Capítulo 3 MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE …

Capítulo 3: MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE LÍMITES DE ESBELTEZ Autor: Jesús Villar Juan

Límites de esbeltez para soportes esbeltos de hormigón con sección rectangular 34

Capítulo 3 MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE LÍMITES DE ESBELTEZ

3.1. Obtención de la capacidad seccional: Expresiones analíticas del diagrama de interacción M-N El diagrama de interacción de una sección de hormigón armado, como se expone en el capítulo anterior, es la envolvente de los axiles y flectores que producen el agotamiento de la sección. Un diagrama de interacción típico presenta dos partes claramente diferenciadas, que corresponden a una rotura de tipo dúctil (tracción controlada) y a rotura de tipo frágil (compresión controlada). Estas dos partes vienen separadas por la que llamaremos rotura crítica ilustrada por el punto B en la figura 3.1. La rotura crítica es la que alcanza simultáneamente la deformación última εcu en el hormigón y la deformación correspondiente al límite elástico del acero, εy, en las armaduras.



Figura 3.1. Diagrama de interacción M-N asumido

El axil y momento flector correspondientes a la rotura crítica pueden ser obtenidos en función de la deformación última del hormigón, la deformación correspondiente al límite elástico del acero, la geometría de la sección y la cuantía y distribución de la armadura. Para unas propiedades del hormigón y el acero dadas, y asumiendo un ratio entre el recubrimiento y el canto total de la sección, las coordenadas en el diagrama de interacción del punto B pueden ser obtenidas en función de la cuantía de armadura, como se muestra en la Tabla A.1 del Anejo 1, para las tres distribuciones de armadura consideradas, basándose en d´=0.10 h, εY=0.0022 (tensión del acero fyd= 500/1.15=435 MPa) y εcu=-0.0035 (fck<50 MPa). A continuación se proponen expresiones simplificadas del diagrama de interacción y una pendiente para cada uno de los dos tipos de rotura, para el caso particular de armadura dispuesta simétricamente en caras opuestas y perpendiculares al plano de flexión (caso 1 en la tabla A1 ). Rotura frágil, ν ≥ νb La parte del diagrama de interacción M-N correspondiente a axiles mayores que el de la carga crítica es aproximadamente lineal. En este trabajo se asume una línea recta entre el punto de fallo por compresión pura y el punto de fallo por rotura crítica, tal como se muestra en la figura 4. Entonces, la pendiente de esta rama del diagrama de interacción es constante. Esta simplificación, que nos deja del lado de la seguridad, nos da, para cuantías habituales de armadura (0.1 ≤ ω ≤ 1.0), errores menores del 10% en la determinación de la carga o momento último. De cualquier forma, el efecto en el límite inferior de esbeltez es considerablemente menor, ya que estamos tratando con una reducción de la capacidad resistente de la columna que es relativa y no un valor absoluto. La ecuación para la rama superior es:

βωνµ cot)1( ⋅−−= (42) donde la pendiente de esta línea recta viene definida a través de:



556.012.040.0cot

++

−=ω

ωβ (43)

Rotura dúctil, ν < νb En esta zona, especialmente para valores de axil entre 0.20 < ν < 0.44, el diagrama de interacción, como se ha determinado en el Anejo 1, es parabólico. Viene dado por:

ωννωννµ 5.0)1(5.04.0)52.05.0( +−⋅≈+⋅−= (44)

ννµβ −≈∂∂

= 5.0cot (45)

Cuando el axil es muy bajo, ν < 0.20, para esta distribución de armadura en particular, la contribución del hormigón puede ser despreciada, y la ecuación (44) puede ser usada con un error bajo, asumiendo ν = 0. Entonces, el momento en flexión pura resulta ser µ = 0.4ω, que es muy cercano al valor real. Para esta zona de valores bajos del axil, la pendiente del diagrama de interacción permanece prácticamente constante e igual a:

