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2
Contenido
I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA. ....................................... 3
II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES. .......................................... 6
III. POTENCIAS Y RADICALES ......................................................................................................... 18
IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................... 34
V. FACTORIZACIÓN ....................................................................................................................... 51
VI. ECUACIONES ........................................................................................................................... 60
ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES ................................................................................... 75
3
I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA.
1.1 Algunas clasificaciones de los números. Existen diversas clasificaciones de los números de acuerdo a sus características, recordemos algunas de éstas: Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, … este
conjunto de números se expresa como N. Los números enteros incluyen a los números …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. es decir, los enteros negativos y positivos; este conjunto se denota como Z. Tal como los números naturales son necesarios para el proceso de contar, los números racionales resultan útiles a la hora de medir (áreas, longitudes, pesos, tiempo, etc.). Su característica principal es que son números que pueden
representarse como la razón (división) de dos números enteros b
a ejemplos de
este tipo de números son: 11
8,
7
3,
2
1, etc. Siempre y cuando b no tome el valor de
0. Este conjunto se denota por la letra Q. En los ejemplos anteriores, podemos decir que la fracción es propia por que el
numerador es menor que el denominador.
En casos como ,4
9,
3
7,
2
3etc. Son fracciones impropias ya que el numerador es
mayor que el denominador. Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como la
razón de dos números, ejemplo de ellos son los números π, 7,2 , etc.
Por último, el conjunto de los números reales abarca todos los tipos de números
anteriores naturales, enteros, racionales e irracionales; a este grupo de números se le denota como R.
4
1.2 Representación de los números reales en la recta numérica.
Podemos representar cualquier número real en la recta numérica; esta representación la llevamos a cabo mediante el trazo de una línea recta, eligiendo un punto de ella como el origen, denotado por 0. A la derecha de este origen, se encuentran todos los números positivos (enteros, racionales e irracionales) por el contrario, a la izquierda encontraremos todos los números reales negativos. En la siguiente figura podrás observar lo que se ha comentado:
En la figura 1.2.1 se pueden apreciar la posición de los números naturales y los enteros; sin embargo, debemos ver que entre ellos también se encuentran los racionales y los irracionales, veamos la siguiente figura: Recordemos que al comparar dos números, el que se encuentra a la derecha es el mayor y el de la izquierda es menor; por ejemplo, de la Figura 1.2.2 el número 3 es mayor al 2 ya que se encuentra a la derecha de éste, matemáticamente representamos esto como 3 > 2 o bien: 2 < 3 que se lee 2 es menor que 3. En otro ejemplo, -3 es mayor que -4 por la misma razón de encontrarse a la derecha de éste en la recta numérica; la representación matemática de este hecho es -3 > -4 o bien, -4 < -3 que se lee: -4 es menor que -3.
5
Ejercicios 1.1 Para realizar de tarea Representa en la recta numérica los siguientes puntos y ordénalos de mayor a menor:
a) 1.1 , 6 , 2/3 , -5/2 , - 3/4 , -3.3333 b) -1/7, -0.15, 3.141920, π, e, 2.5, 9/7 c) 1/15, -1/15, -2/9, 1/5, 2/5
6
II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON
LOS NÚMEROS RACIONALES.
2.1 Algunos aspectos que tenemos que recordar.
1. Al sumar dos o más números reales de igual signo, se suman sus valores absolutos (sin signo) y al resultado ponemos el signo común a dichos números. Ejemplos:
1596
523
19)10(9
7)4(3
2. En la suma de dos números con signo diferente, restamos el valor absoluto (sin signo) de estos números (mayor menos menor) y al resultado ponemos el signo del número mayor. Ejemplos:
5)3(8
5)10(5
11)2(13
153015
3. Las reglas de los signos son: 4. Con frecuencia, diversas operaciones se combinan en una sola expresión; en estos casos, los signos de agrupación son muy útiles, recordemos que podemos utilizar los siguientes elementos: ( ), [ ], { } y | | en este orden de jerarquía. Cuando una operación se encierra entre signos de agrupación, ello nos indica que en primer lugar deberemos realizar las operaciones que se encuentran entre dichos signos y después realizar las demás operaciones indicadas. En caso de presentarse diversos signos de agrupación en una expresión, comenzaremos de adentro hacia afuera realizando primero operaciones entre paréntesis, luego entre corchetes, llaves y al final entre barras. 5. Las operaciones también siguen una línea de jerarquía; primero llevamos a cabo potencias, luego multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas.
Producto División
(+) (+) = + (+) / (+) = +
(+) (-) = - (+) / (-) = -
(-) (+) = - (-) / (+) = -
(-) (-) = + (-) / (-) = +
7
6. Podemos representar cada número como el producto de sus factores (números primos). Ejemplos:
4 = ( 2 ) ( 2) Ya no podemos descomponer más ya que 2 es número primo. Nota: Se llaman números primos aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y entre la unidad. Los números que no son primos se llaman números compuestos. Por ejemplo, 4 es un número compuesto de (2)(2). 8 = ( 4 ) ( 2 ) = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos al 8 en sus factores 4 y 2; como 4 no es número primo aún podemos seguir descomponiendo en 2 x 2 y al final, 2 es número primo, ya no podemos seguir descomponiendo. 20 = ( 10 ) ( 2 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos 20 en 10 x 2, luego, 10 no es número primo, por lo que podemos seguir descomponiendo en 5 x 2 que son números primos y ya no podemos descomponer más; por lo tanto, la factorización de 20 es (5)(2)(2). O bien: 20 = ( 5 ) ( 4 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Basándonos en el mismo razonamiento, 4 no es primo y podemos seguir descomponiendo; así llegamos a la misma descomposición por factores de 20.
2.2 Simplificación de fracciones.
En muchas ocasiones, al realizar operaciones con números racionales obtenemos resultados que pueden ser simplificados. Esta simplificación puede llevarse a cabo si descomponemos cada número que compone la fracción (numerador y denominador en sus diversos factores y observamos alguno en común para los dos). Observemos lo siguiente: Ejemplo 1 Vamos a simplificar la siguiente fracción:
8
3
2
)3)(7(
)2)(7(
21
14 Observemos que tanto el numerador como el denominador fueron
descompuestos en sus diferentes factores; como el 7 se encuentra arriba y abajo, pueden eliminarse y la fracción que nos queda es 2/3. Nota: Recuerda que podemos eliminar estos términos solamente porque éstos se
encuentran multiplicando; si hubiera un signo + o menos entre ellos, esto no
hubiera podido llevarse a cabo. 3
2
37
27
o bien
3
2
37
27
,etc.
Ejemplo 2: Simplifiquemos la siguiente fracción:
5
4
5
)2)(2(
)2)(5)(2)(2(
)2)(2)(2)(2)(2(
)2)(5)(2)(2(
)2)(2)(2)(4(
)2)(5)(4(
)2)(2)(8(
)2)(20(
)2)(16(
40
32 Se muestra la
descomposición en factores tanto de 32 como de 40; observemos que al final, podemos eliminar 3 términos 2 tanto de arriba como abajo; y lo que nos queda es multiplicar en el numerador para expresar el resultado. Observa que hubiera sido lo mismo si nos hubiéramos quedado en el tercer paso, sin descomponer el 4 en factores. Ejemplo 3: Simplifica ahora esta fracción
19
13
)2)(19(
)2)(13(
38
26 Observa que nos quedamos hasta este paso ya que no
podemos descomponer en más factores puesto que ya todos son números primos; como tenemos un 2 arriba y abajo podremos eliminarlos y el resultado son los factores que quedan sin haberse eliminado.
9
Ejercicios 2.2 a) Para resolver en clase. Simplifica las siguientes fracciones:
1. 14
22 2.
72
54 3.
84
42 4.
120
480 5.
84
110
b) Para realizar de tarea. Simplifica las siguientes fracciones:
1. 24
20 2.
252
168 3.
450
125 4.
185
111 5.
750
125
6. 150
270 7.
144
648 8.
468
252 9.
84
72 10.
504
360
10
2.3 Suma y Resta de Fracciones En el caso de suma y resta de fracciones, podemos encontrar dos casos: i) Fracciones homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es el
mismo, por ejemplo: ,...5
11,
5
7,
5
2 o ,...
3
14,
3
7,
3
1, etc.
En estos casos, la suma o resta de fracciones entre estas fracciones es muy sencilla, lo único que tendremos que hacer es sumar o restar los numeradores y el denominador seguirá siendo el mismo. Ejemplo 1:
7
12
7
48
7
4
7
8
Observa en el primer paso solamente sumamos los
numeradores y el denominador pasa igual; ya en el segundo paso, el resultado es simplemente la suma de 8 + 4, el denominador sigue siendo el mismo. Ejemplo 2:
8
4
8
1115
8
11
8
15
y simplificando:
2
1
)2)(4(
4
Ejemplo 3:
83
24
3
1482
3
14
3
8
3
2
o bien puedes verlo así: 8
3
)3)(8(
3
24
Ejemplo 4:
11
16
11
12413
11
1
11
2
11
4
11
13
observa que el procedimiento es el mismo, el
denominador se mantiene, puesto que es el mismo en cada fracción y lo único que hacemos es sumar o restar los numeradores según sea el caso. En el caso del resultado, la fracción ya no es reducible, por lo tanto, así queda. ii) Fracciones no homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es
diferente, por ejemplo: .,7
4,
3
1,
5
2etc En estos casos, encontrarás en diversos libros
que se manejan diferentes formas de llevarlas a cabo; probablemente las más rápidas podrían ser: a) Que cambiemos nuestras funciones a homogéneas.
11
Ejemplo 1.
