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Capítulo 4: Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales Ordinarias

Andrés Iturriaga J.

Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Chile

Primavera 2012

Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 1 / 37

Contenidos

1 Definiciones y ejemplos

2 Propiedades básicas de la transformada de Laplace


DefiniciónDada f : [0,+∞)→ R se llama transformada de Laplace de f a lafunción

L[f ](s) =

∫ +∞

0e−stf(t)dt (1)

que asocia a s ∈ R el valor L[f ](s) cuando la integral converge. Si latransformada de Laplace de una función existe para s > c, a la mínimacota “c” se le llama asíntota de la transformada.


Ejemplos

f(t) = 1⇒ L[1](s) =1

s,

para s > 0 (la asíntota es c = 0).

f(t) = sin(wt)⇒ L[sinwt](s) =w

s2 + w2.

f(t) = cos(wt)⇒ L[coswt](s) =s

s2 + w2.

f(t) = eat ⇒ L[eat](s) =1

s− a.

f(t) = tk, k ∈ N⇒ L[tk](s) =k!

sk+1, s > 0.


La Transformada de Laplace es lineal

Proposición 1.1La transformada de Laplace es un operador lineal. Es decir, si λ ∈ R ysi f y g son funciones de [0,+∞) en R tales que L[f ](s) y L[g](s)existen, entonces

L[f + λg](s) = L[f ](s) + λL[g](s).

Con esta propiedad se puede calcular fácilmente la transformada deLaplace de sinh(at) y de cosh(at).


Funciones continuas por trozos

DefiniciónUna función f tiene una discontinuidad de salto en a ∈ dom(f) silos límites laterales lımx→a+ f(x) y lımx→a− f(x) existen, son finitos ydistintos.

DefiniciónUna función f : [0,+∞)→ R se dice continua por pedazos si tieneun número finito o numerable de discontinuidades de salto en [0,+∞),pero sobre cada subintervalo acotado de [0,+∞) tiene a lo más unnúmero finito de éstas.


Función Onda Cuadrada

La función

f(t) = (−1)[t] =

{1 0 ≤ t < 1−1 1 ≤ t < 2

extendida periódicamente a [0,∞) con período 2, se llama ondacuadrada y es continua por pedazos.

Figura: Función de onda cuadrada.


Función onda de dientes de sierra

La función f(t) = t− [t] o bien f(t) = t, 0 ≤ t < 1 extendidaperiódicamente a [0,∞) con período 1, llamada onda de dientes desierra, es continua por pedazos.

Figura: Función onda de dientes de sierra.


Ejemplos de funciones que no son continuas por pedazos

La función f(t) = tan(t) no es continua por pedazos pues

lımt→π

2+

tan(t) = −∞ y lımt→π

2−

tan(t) = +∞.

La función

f(t) =

{1t t 6= 00 t = 0

tampoco es continua por pedazos.


Funciones de orden explonencial

DefiniciónUna función f : [0,+∞)→ R es de orden exponencial si existenα ∈ R y M > 0 tales que |f(t)| ≤M eαt para todo t ≥ 0. Al menor detales α se le llama orden exponencial de f . Gráficamente, el hecho detener orden exponencial significa que la función está encerrada entreM eαt y −M eαt.

DefiniciónEl espacio Cα es el conjunto de las funciones f : [0,+∞)→ R que soncontinuas por pedazos y de orden exponencial α. Es un subespaciovectorial del espacio de todas las funciones de [0,+∞) en R.


Observemos que si f ′ ∈ Cα entonces

|f(x)| ≤ |f(0)|+∫ x

0|f ′(s)|ds

≤ |f(0)|+ M

αeαx

≤ Meαx,

de modo que f ∈ Cα.


Proposición 1.2Si f ∈ Cα entonces para todo s > α, existe L[f ](s) (y convergeabsolutamente). Además

|L[f ](s)| ≤ M

s− α

para todo s > α. En particular, lıms→+∞ L[f(t)](s) = 0.


Función de Heaviside

La funcíon escalón de Heaviside se define como

Ha(t) =

{0 t < a1 t ≥ a

Figura: Funcíon escalón de Heaviside.

Observemos que si a ≥ 0, entonces Ha(t) = H0(t− a). La transformadade Laplace de Ha, con a ≥ 0 es

L[Ha](s) =

∫ ∞0

e−stHa(t) dt =

∫ ∞a

e−st dt =1

se−as

para s > 0.Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 13 / 37

Función Pulso

Si a < b definimos el pulso entre a y b como

Pab(t) =

0 t < a1 a ≤ t < b0 t ≥ b.

Figura: Función pulso.

Notar que Pab(t) = Ha(t)−Hb(t). Luego, para 0 ≤ a < b

L[Pab(t)](s) = L[Ha(t)](s)− L[Hb(t)](s)

=1

s(e−as − e−bs) para s > 0.


Contenidos

1 Definiciones y ejemplos

2 Propiedades básicas de la transformada de Laplace


Transformada de una derivada

Proposición 2.1Sea f ∈ Cα. Si f es derivable

L[f ′](s) = sL[f ](s)− f(0+) para s > α.

Si f es n veces derivable

L[f (n)](s) = snL[f ](s)−n−1∑k=0

skf (n−k)(0+).


Transformada de una primitiva

Proposición 2.2Sea f ∈ Cα localmente integrable, a ∈ R y

F (t) =

∫ t

af(u)du.

EntoncesL[F ](s) =

1

sL[f ](s)− 1

s

∫ a

0f(u)du,

para s > α. Más aún

L

∫ t

a. . .

∫ t

a︸︷︷︸n veces

f(u)du

(s) =1

snL[f ](s)−

n∑k=1

1

sk

∫ a

0

∫ t

a. . .

∫ t

a︸︷︷︸n− k veces

f(u)du.


Traslaciones

Proposición 2.3Si f ∈ Cα y a ∈ R, la función f trasladada hacia la derecha se define entodo [0,∞) como H(t− a)f(t− a). Se tiene entonces que

L[H(t− a)f(t− a)](s) = e−saL[f(t)](s).

Por otro lado,

L[f(t)](s− a) = L[eatf(t)](s).


Inyectividad de la transformada de Laplace

Teorema 2.4 (Lerch)Si f, g ∈ Cα y L[f ](s) = L[g](s) para todo s > α entonces f(t) = g(t)para todo t ≥ 0, salvo en la unión de las discontinuidades de f y g.


Ejemplo

Consideremosy′(t)− ay(t) = 0, y(0) = 1.

Podemos aplicar L a la EDO y obtenemos

sL[y(t)](s)− f(0+)− aL[y(t)](s) = 0,

es decirL[y(t)](s) =

1

s− a.

PeroL[eat](s) =

1

s− a,

y luego de la inyectividad de la transformada de Laplace concluímosque y(t) = eat.


Convolución

Para f y g en Cα, el producto de convolución entre f y g de definecomo

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0f(s)g(t− s)ds.

Proposición 2.5El producto de convolución es conmutativo, asociativo y distribuye conrespecto a la suma en Cα.

Teorema 2.6Sean f, g ∈ Cα. Entonces

L[(f ∗ g)](s) = L[f ](s) · L[g](s).

En palabras, la transformada de la convolución es el producto de lastransformadas.


Convergencia Uniforme

Sean f ∈ Cα y M > α0 > α. Definimos

Φ(s) =

∫ ∞0

e−stf(t)dt y Φn(s) =

∫ n

0e−stf(t)dt,

con s ∈ I = [α0,M ].

Teorema 2.7{Φn}n converge uniformemente en I a Φ.


Diferenciabilidad de la Transformada

Proposición 2.8Sea f ∈ Cα.

d

dsL[f(t)](s) = −L[tf(t)](s).

Más aún,dn

dsnL[f(t)](s) = (−1)nL[tnf(t)](s).


Integrabilidad de la Transformada

Proposición 2.9Sea f ∈ Cα, entonces∫ ∞

0L[f(t)](u)du =

∫ ∞0

f(t)

tdt.


Antitransformadas y aplicaciones

Una función f (en el dominio temporal) es antitransformada de unafunción ρ (en el dominio de Laplace) si se cumple que L[f ] = ρ. Sedenota como f(t) = L−1[ρ](t).


Descomposición en fracciones Parciales I

Supongamos se tiene la expresion racionalp(x)

q(x), donde p y q son

polinomios a coeficientes reales tales que gr(p) < gr(q). Se quiere

escribirp(x)

q(x)como una suma de expresiones más simples.

1 q(x) tiene n raíces reales distintas y simples:q(x) = (x− a1) . . . (x− an), con ai 6= aj si i 6= j. Hacemos

p(x)

q(x)=

A1

x− a1+ · · ·+ An

x− an2 q(x) tiene una raíz real de multiplicidad n: q(x) = (x− a)n.

Hacemos

p(x)

q(x)=

A1

x− a+

A2

(x− a)2+ · · ·+ An

(x− a)n.


Descomposición en fracciones Parciales II

3 q(x) tiene 1 raíz compleja simples. Entonces su conjugado tambiénes raíz simple, de modo que q(x) = ax2 + bx+ c = (x− z)(x− z),z ∈ C \ R. Hacemos

p(x)

q(x)=

Ax+B

ax2 + bx+ c.