30.0cot =β (46) Se puede observar que la pendiente de esta rama del diagrama de interacción no depende de la cuantía de armadura ω. Un análisis de la respuesta de la sección en rotura genera una explicación física para este resultado. En efecto, se ha asumido que la sección esta armada simétricamente y que las armaduras a compresión y tracción han plastificado para algún valor de la carga axil en esta rama. Como consecuencia de esto, las fuerzas en la armadura comprimida y traccionada son iguales. Es por esto que la armadura no contribuye al axil último y su contribución al momento último es constante para cualquier valor de axil, permaneciendo la pendiente ∆µ/∆ν independiente de ω. Valores de cotβ para las otras distribuciones de armadura mencionadas anteriormente han sido obtenidos en el Anejo 1. 3.2. Efectos de segundo orden en columnas articuladas 3.2.1. Efectos de segundo orden bajo cargas instantáneas. Vamos a considerar una columna ideal, figura 3.2, de longitud “l”, apoyada en ambos extremos, y sujeta a un axil de compresión con excentricidades extremas e01 y e02. De estas, e02 es la mayor en valor absoluto, como se indica en la figura 3.2, y será tomada como positiva. Para evaluar los efectos de segundo orden, se asume que la excentricidad total del axil, e(x), sigue una ley sinusoidal, como se indica en la figura 3.3, y que viene definida por la ecuación:

Lxexvxexe πcos)()()( max0 ⋅=+= (47)



donde: e0(x) es la excentricidad de primer orden del axil en la sección considerada v(x) es la flecha en la sección considerada es la longitud del arco entre los dos puntos extremos con excentricidad

igual a cero emax es la máxima excentricidad del axil

Figura 3.2. Columna ideal sometida a un axil con diferentes excentricidades en los extremos

Esta deformada permite considerar de forma explícita excentricidades distintas en los extremos de la columna.

Figura 3.3. Ley senoidal de la excentricidad en una columna esbelta



La excentricidad máxima emax se da a una distancia x1 y x2 de los extremos 1 y 2, respectivamente. Imponiendo las condiciones de contorno e(x1)=e01 y e(x2)=e02, y teniendo en cuenta que x2-x1=l, se obtienen los siguientes valores de x1, x2 y L:

max

011 arccos

eeLx

π−= ;

max

022 arccos

eeLx

π−= (48)

lee

eeLxx =

+=−

max

01

max

0212 arccosarccos

π (49)

max

01

max

02 arccosarccosee

ee

lL+

⋅=

π (50)

La curvatura de la columna está relacionada con la máxima excentricidad a través de la siguiente ecuación:

Lx

Lexe

xrxv ππ cos)("

)(1)('' 2

2

max ⋅⋅−==−= (51)

Por lo tanto, sustituyendo L de la ecuación (50) en la ecuación (51), se obtiene la siguiente relación entre la curvatura máxima y la excentricidad máxima:

2

max

01

max

022

max2

2

maxmax

arccosarccos)0("1

+⋅=⋅=−=

ee

ee

le

Lee

rπ (52)

En las siguientes expresiones que incluyan la curvatura máxima, se simplificará la misma por 1/r (el subíndice “max” es omitido para mayor simplicidad). La ecuación (52) solo está definida si emas ≥ e02, por ejemplo, cuando el máximo de la excentricidad total se encuentra entre los dos extremos de la columna (figura 3.3.c). La figura 3.3.a representa un caso en que el máximo de la excentricidad se da en algún punto que no está entre los extremos de la columna. Al valor de la curvatura para el que emax = e02 (figura 3.3.b) se le llama curvatura límite (1/r)*. La figura 3.4 representa la ecuación (52), en la que, para valores de curvatura menores de (1/r)*, se considera una excentricidad constante emax = e02 para que tenga sentido físico.



Figura 3.3. Excentricidad para columnas flectadas con simple o doble curvatura

Figura 3.4.Relación máxima excentricidad-máxima curvatura en columnas esbeltas



En la práctica, la curva de emax que puede ser obtenida de la ecuación (52) puede ser aproximada por una recta de pendiente (l/π)2 dada por:

−

+=

*

2

2

02max11rr

leeπ

(53)

El valor de la curvatura límite (1/r)* puede obtenerse de la ecuación (52) sustituyendo emax = e02. Esto da:

2

02

01202

2

02

01

02

02202

*

arccosarccosarccos1

⋅=

+⋅=

ee

le

ee

ee

le

r (54)

La tabla 3.1 muestra valores típicos de la curvatura límite (1/r)* en función de la relación de excentricidades e01/e02. Las correspondientes excentricidades máximas, obtenidas de la ecuación (53) se han dibujado en la figura 3.5.

e01/e02 1 0,5 0 -0,5 -1 0

Tabla 3.1. Curvatura límite (1/r)* para distintas relaciones de excentricidad en extremos

Figura 3.5. Relación simplificada entre excentricidad máxima-curvatura máxima

adoptada

En la práctica, la ecuación (54) puede ser razonablemente aproximada por la siguiente ecuación parabólica, que resulta ser exacta para relaciones de excentricidad e01/e02 iguales a 1, 0 y -1.

*1

r 022

2

9e

lπ

022

2

4e

lπ

022

2

9e

lπ

022

2

elπ



2

02

01202

2*

14

1

−=

ee

le

rπ (55)

Es conveniente definir un “exceso de excentricidad” ∆e, que genera el momento de segundo orden efectivo a ser tenido en cuenta cuando se calcula la pérdida de capacidad de carga, relativa a una línea conocida dada por la máxima excentricidad de primer orden. De la ecuación 53, y con la curvatura límite dada por la ecuación 55, el exceso de excentricidad resulta ser:

2

02

01022

2

*2

2

2

2

02max 14

111

−−⋅=⋅−⋅=−=∆

eee

rl

rl

rleee

πππ (56)

Entonces, los correspondientes momentos de segundo orden son dados por:

2

02

01022

2

14

1

−⋅−⋅⋅=∆⋅=

eeeN

rlNeNM II

π (57)

o, escribiéndola de forma adimensional, y tomando π2 ≈ 10, por:

2

02

0102222 125.01.0

−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅⋅∆⋅

=⋅⋅

=ee

hec

hbfeN

hbfM

cdcd

IIII νλνµ (58)

donde: N es el axil b es el ancho de la sección transversal de la columna

h es el canto total de la sección transversal de la columna en el plano de flexión

µII es el momento adimensional efectivo de segundo orden λ=l/h es la esbeltez geométrica

c=(1/r)·h es la curvatura adimensional de la sección crítica, obtenida del diagrama momento-curvatura como se indica en el apartado 3.2.2.

3.2.2. Curvatura crítica Cuando se evalúan efectos de segundo orden, determinar adecuadamente la curvatura crítica es un punto clave. La curvatura crítica, la correspondiente al máximo momento de primer orden al que pude ser sometida la columna, puede ser menor que la curvatura última, como se indica en el diagrama momento-curvatura mostrado en la figura 3.6.En estos casos (fallo por estabilidad primaria) el momento total máximo será menor que el momento último (correspondiente al agotamiento del material). Para poder abordar el problema de estabilidad como un problema de agotamiento seccional debido al fallo del material, la curvatura a escoger es una ficticia y escogida de manera que el máximo momento de primer orden que puede ser introducido sea aproximadamente igual al real.



Figura 3.6. Curvatura crítica en columnas para distintos valores del axil

Para cargas axiales elevadas, la rama de post-plastificación del diagrama momento-curvatura tiene una cierta pendiente, desde el inicio hasta que se produce la rotura. Para cargas axiales bajas, no hay incremento significante de capacidad de resistir momento después de la plastificación, ya que la rama del diagrama momento-curvatura después de la plastificación es prácticamente horizontal. Por otro lado, la pendiente del momento de segundo orden, que puede ser obtenida por derivación de la ecuación (58) viene dada por:

21.0)( λµ⋅⋅=

∂∂ v

c

II

(59)

y se observa que crece con la carga axil y la esbeltez geométrica. Por tanto, la curvatura crítica depende de muchos factores, y especialmente del nivel de carga axil y de la esbeltez de la columna. Sin embargo, en la práctica, las simplificaciones siguientes son suficientemente aproximadas y serán por tanto adoptadas. Curvatura crítica para axiles mayores que la carga crítica (ν ≥ νb) Para este caso, la curvatura crítica se asume igual a la curvatura última (1/r=1/ru). La curvatura última puede ser obtenida mediante interpolación de dos situaciones conocidas como son la de compresión simple (punto A, en el diagrama de interacción, figura 2.3, para el cual 1/ru=0) y rotura crítica (punto B, para el cual 1/ru=((εcu-εsy)/d). Con esta aproximación y los valores de tensiones admisibles y recubrimientos previamente asumidos, la curvatura crítica para el caso de armadura simétrica en dos caras opuestas puede ser expresada por:

)1(556.0

0063.0 vc −++

= ωω

(60)

Curvatura crítica para axiles menores que la carga crítica (ν < νb)



En este caso, la curvatura crítica se obtiene por interpolación lineal entre la curvatura última para la carga crítica y la “curvatura de plastificación”, definida como la curvatura para la que el hormigón alcanza su resistencia a compresión (ε0 = -0.002). Se ha asumido que la posición de la resultante de las compresiones del hormigón coincide con la posición de la armadura de compresión. Esto nos da una profundidad de la fibra neutra de x/h=0.266 y una curvatura de c=0.002/0.266=0.0075. Entonces, de la interpolación lineal se obtiene la siguiente expresión para la curvatura crítica, que es asumida como válida para las tres distribuciones de armadura consideradas:

)3(0025.0 vc −= (61) 3.2.3. Efectos de segundo orden bajo cargas de larga duración: efecto de la fluencia. Bajo cargas diferidas en el tiempo la fluencia incrementa las tensiones en el hormigón, la curvatura de las secciones, las deformaciones de la columna y, por tanto, los efectos de segundo orden. Se toma ψ como la relación entre la deformación instantánea de compresión en el hormigón producida por las cargas diferidas, εcs0, y la producida por las cargas totales, εc0, (ψ = εcs0/εc0), y φ como el coeficiente de fluencia a largo plazo. Para piezas fisuradas, el incremento de curvatura debido a la fluencia depende además del coeficiente de fluencia del nivel de fisuración. Observaciones experimentales muestran que la tensión del acero permanece prácticamente constante en el tiempo (ver figura 3.7) y, por lo tanto, el incremento de curvatura puede ser expresado por:

ϕξψϕψϕψεϕεϕεε⋅⋅⋅

=⋅⋅

====

∆=

∆

rdx

rdx

xdx

xddt

trccscsc 11)(

)(1 000 (62)

Figura 3.7. Deformación por fluencia de una sección fisurada de hormigón

Aquí ξ=x/d es el valor instantáneo de la profundidad relativa de la fibra neutra bajo cargas diferidas. Para columnas, se puede adoptar un valor de la profundidad relativa de la fibra neutra de ξ=0.5. Este valor tiene en cuenta un cierto nivel de fisuración, y se considera suficientemente aproximado para modelar el incremento debido a la fluencia. Asumiendo el mismo comportamiento para todas las secciones de la columna, el incremento de excentricidad en función del tiempo ∆eφ(x, t) resulta:



ϕξψϕ ⋅⋅⋅∆=∆ ete )( (63) donde ∆e(x) es el exceso de excentricidad a corto plazo, dado por la ecuación (56). Aunque el factor de carga diferida ψ ha sido definido en términos de tensiones de compresión del hormigón, es más práctico definirlo en términos de esfuerzos internos, como axiles (NS/N), momentos flectores (MS/M) o ambos (NS/N)(MS/M). En este trabajo, se adopta la primera definición (ψ=NS/N), ya que se considera suficientemente adecuada para la propuesta de evaluar los limites inferiores de esbeltez. Entonces, los momentos efectivos de segundo orden, en cualquier instante de tiempo, serán dados por:

[ ]ξϕψϕϕ

21)(

1)( +⋅∆⋅=

∆

∆+∆⋅=∆+∆⋅= eN

ete

NNeNteNeNM s

SII (64)

y, de forma adimensional por:

[ ]ϕξψλµ ⋅⋅+⋅

−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅⋅= 2

2

02

010222 1125.01.0

ee

hevcv

hbfM

cd

IIII (65)

