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UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Posgrado en Matematicas

Controlabilidad y el teorema de Brammer

T E S I S

Que para obtener el grado academico de:

Maestro en Ciencias

(Matematicas)

Presenta:

Jorge Antonio Lopez Renteria

Director de Tesis: Dr. Martın Eduardo Frıas Armenta

Hermosillo, Sonora, Mexico, 13 de Enero del 2009


Jorge A. Lopez R. UNISON 2

SINODALES

Dr. Alvaro Alvarez ParrillaCICESE, Ensenada, Baja California.

Dr. Baltazar Aguirre HernandezUAM-IZTAPALAPA, Cd. de Mexico.

Dr. Fernando Verduzco GonzalezUNISON, Hermosillo, Sonora.

MC. Horacio Leyva CastellanosUNISON, Hermosillo, Sonora.


Agradecimientos

Quiero agradecer a la institucion CONACyT por el apoyo que me dio como becario durante miestancia en el posgrado en matematicas y en el proyecto “K-comportamiento de las triangulacionesde Whiyney de discos y graficas de sondeo”, con numero 79073, a cargo del Dr. Martın EduardoFrıas Armenta. Al Fondo 12918 PIFI para la Consolidacion del Cuerpo Academico “Geometrıa ySistemas Dinamicos”, por apoyarme como becario durante mi realizacion del presente trabajo detesis. Tambien quiero agradecer a la Division de Ciencias Exactas y Naturales por apoyarme en elprograma de becas de ayudantıa.

Quiero presentarle mis agradecimientos a mi director de tesis, al Dr. Martın Eduardo Frıas Armen-ta, que en el transcurso del perıodo de maestrıa supo dirigirme firmemente para enriquecer misconocimientos en esta area de matematicas, y por el enorme apoyo que me brindo como gran amigoque es. Mis agradecimientos tambien a mis sinodales, el Dr. Fernando Verduzco Gonzalez, al M.C.Horacio Leyva Castellanos, al Dr. Baltazar Aguirre Hernandez y el Dr. Alvaro Alvarez Parrilla,por sus correcciones y crıticas que me fueron de gran ayuda, tanto como para la realizacion de mitesis como en lo personal. A los que fueron directores del posgrado en matematicas, al Dr. RubenFlores Espinoza y el Dr. Fernando Luque Vasquez, por la ayuda que me brindaron a lo largo de lamaestrıa. A todos los maestros que me impartieron su interesante clase, muchas gracias.

Quiero tambien mostrar mis agradecimientos a mis companeros del posgrado, Marysol, Jessica,Dalicia, David, Misael, Hector, Laura, Guadalupe Miguel, Martha Patricia, Adriana, por mencionaralgunos con quienes vivı la mayor parte de mi tiempo de estudios. Quiero ofrecerle mis agradec-imientos a Manuel Ocejo por su valiosa ayuda en la elaboracion de este trabajo en el programaLATEX. A todo el personal academico y administrativo, quienes tambien me obsequiaron un poco desu valioso tiempo atendiendo mis necesidades.

De manera muy personal, quiero agradecer a toda mi familia, en especial a mi madre Dora Artem-iza Renteria, quien ha sido mi gran apoyo moral cuando lo necesito, ademas de tener una razon deseguir adelante. Al esposo de mi madre, Ramon, por cuidar de ella y ası, yo estoy tranquilo. A miabuelo Jose Guillermo Renteria, que ademas de ser siempre mi amigo, es tambien mi padre y a elle debo todos esos consejos que han hecho evolucionar mi perspectiva de la vida, haciendo de mi unhombre de provecho. A mis hermanos, Ricardo, Brissa, Eloy y Jessica, a mi cunada Yajaira, esposade Ricardo; Juliana, esposa de Eloy; Chesua, esposo de Jessica; Mary carmen y Joaquın, hermanosde mi esposa, que de todos ellos tambien he recibido apoyo moral y animos de superacion. A misuegra Mary Gonzalez, que sus grandes consejos nos han ayudado a mi esposa y a mi en nuestravida matrimonial. Por ultimo y no menos importante, mis dos razones de ser, mi esposa Marıade los Angeles y mi hija Angelita, que gracias a ellas mi vida esta llena de felicidad y por ellas,puedo con gusto hacer matematicas, ya que sin ellas al frente, mi vida fuera sentimentalmente vacıa.

A todos aquellos que por descuido no han sido incluıdos y estuvieron brindandome su apoyo, mismas sinceras disculpas y mis agradecimientos por todo lo que he recibido de ustedes.


Indice general

1. Algebra lineal 19

1.1. Polinomios y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2. Vectores propios, valores propios y el polinomio caracterıstico . . . . . . . . . . . . . 211.3. Triangulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4. Descomposicion primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5. Maximo comun divisor y factorizacion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. Aplicacion a la descomposicion de un espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7. La forma normal de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Ecuaciones diferenciales 45

2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. Sistemas de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Controlabilidad 51

3.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. El teorema de Brammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Algunas caracterizaciones de sistemas CCP 71

4.1. Caso real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Caso complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Teorıa de graficas 93

5.1. Graficas y subgraficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3. Graficas dirigidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4. Busqueda de valores propios usando tecnicas de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9

Introduccion

En el presente trabajo, se hace una revision principalmente sobre controlabilidad con controlespositivos. Particularmente, se presenta una demostracion completa del teorema de caracterizacionde Brammer para sistemas lineales autonomos de la forma

x = Ax + Bu

En el primer capıtulo, comenzamos con el espacio de polinomios K[t]. Sea A : V → V un operadorlineal. Existe un polinomio no nulo f ∈ K[t] tal que f(A) = 0. Mas aun, existe un vector propiono nulo de A. Si λ1, . . . , λn son los n valores propios distintos de A, y la multiplicidad algebraicade cada valor propio coincide con su multiplicidad geometrica, entonces es posible encontrar unabase v1, . . . , vn de vectores propios, con la cual la matriz asociada con el operador lineal A, esdiagonal. Si la multiplicidad geometrica no coincide con la algebraica, entonces la base esta formadade vectores propios generalizados. El subespacio propio Vλk

, es el subespacio de V generado porlos vectores propios asociados a λk. El subespacio propio generalizado V ′

λk, es el generado por los

vectores propios generalizados asociados a λk. Un abanico de A en V , es una sucesion de subespaciosV1, . . . , Vn, de tal forma que cada Vk ⊂ Vk+1, k = 1, . . . , n− 1; la dimension de Vk es k, y cada Vk

es A invariante. Una base v1, . . . , vn es de abanico para V , si v1, . . . , vk es base de Vk. Siemprees posible encontrar una base de abanico para V , si V es un espacio vectorial de dimension finitasobre los numeros complejos. Ademas, la matriz asociada con el operador lineal A, es una matriztriangular superior. Consecuentemente, tenemos que si P (t) es el polinomio caracterıstico de A,entonces P (A) = 0 (Teorema de Cayley-Hamilton). Como consecuencia de todo lo anterior, se tieneque si

P (t) = (t − λ1)m1(t − λ2)

m2 · · · (t − λs)ms

es la factorizacion del polinomio caracterıstico, entonces ker(A − λkI)mk = V ′λk

y

V =s⊕

k=1

V ′λk

.

Donde la union ordenada de las bases de cada subespacio invariante V ′λk

, es una base ordenada paraV , llamada base de Jordan. Luego, con el cambio a la base de Jordan, obtenemos la forma canonicade Jordan.

En el segundo capıtulo, definimos los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenx = Ax, para las cuales siempre podemos encontrar una solucion de la forma x(t) = eAtc, dondec = (c1, . . . , cn) es un vector constante. Si se presenta el problema con condicion inicial x(0) = x0,la solucion es unica y toma la forma x(t) = eAtx0. Si λ es un valor propio de A y v un vector propio

11


asociado con lambda, entonces una solucion es de la forma x(t) = eAtv. Mas aun, si λ1, . . . , λn

son sus distintos valores propios de A (de multiplicidad uno) con sus respectivos vectores propiosv1, . . . , vn, la solucion general es de la forma

x(t) = c1v1eλ1t + · · · + cnvneλnt.

Si los valores propios λ1, . . . , λs, s ≤ n, son tales que λk tiene multiplicidad mk ≥ 1, entoncespara cada k, podemos encontrar mk vectores propios generalizados linealmente independientesvk 1, . . . , vk mk

, y una solucion de la forma

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj ,

donde Pkj(t) son polinomios reales determinados por la multiplicidad geometrica de λk. Ası que, lasolucion general es de la forma

s∑

k=1

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj .

En el tercer capıtulo se trabaja sobre el sistema de control

x = Ax + Bu, (1)

donde x ∈ Rn, A ∈ Mn×n(R), B ∈ Mn×m(R) y u ∈ Ω ⊂ R

m. x es la variable de estado y Ω es elconjunto de controles admisibles. CH(Ω) es el casco convexo de Ω. R(t) es el conjunto de puntos(estados) que se pueden alcanzar desde un estado inicial x0 mediante controles admisibles u ∈ Ω,en un intervalo finito de tiempo, J : t0 ≤ t ≤ t1. R(t) es compacto, convexo y varıa continuamenteen t1 > t0. Mas aun, si Ω se extiende a su casco convexo y RCH(t) es el conjunto de alcanzabilidadcon controles en CH(Ω), entonces RCH(t1) = R(t1). Consecuentemente, si P es un punto en R(t1),existe una vecindad V de P y δ > 0 tal que cada R(t) contiene a V en su interior, si |t0 − t1| < δ.Todo esto nos lleva a uno de los resultados mas fuertes en teorıa de control, se refiere al rangolleno de la matriz de controlabilidad, es decir, el sistema (1) es controlable si y solo si la matriz decontrolabilidad

C(A, B) =[B AB A2B · · ·An−1B

],

tiene rango n. El sistema (1) es nulo-controlable si existe una vecindad V del orıgen, tal que cualquierpunto de V lo podemos dirigir hacia el orıgen mediante controles admisibles en Ω. Si restringimosel conjunto de controles admisibles Ω a un cono de R

m, con vertice en el orıgen, decimos que elsistema es positivamente controlable, si es controlable con controles en Ω.El teorema principal sobre controlabilidad positiva, en este trabajo, es el teorema de Brammer.Si existe un control u ∈ Ω, tal que Bu = 0 y CH(Ω) 6= φ, entonces las condiciones necesarias ysificientes para que (1) sea nulo-controlable son

(i) rango C(A, B) = n

(ii) no exista vector propio v de AT tal que

〈v, Bu〉 ≤ 0, para toda u ∈ Ω.



Como consecuencia tenemos que si Ω ⊂ Rm es un cono con vertice en el orıgen con interior dis-

tinto del vacıo, entonces (i) y (ii) son condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto dealcanzabilidad sea todo R

n.En el cuarto capıtulo se presentan algunas caracterizaciones de sistemas con control positivo conla Matriz A en forma de Jordan o diagonal por bloques de Jordan, cuyas pruebas se basan en elteorema de Brammer. Si el sistema (1) tiene como matriz A, un solo bloque de Jordan de tamanon × n, con un solo valor propio real, de tal forma que su multiplicidad geometrica coincide con laalgebraica, entonces el sistema es positivamente controlable con n + 1 controles si y solo si, B tienerango n y existe una columna bk de B tal que

bk =n+1∑

j=1,j 6=k

cjbj , con cj < 0.

De hecho, no es positivamente controlable con n o menos controles.Si (1) tiene a la matriz A como un solo bloque de Jordan de tamano n×n, con un valor propio realtal que su multiplicidad geometrica es igual a uno, entonces el sistema es positivamente controlablesi y solo si, en el ultimo renglon de B hay dos entradas distintas de signos opuestos. Mas aun, solose necesitan dos controles para su controlabilidad.Si la matriz A del sistema (1) es un solo bloque de Jordan de tamano n × n, con n valores propiosreales distintos, entonces el sistema es controlable con control positivo si solo si, en cada renglon deB hay dos entradas de signos opuestos.Para el caso complejo, la matriz A del sistema (1) es una matriz real de tamano 2n × 2n, como unsolo bloque de Jordan de la forma

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

, (2)

la cual tiene como valores propios complejos λ = α ± β, de multiplicidad n cada uno. La compleji-ficacion de A, esta definida como la matriz compleja de tamano n × n

AC

=

α − iβ 0 · · · 00 α − iβ · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · α − iβ

.

Por otro lado, la complejificacion para un vector real b = (b1, b2, b3, b4, . . . , b2n−1, b2n)T , se definecomo el vector complejo en C

n

bC =

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

.

Entonces el sistema (1) es controlable con control positivo si y solo si < BC >= Cn.

En el quinto capıtulo, tratamos un metodo para encontrar valores propios de matrices de grantamano. A es una matriz de tamano n × n y G(A) la grafica dirigida asociada a A. A1, . . . , Ar sonlas submatrices de A asociadas a las componentes cıclicas fuertes de G(A), entonces el conjunto



de valores propios de A, es igual a la union de los conjuntos de valores propios de A1, . . . , Ar,incluyendo multiplicidad. Algunas veces, las submatrices asociadas a las componentes cıclicas, notienen sus componentes agrupadas en un solo bloque dentro de A. En este caso, tenemos que separarlas componentes cıclicas de las acıclicas (aunque algunas veces una componente acıclica se puedecombinar con una cıclica para formar un ciclo mas grande). El primer paso es convertir a la matrizA en su forma booleana, denotada por AB, reemplazando todas sus entradas distintas de cero porel numero 1, y las entradas cero se mantienen igual a cero. Lo siguiente es encontrar una matrizP tal que la matriz AB sea similar a P−1ABP . En nuestro caso, la matriz P es una matriz depermutacion, cuya inversa P ′ = P T coincide con P−1. Luego, se identifican las componentes cıclicasde P ′ABP y se separan los respectivos bloques. Se realiza la transformacion P ′AP y se separan susbloques como los de P ′ABP . Tales bloques con las submatrices A1, . . . , Ar. Para encontrar la matrizde similaridad P , calculamos primero la matriz de alcanzabilidad R de la digrafica G(A) como

R = A0B ∨ A1

B ∨ · · · ∨ An−1B ,

donde AjB = AB ∨ ∧AB ∨ ∧AB ∨ ∧ · · · ∨ ∧AB. Enseguida, se calcula la transpuesta de la negacion

booleana de R, R′, y se realiza la multiplicacion R ∧ R

′. Una vez realisado estas operaciones,

realizamos el siguiente algoritmo:

(1) Suma aritmeticamente las entradas de cada columna de R ∧ R′.

(2) Para formar el vector de posiciones V , ordena de izquierda a derecha los numeros de la suma,de mayor a menor.

(3) Agrupa las posiciones que tengan el mismo valor.

(4) Repita (2) y (3) hasta agotar las posiciones.

y la matriz resultante es la matriz de permutacion P .


Introduction

In this work, we principally deal about controllability with positive controllers. Particulary, wepresent a complete proff of the Brammer’s theorem for linear autonomous systems in the form

x = Ax + Bu.

In the first chapter, we begin with the polynomials space K[t]. Let A : V → V be a linear trans-formation. There exists a nonzero polynomial f ∈ K[t] such that f(A) = 0. Moreover, there existsa non zero eigenvector of A. If λ1, . . . , λn are the n distinct eigenvalues of A, and the each oneeigenvalue algebraic multiplicity is equal to the geometric multiplicity, then there exists an eigen-vectors base v1, . . . , vn which the matrix associated with A is a diagonal matrix. If the geometricmultiplicity no matches the algebraic, then the base is composed by generalized eigenvectors. Theeigenspace Vλk

is the subspace of V generated by eigenvectors, and the generalized eigenspace V ′λ

is generated by generalized eigenvectors determined by λ.A fan of A on V is a subspace sequence V1, . . . , Vn, satisfying Vk ⊂ Vk+1, for all k = 1, . . . , n− 1;the rank of Vk is k; and every subspace Vk is A−invariant. A base v1, . . . , vn is a fan base for Vif v1, . . . , vk is a base for Vk. We ever can find a fan base for a vector space V over the complexnumbers. Furthermore, the associated matrix with A is an upper triangular matrix. Consequently,if P (t) is the characteristic polynomial of A, then we get the Hamilton-Cayley’s Theorem, i. e.,P (A) = 0.As a consecuence, if the factorization of the characteristic polynomial P (t) is given by

P (t) = (t − λ1)m1(t − λ2)

m2 · · · (t − λs)ms ,

then

ker(A − λkI)mk = V ′λk

,

and

V =s⊕

k=1

V ′λk

.

Therefore, the ordered bases junction of the eigenspaces V ′λk

is a ordered base for V called Jordanbase. Thus, by changing of base we obtain the Jordan canonic form.

In second chapter, we define the ordinary (linear) diferential equations systems

x = Ax,

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which we ever can find a solution in the form x(t) = eAt · c, where c = (c1, . . . , cn)T is a constantvector. If is presented the bounded problem with bounded value x(0) = x0, the solution is uniquelydetermined and takes the form x(t) = eAtx0. λ is an eigenvalue of A and v an eigenvector determinedby λ, then a solution is in the form x(t) = eAtv. Moreover, if λ1, . . . , λn are the distinct (withmultiplicity one) eigenvalues with respective eigenvectors v1, . . . , vn, the general solution has theform

x(t) = c1v1eλ1t + · · · + cnvneλnt.

If the eigenvalues λ1, . . . , λs, with s ≤ n, are such that λk has multiplicity mk ≥ 1, then for each k,we can find mk generalized eigenvectors linearly independents vk 1, . . . , vk mk

and a solution in theform

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj ,

where Pkj(t) are real polynomials determined by the geometric multiplicity of λk. Thus, the generalform solution takes the form

s∑

k=1

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj .

In the third chapter, we work around the control system

x = Ax + Bu, (3)

where x ∈ Rn, A ∈ Mn×n(R), B ∈ Mn×m(R) and u ∈ Ω ⊂ R

m. x is the state variable and Ω is theadmissible control set. CH(Ω) is the convex hull of Ω. R(t) is the set of reachable states which wecan reach from an initial state x0 with controllers u(t) ⊂ Ω on J : t0 ≤ t ≤ t1. R(t) is compact,convex and varies continuously with t1 > t0. Moreover, if Ω is relaxed to it convex hull CH(Ω)and if RCH(t) is the corresponding reachability set for all controllers u(t) ⊂ CH(Ω) on J , thenR(t1) = RCH(t1). As consecuence, if P lies in R(t1), there exists a neighborhood V of P and δ > 0such that each R(t) contains V if |t0 − t1| < δ.All this leads us to one of the strongest result on control theory, which refers to full rank of thecontrollability matrix C(A, B), that means, system (3) is controllable if only if the controllabilitymatrix

C(A, B) =[B AB A2B · · ·An−1B

]

has rank n. System (3) is null-controllable if there exist an origin neighborhood V such that anystate in V can be steered to origin with all controllers u(t) ⊂ Ω.The main theorem on controllability in this work is the Brammer’s theorem. If there exists u ⊂ Ωsuch that Bu = 0 and CH(Ω) 6= φ, then the following conditions are necessary and sufficient fornull-controllability of (3):

(i) RangoC(A, B) = n

(ii) there is no real eigenvector v of AT such that

〈v, Bu〉 ≤ 0 ∀u ∈ Ω.



As an inmediate consecuence, if Ω is any cone (orthant) of Rm with vertex at the origin and with

interior non empty, then (i) and (ii) are the conditions necessary and sufficient to ensure to R∞ beall R

n.

On fourth chapter, presents some characterizations of positive control systems with matrix A indiagonal Jordan form or block Jordan form, and each proff is based on the Brammer’s Theorem.Let (first orthant) Ω = R

m+ be the admissible control set, we say the system is controllable positively

if it is controllable with controller u(t) ⊂ Ω. If the system (3) has an n×n matrix A, with only onceblock real eigenvalue which it geometric and algebraic multiplicity are the same, then the system(3) is positively controllable with n + 1 controllers if and only if rank(B) = n and there exists acolumn bk in B such that

bk =n+1∑

j=1,j 6=k

cjbj , con cj < 0.

In fact, is not controllable with n controllers or less than these.If the system (3) has an n×n matrix A, with only once block real eigenvalue such that it geometricmultiplicity is one, then the system (3) is positively controllable if and only if, in the last line of B,there are two input with oppossed sign. Moreover, we need only two controls for controllability.If the system (3) has an n×n matrix A, with n different eigenvalues, then the system is controllablewith positive controllers if and only if, each row of B has two input with oppossed sign. On complexcase, the system (3) has an 2n × 2n real matrix A with only once block Jordan repetidely n timesin the form

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

, (4)

with eigenvalues λ = α±iβ, each one with multiplicity equal n. The Complejificacion of A is definedas the complex n × n matrix

AC

=

α − iβ 0 · · · 00 α − iβ · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · α − iβ

.

In other hand, the complejificacion for a 2n−vector is defined by the complex n−vector

bC =

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

.

Thus, the system (3) is controllable with positive controls if and only if < BC >= Cn.

In the fifth chapter, we deal a method with a view towards finding eigenvalues for long scale matrices.Let A be an n×n matrix and G(A) being it associated digraph. Let A1, . . . , Ar be the submatricesof A associated to strong aciclic components of G(A), and E(Ak) being the spectrum (eigenvaluesset) for each Ak, k = 1, . . . , r, then the spectrum of A is given by

E(A) = E(A1) ∪ · · · ∪ E(Ar)



including multiplicity. Sometimes, the entries of some submatrices which represents a strong cicliccomponent is not agruped on a block. To achieve this, we have to separate the aciclic and the cicliccomponents (though sometimes they must be combined to achieve a bigger ciclic component). Thefirst step is to change the matrix A to it boolean form, denoted as AB, by replacing all the nonzeroentries by the number one, the other zero entries stay there. The following is find a permutationmatrix P such that the matrix AB be similar to P ′ABP and it ciclic components being grouped onblocks. In this case the matrix P−1 matches P ′ = P T . Next, we identify the ciclic components ofP ′ABP and separate their corresponding blocks. Apply the transformation on to A to obtain P ′APand separate the blocks as done on P ′ABP . That blocks are the submatrices A1, . . . , Ar. To findthe permutation matrix P , calculate the reachability matrix R of the digraphic G(A) as

R = A0B ∨ A1

B ∨ · · · ∨ An−1B ,

where AjB = AB ∨∧AB ∨∧AB ∨∧ · · · ∨∧AB. Next, calculate the transpose of the boolean negation

of R, denoted as R′, and by multiplying R ∧ R

′. Finally, we follow the following algorithm:

(1) Sum arithmetically the entries of the columns of R ∧ R′.

(2) To for the vector of positions V , write from left to right the numbers of the sum which havethe same highest value.

(3) Group positions which have the same value together.

(4) Repeat (2) and (3) until full positions.

The matrix arising is the permutation matrix P .


1Capıtulo

Algebra lineal

Para empezar nuestro analisis objetivo en controlabilidad positiva, es necesario tener en cuentaalgunos conceptos basicos de algebra lineal que seran de bastante utilidad en el transcurso deldesarrollo de los temas siguientes. Tales conceptos que nos relacionan a dos tipos de objetos diferentescomo lo son los polinomios y los operadores lineales o sus matrices asociadas. En algunos contextos,no se hara distincion entre un operador lineal y su matriz asociada.

§ 1.1. Polinomios y matrices

1.1.1. Polinomios

Primero daremos las definiciones y reglas basicas para los polinomios.

K es un campo.

Definicion 1.1. Definimos un polinomio sobre K, como una funcion de K sobre sı mismo, tal queexisten elementos a0, a1, . . . , an ∈ K tales que

f(t) = antn + an−1tn−1 + · · · + a0

para todo t ∈ K. Al conjunto de polinomios con coeficientes en K se denota como K[t].

Tomemos

g(t) = bmtm + · · · + b0

en K[t], donde bj ∈ K, entonces se puede formar la suma f +g. Para n ≥ m se puede escribir bj = 0cuando j > m,

g(t) = 0tn + · · · + bmtm + · · · + b0,

entonces se pueden escribir los valores de la suma f + g como

f(t) + g(t) = antn + · · · + a0 + bntn + · · · + b0

= (an + bn)tn + · · · + (a0 + b0)

= (f + g)(t).

19


Ası, f + g es de nuevo un polinomio. Si c ∈ K, entonces

c(f(t)) = c(antn + · · · + a0)

= cantn + · · · + ca0

= (cf)(t),

y por tanto, cf es un polinomio. Se puede verificar facilmente que el conjunto de los polinomiosforman un espacio vectorial sobre K.

El producto de polinomios f · g es de nuevo un polinomio y esta dado por

f(t)g(t) = (antn + · · · + a0)(bmtm + · · · + b0)

= (anbm)tn+m + · · · + (a0b0)

= (fg)(t).

Es facil ver que si f(t) = g(t), con f(t) = antn + · · · + a0 y g(t) = bntn + · · · + b0, entonces ai = bi

para toda i.A la potencia mas grande en t tal que su coeficiente es distinto de cero se le llama grado de f yse escribe grad(f). Dado que el termino de mayor potencia de f(t)g(t) es anbmtn+m, con an y bm

distintos de cero, concluimos que

grad(fg) = grad(f) + grad(g).

Mas adelante veremos algunos teoremas relacioneados con factorizacion y raıces de polinomios.

1.1.2. Polinomios de matrices y operadores lineales

A es una matriz cuadrada con coeficientes en K. Tomemos f ∈ K[t] y escribamos

f(t) = antn + · · · + a0,

con ai ∈ K.

