Carlos Alberto Ynoguti
Transcript of Carlos Alberto Ynoguti
1 / 53
Transformada z
Carlos Alberto Ynoguti
September 14, 2007
Definicao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
2 / 53
Introducao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
3 / 53
■ DFT fornece uma representacao no domınio da frequenciapara sinais e sistemas discretos
■ Por causa da condicao de convergencia, a DTFT de umasequencia pode nao existir, e desta forma nao podemos usaresta caracterizacao nestes casos
■ A transformada z e uma generalizacao da DTFT, que podeexistir para muitas sequencias para as quais nao existe aDTFT.
■ O uso das tecnicas da transformada z permite manipulacoesalgebricas simples
Definicao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
4 / 53
Para uma dada sequencia g[n], sua transformada z, G(z), edefinida como
G(z) = Z{g[n]} =∞
∑
n=−∞
g[n]z−n (1)
onde z = ℜ(z) + jℑ(z) e uma variavel complexa.
Relacao entre a DTFT e a transformada z
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
5 / 53
G(z) = Z{g[n]} =∞
∑
n=−∞
g[n]z−n
Se fizermos z = rejω, entao temos:
G(rejω) =
∞∑
n=−∞
g[n]r−ne−jωn (2)
que pode ser interpretada como a DTFT da sequenciamodificada {g[n]r−n}.
■ Para r = 1 (isto e, |z| = 1), a transformada z de g[n]reduz-se a sua DTFT (desde que exista).
■ O contorno |z| = 1 e um cırculo no plano z de raio unitario,e e chamado de cırculo unitario.
Regiao de convergencia
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
6 / 53
■ Para uma dada sequencia, o conjunto de valores R de z paraos quais sua transformada z converge e chamada de regiao
de convergencia (ROC: region of convergence).■ A serie da eq. (2) converge uniformemente se g[n]r−n for
absolutamente somavel, isto e:
∞∑
n=−∞
|g[n]r−n| < ∞ (3)
■ Em geral, a regiao de convergencia R de g[n] e uma regiaoanular no plano z:
Rg− < |z| < Rg+ (4)
onde 0 ≤ Rg− ≤ Rg+ ≤ ∞
Observacoes
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
7 / 53
■ A transformada z definida na equacao (1) e uma forma deuma serie de Laurent e e uma funcao analıtica em todos ospontos da ROC.
■ Isto implica que a transformada z e todas as suas derivadassao funcoes contınuas da variavel complexa z na ROC.
Exemplo 3.22
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
8 / 53
Seja x[n] = αnu[n]. Determine sua transformada z e sua regiaode convergencia.
Solucao:
X(z) =
∞∑
n=−∞
αnu[n]z−n =
∞∑
n=0
αnz−n
A serie acima converge para
X(z) =1
1 − αz−1, |αz−1| < 1
indicando que a ROC e a regiao anular |z| > |α|
Observacao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
9 / 53
Podemos obter a transformada z de u[n] se fizermos α = 1 noexemplo anterior. Neste caso:
U(z) =1
1 − z−1, |z−1| < 1
A ROC de U(z) e entao a regiao anelar |z| > 1.
Note que u[n] nao e absolutamente somavel, e portanto naopossui transformada de Fourier. Entretanto, possui transformadaz.
Exemplo 3.23
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
10 / 53
Encontre a transformada z da sequencia anti-causalx[n] = −αnu[−n − 1]
Solucao:
X(z) =
−1∑
n=−∞
αnz−n = −
∞∑
m=1
α−mzm
= −α−1z∞
∑
n=0
α−mzm =α−1z
1 − α−1z=
1
1 − αz−1, |α−1z| < 1
onde agora a ROC e a regiao anular |z| < |α|
Observacoes
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
11 / 53
■ Note dos exemplos anteriores que as transformadas z saoidenticas apesar das sequencias que as originaram seremmuito diferentes entre si. Desta forma, para associarmos umasequencia a sua transformada z de forma unıvoca, devemoslevar em conta tambem a sua regiao de convergencia.
■ A transformada de Fourier G(ejω) de uma sequencia g[n]converge uniformemente se e somente se a ROC datransformada z de g[n] incluir o cırculo unitario.
