Capítulo 2 Termoluminiscencia - Universidad de Sonora
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Capítulo 2
Termoluminiscencia
La luminiscencia de un sólido es la emisión de radiación, como consecuencia de
una absorción previa de la misma. La radiación emitida es de una longitud de onda menor
que la radiación absorbida (ley de Stokes). Es importante notar que la longitud de onda ()
de la luz emitida es característica del sólido y no de la radiación incidente.
La emisión luminosa puede ser fluorescente o fosforescente, dependiendo de la vida
media característica (c) entre la absorción de la energía de excitación y la emisión
luminosa. La fluorescencia se observa inmediatamente en forma simultánea con la
excitación con c 10-8
s. Contrariamente, la fosforescencia está caracterizada por un
retraso entre la absorción de la radiación y el tiempo máximo para alcanzar el nivel
máximo de emisión con c 10-8
s.
La excitación del sólido con algún tipo de radiación es una condición para la
emisión de luz, el nombre que se le da a la emisión luminosa es por la fuente de excitación,
puede ser por ejemplo por luz infrarroja y ultravioleta (fotoluminiscencia), por electrones
(catodoluminiscencia) y por campo eléctrico (electroluminiscencia). Es importante
mencionar que la termoluminiscencia (TL) o luminiscencia estimulada térmicamente
clasificada como un fenómeno fosforescente, no es la excitación térmica de una emisión, y
no es la emisión de luz de un cuerpo cuando es calentado a alta temperatura (radiación
térmica o radiación de cuerpo negro).
La TL es la emisión de luz de un material (semiconductor o aislante). El material
debe ser expuesto a radiación ionizante (o no ionizante) y posteriormente estimulado con
energía calorífica. Cuando se eleva la temperatura del material es estimulada la emisión de
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luz, y el material no puede emitir luz (TL) de nuevo simplemente calentando la muestra o
bajando la temperatura de la misma. Es necesario volver a irradiar el material luminiscente
y posteriormente aumentar la temperatura obteniéndose así la emisión de luz (TL).
La TL requiere la exposición del material a una fuente de irradiación a temperatura
ambiente T0, y a continuación el estimulo calórico a una temperatura T T0; obteniéndose
después una curva de TL (glow curve) conocida como curva de brillo (temperatura en
función de la intensidad de emisión).
Se ha documentado que en 1663, Sir Robert Boyle fue el primero en observar TL en
diamante natural. Sin embargo, en 1939, Johnson y posteriormente en 1949, Williams
proponen un modelo de bandas de energía para la luminiscencia en sólidos. No obstante, el
primer modelo de la teoría de TL fue desarrollado por Randall & Wilkins en 1945,
conjuntamente con los trabajos de Garlick & Wilkins en el mismo año, y posteriormente en
1948, por Garlick & Gibson (McKeever, 1985; Chen and McKeever, 1997).
2.1 Modelo sencillo
En la Figura 7 se ilustra el modelo sencillo de dos niveles localizados para TL. El
primero está situado entre el nivel de demarcación De y la banda de conducción (BC). El
segundo se localiza entre el nivel de Fermi Ef y el nivel de demarcación Dh. El primero se
denomina trampa 𝑁 y el segundo centro de recombinación 𝑚 .
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Figura 7 Modelo sencillo de dos niveles para TL. Transiciones permitidas: (1) ionización,
(2) y (5) atrapamiento; (3) liberación térmica y (4) recombinación radiativa con emisión de
luz (de McKeever, 1985)
Los electrones serán atrapados en la trampa 𝑁 con una energía menor que Ef y los
huecos serán atrapados en el centro de recombinación m con energía mayor que Ef. En un
estado de equilibrio termodinámico a la temperatura de 0 oK, la trampa 𝑁 arriba de Ef está
vacía, mientras que el centro de recombinación 𝑚 debajo de Ef está ocupado por
electrones.
Después de la exposición del material con radiación ionizante, el sistema es
perturbado del estado de equilibrio termodinámico. Si la radiación absorbida por el material
(h)a es mayor a la energía de la banda prohibida EC – EV, causará la expulsión (ionización)
de un electrón de la banda de valencia (BV), creando electrones libres en la BC y huecos
libres en la BV (transición 1).