Definicion 1.2. Se define la evaluacion de A en f como

f(A)def= anAn + an−1A

n−1 + · · · + a1A + a0I.

Por las reglas dadas en la seccion anterior

(f + g)(t) = f(t) + g(t),

(fg)(t) = f(t)g(t),

cf(t) = (cf)(t),

es facil ver que

(f + g)(A) = f(A) + g(A)

(fg)(A) = f(A)g(A)

cf(A) = (cf)(A).



Teorema 1.1. A es una matriz de n×n sobre un campo K. Entonces existe un polinomio no nulof ∈ K[t], tal que f(A) = 0.

Demostracion. Dado que el espacio vectorial de matrices sobre K es de dimension finita iguala n2. Por tanto, las potencias I, A, A2, . . . , AN son linealmente dependientes para N > n2. Estosignifica que existen numeros a0, . . . , aN en K no todos iguales a cero tales que

aNAN + · · · + a0I = 0.

Tomando f(t) = aN tN + · · · + a0, se obtiene lo que se quiere.

Observacion 1.2. Notese que si f(t) = aN tN + · · · + a0 y f(A) = 0, entonces cf(A) = 0. SiaN 6= 0, hagamos c = 1

aNy b0 = a0

aN, lo que nos arroja g(t) = tN + · · · + b0 que es un polinomio de

grado N con coeficiente inicial igual a 1, ademas g(A) = 0.

§ 1.2. Vectores propios, valores propios y el polinomio caracterıstico

V es un espacio vectorial sobre un campo K y A : V → V un operador lineal.

Definicion 1.3. Un elemento v ∈ V se llama vector propio de A si existe λ ∈ K tal que Av = λv.

Si v 6= 0, entonces λ esta determinado en forma unica, debido a que λ1v = λ2v implica que λ1 = λ2.En este caso, se dice que λ es valor propio de A correspondiente al vector propio v.

Definicion 1.4. Tomemos λ ∈ K. Vλ es el subespacio de V generado por todos los vectores propiosde A que tienen a λ como valor propio. Al subespacio Vλ se le conoce como subespacio propio de Acorrespondiente a λ.

Entonces, todo elemento no nulo de Vλ es vector propio de A con λ como valor propio, pues siv1, v2 ∈ Vλ, entonces

A(v1 + v2) = Av1 + Av2 = λv1 + λv2 = λ(v1 + v2)

y si c ∈ K, entonces A(cv1) = c(Av1) = cλv1 = λcv1.

Si v1 y v2 son vectores propios de A con correspondientes valores propios λ1 6= λ2, entonces v1 + v2

no es valor propio de A. Mas formalmente, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.3. V es un espacio vectorial sobre K y A : V → V un operador lineal de V . Seanλ1, . . . , λm valores propios distintos de A con v1, . . . , vm sus correspondientes vectores propios. En-tonces, v1, . . . , vm son linealmente independientes.

Demostracion. Se hara por induccion sobre m. Para m = 1 es obvio. para m = 2, supongase larelacion

c1v1 + c2v2 = 0. (1.1)



Debemos probar que c1 = c2 = 0. Multiplıquese (1.1) por λ1 para obtener

c1λ1v1 + c2λ1v2 = 0. (1.2)

Multipliquemos ahora (1.1) por A y por linealidad obtenemos

Ac1v1 + Ac2v2 = c1λ1v1 + c2λ2v2 = 0. (1.3)

Restamos (1.2) y (1.3) y obtenemos

c2λ1v2 − c2λ2v2 = (λ1 − λ2)c2v2 = 0.

como λ1 6= λ2 y v2 6= 0, entonces c2 = 0. De aquı que c1 = 0.Supongase cierto el enunciado para m = k − 1 y mostremos que se cumple para m = k. Hagase

c1v1 + · · · + ckvk = 0. (1.4)

Debemos mostrar que ci = 0 para toda i = 1, . . . , k. Multiplicando (1.4) por λk,

c1λkv1 + · · · + ckλkvk = 0. (1.5)

Aplicamos ahora A a (1.4) y por linealidad se obtiene

Ac1v1 + · · · + Ackvk = c1λ1v1 + · · · + ckλkvk = 0. (1.6)

Restamos (1.5) y (1.6) para obtener

(λk − λ1)c1v1 + · · · + (λk − λk−1)ck−1vk−1 = 0.

Dado que λk 6= λj , j = 1, · · · , k − 1, por hipotesis de induccion se obtiene que c1 = · · · ck−1 = 0 yde la ecuacion (1.4) nos queda ckvk = 0, de aquı que ck = 0, lo que prueba el teorema.

Teorema 1.4. V es un espacio vectorial sobre los numeros complejos. Supongase que dimV ≥ 1.A : V → V es un operador lineal. Entonces existe un vector propio no nulo de A.

Demostracion. Por el teorema 1.1 existe un polinomio no nulo tal que f(A) = 0. Supongase queel grado de f es n. Por la observacion 1.2, se puede suponer que el coeficiente inicial de f es iguala 1. Por el teorema fundamental del algebra, existen numeros complejos λ1, . . . , λn tales que

f(t) = (t − λ1) · · · (t − λn).

entonces,

0 = f(A) = (A − λ1I) · · · (A − λnI).

No todos los operadores A−λiI son invertibles, pues si todas lo fueran entonces (A−λ1I) · · · (A−λnI)serıa invertible, lo que es imposible. Por tanto, para alguna i, existe un vector v ∈ V , v 6= 0 tal que(A − λiI)v = 0. Luego entonces Av = λiv.

Notese que el teorema no es valido si V es un espacio vectorial sobre R, en lugar de serlo so-bre C.



Definicion 1.5. v1, . . . , vn es una base ordenada para un espacio vectorial V y A : V → V es unoperador lineal, la matriz asociada a A con respecto a la base v1, . . . , vn es

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...an1 an2 · · · ann

,

donde para cada i = 1, . . . , n,

Avi = a1iv1 + · · · + anivn.

El vector columna (a1i, a2i, . . . , ani)T se le llama vector de coordenadas de Avi.

Teorema 1.5. V es un espacio vectorial sobre un campo K y A : V → V es un operador lineal.Supongase que existe una base v1, . . . , vn de V formada solamente de vectores propios de A convalores propios λ1, . . . , λn respectivamente. Entonces, la matriz asociada a A con respecto a estabase es la matriz diagonal

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

......

0 0 · · · λn

Demostracion. Para cada i se tiene

Avi = λivi = c1v1 + · · · + cnvn ⇐⇒ ci = λi,

por lo que el vector de coordenadas es (0, 0, . . . , λi, 0, . . . , 0)T . Luego, la matriz asociada se expresade la forma

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

......

0 0 · · · λn

.

Corolario 1.6. V es un espacio vectorial sobre K con dimension igual a n. A : V → V es unoperador lineal. Supongase que A tiene n valores propios distintos entre sı. Entonces V tiene unabase que consta de vectores propios de A y, por consiguiente, A se puede diagonalizar.

Demostracion. Dado que A tiene n valores propios distintos, digamos, λ1, . . . , λn. v1, . . . , vn sonvectores propios asociados a λ1, . . . , λn respectivamente. Por el teorema 1.3 son linealmente inde-pendientes y ası, forman una base para V . Por el teorema 1.5 la matriz asociada a A con respectoa esta base, es una matriz diagonal.

Vamos a ver la importancia y relacion del polinomio caracterıstico con los valores propios y supropio operador.



Definicion 1.6. A es una matriz cuadrada de tamano n×n y Sn el conjunto de permutaciones den elementos. Definimos el determinante de A, denotado por |A| o Det(A), como el numero

Det(A) = |A| =∑

σ∈Sn

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde sgn(σ) es igual a 1 si la permutacion σ se expresa como producto de un numero par detransposiciones, y -1 si σ se expresa como producto de un numero impar de transposiciones.

Definicion 1.7. A = (aij) es una matriz de tamano n × n sobre un campo K. El polinomiocaracterıstico de A se define como el determinante

PA(t) = Det(tI − A) = Det

t − a11 −a12 · · · −a1n

−a21 t − a22 · · · −a2n

......

...−an1 −an2 · · · t − ann

.

Teorema 1.7. A es una matriz de n×n sobre un campo K. Un elemento λ ∈ K es un valor propiode A si y solo si λ es una raız del polinomio caracterıstico de A.

Demostracion. Suponga que λ es valor propio de A. Entonces Ker(λI −A) 6= 0, y ası λI −A essingular. Ası que, PA(λ) = Det (λI −A) = 0. Luego entonces, λ es raız del polinomio caracterıstico.Inversamente, si λ es raız del polinomio caracterıstico, entonces Det (λI − A) = 0, lo que implicaque Ker(λI − A) 6= 0. Ası que existe un vector v no nulo tal que (λI − A)v = 0. De aquı queλv = Av.

Teorema 1.8. A y B son dos matrices de n × n. Supongase que B es invertible. Entonces elpolinomio caracterıstico de A es igual al polinomio caracterıstico de B−1AB.

Demostracion. Por definicion del polinomio caracterıstico y por propiedades de los determinantesse tiene

Det(tI − B−1AB) = Det[B−1(tI − A)B]

= Det(B−1)Det(tI − A)Det(B)

= Det(B−1)Det(B)Det(tI − A)

= Det(tI − A)

Lo cual prueba lo deseado.



1.2.1. Vectores propios generalizados

A es una matriz de tamano n × n y λ es un valor propio de A. El numero de veces que aparece λcomo valor propio se le llama multiplicidad algebraica. Si λ tiene multiplicidad algebraica m < n,entonces para k = 1, . . . , m, cualquier vector v 6= 0 que satisfaga

(A − λI)kv = 0

es llamado vector propio generalizado de A. Si

P (λ) = (λ − λ1)m1 · · · (λ − λs)

ms

es el polinomio caracterıstico de A, con λ1, . . . , λs los distintos valores propios de A. Como ya sedijo en la seccion anterior, para cada valor propio λj , al subespacio

Vλj= v ∈ V |(A − λjI)(v) = 0

se le llama subespacio propio Vλjy sus elementos son vectores propios asociados a λj . A la dimension

de Vλjse le llama multiplicidad geometrica de λj . Analogamente, al subespacio

V ′λj

= v ∈ V |(A − λjI)r(v) = 0 para algun r ∈ N

=⋃

r

ker (A − λjI)r

se le llama subespacio propio generalizado V ′λj

y sus elementos son vectores propios generalizadosasociados al valor propio λj . Veremos mas adelante, como consecuencia del teorema 1.23 que

Vλj

⋂∑

l 6=j

Vλl

= 0

para cada j = 1, . . . , k.

§ 1.3. Triangulacion

V es un espacio vectorial de dimension finita sobre un campo K. A : V → V es un operador lineal.

Definicion 1.8. Un subespacio W de V es invariante o A−invariante si AW ⊂ W , es decir, siw ∈ W , entonces Aw ∈ W .

Definicion 1.9. Un abanico de A (en V ) es una sucesion de subespacios V1, . . . , Vn tal queVi ⊂ Vi+1 para cada i = 1, . . . , n − 1, DimVi = i, ademas, cada Vi es A−invariante. Diremos quev1, . . . , vn es una base de abanico para V si v1, . . . , vi, es una base para Vi.

Observemos que una base de abanico depende tanto de V como de un operador lineal A : V → V .

Teorema 1.9. A : V → V es un operador lineal y v1, . . . , vn una base de abanico para V . Entoncesla matriz asociada a A con respecto a esa base es una matriz triangular superior.



Demostracion. Como v1, . . . , vi es una base para Vi y AVi ⊂ Vi, entonces existen numeros aij

tales que

Av1 = a11v1

Av2 = a12v1 + a22v2

...

Avn = a1nv1 + a2nv2 + · · · + annvn.

Por tanto, la matriz asociada a A con respecto a la base de abanico es

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

......

...0 0 · · · ann,

la cual es diagonal superior.

El teorema anterior nos proporciona una forma de obtener una matriz triangular, dado que setiene una base de abanico. La cuestion ahora, es saber si siempre existe una base de abanico o endebido caso, cuando existe. El siguiente teorema nos proporciona la respuesta.

Teorema 1.10. V es un espacio vectorial de dimension finita sobre los numeros complejos ysupongse que DimV ≥ 1. A : V → V es un operador lineal. Entonces existe una base en abanicode A en V .

Demostracion. La prueba se hara por induccion sobre la dimension de V . Para DimV = 1 nohay nada que probar. Supongase el teorema cierto para DimV = n − 1, con n > 1. Por el teorema1.4 existe un vector propio no nulo v1 de A. V1 es el subespacio de dimension 1 generado por v1.Entonces V se puede expresar como suma directa V = V1 ⊕ W . El problema ahora serıa que A nomapea a W en sı mismo. Tomemos entonces, P1 la proyeccion de V en V1 y P2 la proyeccion de Ven W . Entonces P2A es un operador lineal de V en V , el cual mapea a W en W . Por hipotesis deinduccion, existe un abanico de P2A en W , digamos W1, . . . , Wn−1. Hagamos

Vi = V1 + Wi−1, i = 2, . . . , n.

Entonces Vi ⊂ Vi+1 para cada i = 1, . . . , n. Ademas, DimVi = i. Si u1, . . . , un−1 es una base deW tal que u1, . . . , uj sea base de Wj , entonces v1, u1, . . . , ui−1 es base de Vi, para i = 2, . . . , n.Para probar que V1, . . . , Vn es un abanico de A en V , es suficiente probar que AVi ⊂ Vi. Primero,note que

A = AI = (P1 + P2)A = P1A + P2A.

Tomemos v ∈ Vi. Tenemos que ver que v es suma de elementos de una suma directa. Podemosescribir v = cv1 + wi, con c ∈ C y wi ∈ Wi. Entonces P1Av = P1(Av) esta en V1, y por tanto en Vi.Mas aun,

P2Av = P2A(cv1) + P2Awi

= cP2(Av1) + P2Awi

Dado que v1 es vector propio de A, entonces existe λ1 ∈ C tal que

cP2Av1 = aP2λ1v1 = cλ1P2v1 = 0,



pues P2A es la proyeccion sobre Wi y lo mapea en sı mismo, entonces P2Awi esta en Wi. EntoncesP2Av esta en V1 +Wi = Vi. Ası concluımos que IAv = P1Av+P2Av esta en Vi, quedando ası proba-do el teorema.

Teorema 1.11 (De Cayley-Hamilton). V es un espacio vectorial de dimension finita, dimV ≥ 1,sobre C. A : V → V es un operador lineal. Si P es el polinomio caracterıstico de A, entoncesP (A) = 0.

Demostracion. Por el teorema anterior, podemos encontrar un abanico para A, digamos V1, . . . , Vn.Ahora,

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

......

...0 0 · · · ann

es la matriz asociada a A con respecto a la base de abanico v1, . . . , vn, entonces

Avi = a1iv1 + · · · + a(i−1) ivi−1 + aiivi (1.7)

= aiivi + w (1.8)

donde w = a1iv1 + · · · + a(i−1) ivi−1 es un elemento de Vi−1 y ası,

(A − aiiI)vi = w ∈ Vi−1. (1.9)

Ademas, el polinomio caracterıstico esta dado por

P (t) = Det (tI − A) = (t − a11)(t − a22) · · · (t − ann),

ası que

P (A) = (A − a11I)(A − a22I) · · · (A − annI).

Probaremos por induccion que

(A − a11I)(A − a22I) · · · (A − aiiI)v = 0

para toda v ∈ Vi, i = 1, . . . , n y ası veremos que Ker (A − aiiI) 6= 0 para cada i y en consecuenciaP (A) = 0. Para i = 1 tenemos que (A− a11I)v1 = Av1 − a11v1 = 0 y caso terminado. Para i = 2, yv ∈ V2 los escribimos v = v1 + cv2. Note que se pueden permutar los factores (A−allI)(A−arrI) =(A − arrI)(A − allI), por que se puede hacer en los factores del polinomio P (t). Entonces

(A − a22I)(A − a11I)v1 = 0

y

(A − a11I)(A − a22I)cv2 = 0.

De aquı que,

(A − a11I)(A − a22I)v = 0.



Supongase cierta la afirmacion para i = k − 1, y probemosla para i = k, k > 2. Por (1.7), cualquierelemento de Vk puede escribirse como una suma w + cvk, con w ∈ Vk−1 y un escalar c. Notemos que(A − akkI)w esta en Vk−1, pues AVk−1 ⊂ Vk−1 y akkw ∈ Vk−1. Por hipotesis de induccion,

(A − akkI) · · · (A − ak−1 k−1I)(A − akk)w = 0.

Por otro lado, por (1.9), tenemos que

(A − akkI) · · · (A − ak−1 k−1I)(A − akk)cvi = 0.

Por lo tanto, para cualquier v ∈ Vk, tenemos

(A − akkI) · · · (A − ak−1 k−1I)(A − akk)v = 0,

lo que termina la prueba.

§ 1.4. Descomposicion primaria

A continuacion, veremos algunas otras propiedades de los polinomios que aplicaremos en la siguienteseccion a los operadores lineales. Empezaremos con el algoritmo Euclideano.

Teorema 1.12. Tomemos f, g ∈ K[t] con grad (g) ≥ 0. Entonces existen q, r ∈ K[t] tales que

f(t) = q(t)g(t) + r(t),

con grad(r) < grad(g). Los polinomios q y r son unicos determindos por esas condiciones.

Demostracion. Tomese m = grad(g). Escribamos

f(t) = antn + · · · + a0,

g(t) = bmtm + · · · + b0,

con bm 6= 0. si n < m, sea q = 0 y r = f . Si n ≥ m, sea

f1 = f(t) − anb−1m tn−mg(t).

(El cual es el primer paso de la division sintetica). entonces grad(f1) < grad(f). Continuando conesta division hacia f1, podemos encontrar q1 y f tales que

f1 = q1g + r,

con grad(r) < grad(g). Entonces

f(t) = anb−1m tn−mg(t) + f1(t)

= anb−1m tn−mg(t) + q1(t)g(t) + r(t)

= (anb−1m tn−m + q1(t))g(t) + r(t)



el cual es un polinomio con la forma deseada. Para probar la unicidad, suponga que

f = q1g + r1 = q2g + r2

con grad(r1, r2) < g. Entonces

(q1 − q2)g = r1 − r2.

El grado del lado izquierdo de la igualdad es mayor o igual que el de g o cero, mientras que el dellado derecho es menor o igual o cero. Ası que la unica posibilidad es que ambos tengan grado cero.De aquı que q1 = q2 y r1 = r2.

Corolario 1.13. Tomemos f ∈ K[t] distinto de cero y λ ∈ K tal que f(λ) = 0. Entonces existe unpolinomio q(t) en K[t] tal que

f(t) = (t − λ)q(t)

Demostracion. Podemos escribir

f(t) = (t − λ)q(t) + r(t),

donde grad (r) < grad (t − λ). Pero grad (t − λ) = 1, entonces r es constante. Ahora,

0 = f(λ) = (λ − λ)q(λ) + r(λ) = r(λ)

de aquı se sigue que r = 0 y se obtiene lo deseado.

§ 1.5. Maximo comun divisor y factorizacion unica

K es un campo y K[t] es el espacio de polinomios sobre K.

Definicion 1.10. I es un ideal de K[t] si

1. El polinomio cero esta en I.

2. Si f, g estan en I, entonces f + g esta en I.

3. Si f ∈ I y g es un polinomio arbitrario, entonces fg esta en I.

Notemos que I es algo mas que un espacio vectorial, en el sentido de que si f ∈ I, la multiplicacionpor un escalar del campo K, se cambia por la multiplicacion por un polinomio y de nuevo es unelemento del ideal. Un polinomio g ∈ I se dice ser generador de I, si para todo f ∈ I, tenemos quef = gh, para algun h ∈ K[t]. El detalle ahora serıa, si siempre existe un generador para el ideal. Elsiguiente teorema nos afirma este ultimo comentario.



Teorema 1.14. I es un ideal de K[t]. Entonces existe un polinomio g el cual es generador de I.

Demostracion. Suponga que I no es el ideal cero y que g es un polinomio en I distinto de cero, yde grado menor que cualquier otro polinomio en I. Afirmamos que g es generador para I. Tomem-os f ∈ I. Por el algoritmo euclideano podemos encontrar polinomios q, r tales que f = qg + r,grad (r) < grad (g). Entonces r = f − qg, y por definicion de ideal se sigue que f esta tambien enI. Dado que grad (r) < grad (g), debemos tener que r = 0. De aqui que f = qg, y g es generadorde I, como se querıa.

Observacion 1.15. g1 6= 0 es un generador de un ideal I, y g2 es otro generador. Entonces existeun polinomio q tal que g1 = qg2. Dado que

grad(g1) = grad(q) + grad(g2),

entonces grad(g1) ≥ grad(g2), y con el mismo argumento para g2, se llega a que grad(g2) ≥grad(g1). De aquı que, grad(g1) = grad(g2). Luego entonces, q es constante y escribimos g1 = cg2,con alguna constante c. Si

g2 = antn + · · · + a0,

con a 6= 0. Tomemos c = a−1n . Entonces cg2 es un generador monico de I. Mas aun, el generador

monico es determinado de manera unica.

f y g son polinomios distintos de cero. Diremos que g divide a f , si existe un polinomio q tal quef = qg. f1 y f2 son polinomios distintos de cero. Un polinomio g se dice ser maximo comun divisorsi, g divide a f1, f2, y si ademas, h es tal que divide a f1, f2, entonces h divide a g.

Teorema 1.16. f1, f2 son polinomios en K[t]. g es un generador para el ideal generado por f1, f2.Entonces g es maximo comun divisor de f1 y f2.

Demostracion. Dado que f1 y f2 estan en el ideal generado por f1, f2, y g es tambien generador delmismo, existen polinomios q1, q2 tales que f1 = q1g y f2 = q2g. Luego, g divide a f1, f2. Ahora, si hes un polinomio que divide a f1 y f2, escribamos f1 = h1h y f2 = h2h, para algunos polinomios h1 yh2. Dado que g esta en el ideal generado por f1 y f2, existen polinomios g1, g2 tal que g = g1f1+g2f2.De aquı se sigue que

g = g1f1 + g2f2

= g1h1h + g2h2h

= (g1h1 + g2h2)h.

De donde h divide a g. Luego, g es maximo comun divisor.

Diremos que un polinomio p ∈ K[t] es irreducible (sobre K) si, es de grado ≥ 1, y si, dada una fac-torizacion p = fg, con f, g ∈ K[t], entonces grad(f) = 0 o grad(g) = 0. Ası que los unicos divisoresde p son, p y 1. Si f1, . . . , fn son polinomios cuyo maximo comun dividor es 1, entonces decimosque f1, . . . , fn son primos relativos. En el siguiente resultado nos referimos a la factorizacion unicapor medio de factores irreducibles. Para ello requeriremos del siguiente lema.



Lema 1.17. p, f, g ∈ K[t] son distintos de cero, con p irreducible. Si p divide a fg, entonces pdivide a f o p divide a g.

Demostracion. Supongase que p no divide a f . Entonces el maximo comun divisor de p y f es 1,y existen polinomios h1, h2 ∈ K[t] tal que

1 = h1p + h2f.

Multiplicamos por g para obtener

g = gh1p + h2fg.

Pero fg = ph3, para algun h3, lo que implica que

g = (gh1 + h2h3)p,

como se querıa.

Teorema 1.18 (Factorizacion unica). Todo polinomio en K[t] puede ser expresado como un pro-ducto g1, . . . , gm de polinomios irreducibles, determinados de manera unica, salvo permutaciones yfactores constantes distintos de cero.

Demostracion. Probemos primero, la existencia de la factorizacion. Escojase alguna f ∈ K[t] degrado finito ≥ 1. Si f es irreducible, termina la prueba. De otra forma, podemos escribir

f = g1 · g2

con grad(g1) ≤ f y grad(g2) ≤ f . Si g1 y g2 son irreducibles, termina la prueba. Si no, escribimos

g1 = g11g12 y g2 = g21g22.

con grad(g11, g12) ≤ grad(g1) y grad(g22, g21) ≤ grad(g2). Entonces

f = g11g12 · g21g22.

Si g11, g12, g21, g22 son irreducibles, ya acabamos. Si no, procedemos inductivamente de la mismamanera y, dado que el grad(f) es finito, tenemos que si renumeramos las gl1···ls , digamos g1, . . . , gm,para algun m, entonces

f = g1 · · · gm.

Veamos ahora que la factorizacion es unica.

Si aplicamos el lema 1.17 para cuando p sea divisor de un producto de polinomios irreduciblesq1 · · · qs, entonces p divide a q1 o p divide a q2 · · · qs. Entonces existe una constante c tal que p = cq1

o p = cq2 · · · qs. Si procedemos inductivamente sobre el segundo caso, nos encontramos que existeuna i tal que p y qi difieren de un factor constante.

Supongase ahora que se tienen dos productos de polinomios irreducibles

p1 · · · pr = q1 · · · qs.



Para p1 existe una k tal que p1 = cqk. Se pueden permutar las qj tal que k = 1. Cancelando q1

obtenemos

c1p2 · · · pr = q2 · · · qs.

Repitiendo este argumento inductivamente, nos damos cuenta que para cada i, existe ci tal quepi = ciqi, despues de hacer las permutaciones adecuadas. Esto concluye la prueba.