■ Por outro lado, a existencia da transformada de Fourier nemsempre implica a existencia da transformada z. Por exemplo,
hLP [n] =
{
1, 0 ≤ |ω| ≤ ωc
0, ωc < |ω| ≤ π
tem transformada de Fourier, mas nao tem transformada z.
Alguns pares de transformadas z
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
12 / 53
Sequencia transformada z ROC
δ[n] 1 ∀z
u[n]1
1 − z−1|z| > 1
αnu[n]1
1 − αz−1|z| > |α|
(rn cosω0n)u[n]1 − (r cos ω0)z
−1
1 − (2r cos ω0)z−1 + r2z−2|z| > r
(rn senω0n)u[n]1 − (r senω0)z
−1
1 − (2r cos ω0)z−1 + r2z−2|z| > r
Transformadas z racionais
Definicao
Transformadas z
racionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fısica
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
13 / 53
Sistemas LTI
Definicao
Transformadas z
racionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fısica
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
14 / 53
A transformada z de sistemas discretos LTI sao funcoes racionaisde z−1:
G(z) =P (z)
Q(z)=
p0 + p1z−1 + · · · + pM−1z
−(M−1) + pMz−M
d0 + d1z−1 + · · · + dN−1z−(N−1) + dNz−N
(5)onde o grau do polinomio no numerador P (z) e M , e o grau dopolinomio no denominador Q(z) e N .
Formas alternativas
Definicao
Transformadas z
racionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fısica
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
15 / 53
G(z) = z(N−M) p0zM + p1z
M−1 + · · · + pM−1z + pM
d0zN + d1zN−1 + · · · + dN−1z + dN
(6)
Esta equacao pode ser escrita de forma fatorada como:
G(z) =p0
d0
∏Ml=1(1 − ξlz
−1)∏M
l=1(1 − λlz−1)= z(N−M) p0
d0
∏Ml=1(z − ξl)
∏Ml=1(z − λl)
(7)
■ Em z = ξl, G(ξl) = 0 ⇒ z = ξl sao os zeros de G(z)
■ Em z = λl, G(λl) → ∞ ⇒ z = λl sao os polos de G(z)
Exemplo
Definicao
Transformadas z
racionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fısica
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
16 / 53
A transformada z de u[n] e dada por
U(z) =1
1 − z−1=
z
z − 1, |z| > 1
que tem um zero em z = 0 e um polo em z = 1.
Re z
Im z
cırculo unitariopolo em z = 1
zero em z = 0regiao de convergencia
Interpretacao fısica
Definicao
Transformadas z
racionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fısica
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
17 / 53
Seja G(z) =1 − 2.4z−1 + 2.88z−2
1 − 0.8z−1 + 0.64z−2
Vamos plotar o grafico de 20 log10 |G(z)| no plano complexo:Podemos ver grandes picos em z = 0.4 ± j0.6928 (polos) egrandes vales em z = 1.2 ± j1.2 (zeros).
Regiao de convergencia de uma
transformada z racional
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
18 / 53
Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
19 / 53
■ Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounıvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
■ Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocırculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no cırculo unitario.
■ Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
19 / 53
■ Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounıvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
■ Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocırculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no cırculo unitario.
■ Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
19 / 53
■ Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounıvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
■ Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocırculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no cırculo unitario.
■ Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
Posicao da ROC
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
20 / 53
A ROC de uma transformada z racional e limitada pelalocalizacao dos polos. Para entender isto, vamos examinar aROC de u[n], calculada anteriormente:
Re z
Im z
cırculo unitariopolo em z = 1
zero em z = 0regiao de convergencia
ROC (area sombreada): regiao do plano z fora do cırculocentrado na origem, indo desde o polo em z = 1 ate |z| = ∞.
