2∗x (1 ) ) / L0)∗u ( 2 ) ;

216



En esta última parte del código se obtienen las salidas del sistema no lineal.

case 3% Sa l i da s d e l s i s tema AMB no l i n e a lsys (1 ) = x ( 1 ) ;sys (2 ) = x ( 2 ) ;sys (3 ) = x ( 3 ) ;sys (4 ) = x ( 4 ) ;sys (5 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( x(3)+ I0 )^2/(k−2∗x(1))^2)−(x(4)+ I0 ) ^ 2 / . . .

( k+2∗x ( 1 ) )^2 ) ;

case 9 % Fina l i z a c i ón de l programaotherwi s e sys = [ ] ; %No hacer nadaDAStudio . error ( ' Simulink : b locks : unhandledFlag ' , num2str( f lag ) ) ;

end

Para provocar fallas internas en el sistema no lineal h sólo se agregó las siguientes lineasdespués del caso Case 1 de la siguiente manera:

%### Fa l l a s en l a s r e s i s t e n c i a s ###i f ( t >=0.3)

R1= 1−1∗0.2;e l s e i f ( t >=0.5)R2= 1+1∗0.2;

end

De manera similar, para provocar la perturbación se agregaron los siguientes comandosdespués del caso Case 1.


m = 4∗cos ( t ) ;end

Código de programación del Sistema vertical v

A continuación se presenta y se describe la estructura del programa del sistema no linealvertical v. En la primera parte del código, se denen los parámetros de simulación, secongura el programa de acuerdo con el número de variables, entradas y salidas del sistemay, por último, se denen las condiciones iniciales de simulación del programa.

%_________________________________________% %SISTEMA VERTICAL v DEL AMB NO LINEAL%_________________________________________function [ sys , y0 , s t r , t s ] = AMB( t , y , u , f lag )

217


% Parámetros de s imulac ión :m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %OhmsI0 = 6∗10^−2; % Amperek=2∗g0+a ; %mg=9.81; %m/s^2




% Condiciones i n i c i a l e s d e l s i s tema :x0 = [−0.1∗10^−3 ,0 , I0 , I0 ] ' ;s t r = [ ] ;t s = [ 0 0 ] ; % Tiempo de muestreo : [ periodo , o f f s e t ]

En esta segunda parte del código se programó la expresión (3.6.3) del sistema no linealvertical v, el cual se encuentra comentado como Sistema no lineal del AMB de la formay_dot= f(y) + g(y)u.

case 1% Sistema no l i n e a l d e l AMB de l a forma x_dot= f ( y ) + g ( y )usys (1 ) = y ( 2 ) ;sys (2 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( y(3)+ I0 )^2/(k−2∗y(1))^2)−(y(4)+ I0 ) ^ 2 / . . .

( k+2∗y(1))^2)+g ;sys (3 ) = −R1∗(k−2∗y (1 ) )∗ y (3)/L0 − 2∗y (2 )∗ ( y(3)+ I0 )/ ( k−2∗y ( 1 ) )+ . . .

( ( k−2∗y (1 ) ) / L0)∗u ( 1 ) ;sys (4 ) = −R2∗( k+2∗y (1 ) )∗ y (4)/L0 + 2∗y (2 )∗ ( y(4)+ I0 )/ ( k+2∗y ( 1 ) )+ . . .

( ( k+2∗y (1 ) ) / L0)∗u ( 2 ) ;


En esta última parte del código se obtienen las salidas del sistema no lineal v.

case 3

218


% Sa l i da s d e l s i s tema AMB no l i n e a lsys (1 ) = y ( 1 ) ;sys (2 ) = y ( 2 ) ;sys (3 ) = y ( 3 ) ;sys (4 ) = y ( 4 ) ;sys (5 ) = (L0/m) ∗ ( ( ( y(3)+ I0 )^2/(k−2∗y(1))^2)−(y(4)+ I0 ) ^ 2 / . . .

( k+2∗y(1))^2)+g ;

case 9 % Fina l i z a c i ón de l programaotherwi s e sys = [ ] ; %No hacer nadaDAStudio . error ( ' Simulink : b locks : unhandledFlag ' , num2str( f lag ) ) ;

end

Para provocar fallas internas en el sistema no lineal v sólo se agregaron las siguientes lineasdespués del caso Case 1 de la siguiente manera:

%### Fa l l a s en L0 y I0 ###i f ( t >=0.25)

L0= 3∗10^−4+3∗10^−4∗0.1;e l s e i f ( t >=0.5)I0= 6∗10^−2+6∗10^−2∗0.1;

end

De manera similar, para provocar la perturbación se agregaron los siguientes comandosdespués del caso Case 1.


m = 4∗ sin ( t ) ;end

Datos de simulación para el sistema completo del rodamiento magnético

Este código tiene los datos para la ejecución de los programas AMB_Nonlinear_X yAMB_Nonlinear_Y. A continuación se describe la estructura del código.