Corolario 1.19. f ∈ K[t] es de grado ≥ 1. Entonces f tiene una factorizacion unica f = cp1 · · · ps,donde p1, . . . , ps son polinomios irreducibles con coeficiente inicial 1, determinados de manera unica,salvo permutaciones.

Note que podrıa suceder que pi = pj , con i, j = 1, . . . , s. Si cada factor pk se repite mk veces, con k <s, entonces del lema anterior f se puede expresar de la forma f = pm1

1 · · · pmrr , con m1+ · · ·+mr = s.

Si K = C, los polinomios irreducibles son de la forma t− λ. Entonces la factorizacion de f serıa dela forma

f(t) = c(t − λ1)m1 · · · (t − λs)

ms ,

con alguna constante c.

§ 1.6. Aplicacion a la descomposicion de un espacio

Como ya vimos en la seccion de tringulacion de matrices, la invarianza de subespacios, en los resul-tados siguientes veremos la aplicacion de la descomposicion primaria en operadores lineales de unespacio vectorial y la invarianza de sus subespacios.

Proposicion 1.20. V es un espacio vectorial sobre un campo K, y A : V → V un operador de V .Si f(t) ∈ K[t] es un polinomio y W es el kernel de f(A). Entonces W es un subespacio invariantebajo A.

Demostracion. Debemos demostrar que si w esta en W , entonces Aw tambien esta en W . Enefecto, supongase que f(A)w = 0. Dado que tf(t) = f(t)t, tenemos que

Af(A) = f(A)A,

por lo que

f(A)(Aw) = f(A)Aw = Af(A)w = 0.

Ası que, Aw tambien esta en el kernel de f(A).

En general, si f, g ∈ K[t], se tiene que f(t)g(t) = g(t)f(t), entonces f(A)g(A) = g(A)f(A).

Vamos a describir ahora, como la factorizacion de un polinomio en dos factores primos relativos,nos lleva a una descomposicion de un espacio vectorial, en dos subespacios invariantes.



Teorema 1.21. f(t) ∈ K[t] es un polinomio. Supongase que f = f1f2, donde f1 y f2 son primosrelativos. A : V → V es un operador. Suponga que f(A) = 0. Definamos W1 = ker f1(A) yW2 = ker f2(A). Entonces V es suma directa de W1 y W2.

Demostacion. Por hipotesis, esisten g1, g2 tales que

g1(t)f1(t) + g2(t)f2(t) = 1.

De aquı que

g1(A)f1(A) + g2(A)f2(A) = I. (1.10)

Tomemos v ∈ V . Entonces

v = g1(A)f1(A)v + g2(A)f2(A)v.

El primer termino de la suma esta en W2, pues

f2(A)g1(A)f1(A)v = g1(A)f1(A)f2(A)v

= g1(A)f(A)v

= 0.

Similarmente, el segundo termino esta en W1. Ası que, V es la suma de W1 y W2.Para mostrar que la suma es directa, debemos probar que la expresion

v = w1 + w2, (1.11)

con w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2, esta determinada de manera unica por v. Aplicamos g1(A)f1(A) a (1.11),y se obtiene que

g1(A)f1(A)v = g1(A)f1(A)w2,

pues f1(A)w1 = 0. Por otro lado, si multiplicamos (1.10) por w2, se tiene que

w2 = g1(A)f1(A)w2,

pues f2(A)w2 = 0. Por tanto,

g1(A)f1(A)v = w2,

y ası w2 esta determinado de manera unica. Similarmente, si multiplicamos por g2(A)f2(A) a (1.11)y (1.10) por w1, obtenemos g2(A)f2(A)v = w1. Y ası, w1 esta tambien determinado de manera unicay por tanto, es suma directa.

El teorema anterior se podrıa aplicar tambien cuando f = f1 · · · fr, donde f1, . . . , fr son primosrelativos, y Wi = ker fi(A), i = 1, . . . , r. Entonces,

V = ⊕ri=1Wi,

como lo muestra el siguiente teorema.



Teorema 1.22. V es un espacio vectorial sobre C y A : V → V un operador. P (t) es un polinomiotal que P (A) = 0, y

P (t) = (t − λ1)m1 · · · (t − λr)

mr

su factorizacion, con λ1, . . . , λr sus distintas raıces. Defınase Ui como el nucleo de (A − λiI)mi.Entonces V es suma directa de los subespacios U1, . . . , Ur.

Demostraremos una variante de este teorema para nuestros propositos mas adelante. La variante esen el sentido de que si cambiamos el campo de los numeros complejos por el de los numeros reales,los polinomios irreducibles seran de la forma t − λ o t2 − 2αt + α2 + β2, que en el caso complejo,este ultimo tendrıa raıces α ± iβ.

Teorema 1.23. V es un espacio vectorial sobre R y A : V → V un operador. P (t) es un polinomiotal que kerP (A) = V , y

(t − λ1)m1 · · · (t − λr1

)mr1 (t2 − 2αr1+1t + α2r1+1 + βr1+1)

mr1+1 · · · (t2 − 2αr2t + α2

r2+ βr2

)mr2

su factorizacion, donde λ1, . . . , λr1 , αr1+1 + iβr1+1, . . . , αr2 + iβr2 son sus distintas raıces, con todaslas λj , αj , βj reales. Defınase Uj como

ker (A − λjI)mj si j ∈ 1, . . . , r1 (1.12)

o

ker (A2 − 2αjA + α2j + β2

j )mj si j ∈ r1 + 1, . . . , r2 . (1.13)

Entonces

V = U1 ⊕ · · · ⊕ Ur1 ⊕ Ur1+1 ⊕ · · · ⊕ Ur2 .

Demostracion. La prueba se hara por induccion y utilizaremos el resultado del teorema 1.21repetidamente en cada paso inductivo.

Llamemos fj(t), a cada factor irreducible de P , es decir fj(t) es igual a (t−λj)mj si j ∈ 1, . . . , r1

o (t2 − 2αjt + α2j + β2

j )mj si j ∈ r1 + 1, . . . , r2.

Para j = 1, es claro que ker P (A) = ker f1(A) y aquı acaba la prueba. Si j = 2, estamos enel caso del teorema 1.21, en la cual P (A) = f1(A)f2(A), y este caso tambien termina aquı.Notemos que f1(A) y f2(A) pueden ser de cualquiera de las dos formas (como en (1.12) o (1.13)),dado que son polinomios irreducibles en el campo de los numeros reales, y ademas, son primosrelativos.Supongase el teorema cierto para j = k. Probemos que se cumple para j = k + 1. Tenemos queprobar que

V = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk+1.

Defınanse h(t) = f1(t) · · · fk(t), W = ker h(A) y Uk+1 = ker fk+1(A). Es claro que h(t) y fk+1(t)son primos relativos y

P (A) = h(A)fk+1(A) = 0.



Por el teorema 1.21 se tiene que V = W ⊕ Uk+1. Por hipotesis

W = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk,

por tanto,

V = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk ⊕ Uk+1,

como se querıa.

Observacion 1.24. Notemos que los subespacios invariantes Uk, tienen dimension mk, la cual es lamultiplicidad algebraica del valor propio λk. Recordando que si la multiplicidad geometrica es iguala la algebraica, entonces el subespacio propio, que tiene dimension mk, es igual al subespacio Uk. Sila multiplicidad geometrica es menor que la algebraica, entonces es menor que mk, y el subespacioque tiene dimension mk es el subespacio propio generalizado, por lo que conicide con la dimensionde Uk, es decir, Uk = V ′

λk.

§ 1.7. La forma normal de Jordan

Definicion 1.11. V es un espacio vectorial sobre una campo K, y S un conjunto de operadoresde V . W es un subespacio de V . Diremos que W es un subespacio S−invariante de V si BWesta contenido en W , para todo B en S.

Definicion 1.12. Diremos que V es un S−espacio simple si V 6= 0 y los unicos subespaciosS−invariantes son V y el subespacio cero.

Observacion 1.25. A : V → V es un operador tal que AB = BA para todo B ∈ S. Entonces laimagen y el nucleo de A son subespacios S−invariantes de V , pues si tomamos un elemento en laimagen de A, digamos w = Av, para algun v ∈ V , entonces Bw = BAv = ABv, el cual es unelemento en la imagen de A y ası, la imagen de A es S−invariante. Ahora, si u un elemento en elnucleo de A. Entonces ABu = BAu = 0. De aquı que Bu esta en el nucleo de A y por tanto, esS−invariante. Ademas, si f ∈ K[t], entonces f(A)B = Bf(A), para toda B ∈ S.

Cambiemos ahora al campo de los numeros complejos. V es un espacio vectorial sobre C y A : V → Vun operador lineal.

Definicion 1.13. Tomemos λ ∈ C y v ∈ V , v 6= 0. Diremos que v es (A − λI)-cıclico, si existe unentero r ≥ 1 tal que (A − λI)rv = 0. El entero mas pequeno con esta propiedad se llama perıodode v, relativo a A − λI. Si r es el perıodo de v, entonces (A − λI)kv 6= 0 para cualquier entero0 ≤ k < r.

Definicion 1.14. El espacio vectorial V se dira cıclico, si existe algun numero λ y un elementov ∈ V para los cuales V el cual es (A − λI)-cıclico.

Lema 1.26. v 6= 0 es (A − λI)-cıclico, con perıodo r. Entonces los elementos

v, (A − λI)v, (A − λI)2v, . . . , (A − λI)r−1v (1.14)

son linealmente independientes.



Demostracion. Por simplicidad, hagamos B = A − λI. Supongase que los elementos (1.14) dellema son linealmente dependientes. Entonces, por la dependencia lineal podemos escribir

c1Bv + · · · + csBsv = 0.

con s ≤ r − 1. Defınase entonces el polinomio

f(t) = c1t + c2t2 + · · · + cst

s.

Ası que, f(B)v = 0. Por hipotesis se tiene tambien que Brv = 0. Hagamos g(t) = tr. h es el maximocomun divisor de f y g. Entonces podemos escribir

h = f1f + g1g,

para algunos polinomios f1, g1. Ası que,

h(B)v = f1(B)f(B)v + g1(B)g(B)v = 0.

Pero como h divide a tr y es de grado ≤ s ≤ r−1, entonces h(t) = td, con d < r. Lo cual contradicela hipotesis de que r es el perıodo de v. Por tanto, los elementos (1.14) son linelamente independi-entes.

El resultado principal en este capıtulo era llegar a la forma normal de Jordan y ver de que manerase expresa su matriz asociada. Todo esto se resume en el siguiente teorema.

Teorema 1.27 (Forma canonica de Jordan). V es un espacio vectorial de dimension finita sobrelos numeros complejos. Supongase que V 6= 0. A : V → V es un operador lineal. Entonces V puedeser expresado como suma directa de subespacios cıclicos A−invariantes. Ademas, existe una basede V tal que la matriz asociada con A es de la forma

λ1 1. . . 1

λ1

λ2 1. . . 1

λ2

··

·

λs 1. . . 1

λs

(1.15)

Demostracion. Tomese el polinomio caracterıstico P (t) de A con factorizacion

P (t) = (t − λ1)m1 · · · (t − λ2)

ms .

Por el teorema 1.23 y la observacion 1.24 tenemos que

V = V ′λ1

⊕ · · · ⊕ V ′λs

,



donde V ′λk

= ker (A − λkI)mk , k = 1, . . . , s. Si u ∈ V ′λk

, entonces (A − λkI)mku = 0. Ademas,

(A− λkI)mk−1u 6= 0, y ası, V ′λk

es cıclico para cada k = 1, . . . , s. Ahora, es claro que A(A− λkI) =(A − λkI)A, Entonces

(A − λkI)mkAu = A(A − λkI)mku = 0,

lo cual implica que Au esta en V ′λk

= ker (A − λkI)mk . Luego, V ′λk

es A−invariante para cadak = 1, . . . , s.Solo falta ver la forma matricial asociada con A. v es tal que hace a V ′

λkcıclico y DimV ′

λk= mk,

entonces el lema 1.26 implica que

(A − λkI)mk−1v, . . . , (A − λkI)v, v

es una base para V ′λk

. Si aplicamos A a cada elemento de esta base, vemos que para cada j se tiene,

A(A − λkI)jv = (A − λkI)jAv

= (A − λkI)j(Av − λkv + λkv)

= (A − λkI)j [(A − λkI)v + λkv]

= (A − λkI)j+1v + λk(A − λkI)jv. (1.16)

Para j = mk − 1, se tiene al primer elemento de la base bajo el operador A, es decir,

A(A − λkI)mk−1v = (A − λkI)mkv + λk(A − λkI)mk−1v

= λk(A − λkI)mk−1v,

el cual es el primer vector columna (vector de coordenadas) (λk, 0, . . . , 0)T de la matriz asociadacon A.Si j = mk − 2 se tiene

A(A − λkI)mk−2v = (A − λkI)mk−1v + λk(A − λkI)mk−2v

y el siguiente vector columna es (1, λk, 0, . . . , 0, 0)T . Siguiendo con este proceso hasta j = 0, se llegaa que la matriz es

λk 1 0 · · · 0 00 λk 1 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · λk 10 0 0 · · · 0 λk

.

Como V se expresa como suma directa de subespacios A−invariantes

V = V ′λ1

⊕ · · · ⊕ V ′λs

,

y para cada k = 1, . . . , s tenemos una base para cada subespacio V ′λk

de la forma

(A − λkI)mk−1vk, . . . , (A − λkI)vk, vk

,

donde vk es vector propio determinado por λk de perıodo mk. Entonces una base ordenada para Vestara conformada por la union de las bases ordenadas de los subespacios V ′

λk, y es de la forma

(A − λ1I)m1−1v1, . . . , (A − λ1I)v1, v1, . . . , (A − λsI)ms−1vs, . . . , (A − λsI)vs, vs

.



Por tanto, la matriz asociada a A con respecto a esta base es

λ1 1. . . 1

λ1

λ2 1. . . 1

λ2

··

·

λs 1

. . . 1λs

(1.17)

como se querıa.

Otra version de este teorema esta dada en [9] y esta probado en Coddington and Levinson [C/L]o en Hirsch and Smale [H/S] y se resume en el siguiente teorema.

Teorema 1.28 (Forma canonica de Jordan). A es una matriz real con valores propios reales λk,k = 1, . . . , s y valores propios complejos λk = αk + iβk y λ = αk − iβk, k = j + 1, . . . , n. Entoncesexiste una base

v1, . . . , vs, vs+1, us+1, . . . , vn, un

para R2n+s, donde vk, k = 1, . . . , s y wk, k = s + 1, . . . , n son vectores propios generalizados de A,

uk = Re(wk) y vk = Im(wk) para k = s + 1, . . . , n, tal que la matriz

P = [v1 · · · vs vs+1 us+1 · · · vn un]

es invertible y

P−1AP =

B1

. . .

Br

(1.18)

donde los bloques elementales de Jordan B = Bk, k = 1, . . . , r son de la forma

λ 1 0 · · · 0 00 λ 1 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · λ 10 0 0 · · · 0 λ

(1.19)

para λ, un valor propio real de A, o de la forma

D I2 0 · · · 0 00 D I2 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · D I2

0 0 0 · · · 0 D

(1.20)



con

D =

[α −ββ α

], I2 =

[1 00 1

], 0 =

[0 00 0

](1.21)

para λ = α + iβ un valor propio complejo de A.

Otra forma que utilizaremos (por lo que le llamaremos lema) aparece en [10], pagina 97, y es lasiguiente.

Lema 1.29. A es una matriz real de n× n. Existe una matriz real no singular Q tal que la matrizJ = QAQ−1 es una matriz diagonal por bloques de las siguientes formas:

(i) Bloques de tamano q × q correspondiente al divisor (λ − λi)q

λi 1λi 1

. . .

λi 1λi

. (1.22)

(ii) Bloques de tamano 2r × 2r correspondientes al divisor elemental (λ2 − ηkλ + γ)r

[0 γk

1 ηk

] [0 10 0

]

[0 γk

1 ηk

] [0 10 0

]

··

· [0 10 0

]

[0 γk

1 ηk

]

. (1.23)

Estas tres formas de Jordan son equivalentes o similares si y solo si las matrices son del mismotamano con el mismo numero de bloques (submatrices) y cada bloque con el mismo valor propio λk

(junto con su conjugado λk) para las tres. Ademas, el subespacio propio generalizado V ′λk

asociadoa λk tiene la misma dimension en el bloque correspondiente de cada una de las formas. De igualmanera, V ′

λdebe tener la misma dimension en las tres formas. Es decir, en la forma del teorema



1.27, si un bloque con valor propio λk = αk + iβk es de tamano r × r, entonces consideraremostambien el bloque con valor propio λk = αk − iβk y ambos seran un solo bloque de tamano 2r× 2r,

J1 =

λk 1. . . 1

λk

λk 1. . . 1

λk

. (1.24)

Los r vectores propios generalizados de tamano 2r asociados a λk son

10...0...00

,

01...0...00

, · · · ,

00...1...00

. (1.25)

Donde el r−esimo vector tiene el 1 en la k−esima componente. Los r vectores propios generalizadosasociados a λk son

00...10...0

,

00...01...0

, · · · ,

00...00...1

, (1.26)

donde el primer vector tiene el 1 en la componente r + 1. Luego, el subespacio propio generalizadoV ′

λkasociado a los valores propios λk, tiene dimension r sobre los numeros complejos, al igual que

V ′λr

.

En la forma de Jordan del teorema 1.28, tendremos el bloque correspondiente de tamano 2r × 2rcon valores propios λk = αk ± iβk como

J2 =

Dk Ik 0 · · · 0 00 Dk Ik · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · Dk Ik

0 0 0 · · · 0 Dk

(1.27)

con

Dk =

[αk −βk

βk αk

], Ik =

[1 00 1

], 0 =

[0 00 0

]. (1.28)



Los vectores propios generalizados asociados a λk son

i100...00

,

00i1...00

, · · · ,

0000...i1

(1.29)

y los vectores propios generalizados asociados a λk son

−i100...00

,

00−i1...00

, · · · ,

0000...−i1

. (1.30)

Ası que, el subespacio propio generalizado V ′λk

asociado a λk tiene dimension r, al igual que V ′λk

.

Finalmente, en la forma del teorema 1.29, el bloque de tamano 2r × 2r correspondiente es

[0 γk

1 ηk

] [0 10 0

]

[0 γk

1 ηk

] [0 10 0

]

··

· [0 10 0

]

[0 γk

1 ηk

]

, (1.31)

donde ηk = 2αk y γk = −(α2k + β2

k). Luego, los valores propios son λk = αk + iβk y λk = αk − iβk.Ahora, los vectores propios generalizados asociados con λk = αk + iβk son

−αk + iβk

100...00

,

00

−αk + iβk

1...00

, · · · ,

0000...

−αk + iβk

1

(1.32)



y para el valor propio λk = αk − iβk los vectores propios generalizados son

−αk − iβk

100...00

,

00

−αk − iβk

1...00

, · · · ,

0000...

−αk − iβk

1

. (1.33)

Luego, el subespacio propio generalizado V ′λk

asociado a λk tiene dimension r sobre C, al igual queV ′

λk.

Ası que, bajo estas restricciones, para cada k, las dimensiones de los subespacios propios general-izados V ′

λky V ′

λkcoinciden en los tres teoremas. Por tanto, las tres formas de Jordan son similares

y ası, existen cambios de coordenadas que nos lleven de una forma a otra.

1.7.1. Proyecciones

Primero, tomaremos la forma de Jordan del lema 1.29. Para nuestro proposito, agruparemos losbloques de la forma (1.22) con el mismo valor propio real λk en un bloque de la forma

Bk = λkIk + Nk

donde Bk es una matriz mk × mk, con mk como la multiplicidad del valor propio λk, Ik es lamatriz identidad de tamano mk × mk y Nk es una matriz nilpotente de tamano mk × mk la cualposiblemente consta solo de 1′s en la supradiagonal.Ademas, agruparemos todos los bloques de la forma (1.31) con el mismo valor ηk dentro de unbloque de la forma

Ck =

Dk1

. . .

Dk1

(1.34)

con Dkqde la forma (1.31) con el mismo valor ηk. Ası, vemos que la matriz J toma la forma

J =

B1

. . .

Bs

C1

. . .

Cp

(1.35)

Donde los bloques Bk contienen los s distintos valores propios reales, y los bloques Ck contienen losp distintos valores ηk. Notese que cada ηk corresponde a una pareja conjugada de valores propioscomplejos con parte real ηk/2 = αk.



Hagamos Bk+j = Cj , y definase la k + j proyeccion de matrices Pi como

Pi =

0. . .

0. . .

Ii

. . .

0

(1.36)

donde Ii es la matriz identidad de dimension igual a la del bloque Bi. Ademas Ii aparece en laposicion del bloque correspondiente Bi. No es difıcil observar que esas proyecciones satisfacen lassiguientes condiciones:

s+p∑

i=1

Pi = I. (1.37)

PiPj = 0 si i 6= j y P 2i = Pi para toda i = 1, . . . , s + p. (1.38)

PiJ = JPi para toda i = 1, . . . , s + p. (1.39)

JPi = (λiI + Ni)Pi, donde Ni es nilpotente para toda i = 1, . . . , s. (1.40)

JPi =

0. . .

Bi

. . .

0

(1.41)

Donde Bi es oscilatoria y todos los valores propios tienen parte real βi/2 = αi para toda i =s + 1, . . . , s + p.


2Capıtulo

Ecuaciones diferenciales

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes x = Ax, serequiere saber como son sus soluciones y como se involucran los valores y vectores propios de lamatriz A. En este capıtulo se abordan algunas formas que toman tales soluciones para propositosdel desarrollo de la teorıa de control.

§ 2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias

El analisis se empezara sobre las ecuaciones diferenciales, cuya expresion general es

x = f(t, x) (2.1)

donde f es continua sobre un abierto G ∈ Rn+1, es decir, el mapeo

Rn+1 ⊃ G ∋ (t, x) 7→ f(t, x) ∈ R

n, t ∈ I ⊂ R, x ∈ Rn

es una funcion continua.

Encontrar una solucion de (2.1), es encontrar una funcion vectorial

x : I ⊂ R → Rn

que es una funcion continuamente diferenciable y satisface (2.1).

Consideremos primeramente la ecuacion diferencial (escalar)

x =dx

dt= ax, a ∈ R (2.2)

La funcion x(t) que satisface (2.2) se encuentra de una manera muy sencilla, al separar variables eintegrar obtenemos

x(t) = keat

La cual es una familia parametrizada de soluciones de (2.2) con parametro k. Una solucion particularserıa, agregar condiciones iniciales a (2.2), es decir, si se quiere encontrar la solucion que pasa porx(0) = x0, se tiene

x0 = x(0) = kea·0 = k

lo cual significa que x(t) = x0eat es la solucion que pasa por el punto x(0) = x0. A estas curvas se

les conoce con el nombre de curvas solucion, orbitas o trayectorias, las cuales

45


(i) Divergen si a > 0 (x(t) → ∞ si t → ∞).

(ii) Convergen a 0 si a < 0 (x(t) → 0 si t → ∞).

(iii) son constantes si a = 0 (x(t) → x0 si t → ∞).

Un caso mas general de (2.2) es de la forma

x = ax + g(t) (2.3)

Donde g(t) es independiente de la variable x, en cuyo caso las soluciones se obtienen al multiplicarla ecuacion por el factor integrante µ = e−

∫adt = e−at, a saber

e−at(x − ax) = e−atg,

lo cual implica

e−atx =

∫ t

0e−asg(s)ds + k.

Bajo el problema de condiciones iniciales en t = 0, x(0) = x0, entonces k = x0, ası, la solucionparticular es

x(t) = eatx0 +

∫ t

0ea(t−s)g(s)ds.

Los sistemas de la forma (2.2) son autonomos o invariantes en el tiempo, mientras que los de laforma (2.3) son sistemas no-autonomos o variantes en el tiempo.

El siguiente resultado, aunque no lo demostraremos, nos da condiciones para la existencia de lassoluciones de los sistemas no-autonomos.

Teorema 2.1. (De existencia y unicidad). Consideremos el problema con condiciones iniciales

x = f(t, x), x(t0) = x0 (2.4)

con D ⊂ Rn, |t−t0| ≤ a; D = x : ‖x−x0‖ ≤ d, a, d ∈ R positivos. Si la funcion vectorial satisface

las siguientes condiciones:

(i) f(t, x) es continua en G = [t0 − a, t0 + a] × D.

(ii) f(t, x) satisface la condicion de Lipschitz en x, es decir, existe una constante K tal que

|f(t, x) − f(t, x) ≤ K|x − x|.

Entonces (2.4) tiene una y solo una solucion para |t − t0| ≤ mina, dM, con

M = supG

‖f‖

Hay varias maneras de demostrar este resultado, dos de estas muy conocidas son, el metodo dePicard y el metodo de contraccion.



§ 2.2. Sistemas de EDO

En esta seccion nos enfocaremos a resultados que tienen que ver con soluciones de sistemas deecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

Primeramente hay que destacar que los teoremas para ecuaciones diferenciales escalares, tambienson validas para sistemas de ecuaciones diferenciales, en particular, el teorema de existencia y uni-cidad.Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es de la forma

x1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + b1

x2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn + b2

...

xn = an1x1 + an2x2 + · · · + annxn + bn

y escrita en forma matricial

x = Ax + b (2.5)

donde x = Ax es la parte homogenea del sistema.

A continuacion daremos una representacion del teorema de existencia y unicidad para sistemasde EDO con valores iniciales. Antes requeriremos del siguiente lema.