Exemplo 3.24
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
21 / 53
Determine a ROC da transformada z de h[n] = (−0.6)nu[n]
SolucaoDo Exemplo 3.22, temos que:
H(z) =1
1 + 0.6z−1=
z
z + 0.6, |z| > 0.6
Re z
Im z
polo em z = −0.6
zero em z = 0
Exemplo 3.25
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
22 / 53
Seja g[n] uma sequencia finita , definida para −M ≤ n ≤ N ,onde M e N sao inteiros nao negativos e |g[n]| < ∞. Suatransformada z e dada por
G(z) =N
∑
n=−M
g[n]z−n =
∑N+Mn=0 g[n − M ]zN+M−n
zN(8)
Note da Equacao (8) que G(z) tem M polos em z = ∞ e Npolos em z = 0.
Desta forma, em geral, a transformada z de uma sequencia decomprimento finito converge em todo o plano z, excetopossivelmente em z = 0 e/ou em z = ∞.
Exemplo 3.26
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
23 / 53
Uma sequencia de lado direito u1[n] com amostras nao nulassomente para n ≥ 0 e algumas vezes chamada de uma sequenciacausal. Sua transformada z e dada por:
U1(z) =
∞∑
n=0
u1[n]z−n (9)
Pode-se mostrar que U1(z) converge na regiao exterior ao cırculo|z| = R1, incluindo o ponto z = ∞.
Por outro lado, uma sequencia de lado direito u2[n], comamostras nao nulas somente para n ≥ −M (M um inteiro naonegativo) tem transformada z, U2(z), com M polos em z = ∞,e portanto sua ROC e exterior ao cırculo |z| = R2, excluindo oponto z = ∞.
Exemplo 3.27
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
24 / 53
Uma sequencia de lado esquerdo v1[n] com amostras nao nulassomente para n ≤ 0 e geralmente chamada de uma sequenciaanti-causal. Sua transformada z e dada por:
V1(z) =0
∑
n=−∞
v1[n]z−n (10)
e converge na regiao interior ao cırculo |z| = R3, incluindo oponto z = 0.
Entretanto, uma sequencia de lado esquerdo v2[n], com amostrasnao nulas somente para n ≤ N (N um inteiro nao negativo) temtransformada z, V2(z), com N polos em z = 0. Como resultado,sua ROC e interior ao cırculo |z| = R4, excluindo o ponto z = 0.
Exemplo 3.27 (continuacao)
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
25 / 53
A transformada z de uma sequencia bilateral w[n] pode serexpressa como:
W (z) =∞∑
n=−∞
w[n]z−n =∞
∑
n=0
w[n]z−n +−1∑
n=−∞
w[n]z−n (11)
■ O primeiro termo e a transformada z de uma sequencia delado direito, que converge no exterior do cırculo |z| = R5.
■ O segundo termo e a transformada z de uma sequencia delado esquerdo, que converge no interior do cırculo |z| = R6.
■ Como resultado, se R5 < R6 a ROC e a regiaoR5 < |z| < R6. Porem, se R5 > R6, a transformada z destasequencia nao existe.
Exemplo 3.28
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
26 / 53
A sequencia bilateral definida por
x[n] = αn
onde α pode ser um numero real ou complexo, nao temtransformada z, independentemente do valor absoluto |α|, pois
U(z) =∞
∑
n=0
αnz−n +−1∑
n=−∞
αnz−n (12)
O primeiro termo da Equacao (12) converge para |z| > |α|,enquanto que o segundo termo converge para |z| < |α|, eportanto nao ha sobreposicao das ROCs.
Resumindo
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada z
27 / 53
Seja uma transformada z racional com polos em z = α e z = β.As ROCs possıveis sao:
ReReRe
ImImIm
ααα βββ 000
a) sequencia de b) sequencia bilateral c) sequencia delado direito lado esquerdo
Transformada z inversa
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
28 / 53
Expressao geral
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
29 / 53
Para z = rejω, G(z) e meramente a transformada de Fourier deg[n]r−n. Assim, a transformada inversa de Fourier destasequencia e:
g[n]r−n =1
2π
∫ π
−π
G(rejω)ejωndω (13)
Fazendo z = rejω, podemos reescrever a equacao acima como
g[n] =1
2πj
∮
C′
G(z)zn−1dz (14)
onde C ′ e um contorno de integracao anti-horario definido por|z| = r.
