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CB02 Temas selectos de matemticas y fenmenos de transporte
Fenmenos de Trensporte I
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
1.3 Fluidos nonewtonianos
2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)
Clculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geomtricos sencillos. Velocidad media y mxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.
2.1 Balances de envolventes de cantidad de movimiento Condiciones lmite, estado estacionario.
2.2 Flujo de una pelcula descendente. Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas.
2.3 Flujo a travs de un tubo circular. Presin y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilndricas.
2.4 Flujo a travs de un anillo cilndrico. Condiciones lmite.
2.5 Flujo a travs de una rejilla vertical. Coordenadas cartesianas.
2.6 Pelcula descendente por el exterior de un tubo. Coordenadas cilndricas.
2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial del tubo interior. Coordenadas cilndricas.
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera slida. Coordenadas esfricas.
1. Propiedades de los fluidos
1.1 Tipos de flujo de fluidos
El experimento de Reynolds(1883) con agua fluyendo en una tubera transparente. Se inyecto un chorro de tinta negra en la direccin del flujo y se observan dos situaciones diferentes:
1. A velocidades del agua suficientemente bajas la tinta fluye en lneas rectas y paralelas.
2. A velocidades mayores la masa entera de agua se colorea. Las partculas hipotticas individuales del lquido, en lugar de fluir de manera ordenada y paralela al eje longitudinal de la tubera, fluyen de manera errtica causando el mezclado completo de la tinta y el agua.
El primer tipo de flujo se llama laminar o flujo de lneas de corriente. El movimiento se semeja a lminas de espesor infintesimal deslizndose en relacin a las capas de fluido adyacentes.
Fig. 1.1. Flujo laminar
El segundo tipo de flujo se llama flujo turbulento. El movimiento del fluido es irregular y es acompaado por fluctuaciones locales de la velocidad.
a) b)
Fig 1.2. Flujo turbulento
En a) se muestra la trayectoria errtica de la partcula durante un intervalo de tiempo.
En b) se muestra que la velocidad en un punto fijo del fluido,, flucta al azar alrededor de un valor promedio temporal:
Reynolds sugiri el parmetro como el criterio para predecir el tipo de flujo en tubos cilndricos.
donde
D: Dimetro de la tubera
EQ \o(V, ): Velocidad promedio del fluido
: Viscosidad cinemtica
El parmetro es adimensional y se le llama nmero de Reynolds, Re. El valor de Re al cual ocurre la transicin de laminar a turbulento es de 2100.
Fig. 1.3. Perfiles de velocidad en los
regmenes laminar y turbulento
En la figura se muestra la distribucin de velocidades para ambos regmenes de flujo. En ambos tipos de flujo la velocidad del fluido en la interfase fluidopared es cero. Para el flujo laminar el perfil de velocidades es parablico y para el flujo turbulento, la curva del perfil de velocidades en ms achatada en la parte media
1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos
Considrese un fluido contenido entre dos placas paralelas separadas una pequea distancia (Y)
t = 0tpequeo tgrande
Fig. 1.4. Flujo laminar de un fluido entre dos placas paralelas.
La placa superior se encuentra fija y la inferior se pone en movimiento al tiempo t = 0. Por experiencia se sabe que el fluido adyacente a las placas tendr la misma velocidad que las placas.
As pues, el fluido adyacente a la placa inferior se mueve con una velocidad V, en tanto que el adyacente a la placa superior tiene una velocidad nula.
A medida que pasa el tiempo el fluido gana movimiento y finalmente se alcanza un estado estacionario, en el cual, con el fn de mantener la placa en movimiento, se debe aplicar una fuerza constante F y dada por la siguiente expresin:
EQ \F( F , A ) = EQ \F( V , Y)
F: Fuerza de corte
F/A: Esfuerzo cortante
De forma ms general,
yx = ( EQ \F( dvx , dy)
Donde
yx es el esfuerzo de corte entre dos lminas delgadas de fluido
EQ \F( dvx , dy) es el gradiente de velocidad o velocidad de deformacin
es la viscosidad del fluido
Unidades de la viscosidad
En el sistema cgs
1 poise (P) = 1 dinas/cm2 = gm/cms
El centipoise, cP, es la unidad ms comn. Algunas viscosidades usuales son (a 20 oC):
Viscosidad
Aire
0.018 cP
Benceno
0.647 cP
Agua
1 cP
Glicerina
1070 cP
Otras unidades
1 cP = 2.42 lbm/hft
1 cP = 2.09 (105 lbfs/ft2
1 cP = 6.72 (104 lbm/fts
Ejemplo. En referencia a la fig 1.4 calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en kgf /m2, cuando la velocidad V de la lmina inferior, en la direccin positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las lminas, Y, 0.0003 m, y la viscosidad del fluido, , 0.7 cP.
Soln.:
Convertimos todos los datos a unidades de kgf -m-s
Como el perfil de velocidades es lineal,
Observar que el momentum (ganancia en velocidad o cantidad de movimiento) se transfiere en la direccin negativa del gradiente.