Lema 2.2. Sea A una Matriz cuadrada, entonces

d

dteAt = AeAt.

Demostracion. Para probar el lema, requeriremos de un resultado de analisis para calcular laderivada de una funcion exponencial, intercambiando dos procesos de lımites convergentes, cuandouno de ellos es uniformemente convergente (teorema de lımite doble [22,pag. 141]). Dado que Aconmuta consigo misma, se sigue que

d

dteAt = lım

h→0

eA(t+h) − eAt

h

= lımh→0

eAt eAh − I

h

= eAt lımh→0

lımk=→∞

(A +A2h

2!+ · · · +

Akhk−1

k!)

= AeAt.

Esta ultima igualdad se sigue del hecho que la serie cuyo lımite es eAh, converge uniformementepara |h| < 1 y podemos ası intercambiar ambos lımites.



Teorema 2.3. (Teorema Fundamental Para Sistemas Lineales). A es una matriz n × n. Entoncespara un x0 ∈ R

n dado, el problema de valor inicial

x = Ax, x(0) = x0 (2.6)

tiene solucion unica dada por x(t) = eAtx0.

Demostracion. Por el lema anterior tenemos que si x(t) = eAtx0, entonces

x(t) =d

dt(eAtx0) = AeAtx0 = Ax(t),

para toda t ∈ R. Tambien tenemos que x(0) = x0I = x0. Ası que x(t) = eAtx0 es solucion. Para verque esta es solucion unica, tomemos x(t) cualquier solucion de (2.6) y

y(t) = e−Atx(t).

Aplicando el lema (2.2) junto con el hecho que x(t) es una solucion tenemos

y′(t) = −Ae−Atx(t) + e−Atx′(t)

= −Ae−Atx(t) + e−AtAx(t)

= 0

para toda t ∈ R, puesto que e−At y A conmutan. Por lo que y(t) es constante. Haciendo t = 0 vemosque y(t) = x0 y de aquı se sigue que cualquier solucion de (2.6) esta dada por x(t) = eAty(t) = eAtx0.Esto completa la prueba.

Veamos ahora, la primera caracterizacion de las soluciones de sistemas lineales, con valores propiosdistintos. Considerese el sistema lineal

x = Ax, A ∈ Rn×n, x ∈ R

n. (2.7)

Teorema 2.4. Considere el sistema (2.7). v es un vector propio de A correspondiente al valorpropio complejo λ. Entonces x(t) = veλt es solucion de (2.7).

Demostracion. Dado que v es vector propio de λ, entonces Av = λv. Luego,

x(t) = λveλt

= Aveλt

= Ax(t).

Teorema 2.5. La solucion general del sistema (2.7) es de la forma

x(t) = c1v1eλ1t + · · · + cnvneλnt,

cuando λ1, . . . , λn sean los valores propios distintos de A, y v1, . . . , vn los vectores propios corre-spondientes.



Demostracion. Derivando x(t) obtenemos

x(t) = c1λ1v1eλ1t + · · · + cnλnvneλnt.

Dado que Avi = λivi para i = 1, . . . , n, tenemos que

x(t) = c1Av1eλ1t + · · · + cnAvneλnt

= A(c1v1eλ1t + · · · + cnvneλnt)

= Ax(t).

Corolario 2.6. Considere el sistema (2.7). v es un vector propio de A correspondiente al valor

propio complejo λ. Entonces x(t) = veλt es tambien solucion de (2.7).

Puede suceder que el sistema (2.7) tenga solucion real, pero se obtiene un vector propio complejov asociado con un valor propio complejo λ, y ası, la solucion compleja de la forma x(t) = veλt. Siλ = α + iβ, podemos cambiar la forma de la solucion a

x(t) = veαt(cos t + isen t)

y por el corolario 2.6, tambien

x(t) = veαt(cos t − isen t).

Si definimos

v1 =1

2(v + v) y v2 =

i

2(−v + v) (2.8)

son vectores columna reales y, podemos observar que

Re(v) = v1, Im(v) = v2,

y llegamos al siguiente teorema:

Teorema 2.7. Considere el sistema (2.7). λ = α + iβ es un valor propio complejo de A y v sucorrespondiente vector propio. v1 y v2 son los vectores columna definidos en (2.8). Entonces

x1(t) = (v1cosβt − v2senβt) eαt

x2(t) = (v2cosβt + v1senβt) eαt

son soluciones reales linealmente independientes de (2.7).

El siguiente resultado se encuentra en [8], pagina 380.

Teorema 2.8. Considere el sistema

x = Ax (2.9)

Para cada valor propio λk de A tal que su multiplicidad algebraica mk coincide con la geometrica,se tiene una solucion de (2.9) de la forma

xk(t) = ck1vk1eλkt + · · · + ck mk

vk mkeλkt = eλkt

mk∑

j=1

ckjvkj



donde los vjl son vectores propios (complejos) linealmente independientes asociados a λk.Para los λk de multiplicidad mk con un solo vector propio, se pueden encontrar mk solucioneslinealmente independientes de la forma

xk1(t) = vk1eλkt

xk2(t) = vk1teλkt + vk2e

λkt

...

xk mk(t) = vk1

tmk−1

(mk − 1)!eλkt + vk2

tmk−2

(mk − 2)!eλkt + · · · + vk mk

eλkt,

Observacion 2.9. La combinacion lineal de las soluciones xkl(t), l = 1, . . . , mk, es tambien solucionde (2.9) y mediante un reordenamiento adecuado toma la forma

xk(t) = xk1(t) + xk2(t) + · · · + xk mk(t)

=

mk∑

j=1

tmk−j

(mk − j)!vk1e

λkt +

mk∑

j=2

tmk−j

(mk − j)!vk2e

λkt + · · · +

mk∑

j=mk

tmk−j

(mk − j)!vk mj

eλkt

= Pk1(t)vk1eλkt + Pk2(t)vk2e

λkt + · · · + Pk mk(t)vk mk

eλkt

= eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj ,

donde los vkj son vectores propios generalizados complejos determinados por λk.Notese que la forma de la solucion del primer y segundo caso son semejantes, con la salvedad deque en el primero los polinomios son constantes. En cualquiera de los casos, si tomamos la sumasobre todos los valores propios, la solucion general es de la forma

x(t) =s∑

k=1

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj .


3Capıtulo

Controlabilidad

§ 3.1. Controlabilidad

Un sistema de control es un evento natural, o, dicho en forma coloquial, es una “parte de mun-do real”que puede ser influenciado por su entorno a traves de las llamadas entradas, y es capazde modificarlo mediante las llamadas salidas. La manera de como evoluciona su funcion internaesta determinada por sus variables de estado, las cuales son denotadas con x. Las entradas se divi-den en dos grupos: Los controles admisibles, denotados por u, los cuales podemos manipular, y lasperturbaciones, denotadas por w, este tipo de entradas no las podemos manipular. Al igual que lasentradas, las salidas tambien se dividen en dos grupos: Las salidas medibles, denotadas por y, comosu nombre lo dice, son salidas que podemos medir. En algunas ocasiones se introduce otra variablemas, que sera la variable de salidas a ser controladas, y se denota con z.

El modelo matematico general para estos eventos a controlar es

x = Ax + Bu

y = Cx

Con x ∈ Rn, u ∈ R

m, y ∈ Rp, A ∈ Mn×n(R), B ∈ Mn×m(R), C ∈ Mp×n(R).

Para nuestro interes de controlabilidad, solo trabajaremos con la dinamica entre controles y es-tados del sistema, es decir, con

x = Ax + Bu (3.1)

El conjunto de funciones de control admisibles es un subconjunto no vacıo de Rm y se denota por

Ω.

Definicion 3.1. Se define el casco convexo de Ω como la interseccion de todos los conjuntos con-vexos de R

m que contienen a Ω y se denota por CH(Ω).

Definicion 3.2. El sistema (3.1) con el conjunto admisible Ω es llamado completamente controlablesi para cada par de puntos x0, x1 en R

n, existe un control admisible acotado u(t) en algun intervalofinito 0 ≤ t ≤ t1 el cual envia x0 a x1. Especificamente, la solucion x(t, u(·)) de (3.1), satisface lascondiciones a la frontera x(0, u(·)) = x0 y x(t1, u(·)) = x1.

Definicion 3.3. El sistema (3.1) se dice que es nulo-controlable si existe un conjunto abiertoV ∈ R

n que contenga al orıgen y para el cual, cualquier x0 ∈ V puede ser controlado a x1 = 0 en unintervalo de tiempo finito. Diremos que (3.1) es globalmente nulo-controlable si V puede ser tomadocomo R

n.

51


Definicion 3.4. Definiremos el conjunto alcanzable en el tiempo t1, como el conjunto de todos losestados hacia los que puede ser dirigido un estado inicial x0 en el intervalo de tiempo t0 ≤ t ≤ t1para todos los controles u en Ω y lo denotamos como R(t1).

Si x(t) denota la solucion correspondiente con la condicion inicial x(t0) = x0, el conjunto de alcan-zabilidad R(t1) es el conjunto de todos los puntos extremos x(t1) en R

n.

Definicion 3.5. Definiremos el conjunto alcanzable como la union sobre los t > 0 de los conjuntosde alcanzabilidad R(t) y lo denotamos como R∞.

Veamos como deducir una expresion matematica que nos garantice cuando un sistema es contro-lable, para ello requeriremos de los siguientes resultados.

Teorema 3.1 ([7, pag. 157]). Ω es un conjunto compacto y convexo en Rm y F es la familia de

todas las funciones vectoriales medibles u(t) ∈ Ω en un intervalo real compacto. Entonces F esdebilmente compacto (por sucesiones).

Teorema 3.2. Considere el sistema de control (3.1) con conjunto admisible compacto Ω, estadoinicial x0 y controles u(t) ∈ Ω en J : t0 ≤ t ≤ t1. El conjunto de alcanzabilidad R(t1) es compacto,convexo y varıa continuamente con t1 en t1 > t0. Mas aun, si Ω se extiende a su casco convexoCH(Ω), y si RCH(t1) es el correspondiente conjunto de alcanzabilidad para controles admisibles enCH(Ω) en J , entonces RCH(t1) = R(t1).

Demostracion. Para probar que R(t1) es compacto, probaremos primero que toda sucesion xi(t1)en R(t1) contiene una subsucesion que converge a un punto x(t1) en R(t1). Considere las solucionescorrespondientes xr(t) y controles ur(t) ⊂ Ω en t0 ≤ t ≤ t1 para r = 1, 2, 3, . . .. La formula devariacion de parametros establece que

xr(t) = eAtx0 +

∫ t1

t0

eA(t−s)Bur(s)ds.

Por el teorema 3.1, el conjunto de todos los controles medibles u(t) ⊂ Ω es debilmente compacto,ası que, existe una subsucesion uri

(t) que converge debilmente a un control u(t) ⊂ Ω en t0 ≤ t ≤ t1.El hecho de que Ω sea compacto, nos asegura que cada u ∈ Ω es acotada, en particular, la sucesionuri

(t) es una sucesion de funciones acotadas. Ası que, por el teorema de convergencia dominada, seobtiene que

lımi→∞

∫ t1

t0

eA(t−s)Buri(s)ds =

∫ t1

t0

eA(t−s)Bu(s)ds.

Sea x(t) la solucion correspondiente al control u(t) tal que en t0 ≤ t ≤ t1 tenemos

x(t) = eAtx0 +

∫ t1

t0

eA(t−s)Bu(s)ds = lımi→∞

xri(t).

Ası que,

lımi→∞

xri(t1) = x(t1) ∈ R(t1).

Notemos que eAt es continua en J y B es constante, por tanto integrable en J . Ahora, dado queΩ es compacto, se tiene que para toda u ∈ Ω, la solucion x(t) es acotada para toda t ∈ J . De



aquı que, R(t1) es acotado. Luego, R(t1) es compacto.

La demostracion de la convexidad de R(t1) la puede ver en [7, pag 165].

Fijaremos ahora la condicion inicial x(t0) = x0. Estudiaremos la dependencia del conjunto R(t1) enla variable de tiempo final t1 > t0. Si r > 0, se define la nube de R(t1) como

Nr(R(t1)) = x ∈ R(t2) : |x − y| < r, y ∈ R(t1) .

Ahora, es claro que si t1 < t2, entonces R(t1) ⊂ R(t2). Se define una distancia entre R(t1) y R(t2)como

d(R(t1), R(t2)) = ınfr>0

R(t2) ⊂ Nr(R(t1)) .

Mostraremos que si ǫ > 0 arbitrario, entonces existe δ > 0 tal que d(R(t1), R(t2)) < ǫ siempre que|t1 − t2| < δ; esto es, mostraremos que la correspondencia

t 7→ R(t), para t > 0

es un mapeo continuo de la recta real positiva sobre el espacio metrico de todos los subconjuntoscompactos no vacıos de R

n. De aquı que, x(t) ∈ Nr(R(t1)) ⊂ Nǫ(R(t1)) es continua, para t1 ≤ t ≤ t2,es decir, cada punto de R(t2) esta ǫ−cercano a algun punto de R(t1) y tambien cada punto de R(t1)esta ǫ−cerca de algun punto de R(t2).

Tomemos un control u(t) ⊂ Ω con solucion x(t) en t0 ≤ t ≤ t1 +1. para t0 < t1, t2 < t1 +1, tenemos

x(t2) − x(t1) = eAt2x0 + eAt2

∫ t2

t0

e−AsBu(s)ds −

(eAt1x0 + eAt1

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

)

= eAt2x0 + eAt2

∫ t2

t0

e−AsBu(s)ds −

(eAt1x0 + eAt1

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

)

+ eAt2

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds − eAt2

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

= eAt2x0 + eAt2

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds −

(eAt1x0 + eAt1

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

)

+ eAt2

∫ t2

t0

e−AsBu(s)ds − eAt2

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

=(eAt2 − eAt1

) [x0 +

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds

]+ eAt2

∫ t2

t0

e−AsBu(s)ds

− eAt2

∫ t1

t0

e−AsBu(s)ds.



En el intervalo t0 ≤ t ≤ t1 + 1 las funciones continuas eAt y e−At satisfacen las cotas

|eAt| < C1, |e−At| < C1,

para alguna constante C1. Por la integrabilidad de B y el hecho de que |u(t)| es acotado, obtenemosla cota

|x0| +

∫ t1+1

t0

|e−As||Bu(s)|ds < C2.

Dado que una integral es una funcion continua∣∣∣∣∫ t

t1

e−AsBu(s)ds

∣∣∣∣ <ǫ

2C1

y

∣∣eAt − eAt1∣∣ ≤

∣∣∣∣∫ t

t1

Ae−Asds

∣∣∣∣ <ǫ

2C2

para un prescrito ǫ > 0 y |t − t1| < δ. Ası que, para |t2 − t1| < δ tenemos

|x(t2) − x(t1)| ≤ |eAt2 | ·

∣∣∣∣∫ t2

t1

e−AsB(s)u(s)ds

∣∣∣∣

+ |eAt2 − eAt1 |

[∫ t1+1

t0

|e−As| · |B(s)u(s)|ds + |x0|

]

y

|x(t2) − x(t1)| < C1 ·ǫ

2C1+ C2 ·

ǫ

2C2= ǫ.

Ahora, tomemos x(t1) ∈ R(t1) correspondiente a un control u(t) en t0 ≤ t ≤ t1. Defınase u(t) ⊂ Ω

en t0 ≤ t ≤ t1 + 1, asignandole los valores u(t) = (u)(t1) en t1 ≤ t ≤ t1 + 1 y tomamos x(t) lasolucion correspondiente. Entonces x(t2) ∈ R(t2) y

|x(t2) − x(t1)| < ǫ.

Por otro lado, si x(t2) es un punto en R(t2) correspondiente al control u(t) en t0 ≤ t ≤ t2, de nuevoextendemos u(t) ⊂ Ω al intervalo t0 ≤ t ≤ t1 + 1 para obtener

|x(t2) − x(t1)| < ǫ.

La construccion anterior muestra que la distancia entre R(t1) y R(t2) es menor que ǫ siempre que|t1 − t2| < δ, donde 0 < δ < 1 depende de ǫ y t1. El mismo procedimiento muestra que la distanciaentre R(t0) = x0 y R(t1) es menor que ǫ siempre que |t1 − t2| sea suficientemente pequeno. Ası queR(t1) varıa continuamente con t1 > t0.

Finalmente probaremos que R(t1) = RCH(t1), mas brevemente, R = RCH . Tenemos que R yRCH son conjuntos compactos convexos y R ⊂ RCH . Probaremos que R es denso en RCH y conse-cuentemente, R = RCH .Primero tomemos uCH ⊂ CH(Ω) una funcion escalon con un numero finito de valores sobre losintervalos disjuntos J1, J2, . . . ,Js que componen a J . Escribamos

uCH(t) = uCH1 + uCH2 + · · · + uCHs,



donde uHj es constante en el j−esimo intervalo Jj ⊂ J y cero en Jk, k 6= j. En el primerintervalo J1 : t0 ≤ t ≤ τ1 escribamos

uCH1 = λ0u01 + · · · + λnun1

una combinacion constante convexa de vectores u01, . . . , un1 en Ω, donde la suma de los λr es iguala uno. Ası que, si xCH1(τ) es el punto alcanzable correspondiente al control uCH1 en J , entonces

xCH1(τ1) = eAτ1x0 + eAτ1

∫ τ1

t0

e−AtBuCH1(t)dt

= eAτ1x0 + eAτ1

∫ τ1

t0

e−AtB(λ0u01(t) + · · · + λnun1(t))dt

= eAτ1x0 +n∑

r=0

λreAτ1

∫ τ1

t0

e−AtBur1(t)dt

=

(n∑

r=0

λr

)eAτ1x0 +

n∑

r=0

λreAτ1

∫ τ1

t0

e−AtBur1(t)dt

=

n∑

r=0

λr

(eAτ1x0 + eAτ1

∫ τ1

t0

e−AtBur1(t)dt

).

Dado que∑n

r=0 λr = 1, se tiene que xCH1 es una combinacion convexa de puntos de R, el cuales convexo, entonces existe un control u1(t) ⊂ Ω en J1, el cual dirige x0 a xCH(τ1) como lo haceuCH1. Ahora, tomamos xCH como punto inicial y utilizamos el control uCH2 en J2 : τ1 ≤ t ≤ τ2

para encontrar un control u2(t) ⊂ Ω en J2 que dirija xCH(τ1) al mismo punto xCH(τ2) como lohace uCH2. Continuando con este procedimiento construimos el control

u(t) = u1(t) + u2(t) + · · · + us(t) ⊂ Ω

donde uj(t) ≡ 0 en Jk, para k 6= j, el cual dirige x0 al mismo punto xCH(t1) como lo hace uCH(t)en J .Dado que cada funcion medible uCH ⊂ CH(Ω), se puede aproximar por medio de una sucesion defunciones simples (escalonadas) de CHΩ [lema 2.11, [17]], es decir, existe una sucesion uCHj ⊂CH(Ω) de funciones simples que converge a uCH en CH(Ω), y por lo hecho arriba, para cada j existeuna funcion uj la cual dirige a los mismos puntos que uCHj en el mismo intervalo de tiempo. Ası que,la sucesion uj tambien aproxima a uCH . Mas aun, el hecho de ser Ω compacto y toda funcionuj ⊂ Ω definida en el compacto J , la aproximacion es uniforme. Ahora, si tomamos las solucionescorrespondientes xCH(t) de uCH(t) y xj(t) de uj(t), por el teorema de convergencia dominada seobtiene que

lımj→∞

xj(t) = lımj→∞

(eAtx0 + eAt

∫ t

0e−AsBuj(s)ds

)

= lımj→∞

(eAtx0 + eAt

∫ t

0e−AsBuCHj(s)ds

)

= xCH(t).

De aquı que, R es denso en RCH . Luego, R = RCH .

Corolario 3.3. P es un punto en el interior de R(t0). Existe una vecindad V de P y δ > 0 tal quecada conjunto R(t1), con |t1 − t0| < δ, contiene a V en su interior.



Demostracion. Escojanse x0(t0), x1(t0), . . . , xn(tn) como los vertices de un n−simple S (el cascoconvexo de n + 1 puntos independientes) que esta en el interior de R(t0) y que tiene a P como sucentroide. Tomemos N en el interior de un simple similar, pero con todas sus longitudes reducidasa la mitad. Sean u0(t), u1(t), . . . , un(t) ⊂ Ω para el intervalo extendido 0 ≤ t ≤ t0 + 1.Escojemos ǫ > 0 tal pequeno que toda n−simple Q0, Q1, . . . , Qn con |Qi − xi(t0)| < ǫ Sigue conte-niendo a N en su interior. Por el teorema anterior, existe δ > 0 tal que para |t1 − t0| < δ tenemos|xi(t1)−xi(t0)| < ǫ, i = 0, 1, . . . , n. Dado que R(t1) contiene a x0(t1), . . . , xn(t1) y puesto que R(t1)es convexo, R(t1) contiene a N en su interior.

Lema 3.4. A es una matriz de tamano n× n y B de tamano n×m. Considerese el vector v ∈ Rn

y supongase que

vT B = vT AB = · · · = vT An−1B = 0. (3.2)

Entonces vT An+kB = 0.

Demostracion. La prueba se hara por induccion sobre k. Por el teorema de Cailey-Hamilton, lamatriz A anula a su polinomio caracterıstico, entonces

An = c1An−1 + c2A

n−2 + · · · + cnI (3.3)

para algunos numeros c1, . . . , cn. Ası que

vT AnB = c1vT An−1B + · · · + cnvT B = 0. (3.4)

Ahora, si k = 0, es obvio por la ecuacion (3.4). Si k = 1 se tiene de (3.3) la expresion

vT An+1B = c1vT AnB + c2v

T An−1B + · · · + cnvT AB, (3.5)

por (3.2) y por (3.4) se tiene que cada uno de los terminos de la suma en el lado derecho de (3.5)son iguales a cero, y por tanto vAn+1B = 0. Supongase la hipotesis cierta para k = j − 1, luego,

vT An+(j−1)B = c1vT An+(j−2)B + c2v

T An+(j−3)B + · · · + cnvT Aj−1B = 0, (3.6)

con, vT An+(j−2)B = vT An+(j−3)B = · · · = vT Aj−1B = 0. Veamos que se cumple para k = j,

vT An+(j)B = c1vT An+(j−1)B + c2v

T An+(j−2)B + · · · + cnvT An+1B, (3.7)

la cual, por hipotesis de induccion, cada uno de los terminos de la suma en el lado derecho de (3.7)son iguales a cero, como se querıa.

A continuacion, presentamos el teorema que nos caracteriza a los sistemas completamente contro-lables.

Teorema 3.5. El sistema (3.1) es controlable si y solo si la matriz de controlabilidad C(A, B) cuyascolumnas son las columnas de [B AB · · · An−1B], tiene rango n.

Demostracion. Supongase primero que (3.1) es controlable. Cualquier x0 puede ser dirigido a unarbitrario x1 ∈ R

n. Supongase que rango(C(A, B)) < n. entonces las columnas de C(A, B) sonlinealmente dependientes ası que, existe un vector v 6= 0 tal que vC(A, B) = 0 o equivalentemente

vT B = vT AB = · · · = vT An−1B = 0. (3.8)



Por el lema 3.4 se tiene que vT An+kB = 0 para todo k = 0, 1, 2, 3, . . ., por lo que

vT eAtB = vT

[I + At +

1

2!A2t2 + · · ·

]B = 0

para todo real t. Ahora, la solucion en la condicion inicial x0 = 0 con control u(t) es

x(t) =

∫ t

0eA(t−s)Bu(s)ds.

Entonces

vT x(t) =

∫ t

0vT eA(t−s)Bu(s)ds = 0

para todo control u(t). Ası que la solucion x(t) yace sobre el hiperplano de Rn ortogonal a v, lo cual

contradice la controlabilidad de (3.1). Luego entonces,

rango[B AB · · · An−1B] = n

Recıprocamente, supongase que rango[B AB · · · An−1B] = n y mostremos que (3.1) es controlable.R′

0(t) es el conjunto de puntos desde los cuales el orıgen puede ser alcanzado en el tiempo 0 ≤ t ≤ 1con controles restringidos |ui| ≤ 1 para i = 1, 2, . . . , m. Entonces, por el teorema 3.2, R′

0 es compactoy convexo.Supongase que la dimension de R′

0(t) es menor que n. Entonces si x(t) ∈ R′0(t) existe un vector

unitario v ortogonal a x(t), es decir,

vT x(t) =

∫ t

0vT eA(t−s)Bu(s)ds = 0

para todo control u con la restriccion anterior. Ası que si hacemos variar t en [0, 1], la inte-gral es siempre cero, por tanto, el integrando vT eA(t−s)Bu(s) es igual a cero. Tenemos luego quevT eA(1−s)B ∈ R

m es ortogonal a todas esas u′s. De aquı, concluimos que vT eA(1−s)B = 0. Si s = 1tenemos que vT B = 0. Diferenciando repetidamente vT eA(1−s)B (n − 1)-veces con respecto a s yevaluando en s = 1 se tiene que vT AB = vT A2B = · · · = vT An−1B = 0. Lo que significa querango[B AB · · · An−1B] < n y, contradice nuestra hipotesis. De aquı que, dimR′

0(t) = n.