Forma alternativa de calculo
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
30 / 53
A integral de contorno permanece inalterada quandosubstituımos C ′ por qualquer contorno C que contenha aorigem. Assim, esta integral pode ser avaliada usando o teoremados resıduos de Cauchy:
g[n] =∑
[resıduos de G(z)zn−1 nos polos dentro de C] (15)
Vamos ver a seguir dois metodos simples para calcular atransformada z inversa.
Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
31 / 53
■ Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um cırculo.
■ Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
■ Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z−1.
Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
31 / 53
■ Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um cırculo.
■ Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
■ Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z−1.
Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
31 / 53
■ Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um cırculo.
■ Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
■ Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z−1.
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
32 / 53
Se o grau M do numerador P (z) e maior que o grau N dodenominador D(z) entao podemos dividir P (z) por D(z) ereescrever G(z) como
G(z) =M−N∑
l=0
ηlz−l +
P1(z)
D(z)(17)
onde o grau do polinomio P1(z) e menor que o de D(z). Afuncao racional P1(z)/D(z) e chamada uma fracao propria.
Exemplo 3.31
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
33 / 53
Considere a transformada z racional
2 + 0.8z−1 + 0.5z−2 + 0.3z−3
1 + 0.8z−1 + 0.2z−2
Desde que o grau do numerador e maior que o grau dodenominador, vamos dividir o numerador pelo denominador(usando divisao longa). Com isto, chegamos a:
−3.5 + 1.5z−1 +5.5 + 2.1z−1
1 + 0.8z−1 + 0.2z−2
Polos simples
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
34 / 53
Suponha que G(z) tenha N polos simples e distintos, localizadosemz = λk, 0 ≤ k ≤ N . Uma expansao em fracoes parciais deG(z) e entao da forma
G(z) =N
∑
l=1
ρl
1 − λlz−l(18)
onde as constantes ρl (resıduos) sao dadas por
ρl = (1 − λlz−1)G(z)
∣
∣
z=λl(19)
Cada termo de (19) mtem uma ROC definida por z > |λl| e,portanto, uma inversa da forma ρl(λl)
nu[n]. Assim, a inversa deG(z) e dada por
g[n] =N
∑
l=1
ρl(λl)nu[n] (20)
Observacao
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
35 / 53
Note que o procedimento acima, com pequenas modificacoes,pode ser usado para determinar a transformada z inversa de umasequencia nao causal com uma transformada z racional.
Exemplo 3.32
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
36 / 53
Seja a transformada z de uma sequencia h[n] causal dada por
H(z) =z(z + 2.0)
(z − 0.2)(z + 0.6)=
1 + 2.0z−1
(1 − 0.2z−1)(1 + 0.6z−1)(21)
Fazendo a expansao em fracoes parciais de H(z), temos:
H(z) =ρ1
1 − 0.2z−1+
ρ2
1 + 0.6z−1(22)
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
37 / 53
Usando (19), chegamos a:
ρ1 = (1 − 0.2z−1)H(z)∣
∣
z=0.2=
1 + 0.2z−1
1 + 0.6z−1
∣
∣
∣
∣
z=0.2
= 2.75
ρ2 = (1 + 0.6z−1)H(z)∣
∣
z=−0.6=
1 + 0.2z−1
1 − 0.2z−1
∣
∣
∣
∣
z=−0.6
= −1.75
Substituindo ρ1 e ρ2 em (22):
H(z) =2.75
1 − 0.2z−1−
1.75
1 + 0.6z−1
A transformada z inversa da expressao acima e dada entao por
h[n] = 2.75(0.2)nu[n] − 1.75(−0.6)nu[n]
Polos multiplos
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
38 / 53
Suponha que G(z) tem um polo em z = v de multiplicidade L, eos N − L polos restantes sejam simples e em z = λl,1 ≤ l ≤ N − L. A expansao de G(z) tem entao a forma:
G(z) =N−L∑
l=0
ηlz−l +
N−L∑
l=1
ρl
1 − λlz−1+
L∑
i=1
γi
(1 − vz−1)i(23)
onde as constantes γi sao calculadas a partir de:
γi =1
(L − i)!(−v)L−i
dL−i
d(z−1)L−i
[
(1 − vz−1)LG(z)]∣
∣
z=v, 1 ≤ i ≤ L
(24)e os resıduos ρl sao calculados usando (19) como anteriormente.