Eventualmente, los electrones libres en la BC serán atrapados en la trampa 𝑁
(transición 2), y los huecos libres en la BV serán atrapados en el centro de recombinación
𝑚 (transición 5). Por lo que existirá una concentración en igual cantidad de electrones y
huecos atrapados en los dos niveles de energía localizados en la banda prohibida (BP) y
permanecerán en un estado metaestable. Los portadores de carga permanecerán en los
estados metaestables por un tiempo determinado y dependerá del tipo de defectos y la
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temperatura del material. Sin embargo, los electrones atrapados en la trampa 𝑁, con la
estimulación térmica (transición 3), podrán tener la energía necesaria para escapar del nivel
localizado. De donde, la probabilidad por unidad de tiempo de liberar al electrón desde la
trampa 𝑁, depende exponencialmente de la temperatura, según el factor de Boltzmann
p = s e−E
kT
En donde
𝑠 = el factor de frecuencia 𝑠−1
𝐸 = la energía de activación 𝑒𝑉
𝑘 = la constante de Boltzmann 0.862𝑥10−4 𝑒𝑉/𝐾
𝑇 = la temperatura absoluta (oK)
La energía de activación 𝐸, es la energía requerida para liberar al electrón del estado
metaestable (la trampa 𝑁), y también es llamada la profundidad de la trampa. El valor de𝐸
es la diferencia de energía entre la trampa 𝑁 y la BC. La trampa 𝑁 físicamente es una
barrera de potencial, y 𝑠 es el producto del número de veces que el electrón golpea las
paredes de la barrera de potencial y el coeficiente de reflexión. Es del orden de la
frecuencia vibracional del cristal, 1012
s-1
.
La rapidez de desatrapamiento de los electrones con la excitación térmica y
suponiendo el posible reatrapamiento de los mismos hacia la trampa 𝑁 es
𝑑𝑛
𝑑𝑡= − 𝑛 𝑠 𝑒−
𝐸𝑘𝑇 + 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛
En donde 𝑑𝑛 𝑑𝑡 es la rapidez de cambio en el número de electrones liberados por
unidad de tiempo.
𝑛 = la concentración de electrones atrapados en la trampa 𝑁 𝑐𝑚−3
𝑛𝐶 = la concentración de los electrones libres en la BC 𝑐𝑚−3
𝑁 = la concentración total de trampas de electrón 𝑐𝑚−3
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𝐴𝑛 = la probabilidad de reatrapamiento en la trampa 𝑁 𝑐𝑚3 𝑠−1
La estimulación térmica perturba al sistema de su estado de metaestable y
eventualmente libera al electrón de la trampa 𝑁, los electrones libres podrán permanecer en
la BC o reatraparse en la trampa 𝑁, así como también atraparse en el centro de
recombinación m (transición 4). Sin embargo, después de la relajación estimulada
térmicamente, el material llegara a la condición de equilibrio térmico, haciéndolo con la
emisión de luz (TL) o cediendo el exceso de energía a la red cristalina. Si la interacción
electrón-hueco en el centro de recombinación m es radiativa habrá emisión de luz (TL). La
intensidad de luz emitida es
𝐼 𝑡 −𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡= 𝐴𝑚 𝑚 𝑛𝐶
En donde
𝑚 = la concentración de huecos atrapados en el centro de recombinación 𝑐𝑚− 3
𝐴𝑚 = la probabilidad de recombinación 𝑐𝑚3 𝑠−1
El flujo de los electrones libres en la BC es
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡= −
𝑑𝑛
𝑑𝑡 +
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡= 𝑛 𝑠 𝑒−
𝐸𝑘𝑇 − 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 − 𝐴𝑚 𝑚 𝑛𝐶
Con la suposición de cuasiequilibrio (Chen and McKeever, 1997)
27
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 ≪
𝑑𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 ≪
𝑑𝑚
𝑑𝑡
La concentración de electrones libres en la BC es
𝑛𝐶 = 𝑠 𝑛 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
𝑚 𝐴𝑚 + 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛
La intensidad de emisión de luz (TL) es
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑠 𝑛 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
𝑚 𝐴𝑚 + 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 𝑚 𝐴𝑚
Definiendo la sección transversal de reatrapamiento-recombinación como
= 𝐴𝑛
𝐴𝑚
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡= 𝑠 𝑛 𝑒−
𝐸𝑘𝑇 1 −
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 𝑛 + 𝑚
Es la ecuación general de una trampa 𝑁 para la intensidad de TL (Furetta and
Weng, 1998; Furetta and Kitis, 2004; Furetta, 1998).