Notemos que el control u(t) puede ser cambiado por −u(t). Ası que, R′0(t) es simetrico con re-

specto al orıgen. Por el teorema 3.2 y el corolario 3.3, R′0(t) es compacto, convexo y contiene un

abierto, entonces R′0(t) debe contener al orıgen en su interior, luego es no vacıo. Mas aun, si el

control restringido se extiende a |ui|l ≤ l para todo l = 1, 2, 3, . . ., entonces

(lu1, . . . , lum)T = l(u1, . . . , um)T = lu.

De aquı que

∫ t

0vT eA(1−s)Blu(s)ds = l

∫ t

0vT eA(1−s)Bu(s)ds = lx(t).

Por lo que el conjunto de alcanzabilidad correspondiente es lR′0(t). De aquı que el conjunto de

alcanzabilidad del orıgen para todos los controles u(t) (no acotados) en 0 ≤ t ≤ 1, R0(t) debe sertodo R

n. Para cualquier estado inicial x0, el conjunto R(t) de alcanzabilidad con controles u(t) en0 ≤ t ≤ 1 es R(t) = eAx0 + R0(t) = R

n. Por tanto, (3.1) es controlable.



Corolario 3.6 ([7, pag 84]). Considere el sistema (3.1) con conjunto de control admisible Ω ⊂ Rm

tal que contenga a u = 0 en su interior. Entonces el sistema es nulo-controlable si y solo si la matrizde controlabilidad C(A, B) tiene rango n.

Observacion 3.7. Dado que el rango de C(−A,−B) es igual al rango de C(A, B), el sistema

x = −Ax − Bu (3.9)

es nulo-controlable si y solo si (3.1) es nulo-controlable. Ası que, u(t) envıa x0 de (3.7) a 0 en t = t1si y solo si u(t1 − t) envıa la solucion de (3.1) de 0 a x0 en t = t1. Ası, el conjunto alcanzable R∞

para (3.1) contiene una vecindad del orıgen si y solo si (3.1) es nulo-controlable

El corolario anterior es tıpico de los muchos resultados en teorıa de control, en el sentido de que serequiere que el origen este en el interior de Ω, o por lo menos en CH(Ω). Sin embargo, las preguntasde controlabilidad se pueden seguir considerando para sistemas en los cuales el origen no este en elinterior de CH(Ω).

Definicion 3.6. Las matrices que no tienen valores propios reales, solo complejas, son llamadasmatrices oscilatorias.

El siguiente teorema se probo en [5] para el sistema (3.1) con m = 1 y Ω = [0, 1].

Teorema 3.8. El sistema (3.1) con m = 1 y Ω = [0, 1] es nulo-controlable si y solo si C(A, B)tiene rango n y la matriz A es oscilatoria.

§ 3.2. El teorema de Brammer

En el seguimiento de la teorıa, el desarrollo del teorema principal se basara sobre el sistema decontrol

x = Ax + Bu, (3.10)

para el cual,

(I) El conjunto Ω contiene un vector en el kernel de B (es decir, existe u ∈ Ω tal que Bu = 0).

(II) El conjunto CH(Ω) tiene interior distinto del vacıo en Rm.

Y el desarrollo a seguir sera sobre las siguientes condiciones:

(III) La matriz C(A, B) tiene rango n.

(IV ) No existe vector propio real v de AT tal que vT · Bu ≤ 0 para toda u ∈ Ω,

Antes, presentaremos algunos lemas previos al resultado principal de esta seccion en los cualesanalizaremos el comportamiento asintotico del producto interior

⟨v, eAtBu

⟩.



Lema 3.9. A es una matriz real de tamano n × n tal que A = λI + N , donde N es nilpotente.v 6= 0 es un vector en R

n. La funcion vectorial eAtv tiene la siguiente forma:

eAtv = tkeλt(z + f(t)), (3.11)

donde k es un entero no negativo, f(t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, y Az = λz conz 6= 0.

Demostracion. Si Nv = 0, hacemos z = v. Dado que D = λI + N , entonces

(λI + N)sv =s∑

r=0

(sr

)λs−rI · N rv = λsI · v

Ası,

eDtv =∞∑

s=0

Asts

s!v

=∞∑

s=0

(λI + N)sts

s!v

=∞∑

s=0

λsts

s!v

= eλtv.

Tomando k = 0 y f ≡ 0 se obtiene la expresion (3.11).Si Nv 6= 0, sea k el entero mas grande tal que Nkv 6= 0. El entero k, con 1 ≤ k ≤ n, esta biendefinido, pues N es nilpotente. Luego, la funcion eAtv toma la forma

eAtv = e(λI+N)tv

= eλtI · eNtv

= eλt(I + Nt + · · · +Nktk

k!)v

= eλt[(I + Nt + · · · +Nk−1tk−1

(k − 1)!)v +

Nktk

k!v]

= eλttk[1

tk(I + Nt + · · · +

Nk−1tk−1

(k − 1)!)v +

Nk

k!v]

Haciendo z = Nkvk! 6= 0 y definimos para t > 0

f(t) =1

tk(I + Nt + · · · +

Nk−1tk−1

(k − 1)!)v

se obtiene queeAtv = eλttk(f(t) + z),

de donde no es difıcil ver que f(t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, y

Az = (λI + N)z

= λz + Nz

= λz + N ·Nk

k!v

= λz

como se querıa.



Lema 3.10. Considere el sistema (3.1) con A una matriz real de tamano 2n sin valores propiosreales, v, b son vectores en R

2n. Entonces el producto interior⟨v, eAtb

⟩toma la forma

⟨v, eAtb

⟩= tmeρt(a(t) + g(t)) (3.12)

Donde m es un entero positivo, ρ es el maximo de las partes reales de los valores propios de A, a(t)es una suma de terminos senoidales (es decir, a(t) =

∑k∈K hksin(ωkt + θk)), y g(t) tiende a cero

cuando t tiende a infinito.

Demostracion. Primero, es claro que si v y b son distintos de cero y b, Ab, . . . , A2n−1b tiene rango2n, entonces el producto interior

⟨v, eAtb

⟩es distinto de cero. Si no, definimos W como el espacio

generado por b, Ab, . . . , A2n−1b, y W⊥ el espacio ortogonal a W . Ası que v = v1 + v2, con v1 ∈ W yv2 ∈ W⊥. Luego, tenemos por linealidad,

⟨v, eAtb

⟩=⟨v1 + v2, e

Atb⟩

=⟨v1, e

Atb⟩

+⟨v2, e

Atb⟩.

Donde,⟨v1, e

Atb⟩6= 0 y

⟨v2, e

Atb⟩

= 0. Luego entonces,⟨v, eAtb

⟩6= 0. Si v = v2, entonces a(t) ≡ 0

y g(t) ≡ 0.

En el producto interior

⟨v, eAtb

⟩= vT eAtb, (3.13)

considere el vector real y(t) = eAtb. El cual es solucion del sistema

y = Ay, con y(0) = b. (3.14)

Por el teorema 2.8 y la observacion 2.9, se tiene que tal solucion toma la forma

y(t) =s∑

k=1

eλkt

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj . (3.15)

Donde λk son los valores propios de A, mk es la multiplicidad algebraica de λk, vkj son vectorespropios generalizados (complejos) y Pkj(t) son polinomios en t determinados por λk. Para cada kdefinamos

rk(t) =1

2

mk∑

j=1

Pkj(t)(vkj + vkj) =

mk∑

j=1

Pkj(t)Re(vkj)

y

sk(t) =i

2

mk∑

j=1

Pkj(t)(−vkj + vkj) =

mk∑

j=1

Pkj(t)Im(vkj).

Si λk = ρk + iωk, entonces eλkt = eρkt(cosωkt + isenωkt), y lo sustituimos en (3.15) para obtener

y =

s∑

k=1

eρkt(cosωkt + isenωkt)

mk∑

j=1

Pkj(t)vkj .

Tenemos luego, por el teorema 2.7 que

y1(t) = Re(y(t)) =s∑

k=1

eρkt(rk(t)cosωkt − sk(t)senωkt), (3.16)



y2(t) = Im(y(t)) =s∑

k=1

eρkt(sk(t)cosωkt + rk(t)senωkt), (3.17)

son soluciones reales de (3.14). Entonces la solucion general real es combinacion lineal de (3.16) y(3.17), y toma la forma

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t)

= c1

s∑

k=1

eρkt(rk(t)cosωkt − sk(t)senωkt) + c2

s∑

k=1

eρkt(sk(t)cosωkt + rk(t)senωkt)

=

s∑

k=1

eρkt [(c1rk(t) + c2sk(t))cosωkt + (c2rk(t) − c1sk(t))senωkt]

=s∑

k=1

eρkt

mk∑

j=1

Pk j(t) [c1Re(vkj) + c2Im(vkj)] cosωkt (3.18)

+

mk∑

j=1

Pk j(t) [c2Re(vkj) − c1Im(vkj)] senωkt

.

De (3.13) y (3.18) se obtiene

vT eAtb = vTs∑

k=1

eρkt

[mk∑

i=1

Pk i(t) [c1Re(vkj) + c2Im(vkj)] cosωkt

+

mk∑

j=1

Pk j(t) [c2Re(vkj) − c1Im(vkj)] senωkt

=s∑

k=1

eρkt

mk∑

j=1

Pk j(t)[c1v

T Re(vkj) + c2vT Im(vkj)

]cosωkt

+

mk∑

j=1

Pk j(t)[c2v

T Re(vkj) − c1vT Im(vkj)

]senωkt

=s∑

k=1

eρkt(Rk(t)cosωkt + Sk(t)senωkt), (3.19)

donde para cada k, Rk(t) y Sk(t) son polinomios reales en t. Definamos ρ = max ρ1, . . . , ρs ym = max mk − 1 sobre los ındices k en los cuales ρk es igual a ρ, k = 1, . . . , s. Ahora, de (3.19)factoricemos tmeρt,

vT eAtb = tmeρt

[s∑

k=1

e(ρk−ρ)tt−m(Rk(t)cosωkt + Sk(t)senωkt)

]. (3.20)

Si separamos los terminos de los ındices en los cuales ρ = ρk de los que ρ > ρk obtenemos

vT eAtb = tmeρt

[∑

k∈L

(t−mRk(t)cosωkt + t−mSk(t)senωkt

)(3.21)

+∑

k∈LC

e(ρk−ρ)tt−m (Rk(t)cosωkt + Sk(t)senωkt)

,



donde L ⊂ 1, 2, . . . , s es el subconjunto de ındices en los cuales ρk = ρ y LC son los ındices enlos cuales ρk < ρ. Ası que, sobre L, existen algunos ındices k sobre los cuales Rk(t) y Sk(t) tienenexponente maximo m. Sea K ⊂ J tal conjunto de ındices. Luego, podemos expresar Rk(t) y Sk(t)de la forma

Rk(t) = tmγk + tmhk1(t)

y

Sk(t) = tmζk + tmhk2(t),

donde hk1(t) y hk2(t) tienden a cero cuando t tiende a infinito. En el conjunto de ındices k ∈ KC ,Rk(t) y Sk(t) tienen exponente menor que m, entonces t−mRk(t) y t−mSk(t) tienden a cero cuandot tiende a infinito. Si separamos ambos casos de la primer suma de (3.21) obtenemos

∑

k∈L

(t−mRk(t)cosωkt + t−mSk(t)senωkt) =∑

k∈K

(γkcosωkt + ζksenωkt)

+∑

k∈KC

(hk1(t)cosωkt + hk2(t)senωkt).

Luego, (3.21) se expresa de la siguiente manera

vT eAtb = tmeρt

∑

k∈K

(γkcosωkt + ζksenωkt) +∑

k∈KC

(hk1(t)cosωkt + hk2(t)senωkt)

+∑

k∈LC

e(ρk−ρ)tt−m(Rk(t)cosωkt + Sk(t)senωkt)

. (3.22)

Definamos

g(t) =∑

k∈KC

(hk1(t)cosωkt + hk2(t)senωkt)

+∑

k∈LC

e(ρk−ρ)tt−m (Rk(t)cosωkt + Sk(t)senωkt) .

Es claro que g(t) converge a cero cuando t tiende a infinito. Ası pues, (3.13) toma la forma

vT eAtb = tmeρt

[∑

k∈K

(γkcosωkt + ζksenωkt) + g(t)

]. (3.23)

Aplicamos la identidad

a cos x + b sen x =√

a2 + b2 · sen(x + arctan

a

b

)

a (3.23) para obtener

vT eAtb = tmeρt

[g(t) +

∑

k∈K

√γ2

k + ζ2k ·

(sen(ωkt + arctan

γk

ζk)

)].



Finalmente, hacemos hk =√

γ2k + ζ2

k y θk = arctan(

γk

ζk

), y se obtiene

vT eAtb = tmeρt

(g(t) +

∑

k∈K

hksen(ωkt + θk)

),

lo cual concluye la prueba.

Lema 3.11. El producto interior⟨v, eAtBu

⟩puede escribirse de la forma

⟨v, eAtBu

⟩=

k∑

i=1

tjieλit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉) (3.24)

+

k+p∑

i=k+1

eρit

m∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))uj ,

satisfaciendose las siguientes condiciones:

(a) Los λi son los k distintos valores propios reales de la matriz A y, λ1 ≥ · · · ≥ λk.

(b) AT zi = λizi.

(c) Si zi = 0, entonces fi(t) ≡ 0.

(d) Los ji y rij son enteros no negativos.

(e) Las funciones fi(t) y gij(t) tienden a cero cuando t tiende a infinito.

(f) Las funciones aij(t) son sumas de terminos senoidales.

(g) Si aij(t) ≡ 0, entonces gij(t) ≡ 0.

(h) Los ρi son los p distintas partes reales de los valores propios complejos de la matriz A y,ρ1 ≥ · · · ≥ ρp.

(i) Los uj son los componentes del m−vector uT = (u1, . . . , um).

(j) Si (II) y (III) se satisfacen y si v 6= 0, entonces existe u ∈ Ω para el cual (3.24) no esidenticamente cero.

Demostracion. Primero, notese que es suficiente probar el lema en sistemas de coordenadas en lacual la matriz AT tiene la forma J . De no ser ası, existe una matriz invertible Q tal que al realizar elcambio de coordenadas, se tiene que Q−1AT Q = J . Del teorema 1.8 se tiene que los valores propiosde A son los mismos valores propios de J . Ası, el producto interior se expresa como

⟨v, eAtBu

⟩= vT eAtBu

= vT (Q−1)T eJT

QT Bu

=⟨Q−1v, eJT

QT Bu⟩

. (3.25)

Redefiniendo v = Q−1v y B = QT B, entonces el producto interior (3.25) se escribe de la forma

⟨v, eJT

Bu⟩

=

k∑

i=1

tjieλit(⟨zi, Bu

⟩+⟨fi(t), Bu

⟩) +

k+p∑

i=k+1

eρit

m∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))uj .



De aquı se sigue que⟨zi, Bu

⟩=

⟨zi, Q

T Bu⟩

= 〈Qzi, Bu〉

= 〈zi, Bu〉

y⟨fi(t), Bu

⟩=

⟨fi(t), Q

T Bu⟩

= 〈Qfi(t), Bu〉

=⟨fi(t), Bu

⟩

De esta ultima no es difıcil ver que fi(t) = Qfi(t)t→∞→ 0. Veamos ahora que zi = Qzi es vector

propio de AT . Observemos que

AT zi = AT Qzi = QJQ−1Qzi

= QJzi

= λiQzi = λizi.

Por lo que (3.25) se escribe de la forma⟨v, eAtBu

⟩=

⟨v, eJT

Bu⟩

=k∑

i=1

tjieλit(〈zi, Bu〉 +⟨fi(t), Bu

⟩) +

k+p∑

i=k+1

eρit

m∑

j=1


En la suma del lado derecho, se cumplen las condiciones sobre rij , aij(t) y gij(t), por el hecho deque AT Pi = QJQ−1Pi, i = k + 1, . . . , k + p, es oscilatoria, como se requiere en el lema 3.10.

Ası que, podemos suponer que AT esta en forma de Jordan y ası tendremos las proyecciones Pi

dadas en (1.36) inducidas por AT . Utilizando tales proyecciones Pi tenemos

eAT tv =

k+p∑

i=1

eAT tPiv =k∑

i=1

eAT tPiv +

k+p∑

i=k+1

eAT tPiv

=

k∑

i=1

eAT PitPiv +

k+p∑

i=k+1

eAT PitPiv, (3.26)

esto ultimo se justifica por el hecho de que P 2i = Pi y

eAT tPi =∞∑

s=1

(AT t)s

s!Pi =

∞∑

s=1

(AT t)s

s!P 2

i

=∞∑

s=1

(AT Pit)s

s!Pi = eAT PitPiv.

Aplicando (1.40) y el lema 3.9 a la primer suma de (3.26) se obtiene

k∑

i=1

eAT PitPiv =

k∑

i=1

exp[(λiI + Ni)Pit]Piv =

k∑

i=1

exp[(λiI + Ni)t]Piv

=k∑

i=1

tjieλit(zi + fi(t)). (3.27)



Es posible hacer un reacomodo adecuado en la suma, de tal forma que λ1 > · · · > λk. Multiplicarambas ecuaciones de (3.27) al lado izquierdo por Pi, nos lleva a la relacion Pizi = zi, pues zi es elvalor propio correspondiente a Bi y Pi es la identidad de tamano y posicion de Bi. Mas aun, de laprueba del lema 3.9 tenemos que Nizi = 0. Ası que,

AT zi = AT Pizi

= (λI + N)Pizi

= (λiI + Ni)zi

= λizi.

Luego, de (3.26) y (3.27) se obtiene,

eAT tv =

k∑

i=1

tjieλit(zi + fi(t)) +

k+p∑

i=k+1

eAT PitPiv.

Por lo que

⟨e

AT tv, Bu

⟩=

k∑

i=1

tjie

λit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉) +

k+p∑

i=k+1

⟨e

AT PitPiv, Bu

⟩. (3.28)

Esto prueba (a), (b), (c), y la primera parte de (d) y (e).

Ahora, considere la segunda suma de (3.28). Dado que

Bu =m∑

j=1

bjuj ,

donde los bi son los vectores columna de B, y los uj son las componentes de u, tenemos la siguientedoble suma,

k+p∑

i=k+1

⟨eAT PitPiv, Bu

⟩=

k+p∑

i=k+1

m∑

j=1

⟨eAT PitPiv, bj

⟩uj . (3.29)

Considere el producto interior⟨eAT PitPiv, bj

⟩. En general, la matriz AT Pi no es oscilatoria. Sin

embargo, si AT Pi es considerada como una transformacion lineal restringida a la imagen de Rn bajo

Pi, AT Pi es oscilatoria. Es decir, el producto interior⟨eAT PitPiv, Pibj

⟩puede ser considerado como

una restriccion al subespacio de Pi. Ası que, del lema 3.10 se obtiene

⟨eAT PitPiv, bj

⟩= eρittrij (aij(t) + gij(t)) (3.30)

Notese que todos los parametros del lado derecho dependen de i y j, excepto ρi, el cual solo dependede i. Esto es debido a que ρi es posiblemente solo la parte real de un valor propio de AT Pi. Deaquı se sigue que

m∑

j=1

⟨eAT PitPiv, bj

⟩uj = eρi

m∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))uj (3.31)

y de (3.28) se obtiene

⟨eAT tv,Bu

⟩=

k∑

i=1

tjieλit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉) +

k+p∑

i=k+1

eρi

m∑

j=1




Esto concluye las pruebas de (d) hasta (i).

Ahora, si⟨v, eAtBu

⟩es identicamente cero en t para toda u ∈ Ω. Entonces haciendo t = 0,

〈v, Bu〉 = 0 para toda u ∈ Ω. Ademas, diferenciando sucesivamente y evaluando en t = 0 setiene que

〈v, ABu〉 = 0,⟨v, A2Bu

⟩= 0, . . . ,

⟨v, An−1Bu

⟩= 0,

para toda u ∈ Ω. Transponiendo obtenemos

⟨BT v, u

⟩= 0, . . . ,

⟨BT (AT )n−1v, u

⟩= 0

para toda u ∈ Ω. Dado que CH(Ω) tiene interior distinto de vacıo, se sigue que cada vectorBT v, . . . , BT (AT )n−1v es perpendicular a m vectores linealmente independientes, entonces BT v =0, . . . , BT (AT )n−1v = 0, de aquı que vT C(A, B) = 0. Es decir, v ∈ Ker C(A, B). Dado que v ∈ R

n

no es cero, C(A, B) no puede tener rango n, lo cual contradice (III). En resumen, si CH(Ω) 6= 0y Rango(C(A, B)) = n ((II) y (III) respectivamente), entonces existe u ∈ Ω tal que

⟨v, eAtBu

⟩no

es identicamente cero para toda t. Con esto termina la prueba del lema.

Observacion 3.12. Note que si zi es cero, entonces fi(t) ≡ 0. Ası que, el i−esimo termino, escero y no contribuye a la primer suma en (3.28). Si algun zi = 0, para propositos de resultados,podemos ignorar los λi correspondientes. Puede pasar que todos los zi sean cero, y, ese caso puedeser considerado por separado. Ası, sin perdida de generalidad podemos suponer que todas las zi sondistintas de cero. De la misma manera, si (3.31) es identicamente cero para toda t > 0 y para todau ∈ Ω, entonces se puede seleccionar u = (u1, . . . , um)T tal que aij y gij son identicamente ceropara toda j = 1, . . . , m. Por tanto, en los teoremas a seguir, λ1 nos referiremos al valor propio masgrande para el cual se le asocia el vector propio z de (3.28) que es distinto de cero. Si todos los zi

son cero, entonces haremos λi = −∞. En el mismo sentido ρ1 es la parte real mas grande de losvalores propios complejos para el cual

m∑

j=1

tkij (aij(t) + gij(t))uj 6= 0.

Si todos esos terminos son cero, hacemos ρ1 = −∞.

Definicion 3.7. Una funcion f : R → C es casi periodica si, es continua y para todo ǫ > 0 existeL(ǫ) > 0 con la propiedad de que en cualquier intervalo de longitud L(ǫ) hay un numero s tal que

|f(t + s) − f(t)| < ǫ ∀t ∈ R.

Las funciones aij(t) en el lema 3.11 son ejemplos de funciones casi periodicas, dado que combina-ciones lineales de funciones casi periodicas, son casi periodicas.

Lema 3.13. [5,6] Para cualquier funcion casi periodica f , el lımite

M(f) = lımT→∞

1

T

∫ T

0f(t)dt

existe. Si M(f) = 0, y si f(t) ≤ |h(t)|, donde h es cualquier funcion que desaparece cuando t tiendea infinito, entonces f(t) ≡ 0.



Finalmente, notemos que −v es vector propio de −AT si y solo si v es vector propio de AT , y que〈−v,−Bu〉 ≤ 0 si y solo si 〈v, Bu〉 ≤ 0 para toda u ∈ Ω. Ademas, C(−A,−B) tiene rango n si ysolo si C(A, B) tiene rango n. Ası que, (3.9) satisface (I) y (II), si y solo si (3.1) los satisface. Ası,de la observacion 3.7, para probar (III) y (IV), es necesario y suficiente mostrar que R(t) contieneun intervalo abierto alrededor del orıgen para algun t > 0. Mas aun, por el lema 3.2, R(t) es unconjunto convexo para toda t > 0. Ası que, el conjunto alcanzable R∞ es la union de una coleccioncreciente de conjuntos convexos, y es ası, un conjunto convexo que contiene al origen. Si el orıgenesta en el interior de R∞, entonces existen n + 1 puntos en R∞ cuyo cascos convexos contienen alorigen como un punto interior. Se sigue que esos n + 1 deben estar contenidos en R(t) para algunt > 0 puesto que esos conjuntos son crecientes. Ası que, el origen esta en el interior de R∞ si y solosi el origen esta en el interior de R(t) para algun t > 0. De lo establecido arriba concluimos queprobar (III) y (IV ) son necesarios y suficientes para asegurar que el origen esta en el interior deR∞ y obtenemos el siguiente lema.

Lema 3.14. Considere el sistema (3.1). Si el conjunto de controles admisibles Ω cumple con lascomdiciones (I) y (II), entonces el sistema (3.1) es controlable si y solo si no existe vector v 6= 0tal que

⟨v, e(t−s)ABu(s)

⟩≤ 0 ∀t > 0 y ∀u ∈ Ω.

Demostracion. Si el orıgen no esta en el interior de R∞, entonces existe un hiperplano que contieneal orıgen y un vector normal v tal que 〈v, x(t, u(·))〉 ≤ 0 para todo t > 0 y todo control admisibleu. Dado que

x(t, u(·)) =

∫ t

0eA(t−s)Bu(s)ds,

el vector v satisface⟨

v,

∫ t

0eA(t−s)Bu(s)ds

⟩≤ 0.

Por continuidad de la solucion podemos encontrar un control u0(t) ⊂ Ω definido en un subintervalo[t0, t1] de [0, t] que dirija a x(t) tal que

⟨v, eA(t−s)Bu0(s)

⟩≤ 0 en [t0, t1]. (3.32)

Recıprocamente, si el orıgen esta en el interior de R∞, es claro que ningun vector distinto de cerosatisface (3.32), con lo que obtenemos controlabilidad.

El teorema principal sobre controlabilidad en esta seccion, es el teorema de Brammer, el cual sepresenta en el siguiente enunciado.

