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Capítulo 3:
Campos ElectromagnéticosEstáticos
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Flujo de un campo vectorial
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Superficie cerrada
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Ley de Gauss
Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
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Flujo de E generado por una carga puntual
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Superficie arbitraria
Para una esfera
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Carga fuera de la superficie
El flujo neto es nulo
N líneas que entran = N líneas que salen
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Varias cargas puntuales
Principio de superposición
?
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Análogamente para una distribución de carga
qin : carga neta encerrada por la superficie gaussiana
Ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividido ε0
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Cálculo de E utilizando la Leyde Gauss
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Esfera uniformemente cargada
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Cascaron esférico delgado
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Alambre infinito
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Plano infinito
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Dos planos infinitos paralelos +σ y -σ
E = 0 en (i) y (iii)E = 2 σ / ε0 en (ii)
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Conductores en equilibrioelectrostático
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Propiedades básicas de los conductores
1- E = 0 dentro del conductor (V cte)
2- La carga neta dentro del conductor es cero.
3- El exceso de carga se ubica en la superficie
4- E es perpendicular a la superficie
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Modelo: gas de electrones libres
Cu: [Ar] 3d10 4s1
electrones de conducción
Un conductor se caracteriza por que losportadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo. Si lascargas en un conductor en equilibrio estánen reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos interiores del mismo deberá ser cero, de otro modo, lascargas se moverían originado unacorriente eléctrica.
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La circulación de E es la suma de cuatro contribuciones:-Tramo CD es nula, por ser el campo en el interior de un conductor cero. -Tramos AD y BC son aproximadamente cero por ser sus longitudes muypequeñas |AD|=|BC|≈0. -La contribución en el lado AB deberá ser por tanto cero para que la sumatotal sea cero. Esto solamente es posible, si el campo E es perpendicular a la superficie del conductor.
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Módulo del campo eléctrico en lasproximidades de la superficie de un conductor
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Efecto punta
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Ley de Gauss en forma diferencial
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Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de cargapuede escribirse de la manera siguiente:
Forma integral de la ley de Gauss
Aplicando al primer término el teorema divergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferencialesvolumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquiervolumen, solo puede ser que:
Forma diferencial de la ley de Gauss
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Las cargas eléctricas son las fuentes de los camposeléctricos
Esta ecuacion se puede escribir en términos del potencialeléctrico:
Reemplazando, se obtiene:
Ecuación de Poisson
Si se toma en una región del campo donde la densidad de cargaes cero:
Ecuación de Laplace
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∇×E= ?
∇×E=0Como:
Ecuaciones de Maxwell para la Electrostática
x 0
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Capacitores y Dieléctricos
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Dispositivos quealmacenan cargas
Capacitores
Capacidad de un conductorEn un conductor aislado q es proporcional a V (V(∞ ) = 0)
C: Capacidad
[C] = C/V = F (Faradio)q = C V
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Ejemplo:
Conductor esférico cargado
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Capacitores
∆V
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Capacitor de placas paralelas
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Ejemplo:A = 1 cm x 1 cm
d= 1 mm
C = 0.88110-12 F = 0.88 pF
Símbolos
Capacitor
Bateria
Interruptor
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Capacitor esférico
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Combinación de capacitores en paralelo
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Combinación en serie
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Energía almacenada en un capacitor
Energía potencial almacenada en el capacitor
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A
d
Para un capacitor de placas paralelas
Ad : volumen comprendido entre las placas
Densidad de energíaEnergía por unidad de volumen almacenada en el campo eléctrico
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Capacitores con dieléctrico
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Para un capacitor de placas paralelas:
κ : constante dieléctrica
V y d están limitadas
E = V/d cuando E supera cierto valor se produce unadescarga eléctrica y el medio empieza a conducir
Ruptura Dieléctrica
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El dieléctrico brinda las siguiente ventajas:
-Aumenta la capacidad
- Aumenta el voltaje de operaciónmáximo
- Proporciona soporte mecanico entreplacas
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Tipos de capacitores
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Algunas aplicaciones
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Polarización de la materia
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Átomos y MoléculasEl centro de cargas positiva coincide con el centro de carga negativa
P = α E (α polarizabilidad electrónica)
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Moléculas polares
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Definimos el vector densidad de polarización:
Momento dipolar por unidad de volumen
Si el campo eléctricoexterno no es muy intenso
P α E
χe susceptibilidad eléctrica del material
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d
P
-qp +qp
p = P A d
p = qp d = σp A d
σp = P
P µn σp = P . µn
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Generalización de la ley de Gauss
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Definimos:
Permeabilidad del material
Definimos:
Desplazamiento eléctrico
Ley de Gauss Generalizada
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Forma diferencial: