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Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller

Capítulo 4: Circuitos Acoplados Magnéticamente

- 51 -

Capítulo 4: Circuitos Acoplados Magnéticamente 4.1 Definiciones básicas En este capítulo se estudia el comportamiento de los circuitos acoplados magnéticamente, fijos en el espacio. El medio magnético se considera con permeabilidad �, constante y homogénea. En todo el capítulo se asume linealidad entre el flujo y las corrientes. En primer lugar se considera el diagrama de la figura -34-, en la cual se han representado n circuitos magnéticamente acoplados. En el circuito k se coloca una fuente de tensión vk, que inyecta en esa bobina la corriente ik.

v k

i 1

2

j n

m

k

�

�

�

l k

k k

k

Representación del flujo propio Fig. -34-

Las líneas de la figura -34-, representan la distribución del flujo cuando se excita la bobina k. El flujo total que enlaza la bobina k se representa por �kk, y se puede descomponer en dos flujos: 1.- �mk que enlaza a las otras bobinas y, 2.- �lk que enlaza solamente a la bobina k. De esta forma, se establece:



- 52 -

�kk

= �lk

+ �mk 4.1

En la figura -35-, se representa el caso contrario, donde todas las bobinas están excitadas, menos la bobina k.

l

1

2

j n

M

�

�

k

K

2�

k

i i

i

i

n j

1

2

j�

k

n�

k

k

Representación de los flujos mutuos Fig. -35-

El flujo mutuo que enlaza la bobina k, debido a la excitación de las otras bobinas se denomina �MK y comprende n-1 componentes:

�MK

= �j = 1j � k

j = n

�kj

4.2 En la ecuación 4.2, �kj representa el flujo mutuo producido por la bobina j que enlaza a la bobina k. Por superposición, el flujo magnético total enlazado por la bobina k es:

�k = �

k k+ �

M K= �

l k+ �

m k+ �

M K= �

l k+ �

m k+�

j =1

j =n

�k j

j�k 4.3 Los enlaces de flujo correspondientes son:



- 53 -

�k

= Nk�

k= �

l k+ �

m k+�

j =1

j = n

�k j

j�k 4.4 Si los enlaces de flujo de la ecuación 4.4 se expresan en función de la permeanza magnética y de las corrientes de excitación de las bobinas, se obtiene:

�l k

= Nk�

l k= P

l kN

k2 i

k 4.5 �

m k= N

k�

m k= P

m kN

k2 i

k 4.6 �

k j= N

k�

k j= P

k jN

kN

jij 4.7

Se pueden definir las siguientes inductancias:

Ll k

= Pl k

Nk2 =

ik

Nk�

l k

4.8

Lm k

= Pm k

Nk2 =

ik

Nk�

m k

4.9

Lk

= ( Pl k

+ Pm k

) Nk2 =

ik

Nk�

k k

4.10 Donde Llk es la inductancia de dispersión, Lmk es la inductancia de magnetización y Lk es la inductancia propia. Las inductancias mutuas se definen como:

Mk j

= Pk j

Nk

Nj

=i j

Nk�

k j

4.11

Mj k

= Pj k

Nj

Nk

=ik

Nj�

j k

4.12 Como las permeanzas Pkj y Pjk son iguales, se demuestra que:

Mk j

= Mj k 4.13

Si se expresa la ecuación 4.4 en términos de las inductancias definidas en 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 y 4.12 se obtiene para la bobina k:



- 54 -

�k

= Lk

ik

+ �j =1

j = n

Mk j

i

j�k

j

4.14 La ecuación 4.14 se puede escribir en forma matricial para todas las bobinas del sistema:

�1

�2...

�k

.

.

.

�n

=

L1 M12 . . .

M21 L2 . . ....

.

.

.

M1k . . . M1n

M2k . . . M2n...

.

.

.

Mk1 Mk2 . . ....

.

.

.

Mn1 Mn2 . . .

Lk . . . Mkn...

.

.

.

M nk. . . Ln

i1

i2...

i k...

