CAPÍTULO II TUTORIAL DERIVE Aritmética, álgebra, funciones...
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CAPÍTULO II TUTORIAL DERIVE Aritmética, álgebra, funciones, derivadas e integrales 2.1 INTRODUCCIÓN DERIVE es un programa informático de cálculo simbólico. Es decir que, además de calcular el valor numérico de un polinomio, es capaz de efectuar la división de dos polinomios calculando el cociente y el resto. También es capaz de dada una función hallar su función derivada y su función integral. DERIVE representa funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y polar. Representa funciones especiales: definidas a trozos, valor absoluto, signo, parte entera y parte decimal. DERIVE también representa superficies en el espacio. Una vez que se conocen las partes principales del DERIVE el autoaprendizaje se torna sumamente sencillo, dependiendo únicamente del usuario explotar este asistente matemático en todo su potencial. Resultará especialmente útil, para los estudiantes de primeros cursos del área de ingeniería, puesto que le brindará la posibilidad de continuar aplicando sus conocimientos en todas las materias restantes del área de las matemáticas. DERIVE puede obtenerse como edición de prueba, válida para 30 días de la siguiente dirección: http://www.derive-europe.com/downloads.asp
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CAPÍTULO II
TUTORIAL DERIVE
Aritmética, álgebra, funciones, derivadas e integrales
2.1 INTRODUCCIÓN
DERIVE es un programa informático de cálculo simbólico. Es decir que, además
de calcular el valor numérico de un polinomio, es capaz de efectuar la división de
dos polinomios calculando el cociente y el resto. También es capaz de dada una
función hallar su función derivada y su función integral.
DERIVE representa funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y polar.
Representa funciones especiales: definidas a trozos, valor absoluto, signo, parte
entera y parte decimal.
DERIVE también representa superficies en el espacio.
Una vez que se conocen las partes principales del DERIVE el autoaprendizaje se
torna sumamente sencillo, dependiendo únicamente del usuario explotar este
asistente matemático en todo su potencial. Resultará especialmente útil, para los
estudiantes de primeros cursos del área de ingeniería, puesto que le brindará la
posibilidad de continuar aplicando sus conocimientos en todas las materias
restantes del área de las matemáticas.
DERIVE puede obtenerse como edición de prueba, válida para 30 días de la
siguiente dirección:
http://www.derive-europe.com/downloads.asp
2.2 PARTES DE LAS VENTANAS DE DERIVE
Arriba a la derecha tenemos tres iconos: . El central reducirá la pantalla y
se convertirá en el icono maximizar para restaurar la pantalla original
Icono minimizar. Icono maximizar. Icono restaurar. Icono cerrar.
La barra de menús, la barra de herramientas u órdenes y la barra de estado
cambian según tengamos activa la Ventana de Álgebra o la Ventana 2D o la
Ventana 3D.
2.2.1 BARRA DE ENTRADA DE EXPRESIONES
En ella escribimos las expresiones, para que se introduzcan a la Ventana de
Álgebra lo más cómodo es pulsar el icono Introducir y Simplificar.
Introducir expresión [Intro]
Simplificar
Introducir y simplificar
Aproximar
Introducir y
aproximar
2.2.2 INTRODUCIR DATOS
Para introducir vectores elegimos Introducir Vector
Para introducir matrices elegimos Introducir Matriz
Para introducir sistemas de ecuaciones elegimos en la barra de menús
Resolver/Sistema que desplegará la siguiente pantalla.
Donde se puede elegir el número de ecuaciones a resolver, luego de aceptar se
tiene
Donde se deben introducir las ecuaciones como se indica, haciendo un clic en
variables se visualizan las incógnitas x,y y con la opción resolver se tiene:
En los otros casos escribimos la expresión en la barra de Entrada de
Expresiones.
Los caracteres normales los escribimos desde el teclado y los símbolos especiales
y letras griegas desde la ventana correspondiente.
2.2.3 MANEJO DE EXPRESIONES
F3 Copia la expresión o subexpresión seleccionada en la barra de
Entrada de Expresiones
F4 Hace lo mismo que F3 pero copia la expresión entre paréntesis
2.2.4 BARRA DE SÍMBOLOS
En esta barra de herramientas podemos elegir los símbolos matemáticos para
insertarlos en la barra de Entrada de Expresiones.
Los más utilizados son: la raíz cuadrada, mayor o igual que, menor o igual que, el
infinito y los números:
π = 3,141592... ê = 2,718281.... î = unidad imaginaria
Si al número ê o a la unidad imaginaria î no les ponemos el acento circunflejo,
supone que es una variable y no los reconoce como números.