Esto tiene una correspondencia literal con los fenmenos de conductividad de calor y difusividad de especies qumicas:
qy = k EQ \F( T , y)
jAy = cDAB EQ \F( xA, y)
qyDensidad de flujo de calor
jAyDensidad de flujo de flujo molar de la especie A
yxDensidad de flujo de cantidad de movimiento
Notar que estas expresiones son de naturaleza emprica, y, salvo para el caso de gases ideales, no tienen un fundamento terico, las constantes de proporcionalidad (, k y DAB) deben obtenerse mediante mtodos experimentales.
Otra magnitud empleada en fenmenos de flujo es la viscosidad cinemtica, que se define:
= /
Unidades en el sistema cgs
1 stoke = 1 cm2/s
El centistoke es la unidad ms comn. El agua tiene una viscosidad cinemtica de 1 centistoke.
1.2 Fluidos nonewtonianos
De acuerdo a la ley de Newton de la viscosidad, la grfica del esfuerzo de corte contra el gradiente de velocidad debe ser una lnea recta que pasa por el origen.
Esto es verdadero para todos los gases y una gran parte de los lquidos no polimricos de una sola fase. A este tipo de fluidos se les conoce como newtonianos.
Sin embargo un gran nmero de fluidos no tienen ese comportamiento como se puede apreciar en la siguiente grfica.
Fig. 1.5 Curvas de esfuerzovelocidad
de deformacin para fluidos independientes
del tiempo. EQ \o(g,.) = dvx/dy
La reologa es una disciplina de la ciencia que estudia el comportamiento mecnico (flujo y deformacin) de gases, lquidos y slidos incluyendo a los gases y lquidos newtonianos en un extremo y los slidos hookianos por el otro
El comportamiento reolgico de la mayora de los fluidos en la figura se puede expresar de forma generalizada como
yx = EQ \F( dvx , dy)
donde ya no es constante y puede ser funcin del gradiente de velocidad o del esfuerzo.
De la figura vemos que
si disminuye al aumentar el gradiente tenemos un comportamiento pseudoplstico (catsup, suspensiones)
si aumenta al aumentar el gradiente tenemos un fluido dilatante (arenas movedizas, jaleas)
si es independiente de la velocidad de deformacin el comportamiento es newtoniano con = .
Los fluidos que requieren un esfuerzo de corte finito para iniciar el flujo se denominan plsticos de Bingham. Ejemplos de este tipo son la pasta de dientes y las suspensiones de polvo fino de carbn en agua.
Modelo
Ecuacin
Bingham
0
0
0
0
0
t
t
t
t
t
m
t
-
=
yx
x
yx
x
yx
si
dy
dv
si
dy
dv
Ostwaldde Waele
dy
dv
dy
dv
m
x
n
x
yx
1
-
-
=
t
Eyring
-
=
dy
dv
B
arcsenh
A
x
yx
1
t
Ellis
(
)
yx
yx
x
dy
dv
t
t
j
j
a
1
1
0
-
+
=
-
ReinerPhilippoff
yx
s
yx
x
dy
dv
t
t
t
m
m
m
+
-
+
=
-
2
0
1
1
Fluidos viscoelsticos
Este tipo de fluidos no se comportan como fluidos newtonianos generalizados, ya que sus propiedades dependen del tiempo. Exhiben recuperacin elstica despus de una deformacin, esto es, recuperan su conformacin original en contraste con los fluidos newtonianos generalizados, que no se recuperan.
Dentro de los fluidos viscoelsticos se encuentran:
Fluidos tixotrpicos. La viscosidad disminuye con el tiempo y se aproxima a un valor asinttico al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante.
Fluidos reopcticos. La viscosidad aumenta con el tiempo.
La siguiente tabla muestra ejemplos comunes de los diferentes tipos de fluidos.
Tabla 1.1. Ejemplos de fluidos comunes exhibiendo diversas caractersticas reolgicas.
Newtonianos
Nonewtonianos
Agua
Seudoplsticos
Plsticos
Tixotrpicos
Reopcticos
Dilatantes
Aceites minerales
Salsa catsup
Goma de mascar
Gel de slice
Bentonita
Arena movediza
Hidrocarburos
Tinta para impresin
Asbesto en aceite
La mayora de las pinturas
Yeso en agua
Mantequilla de cacahuate
Soluciones salinas acuosas
Pulpa de papel
Pegamento
Jaleas
Suspensiones ligeras de tintes
Melaza
Manteca
Jugos concentrados de frutas naturales
Asfaltos
1.3 Influencia de la presin y la temperatura sobre la viscosidad
Para los lquidos, la viscosidad depende mucho de la temperatura debido a que las fuerzas de cohesin desempean un papel dominante; vase la figura 1.9.
En muchos casos las curvas se aproximan con la ecuacin de Andrade: , donde A y B son constantes ajustables (T debe estar en unidades absolutas).
En el caso de un gas son los choques moleculares los que originan los esfuerzos internos, de modo que, al aumentar la temperatura y con ella la actividad molecular, la viscosidad aumenta. Esto se observa en la fig. 10.