2
7
5
3 al ser fracciones no homogéneas, no puedo sumar directamente; sin
embargo, puedo multiplicar una función (arriba y abajo) por el denominador de la segunda fracción y la primera también multiplicarla arriba y abajo por el denominador de la segunda; así:
10
41
10
35
10
6
5
5
2
7
2
2
5
3 Al multiplicarse ambas fracciones por el denominador
contrario, obtenemos una suma de fracciones homogéneas que es fácilmente resuelta. b) La segunda forma de llevar a cabo nuestra suma o resta de fracciones es:
- Multiplicar todos los términos de los denominadores y ponerlos como denominador.
- Luego, tomar el denominador y dividirlo entre el primer denominador. - Al resultado anterior, lo multiplico por el numerador de esa fracción y lo
paso a la parte de arriba. - Hago el mismo procedimiento con cada fracción que yo esté sumando o
restando; voy poniéndolas arriba con su respectivo signo y al final sumo o resto los numeradores según sea el caso.
Ejemplo 2:
7
2
9
4 Notamos que estas fracciones no tienen el mismo denominador; por lo
tanto, procedo a multiplicar los denominadores (9) (7) = 63 y pongo este número como denominador.
637
2
9
4 Continúo y tomo ahora el 63 y digo: “63 entre 9 es 7”; y multiplico este
valor por el numerador de la fracción en cuestión, que en este caso es 4, poniendo el resultado como el primer término de mi suma en el numerador, así:
63
28
7
2
9
4 continuando, pongo el + después del 28 ya que eso es lo que estoy
haciendo, una suma entre estas fracciones. Para terminar, paso con la segunda fracción y diré: 63 entre 7 es 9 y 9 por 2 es 18, lo coloco en el segundo término a
12
sumar en mi numerador, quedando de ésta forma: 63
1828
7
2
9
4 finalmente, la
suma resultante es: 63
46
7
2
9
4 como no puedo simplificar, así queda mi resultado.
El procedimientos para 3 o más fracciones será el mismo. Ejemplo 3:
422
9
3
5
7
2 el denominador resulta de multiplicar (7)(3)(2) y entonces divido el
42 entre cada denominador, multiplicando por su numerador, así:
42
1897012
2
9
3
5
7
2 y el resultado final será :
42
107como esta fracción ya no
puede simplificarse, puesto que 107 es primo y no hay factores con 42, el resultado quedará así.
13
Ejercicios 2.3 a) Para resolver en clase: Realiza las siguientes sumas y/o restas de fracciones; en los casos en los que puedas hacerlo, simplifica la fracción resultante.
1. 12
5
12
3
12
1 2.
17
3
17
1
17
50
17
7
17
5 3.
4
7
7
5
9
4
4. 4
7
3
7
2
5
11
4
b) Para realizar de tarea:
1. 7
4
9
3
2
1
5
6 2.
8
3
9
1
12
1 3.
4
5
3
1
2
9
5
7
4. 4
124 5.
7
43
9
75
2
13
5
65
6. Hallar el perímetro de un terreno con forma de rectángulo cuya base mide
7
65 m y de altura tiene medidas de
7
15m.
7. Hallar la distancia que una peregrino recorre durante 4 días, si el primer día
cubrió 42
1km; el segundo día, su recorrido fue
8
53 km; el tercer día caminó la
misma distancia que el primero y el cuarto día logró avanzar 4
33 km.
14
2.4 Multiplicación y División de fracciones.
2.4.1 Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos o más fracciones se lleva a cabo de una forma muy sencilla; lo único que tenemos que hacer es multiplicar los numeradores y el resultado ponerlo en la parte del numerador de la fracción final; luego, multiplicar denominadores y el resultado ponerlo como denominador de la fracción final. Ejemplo 1: Realizar la siguiente operación:
63
10
)7)(9(
)5)(2(
7
5
9
2
como el resultado no se puede simplificar, así queda.
Ejemplo 2: Realizar la siguiente operación:
66
112
2113
728
2
7
11
2
3
8
simplificando:
33
56
332
256
66
112
que es mi resultado
final. 2.4.2 División de fracciones. Para dividir fracciones existen dos caminos, dependerá del que te parezca más conveniente: i) Multiplicar por el recíproco El recíproco de un número es la unidad dividida entre este número; por ejemplo, el
recíproco de 3 es 3
1, ya la posición que tiene el 3 es de multiplicar, por lo tanto su
posición contraria es la de dividir; el recíproco de 2 es 2
1, el de 7 es
7
1, el de
5
1 es
5 (ya que 5 está dividiendo, entonces su posición contraria es multiplicando); el
recíproco de 3
2es
2
3observa que 3 está dividiendo su contrario es estar
multiplicando, para el dos es que está multiplicando y su inverso es que esté dividiendo. Nota: Cuando a un número lo multiplicamos por su recíproco, el resultado es 1.
Así pues, el primer camino a seguir para realizar una división de fracciones es que multipliquemos la fracción a la que se está dividiendo por el recíproco de la fracción que la está dividiendo.
15
Ejemplo 1: Realizar la siguiente división de fracciones:
4
3
5
8
3
45
8
Observa que el recíproco de 4/3 es 3/4 por lo tanto es por este último
número por el que debemos multiplicar. Así pues, el resultado es:
5
6
20
24
45
38
4
3
5
8
3
4
5
8
Ejemplo 2:
16
3
4
1
4
3
4
4
3
es importante que visualices que al numerador de la función no lo
cambiamos, en este caso 3/4 se mantiene igual; el único cambio se da en el denominador, que en este caso por ser 4 se convirtió en 1/4.
16
ii) Utilizando la Ley de los Medios y los Extremos Esta ley dice lo siguiente “Medios por medios y van abajo, extremos por extremos y van arriba” en la siguiente figura podemos ver qué partes de nuestras fracciones se consideran como los medios y cuales como los extremos: Ejemplo 1. Resuelva la siguiente división entre fracciones:
9
47
8
identificando como extremos a 8 y 9 y como medios a los números 7 y 4,
aplicamos la Ley de los Medios y los Extremos y tenemos lo siguiente:
28
72
47
98
9
47
8
simplificando la fracción tenemos que el resultado es:
7
18
El mismo resultado será obtenido si multiplicamos por el recíproco de 4/9 que es 9/4:
7
18
28
72
4
9
7
8
9
47
8
Según esta Ley, los extremos serán 8 y 3 y su
multiplicación que es 24 la colocaremos
arriba; por otro lado, el denominador queda
formado por la multiplicación de los medios 5
y 4, así el resultado será 5
6
20
24 el mismo
que el obtenido anteriormente (ejemplo 1).
17
Ejercicios 2.4 a) Para realizar en clase Realiza las siguientes operaciones:
1.
7
4
3
1
3
1
9
2
3
7 2.
2
7
3
2
2
1
7
5 3.
18
512
4. 2
11
4
15 5.
3
8
7
7
5
3
2
b) Para realizar de tarea
1. 2
132
3
2
4
1
2.
4
72
2
53
3. Una persona camina a razón de 5
21 km por hora durante
762 horas. ¿Qué
distancia recorrió durante este tiempo? 4. Si tuviéramos 60 litros de agua purificada y quisiéramos llenar botellas que
tienen una capacidad de 5
3litro ¿Cuántas botellas podríamos llenar?
5. Un pintor puede pintar una pared a una rapidez de 74
3m2 por hora; otro pintor lo
hace a razón de 25
2m2 por hora. ¿Cuántos m2 de superficie pintan entre los dos
en dos horas?
6. De una pieza de tela, un comerciante vende 7
1 de ella y luego vende
8
3 del
resto ¿Cuántos metros de tela le quedaron?
18
III. POTENCIAS Y RADICALES
3.1 Potencias La potencia es el resultado que se obtiene cuando se multiplica tantas veces un número (al que se le denomina base) como lo indique otro número (al que se le conoce como exponente). Así pues, si un mismo número se multiplica varias veces, entonces esta operación se puede expresar como una potencia. Ejemplo 1:
Si multiplicamos 3 veces 2 por él mismo tendremos: 2 x 2 x 2; entonces, el número que estoy multiplicando es la base y las veces que lo estoy haciendo es el exponente; dicho esto puedo expresar 2 x 2 x 2 como 23; pongo la base y como superíndice el exponente; el resultado que es 8 se conoce como la potencia. Ejemplo 2:
xxxxx 4 es decir, estoy multiplicando 4 veces el mismo número x.
Ejemplo 3:
yyyyy n ... hasta haber multiplicado n veces el número y.
3.2 Propiedades de los exponentes En los siguientes ejercicios entenderemos a x y y como números reales y a los valores m y n como números enteros. 1. Cuando multiplicamos la misma base con exponentes diferentes.
La base queda igual y sumamos los exponentes.
(am) (an) = am+n
19
Ejemplos:
19531255555 93636
17714733333 11326326
1864536453 777777
12453453 xxxxx
22 nmnm yyyy
2. Bases diferentes que se multiplican o dividen elevadas a un mismo exponente.
En los casos exclusivos de multiplicación y división en los cuales dos términos se elevan a una potencia es válido aplicar la potencia a cada término.
nnnyxyx y
n
nn
y
x
y
x
Ejemplos:
129663244 lo que se hizo aquí es primero realizar la multiplicación
que se encuentra dentro del paréntesis; luego, elevamos a la potencia 4; sin embargo, si aplicamos la propiedad mencionada anteriormente tenemos:
129681163232 444 recuerda que en este caso, primero debemos
desarrollar potencias y luego multiplicar por la jerarquía de las operaciones, así que primero elevamos 2 a la 4 y 3 a la 4 y al final multiplicamos estos resultados.
81
16
3
2
3
232
4
44
4
3
333
2
5
2
412
2
1
Observa que en este caso primero tuvimos que
hacer la suma de fracciones ya que el signo + no nos permite aplicar término a término el exponente, una vez que tenemos una fracción única
20
aplicamos el exponente a cada término; ¡nunca te olvides que solo podemos aplicar el exponente término a término en multiplicaciones y divisiones!
