Cardinalidad de Conjuntos de Funciones
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CardinalidadConjuntos de Funciones
Hans Muller Santa Cruz
http://hansmullersantacruz.blogspot.com
Carreras de Matematica
Universidad Mayor de San Simon
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 1/20
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Introducción
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Introducción
Intuitivamente:
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Introducción
Intuitivamente:
la Cardinalidad de un conjunto
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Introducción
Intuitivamente:
la Cardinalidad de un conjunto
se relaciona con el número de elementos del conjunto.
![Page 6: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/6.jpg)
Introducción
Intuitivamente:
la Cardinalidad de un conjunto
se relaciona con el número de elementos del conjunto.
El concepto es claro para conjuntos finitos,
![Page 7: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/7.jpg)
Introducción
Intuitivamente:
la Cardinalidad de un conjunto
se relaciona con el número de elementos del conjunto.
El concepto es claro para conjuntos finitos,
pero no lo es para conjuntos no finitos.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 2/20
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Introducción
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
![Page 10: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/10.jpg)
Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Y contar un conjunto A es encontrar
![Page 12: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/12.jpg)
Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Y contar un conjunto A es encontrar
un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y
una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Y contar un conjunto A es encontrar
un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y
una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.
De esta manera, se dice que A tiene n elementos o
su cardinal, card(A) = |A| = n
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 3/20
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto
B
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto
B
y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede
encontrar una inyección f : A → B
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto
B
y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede
encontrar una inyección f : A → B
A oo //
f
��
{1, 2, . . . , n}
��
B oo // {1, 2, . . . ,m}
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Introducción
Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:
Contar.
Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto
B
y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede
encontrar una inyección f : A → B
A oo //
f
��
{1, 2, . . . , n}
��
B oo // {1, 2, . . . ,m}
es decir, card(A) ≤ card(B).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 4/20
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Introducción
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Introducción
En esta exposición se abordará:
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Introducción
En esta exposición se abordará:
la cardinalidad de conjuntos de funciones
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Introducción
En esta exposición se abordará:
la cardinalidad de conjuntos de funciones
AB = {f : B → A} =∏
i∈B
A
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Introducción
En esta exposición se abordará:
la cardinalidad de conjuntos de funciones
AB = {f : B → A} =∏
i∈B
A
para A o B conjuntos no finitos.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 5/20
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Historia
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Historia
Georg Cantor
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Historia
Georg Cantor
(San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle,
6 de enero de 1918) fue un matemático ale-
mán, inventor con Dedekind y Frege de la teo-
ría de conjuntos, que es la base de las mate-
máticas modernas. Gracias a sus atrevidas in-
vestigaciones sobre los conjuntos infinitos fue
el primero capaz de formalizar la noción de in-
finito bajo la forma de los números transfinitos
(cardinales y ordinales).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 6/20
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Historia
Georg Cantor
En cuanto al estudio de los conjuntos infini-
tos, que fue considerado por su maestro Kro-
necker como una locura matemática, Cantor
descubrió que aquellos no tienen siempre el
mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por
ejemplo, el conjunto de los racionales es enu-
merable, es decir, del mismo tamaño que el
conjunto de los naturales, mientras que el de
los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios
infinitos, más grandes los unos que los otros.
Entre estos infinitos, los hay tan grandes que
no tienen correspondencia en el mundo real,
asimilado al espacio vectorial R3.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 7/20
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Historia
Georg Cantor
Su mente luchó contra varias paradojas de la
teoría de los conjuntos, que parecían invalidar
toda su teoría (tornarla inconsistente o contra-
dictoria en el sentido de que una cierta pro-
piedad podría ser a la vez cierta y falsa). Ade-
más, trató durante muchos años de probar la
hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que
es imposible, y que tiene que ser aceptada (o
rehusada) como axioma adicional de la teoría.
El constructivismo negará este axioma, entre
otras cosas, desarrollando toda una teoría ma-
temática alternativa a la matemática moderna.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 8/20
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Elementos Teóricos
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Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
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Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.
Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal
card(A) = card(B)
![Page 32: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/32.jpg)
Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.
Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal
card(A) = card(B)
A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B
inyectiva.
![Page 33: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/33.jpg)
Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.
Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal
card(A) = card(B)
A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B
inyectiva.
A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.
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Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.
Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal
card(A) = card(B)
A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B
inyectiva.
A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.
A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0
![Page 35: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/35.jpg)
Elementos Teóricos
Sean A y B conjuntos, se dice:
A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.
Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal
card(A) = card(B)
A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B
inyectiva.
A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.
A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0
A es a lo más enumerable si A es contable o A es
enumerable.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 9/20
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Elementos Teóricos
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Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos enumerables:
![Page 38: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/38.jpg)
Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos enumerables:
A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable
![Page 39: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/39.jpg)
Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos enumerables:
A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable
{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,
entonces∞⊔
n=1
An ∼ N
N ×N ∼ N y
n∏
k=1
N ∼ N, para n ∈ N.
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Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos enumerables:
A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable
{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,
entonces∞⊔
n=1
An ∼ N
N ×N ∼ N y
n∏
k=1
N ∼ N, para n ∈ N.
Pero, NN =∏
k∈N
N ∼ N 6∼ N
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 10/20
![Page 41: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/41.jpg)
Elementos Teóricos
Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:
![Page 42: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/42.jpg)
Elementos Teóricos
Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:
Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de
subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de
elección
f : I → A
i 7→ ai ∈ Ai.
Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo
admite un elemento maximal.
Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de
una relación de buen orden
![Page 43: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/43.jpg)
Elementos Teóricos
Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:
Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de
subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de
elección
f : I → A
i 7→ ai ∈ Ai.
Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo
admite un elemento maximal.
Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de
una relación de buen orden
Estos tres enunciados son las herramientas básicas para
construir la teoría de los números cardinales transfinitos
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 11/20
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Elementos Teóricos
Otras herramientas útiles:
![Page 45: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/45.jpg)
Elementos Teóricos
Otras herramientas útiles:
Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos
f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una
biyección entre A y B
![Page 46: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/46.jpg)
Elementos Teóricos
Otras herramientas útiles:
Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos
f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una
biyección entre A y B
Caracterización de conjuntos infinitos.- Son equivalentes las
siguientes condiciones para un conjunto infinito A:
N - A,
Para todo n ∈ N, A 6∼ {1, 2, . . . , n}
Existe A′ $ A, tal que A′ ∼ A.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 12/20
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Elementos Teóricos
![Page 48: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/48.jpg)
Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos infinitos:
![Page 49: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/49.jpg)
Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos infinitos:
A - B, entonces A ∪B ∼ B
![Page 50: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/50.jpg)
Elementos Teóricos
Se muestra para conjuntos infinitos:
A - B, entonces A ∪B ∼ B
{Ai}i∈A familia de conjuntos con Ai - A, entonces
⊔
i∈A
Ai - A
A×A ∼ A y
n∏
k=1
A ∼ A, para n ∈ N.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 13/20
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Cardinales de Conjuntos Potencia
![Page 52: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/52.jpg)
Cardinales de Conjuntos Potencia
Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}
![Page 53: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/53.jpg)
Cardinales de Conjuntos Potencia
Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}
Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una
biyección f : E → P(E)
![Page 54: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/54.jpg)
Cardinales de Conjuntos Potencia
Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}
Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una
biyección f : E → P(E)
Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:
x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).
![Page 55: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/55.jpg)
Cardinales de Conjuntos Potencia
Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}
Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una
biyección f : E → P(E)
Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:
x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).
Por construcción no existe x ∈ E, tal que f(x) = E′, lo que
contradice la hipóteis que f es biyectiva.
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 14/20
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Conjuntos de Funciones
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Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E
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Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E
Sea A ⊂ E, recordamos
χA(x) =
1 si x ∈ A
0 si x 6∈ A
la función característica del subconjunto A.
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Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E
Sea A ⊂ E, recordamos
χA(x) =
1 si x ∈ A
0 si x 6∈ A
la función característica del subconjunto A.
Deducimos que 2E ∼ P(E).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 15/20
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Conjuntos de Funciones
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Conjuntos de Funciones
Sean A, E conjuntos con A ≺ E.
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Conjuntos de Funciones
Sean A, E conjuntos con A ≺ E.
Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .
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Conjuntos de Funciones
Sean A, E conjuntos con A ≺ E.
Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .
Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}
![Page 64: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/64.jpg)
Conjuntos de Funciones
Sean A, E conjuntos con A ≺ E.
Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .
Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}
G(E) - P(E × E) ∼ P(E).
![Page 65: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/65.jpg)
Conjuntos de Funciones
Sean A, E conjuntos con A ≺ E.
Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .
Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}
G(E) - P(E × E) ∼ P(E).
Por lo tanto, para A - E, 2E ∼ AE ∼ EE ∼ P(E).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 16/20
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Conjuntos de funciones
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Conjuntos de funciones
2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.
Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación
2N → [0, 1] ⊂ R
x 7→+∞∑
k=1
x(k)
2k.
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Conjuntos de funciones
2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.
Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación
2N → [0, 1] ⊂ R
x 7→+∞∑
k=1
x(k)
2k.
Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y
![Page 69: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/69.jpg)
Conjuntos de funciones
2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.
Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación
2N → [0, 1] ⊂ R
x 7→+∞∑
k=1
x(k)
2k.
Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y
como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).
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Conjuntos de funciones
2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.
Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación
2N → [0, 1] ⊂ R
x 7→+∞∑
k=1
x(k)
2k.
Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y
como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).
card(N) = ℵ0, card(R) = ℵ1
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 17/20
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Hipótesis del Continuo
![Page 72: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/72.jpg)
Hipótesis del Continuo
Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si
N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.
![Page 73: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/73.jpg)
Hipótesis del Continuo
Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si
N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.
Hipótesis del Continuo General.- Sean A y E conjuntos,
si E - A - P(E), entonces A ∼ E o A ∼ P(E).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 18/20
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Más Conjuntos de Funciones
![Page 75: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/75.jpg)
Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
![Page 76: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/76.jpg)
Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
![Page 77: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/77.jpg)
Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
Por la hipótesis del continuo general, B - E′
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Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
Por la hipótesis del continuo general, B - E′
Ahora bien, EB ∼ (E′E′
)B = E′(E′×B) ∼ E′E
′
∼ E.
![Page 79: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/79.jpg)
Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
Por la hipótesis del continuo general, B - E′
Ahora bien, EB ∼ (E′E′
)B = E′(E′×B) ∼ E′E
′
∼ E.
![Page 80: Cardinalidad de Conjuntos de Funciones](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5572116c497959fc0b8ef460/html5/thumbnails/80.jpg)
Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
Por la hipótesis del continuo general, B - E′
Ahora bien, EB ∼ (E′E′
)B = E′(E′×B) ∼ E′E
′
∼ E.
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Más Conjuntos de Funciones
Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que
P(E′) ∼ E′E′
∼ E
B otro conjunto, con B ≺ E
Por la hipótesis del continuo general, B - E′
Ahora bien, EB ∼ (E′E′
)B = E′(E′×B) ∼ E′E
′
∼ E.
B ≺ E ⇒ EB ∼, cuando E = P(E′).
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 19/20
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Finalmente
Esta presentación ha sido hecha con Prosper
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Muchas Gracias
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Muchas GraciasAlguna Pregunta
Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 20/20