Tarea. La viscosidad del agua a 20C es de 0.001 Ns/m2, y a 80C es de 0.000357 Ns/m2. Utilizando la ecuacin de Andrade estime la viscosidad del agua a 40C. Determine el porcentaje de error. Sugerencia: Utilice temperatura absoluta.
Cuando se carece de datos experimentales de viscosidad y no se dispone de tiempo para obtenerlos, sta se puede estimar por mtodos empricos usando otros datos de la sustancia en cuestin.
Un mtodo, que usa una correlacin basada en el anlisis de un gran nmero de datos experimentales de diferentes fluidos, se fundamenta en el principio de estados correspondientes.
La fig. 1.3-1 es una representacin de la viscosidad reducida, r = /c (que es la viscosidad a una cierta T y P, dividida por la viscosidad en el punto crtico), frente a la Tr y la Pr.
Se observa que la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un lquido disminuye al aumentar sta.
Si no se dispone de c, se puede estimar por dos mtodos:
a) conociendo el valor de a ciertas Tr y pr, de ser posible a las condiciones lo ms cercanas a las que se desean, c se calcula con c = /r.
b) conociendo slo los valores crticos de p-V-T, c se estima con
donde
c [=] micropoises
pc [=] atm
Tc [=] K
[=] mL/gmol
Ejm 1.3-1. Estimacin de la viscosidad a partir de las propiedades crticas.
Calcule la viscosidad del N2 a 50C y 854 atm, siendo M = 28.0 g/gmol, pc = 33.5 atm y Tc = 126.2 K.
Soln.:
189.1 micropoises = 189.1 10-6 g/(cms)
De la fig. 1.3-1 se lee
El valor estimado de la viscosidad es
g/(cms)
El valor experimental es 455 10-6 g/(cms)
Ejm 1.3-2. Efecto de la presin sobre la viscosidad de los gases.
La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3C es 180010-7 poise. Estime el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3C utilizando la fig.1.3-1
Soln.:
;
De la fig.:
Para la otra presin
De la fig.:
g/(cms)
El valor experimental es 5.8 10-4 g(cms)
Tarea. Prediga la viscosidad del oxgeno, nitrgeno y metano a presin atmosfrica y 20C. Use la ec. anterior (para estimar c) y la fig. 1.3-1. Exprese los resultados en cP.
Tarea. Estimar la viscosidad del N2 a 20C y 67 atm. Expresar el resultado en kgm/(ms).
2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)
Clculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geomtricos sencillos. Velocidad media y mxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.
Metodologa general
1. Anlisis del problema fsico
2. Modelo matemtico del problema
3. Solucin matemtica
4. Interpretacin fsica del resultado
Tipo de problemas
Flujo en estado estacionario
Geometras simples
Flujo newtoniano
Flujo unidimensional
2.1 Balances envolventes de cantidad de movimiento.
Condiciones lmite, estado estacionario.
Balance de cantidad de movimiento aplicado a una delgada capa de fluido (estado estacionario)
(2.1.1)
+ = 0
Cantidad de movimiento
Fuerzas:Fuerzas de presin (actuando sobre superficies)
Fuerzas de gravedad (actan sobre el volumen)
Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso:
Escribir el balance de cantidad de movimiento de acuerdo a la ec. (2.1.1) para una envoltura de espesor finito.
Se hace tender a cero el espesor y, empleando la nocin de derivada, se obtiene la ecuacin diferencial que describe la distribucin de densidad de flujo de cantidad de movimiento.
Se introduce la expresin newtoniana para la densidad de flujo de cantidad de movimiento y se obtiene una ecuacin diferencial para la distribucin de velocidad.
Se integran las ecuaciones para obtener los perfiles de esfuerzos y velocidad.
Se calculan las magnitudes de inters (velocidad promedio, esfuerzo en superficies lmite, etc.).
Condiciones lmite para la integracin de ecuaciones diferenciales de flujo:
a. En las interfases slidofluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie; es decir, se supone que el fluido est adherido a la pared slida con la que se halla en contacto
b. En las interfases lquidogas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento y por consiguiente el gradiente de velocidad en la fase lquida es cero.
c. En las interfases lquidolquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento, como la velocidad, son continuas a travs de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase
2.2 Flujo de una pelcula descendente.
Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas
Flujo de una pelcula que desciende por una superficie inclinada
Fig. 2.1. Flujo de una pelcula bajo la accin de la gravedad.
Capa de espesor x sobre la que se aplica el balance de cantidad
de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.
Aplicacin
Torres de pared mojada
Evaporacin de pelcula delgada
Absorcin de gases
Aplicacin de capas de pintura
Se hace el balance de cantidad de movimiento en una lmina de ancho W, Longitud L y espesor x:
Note que las direcciones de entrada y salida se toman en las direcciones positivas de los ejes x y z.