Metodo 2: divisao longa
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
39 / 53
■ Para sequencias causais, G(z) pode ser expandida em umaserie de potencias de z−1.
■ Na expansao, o coeficiente que multiplica z−n e entao an-esima amostra de g[n].
■ Para G(z) racional, uma forma conveniente de determinar aseerie de potencias e expressar o numerador e o denominadorem termos de polinomios em z−1, e entao obter a expansaopor divisao longa.
Exemplo 3.35
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
40 / 53
Calcule a transformada z inversa de
H(z) =1 + 2.0z−1
1 + 0.4z−1 − 0.12z−2
Fazendo a divisao longa do numerador pelo denominador, temos:
H(z) = 1.0 + 1.6z−1 − 0.52z−2 + 0.4z−3 − 0.224z−4 + · · ·
o que leva a
h[n] = {1.0↑
, 1.6, − 0.52, 0.4, − 0.224, . . . }, n ≥ 0
Propriedades da transformada z
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
41 / 53
Algumas propriedades uteis
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
42 / 53
Propriedade Sequencia transformada z ROC
g[n] G(z) Rg
h[n] H(z) Rh
conjugacao g∗[n] G∗(z∗) Rg
rev. temporal g[−n] G(1/z) 1/Rg
linearidade αg[n] + βh[n] αG(z) + βH(z) inclui Rg ∩Rh
desloc. tempo g[n − n0] zn0G(z) Rg, exceto talvez
z = 0 ou z = ∞mult. exp. αng[n] G(z/α) |α|Rg
dif. G(z) ng[n] −z dG(z)dz
Rg, exceto talvez
z = 0 ou z = ∞convolucao g[n] ∗ h[n] G(z)H(z) inclui Rg ∩Rh
modulacao g[n]h[n] 12πj
H
CG(v)H( z
v)v−1dv inclui RgRh
Relacao de Parseval
∞X
n=−∞
g[n]h∗[n] =1
2πj
I
C
G(v)H∗(1/v∗)v−1dv
Nota
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
43 / 53
■ Rg denota a regiao Rg− < |z| < Rg+
■ Rh denota a regiao Rh− < |z| < Rh+
■ 1/Rg denota a regiao 1/Rg+ < |z| < 1/Rg−
■ RgRh denota a regiao Rg−Rh− < |z| < Rg+Rh+
Exemplo 3.38
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
44 / 53
Ache a transformada z e a ROC de v[n] = αnu[n]− βnu[−n− 1]
Exemplo 3.38
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
44 / 53
Ache a transformada z e a ROC de v[n] = αnu[n]− βnu[−n− 1]
Solucao:
Denotando x1[n] = αnu[n] e x2[n] = −βnu[−n − 1]
X1(z) =1
1 − αz−1, |z| > |α|
X2(z) =1
1 − βz−1, |z| < |β|
Usando a propriedade de linearidade, chegamos a
V (z) = X1(z) + X2(z) =1
1 − αz−1+
1
1 − βz−1
ROC: se |β| > |α| entao a ROC sera a regiao anular|α| < z < |β|. Caso contrario, a transformada z nao existe.
Exemplo 3.39
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
45 / 53
Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(ω0n)u[n].
Exemplo 3.39
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
45 / 53
Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(ω0n)u[n].
Solucao:
Expressando x[n] como a soma de duas sequencias exponenciais,temos:
x[n] =1
2rnejω0nu[n] +
1
2rne−jω0nu[n]
Podemos reescrever a expressao acima como x[n] = v[n] + v∗[n],onde
v[n] =1
2αnu[n]
com α = rejω0 . A transformada z de v[n] e dada por
V (z) =1
2·
1
1 − αz−1=
1
2·
1
1 − rejω0z−1, |z| > |α| = r
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
46 / 53
e a transformada z de v∗[n] e V ∗(z∗):
V ∗(z∗) =1
2·
1
1 − α∗z−1=
1
2·
1
1 − re−jω0z−1, |z| > |α| = r
Usando a propriedade de linearidade da transformada z, obtemos:
X(z) = V (z) + V ∗(z∗) =1
2
(
1
1 − rejω0z−1+
1
1 − re−jω0z−1
)
=1 − r cos(ω0)z
−1
1 − 2r cos(ω0)z−1 + r2z−2, |z| > r
Exemplo 3.40
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
47 / 53
Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n + 1)αnu[n].