3. Cuando tenemos una base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente.
En situaciones como esta, queda la misma base pero los exponentes se multiplican, así:
mnmn xx también pmpnpmn yxyx y pm
pnp
m
n
y
x
y
x
Ejemplos:
124343 222
)5)(3()5)(3(5353 6932333233323
35
49
75
777
5
7
3
4
3
4
3
4
4. Cuando tenemos divisiones de la misma base elevada a una potencia diferente. En los casos en que dividimos una base elevada a un exponente entre la misma base pero elevada a un exponente diferente como se muestra a continuación:
nm
n
m
xx
x
Lo anterior obedece a la definición de que n
nx
x
1
por lo tanto, si aplicamos esto
tendremos:
nmnm xxx recuerda la multiplicación de las mismas bases a potencias
diferentes.
Así mismo, nn
nxx
x
)(1
21
Ejemplos:
3710710
7
10
55555
5
26868
6
88
22222
2
64
2 Observa que 64 fue expresado como una potencia
de 2, es decir 26.
1404040
40 010011001
1001
1001
Recuerda que todo número elevado a la 0 da 1; o
bien, todo número dividido entre él mismo da como resultado la unidad.
22
Ejercicios 3.1.1 a) Para resolver en clase: Aplicando las leyes de los exponentes, resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia, remueve los exponentes negativos en donde se presenten.
1. )2)(2)(2)(2( 4242 2.
2
732
353
xyy
yxx 3.
53
23
32
yx
yx
4. 584
563
3
2
xxx
xxx
b) Para resolver de tarea:
Aplicando las leyes de los exponentes, resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia, remueve los exponentes negativos en donde se presenten.
1. 4
39
5
55 2.
2
1024
32
3.
3
64
32
5
3
yx
yx
4. 6
1053
100010001000
100010001000
5.
20
5
82
1
8657
2
yy
x
yxyx
23
3.3 Radicación
La radicación es la operación contraria a la potenciación. Recordemos que la potenciación consiste en que a partir de una base, multiplicada n veces, donde n es el exponente, llegar a un número resultante llamado potencia. Pues bien, la radicación consiste en que a un número, al que se le llama
radicando (X) le aplicamos un radical n donde n es el índice de la raíz (que nos
indica cuantas veces deberemos multiplicar el resultado para volver al radicando) y llegamos a un número a (raíz n-ésima) que será aquel que en potenciación conocemos como base.
Ejemplo 1:
24 cuando el índice del radical no se exhibe, se entiende que éste es 2; por lo
tanto, raíz cuadrada de 4 es dos, porque si multiplicamos en dos ocasiones 2 llegaremos de nuevo al 4: 2 x 2 = 4.
Sin embargo, también 24 porque si multiplicamos en dos ocasiones a -2
llegaremos de la misma forma al mismo radicando: -2 x -2 = (-)(-)(2)(2) = 4. Nota: Cuando el índice del radical es par y el signo del radicando es positivo,
tendremos dos raíces como resultado; así: 24 . Ejemplo 2:
?24¿?24¿ o Observa que en ninguno de los casos la multiplicación en
dos ocasiones de alguno de los términos me produce -4: 2 x 2 = +4 y -2 x -2 = +4. Nota: Si el índice del radical es par, pero el signo del radicando es negativo,
entonces, diremos que la raíz no existe; porque no podemos encontrar ningún número real que cumpla con lo anterior. Este tipo de radicales merece un estudio especial y lo verás en los temas de números complejos que por el momento no estudiaremos aquí. Ejemplo 3.
283 porque si multiplico en 3 ocasiones al número 2 obtendré: 2 x 2 x 2 = +8;
en cambio; si multiplico en 3 ocasiones -2 obtendré: -2 x -2 x -2 = -8 por lo que concluimos que en estos casos obtenemos solamente 1 resultado.
24
Nota: Si el índice de la raíz es impar y el número del radicando es positivo o
negativo, obtenemos una sola raíz con el mismo signo que el del radicando. Ejemplo 4.
51253 por que (-5)(-5)(-5) = (-)(-)(-)(5)(5)(5) = -125
3.4 Exponente fraccionario Todo radical se puede expresar también como un exponente de la siguiente forma:
nn xx
1
y también : n
m
nm
nmn m xxxx
)1
)((1
Ejemplo 1:
10000100100100 24
8
4 8
Ejemplo 2:
7
5
7 5 33 como no podemos simplificar la fracción del exponente, así se queda el
resultado.
25
Ejercicios 3.4 a) Para realizar en clase:
Expresa en forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales:
1. 8 49 2. 47 3. 4 33 4. 3 92 5. 4 1410
b) Para realizar de tarea: Expresa en forma de radical los siguientes términos con exponentes fraccionarios. En los casos donde sea necesario simplifica el exponente.
1. 2
1
7 2. 4
5
11 3. 3
6
8 4. 6
8
4 5. 4
10
6
26
3.5 Propiedades de los radicales
Existen diversas propiedades que debemos observar en cuanto a los radicales. 1. Cuando el índice de la raíz y el exponente del radicando son iguales.
xxxx n
n
n n 1
Ejemplos:
2228 3
3
3 33 El ejemplo ilustra cómo se representa un número como
potencia de otro; en el caso de 8 es potencia de 2, así que se representa así y al aplicar esta propiedad, el resultado es 2.
100100100 100
100
100 100
2. Multiplicación de radicales que tienen el mismo índice. Cuando multiplicamos diferentes bases, pero con el mismo radical entonces:
nnn xyyx
Ejemplos:
393333 o bien: 333333 2
1
2
1
2
1
2
1
3 443 43 4 5252
3. Radicación de una fracción.
n
n
n
y
x
y
x
Ejemplos:
27
4
2
4
16
4
8
4 16
4 8
416
8
y
x
y
x
y
x
y
x
9
8
3
2
3
2
3
2
3
22
3
5
10
5
15
5 10
5 15
510
15
4. Radicación de otro radical.
Existen ocasiones en que se aplican radicales a radicales, en estos casos el
radical se conserva y el índice toma el valor de la multiplicación de los índices de
cada radical.
mnmnmn
m
nm n xxxxx
111
1
1
Ejemplos:
8199999 212
24
12 2443 243 4 24
o bien : 8199999 23
6
3
16
3
1
4
24
3 4 24
1111111111 18
18
18 1836 926 3 92
28
Ejercicios 3.5
a) Para realizar en clase:
1. 22 53 2. 33 558 )100(100 3. 3 3 25 )2( 4. 3 4
24
23
1
yx
b) Para realizar de tarea:
1. 48 53 2. 5
5
2
25105
m
pyx 3. 4
8
64
124
12
3
pm
y
x
4. 5
2
5100
50
2
3
5.
2
2016
4 3624
8
4
yx
yx 6.
5
4
5
3
2
4 10
p
mm 7.
42
5 52x
29
3.6 Descomposición en factores dentro de un radical
Existen ocasiones en que al descomponer el radicando en factores, la expresión
puede simplificarse. Lo que tenemos que hacer es descomponer el radicando en
sus factores primos y observar si podemos expresar alguno en función de un
exponente común al índice de la raíz.
Ejemplo 1:
25252522550 22 Nota que el primer paso fue
descomponer a 25 en sus factores; luego, nos dimos cuenta que 25 era una
potencia de 5 y lo expresamos entonces como 5 al cuadrado, por lo tanto, al
aplicar la raíz (cuyo índice coincide con el exponente) el exponente quedó como 1.
Ejemplo 2:
44 444 444 1033)5)(2()3)(5)(2()5)(3)(3)(3)(3)(2(810
30
Ejercicios 3.6
a) Para realizar en clase
Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los
siguientes ejercicios.
1. 3 216 2. 4 3750 3. 5 224 4. 588
b) Para realizar de tarea
Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los
siguientes ejercicios.
1. 3 1296 2. 3 6000 3. 4 112 4. 3 216 5. 11025
31
3.7 Racionalización
Racionalizar quiere decir quitar radicales del denominador.
En matemáticas los resultados los expresamos sin exponentes negativos y sin
radicales en el denominador; por lo tanto, siempre que podamos deberemos
eliminar estos dos elementos.
Para llevar a cabo la racionalización de un número, debemos primeramente
recordar una propiedad de los números, la cual nos dice que el valor de un
número racional no se altera si se multiplica tanto el numerador como el
denominador por alguna cantidad. Por ejemplo: 8
6
2
2
4
3 nota que multiplicamos
arriba y abajo por dos, por lo que no se altera la fracción, si bien cambia a otros
números, puedes checar con tu calculadora que el resultado de ambas divisiones
3/4 y 6/8 es exactamente la misma. Este principio será utilizado en el proceso de
racionalización.
Ejemplos:
Racionalizar los siguientes números:
2
1
1
x
notamos que si bien no se tiene un radical, se tiene un exponente
fraccionario que es equivalente; debemos ver que el exponente es ½ y buscar
alguna cantidad que sumarle a ½ para que el resultado me dé 1 entero; yo sé que
esta cantidad es ½. Por lo tanto:
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
Observa que la cantidad de ½ la pusimos como exponente
de la misma base que queremos racionalizar, esto se hizo para poder aprovechar
la propiedad de que en multiplicación de mismas bases los exponentes se suman.
Como multiplicamos abajo, debemos multiplicar arriba por el mismo término para
que la fracción no se vea alterada.
3
1
2
y
el exponente de y es 1/3, por lo que para alcanzar el próximo número
entero deberé sumarle 2/3; por lo que multiplico por:
32
y
y
y
y
y
y
y
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
222
y hemos eliminado el radical del denominador (exponente
fraccionario)
7
9
4
px
y nota que el exponente de x en el denominador pasó el 1 (9/7 = 1.2857)
por lo tanto, el próximo número entero a alcanzar será 2 y para lograr este valor
debo sumar al exponente 5/7 para obtener el resultado de 2. Así :
2
47
5
7
14
47
5
7
5
7
9
47
5
7
5
7
5
7
9
4
px
yx
px
yx
px
yx
x
x
px
y
y el radical ha sido eliminado
33
Ejercicios 3.7
Racionaliza los siguientes números:
a) Para realizar en clase
1. 5 2y
x 2.