Sustituyendo los trminos en la ecuacin del balance (2.1.1),
(LW)xzx (LW)xzx + x + (Wxv eq \O(z,2))z = 0
(Wxv eq \O(z,2))z = L + LWx)(g cos ) = 0
ya que vz vale lo mismo para z = 0 que para z = L, los trminos 3 y 4 se anulan y la ecuacin queda,
(LW)xzx (LW)xzx + x + (LWx)(g cos ) = 0
dividiendo entre LWx, cambiando de signo, y tomando el lmite cuando x tiende a cero.
eq \O(lm,Dx 0) EQ \F(txzx + Dx txzx, Dx) = g cos
esto es,
EQ \F( d , dx) xz = g cos
Ec. diferencial para la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
Integrando la ecuacin se obtiene
xzgx cos c1
La constante de integracin se evala con la C.L. correspondiente a la interfase lquidogas:
C.L. 1:x = 0xz
Sustituyendo en (3) se obtiene c1 = 0. Por lo tanto la distribucin de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es
xzgx cos
Ya que el fluido es newtoniano, la densidad de flujo de cantidad de movimiento se relaciona con el gradiente de velocidad mediante
xz = EQ \F( dvz , dx)
Sustituyendo en la ecuacin (2.2.2),
EQ \F( dvz , dx) = EQ \F(rg cos b, m) x(2.2.3)
Ec. diferencial para la
distribucin de velocidad
que puede integrarse para obtener
vz = EQ \F(rg cos b, 2m ) x2 + c2
La constante de integracin se evala con la condicin lmite correspondiente a la interfase slidofluido
C.L. 2:x = vz = 0
De aqu se obtiene que c2 = EQ \F(rg cos b, 2m ) 2
Por consiguiente, la distribucin de velocidad es
vz = EQ \F(rgd 2 cos b, 2m ) [1 (x/)2 ](2.2.4)
Perfil parablico de velocidades
Ya que se tiene la distribucin de velocidad se pueden calcular las siguientes cantidades,
i) La velocidad mxima, vz,mx
ii) La velocidad media < vz>
iii) El flujo volumtrico Q
iv) El espesor de la pelcula en funcin de la
velocidad media
v) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la
superficie
i) La velocidad mxima, vz,mx
Por el perfil parablico, es evidente que la velocidad mxima ocurre en x = 0; por tanto
vz,mx = EQ \F(rgd 2 cos b, 2m )
ii) La velocidad media < vz>
Se calcula sumando todas las velocidades en una seccin transversal y dividiendo por el rea de dicha seccin:
< vz> = , 0, W )EQ \o(, 0, d ) EQ \F(vz dx dy, EQ \o(, 0, W )EQ \o(, 0, d )dx dy )
= EQ \F( 1 , d ) EQ \o(, 0, d )vz dx
Sustituyendo vz,
< vz> = EQ \F( 1 , d ) EQ \F(rgd 2 cos b, 2m ) EQ \o(, 0, d )[1 (x/)2]dx
pasando 1/ al trmino integral y definiendo la nueva variable de integracin como x/:
< vz> = EQ \F(rgd 2 cos b, 2m ) EQ \o(, 0, 1 )[1 (x/)2]d( EQ \F( x , d ) )(2.2.5)
La integral produce
EQ \o(, 0, 1 )[1 (x/)2]d( EQ \F( x , d ) ) = EQ \o(, 0, 1 )d( EQ \F( x , d ) ) EQ \o(, 0, 1 )(x/)2d( EQ \F( x , d ) )
= EQ \F( x , d ) EQ \o(], 0, 1 ) EQ \F( (x/d)3 , 3 ) EQ \o(], 0, 1 ) = 1 1/3
= 2/3
sustituyendo en ec. 2.2.5
< vz> = EQ \F(rgd 2 cos b, 3m )
iii) El flujo volumtrico Q
Se puede calcular a partir de la velocidad media:
Q = W
Q = EQ \F(Wrgd 3 cos b, 3m ) (2.2.6)
iv) El espesor de la pelcula en funcin de la velocidad media.
De la expresin de la velocidad media
=m < vz> , rg cos b ) EQ \r()
v) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
Se obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluidoslido.
Fz = EQ \o(, 0, L )EQ \o(, 0, W )xzx = dy dz
De la ecuacin del perfil de esfuerzos, ec 2.2.2
= EQ \o(, 0, L )EQ \o(, 0, W )gx cos x = dy dz
= EQ \o(, 0, L )EQ \o(, 0, W )g cos dy dz
= g cos EQ \o(, 0, L )EQ \o(, 0, W )dy dz
= LWg cos
Esta cantidad es la componente en z del peso de todo el fluido contenido en la pelcula.
Experimentalmente se ha encontrado que para paredes verticales se tienen los siguientes regmenes de flujo.
Flujo laminar sin ondulacionesRe < 4 a 25
Flujo laminar con ondulaciones4 a 25 < Re < 1000 a 2000
Flujo turbulentoRe > 1000 a 2000
Donde Re = 4/
2.3 Flujo a travs de un tubo circular
Presin y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilndricas
Flujo de fluidos en tuberas. Problema muy comn en las reas:
Ingeniera
Fsica
Qumica
Biologa
Se desea conocer el perfil de esfuerzos y velocidades, el flujo, cada de presin y esfuerzo en la interfase slidofluido.