�n

4.15 La ecuación 4.15 en forma compacta se escribe así:

[�] = [L] [i] 4.16

4.2 Ecuaciones de tensión La tensión instantánea aplicada en la bobina k del sistema acoplado magnéticamente de las figuras -34- y -35- es:

vk

= ik

Rk

+ p �k 4.17

En la ecuación 4.17 el operador p se refiere a la derivada con respecto al tiempo -d/dt-. Para las n bobinas acopladas se cumple:

[v ] = [R ] [ i ] + [L ] p [ i] = ( [R ]+ [L ]p ) [ i] 4.18 donde:

[R] es una matriz diagonal y, [L] está definida por la ecuación 4.15

4.3 Coeficientes de acoplamiento y dispersión Multiplicando las ecuaciones 4.11 y 4.12 término a término, se obtiene:

Mj k2 =

ik

ij

Nk

Nj�

j k�

k j

4.19



- 55 -

De la ecuación 4.10 se puede deducir que:

i k

Nk =�

k k

Lk ;

ij

Nj =

�j j

Lj

4.20 Sustituyendo 4.20 en 4.19 se obtiene:

Mj k2 = L

kL

j �k k

�j j

�j k

�k j

4.21 El cociente de los flujos representa la fracción del flujo total propio de la bobina k que enlaza a la bobina j, estos coeficientes son constantes y se definen como:

kk

=�

k k

�j k ; k

j=

�j j

�k j

4.22 En 4.22, kk y kj se denominan factores de acoplamiento e indican la cantidad de

flujo existente entre las dos bobinas. A medida que decrece la separación entre las bobinas, se incrementa el valor del coeficiente de acoplamiento. El valor máximo teórico para un acoplamiento perfecto es la unidad. Reemplazando las definiciones de 4.22 en la ecuación 4.21 se obtiene:

Mj k2 = k

jk

kL

jL

k� M

j k= k

jk

kL

jL

k 4.23 En la ecuación 4.23 a la media geométrica de los factores de acoplamiento se le denomina coeficiente de acoplamiento entre la bobina j y la bobina k, kjk y puede variar entre los valores cero y uno. Otro coeficiente ampliamente utilizado es sjk o

coeficiente de dispersión y queda definido por:

�

j k= 1 - k

j k2

4.24 Como:

Mj k

= kj k

Lj

Lk 4.25

Por lo tanto, sustituyendo 4.25 en la ecuación 4.24 se obtiene:

�

j k= 1 - L

jL

k

Mj k2

4.26



- 56 -

4.4 El transformador como circuito acoplado En la figura -36-, se presenta un transformador de dos devanados. Cada bobina posee una inductancia propia de valor L1 y L2 respectivamente, una inductancia mutua M y una resistencia propia en cada bobina, R1 y R2.

MR1 R2

L1 L2v

i

v1 2

i1 2

Transformador de dos devanados

Fig. -36-

Aplicando la ecuación 4.18, se obtiene:

v 1

v 2=

R1 00 R2

i 1

i 2+

L 1 MM L 2

pi 1

i 2 4.27 despejando la derivada de las corrientes con respecto al tiempo, se transforma la ecuación diferencial 4.27 a su forma canónica:

p[ i] = - [L]- 1[R] [ i] + [L ]- 1[v ] 4.28 En forma explícita el sistema representado en la ecuación 4.28 es:

pi 1

i 2= - L M

M L

-1R 00 R

i 1

i 2+ L M

M L

-1v 1

v 2 4.29 Evaluando la matriz inversa de la ecuación 4.29, se obtiene:

pi 1

i 2= -

LR

L 2- M 2-

MR

L 2- M 2

- MR

L 2- M 2LR

L 2- M 2

i 1

i 2+

L

L 2- M 2- M

L 2- M 2

- M

L 2- M 2L

L 2- M 2

v 1

v 2

4.30 Los valores propios de la matriz característica del sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer grado se pueden calcular a partir de:

det { [A ] - � [I ] } = 0 4.31 Reemplazando la matriz característica de la ecuación 4.30 en 4.31:



- 57 -

det

- LR

L2- M

2- �

M R

L2- M

2

M R

L2- M

2- LR

L2- M

2- �

= 0

4.32 Calculando el determinante de la ecuación 4.32 se obtiene:

��2 + L2 - M2

2LR ��L2 - M2

R2��

4.33 El polinomio de segundo grado en ��4.33, también denominado polinomio característico, posee dos raíces que corresponden a los autovalores de la matriz característica [A]:

�1 = - L + M

R = -

TM

1

3.34

�2 = - L - M

R = - TF

1

3.35 donde:

TM es la constante de tiempo de magnetización [s]. TF es la constante de tiempo de fuga o dispersión [s].

Como L y M son valores positivos, �2 es mucho mayor que �1 si el coeficiente de acoplamiento mutuo k12 es cercano a la unidad. De la ecuación 4.25 se obtiene, para

el transformador de la figura -36-:

M = k12 L1L2= k12 L.L = k12 L

4.36 A partir de 4.34, 4.35 y 4.36, se determinan TM y TF como:

TM

=R

L+ M = (1 + k12

)RL

4.37

TF

=R

L- M = (1 - k12

)RL

4.38 Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales 4.27, se determina la solución homogénea a partir de los autovalores y autovectores de la matriz característica, calculados mediante las expresiones 3.34 y 3.35. La solución completa se obtiene superponiendo a la solución homogénea, la solución particular y



- 58 -

determinando los coeficientes constantes a partir de las condiciones iniciales del problema. La solución homogénea del problema es:

i1h

( t ) = A e� 1 t

+ D e� 2 t

i2h

( t ) = C e� 1 t

+ D e� 2 t

4.39 Los coeficientes A, B, C y D no son arbitrarios, se determinan a partir de los autovectores de la matriz característica. Para calcular los autovectores es necesario resolver el sistema de ecuaciones:

��

� A � - �i � I �

�� V

i �� = � 0 �

4.40 Aplicando la ecuación 4.40 para el primer autovalor �1:

- LR

L2- M

2+ R

L+MM R

L2- M

2

M R

L2- M

2- LR

L2- M

2+ R

L+M

A

C=

0

0

4.41 El sistema 4.41 se puede reducir a:

- M R

L2- M

2

1 - 1- 1 1

AC

= 00

4.42 Del sistema 4.42 se observa que A = C. Del autovalor �2 de la matriz

característica, se determina el segundo autovector:

M R

L2- M

2

1 11 1

BD

= 00

4.43 A partir de 4.43 se obtiene que B = - D. Sustituyendo los autovectores correspondientes en la ecuación 4.39:

i1h

( t ) = A e-

L +MRt

+ B e-

L - MRt

i ( t ) = A e-

L +MRt

- B e-

L - MRt

2h 4.44 Si el sistema no está alimentado por fuentes forzantes y se sustituye en 4.44 las condiciones iniciales i1(0) = I e i2(0) = 0:



- 59 -

I = A + B0 = A - B 4.45

La solución del sistema 4.45 es: A = B =

21 I

4.46 Reemplazando el resultado 4.46 en la ecuación 4.44 se obtiene la siguiente solución:

i1h

(t ) =21 I e

-L +M

R t+

21 I e

-L - M

R t

i2h

(t ) =21 I e

-L +M

R t-

21 I e

-L - M

R t

4.47 En la figura -37-, se observa el diagrama en el tiempo de las corrientes en el primario y secundario del transformador.

Corrientes en el transformador

Fig. -37-

El circuito de la figura -38-, satisface la ecuación 4.27 para el transformador de la figura -35-. Para obtener las ecuaciones homogéneas de este circuito equivalente es necesario cotocircuitar los dos puertos del transformador.