Exemplo 3.40
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
47 / 53
Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n + 1)αnu[n].
Solucao:
Seja x[n] = αnu[n]. Assim, podemos escrever
y[n] = nx[n] + x[n]
A transformada z de x[n] e dada por
X(z) =1
1 − αz−1, |z| > |α|
Usando a propriedade de diferenciacao, a transformada z denx[n] e:
−zdX(z)
dz=
αz−1
(1 − αz−1)2, |z| > |α|
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
48 / 53
Finalmente, usando a propriedade de linearidade, obtemos:
Y (z) =1
1 − αz−1+
αz−1
(1 − αz−1)2=
1
(1 − αz−1)2, |z| > |α|
Exemplo 3.41
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
49 / 53
Determine a transformada z inversa de
G(z) =z3
(
z − 12
) (
z + 13
)2 , |z| >1
2
Exemplo 3.41
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
49 / 53
Determine a transformada z inversa de
G(z) =z3
(
z − 12
) (
z + 13
)2 , |z| >1
2
Solucao:
Como a ROC e exterior ao cırculo de raio 1/2, a transformadainversa e uma sequencia de lado direito.
Fazendo a expansao em fracoes parciais de G(z), temos:
G(z) =0.36
1 − 12z−1
+0.24
1 + 13z−1
+0.4
(
1 + 13z−1
)2
Os dois primeiros termos tem transformada inversa dada por0.36(0.5)nu[n] e 0.24(−1/3)nu[n], respectivamente.
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
50 / 53
Para determinar a inversa do terceiro termo, observamos que atransformada z de n(−1/3)nu[n] e dada por
−zd
dz
(
1/
(
1 +1
3z−1
))
= −1
3z−1/
(
1 +1
3z−1
)2
Desta forma, a inversa de 1/(1 + (1/3)z−1)2 e dada por−3(n − 1)(−1/3)n−1u[n − 1]. Finalmente, a inversa de G(z) edada por:
g[n] =
[
0.24
(
−1
3
)n
+ 0.36
(
1
2
)n]
u[n]+
0.36(n − 1)
(
−1
3
)n
u[n − 1]
Transformada z da correlacao cruzada
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
51 / 53
Sejam duas sequencias g[n] e h[n], com transformadas z dadaspor G(z) e H(z), respectivamente.Suponha ainda que a ROC de G(z) e Rg e a ROC de H(z) e Rh.Podemos escrever a correlacao cruzada entre g[n] e h[n] como:
rgh[l] = g[n] ∗ h[−l]
Usando a proriedade de reversao temporal, notamos que atransformada z de h[−l] e H(z−1). Usando o teorema daconvolucao, temos:
Z{rgh[l]} = G(z)H(z−1)
com a ROC dada por pelo menos por Rg ∩Rh.
Energia de uma sequencia
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
52 / 53
Podemos usar a relacao de Parseval para calcular a energia deuma sequencia. Fazendo g[n] = h[n] na expressao da Tabela depropriedades, chegamos a:
∞∑
n=−∞
g2[n] =1
2πj
∮
C
G(z)G(z−1)z−1dz
onde C e um contorno fechado na ROC de G(z)G(z−1).
Observacoes
Definicao
Transformadas z
racionais
Regiao deconvergencia de umatransformada z
racional
Transformada z
inversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
53 / 53
■ Se a ROC de G(z) inclui o cırculo unitario, entao a ROC deG(z−1) tambem ira incluir o cırculo unitario.
■ Se uma sequencia e absolutamente somavel, ela temtransformada de Fourier, e portanto a ROC de suatransformada z inclui o cırculo unitario. Neste caso,podemos fazer z = ejω, o que faz com que possamossubstituir a integral circular pela expressao da transformadainversa de Fourier:
∞∑
n=−∞
|g[n]|2 =1
2π
∫ π
−π
|G(ejω)|2dω