El flujo laminar se puede analizar mediante el balance de cantidad de movimiento, ec. (2.1.1). Para este problema es ms conveniente emplear coordenadas cilndricas.
Considrese el arreglo siguiente:
Fig 2.2. Elemento cilndrico de un fluido sobre el cual
se aplica el balance de cantidad de movimiento.
Bases del anlisis
Estado estacionario
Flujo laminar
No existen efectos finales
Operacin isotrmica (densidad y viscosidad constantes)
Eligiendo una envoltura cilndrica de espesor r y longitud L, los trminos del balance de cantidad de movimiento son
Las direcciones de entrada y salida deben tomarse siempre en la direccin positiva de los ejes.
Sustituyendo en el balance de cantidad de movimiento
(2rL)rzr (2rL)rzr + r + (2rrv eq \O(z,2))z = 0 (2rrv eq \O(z,2))z = L + (2rrL)g + (2rr)p0 (2rr)pL = 0
Ya que el fluido es incompresible vz no cambia con z, los trminos 3 y 4 se anulan entre s.
(2rL)rzr (2rL)rzr + r + (2rrL)g +(2rr)p0
(2rr)pL = 0
Dividiendo entre 2Lr:
EQ \F(rrzr rrzr + r , Dr) + gr +(r/L)p0 (r/L)pL = 0
EQ \F(rrzr + Dr rrzr , Dr) = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) r
Tomando lmites
eq \O(lm,Dr 0) EQ \F(rrzr + Dr rrzr , Dr) = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) r
EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) r
Rearreglando los trminos de presin
EQ \F( d , dr) rrz = [ EQ \F( (p0 + rgL) (pL + 0) , L ) ] r = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) r
EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F(P 0 P L, L ) ) r
Ec. diferencial de densidad de flujo
de cantidad de movimiento
donde P = p + gh (Efecto combinado de presin esttica y
oP = p gz fuerza de gravitacin). h debe ser medida
"hacia arriba" desde un plano cualquiera
que se toma como referencia. En este
caso z = L
Resolviendo la ec. diferencial
d(rrz) = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) rdr
rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) EQ \F( r2 , 2 ) + c1
rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + EQ \F( c1 , r )
Notar que c1 debe ser cero ya que el esfuerzo sera infinito cuando r sea cero. Entonces,
rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r
Distribucin de la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
Para obtener el perfil de velocidad sustituimos la ley de Newton de la viscosidad,
rz = EQ \F(dvz, dr) = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r
EQ \F(dvz, dr) = ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) r
Ec. diferencial para la velocidad
Integrando,
vz = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) r2 + c2
Para evaluar la constante se emplea la condicin lmite de que la velocidad en la interfase es cero,
C.L.vz = 0en r = R
sustituyendo en la expresin de vz,
c2 = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) R2
Por lo tanto
vz = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) R2 ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) r2
= ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) )(R2 r2)
vz = EQ \F( (P0 PL )R2, 4m L ) [1 (r/R)2]
Perfil de velocidades para el
flujo en tubos cilndricos
Fig. 2.3. Distribuciones de velocidad y densidad de flujo de
cantidad de moviento para el flujo en tubos cilndricos.
Se desean calcular las siguientes magnitudes
i) La velocidad mxima, vz,mx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumtrico Q
iv) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la
superficie mojada de la tubera
Solucin:
i) La velocidad mxima, vz,mx
Esta tiene lugar para r = 0, esto es,
vz,mx = EQ \F( (P0 PL )R2, 4m L )
ii) La velocidad media < vz>
Se suman todas las velocidades en una seccin transversal y se divide por el rea de dicha seccin
< vz > = , 0, 2p )EQ \o(, 0, R ) EQ \F(vz r dr dq, EQ \o(, 0, 2p )EQ \o(, 0, R ) r dr dq)
EQ \o(, 0, R )vz r dr = EQ \o(, 0, R ) EQ \F( (P0 PL )(R2 r2), 4m L ) r dr
= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R2EQ \o(, 0, R )rdr EQ \o(, 0, R )r3dr ]
= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R2( R2/2) (R4/4)]
= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R4/4] = EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L )
Entonces,
EQ \o(, 0, 2p )EQ \o(, 0, R )vz r dr d EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L ) EQ \o(, 0, 2p )d
EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L )
Por otra parte
EQ \o(, 0, R ) r dr = R2/2
EQ \o(, 0, 2p )EQ \o(, 0, R )r dr d R2/2EQ \o(, 0, 2p )d = 2 (R2/2)
Por consiguiente la expresin para vz queda,
< vz > = P0 PL )R4, 16m L ) EQ \F(, R2/2)
< vz > = EQ \F((P0 PL )R2, 8m L)
Notar que < vz > = vz,mx / 2
iii) El flujo volumtrico Q
Es el producto del rea por la velocidad media, por lo tanto
Q = Aflujo< vz > = R2 EQ \F((P0 PL )R2, 8m L)
Q = EQ \F((P0 PL )R4, 8m L)
Ley de Hagen Poiseville
iv) El componentez de la fuerza Fz del fluido sobre la
superficie mojada de la tubera.