- 60 -

L-M L-M RR

Mi +1

2

i2

i1 i2

v1 v

Circuito equivalente del transformador de dos bobinas

Fig. -38-

En la figura -39- se presenta una interpretación en el circuito equivalente del transformador, de la constante de tiempo de magnetización. Si se unen los puntos “a” y “b” de la figura, entre estos puntos y tierra, la constante de tiempo del circuito es:

TM

=

21 R

21 L

F+ M

= R

LF

+ 2 M= R

L + M

4.48

M

RR

L =L-MF L =L-MF

a b

Constante de tiempo de magnetización

Fig. -39-

En la figura -40- se presenta el circuito equivalente para la constante de tiempo de fuga. En este caso se desprecia la inductancia mutua M del circuito equivalente:

TF

=R

LF =

RL - M

4.49

RR L =L-MF L =L-MF

Constante de tiempo de fuga

Fig. -40-



- 61 -

Una forma más directa para calcular la respuesta transitoria y permanente de sistemas acoplados magnéticamente consiste en aplicar la Transformada de Laplace. Si al sistema 4.27, se le aplica esta transformación, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:

V 1(s)V 2(s)

=R1 0

0 R2

I 1(s)I 2(s)

+L 1 MM L 2

sI 1(s)I 2(s)

4.50 Agrupando el vector de corrientes y sustituyendo los valores del transformador de la figura -35-:

V 1(s)V 2(s)

= R + sL sMsM R + sL

I 1(s)I 2(s)

4.51 A partir de la ecuación 4.51, se puede determinar la transferencia transitoria de tensiones en el secundario de un transformador. Si el transformador se encuentra en vacío, la corriente del circuito secundario i2 es cero y por tanto, I2(s) es cero también. En estas condiciones:

V1

(s) = ( R + sL ) I1

(s) 4.52

V2

(s) = s M I1

(s) 4.53

Dividiendo la ecuación 4.53 por la ecuación 4.52 se obtiene la función de transferencia operacional entre las tensiones secundaria y primaria del transformador:

V1(s)

V 2(s)= R + sL

sM

4.54 Si se aplica un escalón de tensión en la bobina primaria, la tensión secundaria se calcula a partir de la ecuación 4. 54 como:

V2

(s) = R + sLM V

4.55 Antitransformando la ecuación 4.55:

v2

(t ) = LM V e

-LR t

= k12

V e-

LR t

4.56 La ecuación 4.56 se ha determinado, haciendo uso de la definición del coeficiente de acoplamiento mutuo de la ecuación 4.19. En la figura -41- se representa la respuesta al impulso del transformador de dos devanados con el secundario en vacío.



- 62 -

V

v1k

12

2

(t)

v (t)

V

t0

Respuesta en el tiempo del transformador al escalón de tensión

Fig. -41-

Si se aplica al transformador una tensión sinusoidal en el primario en lugar de un escalón, para el tiempo mayor o igual que cero, se tiene:

v 1

( t ) = V s e n � t p a r a t > 0

V 1

( s ) = s 2 + �

2 � V

4.57 Sustituyendo la ecuación 4.57 en 4.54 se obtiene:

V2

(s) =L

M � Vs2 + �2

s

4.58 Reagrupando la ecuación 4.58 en fracciones parciales y antitransformando:

v2(t ) =

L ( �2 +L2R2

)

M � V �� L

R e-

LR t

+ � sen � t +LR cos � t

��

4.59 La ecuación 4.59 representa una respuesta sinusoidal en régimen permanente superpuesta a un decaimiento exponencial, similar al obtenido en la ecuación 4.56, cuando se aplica un escalón de tensión al primario del transformador. Las máquinas eléctricas están constituidas en general por varios circuitos acoplados magnéticamente. Su comportamiento puede ser estudiado mediante las técnicas de autovectores y autovalores o a través de la Transformada de Laplace cuando el convertidor es lineal, o se linealiza su comportamiento en torno a un punto



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de operación. Si la máquina no es lineal y es necesario evaluar su comportamiento a grandes perturbaciones, las ecuaciones diferenciales deben ser integradas por métodos numéricos tales como los algoritmos de Simpson, Euler, Euler Modificado, Regla Trapezoidal, Runge Kutta de varios órdenes o mediante métodos de predicción y corrección de error como el de Adams o el de Adams-Merson.



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