3 7
4
x 3.
7
9
7
x
y 4.
43
11
3
2
yx
x 5.
5 2y
x
b) Para realizar de tarea
Racionalizar las siguientes fracciones y simplificar cuando sea posible
1. 62
4 2.
3 25
10 3.
4 7
3
1
2
xx
y 4.
3
13
3
22
11
9
3
7
yx
yx 5.
5 2y
x
6.
3
1
3
25
9
36
2
zyx
x
34
IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS 4.1 Definiciones
En álgebra, las operaciones utilizadas son las que ya hemos manejado
anteriormente: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. En
esta rama, además de utilizar números concretos, se utilizan letras del alfabeto
para representar cantidades conocidas o desconocidas.
Cualquier expresión que contenga una o varias operaciones algebraicas se llama
expresión algebraica. Ejemplos de estas son: 3x + y , 2x2 + 5y7 , (3x+2)(4x-3),
otros.
Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y
letras que representan también números que se relacionan entre sí por
operaciones como multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación.
Ejemplos: 3x , 4x2 , 1/2 x1/2, otros.
Entre los elementos que componen a un término distinguimos al signo que le
precede (véase figura 4.1.1) éste dirá si el término es positivo o negativo.
También tenemos al coeficiente que no es más que un número que multiplica o
divide al valor de la literal; siendo ésta última representada por una letra y
representa algún valor (conocido o desconocido). Por último, el grado de un
término es la suma de los exponentes de las literales que contiene; así pues, para
el término de la figura 4.1.1 el grado es 2.
4.2 Lenguaje Algebraico
En álgebra, es muy común que para solucionar algún problema sea necesaria una
expresión algebraica, dicha expresión pasará toda la información que tenemos en
el problema real a una forma matemática para poder trabajar con ésta.
35
Ejemplos:
Enunciado en forma verbal
Enunciado expresado en notación
algebraica
El doble de un número 2x
La diferencia de dos números x-y
La raíz cúbica de un número 3 x
La mitad de un número x
2
1
El triple de un número disminuido en cuatro
3x - 4
Enunciado expresado en notación algebraica
Enunciado en forma verbal
33 yx La suma de dos cubos
m + p2 Un número más el cuadrado de otro
zx2 Un número por el cuadrado de otro
5(x+y) El quíntuple de la suma de dos números
3
3
2x
Las dos terceras partes del cubo de un número
Ejercicios 4.2
a) Para realizar en clase
Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes
enunciados:
1. Una séptima parte del producto de dos números
2. Dos octavas partes de la suma de dos números.
3. El cubo del producto de cuatro números.
4. Un tercio de un número que está disminuido en tres.
36
5. El triple del cuadrado de un número disminuido en siete.
6. El doble de un número aumentado en siete.
7. El doble de un número que está aumentado en siete.
b) Para realizar de tarea.
I. Rellena la siguiente tabla identificando cada elemento faltante.
Término Algebraico
Coeficiente Numérico
Parte Literal
Exponentes de la parte
literal
Grado
y
x 2
3
235 32 yx
6x-2y3z6
-4x4m5
II. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes
enunciados:
1. La cuarta parte de la raíz quinta de un número.
2. El quíntuple de la suma del producto de dos pares de números.
3. El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos.
4. El producto del cubo de un número por la diferencia de otros dos.
5. El cuadrado de la tercera parte de un número sumado a otro.
6. Cinco veces el cubo de un número aumentado en 7.
37
4.3 Términos Semejantes
Decimos que dos términos son semejantes cuando su parte literal (incluyendo el
exponente) es la misma; es decir, solo varían por su coeficiente o el signo de éste.
Ejemplos de términos semejantes tenemos: -6n2 , ½ n2, 2
3
5n , 27 25 n , etc.
Observe el siguiente ejemplo: 325 qp y 2318 qp en este caso, estos dos términos
no son semejantes, pese a tener las mismas literales; esto se debe a que los
exponentes de p en cada término son diferentes, lo mismo sucede con los
exponentes de la literal q.
Cuando trabajamos con expresiones algebraicas, nos encontraremos muy
frecuentemente con términos semejantes los cuales podemos reducir; este
procedimiento es muy sencillo, lo único que hay que hacer es la suma algebraica
de sus coeficientes.
Ejemplos:
4+4x2+6y-8x2-3y+2 observamos en este ejemplo varios términos semejantes:
los términos con x2, aquellos con y y por último los términos que no tienen literal;
entonces, la reducción de términos semejantes quedaría: x2 (4-8) + y (6-3) + (4+2)
y al realizar las operaciones entre paréntesis tendríamos: -4x2 + 3y + 6, lo cual
simplifica la expresión.
2x-y+7z3+3x+5y+8z3-10x-20z3+5x+10z3-3 observa que en este ejemplo
tenemos varios términos semejantes, por lo que la reducción se haría de la
siguiente manera: x (2+3-10+5) + y(-1+5) + z3(7+8-20+10) -3 nota que el término -
3 no tiene semejantes, por lo que lo dejamos así. Haciendo las operaciones de los
paréntesis tendremos finalmente : 0x + 4y + 5z3 -3 ya que el coeficiente de x es 0
podemos no poner ya este término recuerda que todo número multiplicado por 0
nos da 0. Acomodando entonces la expresión tendremos: 5z3 + 4y -3.
mxymxy 8275 33 ya que el índice de la raíz y el radicando son iguales
en algunos de los términos que se presentan en este ejemplo, podemos
considerarlos como semejantes y hacer la reducción de la misma forma que
hemos trabajado: 87253 mxy observa que manejamos el radical como
el término semejante y solamente sumamos sus coeficientes con todo y signo;
realizando las operaciones de los signos de agrupación tenemos entonces la
expresión final: mxy 37 .
38
Ejercicios 4.3
Realiza la reducción de términos semejantes en las siguientes expresiones:
a) Para realizar en clase
1. yxayxa2
11
2
1
3
4
7
22
3
1 2. xmxm
7
2833 22
3. 555 8238 xynpxynpx
b) Para realizar de tarea
1. 4a + 3np – 5ª - 2np 2. 4ab2 + 2cd +3ab2 + 5c2d – 8ab2 – 6cd + 3c2d
3. 323
2
11
2
3
7
1
8
5
3
2ooooo 4. ymxymx
7
2
2
132253
5. 43 343 3
10
11
2
1827
9
2xyyxpxypyx
39
4.4 Suma y Resta de Polinomios
El caso de una suma de polinomios es muy sencillo, solamente deberemos
escribir los dos polinomios sumándose y reducir términos.
Ejemplo 1:
Sumar los siguientes polinomios:
4273 zyx y 121278 zyx Procedemos de la siguiente forma:
)121278(4273 zyxzyx como el signo + no altera los signos podemos
quitar el símbolo de agrupación que pusimos, por lo tanto nos quedaría la
siguiente expresión: 3x+7y-2z+4+8x-7y+12z+12 y lo que resta es reducir términos
semejantes, con lo cual el resultado sería: x(3+8) + y(7-7) + z(-2+12) + (4+12) y
efectuando las operaciones: 11x + 0y + 10z + 16 podemos quitar el término de las
y ya que su coeficiente es 0 y tendríamos finalmente: 11x + 10z + 16.
Para el caso de restar polinomios deberemos primero escribir el polinomio
teniendo cuidado de que el signo – de resta afecta a todo el segundo polinomio.
Ejemplo 2:
Restar los siguientes polinomios:
4273 zyx y 121278 zyx Procedemos de la siguiente forma:
)121278(4273 zyxzyx observa que hemos indicado la resta de los
dos polinomios, el signo menos afecta a todos los términos encerrados dentro de
los símbolos de agrupamiento, por lo que para quitarlos, tendremos que modificar
el signo de cada término:
1212784273 zyxzyx en este paso hemos metido el signo negativo a
cada término del segundo polinomio; luego de esto, lo que resta es reducir
términos semejantes: )124()122()77()83( zzyx y al realizar las
operaciones dentro de los paréntesis llegaremos al resultado final:
-5x+14y-14z-12
40
Ejercicios 4.4
Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:
a) Para realizar en clase
Sean P1 = 4x3 – 8 + 6x2 – x4 – 9x P2 = 2x – 4x2 – 5 + x3 – x4
P3 = -5x3 -2x4 + 19 + 3x – x2
a) P1 + P2 ; b) P1 + P3 ; c) P2 + P3 d) P1 + P2 + P3
e) P1 – P2 ; f) P2 – P1 ; g) P2 – P3 h) (P1+P2) – P3
b) Para realizar de tarea
Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:
Sean P1 = 2x2 – 5xy + y2 – 7 ; P2 = -3y2 - x2 – 7xy -1 ; P3 = 5x2 –xy + 6
a) P1 + P2 b) P1 + P3 c) P2 + P3 d) P1 – P2 e) P1 – P3
f) P1 + (P2 – P3) g) (P1+P3) – (P2+P3) h) P1 – (P2-P3)
41
4.5 Multiplicación de Polinomios
Respecto a esta operación puede hablarse de tres casos:
1) Multiplicación de monomios
2) Multiplicación de un monomio por un polinomio
3) Multiplicación de un polinomio por una polinomio
Para cualquiera de los casos anteriores debemos tener en cuenta las leyes de los
signos, propiedades de exponentes y radicales, y las reglas de la multiplicación.
1. Multiplicación de monomios.
Este caso es el más sencillo, solo tendremos que:
a) Identificar el signo de la multiplicación
b) Multiplicar los coeficientes numéricos
c) Multiplicar las literales tomando en cuenta las leyes de los exponentes.