Es el esfuerzo evaluado en la interfase por el rea:
Fz = 2RL ( EQ \F(dvz, dr) )r = R
De la ec. diferencial para la velocidad:
EQ \F(dvz, dr) r = R = ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) R
La fuerza es entonces,
Fz = 2RL ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) R
Fz = R2 (P0 PL)
Este resultado indica que las fuerzas debidas a la presin y gravedad se equilibran exactamente con las fuerzas viscosas que tienden a oponerse al movimiento del fluido.
Experimentalmente se ha encontrado que para el flujo en tuberas, el flujo laminar se presenta para Re (= D < v > ) < 2 100
Resumen de suposiciones en el desarrollo de la Ley de HagenPoiseville
a) El flujo es laminar (Re < 2 100)
b) La densidad es constante
c) Estado estacionario
d) El fluido es newtoniano
e) Efectos finales despreciables
2.4 Flujo a travs de un anillo cilndrico. Condiciones lmite
Coordenadas cilndricas
condiciones lmite
estado estacionario
fluido newtoniano
Aplicaciones:
intercambiadores de calor de doble tubo
remetros (medicin de viscosidad)
Fig. 2.4 Flujo ascendente a travs de
dos tubos concntricos.
Se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilndrica, y se llega a la misma ecuacin diferencial que se obtuvo en el caso de un tubo cilndrico vertical
EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) r(2.4.1)
Esta ecuacin se integra directamente para dar
rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) EQ \F( r2 , 2 ) + c1
rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + EQ \F( c1 , r ) (2.4.2)
Evaluacin de c1:
Sabemos que la velocidad del fluido en las paredes que lo rodean es cero y por lo tanto su velocidad alcanz un mximo en algn punto intermedio, digamos r = R. Consecuentemente, la densidad de flujo de cantidad de movimiento (el esfuerzo) fu cero en ese punto:
rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) R + EQ \F( c1 , lR ) = 0
de aqu, c1 = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) (R)2
Entonces la ec. 2.4.2 queda:
rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + ( P0 PL, 2L ) EQ \F( () (lR)2, r )
= EQ \F( P0 PL, 2L ) (r EQ \F( l2R2, r ) )
rz = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )(2.4.3)
Sustituyendo la expresin de Newton de la viscosidad,
EQ \F( dvz , dr) = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )
EQ \F( dvz , dr) = EQ \F( (P0 PL)R,2m L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )(2.4.4)
Ec. diferencial para la distribucin
de velocidades
Integrando (2.4.4)
vz = EQ \F( (P0 PL)R,2m L ) ( EQ \F( r2, 2R ) 2Rln r + c2)
nos interesa que nuestra variable independiente sea r/R por lo que
multiplicamos y dividimos por R
vz = EQ \F( (P0 PL)R2,2m L ) ( EQ \F( r2, 2R2 ) 2ln r + c2')
= EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) ( EQ \F( r2 , R2 ) 22ln r + c2")
sumando y restando 2 ln R,
vz = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ ( EQ \F( r , R ) )2 22ln (r/R) + c2"'](2.4.5)
Ahora se evaluarn las constantes de integracin y c2"' con las siguientes condiciones lmite
C.L. 1:para r = ( Rvz = 0
C.L. 2:para r = Rvz = 0
Sustituyendo ambas condiciones en la ec. (2.4.5)
0 = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ ( 2 22ln (() + c2"']
0 = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ 1 + c2"']
de la ltima ecuacin, se ve que c2"' = 1. Sustituyendo en la primera:
0 = ( 2 22ln (() 1
de aqu,
0 = ( 2 + 22ln (1/() 1
22 = EQ \F( 1 ( 2,ln (1/()) (2.4.6)
Sustituyendo estos valores en las ecs. de esfuerzos y velocidad, ec. 2.4.3 y 2.4.5:
rz = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [ EQ \F( r, R ) EQ \F( (1 ( 2),2 ln (1/()) EQ \F( R, r ) ](2.4.7)
vz = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ 1 ( EQ \F( r , R ) )2 + EQ \F( (1 ( 2),ln (1/()) ln (r/R) ]
(2.4.8)
Observar que cuando ( se hace cero estas ecuaciones se transforman en las correspondientes al tubo cilndrico.