Arriba, c es la curvatura crítica adimensional. Puede ser evaluada mediante las ecuaciones (60) y (61). 3.3. Ecuaciones del límite inferior de esbeltez Una vez que la capacidad seccional y los momentos de segundo orden han sido analíticamente determinados, los límites inferiores de esbeltez pueden obtenerse adoptando la pérdida de capacidad de carga de la columna como una parte δ de la capacidad de carga de la correspondiente columna no esbelta. Las ecuaciones resultantes serán diferentes para los tres casos de carga descritos en el apartado 2.2.1. Lo obtenido en adelante es válido para el caso general en el que se tienen en cuenta los efectos de cargas diferidas en el tiempo. El caso de cargas puntuales en el tiempo se puede obtener simplemente sustituyendo ψ=0 para la relación de cargas diferidas. 3.3.1. Excentricidad constante. En este caso, la condición del límite puede ser establecida en términos de pérdida de capacidad de carga axil (δν) o pérdida de capacidad de carga de momento (δµ), como sigue:

δµµ =∆ ; vv δ=∆ (66) Aquí, ν y µ son los axiles o momentos últimos adimensionales, respectivamente, de la columna no esbelta. Estos son la carga última y momento último de la sección transversal de la columna, dados en el diagrama de interacción M-N. De acuerdo con la figura 2.3.a se tiene que:

βµβµµµ cotcot vDFEFEFGEGF IIIIII ∆+=⋅+=−=−==∆ (67)



y

µµv

OHGH

GFDFv

===∆∆ ;

µµ vv ∆=∆ (68)

Entonces, combinando las ecuaciones (67) y (68), y sustituyendo en la ecuación (66), la pérdida de momento puede ser expresada por:

δµβ

µ

µµ =

⋅−

=∆cot1 v

II

(69)

donde h canto de la sección transversal cotβ pendiente del diagrama de interacción δ factor de pérdida de capacidad de carga; δ=0.1 para un 10% de pérdida,

δ=0.05 para un 5% de pérdida ν,µ axil último y momento último adimensionales de la sección transversal,

obtenidos del diagrama de interacción µII momento adimensional efectivo de segundo orden La ecuación (69) es válida para las dos ramas del diagrama de interacción, teniendo en cuenta que cotβ<0 si ν≥νb y cotβ>0 si ν<νb. Ahora, sustituyendo µII de la ecuación (65) en la ecuación (69), y después de algunas operaciones, se obtiene la siguiente expresión general para los límites inferiores de esbeltez:

( ) ( )

⋅⋅+

−

⋅⋅

+⋅

−⋅⋅⋅+⋅

= ξϕψµδµ

βµξϕψ

δλδ2

2

02

01022 1125.0cot1

110

ee

hevv

vc (70)

En las expresiones de arriba, la relación µ/ν y la curvatura crítica “c” deben ser escogidas para los diferentes valores de axil de acuerdo con las ecuaciones (42), (44), (60) y (61). Sin embargo, si por simplicidad se sustituye la relación µ/ν por e02/h solo dentro del corchete, se obtiene una aproximación relativamente simple. La contradicción de reemplazar µ/ν por e02/h dentro del corchete y no fuera se considera aceptable ya que se obtiene una ecuación más simple con un error pequeño. De acuerdo con estas suposiciones, y llamando a la relación de excentricidades en extremos α=e01/e02, la ecuación (70) se transforma en: Para (ν≥νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+−

⋅⋅+⋅+⋅

= ξϕψδαβ

ξϕψωδλδ

22

022 1)1(25.0

/cot1

100063.0)12.04.0(

hev (71)



Particularizando para δ=0.1 y δ=0.5, la ecuación (71) se transforma en:

( ) ( )

⋅⋅+−+−

⋅⋅++

= ξϕψαβξϕψ

ωλ 22

02210 1)1(5.2

/cot1

112.04.06.12

hev (72)

( ) ( )

⋅⋅+−+−

⋅⋅++

= ξϕψαβξϕψ

ωλ 22

0225 1)1(0.5

/cot1

112.04.09.8

hev (73)

Para (ν<νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+−

⋅⋅+⋅−⋅−⋅+⋅

= ξϕψδαβ

ξϕψωδλδ

22

022 1)1(25.0

/cot1

1)3(00025.0))1(5.04.0(

hevvvv

(74)

Particularizando para δ=0.1 y δ=0.5, la ecuación (74) se transforma en:

( ) ( )

⋅⋅+−⋅+−

⋅⋅+⋅−−⋅+

= ξϕψαβξϕψ

ωλ 22

02210 1)1(5.2

/cot1

1)3()1(5.04.00.20

hevvvv

(75)

( ) ( )