2.2.5 BARRA DE LETRAS GRIEGAS
En esta barra de herramientas podemos elegir las letras griegas para insertarlas en
la barra de Entrada de Expresiones.
2.2.6 BARRAS DE HERRAMIENTAS
Las podemos mostrar y ocultar eligiendo en la barra de menús
Ventana/Personalizar/Barra de Herramientas
Las podemos arrastrar a cualquier parte de la ventana al igual que todas las
barras de Windows, para encajarlas debemos arrastrarlas al lugar deseado y
cuando el borde exterior se convierta en una línea fina indicando el
acoplamiento las soltamos.
2.3 VENTANA ÁLGEBRA
En ella aparecen las órdenes que escribimos, el texto y los gráficos que
insertemos.
Cuando sólo trabajamos en la Ventana Álgebra es conveniente tenerla
maximizada.
2.3.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA ÁLGEBRA
En ésta se encuentra el menú general de la Ventana Álgebra. Cada una de las
opciones, a la vez, tiene otro submenú.
2.3.2 BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA
DE ÁLGEBRA
Nueva hoja Simplificar
Abrir
Guardar la hoja
Imprimir
Cortar
Copiar
Pegar
Borrar Objetos
Insertar Texto
Editar una Expresión
Introducir Vector
Introducir Matriz
Aproximar
Resolver o despejar
Sustituir variables
Calcular un límite
Hallar una derivada
Integrales
Calcular sumatorias
Calcular productorios
Ventana 2D
Ventana 3D
Información sobre el programa
2.3.3 BARRA DE FORMATO
Mediante esta barra podemos darle formato al insertar texto en la ventana
Álgebra.
Fuente
Tamaño de la Fuente
Negrita
Cursiva
Justificar a la izquierda
Justificar en el centro
Justificar a la derecha
Viñeta
Subrayar
Color
Texto
2.3.4 BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA DE ÁLGEBRA
En la parte izquierda da información de la opción seleccionada.
En el centro indica la operación efectuada.
En la parte derecha tiene un reloj e indica el tiempo que ha
tardado en realizar la operación.
2.4 VENTANA 2D
En la Ventana 2D representamos gráficas en coordenadas cartesianas,
paramétricas y polares.
Para representar gráficas introducimos la fórmula en la barra de Entrada de
Expresiones y una vez escrita en la Ventana Álgebra elegimos en la barra de
órdenes Ventana 2D, al abrirse la ventana elegimos en la barra de menús
Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen ambas ventanas
colocadas en la mitad de la pantalla.
Para tener una buena visión de los gráficos y que las circunferencias salgan
redondas en una resolución 1024 x 768 aconsejamos elegir en la barra de
menús
Opciones/Pantalla/Rejilla...
Escribimos en Horizontal: 12 y en Vertical: 12
Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Representar
Expresión.
2.4.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D
En ésta se encuentra el menú general de la ventana Gráficas-2D. Cada una de
las opciones, a la vez, tiene otro submenú.
2.4.2 BARRA DE ÓRDENES O HERRAMIENTAS DE LA VENTANA
GRÁFICAS-2D
Nueva hoja
Abrir
Guardar la hoja
Imprimir
Copiar la Ventana Gráfica
Representar Expresión
Borrar la última gráfica
Insertar Anotación
Trazar las Gráficas
Centrar en el cursor
Centrar en el origen
Seleccionar el rango
Zoom hacia fuera
Reducción vertical
Reducción horizontal
Zoom hacia dentro
Ampliación vertical
Ampliación horizontal
Activar la Ventana de Álgebra
2.4.3 BARRA DE ESTADO DE LA VENTANA GRÁFICAS-2D
En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del
cursor.
En el centro indica las coordenadas del centro.
En la parte derecha escribe la escala.
2.4.4 BARRA DE TRAZADO
Aumentar x
Disminuir x
Aumentar y
Disminuir y
Trazar la gráfica siguiente
Trazar la gráfica anterior
2.5 VENTANA GRÁFICAS-3D
En la Ventana Gráficas-3D representamos superficies en el espacio.
Para representar superficies introducimos las ecuaciones en la barra de
Entrada de Expresiones y una vez escritas en la Ventana a Álgebra
elegimos en la barra de órdenes Ventana 3D, al abrirse la ventana elegimos
en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical y automáticamente aparecen
ambas ventanas colocadas en el centro de la pantalla.
Luego para representar las gráficas hacemos clic sobre Representar.
2.5.1 BARRA DE MENÚS DE LA VENTANA GRÁFICAS-3D
En ésta se encuentra el menú general de la Ventana 3D. Cada una de las
opciones, a su vez, tiene otro submenú.