Teorema 3.15 (Teorema de Brammer). Considere el sistema de control (3.1) tal que el conjuntode control admisible satisface (I) y (II). Entonces las condiciones (III) y (IV) son necesarias ysuficientes para la nulo-controlabilidad de (3.1).

Demostracion. La prueba se dividira en dos partes, de necesidad y de suficiencia.Prueba de necesidad. Probaremos primero que (III) y (IV ) son necesarias para la nulo-controlabilidadde (3.1). Especıficamente, mostraremos que si no se satisfacen (III) y (IV ), entonces se cumple(3.32).



Supongase que C(A, B) no tiene rango n. Entonces existe un vector v 6= 0 tal que vT C(A, B) = 0.Esto implica que vT eAtB = 0. De aquı que

⟨v, eAtBu

⟩= 0 para todo t > 0 y para toda u ∈ Ω.

Ahora supongase que no se satisface (IV ). El producto interior⟨v, eAtBu

⟩=⟨eAT tv, Bu

⟩= eλt 〈v, Bu〉 ≤ 0

para toda t y toda u ∈ Ω.

Prueba de suficiencia. Mostraremos que (III) y (IV ) son suficientes para la nulo-controlabilidadde (3.1). Especıficamente, mostraremos que si (III) y (IV ) se satisfacen, entonces no existe vectorv 6= 0 que satisfaga (3.32).

Aplicando el lema 3.11 a (3.32) obtenemos

0 ≥⟨v, eAtBu

⟩=

k∑

i=1

tjieλit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉)

+

k+p∑

i=k+1

eρitm∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))uj . (3.33)

La prueba se dividira en tres casos:

λ1 > ρ1 o λ1 = ρ1 y j1 > maxj

r1j ≡ r1, (3.34)

λ1 < ρ1 o λ1 = ρ1 y j1 < maxj

r1j ≡ r1, (3.35)

λ1 = ρ1 y j1 = maxj

r1j ≡ r1. (3.36)

Prueba para (3.34). Si t > 0, dividimos ambos lados de (3.33) por tj1eλ1t

0 ≥1

tj1eλ1t

⟨v, eAtBu

⟩

= 〈z1, Bu〉 + 〈f1(t), Bu〉 +1

tj1eλ1t

[k∑

i=2

tjieλit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉)

+

k+p∑

i=k+1

eρitm∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))

= 〈z1, Bu〉 + F (t).

Por las hipotesis de (3.34), se tiene que F (t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, para toda uen Ω. Esto implica que 〈z1, Bu〉 ≤ 0 para toda u en Ω, el cual contradice (IV ).

Prueba para (3.35). Para t > 0, dividimos ambos lados de (3.33) por tr1eρ1t, a saber

0 ≥1

tr1eρ1t

⟨v, eAtBu

⟩

=1

tr1eρ1t

k∑

i=1


k+p∑

i=k+1

eρitm∑

j=1

trij (aij(t) + gij(t))uj

=∑

lj

(a1 lj (t) + g1 lj (t))ulj + G(t), (3.37)



donde

G(t) =1

tr1eρ1t

k∑

i=1

tjieλit(〈zi, Bu〉 + 〈fi(t), Bu〉) + eρ1t∑

ls

tr1 ls (a1 ls(t) + g1 ls(t))uls

+

k+p∑

i=k+2

eρitm∑

j=1


,

y los lj son los ındices en los que posiblemente se alcanza el maximo r1 = r1 j , pues puede sucederque r1 = r1 l1 = r1 l2 para dos ındices distintos l1 y l2. Los ls son los ındices menores que el maximor1. La funcion G(t) es analoga a F (t) y converge a cero cuando t tiende a infinito, para toda u en Ω.Recordemos que las funciones aij(t) son sumas de terminos senoidales y de aquı que son funcionescasi periodicas en t. Ası que, si la desigualdad (3.37) se satisface, tenemos que

∑

lj

a1 lj (t)ulj ≤ |H(t)|,

donde,

H(t) = G(t) +∑

lj

g1 lj (t)ulj .

Por una eleccion especial de u, se sigue que cada a1 lj ≡ 0, la cual contradice la definicion de r1 (esdecir, si todo a1 lj son triviales, entonces los terminos que involucran a r1 son todos cero, ası que nodeberıan ser considerados).

Prueba para (3.36). Para t > 0 dividase (3.33) por tj1eλ1t = tr1eρ1t

0 ≥1

tj1eλ1t

⟨v, eAtBu

⟩

=1

tj1eλ1t

k∑

i=1


k+p∑

i=k+1

eρitm∑

j=1


=1

tj1eλ1t

tj1eλ1t(〈z1, Bu〉 + 〈f1(t), Bu〉) + eρ1t

m∑

j=1

tr1j (a1j(t) + g1j(t))uj

+k∑

i=2


k+p∑

i=k+2

eρitm∑

j=1


= 〈z1, Bu〉 + 〈f1(t), Bu〉 +∑

lj

(a1 lj (t) + g1 lj (t))ulj +∑

ls

tls

tr1(a1 ls(t) + g1 ls(t))uls

+1

tj1eλ1t

k∑

i=2


k+p∑

i=k+2

eρitm∑

j=1


= 〈z1, Bu〉 +∑

lj

a1 lj (t)ulj + J(t), (3.38)



con

J(t) = 〈f1(t), Bu〉 +∑

lj

g1 lj (t)ulj +∑

ls

tls

tr1(a1 ls(t) + g1 ls(t))uls

+1

tj1eλ1t

k∑

i=2


k+p∑

i=k+2

eρitm∑

j=1


.

Observese que J(t) tiende a cero cuando t tiende a infinito, para toda u en Ω.

Para t > 0 arbitrariamente grande, J(t) es arbitrariamente pequeno y se puede despreciar su valormedio, lo que nos deja solo el analisis en

〈z1, Bu〉 +∑

lj

a1 lj (t)ulj ≤ 0.

Ahora, dado que a1 lj son sumas de puros terminos senoidales, que son funciones periodicas, se tieneque M(

∑lj

a1 lj (t)ulj ) = 0 para toda u en Ω. Ası que, 〈z1, Bu〉 ≤ 0 para toda u en Ω, lo cual

contradice (IV ).

Observe que hemos asumido que el ultimo termino no es cero. Sin embargo, las suposiciones (I) y(II) sobre Ω y la condicion (III) se aseguran por la prueba de (j) en el lema 3.11.

El teorema 3.8 se sigue como corolario.


4Capıtulo

Algunas caracterizacionesde sistemas CCP

§ 4.1. Caso real

El teorema (3.15) nos da una caracterizacion completa de los sistemas controlables. En los siguientesresultados se trabaja con el teorema de Brammer como una potente herramienta para caracterizaralgunos sistemas en forma particular. Estos sistemas tienen a la matriz A en alguna de las formasde Jordan.

Dado el sistema de control (3.1), se daran condiciones necesarias y suficientes sobre la matriz B,para asegurar la controlabilidad positiva, donde la matriz A, tomara alguna de las siguientes tresformas, las cuales se demostraran, para cada caso, utilizando la primera y segunda condicion delteorema de Brammer (III y IV respectivamente):

(i) un valor propio real repetido en forma diagonal

A = λI =

λλ

. . .

λ

(4.1)

(ii) un valor propio real repetido

A = λI + N =

λ 1λ

. . . 1λ

(4.2)

(iii) n valores propios reales diferentes

A = diag[λ1, . . . , λn] =

λ1

λ2

. . .

λn

(4.3)

Considere el sistema de control (3.1). Al conjunto

Rm+ =

(u1, . . . , um)T ∈ R

m|ui ≥ 0, i = 1, . . . , m

se le llama primer ortante de Rm.

71


Definicion 4.1. Diremos que el sistema (3.1) es controlable con control positivo (CCP), si escontrolable con controles u(t) en Ω = R

m+ . En este caso se diremos que el control es positivo.

En adelante, al mencionar el conjunto de control admisible Ω, nos estaremos refiriendo al conjuntoR

m+ .

Observacion 4.1. Note que (IV) es equivalente a decir que existen u1 y u2 en Ω tales que

vT Bu1 < 0 y vT Bu > 0,

para todo vector propio real v de AT . Es decir, no exista vector propio real v de AT tal que mantengafijo el signo de vT Bu para toda u ∈ Ω.

Teorema 4.2. Consideremos el sistema (3.1) con A = λI, de tamano n× n, y conjunto de controlΩ. Entonces el sistema es positivamente controlable con n + 1 controles si y solo si B tiene rango ny existe una columna bk de B tal que

bk =n+1∑

j=1, j 6=k

cjbj , con cj < 0.

De hecho, no es positivamente controlable con n o menos controles.

Demostracion. Probaremos la primera implicacion (⇒). Observese que

AkB = λkB

por lo tanto

Rango(C) = Rango(BAB · · ·An−1B)

= Rango(BλB · · ·λn−1B)

= Rango(B) (4.4)

luego, Rango(B) = n; ası, sin perdida de generalidad, podemos suponer que las primeras n columnasde B son linealmente independientes, entonces

bn+1 =

n∑

j=i

cjbj . (4.5)

Probaremos por contradiccion que, bn+1 es una combinacion lineal negativa del resto de las columnasde B. Supongase que existe un cj ≥ 0 en (4.5). Puede suponerse, sin perdida de generalidad, quecn ≥ 0. Sea W el espacio generado por b1, . . . , bn−1, y sea v ∈ R

n un vector no nulo en el espacioortogonal de W tal que v · bn 6= 0. Dado que v · bj = 0 para j = 1, . . . , n − 1, se tiene que

v · Bu = v ·

n+1∑

j=1

ujbj

=n+1∑

j=1

uj(v · bj)

= un(v · bn) + un+1(v · bn+1)

= un(v · bn) + un+1

v ·

n∑

j=1

cjbj

= un(v · bn) + un+1(v · cnbn)

= (un + cnun+1)v · bn.



Por la forma de A, todo vector de Rn es vector propio de AT , y dado que un + cnun+1 es siempre

positivo, se tiene que se ha encontrado un vector propio real v de AT tal que v · Bu no cambia designo para toda u ∈ Ω, y por la observacion 4.1, se contradice el hecho de que nuestro sistema espositivamente controlable.

(⇐) De (4.4) se sigue que Rango(C) = n. Solo falta probar la segunda condicion de controlabilidadpositiva (IV). Sin perdida de generalidad, supongase que

bn+1 =n∑

j=1

cjbj con cj < 0, j = 1, . . . , n.

Ahora bien, la coleccion b1, . . . , bn es linealmente independiente, pues el rango de B es n. Tomemosv ∈ R

n, entonces

v · Bu = v ·

n+1∑

j=1

ujbj

= v ·

n∑

j=1

ujbj + un+1bn+1

= v ·

n∑

j=1

ujbj + un+1

n∑

j=1

cjbj

= v ·

n∑

j=1

(uj + cjun+1)bj

=n∑

j=1

(uj + cjun+1)v · bj .

Como la coleccion b1, . . . , bn es linealmente independiente, existe bk tal que v · bk 6= 0. Disenamosu tal que uj = −cjun+1 para j 6= k, y uk 6= −ckun+1. Esto nos permite disenar controles tal quev ·Bu tenga cualquier signo. Por tanto, no existe vector propio de AT que mantenga fijo el signo dev · Bu para toda u.Probaremos ahora, que el sistema no es positivamente controlable con n o menos controles. Sabe-mos que Rango(C) = Rango(B), por lo tanto, para que el sistema sea positivamente controlable,necesariamente Rango(B) = n, es decir, se necesitan al menos n controles. Veamos que n controlesno son suficientes. Hagamos W igual al espacio generado por las primeras n − 1 columnas de By, consideremos v ∈ R

n tal que v es ortogonal a W , es decir, v · bj = 0, para j = 1, . . . , n − 1, yv · bn 6= 0, luego

v · Bu = v ·

n∑

j=1

ujbj

= unv · bn

el cual no cambia de signo para toda u.

Ejemplo 4.1.1. Consideremos el sistema de control

x =

[2 00 2

]x +

[1 1 10 1 −1

]u.



Podemos notar que la matriz A del sistema tiene forma de Jordan como lo requiere el teorema.Podemos ver tambien que

Rango[B AB] = Rango[B] = 2

por lo que el sistema es controlable. Sin embargo, ninguna coumna de B es combinacion lineal neg-ativa de las otras dos, por tanto, el control no es positivo.

Teorema 4.3. Cosiderese el sistema (3.1) con A = λI + N de tamano n×n y conjunto de controlΩ. Entonces el sistema es controlable con control positivo (CCP) si y solo si, en el ultimo renglonde B hay dos entradas de signos opuestos.

Demostracion. (⇒) se hara por contradiccion. supongamos que todas las entradas del ultimorenglon de B tienen el mismo signo. Para este caso, los vectores propios reales de AT , son todosaquellos vectores cuya ultima entrada es diferente de cero, y el resto son cero, pues si v = (v1, . . . , vn),

(AT − λI) · v = (0, v2, . . . , vn−1) = 0

lo cual implica que vi = 0 para i = 1, . . . , n − 1 y vn 6= 0. Luego entonces, si bj = (b1j , . . . , bnj) sonlas columnas de B y v = (0, . . . , 0, 1)T , entonces

v · Bu = v ·n∑

j=1

ujbj

=

n∑

j=1

uj(v · bj)

=

n∑

j=1

ujbnj ,

el cual no cambia de signo para toda u, por lo que contradice el hecho de que el sistema es positi-vamente controlable.(⇐) Probaremos primero que Rango(C) = n. Por hipotesis, existen al menos dos columnas deB cuya ultima entrada es diferente de cero, supongamos, sin perdida de generalidad, que b1 esuna de ellas. Probaremos que las siguientes n columnas de C son linealmente independientes:b1, Ab1, . . . , A

n−1b1

. Observemos primero que A = λI + N , donde I es la matriz identidad en

Rn×n, y N es una matriz nilpotente con las siguientes propiedades:

N =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

. . .

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · 0

,

N2 =

0 0 1 0 · · · 00 0 0 1 · · · 0

. . .

0 0 0 0 · · · 10 0 0 0 · · · 00 0 0 0 · · · 0

, . . . ,



Nn−1 =

0 0 · · · 10 0 · · · 0

...0 0 · · · 0

, y Nn = 0.

Ahora bien, del teorema del binomio de Newton,

Ak = (λI + N)k =k∑

j=0

(kj

)λk−jN j , (4.6)

donde

(kj

)= k!

j!(k−j)! . Supongamos que

n∑

i=1

ciAi−1b1 = 0

para algunas constantes ci. Pero

n∑

i=1

ciAi−1b1 =

(n∑

i=1

ciAi−1

)b1 = 0,

pero la ultima entrada de b1 es diferente de cero, por lo tanto,

n∑

i=1

ciAi−1 = 0,

Ahora bien, usando (4.6) y cambiando el orden en las sumas, obtenemos

0 =n∑

i=1

ciAi−1

=n∑

i=1

ci

i−1∑

j=0

(i − 1

j

)λi−1−jN j

=

n−1∑

j=0

N j

n∑

i=j+1

(i − 1

j

)ciλ

i−1−j

Por las propiedades de la matriz nilpotente N , enunciadas arriba, se sigue que

n∑

i=j+1

(i − 1

j

)ciλ

i−1−j = 0

para toda j = 0 . . . , n − 1. Para j = n − 1 obtenemos la ecuacion

cn = 0

Para j = n − 2 obtenemos la ecuacion

cn−1 + (n − 1)cnλ = 0,



pero como cn = 0, entonces cn−1 = 0; siguiendo con este proceso obtenemos que ci = 0 para todai = 1, . . . , n.Probaremos ahora la segunda condicion de controlabilidad. Tomemos un vector propio de AT ,digamos v = (0, . . . , 0, v0), luego entonces

v · Bu = v ·n∑

j=1

ujbj

=n∑

j=1

uj(v · bj)

= v0

n∑

j=1

ujbnj

Sabemos que existen j1 y j2 tales que bnj1 y bnj2 tienen signos opuestos, por lo tanto, esto nos per-mite disenar controles que hagan que v ·Bu posea el signo que queramos, satisfaciendonse entonces(IV).

Observacion 4.4. En este caso solo son necesarios dos controles para conseguir la controlabilidaddel sistema (1).

Ejemplo 4.1.2. Consideremos el sistema de control

x =

[2 10 2

]x + x =

[1 1 10 1 −1

]u.

Es claro que Rango[B AB] = 2. Ademas, en la segunda (ultima) columna de B, las entradas b22 yb23 tienen signo opuesto, por lo tanto, el sistema es controlable con control positivo.

Para el siguiente caso, requeriremos del siguiente lema.

Lema 4.5. Considere el sistema de control (3.1) con A de la forma (4.3). Si la matriz B =b1, . . . , bm es tal que bj posee todas sus entradas diferentes de cero, entonces la coleccion

bj , Abj , . . . , A

n−1bj

es linealmente independiente.

Demostracion. Supongamos que

c1bj + c2Abj + · · · + cnAn−1bj = 0,

Debemos probar entonces que ci = 0 para toda i = 1, . . . , n. Considere el polinomio de grado n− 1

f(x) = c1 + c2x + · · · + cnxn−1 = 0,

y sea bj = (b1j , . . . , bnj)T . Observese que

Akbj = (λk1b1j , . . . , λ

knbnj)

T ,



luego entonces para cada i = 1, . . . , n

n∑

k=1

ckAk−1bj = 0

⇔n∑

k=1

ckλk−1i bij = 0

⇔ bij

(n∑

k=1

ckλk−1i

)= 0

⇔ bijf(λi) = 0

lo que implica que f(x) posee n soluciones diferentes, pero f(x) es un polinomio de grado n − 1,por lo tanto, del teorema fundamental del algebra, f(x) ≡ 0, es decir,

c1 = c2 = · · · = cn = 0.

Teorema 4.6. Considere el sistema de control (3.1), con A = diag[λ1, . . . , λn] y conjunto de controlΩ. Entonces el sistema es controlable con control positivo si y solo si en cada renglon de B hay dosentradas de signos opuestos.

Demostracion.(⇒) Lo haremos por contradiccion. Supongamos que el sistema es controlable concontrol positivo, y que existe un renglon de B, el k−esimo, con todas sus entradas del mismo signo.Probaremos que existe un vector propio real v de AT , tal que v · Bu no cambia de signo para todocontrol positivo u ∈ R

m+ .

Por la forma de la matriz A, los vectores propios de AT son todos aquellos vectores que coinci-den con las direcciones de los ejes coordenados. Definamos Rk = (rk1, . . . , rkm) como el renglonk−esimo de la matriz B y tomemos un vector propio v de AT con un uno en la posicion k−esimay cero en el resto. Ası pues,

v · Bu =m∑

i=1

rkiui

no cambia de signo, pues ui > 0 y las rki son del mismo signo para toda i = 1 . . . , m.

(⇐) Probemos primero, que el rango de la matriz de controlabilidad es n. Sea B = b1, . . . , bm. SiB posee una columna con todas sus entradas diferentes de cero, del lema 4.5 se sigue lo deseado.Supongamos que B no posee columnas con todas entradas diferentes de cero. seleccionaremos rcolumnas de B, con r > 1, de la siguiente forma: llamemos k1 al numero de entradas diferentesde cero en b1, k2 el numero de entradas de b2 que son diferentes de cero, y que son cero en lasrespectivas entradas de b1. En general llamaremos kj el numero de entradas de bj que son diferentesde cero y que ademas son cero en las respectivas entradas de b1, b2, . . . , bj−1. Tenemos entonces, pordefinicion, que existe r tal que kj = 0 para toda j > r. Podemos suponer, sin perdida de generalidad,que kj 6= 0 para j ≤ r. Observese que n−k1 es el numero de ceros de la primer columna, n−k1−k2

representa el numero de ceros de la segunda columna y que son cero en la primer columna, se pro-cede asi hasta que se termine, es decir, hasta la columna br, por lo que n−k1−· · ·−kr = 0, es decir,k1 + · · · + kr = n. Considere la siguiente coleccion de columnas de la matriz de controlabilidad:b1, Ab1, . . . , A

k1−1b1, b2, Ab2, . . . , Ak2−1b2, . . . , br, Abr, . . . , A

kr−1br. Probaremos que la coleccion eslinealmente independiente. Supongamos que

r∑

i=1

ki∑

j=1

cijAj−1bi = 0 (4.7)



para algunas constantes cij. Debemos probar que cij = 0 para toda i, j. Sabemos que

Aj−1bi = (λj−11 b1i, . . . , λ

j−1n bni)

T ,

luego entonces, la ecuacion vectorial (4.7) es equivalente al siguiente sistema de n ecuaciones:

∑ri=1

∑ki

j=1 cijλj−11 b1i = 0

...∑ri=1

∑ki

j=1 cijλj−1n bni = 0

⇔

∑ri=1 b1i(

∑ki

j=1 cijλj−11 ) = 0

...∑ri=1 bni(

∑ki

j=1 cijλj−1n ) = 0

Por la forma en que se escogieron las columnas b1, . . . , br, es posible descomponer el sistema an-terior en r subsistemas con k1, . . . , kr ecuaciones cada uno. Hagamos una particion del conjunto1, 2, . . . , n en los siguientes subconjuntos

l11, . . . , l

1k1

∪l21, . . . , l

2k2

∪ · · · ∪

lr1, . . . , l

rkr

donde lij es el numero de renglon donde su i−esima entrada es diferente de cero y todas sus anterioresentradas son cero, para 1 ≤ j ≤ ki. Esto nos permite reescribir el sistema anterior en la siguienteforma

∑ri=1 bl1s ,i(

∑ki

j=1 cijλj−1l1s ,

) = 0 s = 1, . . . , k1

...∑ri=1 blr−1

s ,i(∑ki

j=1 cijλj−1

lr−1s ,

) = 0 s = 1, . . . , kr−1∑ri=1 blrs ,i(

∑ki

j=1 cijλj−1lrs , ) = 0 s = 1, . . . , kr

Considere el ultimo subsistema. De nuevo, por construccion

blrs ,r 6= 0 para toda s = 1, . . . , kr

blis,r = 0 para i = 1, . . . , r − 1,

luego entonces,

r∑

i=1

blrs ,i

ki∑

j=1

cijλj−1lrs ,

= 0 ⇔ blrs ,r

kr∑

j=1

crjλj−1lrs ,

= 0, s = 1, . . . , kr. (4.8)

Defınase

fr(x) =

kr∑

j=1

crjxj−1

un polinomio de grado kr −1. De (4.8) concluimos que fr(λlrs) = 0 para s = 1, . . . , kr, lo que implica

que fr(s) ≡ 0, es decir, crj = 0 para j = 1, . . . , kr. Consideremos ahora el penultimo subsistema

r−1∑

i=1

blr−1s

ki∑

j=1

cijλj−1

lr−1s

= 0 s = 1, . . . , kr−1

en donde hemos hecho crj = 0, para j = 1, . . . , kr. Por construccion,

blr−1s ,r−1 6= 0, para toda s = 1, . . . , kr−1,

blr−1s ,i = 0, para cada i = 1, . . . , r − 2,



por lo que tenemos que

r−1∑

i=1

blr−1s ,i

ki∑

j=1

cijλj−1

lr−1s ,

= 0 ⇔ blr−1

s ,r−1

kr−1∑

j=1

cr−1,jλj−1

lr−1s ,

= 0 (4.9)

para s = 1, . . . , kr−1.

Tomemos

fr−1(x) =

kr−1∑

j=1

cr−1,jxj−1

un polinomio de grado kr−1 − 1. De (4.9) concluimos que fr−1(x) posee kr−1 soluciones, luego en-tonces cr−1,j = 0 para j = 1, . . . , kr−1. Continuando de esta forma, concluimos que cij = 0 paratoda i, j.

Ejemplo 4.1.3. Considere el sistema

x =

[0 6−1

2 4

]x +

[1 −1 0 10 1 0 −1

]u.

Dado que la matriz A del sistema no tiene forma de Jordan, calcularemos la matriz P de cambiode coordenadas. Los valores propios de A son λ1 = 3 y λ2 = 1. Un vector propio asociado conλ1 es v1 = (1, 2)T , y un vector propio asociado con λ2 es v2 = (6, 1)T . La matriz de cambio decoordenadas es

P =

[2 61 1

].

Ası que el sistema en las nuevas coordenadas se expresa de la forma

y =

[1 00 3

]y +

[14 −3

4 0 34

−34

74 0 −7

4

]u.

No es difıcil ver que el rango de [B AB] es dos, esto implica que el sistema es controlable. Dado quelos renglones de B poseen dos entradas de signo opuesto, se tiene por el teorema 4.6, que el sistemaes controlable con control positivo.

§ 4.2. Caso complejo

En este caso se hace referencia a las caracterısticas de las matrices del sistema de control (3.1), cuyamatriz A tiene como valor propio un numero complejo y su conjugado y es diagonal por submatricesdadas en bloques de Jordan. Las condiciones que se establecen para controlar al sistema con estascaracterısticas, caen sobre la matriz B y se hace un analisis del espacio de vectores columna de esta.

El sistema controlable de estudio tiene la matriz A como en la siguiente definicion.



Definicion 4.2. Consideremos la matriz oscilatoria de la forma

A2n×2n = diag

[α β−β α

]=

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

. (4.10)

Definimos la complejificacion de A como la matriz compleja de tamano n × n

AC

=

α − iβ 0 · · · 00 α − iβ · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · α − iβ

,

Mientras que para un vector columna b = (b1, b2, . . . , b2n−1, b2n)T en R2n, definimos su complejifi-

cacion como

bC =

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

,

el cual es un vector en Cn.

