Casi Listo Para Enviar Robertocruz
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL
NUMERO DE LA TAREA: 1
NOMBRE DE LA TAREA: ORIGEN DEL TERMINO NUMEROS IMAGINARIOS
NOMEBRE DEL ALUMNO: CRUZ SANTIAGO JESUS ROBERTO
NOMBRE DEL DOCENTE: GERADO REYES FIGUEROA
MATERIA: ALGEBRA LINEAL
NUMERO DE CONTROL: 14500875
FECHA DE ENTREGA: 01 DE FEBRERO DEL 2015
TITULO: ORIGEN DEL TERMINO NUMERO IMAGINARIO
INTRODUCCION
Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.
En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a
cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números
imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:
Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por
la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3
Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la
unidad imaginaria, con la propiedad
,
Puesto entonces:
Que es un número real.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número
real y un número imaginario, de esta forma:
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Del mismo modo, partiendo de:
La finalidad de este tema es dar a conocer cómo es que podemos representar y manejar el uso correcto de números imaginarios para poder realizar operaciones que para la calculadora parecieran imposibles o erróneas.
OBJETIVO GENERAL
El objetivo general del curso es saber el uso de los números imaginarios ya que existen
ecuaciones las cuales no tienen soluciones con números reales por que no existen numero
reales que elevados al cuadrado den negativos Para solucionar problemas en los que
aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los
números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un
subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las
operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad
imaginaria.
Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1: i2=-1; i=-1
En este tema veremos cómo podremos manejar este tipo de números
DESARROLLO
En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a
cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números
imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:
Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por
la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3
Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por
imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia
real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que era una especie de anfibio
entre el ser y la nada.
En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo
escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica,
tradicionalmente denotada por i.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS
Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano
complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números
imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la
derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de
coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números
imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje
vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta
representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre
el origen. Una multiplicación por corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección
"positiva" (en el sentido anti horario), y la ecuación puede interpretarse diciendo
que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es
equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en
la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja
el hecho que es también una solución de la ecuación . En general, multiplicar
por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el
argumentó del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su
magnitud.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS
Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la
unidad imaginaria, con la propiedad
,
Puesto entonces:
Que es un número real.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número
real y un número imaginario, de esta forma:
Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Del mismo modo, partiendo de:
La raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número
imaginario, así por ejemplo:
Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números
complejos .
Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual
que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.5 Es decir, es justo
decir que , y que . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a
una simple demostración:
Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales,
supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que
cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto,
, entonces tenemos que , y obviamente .
Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual
evidentemente es falso.
Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos
por nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que
es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.
Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los
números imaginarios son completamente falsa.
CONCLUSION
Ahora ya sabemos cómo poder resolver cualquier ecuación o raíz cuadradas en los que
aparezcan números negativos haciendo uso de los números imaginarios