Ejemplo:
(3x2y2) (4x3y6) = (3)(4)(x2+3)(y2+6) = 12x5y8 observa que multiplicamos
coeficientes por coeficientes, en cuanto a las literales multiplicamos las bases
comúnes recuerda que en multiplicación de las mismas bases, se deja la base y
se suman los exponentes.
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio.
En este caso se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo:
2x3y (3x5y–2y2+7xy–2) = 2x3y (3x5y) + (2x3y)(– 2y2) + (2x3y)(7xy) + (2x3y)( – 2)
y entonces procedemos como el primer caso, multiplicación de dos monomios; así
el resultado será: 6x8y2 – 4x3y3 + 14x4y2 – 4x3y
42
3. Multiplicación de un polinomio por un polinomio
Este es el caso más complejo; sin embargo, también podremos verlo como una
multiplicación monomio por monomio, simplemente tendremos que tomar cada
término del primer polinomio y multiplicarlo por cada término del segundo.
Ejemplo:
(3x2 – 7xy) (2x3 – 8x +2) tomamos el primer término del primer polinomio y lo
multiplicamos por cada término del segundo; cuando hayamos terminado,
seguiremos con el segundo término del primer polinomio y haremos lo mismo;
continuaremos este procedimiento hasta el último elemento del primer polinomio.
De esta manera tendremos lo siguiente:
(3x2)(2x3) + (3x2)(-8x) + (3x2)(2) + ( – 7xy)(2x3) + ( – 7xy)(-8x) + ( – 7xy)(2)
= 6x5 – 24x3 + 6x2 -14x4y + 56x2y – 14xy como no hay términos semejantes el
resultado queda de esta forma; si hubiéramos tenido términos semejantes habrá
que reducirlos.
43
Ejercicios 4.5
a) Para realizar en clase
Sean P1 = 3x2y3 P2 = 3x + 2 P3 = 3x3 + 2y2 -3 P4 = 5x5 + 7x3y4 – 2y2 +3
Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios:
a) P1 x P1 b) P1 x P2 c) P1 x P4 d) P2 x P4 e) P3 x P4
b) Para realizar de tarea
Sean P1 = 723
7
3pmx ; P2 = mxy 22
7
1
5
3 ; P3 = 3x4y ; P4 = 323 32
3
1pyxpm
Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios:
a) P1 x P4 ; b) P1 x P3 ; c) P2 x P3 ; d) P4 x P1 x P3 ; e) P2 x P4
f) P1 x P2 ; g) P3 x P4 ; h) P1 x P2 X P4
44
4.6 Productos Notables
Existen ocasiones en que al multiplicar algunas expresiones algebraicas se
obtienen productos con algunas características notables. A este tipo de productos
los conocemos como productos notables. Si logramos distinguir este tipo de
expresiones, nos ayudará a ahorrar tiempo y esfuerzo cuando multipliquemos.
Caso 1. Producto de dos binomios conjugados
El conjugado de un binomio es el mismo binomio pero con el signo intermedio
cambiado; por ejemplo para 2x + 3y su conjugado será 2x – 3y.
Para llevar a cabo una multiplicación entre dos binomios conjugados existe la
siguiente regla: el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del
primero menos el cuadrado del segundo.
Ejemplos:
(2x + 3y) (2x – 3y) = 4y2 – 9y2 como anteriormente identificamos, tenemos el
producto de dos binomios conjugados; tomando a 2x como el primer término y 3y
como el segundo término aplicamos la regla. Para comprobar lo anterior,
podemos realizar la multiplicación de binomios de la manera en que lo hemos
hecho anteriormente:
(2x + 3y) (2x – 3y) = (2x)(2x)+(2x)(-3y)+(3y)(2x)+(3y)(-3y)
(2x + 3y) (2x – 3y) = 4x2 -6xy +6xy – 9y2 observa que los términos -6xy y 6xy se
anulan al reducir términos semejantes, por lo que nuestro resultado final es 4x2 –
9y2.
( 22 432323 bababa en este caso, nuestro primer término será 31/2a y
al elevarlo al cuadrado, el exponente de 3 se hace 1, pero el exponente de a si es
2.
Caso 2. Cuadrado de un binomio
El producto de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble producto
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Matemáticamente: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplos:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
45
2
222
2
2
3
2
3
2323
3
23
bbaaba Nota que al sustituir los términos
lo hacemos con todo y signo; deberás tener en cuenta las propiedades de
multiplicación de signos en este caso. Desarrollando las operaciones que
tenemos en la expresión anterior llegamos a lo siguiente:
42242
2
9
449
9
4
3
))()(2)(3)(2(9 babab
baa
Caso 3. Producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del
término común, más el producto del término común por la suma de los no
comunes, más el producto de los términos no comunes.
abbaxxbxax )())(( 2
Ejemplos:
( 3x+2 )( 3x + 4) Observamos que el término común entre los dos binomios es
3x y aplicando la regla tendremos:
81898)6(39)4)(2(4233 222 xxxxxx
)4)(3()43(4)4()44)(34( 22222 yyxxxyx
yxyxx 12161216 224 al no haber términos semejantes para reducir el
resultado puede quedar de esta forma.
Caso 4. El cubo de un binomio
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto
del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer
término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
32233
32233
33)(
33)(
yxyyxxyx
yxyyxxyx
Ejemplos:
32233
32233
6414410827)43(
)4()4)(3(3)4()3)(3()3(43
dcddccdc
ddcdccdc
46
32
233
222
132
2
13
2
12
2
1
rrrr
Nota que si usamos la forma mencionada en la regla, donde alternamos los
signos, los términos deberán ser tomados sin signo; por el contrario, si te cuesta
aprenderte dos formas, lo único que tendrás que hacer es tomar la primera forma
en donde todos los términos se suman y sustituir el segundo término con todo y
signo; el resultado no deberá variar; solo ten en cuenta las leyes de los signos.
47
Ejercicios 4.6
a) Para resolver en clase
Utiliza productos notables para llevar a cabo las siguientes multiplicaciones de
binomios.
1. (x+7)(x-7) 2. (y-4)2 3. (5b-3)3 4.
3
42
1
r
5.
4
3
14
3
1tsts 6. ))(( 3
1
53
1
5 txtx
b) Para resolver de tarea
1. 224 pt 2.
3
42
1
xt 3. 44 yxyx 4. tt 3223
5.
3
3
13
3
1yxyx
48
4.7 División de Polinomios
La división de dos polinomios puede llevarse a cabo bajo el mismo procedimiento
que seguimos en una división normal. A continuación se listan los pasos a cubrir
para esta operación.
1. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente de una de las letras
comunes a ambos polinomios, incluyendo los términos con coeficiente cero para
las potencias faltantes.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
con lo que se obtiene el primer término del cociente.
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
4. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres
hasta que el polinomio resultante sea 0 o contenga la letra con respecto a la cual
se hizo el procedimiento del punto 1, con un exponente menor que el que posee
dicha letra en el divisor.
5. Puede verificarse que el resultado sea correcto, multiplicando el cociente por
el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la división. El resultado
debe coincidir con el polinomio dividendo.
6. El resultado de la división será el polinomio obtenido en el cociente + el
residuo dividido entre el divisor.
49
Ejemplos:
Dividir (4+ 6x2 + x4 – 5x3 – 7x) (6 + x2 – 3x)
Lo primero que debemos hacer es ordenar los polinomios en forma decreciente,
luego del ordenamiento la expresión queda de la siguiente forma:
63
47562
324
xx
xxxx
Por último, expresamos el resultado de la división de la forma siguiente:
Cociente + (residuo / divisor) es decir: 63
401362
2
2
xx
xxx
50
Ejercicios 4.7
Para realizar en clase y de tarea
Efectúa las siguientes divisiones entre polinomios:
1. 22
432234
52
83691710
yxyx
yxyyxyxx
2.
ba
ba
33
3. a
aa
3
639 2
4. 2
1492
x
xx 5. )3(273 xx 6. 21532 234 xxxxx
7. 2/2354 23 xxxx 8. 22
3223
34
2828
yxyx
yxyyxx
9. 34232103 2534 xxxxxx 10. 22
432234
279
83852427
baba
babbabaa
51
V. FACTORIZACIÓN
Dependiendo de la expresión algebraica que tengamos podremos encontrar
diferentes formas en las podemos factorizar.
5.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un
término semejante.
Cuando todos los términos de un polinomio contienen un factor común, podemos
expresarlo como el producto de dos factores, donde uno de ellos es un monomio
en común.
Ejemplos:
Factorizar:
2m + 2p observamos que ambos términos contienen un elemento en común
que es el 2; por lo tanto, podemos “extraerlo” de cada término y colocarlo como un
producto de la siguiente forma:
2 (m + p) si al término 2m le quito 2 solo me quedará m y es lo que pongo dentro
del paréntesis; lo mismo ocurre con el término 2p.
8a2 – 32a3 – 24a podemos ver que los coeficientes de cada término los puedo
expresar en función de 8 así:
8a2 – 32a3 – 24a = 8(a)(a) – (8)(4)a2a – (8)(3)a de lo cual se ve que en cuanto al
coeficiente lo máximo que puedo sacar de término es un 8; de parte de las literales
lo máximo que puedo sacar es una a; por lo tanto, saco los términos comunes y
obtengo:
8a2 – 32a3 – 24a = 8a (a - 4a2 -3) puedes realizar a manera de comprobación la
multiplicación monomio – polinomio para que veas que es exactamente lo mismo.
Como el término dentro del paréntesis ya no puede factorizarse más, el resultado
puede quedar así.