⋅⋅+−⋅+−

⋅⋅+⋅−−⋅+

= ξϕψαβξϕψ

ωλ 22

0225 1)1(0.5

/cot1

1)3()1(5.04.01.14

hevvvv

(76)

Se puede observar que para ν=νb=0.44, las ecuaciones (71), (72) y (73) coinciden con las ecuaciones (74), (75) y (76), respectivamente, siendo la única diferencia el valor de cotβ. También es remarcable observar que las expresiones de arriba consideran la mayoría de parámetros que gobiernan la tensión y deformación de las columnas esbeltas. Estos parámetros son: - valor relativo del axil ν - excentricidad de primer orden e02/h - distribución de momentos de primer orden expresada mediante la relación de

excentricidades α=e01/e02 - cuantía de armadura ω para (ν<νb) - efecto de las cargas diferidas en el tiempo mediante el coeficiente de fluencia φ, el

nivel de fisuración ξ y la relación entre la carga diferida y la carga total, ψ. 3.3.2. Momento constante En este caso, como se puede observar en la figura 2.3.b, la pérdida de capacidad resistente es sinónimo de disminución del axil último, ya que el momento de primer orden se mantiene constante (∆µ=0). De hecho, este es un caso particular de excentricidad constante en el que ∆µ=0. Entonces, la condición del límite resulta:

vv δ=∆ (77)



Que es una particularización del caso de excentricidad constante. La ecuación (67) para este caso (∆µ=0) se transforma en:

βδβµ cotcot ⋅⋅−=∆−= vvII (78) Sustituyendo el momento de segundo orden µII de la ecuación (65), teniendo en cuenta las ecuaciones (42) a (46), y después de algunas operaciones, se obtienen las siguientes ecuaciones de los límites de esbeltez en el caso de momento constante: Para (ν≥νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+−

⋅⋅+⋅+⋅

= ξϕψδαβ

ξϕψωδλδ

22

022 1)1(25.0

/cot

100063.0)12.04.0(

hev (79)

Para (ν<νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+−

⋅⋅+⋅−⋅−⋅+⋅

= ξϕψδαβ

ξϕψωδλδ

22

022 1)1(25.0

/cot

1)3(00025.0))1(5.04.0(

hevvvv

(80)

Estas dos ecuaciones son idénticas a la (71) y (74) obtenidas para el caso de excentricidad constante, excepto que el primer término (el número 1) dentro del corchete de las ecuaciones (71) y (74) ha desaparecido en las ecuaciones (79) y (80). Por lo tanto, las ecuaciones (72), (73), (75) y (76) del caso de excentricidad constante son válidas para el caso de momento constante con solo eliminar el primer término de dentro del paréntesis. 3.3.3. Axil constante Como puede observarse en la figura 2.3.c, la pérdida de capacidad resistente es en este caso sinónimo de pérdida de momento último. Este decremento se ve que es igual al momento de segundo orden. Entonces:

δµµ =II (81) Este es también una particularización del caso de excentricidad constante, y puede ser obtenido también de la ecuación (67) para ∆ν=0. Siguiendo un procedimiento idéntico al usado en los dos casos precedentes, se obtienen las siguientes ecuaciones para los límites de esbeltez en el caso de axil constante: Para (ν≥νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+

⋅⋅+⋅+⋅

= ξϕψδα

ξϕψωδλδ

22

2 1)1(25.01100063.0

)12.04.0(v

(82)



Para (ν<νb)

( ) ( )

⋅⋅+

−+

⋅⋅+⋅−⋅−⋅+⋅

= ξϕψδα

ξϕψωδλδ

22

2 1)1(25.011)3(00025.0

))1(5.04.0(vv

vv (83)