2.5.2 BARRA DE HERRAMIENTAS U ÓRDENES DE LA VENTANA
GRÁFICAS-3D
Nueva hoja
Abrir
Guardar la hoja
Imprimir
Copiar la Ventana Gráfica
Borrar la gráfica
Representar
Insertar Anotación
Trazar las Gráficas
Ajustar el rango de la gráfica
Fijar la posición del ojo
Zoom hacia fuera
Zoom hacia dentro
Girar las gráficas
Girar hacia la izquierda
Girar hacia la derecha
Rotar hacia arriba
Rotar hacia abajo
Magnificar
Contraer
Activar la Ventana de Álgebra
2.5.3 Barra de estado de la ventana Gráficas-3D
En la parte izquierda da información sobre las coordenadas del ojo.
En el centro indica las coordenadas del centro.
En la parte derecha escribe el tamaño.
2.6 FUNCIONES UTILIZADAS EN DERIVE PARA INGENIERÍA
2.6.1 OPERADORES MATEMÁTICOS
a + b Sumar
a – b Restar
a * b, o espacio en blanco, a b Multiplicar
a/b Dividir
a^n Potencia
Raíz cuadrada
a^(p/n) Raíz n-ésima de ap
|a| Valor absoluto y Módulo
n! Factorial
Perm(m, p) Permutaciones
Comb(m, p) Combinaciones
2.6.2 OPERADORES RELACIONALES
a = b Igual
a ≠ b Distinto
a < b Menor que
a ≤ b Menor o igual que
a > b Mayor que
a ≥ b Mayor o igual que
2.6.3 OPERADORES BOLEANOS
p Λ q Conjunción
p V q Disyunción
2.6.4 FUNCIONES DE TEORÍA DE NÚMEROS
gcd(a, b, ...) Máximo Común Divisor
Si se introduce gcd (4,8,36) Se obtiene 4
lcm(a, b, ...) Mínimo Común Múltiplo
Si se introduce lcm (4,8,36) Se obtiene 72
Divisors(n) Todos los divisores positivos de n
Si se introduce divisors (54) Se obtiene [1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54]
next_prime(n) Primer primo mayor que n
Si se introduce next_prime(54) Se obtiene 59
2.6.5 POLINOMIOS
quotient(p, q) Cociente de p entre q
Se introduce Se obtiene x2 - x - 1
quotient((x^3-2x^2+5),(x-1))
remainder(p, q) Resto de p entre q
Se introduce
remainder((x^3-2x^2+5),(x-1)) Se obtiene 4
poly_gcd(p, q, ...) Polinomio M.C.D.
Se introduce POLY_GCD(x^3 +
3·x^2 + 5·x + 6, x^3 + 2x - 3)
Se obtiene
x
2 + x + 3
2.6.6 VECTORES
vector(a(n), n, p) Genera un vector desde n = 1 hasta p
|v| Módulo del vector
u . v Producto escalar
Cross(u, v) Producto vectorial
2.6.7 MATRICES
A + B Suma
A – B Resta
kA Multiplicación por un número
A . B Producto de matrices
A` Matriz traspuesta, acento grave
A^(–1) Matriz inversa
det(A) Determinante
row_reduce(A) Reducidas por filas
rank(A) Rango
2.6.8 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
ln(x) Logaritmo neperiano
log(x, b) Logaritmo en base b
2.6.9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si el arco es x, se puede poner sin paréntesis, pero si es 3x, o bien, 7x – 4 o
bien, x2, tenemos que ponerlo entre paréntesis.
sin(x) Seno
cos(x) Coseno
tan(x) Tangente
cot(x) Cotangente
sec(x) Secante
csc(x) Cosecante
En DERIVE sin (x2) es sen x
2, y sin (x)
2 = (sin x)
2 es sen
2 x = (sen x)
2
2.6.10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
asin(x) Ángulo cuyo seno es x
acos(x) Ángulo cuyo coseno es x
atan(x) Ángulo cuya tangente es x
acot(x) Ángulo cuya cotangente es x
asec(x) Ángulo cuya secante es x
acsc(x) Ángulo cuya cosecante es x
2.6.11 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Abs(x), o bien, |x| Valor absoluto
Sign(x) Signo
Chi(a, x, b) Característica de [a, b]; es 1 si a < x < b
y 0 en otro caso
Floor(x) Parte entera de x
Mod(x) Parte decimal de x
2.7 AYUDA
En la barra de menús tenemos la Ayuda con las siguientes opciones:
Se puede obtener información acerca de cualquier acción que se desee realizar con
DERIVE a través de la opción índice, luego de ingresar a esta opción escriba la
palabra que representa la acción que desea ejecutar, presione enter y se desplegará
la ayuda correspondiente.
2.8 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES APLICANDO DERIVE
Resolver │x│≥ 3
Para resolver este problema con derive escriba lo siguiente en la Barra de Entrada
de Expresiones
solve (abs(x)>=3,x)
Derive le proporcionará al presionar el ícono introducir y simplificar la
siguiente información en la ventana de álgebra:
SOLVE(¦x¦ ≥ 3, x)
x ≤ -3 V x ≥ 3
Si quiere obtener la gráfica, en la ventana de álgebra presione el ícono
VENTANA 2D, luego en el menú VENTANA la opción MOSAICO VERTICAL
que dividirá la pantalla en dos partes, una la ventana gráfica y otra la ventana de
álgebra, haga un clic sobre la ventana gráfica (la ventana habilitada se mostrará
resaltada) y presione el ícono REPRESENTAR EXPRESIÓN con lo que el
gráfico quedará representado. Para trasladar una parte de la gráfica a la ventana de
álgebra, un procesador de texto u otro paquete, en el menú EDITAR presione
MARCAR Y COPIAR seleccione la región y péguela en la ventana de álgebra,
obtendrá:
Luego de construir su ventana de álgebra puede imprimirla con las opciones que
se deseen.
Otras inecuaciones pueden resolverse de manera similar.
Los siguientes ejemplos son una muestra de los resultados en la ventana de
álgebra del DERIVE, resultará muy útil que el alumno reproduzca por su cuenta el
mismo archivo.
2.9 APLICACIONES EN DERIVE (VENTANA DE ÁLGEBRA).-
#1 SOLVE(4 x – 3 > 2 x + 1, x)
#2 x > 2
#3 SOLVE(|x + 3| ≤ 2 x + 4 , x)
UTILIZANDO LA OPCIÓN APROXIMAR SE OBTIENE
#4 x ≤ -5 ^ x ≥ -3.666666666
MIENTRAS QUE UTILIZANDO LA OPCIÓN SIMPLIFICAR SE OBTIENE
#5 11
53
x x
2.9.1 LA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
#6 SOLVE( x2 – 2 x – 8 > 0 , x )
#7 x < 2 o x > 4
CASOS TRIVIALES (soluciones iguales al conjunto vacío o recta real)
#8 SOLVE ( x < x – 5 , x)
#9 false
Lo cual significa que la solución es el conjunto vacío
#10 SOLVE ( x < x + 5 , x )
#11 true
Lo que significa que la solución es toda la recta real
#12 SOLVE
#13
#14 SOLVE
#15
#16 SOLVE
#17
2.10 SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES
EXPERIMENTA
1. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones.
Solución:
Estando activa la ventana Álgebra elige Ventana 2D. Se
abre dicha ventana.
Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical
Estando activa la Ventana 2D escoge en la barra de menús
Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe en Horizontal: 13 y en
Vertical: 14
En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación
x + y > 2 Λ 3x – y ≤ 5
Pulsa Introducir Expresión [Intro]
Activa la Ventana 2D y haz clic en Representar
Expresión.
APRENDE
Borrar gráficas
Estando activa la
Ventana 2D
elegimos
Borrar la última
gráfica.
RESUELVE
2. Resuelve
gráficamente el
siguiente sistema de
inecuaciones.
3. Resuelve
gráficamente el
siguiente sistema de
inecuaciones.
4. Resuelve
gráficamente el
siguiente sistema de
inecuaciones.
5. Resuelve
gráficamente el
siguiente sistema de
inecuaciones.
6. Resuelve
gráficamente el
Autores: J. M. Arias/E. Capintero/F. J. Sanz siguiente sistema de
inecuaciones.
2.11 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES (Resolución algebraica)
EXPERIMENTA
1. Resuelve algebraicamente el
siguiente sistema, a la vista del
resultado clasifícalo.
Solución:
Elige en la barra de menús
Resolver/Sistema..., en el número de
ecuaciones escribe 2 y pulsa el botón
Sí.
Introduce las ecuaciones, una en cada
cuadro de texto y pulsa el botón
Resolver.
El sistema es compatible determinado.
APRENDE
Clasificación de los sistemas
lineales
Sistema compatible
Un sistema es
compatible si tiene
solución.
Sistema compatible determinado
Un sistema es
compatible
determinado si tiene
un número finito de
soluciones.
Sistema compatible
indeterminado
Un sistema es
compatible
indeterminado si
tiene un número
RESUELVE
2. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
3. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
4. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
5. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
6. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
7. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
8. Resuelve algebraicamente
infinito de
soluciones.