Ya que se tienen los perfiles de esfuerzos y velocidades, se desean obtener las siguientes magnitudes:
i) La velocidad mxima, vz,mx
ii) La velocidad media < vz >
iii) El flujo volumtrico Q
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el slido.
i) La velocidad mxima, vz,mx
vz,mx = vzr = R = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ 1 2 + EQ \F( (1 k2),ln (1/k)) ln () ]
de la ec. 2.4.6
2 = EQ \F( 1 ,2) EQ \F( 1 k 2,ln (1/k))
y tambin
ln = EQ \F( 1 ,2) ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k))
sustituyendo en la expresin para vz,mx
vz,mx = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ 1 EQ \F( 1 ,2) EQ \F( 1 k 2,ln (1/k)) + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \F( 1 ,2) ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) ]
= EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) {1 EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) [1 ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) ]}
ii) La velocidad media < vz >
< vz > = , 0, 2p )EQ \o(, kR, R ) EQ \F(vz r dr dq, EQ \o(, 0, 2p )EQ \o(, kR, R ) r dr dq)
Evaluamos primero la integral
EQ \o(, kR, R )vz r dr = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) EQ \o(, kR, R )[1 ( EQ \F( r , R ) )2 + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) ln (r/R) ]r dr
= A{ EQ \F( 1 , 2 ) r2 EQ \o(, kR, R ) EQ \F( 1 , 4R2 ) r4EQ \o(, kR, R )+ EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr}
= A{ EQ \F( 1 , 2 ) R2(1 2) EQ \F( 1 , 4 ) R2(1 4) + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr }
factorizando A EQ \F( 1 , 4 ) R2(1 2) = B
EQ \o(, kR, R )vz r dr = B[ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 4 , R2 ln 1/k) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr](2.4.9)
Evaluando por partes la integral
EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr = [ EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \o(, , ) EQ \F( r2 , 2 ) EQ \F( 1 , r ) dr] EQ \o(, kR, R )
u = ln r/R ;dv = r dr
du = EQ \F( R , r ) ( EQ \F( dr , R ) ) = EQ \F( 1 , r ) dr ; v = EQ \F( r2 , 2 )
EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr = ( EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \F( 1 , 2 ) EQ \o(, , )r dr) EQ \o(, kR, R )
= ( EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \F( 1 , 4 ) r2) EQ \o(, kR, R )
= EQ \F( r2 , 2 ) (ln r/R EQ \F( 1 , 2 ) ) EQ \o(, kR, R )
= EQ \F( R2 , 2 ) ( EQ \F( 1 , 2 ) ) EQ \F( k 2R2 , 2 ) (ln EQ \F( 1 , 2 ) )
= EQ \F( R2 , 2 ) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]
EQ \o(, kR, R )vz r dr =
= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 4 , R2 ln 1/k) EQ \F( R2 , 2 ) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]}
= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 2 , ln 1/k) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]}
= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [( EQ \F( 2 , ln 1/k) ln EQ \F( 2 , ln 1/k) EQ \F( 1 , 2 ) )]}
= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [ EQ \F( 2 , ln 1/k) ln 1/ EQ \F( 1 , ln 1/k) ]}
= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [2 EQ \F( 1 , ln 1/k) ]}
= B[ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) + 22 + EQ \F( k 2 , ln 1/k) ]
= B(2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) + 22)
= B[ EQ \F( (2k 2 + 2)(1 k 2) (1 k 4) , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
= B[ EQ \F( 2k 2 2k 4 + 2 2k 2 1 + k 4, 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
= B[ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
Por otra parte,
EQ \o(, kR, R )r dr = EQ \F( r2 , 2 ) EQ \o(, kR, R ) = EQ \F( R2 , 2 ) (1 2)
Sustituyendo en ec. para y considerando que la velocidad no es funcin de :
= B[ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
sustituyendo B = A EQ \F( 1 , 4 ) R2 (1 2)
= EQ \F(A R2(1 k 2) , EQ \F( R2 , 2 ) (1 k 2) ) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
= EQ \F( A , 2 ) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
Sustituyendo el valor de A
= EQ \F( (P0 PL)R2,8m L) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]
iii) El flujo volumtrico Q
El rea de flujo est dada por
A = R2 (R)2 = R2 (1 2)
El flujo es entonces
Q = A =R2 (1 2)
= EQ \F( p(P0 PL)R4,8m L ) [ 1 4 EQ \F( (1 k 2 )2, ln 1/k) ]
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el slido.
Se obtiene sumando las fuerzas que actan sobre los cilindros exterior e interior:
Fz = rzr = R 2RL+ rzr = R2RL
= EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [ EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) EQ \F(1, k ) ] 2RL +
EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [1 EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) ] 2RL
= R2(P0 PL)( 2 + EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) + 1 EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) )
= R2(P0 PL)(1 2)
Tarea
2.5 Flujo laminar en una rejilla estrecha.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por dos paredes planas separadas por una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento (momentum) y de velocidad.
xz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) x
vz = EQ \F( (P0 PL )B2, 2m L ) [1 (x/B)2]
En las que P = p + gh = p gz.
Cul es la relacin de la velocidad media a la mxima en la rendija? Obtener la ecuacin de flujo para la rendija (equivalente a la ley de HagenPoiseville).
Respuesta:
= EQ \F( 2 , 3) vz, mx; Q = EQ \F( 2 , 3) EQ \F( (P0 PL)WB3,m L )
Fig. 2.5. Flujo a travs de una rendija.