5.2 Diferencia de cuadrados
Debemos recordar la multiplicación de dos binomios conjugados:
(x + y) (x – y) = x2 – y2 solo que en este caso el proceso es inverso, en lugar de
realizar el producto quiero dejar mi expresión como el producto de dos factores;
por ello, cuando observe una diferencia de cuadrados que no es más que el
resultado del producto de los binomios conjugados, podré regresar al producto de
52
éstos diciendo: (raíz del primero + raíz del segundo) (raíz del primero – raíz del
segundo)
Ejemplos:
Factorizar
25y2 – 9 observo que tengo una diferencia de cuadrados, por lo tanto, todo lo
que está antes del signo (-) es mi primer término: 25y2 y lo que queda después del
signo será entonces mi segundo término: 9. Nota que no tomamos en cuenta el
signo en este caso. Aplicando la regla de diferencia de cuadrados tendremos la
factorización como sigue:
)35)(35(925925925 222 yyyyy
zm9
4
4
1 4 en este ejemplo puedo ver que en el segundo término z está elevado
a la 1 ¿podré factorizarlo entonces? La respuesta es sí, puedo factorizar de la
misma manera y quedaría de la siguiente forma:
zmzmzm
9
4
4
1
9
4
4
1
9
4
4
1 444 y aplicando las propiedades de los
radicales que nos permiten aplicar la raíz en cada término ya sea en productos o
divisiones tendremos:
2
1
22
1
2444
3
2
2
1
3
2
2
1
9
4
4
1
9
4
4
1
9
4
4
1zmzmzmzmzm en
este caso, como no puedo sacar la raíz de z la dejo expresada y puedo ponerlo
como radical o exponente fraccionario.
5.3 Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el producto de un binomio cuadrado perfecto;
podremos identificarlo si tiene la forma:
x2 + 2xy + y2
Para verificar si una expresión algebraica es un trinomio cuadrado perfecto
checamos los siguientes puntos:
53
Si el trinomio está ordenado en relación con una literal, su primero y último
términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta.
El segundo término es el doble del producto de las raíces de los términos
cuadráticos, en valor absoluto; es decir, sin importar el signo que le precede.
La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que
resulta al extraer raíz cuadrada a los término cuadráticos, escribiendo entre ellos
el signo del término no cuadrático.
Ejemplos:
Factorizar:
4x2 + 20xy + 25y2 para saber si se trata de un trinomio cuadrado perfecto
checamos las dos condiciones dadas, podemos ver que se encuentra ordenado
respecto a la variable x; vemos también que tanto x2 y y2 son positivos y que sí
tienen raíz cuadrada perfecta; en el caso de 4x2 es 2x, para el término 25y2 su raíz
es 5y. Verificamos ahora que el segundo término sea el producto de las raíces
anteriores: 2(2x)(5y) = 20xy. Como cumplió las condiciones, concluimos que es un
trinomio cuadrado perfecto y procedemos a la factorización:
4x2 + 20xy + 25y2 = (2x + 5y)2 observa que entre las raíces de los términos
cuadráticos pusimos el signo + que pertenece al término 20xy.
y2 – 16y + 64 verificación: yy 2 luego 864 y yy 16)8)((2 por lo tanto sí
es un trinomio cuadrado perfecto y factorizando tenemos:
y2 – 16y + 64 = (y – 8)2 el signo menos es por el signo del término -16y.
5.4 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c.
5.4.1 Factorización prueba y error
Existen expresiones algebraicas de la forma x2 + bx + c que resultan de multiplicar
dos binomios de la forma (x + m)(x+n); por lo tanto, su factorización es el regreso
al producto de estos dos binomios. Para identificar estos casos debemos tener en
cuenta las siguientes características:
Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada del término x2.
54
Los términos no comúnes son aquellos que al sumarse dan como resultado el
valor del coeficiente del término bx; es decir, igual a “b” y cuyo producto es igual a
“c”. Es decir: mn = c y m + n = b.
Ejemplos:
Factorizar:
x2 + 3x -10 para factorizar, hacemos lo siguiente:
Primero buscamos todos los pares de números que multiplicados me den 10 y voy
viendo si algún par me da como suma o resta el 3; para simplificar esto puedo
hacer la siguiente tabla:
Factor 1 Factor 2 Suma Factores Resta F1-F2 Resta F2-F1
10 1 11 9 -9
5 2 7 3 -3
En la tabla puedo visualizar que los números que busco son 5 y 2, así que
procedo a colocarlos de la siguiente forma:
(x 5) (x 2) el signo a poner en cada uno de los términos dependerá del signo
del término medio, en este caso es positivo, por lo tanto, como deben restarse,
debo poner un + y un - el más irá en el 5 para que al restarse sea el que
predomine. Así la factorización queda: (x + 5)(x – 2).
x2 – 5x – 36 Buscando factores para 36:
Factor 1 Factor 2 Suma Factores Resta F1-F2 Resta F2-F1
18 2 20 16 -16
9 4 13 5 -5
6 6 12 0 0
12 3 15 9 -9
55
Por lo tanto, mis números buscados son 9 y 4; factorizando:
(x 9) (x 4) como en el término medio debo tener -5, decido que el – debe ir con
el número mayor, es decir 9. Así: (x - 9)(x + 4).
5.4.2 Factorización por fórmula cuadrática
En ocasiones es demasiado largo el proceso de búsqueda de factores en el
método anterior, como alternativa tenemos este otro método; que consiste en
encontrar las raíces (valores de x que sustituidos en la expresión harán que todo
el polinomio se haga 0) a través de la fórmula cuadrática; para ello, igualaremos el
trinomio a cero: x2 + bx + c =0 y aplicaremos la siguiente fórmula:
a
acbbx
2
42 nota que de esta expresión obtendremos dos valores para x,
debido al + que antecede al radical.
Una vez que encontremos los valores x1 = a y x2 = b, lo único que tendremos que
hacer es pasar las raíces a un mismo lado para dejarlos como factores; la
factorización completa será el producto de los factores encontrados.
Ejemplos:
Factorizar:
x2 + x - 6 primero, igualamos a 0 el polinomio para poder aplicar la fórmula
cuadrática: x2 + x - 6 = 0 si aplicamos fórmula cuadrática, a = 1 ; b = 1 y c= -6,
por lo tanto:
2
51
2
251
2
2411
)1)(2(
)6)(1(4)1(1 2
x el signo + es el que me
dará los dos valores para x; por lo tanto:
22
511
x y 3
2
512
x Solo tendremos que verificar que los dos
valores cumplan con la igualación a 0:
Para x1 = 2 : (2)2 + 2 -6 = 0 ; 0 = 0 Por lo tanto, el valor cumple
Para x2 = -3 : (-3)2 - 3 - 6 = 0 ; 0 = 0 Por lo tanto, el valor cumple
56
Así que solo resta transformar la raíz a factor de la siguiente manera:
Para x = 2 , paso el 2 a la izquierda y tendré el factor: x-2 = 0 el factor es la parte
izquierda.
Para x = -3, paso el -3 a la izquierda y tendré el factor x+3 = 0, el factor es la parte
izquierda.
Y la factorización queda entonces: (x – 2) (x + 3)
5.5 Factorización de suma y diferencia de cubos
Si tenemos expresiones de la forma:
x3 + y3 o bien x3 – y3
Las factorizaciones serán de la siguiente manera:
x3 + y3 = (x+y) (x2 – xy + y2)
x3 – y3 = (x-y) (x2 + xy + y2) Observa que en el primer binomio ponemos el signo
que existe entre los dos términos que están elevado al cubo; luego, en el siguiente
polinomio solamente invertimos dicho signo en el término de en medio; x y y son
las raíces cúbicas del primer y segundo término.
Ejemplos:
Factorizar completamente:
8x3 – 27y6 observamos que es una diferencia de cubos, por lo que:
xx 283 3 y 23 6 327 yy y sustituyendo en cada polinomio:
8x3 – 27y6 = 422222222 96432332232 yxyxyxyyxxyx
a3 + 64 tenemos que aa 3 3 y que 4643 factorizando llegamos a:
164464 23 aaaa
57
5.6 Factorización por división sintética
Hemos visto ya como factorizar expresiones de la forma ax2 + bx + c; sin embargo,
en ocasiones resulta necesario factorizar polinomios que no tienen esta forma,
sino algunas más complejas; para este tipo de situaciones la división sintética es
de gran ayuda.
Para realizar división sintética debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ordenar el polinomio respecto al exponente mayor, en forma decreciente.
2. Obtener todos los factores de los coeficientes extremos (coeficiente del término
mayor y del término independiente).
3. Luego, las posibles raíces serán cualquiera de esos factores o bien, la división
de cada factor entre todos los demás, lo mismo para cada factor.
4. Utilizar división sintética para probar las posibles raíces.
5. Cuando hayamos obtenido como residuo un 0 habremos encontrado una raíz
x = a; la forma de cambiar a factor es la misma que la utilizada en el método de la
fórmula cuadrática.
Ejemplos:
Factorizar:
3x3 + 6x2 – 12x – 24
Factores de 3: +3 y +1 Factores de 24: + 1, + 24, + 2, + 12, + 3, + 8, + 6, + 4
Posibles raíces: + 1, + 24, + 2, + 12, + 3, + 8, + 6 y + 4 o bien + 1/24, +1/2, + 1/3, +
1/4, + 1/6, …todos entre todos.
58
Para probar utilizamos división sintética:
Resolviendo el polinomio 3x2 + 12x + 12 tendremos lo siguiente:
3(x2+4x+4)=0 hacemos x2+4x+4 = 0 y observamos que este es un trinomio
cuadrado perfecto, por lo cual su factorización es: (x+2)2=0; podemos ver que
tenemos dos raíces iguales: x1=-2 y x2=-2.
De todo lo anterior tenemos que : x = 2 ; x = -2 y x = -2
Factorizando: (x-2)(3)(x+2)(x+2) observa que el 3 se debe a que al factorizar 3x2
+ 12x + 12 sacamos un 3 como factor común : 3(x2+4x+4).