Sistema incompatible
Un sistema es
incompatible si no
tiene solución.
Clasificación con DERIVE
Si el sistema es compatible
determinado escribe la solución.
Si el sistema es incompatible
escribe [ ].
Si el sistema es compatible
indeterminado elimina las
ecuaciones dependiente. Después
tenemos que elegir Resolver
o despejar, en el cuadro Variables
marcar la o las variables que
queremos despejar y hacer clic en
el botón Resolver.
Autores: J. M. Arias/S. A. Pérez
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
9. Resuelve algebraicamente
el siguiente sistema, a la vista
del resultado clasifícalo.
10. Calcula dos números
sabiendo que suman 12 y que
el doble del primero más el
triple del segundo suman 31.
11. Entre Juan y Juana tienen 1
000 $. Si Juana tiene el triple
que Juan, ¿cuánto dinero
tienen cada uno?
12. El perímetro de un
triángulo isósceles mide 60 m y
cada uno de los lados iguales
mide el doble que el desigual.
¿Cuánto mide cada lado?
2.12 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
EXPERIMENTA
1. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y halla
la solución si es compatible
determinado.
Solución:
Estando activa la ventana Álgebra
elige Ventana 2D. Se abre
dicha ventana.
Selecciona en la barra de menús
Ventana/Mosaico Vertical
Estando activa la Ventana 2D escoge
en la barra de menús
Opciones/Pantalla/Rejilla..., escribe
en Horizontal: 13 y en Vertical: 14
En la Entrada de Expresiones
escribe la primera ecuación
x + y = 3
Pulsa Introducir Expresión
[Intro]
Activa la Ventana 2D y haz clic en
Representar Expresión.
En la Entrada de Expresiones
escribe la segunda ecuación
3x – y = 1
Pulsa Introducir Expresión
[Intro]
Activa la Ventana 2D y haz clic en
Representar Expresión.
APRENDE
Clasificación
Si el sistema es compatible
determinado las dos rectas se
cortan en un punto que es la
solución.
Si el sistema es incompatible
las dos rectas son paralelas.
Si el sistema es compatible
indeterminado las dos rectas
son la misma
Borrar gráficas
Estando activa la Ventana 2D
elegimos Borrar la última
gráfica.
RESUELVE
2. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y
halla la solución si es compatible
determinado.
3. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y
halla la solución si es compatible
determinado.
4. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y
halla la solución si es compatible
determinado.
El sistema es compatible
determinado.
La solución es el punto.
x = 1, y = 2
5. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y
halla la solución si es compatible
determinado.
6. Resuelve gráficamente el
siguiente sistema, clasifícalo y
halla la solución si es compatible
determinado.
Autores: J. M. Arias/S. A.
Pérez
2.13 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CON DERIVE
#1 y = x3 – 5 x
#2 x= y2 + y - 2
#3 x2 + y
2 = 4
#4 x2 / 4 + y
2 / 9 = 4
#5 x2 - 4y
2 = 4
FUNCIÓN INVERSA
#6 SOLVE( y = x – 3 , x)
#7 x = y + 3
#8 SOLVE ( y = x2 – 3 , x)
#9
COMO EXISTEN DOS VALORES, NO EXISTE LA FUNCIÓN INVERSA
FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X
Esta función se puede graficar con derive con la sentencia:
#10 y = - FLOOR ( - x ) – 1
#11
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas f(x) = x2 , g(x) = 2 x + 4 Hallar f ° g y g ° f
DEFINIMOS LAS FUNCIONES
#12 f(x) := x2
#13 g(x) := 2 x + 4
#14 f(g(x))
#16 4 ( x2 + 2 )
2
#17 g(f(x))
#18 2 x2 + 4
2.12 PRÁCTICA
Utilizando el asistente matemático DERIVE, dibujar las gráficas de cada una de
las siguientes ecuaciones.
1) y = ( 9 - x²)1/2
2) y = - │ x- 3│
3) x² + y² - 9 = 0 4) y = - 2x² + x + 1
5) x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 6) 30xy + 24x - 25y - 80 = 0
7) 9x² + 3xy + 9y² = 5 8) x² - 2xy + y² - 4 = 0
9) y = 1 / (x² + 1)
10) 16x² + 24xy + 9y² +60x - 80y= - 100
Autor: José María Arias
http://www.terra.es/personal/jariasca/info/derive/1.htm
El presente capítulo fue desarrollado en base a las presentaciones señaladas por
los autores citados, con aportes del autor del texto Alfredo Vargas Oroza