2.6 Flujo laminar en una pelcula que desciende por el exterior de un tubo cilndrico.
En una experiencia de absorcin de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeo tubo circular, para descender despus por la parte exterior del mismo (Vase figura).
Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de pelcula de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsrvese que las flechas de entrada de cantidad de movimiento y salida de cantidad de movimiento se toman siempre en la direccin r positiva, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la direccin r negativa.
a. Demostrar que la distribucin de velocidad en la pelcula descendente (despreciando los efectos finales) es
vz = EQ \F(rgR2, 4m) [1 ( EQ \F( r , R ) )2+ 2a2 ln( EQ \F( r , R ) ) ]
b. Obtener una expresin de la velocidad volumtrica de flujo en la pelcula.
Fig. 2.6. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de
movimiento para una pelcula que desciende por el exterior
de un tubo cilndrico.
2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial del tubo interior.
Considere el sistema de la figura. La varilla cilndrica se mueve con velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribucin de velocidad en el estado estacionario y la velocidad volumtrica de flujo. Este tipo de problemas se presenta en el recubrimiento de alambres con barniz.
Respuesta: EQ \F( vz , V ) = EQ \F( ln (r/R) , ln k ) ;Q = EQ \F( pR2V,2) ( EQ \F( 1 k 2, ln (1/k)) 22)
Fig 2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial
del cilindro interior.
2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera slida
Puesto que el problema de flujo alrededor de una esfera implica lneas de flujo curvas, no puede resolverse por las tcnicas que hemos visto en este captulo. Sin embargo, lo trataremos brevemente sin deducir las expresiones pertinentes.
Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que asciende verticalmente hacia una esfera de radio R y dimetro D. El fluido tiene una viscosidad y una densidad y asciende a una velocidad uniforme v.
Analticamente se ha encontrado que para un flujo lento la distribucin de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es
(2.8-1)
La distribucin de presin es
(2.8-2)
Y los componentes de la velocidad son
(2.8-3)
(2.8-4)
En (2.8-2) p0 es la presin el el plano z = 0 alejado de la esfera,
gz es la contribucin del peso del fluido (efecto hidrosttico),
Y el trmino que contiene v es la contribucin debida al flujo alrededor de la esfera.
Estas ecuaciones son vlidas para flujo reptante, es decir para . Cuando no hay remolinos aguas abajo de la esfera.
Observe que las ecuaciones satisfacen las condiciones lmite para
r = R y r = .
Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por el fluido sobre la esfera resulta en
(2.8-5)
{Fuerza de flotacin} {Resistencia de forma}
Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se obtiene
{Resistenca de friccin} (2.8-6)
Sumando las ecs. 2.8-5 y 2.8-6 se tiene
(2.8-7)
{Fuerza esttica} {Fuerza cintica}
La fuerza esttica (de flotacin o sedimentacin) se ejerce aunque el fluido est en reposo.
La fuerza cintica, que resulta del movimiento del fluido, es la conocida ley de Stokes.
Ley de Newton de la viscosidad
Ley de Fourier de la conduccin de calor
Ley de Fick de la difusividad
Plsticos: Goma, asbestos
Seudoplsticos: purs, pulpa de papel
Newtonianos: agua, aceite
Dilatantes: arenas, jaleas
Flujo newtoniano generalizado
Ley de Newton de la viscosidad
Balance de cantidad de movimiento
(unidimensionales)
Condiciones lmite
Perfiles de velocidad
Velocidad media
Flujo
Esfuerzo cortante en superficies
Estado estacionario:
Las condiciones en cada punto del sistema no cambian
con el tiempo.
Una fotografa en tiempo = t es igual a otra tomada a t + t
velocidad de entrada de cantidad de movimiento
velocidad de salida de cantidad de movimiento
suma de las fuerzas que actan sobre el sistema
por transporte de acuerdo a la expresin newtoniana
(transporte difusivo o molecular)
por movimiento global del fluido (convectivo)
(LW)xzx
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a travs de la superficie situada en x
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a travs de la superficie situada en x + x
(LW)xzx + x
Fuerza de gravedad que acta
sobre el fluido
(LWx)(g cos )
(Wxvz)(vz)z = L
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a travs de la superficie situada en z = 0
(Wxvz)(vz)z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a travs de la superficie situada en z = L
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento a travs de la superficie cilndrica situada en r
(2rL)rzr
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento a travs de la superficie cilndrica situada en r + r
(2rL)rzr + r
Velocidad de entrada de cantidad
de movimiento debida al flujo de
entrada a travs de la superficie situada en z = 0
(2rrvz)(vz)z = 0
Velocidad de salida de cantidad
de movimiento debida al flujo de
salida a travs de la superficie situada en z = L
(2rrvz)(vz)z = L
Fuerza de gravedad que acta
sobre el fluido
(2rrL)g
Fuerza de presin que acta
sobre la superficie anular situada en z = 0
(2rr)p0
Fuerza de presin que acta
sobre la superficie anular situada en z = L
(2rr)pL
Relaciona el flujo con las fuerzas que originan dicho flujo (fuerzas gravitacionales y de presin)
A
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