4 Si q(x) tiene 1 raíz compleja de multiplicidad n:q(x) = (ax2 + bx+ c)n = (x− z)n(x− z)n con z ∈ C \ R. Hacemos

p(x)

q(x)=

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n.

5 Cualquier combinación de estos casos.


Descomposición en fracciones Parciales III

Una vez descompuesta la expresión original, se deben encontrar losvalores de los coeficientes de la parte derecha. Existen varias formas deencontrarlos, veremos 2 métodos:

Método 1: Multiplicar por q(x) a ambos lados y evaluar raíz porraíz (sirve cuando las raíces son simples).Método 2: Desarrollar la suma de la parte derecha e igualarcoeficientes.


Ejemplos

Ejemplo 2.10Descomponer la expresión

s

s2 − 3s+ 2.

En efecto, ss2−3s+2

= As−1 + B

s−2 . Aplicando el método 1 (es decir,multiplicando por q(s)) se tiene

s = A(s− 2) +B(s− 1).

Evaluando se concluye que A = −1 y que B = 2.


Ejemplos

Ejemplo 2.11Descomponer la expresión

1

s2((s− a)2 + b2).

En efecto, 1s2((s−a)2)+b2 = A

s + Bs2

+ C+Ds(s−a)2+b2 . Aplicando el método 2:

1

s2((s− a)2) + b2=As((s− a)2 + b2) +B((s− a)2 + b2) + (C +Ds)s2

s2((s− a)2) + b2.

Igualando términos:A = 2a

(a2+b2)2; B = 1

a2+b2; C = 3a2−b2

(a2+b2)2; D = −2a

(a2+b2)2.


Aplicación a la EDO lineal de orden n I

Se tiene la siguiente EDO a coeficientes constantes:

P (D)y(t) = Q(t)

con P (D) un operador diferencial de orden n normalizado (an = 1) yQ(t) combinación lineal de funciones en Cα. Aplicando L a ambos ladosde la EDO, se obtiene:

L

n∑j=1

ajDjy

(s) = L[Q](s)

n∑j=1

ajL[Djy

](s) = L[Q](s).

Pero se sabe que

L[Djy

](s) = sjL[y](s)−Rj(s),


Aplicación a la EDO lineal de orden n IIdonde

Rj(s) =

j−1∑k=0

sky(j−k−1)(0+).

Con esto la ecuación queda n∑j=1

ajsj

L[y](s)−n∑j=1

ajRj(s) = L[Q](s).

Escribimos entonces

L[y(t)](s) =R(s)

P (s)+L[Q(t)](s)

P (s),

donde

P (s) =

n∑j=1

ajsj y R(s) =

n∑j=1

ajRj(s).


Aplicación a la EDO lineal de orden n III

Llamando yh(t) e yp(t) a la funciones tales que

L[yh](s) =R(s)

P (s)y L[yp] =

L[Q](s)

P (s)

se tiene queL[ y ] = L[ yh ] + L[ yp ].

Luego

yh(t) = L−1[R

P

](t) e yp(t) = L−1

[L[Q]

P

](t).


Aplicación a la EDO lineal de orden n IV

Para encontrar yp(t), consideremos G(t) = L−1[

1

P

](t). Tenemos

yp(t) = L−1[L[G(t)](s)L[Q(t)](s)

](t)

= L−1[L[(G ∗Q)(t)](s)

](t)

= (G ∗Q)(t)

=

∫ t

0G(t− θ)Q(θ)dθ.

Todo se reduce entonces a encontrar antitransformadas de funciones dela forma

R(s)

P (s), donde R y P son polinomios y gr(P ) > gr(R).


Ejemplo 2.12Resolver ahora el problema de Cauchy

y′′ + 2y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

utilizando la transformada de Laplace.

En efecto, notemos que

L[y′′ + 2y′ + 2y](s) = s2L[y](s)− sy(0+)− y′(0+)

+2(sL[y](s)− y(0+)) + 2L[y](s)

= (s2 + 2s+ 2)L[y](s)− s− 3.

Luego, L[y](s) = s+3s2+2s+2

.


Por otra parte,

s+ 3

s2 + 2s+ 2=

s+ 1

(s+ 1)2 + 1+

2

(s+ 1)2 + 1.

Dado que L[e−xcos(x)](s) = s+1(s+1)2+1

y L[e−xsen(x)](s) = 1(s+1)2+1

setiene que

L[y](s) = [e−xcos(x)](s) + 2L[e−xsen(x)](s)

= L[e−xcos(x) + 2e−xsen(x)](s).

Entoncesy(x) = e−x(cos(x) + 2sen(x)).


GRACIAS!!!


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