Puedes hacer el producto de (x-2)(3)(x+2)(x+2) para comprobar la factorización.
59
Ejercicios 5.1
Factoriza completamente las siguientes expresiones.
a) Para realizar en clase
1. 2x2 + x – 3 2. 6x2 + 5x – 6 3. x3 – 2x2 – 5x + 6 4. x – y
5. 20ab2 – 15a3b 6. 25y3 – 15y2 -10y
b) Para realizar de tarea
1. z5 – 3z2 + ½ z 2. 15n2m3 – 60n3m2 – 35nm5 3. t2 - 81
1
4. 114
b 5. x6 – y6 6. t2 + 18t + 64 7. 9n2 + 48nm + 64m2
8. z3 + 125 9. 64t3 – 1 10. 8x6 – 216
11. x4 + x3 + 7x2 – x + 6 12. x4 + x3 – 13x2 – x + 12 13. 2x3 – 3x2 – 8x - 3
60
VI. ECUACIONES
Una ecuación es una expresión que nos indica que dos cantidades (como quiera
que se presenten) son iguales. Por ejemplo:
3x + 2 = 8 Puedes ver que una ecuación tiene dos partes, izquierda y derecha, en
medio tenemos el signo = esto es importante, pues la principal característica de
una igualdad o identidad como esta, requiere que lo que se encuentre del lado
izquierdo sea exactamente lo del lado derecho; no importa que tantas operaciones
se hagan de uno u otro lado, al final, los resultados deberán ser semejantes para
que se cumpla dicha igualdad.
Al conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen una igualdad, se le conoce
como raíces o conjunto solución.
Por ejemplo, en la ecuación 7y – 10 = 18 la raíz es y=4 por que si sustituimos este
valor en la ecuación tendremos que:
7(4) – 10 = 18
18 = 18
6.1 Resolución de ecuaciones con una incógnita.
Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma ax + b = 0 y es el caso más
sencillo que podemos encontrar; para resolverla lo único que debemos hacer es
dejar la literal “solita” de cualquier lado de la ecuación; para hacer esto debemos
tener en cuenta cada operación matemática y su contraria; leyes de signos, y
demás propiedades que ya has manejado anteriormente para cada operación.
Ten en cuenta también que lo que haces de un lado, lo haces del otro para no
afectar el equilibrio de la igualdad.
Ejemplos:
Resolver para x las siguientes igualdades:
6x + 9 = 27 queremos encontrar un valor específico de x que cumpla con la
igualdad; por lo tanto, habrá que despejar x:
Comenzamos en orden inverso a la jerarquía de las operaciones, primero
quitamos los términos que estén sumando o restando; luego los que estén
multiplicando o dividiendo y al final las potencias o raíces:
61
Como quiero quitar el 9 del lado izquierdo, deberé restarle 9 al lado izquierdo de la
ecuación; si lo hago del lado izquierdo, lo hago del lado derecho:
6x + 9 – 9 = 27 – 9 de esta forma: 6x = 18 y entonces quito el 6 que está
multiplicando, para hacerlo divido entre el mismo:
6
18
6
6
x de nuevo, lo que hago del lado izquierdo, lo hago del derecho y si divido
6/6 = 1 por ello: x = 3 y ese es el valor que cumplirá en la igualdad, veamos:
6(3) + 9 = 27 por lo tanto 27 = 27
Observa que es más rápido mover términos de un lado a otro si decimos “el
número que está sumando, pasa restando al lado contrario; si está restando, pasa
sumando; si está multiplicando pasa dividiendo, si está dividiendo pasa
multiplicando (recuerda que en el caso de la multiplicación o división el signo se
conserva).
3
222
3
7x el primer número a quitar del lado izquierdo es el 2, como está
restando pasa sumando:
3
28
3
72
3
22
3
7 xx luego, por la jerarquía de las operaciones puedo pasar
cualquier término primero, ya sea 7 o 3, entonces, como 3 está dividiendo pasa
multiplicando, recuerda, con su mismo signo:
287)3(3
287
xx y como 7 está multiplicando, pasa dividiendo, también con
su mismo signo, por lo tanto: 47
28 xx verificamos que el resultado sea
correcto sustituyendo dicho valor en la ecuación original:
3
22
3
22
3
222
3
28
3
222)4(
3
7
por lo tanto, si cumple.
62
3 837 x siguiendo el mismo procedimiento, primero quitaremos el 3 que se
encuentra a la derecha a fin de ir dejando solo el término que contiene x; como
está sumando pasa al lado contrario restando:
33 84837 xx por último quitamos el radical, recuerda que la operación
contraria de sacar raíz es obtener una potencia; para eliminar la raíz cúbica
debemos elevar al cubo de esta forma:
88
6486486484 3
33
3
13
xxxxx verificando el resultado
obtenido: 776437)8)(8(37 33 y si cumple.
63
Ejemplos 6.1
Encuentra el valor de x que cumpla con la igualdad.
a) Para resolver en clase
1. 523
x
2. -5 = 7 – 3x 3. 14 = -2 + 3
8x 4. 1129 x
4. 179 x 5. 4(x-3) – 8(x-6) = 7(x-6) + 34
b) Para resolver de tarea
1. 9(2x-6) – (x+3) = 4x – 18 2. x(x-15) – 3 = (x+6)(x-6) – 18x
3. (x+3)2 + 5 = (x+5) (x-5) + (4-x) 4. 10
531
7
134
xx
64
6.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o
más ecuaciones de la forma: ax + by = c. Su característica principal es que los
valores de x y y que sean solución a todo el sistema, tendrán que cumplir con las
igualdades marcadas en todas las ecuaciones que conforman el sistema.
6.2.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas podemos
emplear cualquier de los siguientes métodos:
1. Método de Eliminación (Suma y Resta de Ecuaciones)
2. Método de sustitución
3. Método de igualación
4. Método por determinantes o Regla de Cramer
1. Método de eliminación (suma y resta de ecuaciones)
Este método consiste en eliminar una de las incógnita (cualquiera que ésta sea)
de tal forma que nuestro sistema se reduzca a una sola ecuación con una
incógnita.
Ejemplos:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
37
84
yx
yx puedo comenzar numerando mis ecuaciones
)2(37
)1(84
ecyx
ecyx
Observa que ambas ecuaciones tienen y y –y así que si sumamos la ecuación 1 y
2 podremos eliminar una variable:
ec (1) + ec (2):
1111111011
37
84
xxyx
yx
yx
65
Y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación tendré que:
Sustituyendo x en ec(1):
4848)1(4 yyy
Verificando el cumplimiento de x y y en ambas ecuaciones tendré que:
En la ecuación (1): 4(1) - (-4) = 8 ; 4 + 4 = 8 ; 8 = 8 si cumple
En la ecuación (2): 7(1) + (-4) = 3 ; 7 – 4 = 3 ; 3 = 3 si cumple
)2(273
)1(742
ecyx
ecyx
cuando de restar o sumar directamente las ecuaciones no
se elimina ninguna variable, lo que puedo hacer es elegir que variable quiero
eliminar, y luego multiplicar cada ecuación por el coeficiente de la misma variable
en la otra ecuación; luego podré sumar o restar ambas ecuaciones y eliminar
alguna variable.
ec(1) x 3 + ec(2) x 2:
2
252522520
4146
21126
yyyx
yx
yx
Y sustituyendo y en la ec(1):
2
5757275027
2
2542
xxxx
66
2. Método de sustitución
Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la
otra ecuación para lograr una sola ecuación con una incógnita y poder despejar.
Veamos uno de los ejemplos anteriores resueltos por este método:
)2(37
)1(84
ecyx
ecyx
De la ec(1) despejo y: y = 4x – 8
Luego sustituyo en ec(2) y despejo x:
1111138473)84(7 xxxxxx
Sustituyo x en el despeje de y = 4x – 8
48)1(4 yy
Ejercicios 6.2
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) Para resolver en clase
1. 694
2856
yx
yx 2.
82
223
yx
yx 3.
72
43
yx
yx 4.
1843
532
yx
yx
5. 134
303
yx
yx
b) Para resolver de tarea
1. 162
1553
yx
yx 2.
219
587
yx
yx 3.
694
2856
yx
yx 4.
832
458
yx
yx
5. 92
62
yx
yx
67
6.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos
Las ecuaciones pueden servirnos para modelar problemas de la vida real; para
ello, debemos pasar la información que tenemos en lenguaje verbal y/o escrito, a
un lenguaje matemático a fin de poder encontrar una solución.
Para resolver problemas planteados en lenguaje verbal, será útil que tengas en
cuenta las siguientes recomendaciones:
1. Lee el problema con atención e identifica las incógnitas y las cantidades
conocidas.
2. Elige las letras que utilizarás para representar las incógnitas en tu problema.
3. Establece una ecuación que relacione los datos que tienes en tu problema.
4. Resuelve las ecuaciones obtenidas en el paso anterior para tus incógnitas.
5. Verifica la solución que obtuviste.
Ejemplos:
La edad de Gabriel es tres veces la de Carlos. Hace 5 años era cuatro veces la
edad del mismo. Hallar la edad de Gabriel.
Si designamos como C la edad de Carlos entonces tenemos:
La expresión para la edad de Gabriel actual es: 3C
La expresión que representa la edad de Carlos hace 5 años es: C – 5
La expresión que representa la edad de Gabriel hace 5 años es: 3C – 5
La expresión que representa la edad de ambos hace 5 años es:
3C – 5 = 4 ( C-5 ) resolviendo:
CCCCC 153420520453 por lo tanto, la edad de Carlos es de
15 años y para encontrar la edad de Gabriel:
añosCGabriel 45)15(33
Hallar 3 números consecutivos cuya suma sea 105:
Si denotamos al primer número de la serie como x, entonces el consecutivo será
x+1 y el tercero x+2; por lo tanto puedo plantear la siguiente relación:
68
343
102
31053
10533
10521
105)2()1(
x
x
x
xxx
xxx
En un juego de salón se vendieron 10000 boletos. El precio de los boletos en la
sección numerada fue de $40 y en la general fue de $15; si el ingreso total
obtenido fue de $310000. Determínese cuántos boletos se vendieron en la
sección numerada y cuántos en la general.