En esta primera parte se presentan los parámetros que requiere el archivo de simulinkdenominado Flat_AMB_Nolineal_X_Y para ser ejecutado.

%________________________________________%DATOS PARA LA EJECUCIÓN DE LOS PROGRAMAS%_________________________________________%#### Parametros d e l s i s tema AMB ####m = 2 ; %Kgg0 = 1∗10^−3; %mL0 = 3∗10^−4; %Hma = 1.25∗10^−5; %mR1 = 1 ; %OhmsR2 = 1 ; %Ohms

219


I0 = 6∗10^−2; % Amperek = 2∗g0+a ; %mg = 9 . 8 1 ; %m/s^2

En esta segunda parte del código se programaron los coecientes de los controladores tipoGPI basados en platitud diferencial para el sistema no lineal horizontal h. Estos coecientesse sustituyeron en la expresión (2.2.22) para obtener dos controladores retroalimentadospara el seguimiento de trayectorias.

%#### Ganancias para e l con t ro l ador GPI de l s i s tema h de l AMB ####

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a pos i c i ón% Ganancias d e l po l inomio de 4 orden de l a po s i c i onanX1=100; bnX1=3; BX=350;KNLX = conv (conv ( [ 1 BX] , [ 1 BX] ) , [ 1 2∗bnX1∗anX1 anX1^2 ] )

kX3=KNLX( 2 ) ; kX2=KNLX( 3 ) ; kX1=KNLX( 4 ) ; kX0=KNLX( 5 ) ;

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a c o r r i e n t eanX2=2; bnX2=1;KX1=2∗bnX2∗anX2 ; KX0=anX2^2;

En esta tercera parte se programaron las ganancias de los controladores tipo GPI basadosen platitud diferencial para el sistema no lineal vertical v. Estas ganancias se sustituyeronpara en la expresión para obtener los controladores retroalimentados para el seguimientode trayectorias. En la última parte se programaron los coecientes de acoplamiento parael acoplamiento de los sistemas no lineales h y v.

%#### Ganancias para e l con t ro l ador GPI de l s i s tema v de l AMB ####

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a pos i c i ón% Ganancias d e l po l inomio de 4 orden de l a po s i c i on

anY1=100; bnY1=3; BY=350;KNLY = conv (conv ( [ 1 BY] , [ 1 BY] ) , [ 1 2∗bnY1∗anY1 anY1^2 ] )

kY3=KNLY( 2 ) ; kY2=KNLY( 3 ) ; kY1=KNLY( 4 ) ; kY0=KNLY( 5 ) ;

% Ganancias d e l po l inomio para e l segu imiento de l a r e f e r en c i a de%l a c o r r i e n t eanY2=20; bnY2=1;KY1=2∗bnY2∗anY2 ; KY0=anY2^2;

%#### Factor de Acoplamiento de l o s s i s t emas h y v ###

220


% fy = kmx∗Fx% f x = kmy∗Fy% Fx y Fy son l a s f u e r z a s e l e c t r i c a s que no es tan sobre l o s e j e s X y Y% respec t i vamente .kmx = 0 . 1 ; kmy = 0 . 1 ;

Todos los datos que contiene el programa ya descrito son para llevar a cabo la ejecucióndel archivo de simulink denominado Flat_Nonlinnear_AMB_X_Y.

Diagramas de Simulink del sistema del rodamiento magnético linealizado

En la Figura D.3.1 se muestra el diagrama de simulación del rodamiento magnético nolineal h en el entorno del paquete de Matlab, denominado Simulink.

Figura D.3.1 Diagrama de simulación del sistema no lineal horizontal h delrodamiento magnético.


En la Figura D.3.2 se muestra el diagrama de simulación del rodamiento magnético linealv en el entorno del paquete Simulink.

221


Figura D.3.2 Diagrama de simulación del sistema no lineal vertical v del rodamientomagnético .


Los diagramas de Simulink que se mostraron en las Figuras D.3.1 y D.3.2 se encuentranen la misma hoja de simulación, la cual se llama Flat_Nonlinnear_AMB_X_Y.

Programa para la obtención de las grácas de las simulaciones

El programa realizado para obtener las grácas del sistema no lineal completo (Sistemash y v) se denomina Gracas_Flat_No_lineal_X_Y_g_individual. Básicamente esteprograma tiene la misma estructura que el sistema lineal, por lo que se omite la descripciónde este programa.

222

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