Estas ecuaciones son iguales a la (71) y (74), exceptuando el término cotβ/(e0/h) dentro del corchete que ha desaparecido en las ecuaciones (82) y (83). Por tanto, las ecuaciones (72), (73), (75) y (76) para excentricidad constante son válidas para el caso de axil constante si eliminamos este término. 3.3. Propuesta de ecuaciones de diseño Con el objetivo de obtener expresiones útiles para aplicaciones prácticas de ingeniería, deben realizarse simplificaciones en las ecuaciones anteriores mediante la adopción de valores usuales para algunos de los parámetros que normalmente no son controlados por el ingeniero. Los valores propuestos son ψ=0.6, ξ=0.5 y φ=2.0. Otras variables, como cotβ y la curvatura crítica pueden ser simplificadas de acuerdo con lo que sigue: Para ν≥νb, cotβ (ecuación (43)) es una función de la cuantía de armadura, aunque su variación es baja para el rango de cuantías comprendido entre 0.2 y 1.0. Esto puede observarse en la tabla 3.2, donde se comparan valores de las tres distribuciones de armadura supuestas. Por tanto se adoptan valores constantes de cotβ=-0.3,-0.25 y-0.2 para las tres distribuciones de armadura, respectivamente.

Distribución de armadura ω=0,2 0,4 0,6 0,8 1 AdoptadoEn las caras sup. e inf. (1) -0,265 -0,293 -0,311 -0,324 -0,334 -0,300 La misma en las 4 caras (2) -0,233 -0,244 -0,251 -0,256 -0,259 -0,250 En las caras laterales (3) -0,201 -0,192 -0,186 -0,182 -0,178 -0,200

Para ν<νb (rotura a tracción controlada), la curvatura crítica (ecuación (61)) apenas varía con la carga axil, (c=0.0064 para ν=νb=0.44, y c=0.0075 para ν=0). Por tanto, puede ser considerada constante sin producir un error significante en la evaluación del límite inferior de esbeltez. Un valor conservador de c=0.0007 parece razonable. Cuando la cuantía de armadura es conocida, se proponen las siguientes expresiones para el límite inferior de esbeltez en el caso de excentricidad constante y armadura simétrica en dos caras opuestas y perpendicular al plano de flexión: Para (ν≥νb)

−++

+=

2

02

01

0210 14.3

/3.0112.04.08.10

ee

hevωλ (84)

−++

+=

2

02

01

025 18.6

/3.0112.04.06.7

ee

hevωλ (85)



Para (ν<νb)

−⋅+

−+

−⋅+=

2

02

01

0210 14.3

/5.01)1(5.04.08.10

ee

hev

vvvωλ (86)

−⋅+

−+

−⋅+=

2

02

01

025 18.6

/5.01)1(5.04.06.7

ee

hev

vvvωλ (87)

donde cotβ = 0.5-ν ≤ 0.3. Los coeficientes de fuera de la raíz cuadrada en las ecuaciones (86) y (87) deberían ser, de acuerdo con la curvatura crítica adoptada c=0.007, 10.2 y 7.2, respectivamente. Sin embargo, han sido ligeramente modificados (a 10.8 y 7.6), para uniformizar las distintas expresiones. Si el área de armadura no es conocida, se realizan las siguientes expresiones con el objetivo de obtener expresiones útiles de diseño de los límites: Para ν≥νb se puede obtener un valor de ω de la ecuación (42) tomando cotβ=-0.3 y que viene dado por:

133.3 −+= µω v (88) Este valor de ω es el estrictamente necesario para que la sección resista justamente el axil ν con la excentricidad de primer orden e02/h correspondiente. Entonces, con la ω aproximada antes, y con µ/ν sustituido por e02/h, las ecuaciones (84) y (85) quedan:

−++

−

+=2

02

01

02

0210 14.3

/3.017.04.033.18.10

ee

hevv

heλ (89)

−++

−

+=2

02

01

02

025 18.6

/3.017.04.033.16.7

ee

hevv

heλ (90)

Para ν<νb, sustituyendo ω de la ecuación (44) y reemplazando µ/ν por e02/h, las ecuaciones (86) y (87) quedan:

−+

−−=

2

02

01

02

0210 14.3

/5.018.10

ee

hev

heλ (91)

−+

−−=

2

02

01

02

025 18.6

/5.016.7

ee

hev

heλ (92)



donde 0.5-ν ≤ 0.3. De nuevo, el primer y segundo términos de dentro del corchete en las ecuaciones (84) a la (87) y (89) a la (92) deben ser eliminados para obtener las ecuaciones de los casos de momento constante y axil constante, respectivamente. Para el caso de excentricidad constante, las ecuaciones (89) y (91) de diseño propuestas, usadas para obtener el límite inferior λ10 cuando conocemos la cuantía de armadura, han sido grafiadas en la figura 3.8, para e01/e02=0. Se puede observar que, para un axil dado, el límite inferior de esbeltez crece considerablemente a medida que la máxima excentricidad de primer orden aumenta.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Máxima excentricidad de primer orden e02/h