Antes de enunciar y demostrar el resultado principal en esta seccion, presentaremos una serie delemas que se requieren para el proposito.

Lema 4.7. Considerense z = α + iβ y

A =

[α β

−β α

].

Entonces

Ak =

[Re(zk) Im(zk)−Im(zk) Re(zk)

].

Demostracion. Primero, dado que z = r(cosθ+ isenθ), con |z| = r y θ = tan−1(βα), por la formula

de D’Moivre se obtiene quezk = rk(cos(kθ) + isen(kθ)).

Ademas, podemos escribir

A =

[α β−β α

]= r

[α/r β/r−β/r α/r

]= r

[cosθ senθ−senθ cosθ

].

Vamos a probar por induccion sobre k, la conclusion del lema. Para n = 2 se tiene

A2 = r2

[cos2θ − sen2θ 2cosθsenθ−2cosθsenθ cos2θ − sen2θ

].

Atendiendo a las identidades

senθ1cosθ2 ± cosθ1senθ2 = sen(θ1 ± θ2) (4.11)



cosθ1cosθ2 ∓ senθ1senθ2 = cos(θ1 ± θ2). (4.12)

Cuando θ1 = θ2, se concluye que

A2 = r2

[cos(2θ) sen(2θ)−sen(2θ) cos(2θ)

]=

[Re(z2) Im(z2)−Im(z2) Re(z2)

].

Para n = 3 se tiene

A3 = A2 · A = r2


]· r

[cosθ senθ−senθ cosθ

]

= r3

[cos(2θ)cosθ − sen(2θ)senθ cos(2θ)senθ + sen(2θ)cosθ

−(cos(2θ)senθ + sen(2θ)cosθ) cos(2θ)cosθ − sen(2θ)senθ

].

Por las identidades (4.11) y (4.12) se obtiene

A3 = r3


]=

[Re(z3) Im(z3)−Im(z3) Re(z3)

].

Ahora, suponemos que se cumple para n = k, es decir

Ak =

[rkcos(kθ) rksen(kθ)−rksen(kθ) rkcos(kθ)

]=

[Re(zk) Im(zk)−Im(zk) Re(zk)

].

Probaremos que se cumple para n = k + 1. A saber,

Ak+1 = Ak · A = rk

[cos(kθ) sen(kθ)−sen(kθ) cos(kθ)

]· r

[cos(θ) sen(θ)−sen(θ) cos(θ)

]

= rk+1

[cos(kθ)cosθ − sen(kθ)senθ cos(kθ)senθ + sen(kθ)cosθ

−(cos(kθ)senθ + sen(kθ)cosθ) cos(kθ)cosθ − sen(kθ)senθ

],

y de nuevo, por las identidades (4.11) y (4.12) se concluye que

Ak+1 = rk+1

[cos[(k + 1)θ] sen[(k + 1)θ]−sen[(k + 1)θ] cos[(k + 1)θ]

]=

[Re(zk+1) Im(zk+1)−Im(zk+1) Re(zk+1)

]

lo cual prueba el lema.

Lema 4.8. Consideremos A de la forma (4.10) Con β 6= 0 y b = (b1, b2, . . . , b2n)T un vector realdistinto de cero. Entonces b, Ab son linealmente independientes mientras que

b, Ab, Akb

no lo

son para k ≥ 2.



Demostracion. Desarrollando la combinacion lineal c1b + c2Ab = 0, obtenemos

0 = c1

b1

b2...

b2n

+ c2

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

b1

b2...

b2n

= c1

b1

b2...

b2n

+ c2

αb1 + βb2

−βb1 + αb2...

αb2n−1 + βb2n

−βb2n−1 + αb2n

= c1

b1

b2...

b2n

+ c2

αb1

αb2...

αb2n−1

αb2n

+

βb2

−βb1...

βb2n

−βb2n−1

= c1

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2α

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2β

b2

−b1...

b2n

−b2n−1

= (c1 + c2α)

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2β

b2

−b1...

b2n

−b2n−1

= (c1 + c2α)b + c2βb′ = 0

observemos que b y b′ son ortogonales, luego, son linealmente independientes, por tanto, para queesta ecuacion sea cero, c1 + c2α = 0 y c2β = 0, pero β 6= 0, entonces c2 = 0, ası c1 = 0.

Falta probar que b, Ab, Akb no son linealmente independientes para k ≥ 2. Se tiene por el lema4.7 que

Ak =

Re(zk) Im(zk) · · · 0 0−Im(zk) Re(zk) · · · 0 0

......

. . ....

...0 0 · · · Re(zk) Im(zk)0 0 · · · −Im(zk) Re(zk)

,



con z = α + iβ, por tanto,

Akb =

Re(zk)b1 + Im(zk)b2

−Im(zk)b1 + Re(zk)b2...

Re(zk)b2n−1 + Im(zk)b2n

−Im(zk)b2n−1 + Re(zk)b2n

=

Re(zk)b1

Re(zk)b2...

Re(zk)b2n−1

Re(zk)b2n

+

Im(zk)b2

−Im(zk)b1...

Im(zk)b2n

−Im(zk)b2n−1

= Re(zk)b + Im(zk)b′.

Por otro lado, al expresar como combinacion lineal b y Ab se obtiene

c1b + c2Ab = c1b + c2(αb + βb′)

= c1b + c2αb + c2βb′

= (c1 + c2α)b + c2b′.

Si hacemos c2 = Im(zk) y c1 = Re(zk) − Im(zk)α, concluimos que Akb se puede expresar comocombinacion lineal de b y Ab. Por tanto b, Ab, Akb no son linealmente independientes para k ≥ 2.



Lema 4.9. Consideremos A de la forma (4.10) y b = (b1, b2, . . . , . . . , b2n)T un vector real. Entonces[Ab]C = A

CbC.

Demostracion. Dado que

Ab =

αb1 + βb2

−βb1 + αb2...

αb2n−1 + βb2n

−βb2n−1 + αb2n

,

entonces

[Ab]C =

αb1 + βb2 + i(−βb1 + αb2)...

αb2n−1 + βb2n + i(−βb2n−1 + αb2n)

.

Por otro lado tenemos que

bC =

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

y la multiplicacion

ACbC =

α − iβ · · · 0...

. . ....

0 · · · α − iβ

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

=

αb1 + iαb2 − iβb1 + βb2...

αb2n−1 + iαb2n − iβb2n−1 + βb2n

=

αb1 + βb2 + i(−βb1 + αb2)...

αb2n−1 + βb2n + i(−βb2n−1 + αb2n)

= [Ab]C.

Observacion 4.10. Notese que < B AB >=< B B′ > (es decir, el espacio generado por lascolunmnas de [B AB] es igual al espacio generado por las columnas de [B B′]), pues si elegimos unelemento b de B y Ab de AB y los expresamos como combinacion lineal se tiene

c1b + c2Ab = c1b + c2(b + b′) = (c1 + c2)b + c2b′

la cual, la parte derecha es una combinacion lineal de elementos de [B B′] (es decir b ∈ B y b′ ∈ B′).

Lema 4.11. Consideremos A de la forma (4.10) y B una matriz de 2n×m tal que Rango[B AB] =2n. Entonces existen n vectores bj1 , ..., bjn, tales que bj1 , b

′j1

..., bjn , b′jnson linealmente independi-

entes, donde

bjk=

b1k

b2k

...b(2n−1) k

b(2n) k

y b′jk=

b2k

−b1k

...b(2n) k

−b(2n−1) k

,

Para jk = 1, . . . , n.



Demostracion. Podemos elegir b1 de C = [B AB] y su correspondiente b′1 tambien en C, estos sonlinealmente independientes, pues b1⊥b′1. Ahora elegimos un b2 tal que sea linealmente independientecon b′1 y b1. Elegimos el b′2 correspondiente a b2 y formamos la matriz

C = [b1 b′1 b2 b′2] =

b11 b21 b12 b22

b21 −b11 b22 −b12

b31 b41 b32 b42

b41 −b31 b42 −b32...

......

...b(2n−1)1 b(2n)1 b(2n−1)2 b(2n)2

b(2n)1 −b(2n−1)1 b(2n)2 −b(2n−1)2

.

Por definicion, C tiene asociada una transformacion lineal T , con respecto a una base B. Ademas,existe una base B′ tal que al realizar el cambio de coordenadas, la matriz queda expresada de laforma

CBB′ = [b1 b′1 b2 b′2] =

1 0 b′12 b′220 1 b′22 −b′120 0 b′32 b′420 0 b′42 −b′32...

......

...0 0 b′(2n−1)2 b′(2n)2

0 0 b′(2n)2 −b′(2n−1)2

b1 y b′1 de esta forma, pues b1 y b′1 son ortogonales, lo mismo con b2 y b′2. Ası al expresar b1, b′1, b2

y b′2 como combinacion lineal tenemos

c1

1000...00

+ c2

0100...00

+ c3

b′12b′22b′32b′42...

b′(2n−1) 2

b′(2n) 2

+ c4

b′22−b′12b′42−b′32

...b′(2n) 2

−b′(2n−1) 2

= 0.

Teniendo que resolver el sistema

c1 + c3b′12 + c4b

′22 = 0

c2 + c3b′22 − c4b

′12 = 0

c3b′32 + c4b

′42 = 0

c3b′42 − c4b

′32 = 0

...

c3b′(2n−1) 2 + c4b

′(2n) 2 = 0

c3b′(2n) 2 − c4b

′(2n−1) 2 = 0.

Dado que la independencia lineal queda invariante bajo el cambio de base, tenemos que b1, b′1 y b2

son linealmente independientes. Entonces, algun b′i 2 6= 0 con i = 3, ..., 2n. Sin perdida de generalidad,



podemos suponer que b′32 6= 0. De la cuarta ecuacion tenemos

c4 = c3b′42b′32

.

Sustituyendola en la tercera ecuacion tenemos

c3

(b′32 +

(b′42)2

b′32

)= 0.

Entonces

b′32 +(b′42)

2

b′326= 0. (4.13)

De no ser ası, tendrıamos que

(b′32)2 = −(b′42)

2,

y ası

b′32 =√−(b′42)

2,

el cual es un numero complejo y contradice la naturaleza de b′32. Por tanto, c3 = 0. Ası, c4 = 0 y

c1 = c2 = 0. Ası b1, b′1, b2 y b′2 son linealmente independientes, por tanto b1, b′1, b2 y b′2 son lineal-

mente independientes.

De nuevo, podemos elegir un b3 de tal forma que sea linealmente independiente con b1, b′1, b2 y

b′2, tomamos su ortogonal b′3 y formamos la matriz

C = [b1 b′1 b2 b′2 b3 b′3]

=

b11 b21 b12 b22 b13 b23

b21 −b11 b22 −b12 b23 −b13

b31 b41 b32 b42 b33 b43

b41 −b31 b42 −b32 b43 −b33

b51 b61 b52 b62 b53 b63

b61 −b51 b62 −b52 b63 −b53...

......

......

...b(2n−1)1 b(2n)1 b(2n−1)2 b(2n)2 b(2n−1)3 b(2n)3

b(2n)1 −b(2n−1)1 b(2n)2 −b(2n−1)2 b(2n)3 b(2n−1)3

.

Bajo el mismo argumento, tenemos que C tiene asociada una transformacion lineal T (no necesari-amente la misma) con respecto a una base B. Ası, existe una base B′ tal que al realizar el cambiode coordenadas, la matriz se expresa de la forma

C = [b1 b′1 b2 b′2 b3 b′3] =

1 0 0 0 b′13 b′230 1 0 0 b′23 −b′130 0 1 0 b′33 b′430 0 0 1 b′43 −b′330 0 0 0 b′53 b′630 0 0 0 b′63 −b′53...

......

......

...0 0 0 0 b′(2n−1)3 b′(2n)3

0 0 0 0 b′(2n)3 b′(2n−1)3

,



y al expresar los vectores como combinacion lineal

c1

100000...00

+ c2

010000...00

+ c3

001000...00

+ c4

000100...00

+ c5

b′13b′23b′33b′43b′53b′63...

b′(2n−1) 3

b′(2n) 3

+ c6

b′23−b′13b′43−b′33b′63−b′53

...b′(2n) 3

−b′(2n−1) 3

= 0.

Entonces, el sistema a resolver es

c1 + c5b′13 + c6b

′23 = 0

c2 + c5b′23 − c6b

′13 = 0

c3 + c5b′33 + c6b

′43 = 0

c4 + c5b′43 − c4b

′33 = 0

c5b′53 + c6b

′63 = 0

c5b′63 − c6b

′53 = 0

...

c5b′(2n−1) 3 + c6b

′(2n) 3 = 0

c5b′(2n) 3 − c6b

′(2n−1) 3 = 0.

Como la independencia lineal permanece invariante mediante el cambio de coordenadas, tenemosque b3 es linealmente independiente con b1, b′1, b2 y b′2, entonces algun b′i 3 6= 0, para i ≥ 5. Sinperdida de generalidad, podemos suponer que b′5 3 6= 0. Ası, de la sexta ecuacion tenemos

c6 = c5b′63b′53

y sustituyendola en la tercera ecuacion se obtiene

c5

(b′53 +

(b′63)2

b′53

)= 0.

Por el mismo argumento de (4.15), se obtiene que c5 = 0. Ası, c6 = 0 y c4 = c3 = c2 = c1 = 0. Ası,b1, b′1, b2, b′2, b3 y b′3 son linealmente independientes, por tanto b1, b

′1, b2, b

′2, b3, b

′3 son linealmente

independientes.

Procediendo con esta eleccion inductivamente, suponemos que b1, b′1, ..., bn−1, b

′n−1 son linealmente

independientes. Tomemos bn linealmente independiente con b1, b′1, ..., bn−1, b

′n−1. Entonces, sea b′n el

correspondiente ortogonal a bn y formamos la matriz



C = [b1 b′1 · · · bn b′n]

=

b11 b21 · · · b1(n−1) b2(n−1) b1n b2n

b21 −b11 · · · b2(n−1) −b1(n−1) b2n −b1n

......

......

......

b(2n−3) 1 b(2n−2) 1 · · · b(2n−3) (n−1) b(2n−2) (n−1) b(2n−3) n b(2n−2) n

b(2n−2) 1 −b(2n−3) 1 · · · b(2n−2) (n−1) −b(2n−3) (n−1) b(2n−2) n −b(2n−3) n

b(2n−1) 1 b(2n) 1 · · · b(2n−1) (n−1) b(2n) (n−1) b(2n−1) n b(2n) n

b(2n) 1 −b(2n−1) 1 · · · b(2n) (n−1) −b(2n−1) (n−1) b(2n) n −b(2n−1) n

.

Como se hizo anteriormente, esta matriz tiene asociada una transformacion lineal T con respectoa una base B. Ası, existe una base B′, para el cual el cambio de coordenadas permite expresar lamatriz de la forma

CBB′ = [b1 b′1 · · · bn b′n]

=

1 0 · · · 0 0 b′1n b′2n

0 1 · · · 0 0 b′2n −b′1n...

......

......

...0 0 · · · 1 0 b′(2n−3) n

b′(2n−2) n

0 0 · · · 0 1 b′(2n−2) n−b′(2n−3) n

0 0 · · · 0 0 b′(2n−1) nb′(2n) n

0 0 · · · 0 0 b′(2n) n−b′(2n−1) n

.

Expresando los vectores como combinacion lineal

c1

10...0000

+ c2

01...0000

+ · · · + cn−3

00...1000

+ cn−2

00...0100

+ cn−1

b′1n

b′2n...

b′(2n−3) n

b′(2n−2) n

b′(2n−1) n

b′(2n) n

+ cn

b′2n

−b′1n...

b′(2n−2) n

−b′(2n−3) n

b′(2n) n

−b′(2n−1) n

= 0.

Por tanto, el sistema que tenemos que resolver es

c1 + cn−1b′1n + cnb′2n = 0

c2 + cn−1b′2n − cnb′1n = 0

...

cn−3 + cn−1b′(2n−3) n + cnb′(2n−2) n = 0

cn−2 + cn−1b′(2n−2) n − cnb′(2n−3) n = 0

cn−1b′(2n−1) n + cnb′(2n) n = 0

cn−1b′(2n) n − cnb′(2n−1) n = 0

Por lo dicho anteriormente, el cambio de coordenadas conserva independencia lineal, por tantolos vectores b1, b′1, . . . , bn son linealmente independientes. Esto implica que, b′(2n−1) n

6= 0 o bien



b′(2n) n6= 0. Supongamos, sin perdida de generalidad, que b′(2n−1) n

6= 0. De la 2n-esima ecuaciontenemos

cn = cn−1

b′(2n) n

b′(2n−1) n

y sustituyendola en la (2n − 1)-esima ecuacion tenemos

cn−1

(b′(2n−1) n

+(b′

(2n) n)2

b′(2n−1) n

)= 0.

De nuevo, por el argumento de (4.15), se tiene que cn−1 = 0. Entonces cn = 0, y ası c1 = · · · =cn−2 = 0.

Por tanto, el conjunto maximal linealmente independientes de C(A, B) es

b1, b

′1, . . . , bn, b′n

.

Estos resultados son suficientes para la demostracion del teorema principal, el cual se enuncia comosigue.

Teorema 4.12. Consideremos A de la forma (4.10) y B una matriz real de tamano n × m. Elsistema x = Ax + Bu es controlable y CCP si y solo si < BC >= C

n.

Demostracion. Utilizando el teorema de Brammer, nos enfocaremos solo en (III), pues (IV) implicala no existencia de vectores propios reales y, el sistema en cuestion arroja vectores propios complejos.Tenemos que demostrar que el rango (real) de C = [BAB · · ·AkB]) es igual a 2n si y solo si el rango(complejo) de BC es igual a n.Supongamos primero que el rango de BC es n.Sean b1C, b2C, ..., bnC los n vectores complejificados linealmente independientes. Enseguida, tomamoslos vectores cuya complejificacion es la de estos y formamos el conjunto b1, Ab1, b2, Ab2, ..., bn, Abn.Ahora, para ver que son linealmente independientes sobre R, tomamos una combinacion lineal

c11b1 + c12Ab1 + c21b2 + c22Ab2 + · · · + cn1bn + cn2Abn = 0.

Al complejificar, por el lema 4.9 tenemos que

0 = c11b1C + c12[Ab1]C + c21b2C + c22[Ab2]C + · · · + cn1bnC + cn2[Abn]C

= c11b1C + c12ACb1C + c21b2C + c22AC

b2C + · · · + cn1bnC + cn2ACbnC (4.14)

dado que

AC

=

α − iβ · · · 0...

. . ....

0 · · · α − iβ

= (α − iβ)In×n

y bjC, j = 1, . . . n, es un vector de n entradas, entonces se tiene que

ACbjC = (α − iβ)bjC.

Factorizando (4.14) obtenemos

[c11 + c12(α − iβ)]b1C + · · · + [cn1 + cn2(α − iβ)]bnC = 0



como los vectores bjC, j = 1, . . . , n son linealmente independientes sobre C, se tiene que

cj1 + cj2(α − iβ) = 0.

Ası que,

cj1 = −cj2(α − iβ). (4.15)

Por otro lado tenemos que cj1, cj2 ∈ R y β 6= 0 y para que (4.15) se cumpla cj2 tiene que sercomplejo, lo que es una contradiccion. Por tanto, cj2 = 0 en R y en consecuencia, cj1 = 0. Ası, seconcluye que b1, Ab1, b2, Ab2, . . . , bn, Abn son linealmente independientes en R.

Supongase ahora que la matriz de controlabilidad C(A, B) tiene rango 2n. Tenemos, por el lema4.11 que, los 2n vectores linealmente independientes son b1, b

′1, . . . , bn, b′n, de los cuales tomaremos

b1, · · · , bn, donde

bk =

b1 k

b2 k

...b(2n−1) k

b(2n) k

,

para k = 1, . . . , n . Al complejificar

bC k =

b1k + ib2k

...b(2n−1) k + ib(2n) k

Tomemos z1, . . . , zn numeros en C y expresamos como combinacion lineal los vectores complejifica-dos

z1

b11 + ib21...

b(2n−1) 1 + ib(2n) 1

+ · · · + zn

b1n + ib2n

...b(2n−1) n + ib(2n) n

= 0.

Ası que, el sistema de ecuaciones a resolver es

z1(b11 + ib21)+ · · · +zn(b1n + ib2n) = 0

... (4.16)

z1(b(2n−1) 1 + ib(2n) 1)+ · · · +zn(b(2n−1) n + ib(2n) n) = 0

Si zk = αk + iβk, k = 1, ..., n, entonces (4.16) es igual a

(α1 + iβ1)(b11 + ib21)+ · · · +(αn + iβn)(b1n + ib2n) = 0

...

(α1 + iβ1)(b(2n−1) 1 + ib(2n) 1)+ · · · +(αn + iβn)(b(2n−1) n + ib(2n) n) = 0.

Para cada j = 1, . . . , n y k = 1, . . . , n, se tiene la siguiente multiplicacion de los numeros complejos

(αk + iβk)(b(2j−1) k + ib(2j) k) = (αkb(2j−1)k − βkb(2j)k) + i(αkb(2j)k + βkb(2j−1)k)



ası, se obtiene el sistema de ecuacionesn∑

k=1

(αkb1k − βkb2k) + i(αkb2k + βkb1k) = 0

... (4.17)n∑

k=1

(αkb(2n−1)k − βkb(2n)k) + i(αkb(2n)k + βkb(2n−1)k) = 0.

Pero tenemos que si z ∈ C tal que z = 0, entonces Re(z) = 0 y Im(z) = 0. Ası, separamos la partereal y la parte compleja de (4.17) para obtener

n∑

k=1

(αkb1k − βkb2k) = 0

...n∑

k=1

(αkb(2n−1)k − βkb(2n)k) = 0 (4.18)

n∑

k=1

(αkb2k + βkb1k) = 0

...n∑

k=1

(αkb(2n)k + βkb(2n−1)k) = 0

donde las primeras n ecuaciones son la parte real de (4.17) y las n restantes son la parte imaginariadel mismo. Ahora, reacomodamos los renglones de (4.18) y obtenemos

n∑

k=1

(αkb1k − βkb2k) = 0

n∑

k=1

(αkb2k + βkb1k) = 0

... (4.19)n∑

k=1

(αkb(2n−1)k − βkb(2n)k) = 0

n∑

k=1

(αkb(2n)k + βkb(2n−1)k) = 0.

Esto es

n∑

k=1

αk

b1k

b2k

...b(2n−1) k

b(2n) k

+n∑

k=1

βk

b2k

−b1k

...b(2n) k

−b(2n−1) k

=n∑

k=1

αkbk +n∑

k=1

βkb′k

Dado que b1, b′1, . . . , bn, b′n son linealmente independientes, se obtiene que αk = βk = 0 para k =

1, . . . , n, esto es zk = αk + iβk = 0 para k = 1, . . . , n. Por tanto bCk, k = 1, . . . , n son linealmenteindependientes, luego < BC >= C

n.


5Capıtulo

Teorıa de graficas

En este capıtulo se mostrara un criterio para la determinacion de controlabilidad para sistemaslineales descritos por la forma

x = Ax + Bu

con x, A, B y u con las dimensiones establecidas al principio de este trabajo.Mostraremos algunas definiciones generales de teorıa de graficas, mismas que se utilizaran en elcontexto de teorıa de control para sistemas lineales de la forma (5.1).

§ 5.1. Graficas y subgraficas

Se presentara primero, la definicion formal abstracta de una grafica y cada una de sus componentes,ası tambien, la definicion de una digrafica o grafica dirigida.

Definicion 5.1. Una grafica abstracta G(V, E), o simplemente grafica G, consiste de un conjuntode elementos V llamados nodos, junto con un conjunto E de parejas no ordenadas (i, j) o (j, i), coni, j ∈ V , llamadas aristas de G. Los nodos i y j son llamados puntos finales de (i, j).

Otros nombres comunmente usados para un nodo son vertice, punto, cruce, 0-simplex, 0-celda yelemento. Similarmente, para arista se tienen los nombres lınea, borde, rama, arco, l-simplex, yelemento. Decimos que la arista (i, j) esta conectada con los nodos i y j, y que (i, j) es incidentecon los nodos i y j, y recıprocamente, i y j son incidentes con (i, j). En las aplicaciones, una graficaes usualmente representada equivalentemente a un diagrama geometrico en el cual los nodos estanindicados por pequenos cırculos o puntos, mientras que para cualesquier par de ellos, i y j, sonunidos por una curva continua o algunas veces por una lınea recta, entre i y j si y solo si (i, j)esta en E.Extenderemos el concepto de grafica, permitiendo a un par de nodos ser conectados por variasaristas y se indica por los sımbolos (i, j)1, (i, j)2, . . . , (i, j)k; estas son llamadas aristas paralelas sik ≥ 2. Si ninguna Arista en particular es especificada, (i, j) denota a cualquiera, pero de un modofijo, las aristas paralelas entre i y j. Tambien admitimos aristas que tengan un mismo punto final.Tal arista (i, i) la llamaremos auto lazo. Si hay dos o mas auto lazos en un nodo de G, seran tambienreferidos como aristas paralelas de G. En el diagrama geometrico, las aristas paralelas pueden serrepresentadas por lıneas continuas conectadas entre el mismo par de nodos, y una auto lazo (i, i)puede ser introducido por un arco circular que retorna al nodo i sin pasar por los demas nodos.

93


Como una ilustracion consideremos la grafica G(V, E) enla cual

V = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,

E = (1, 1), (1, 2), (1, 4), (4, 4)1, (4, 4)2, (4, 3), (2, 3)1, (2, 3)2, (6, 7)1, (6, 7)2, (6, 7)3

La grafica geometrica correspondiente se muestra en la figura 1, en la cual se tiene una auto lazoen el nodo 1, dos auto lazos en el nodo 4, dos aristas paralelas conectadas entre los nodos 2 y 3, ytres aristas paralelas conectadas entre los nodos 6 y 7. Enfatizaremos que en una grafica, el ordende los nodos i y j es irrelevante. De hecho consideramos (i, j) = (j, i), por ejemplo (1, 2) = (2, 1),(6, 7)2 = (7, 6)2.

Una grafica G(V, E) se llama finita si V y E son finitas. En este trabajo solo abordaremos graficasfinitas.

Definicion 5.2. Una subgrafica de una grafica G(V, E) es una grafica Gs(Vs, Es) en los cuales Vs

y Es son subconjuntos de V y E respectivamente. Si Vs o Es son subconjuntos propios, la subgraficaes llamada subgrafica propia de G. Si Vs = V , nos referiremos a la subgrafica como una subgraficageneradora de G. Si Vs o Es son el vacıo, la subgrafica es llamada subgrafica nula. La grafica nulaes considerada como una subgrafica de toda grafica y es denotada por φ.

Definicion 5.3. Un nodo que no incide a alguna arista es llamado nodo aislado.

En aplicaciones practicas, algunas veces es conveniente representar las aristas de una grafica porletras ek. En este sentido, una subgrafica que no tenga nodos aislados puede ser expresado poryuxtaposicion de sus aristas designadas por estos sımbolos, como en la figura 1.

Definicion 5.4. Dos graficas G1 y G2 se dicen ser isomorfas, denotadas por G1 = G2, si existeuna correspondencia uno a uno entre los elementos de su conjunto de nodos tal que las aristascorrespondientes son incidentes con los nodos correspondientes.

En otras palabras, en dos graficas isomorfas, los nodos correspondientes son conectados por aristasen una, si y solo si, estan tambien conectadas con el mismo numero de aristas en la otra. La defini-cion 5.4 establece dos requerimientos sobre isomorfismo entre dos graficas. Primera, deben tener elmismo numero de nodos y aristas. Segunda, se debe preservar la relacion de incidencia.



§ 5.2. Conexidad

Sucesiones de aristas las cuales forman rutas continuas forman un papel importante en la teorıa degraficas. En una grafica geometrica, una sucesion de aristas puede visualizarse como una serie dearistas conectadas en una manera continua. Mas formalmente la definiremos como sigue.

Definicion 5.5. Una sucesion de aristas de longitud k− 1 en una grafica G, es una sucesion finitade aristas de la forma

(i1, i2), (i2, i3), . . . , (ik−1, ik), (5.1)

k ≥ 2 en G. La sucesion de aristas se dice ser cerrada si i1 = ik, y abierta en otro caso. En unasucesion abierta, el nodo i1 es llamado nodo inicial y ik es el nodo terminal de la sucesion de aristas.Estos son llamados puntos extremos de la sucesion de aristas.

Mencionamos especıficamente que no todos los nodos en (5.1) son necesariamente distintos y lamisma arista puede aparecer varias veces en la sucesion de aristas. Por ejemplo,

(4, 2), (2, 6), (6, 3), (3, 5), (5, 4), (4, 2), (2, 7),

es una sucesion de aristas abierta de longitud 7. El nodo 4 es el nodo inicial y el nodo 7 es el nodoterminal.

Definicion 5.6. Si todas las aristas que aparecen en una sucesion de aristas son distintos, esta esllamada tren arista.

Ası que, un tren arista puede ir a traves de un nodo mas de una vez, pero no puede puede retrazarsobre sus partes, como lo puede hacer una sucesion de aristas.

Definicion 5.7. Un tren arista en el cual todos sus nodos i1, i2, . . . , ik son distintos, es llamadocamino de longitud k − 1. Un nodo aislado es considerado como un camino de longitud cero. Untren arista cerrado en el cual todos sus nodos i1, i2, . . . , ik−1 son distintos, en este caso i1 = ik, esllamado circuito de longitud k − 1.

Ası, una auto lazo es un circuito de longitud uno. Comunmente nos referiremos a un circuito comolazo o ciclo. Una grafica que no contenga ciclos es una grafica acıclica.



Definicion 5.8. Una grafica se dice ser conexa si todo par de nodos estan conectados por un camino.

En otras palabras, una grafica es conexa si consta de una sola pieza.

Definicion 5.9. Una componente de una grafica es una subgrafica conexa que contiene el numeromaximal de aristas, es decir, todo par de nodos es incidido por al menos una arista.

Un nodo aislado es una componente.

Definicion 5.10. G(V, E) es una grafica que consta de n nodos, b aristas y c componentes. Se defineel rango r de G como el numero r = n−c, y la nulidad de G como el numero m = b−n+c (= b−r).

El termino de nulidad es tambien conocido por los nombres rango del circuito, numero ciclomatico,rango del ciclo, conectividad, y primer numero de Betti. La razon por la cual se eligieron los nom-bres de rango y nulidad, es por que son el rango y nulidad de la matriz de incidencia asociada a lagrafica, la cual veremos mas adelante.

§ 5.3. Graficas dirigidas

En esta seccion estudiaremos un tipo de graficas en particular, las cuales tienen un vınculo estrechocon sistemas dinamicos. Tales graficas son las llamadas digraficas o graficas dirigidas, que definiremosa continuacion.

Definicion 5.11. Una digrafica Gd(V, E) es una grafica en la cual toda arista (i, j) de Gd tieneuna direccion asignada.

Si las aristas de la grafica no son dirigidas, diremos simplemente que la grafica es no dirigida. Si unagrafica esta compuesta de graficas dirigidas y graficas no dirigidas, la llamaremos grafica mixta.

En adicion a los terminos de sucesion de aristas, tren de aristas, camino, y ciclo, definidos para unagrafica dirigida Gd, tambien necesitamos subclases especiales de esas subgraficas conocidas comosucesion de aristas dirigidas, tren de aristas dirigidas, caminos dirigidos y ciclos dirigidos.

Definicion 5.12. Para una grafica dirigida Gd, una sucesion de aristas dirigidas de tamano k − 1de Gd, es una sucesion de aristas de la forma

(i1, i2), (i2, i3), . . . , (ik−1, ik),

k ≥ 2. La sucesion de aristas dirigidas se dice cerrada si i1 = ik, y abierta en otro caso.



Definicion 5.13. Si todas las aristas que aparecen en la sucesion de aristas dirigidas son distintas,la sucesion de aristas dirigidas se llama tren de aristas dirigidas.

Definicion 5.14. Un tren abierto dirigido, en el cual sus nodos i1, i2, . . . , ik son distintos, es lla-mado camino dirigido de longitud k − 1. Si i1 = ik el tren de aristas dirigidas es llamado ciclodirigido de longitud k − 1.

Ası que, un auto lazo es un es una grafica dirigida y es tambien un ciclo dirigido de longitud uno.Un nodo aislado es un camino dirigido de longitud cero.

Definicion 5.15. Una componente cıclica es aquella en la cual todos los nodos son mutuamentealcanzables a traves de un camino natural dirigido y, una componente acıclica es aquella en la queesto no es posible.

Definicion 5.16. Una grafica dirigida se dice fuertemente conectada, o mas brevemente fuerte, sipara todo par distinto de nodos i y j, existe un camino dirigido de i hasta j, o bien, de j hasta i.

Definicion 5.17. Una componente fuerte de una grafica dirigida, es una subgrafica fuerte maximal.

5.3.1. Matrices y graficas dirigidas

La orientacion de las aristas de una grafica dirigida, en algunas aplicaciones, es una orientacion“verdadera” en el sentido de que el sistema representado por la grafica dirigida exhibe algunaspropiedades unilaterales. Una grafica dirigida sin auto lazos esta completamente determinada porsu matriz de incidencia.

Definicion 5.18. La matriz de incidencia nodo-arista, o simplemente matriz de incidencia, deno-tada por el sımbolo Aa, de una grafica dirigida G, es una matriz de orden n×b tal que si Aa = (aij),entonces

• aij = 1 si la arista ej es incidente en el nodo i y es dirigido fuera del nodo i,

• aij = −1 si la arista ej es incidente en el nodo i y es dirigido hacia el nodo i,

• aij = 0 si la arista ej no es incidente en el nodo i,



Ejemplo 5.3.1. Considere la digrafica de la figura 4. La matriz de incidencia de G esta dada por

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

Aa =

12345

−1 1 0 0 1 0 0 00 −1 1 0 0 −1 0 01 0 0 1 0 0 0 10 0 −1 −1 0 0 −1 00 0 0 0 −1 1 1 −1

. (5.2)

Note que en la definicion de la matriz Aa no se consideran las digraficas que contienen auto lazos.Consideraremos este caso en las lıneas siguientes.

Ası como hemos asociado una matriz de incidencia a una digrafica, es obvio que podemos hacerlode manera recıproca, es decir, asignarle una digrafica a una matriz.Note que no hemos hecho referencia sobre las entradas de la matriz a la cual le asociaremos unagrafica dirigida, sin embargo el analisis sobre esta es el mismo, pues la incidencia sobre nodos yaristas, esta dada por entradas distintas de cero en la matriz dada. Para este caso, la forma en lacual trataremos las graficas dirigidas, sera por incidencia nodo-nodo y eliminaremos el signo menos(−) en el proceso.

Dada cualesquier matriz A de tamano n × m, reemplazaremos todas sus entradas distintas decero por la unidad (1), y preservando las entradas iguales a cero como tales. A esta matriz se leconoce como la forma Booleana de la matriz A, y se denota por AB. La digrafica G representadapor AB constara de r = max n, m nodos.Si el elemento aij de AB es igual a 1, trazaremos una arista dirigida desde el nodo i hacia el nodo j.Observese que i puede se igual a j. En este caso tendrıamos un lazo (auto arista) en el nodo i = j.Ilustraremos este procedimiento con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3.2. Considerese la matriz de tamano 4 × 4

A =

0 0 0 21 −3 0 00 0 0 40 0 −1 0

, (5.3)

entonces su forma booleana es

AB =

0 0 0 11 1 0 00 0 0 10 0 1 0

, (5.4)

y la representacion digrafica se muestra en la figura 5.

Definicion 5.19. Para una matriz arbitraria F de orden p× q y de rango p, una submatriz mayorde F es una submatriz no singular de orden p.



§ 5.4. Busqueda de valores propios usando tecnicas de graficas

Necesitamos ahora, definir una submatriz Ai de una matriz A, que corresponda a la i−esima com-ponente fuerte de G(A).

Recordemos, segun la definicion 1.6, que el determinante de una matriz cuadrada A esta dadopor el numero

|A| =∑

σ∈Sn

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn es el conjunto de permutaciones de n elementos y sgn(σ) es igual a 1 si la permutacion σse expresa como producto de un numero par de transposiciones, y -1 si σ se expresa como productode un numero impar de transposiciones.

Definicion 5.20. Denotemos por pk1 , pk2 , . . . , pkni, los puntos de la i−esima componente fuerte

de G(A). Entonces la matriz Ai de A asociada con la i−esima componente fuerte consiste de lainterseccion de todos los renglones enumerados por kj, j = 1, . . . , ni, con las columnas que tienenlos mismos numeros.

Ası que, Ai es una matriz cuadrada de tamano ni × ni.

Definicion 5.21. Una matriz A es llamada reducible si puede ser partida en submatrices

[A11 A12

A21 A22

]

tal que A11 y A22 son matrices cuadradas, y al menos una de las matrices A12, A21 consiste solode ceros en sus entradas.

Extenderemos esta definicion para incluir tambien como matrices reducibles, a aquellas que puedanser transformadas en la particion de matriz con las propiedades anteriores, involucrando simultamea-mente la misma permutacion de los subındices 1, 2, . . . , n en los renglones y las columnas. En otras



palabras, A es reducible si y solo si para alguna matriz de permutacion P , la matriz P−1AP tienela forma de la particion de la definicion.Una consecuencia inmediata de la definicion del determinante de una matriz reducible A se presentaen la siguiente proposicion.

Proposicion 5.1. A es una matriz reducible como en la definicion 5.21. Entonces

|A| = |A11| · |A22|.

Veamos ahora, un teorema que envuelve la busqueda de valores propios en este mismo contexto.Para ello, necesitaremos de los siguientes lemas.

Lema 5.2. Las flechas de G(A), que corresponden a las entradas de A cuyo producto es un terminodistinto de cero en |A|, constituyen una coleccion ajena de ciclos en la grafica dirigida G(A).

Demostracion. Si a1 j1 · a2 j2 · · · · · an jn es cualquier termino distinto de cero en la expansion de|A|. Entonces, las aristas correspondientes de G(A) son

−→p1pj1 ,

−→p2pj2 , . . . ,

−→pnpjn .

La coleccion de ciclos en la cual la permutacion(

1 2 · · · nj1 j2 · · · jn

)

es descompuesta induce una coleccion disjunta de ciclos dirigidos de G(A), en las cuales cada puntopi se produce una sola vez.

Lema 5.3. Toda flecha de G(A) que ocurra en un ciclo dirigido, aparece en una componente fuertede G(A).

Demostracion.−→pipj es cualquier flecha de G(A) que pertenece a un ciclo dirigido. Entonces el ciclo

que contiene esta flecha, es una subgrafica fuerte de G(A), y es por tanto, una subgrafica de unacomponente fuerte de G(A).

Lema 5.4. Cada flecha de G(A), la cual no pertenezca a alguna componente fuerte de G(A) esta co-ordenada con una entrada de A la cual no ocurre en ningun termino distinto de cero de |A|.

Demostracion.−→pipj es cualquier flecha de G(A) que no pertenece a ningna componente fuerte. Por

el lema 5.3, esa flecha no esta en ningun ciclo dirigido de G(A). Ası que, por el lema 5.2 la flecha−→pipj corresponde al termino aij de A, el cual ocurre solo en terminos igual a cero de A.

Lema 5.5. A es una matriz reducible. Entonces el producto de los determinantes de las submatricesde A, asociadas con las componentes fuertes de G(A), es igual al determinante de A, salvo signo.

Demostracion. por la extension de la definicion 5.21, tenemos las submatrices A1, A2, . . . , Ar

asociadas a las r componentes fuertes de G(A), realizaremos las siguientes permutaciones de ren-glones y columnas de A. Reetiquetamos los puntos de G(A) de tal forma que los puntos de laprimer componente fuerte sean p1, p2, . . . , pn1 ; los puntos de la segunda componente fuerte sonpn1+1, pn1+2, . . . , pn2 . Entonces cuando la permutacion σ inducida de los enteros 1, 2, . . . , n se aplicaa los renglones y las columnas, obtenemos una matriz A, tal que sgn(σ)|A| = |A|, sonde sgn(σ) esdeterminado por la paridad del numero de transposiciones de σ. Mas aun, por la proposicion 5.1,obtenemos

|A| = sgn(σ)|A1| · |A2| · · · · · |Ar|.

Veamos ahora el teorema que envuelve la busqueda de valores propios en matrices reducibles.



Teorema 5.6. Consideremos la construccion de las submatrices Ai de A, dadas por la definicion5.21. Definamos como E(A) al conjunto de valores propios de A. Entonces

E(A) = E(A1) ∪ E(A2) ∪ · · · ∪ E(Ar),

incluyendo multiplicidades.

En otras palabras, el conjunto de valores propios de cualquier matriz es la union de los conjuntos devalores propios (incluyendo multiplicidad) de las submatrices correspondientes a las componentesfuertes de la grafica dirigida de la matriz.

Demostracion. A es una matriz separada de la forma

[A11 A12

A21 A22

]

donde al menos una de las submatrices A12, A21 consiste solo de entradas igual a cero. entonces porel la proposicion 5.1 tenemos que

|A − λI| = |A11 − λI11| · |A22 − λI22|.

De aquı que, E(A) = E(A11) ∪ E(A22), incluyendo multiplicidad. Ahora, del lema 5.5 tenemosque E(A) es la union de E(A1) con los valores propios de la submatriz de A resultante de elimi-nar los renglones y las columnas de A1. Repitiendo este proceso, vemos que E(A) es la union deE(A1), E(A2), . . . , E(Ar) (incluyendo multiplicidades).

5.4.1. Tecnica de descomposicion

En esta seccion se mostrara una tecnica de teorıa de graficas para encontrar valores propios deuna matriz cuadrada. En este contexto es muy util cuando tratamos con matrices a gran escala.El metodo se centra en la agrupacion de las componentes fuerte de la digrafica representante de lamatriz booleana y agrupar de la misma manera en la matriz original.

Definicion 5.22. Definimos el producto de matrices booleanas, a la operacion consistente en realizarel producto ordinario de matrices sustituyendo el producto de numeros por la conjuncion logica ∧ yla suma por la disyuncion logica ∨.

Es decir, dadas dos matrices booleanas A y B de tamano n × n, el producto de estas es la matrizbooleana C que tiene por entradas

cij =

n∨

k=1

(aik ∧ bkj).

Ası que, A ∧ A = A2.

Definicion 5.23. La matriz de alcanzabilidad R para una digrafica representada por una matriz deocurrencia (matriz incidente) AB esta definida por

R = A0B ∨ A1

B ∨ · · · ∨ An−1B ,

donde AjB = AB ∨ ∧AB ∨ ∧AB ∨ ∧ · · · ∨ ∧AB.

Definicion 5.24. Definimos la negacion booleana de una matriz A como A = I1 − A, donde I1 esla matriz con todas sus entradas iguales a uno.



Ejemplo 5.4.1. En la matriz (5.3), la cual tiene como matriz booleana (5.4), tenemos que sunegacion booleana es

AB = I1 − AB =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

−

0 0 0 11 1 0 00 0 0 10 0 1 0

=

1 1 1 00 0 1 11 1 1 01 1 0 1

.

Daremos a continuacion la tecnica para descomponer la matriz representante de una digrafica.

Definicion 5.25. Una grafica fuertemente conectada cuyas aristas de un camino dirigido conectantodos los nodos una y solo una vez, se dice Hamiltoniana.

El metodo requiere encontrar una matriz de permutacion P tal que P ′AP sea una transformacionque preserve valores propios, rango y tambien el rango termino, donde P ′ es la matriz transpuestade P . Entonces las transformacion P ′AP = P−1AP es una transformacion de similaridad, dondeP ′ = P−1. Ası que, si

LB = P ′ ∨ ∧AB ∨ ∧P,

entonces, TR(LB) = TR(AB), y podemos ver esta transformacion puramente como un reorde-namiento el cual preserva estructura.Toda grafica descomponible tiene una matriz booleana AB la cual posee al menos una matriz per-mutacion, la cual descompone explıcitamente a la matriz AB, por una transformacion de similaridad,y de aqui que descompone la digrafica asociada en sus componentes cıclicas y acıclicas. La matriztransformada es un bloque inferior en forma diagonal y todas sus componentes cıclicas son facil-mente identificadas.La matriz permutacion requerida P es generada por R ∧ R

′. El algoritmo es esencialmente el sigu-

iente:

(1) Suma aritmeticamente las entradas de cada columna de R ∧ R′.

(2) Para formar el vector de posiciones V , ordena de izquierda a derecha los numeros de la suma,de mayor a menor.

(3) Agrupa las posiciones que tengan el mismo valor.

(4) Repita (2) y (3) hasta agotar las posiciones.

El vector V = (s1, s2, . . . , sn) nos indica la incidencia que habra entre el nodo j y el nodo sj . Estaincidencia es de los elementos distintos de cero de la matriz de permutacion P . Ilustraremos estatecnica con el siguiente elemplo.

Ejemplo 5.4.2. Considere la matriz A en el ejemplo 5.3.2,

A =

0 0 0 21 −3 0 00 0 0 40 0 −1 0

,



con

AB =

0 0 0 11 1 0 00 0 0 10 0 1 0

.

Para la cual, la matriz de alcanzabilidad

R =

1 0 1 11 1 1 10 0 1 10 0 1 1

,

y

R′=

0 0 1 11 0 1 10 0 0 00 0 0 0

.

Entonces

R ∧ R′=

0 0 1 11 0 1 10 0 0 00 0 0 0

1 0 2 2 .

Los numeros 1,0,2,2 son la suma de las entradas de las columnas 1,2,3 y 4 respectivamente. Conrespecto a paso (2) y (3), el valor mas alto es 2, el cual se obtuvo de las columnas 3 y 4. Le sigue el 1con la posicion 1 y, finalmente cero, con posicion 2. Ası que, el vector de posiciones es V = (3 4 1 2).La incidencia es, en la columna (nodo) 1 colocaremos un 1 en la entrada (nodo) 3; en la columna 2colocaremos un 1 en la posicion 4; en la columna 3 colocamos un 1 en la posicion 1; y finalmente,en la columna 4 colocaremos un 1 en la posicion 2. Por tanto, la matriz de permutacion P es

P =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

.

Luego,

P ′ ∨ ∧AB ∨ ∧P =

|0 1| 0 0|1 0| 0 00 1 |0| 00 0 1 |1|

.

Por lo que los bloques marcados seran los que agruparemos en la transformacion de A, es decir

P ′ ∨ ∧A ∨ ∧P =

| 0 4| 0 0| − 1 0| 0 0

0 2 |0| 00 0 1 | − 3|

.



Se puede ver inmediatamente como las eigenpropiedades son descompuestas, dado que λ1,2 = ±2i,λ3 = 0 y λ4 = −3. Ademas,

(A − λI) = λ4 + 3λ3 + 4λ2 + 12λ,

la cual es igual a

Det(λI1 − A1) × Det(λI2 − A2) × Det(λI3 − A3) = (λ2 + 4) · (λ) · (λ + 3).

Definicion 5.26. Una grafica se dice descomponible si su matriz de alcanzabilidad no esta llena.

Observacion 5.7. En algunos casos puede ser necesario que alguna componente acıclica se combinecon otra componente cıclica existente, resultando una componente cıclica de orden mas alto.


Bibliografıa

[1] Serge Lang. “Algebral Lineal”, Version en Espanol. Yale University. Fondo educativo inter-americano.

[2] W. R. Derrick, S. I. Grossman. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”, version en espanol.University of Montana. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.

[3] F. Verduzco G. “Topicos de Control Lineal”. Universidad de Sonora. Notas de clase. verano2000.

[4] G. Davila, R.Flores E., Vorobiev Iouri Mikhailovich. “Algebra lineal: Teorıa y Problemas”.Universidad de Sonora. Coleccion de textos academicos.

[5] S. Saperstone and J. Yorke. “Controllability of linear oscillatory systems using positive con-trols”. SIAM J. Control, 9 (1971). pp. 253-262.

[6] S. Saperstone. “Global Controllability of Linear Systems Using Positive Controls”. SIAM J.Control, vol. 9, 2, 253-262.

[7] E. Lee and L. Markus. “Foundations of Optimal Control Theory”. John Wiley. New York, 1967.

[8] Dennis G. Zill. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”, septima edicion. Grupo editorialiberoamericana.

[9] Lawrence Perko. “Diferential equations and dinamical systems”. Texts in applied mathematics7. third edition. Editorial Springer.

[10] R. F. Brammer. “Controllability in linear autonomous systems with positive controlers”. SIAMJ. Control, vol. 10, issue 2, 1972. pp. 329-353.

[11] M. E. Frıas, F. Verduzco, H. Leyva, F. A. Carrillo. “Sobre sistemas controlables con controlpositivo”. AMCA. Memorias, 2004. Mexico, D. F.

[12] M. E. Frıas, F. Verduzco, H. Leyva, F. A. Carrillo. “On controllability of linear systems withpositive controls”. Int. J. Control. IFAC. 2005. Republica Checa.

[13] H. Leyva, F. A. Carrillo.“Estabilizacion global de sistemas lineales con control positivo”. XIcongreso latinoamericano de control automatico. La Habana, Cuba. 2004.

[14] Korobov V. I. “A geometrical criterion for local controllability of dynamical systems withrestrictions on controls”. Diff Uravn., Vol. 15, no. 9, pp. 1592-1599.

105


[15] Jaydev P. Desai,James P. Ostrowski, V. Kumar. “Modeling and control of formations of non-holonomic mobile robots”. IEEE Transactions on robotics and automation, vol. 17, No. 6,December 2001. pp. 905-908.

[16] Jorge A. Lopez R. “Sistemas controlables con un valor propio complejo y su conjugado”. Tesisde licenciatura. Universidad de Sonora. Diciembre 2006.

[17] Robert G. Bartle. “The elements of integration”. John Wiley & Sons. 1996. English edition.

[18] Wai-Kai Chen. “Graph theory and its engineering applications”. Published by World Scientific,1997.

[19] Harary, F. “A graph theoretic method for the complete reduction of a matrix with view towardsfinding it eigenvalues”. J. Math. Phys., 1959, 38, pp. 19-20.

[20] Evans, F. J., Schizas, C., and Chan, J. “Control system design using graphical descompositiontechniques”.IEE Proc. D, Control Theory and appl., 1981, 128, (3), pp. 77-84

[21] Schizas, C., and Evans, F. “APL and a graph theory in dynamic systems analysis”. IEE PROC.,Vol. 128, Pt. D, No. 3, May 1981. pp. 85-91.


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