Como se aprecia, en este problema intervienen dos variables, la correspondiente
al número de boletos en la sección numerada (n) y la respectiva para el número de
boletos en la sección general (g).
Sabemos que en total fueron 10000 boletos vendidos, por lo tanto:
n + g = 10000
Y también sabemos el costo de cada boleto por sección y el total de ingreso
obtenido, así que:
n(40) + g(15) = 310000
Como puedes ver tenemos un sistema de ecuaciones:
)2(3100001540
)1(10000
ecgn
ecgn
Por lo tanto los tres números son: 34,
35 y 36; verificando:
34 + 35 + 36 = 105
105 = 105 y si cumple
69
Resolviendo tendremos:
De la ec(1) despejo n y sustituyo en ec(2):
boletosgg
g
g
gg
gg
gn
360025
90000
9000025
40000031000025
3100001540400000
31000015)10000(40
10000
Sustituyendo en el despeje de n:
boletosn
n
6400
360010000
Se vendieron 3600 boletos en la sección
general y 6400 boletos en la numerada.
Puedes verificar los resultados en cada una
de las ecuaciones para ver que si cumple
con lo establecido en el enunciado.
70
Ejercicios 6.3:
Resuelve los siguientes problemas planteados:
a) Para resolver en clase y para tarea
1. Ana es mayor que Carlos, pero hace 3 años tenía el triple de edad que él. Determina la
edad que tiene cada uno de ellos actualmente.
2. Gloria es dos veces mayor que Gina. Dentro de 15 años la suma de sus edades será
105 años. ¿Qué edad tienen actualmente?
3. Hallar tres números impares consecutivos tales que seis veces el mayor sea ocho
veces el menor disminuido en dieciocho unidades.
4. La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 15. Si se invierten sus
cifras el número que resulta es 27 unidades mayor que el original. Hallar el número
original.
5. Si 12 kilogramos de papas y 6 kilogramos de arroz cuestan $102.00, mientras que 9
kilogramos de papas y 13 kilogramos de arroz cuestan $153.00, ¿cuál es el precio por
kilogramo de cada producto?
6. Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El concepto de interés
por ambas inversiones totalizó $300.00. Si hubiera intercambiado sus inversiones el
ingreso habría totalizado $2940.00. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?
7. El municipio gasta $120000 en la compra de automóviles y camiones. Si el precio
unitario del camión es de $14000 y el del automóvil $9000. ¿Cuántos vehículos de cada
clase compraron si se adquirieron 10 vehículos?
8. Un avión avanza con una rapidez de 600 millas por hora con el viento a su favor y con
una rapidez de 560 millas por hora con el viento en contra. Calcula la rapidez del viento.
9. 8 litros de gasolina magna y 10 litros de gasolina Premium cuestan $82, mientras que 4
litros de gasolina magna y 7 litros de gasolina Premium cuestan $51 ¿cuál es el precio por
litro de cada tipo de gasolina?
10. Se mezcla una solución salina al 40% con otra similar al 80% para obtener 50 litros de
solución salina al 60%, ¿cuántos litros de cada una se deben mezclar?
71
6.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación de segundo grado, es llamada también cuadrática con una incógnita
y tiene la forma: ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.
Tenemos varios casos de estas formas:
ax2 + c = 0 ecuación cuadrática pura cuya solución está dada por a
cx
si el
radicando es negativo, la ecuación no tiene solución; si es positivo; la ecuación
tendrá dos soluciones.
ax2 + bx = 0 con a y b constantes y diferentes de cero se conoce como ecuación
cuadrática mixta cuya solución se obtiene de factorizar: x(ax+b) = 0 e igualar
cada término a 0 y encontrar las raíces (soluciones) de la ecuación.
La forma ax2+ bx + c = 0 será fácilmente resuelta por factorización de prueba y
error o bien por la fórmula cuadrática.
El conjunto de raíces de una ecuación cuadrática consta a lo sumo de dos raíces.
Ejemplos:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
x2 + 7x + 12 = 0 esta ecuación podemos resolverla por el método de prueba y
error o bien, por la fórmula cuadrática. Si tomamos la primera opción, tendremos
que encontrar 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados o restados 7.
Si optamos por la fórmula cuadrática el valor de a = 1, el de b = 7 y el de c = 12 y
habrá que sustituirlos en la fórmula cuadrática.
Por prueba y error vemos que los número buscados son 3 y 4 y la factorización
queda:
(x+3)(x+4) = 0 recordemos que para que la multiplicación de dos números nos dé
0 por lo menos uno de ellos tiene que valer 0; por lo tanto cada factor lo igualamos
a 0:
404
303
xx
y
xx
Por lo tanto, hemos encontrado las dos raíces de x.
72
x2 + 6x = 0 podemos observar que tenemos como factor común a x, por lo
tanto podemos factorizar de la forma:
x(x+6) = 0 al igual que en el ejemplo anterior, igualamos los factores a 0, de lo
cual llegamos a:
606
0
xx
y
x
2x2 – 98 = 0 como no podemos factorizar la expresión anterior lo que hacemos
es dejar sola a x, por lo tanto:
7
49
2
98
982
2
2
2
x
x
x
x
Ejercicios 6.4
Encuentre el valor de la literal en las siguientes ecuaciones:
a) Para resolver en clase y de tarea
1. 2x2 -14x = 0 2. x2 – 3x – 10 = 0 3. x2 + x – 20
4. x2 – 3x – 18 = 0 5. x2 + 3x – 4 = 0 6. x2 – 7x – 18 = 0
7. 2x2 – x – 21 = 0 8. x2 + 6x – 16 = 0 9. x2 – 8x – 20 =
10. -3x2 + 2x – 9 = 0 11. 5x2 – 12x + 3 = 0 12. 3x2 + 17x – 28 = 0
73
6.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos.
A continuación se incluyen una serie de problemas de planteo que involucran
ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos:
El producto de dos número enteros pares consecutivos es 360. Encuentra el
número mayor.
Si consideramos a x como el número menor, entonces el segundo número será
x+2 y:
20202
382
18182
382
2
382
2
14442
)1)(2(
)360)(1(4)2(2
03602
3602
360)2(
22
11
2
2
2
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
Verificando los valores: Para x1 = 18, el número mayor sería x+2 = 20 y: (18)(20) = 360 360 = 360 y si cumple Para x2 = -20, el número mayor sería x+2 = -18 y: (-18)(-20) = 360
360 = 360 también cumple
74
Ejercicios 6.5
Resuelve los siguientes problemas de planteo que involucran ecuaciones
cuadráticas:
Para resolver en clase y de tarea
1. El largo de un rectángulo mide 6 m más que su ancho. Si su área es de 280 m2
encuentra sus dimensiones.
2. José es 4 años mayor que Luis. Si el producto de los número que expresan sus
edades en años es 525 ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?
3. Jaime es 3 años más joven que Juan. Si el producto de los números que
expresan sus edades es 88 ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?
4. Don Gabriel es cuatro veces mayor que Héctor si el producto de los número que
expresan sus edades es 256 ¿Cuál es la edad de Héctor?
5. El Sr. Rodríguez es 5 años más viejo que la Sra. Rodríguez, si la suma de los
números que expresan los cuadrados de sus edades es 1525 ¿Qué edad tiene
cada uno?
6. El largo de un rectángulo dado mide 2m más que su ancho, si el área es de 120
m2 determina sus dimensiones.
75
ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES
UNIDAD y TEMA SEMANA SESIÓN
I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA
NUMÉRICA.
1.1 Algunas clasificaciones de los números 1 1
1.2 Representación de los números reales en la recta numérica
1 1
II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES.
2.1 Algunos aspectos a recordar 1 1
2.2 Simplificación de fracciones 1 2
2.3 Suma y Resta de fracciones 1 2 y 3
2.4 Multiplicación y División de fracciones
2.4.1 Multiplicación de fracciones 1 3
2.4.2 División de fracciones 1 4 y 5
III. POTENCIAS Y RADICALES
3.1 Potencias 2 6
3.2 Propiedades de los exponentes 2 6 y 7
3.3 Radicación 2 8
3.4 Exponente fraccionario 2 8
3.5 Propiedades de los radicales 2 9
3.6 Descomposición en factores dentro de un radical
2 9 y 10
3.7 Racionalización 3 11
IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS
4.1 Definiciones 3 12
4.2 Lenguaje algebraico 3 12
4.3 Términos semejantes 3 12
4.4 Suma y Resta de polinomios 3 13
4.5 Multiplicación de polinomios 3 13
4.6 Productos Notables 3 14 y 15
4.7 División de Polinomios 3 y 4 15 y 16
76
V. FACTORIZACIÓN
5.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un términos semejantes
4 17
5.2 Diferencia de cuadrados 4 17
5.3 Trinomio cuadrado perfecto 4 17
5.4 Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c
5.4.1 Factorización prueba y error 4 18
5.4.2 Factorización por fórmula cuadrática 4 18
5.5 Factorización de suma y diferencia de cubos 4 18
5.6 Factorización por División Sintética 4 19 y 20
VI. ECUACIONES
6.1 Resolución de ecuaciones con una incógnita 5 21
6.2 Sistemas de ecuaciones lineales
6.2.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
5 22 y 23
6.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos
5 23 y 24
6.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas 5 y 6 25 y 26
6.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos
6 27 y 28
Carretera Irapuato – Silao Km. 12.5
Irapuato, Gto., México
Tel (462) 60 67 900
www.itesi.edu.mx