Esbe

ltez

geom

étric

a l e/

h

n=0,2 n=0,4 n=0,6 n=0,8 n=1,0 n=1,2 n=1,4

Figura 3.8. Límite inferior de esbeltez propuesto respecto a la máxima excentricidad de

primer orden

Este resultado a simple vista puede parecer erróneo, ya que para un axil dado los efectos de segundo orden crecen a medida que la excentricidad de primer orden crece. Sin embargo, el incremento de excentricidad requiere un incremento de armadura que aumente considerablemente la rigidez y tensión admisible de la columna. Por lo tanto, en términos relativos, el incremento de los momentos de segundo orden es menor que el incremento de la tensión admisible dado por una cuantía mayor de armadura. Esto puede verse también en la figura 3.10, donde se ha representado la variación del límite inferior de esbeltez respecto a la variación del axil relativo que solicita la columna obteniendo un resultado análogo al de la figura 3.8, aumentando el límite de esbeltez a medida que el axil de primer orden aumenta. A simple vista también podría pensarse que esto debería ser al revés, pero por el mismo motivo que al aumentar la excentricidad de primer orden, cuando aumentamos el axil de primer orden se produce un incremento de armadura que aumenta en mayor medida la tensión admisible de lo que aumentan los momentos de segundo orden (comparándolo en términos relativos) debidos a este nuevo axil. En la figura 3.9 se han representado los resultados obtenidos de las ecuaciones de diseño (89) y (91) al variar el parámetro que relaciona las excentricidades en extremos

Límite inferior de esbeltez del 10%

e01/e02 = 0



de la columna estudiada. El caso más desfavorable es aquel en que los momentos producidos por las excentricidades extremas son de signo distinto. Esto es así ya que en este caso el máximo momento de primer y segundo orden coinciden en la misma sección. En el caso de momentos del mismo signo y valor, los momentos máximos de primer orden se producen en los extremos de la pieza, y no así los de segundo orden.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Relación de excentricidades de primer orden (e01/e02)

Esbe

ltez

geom

étric

a l e/

h

n=0,2 n=0,4 n=0,6 n=0,8 n=1,0 n=1,2 n=1,4

Figura 3.9. Límite inferior de esbeltez propuesto respecto a la relación entre excentricidades de primer orden

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Axil relativo n

Esbe

ltez

geom

étric

a l e/

h

Figura 3.10. Límite inferior de esbeltez propuesto respecto al nivel del axil relativo


e01/h = 0.5


e01/h = 0.7 e01/e02 = 0



Para las demás distribuciones de armadura se pueden obtener expresiones similares siguiendo el mismo procedimiento que antes y, usando los valores de los parámetros que definen el diagrama de interacción, obtenidos en el Anejo 1. En este punto, surge una pregunta sobre si tiene sentido utilizar las ecuaciones (84) a (87) en vez de las ecuaciones (89) a (92), de uso más simple. De hecho, se sabe que la cuantía mecánica de armadura estrictamente necesaria para resistir un axil dado νd y un momento de primer orden µd es un valor único, e igual al dado por el diagrama de interacción. Se puede afirmar, por tanto, que no es necesario incluir en la ecuación para obtener el límite inferior de esbeltez los tres parámetros νd, µd y ω. Sin embargo, cuando se diseña una columna, hay multitud de hipótesis de carga a considerar. La cuantía de armadura adoptada en el diseño será el mayor valor obtenido en las distintas hipótesis de carga. El uso de las ecuaciones (89) a (92) implica asumir que la hipótesis de carga que da la máxima cuantía de armadura coincide con la que produce el máximo momento de segundo orden. Esto puede parecer razonable en las etapas de diseño, pero no siempre es cierto. Por tanto, las ecuaciones (84) a (87) serán útiles si se va a obtener un valor más exacto del límite inferior de esbeltez o para la valoración de un edificio existente en el que la cuantía de armadura de las columnas es conocida.

Capítulo 3 MÉTODO PROPUESTO PARA LA OBTENCIÓN DE …

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