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2.1.1 Cinética de primer orden
Como sugirieron Randall y Wilkins en 1945 (McKeever, 1985), cuando un electrón
es liberado bajo estimulo calórico y transportado a la BC, éste se recombina
inmediatamente con un hueco emitiendo un fotón. Es decir, el re-atrapamiento de los
portadores de carga es insignificante durante la etapa de calentamiento de la muestra.
𝑚 𝐴𝑚 ≫ 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛
= 0
Por lo que la intensidad de luz TL
𝐼 𝑡 = − 𝑑𝑚
𝑑𝑡= 𝑠 𝑛 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
Por otro lado, considerando la condición de neutralidad de la carga para una trampa
𝑁 y un centro de recombinación 𝑚
𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑑𝑛
𝑑𝑡 +
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡
y de la suposición de cuasiquilibrio, ya mencionada anteriormente
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 ≪
𝑑𝑛
𝑑𝑡
Luego entonces
𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑑𝑛
𝑑𝑡
De esta forma, la intensidad de emisión de luz TL
29
𝐼 𝑡 = − 𝑑𝑛
𝑑𝑡= 𝑠 𝑛 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
La ecuación diferencial describe el transporte (flujo) de portadores de carga en la
red en un proceso de primer orden, en donde 𝑛 es la densidad de ocupación (electrones en
la trampa 𝑁). Las curvas de TL calculadas a partir de ésta ecuación son conocidas como
curvas de TL de primer orden. −𝑑𝑛 𝑑𝑡 representa la rapidez de cambio del número de
portadores de carga por unidad de tiempo, además 𝑠 es una constante característica de la
trampa y del material termoluminiscente, y 𝐸 es la energía de activación requerida para
liberar a un portador de carga atrapado (profundidad de la trampa).
𝐼 𝑡 es el número de fotones por unidad de volumen y por unidad de tiempo,
𝐼 (𝑡) = 𝑐𝑚3 𝑠−1. Queremos obtener el número de fotones, por unidad de volumen y por
unidad de tiempo, en una situación física en el cual la liberación de electrones se logra
mediante una estimulación térmica.
− 𝑑𝑛
𝑑𝑡= 𝑠 𝑛 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
Si utilizamos una rapidez de calentamiento lineal
𝑑𝑇
𝑑𝑡 =
𝑇 = 𝑇𝑖 + 𝑡
Integrando
𝑑𝑛
𝑛
𝑛
𝑛0
= − 𝑠
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
30
𝑛 𝑇 = 𝑛0 𝑒𝑥𝑝 −𝑠
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
En donde 𝑛 número de electrones desatrapados durante el estimulo calórico.
Suponiendo que todos los electrones se recombinan radiativamente con un centro de
recombinación cercano a la BV, la intensidad 𝐼 de la luz emitida (proporcional a la razón de
desatrapamiento)
𝐼 𝑡 = −𝑐 𝑑𝑛
𝑑𝑡
𝐼 𝑇 = 𝑠 𝑛0 𝑒−𝐸𝑘𝑇 𝑒𝑥𝑝 −
𝑠
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
La gráfica de 𝐼 en función de 𝑇 es la curva de brillo (glow curve). Sólo depende
de tres parámetros 𝐸, 𝑠 y 𝑏. En donde 𝑏 es el orden de cinética en la recombinación
radiativa, y en cinética de primer orden 𝑏 = 1. La energía de activación puede tener
valores de alrededor de 20𝑘𝑇 en el rango de los picos de TL y el factor 𝑒−𝐸
𝑘𝑇 puede ser del
orden de 10−7. 𝐼 (𝑇) en la forma anterior, es la expresión de Randall-Wilkins para primer
orden de un pico de TL aislado y la forma de la curva de brillo es una campana asimétrica
con una intensidad máxima a una temperatura característica 𝑇𝑚á𝑥 .
La curva de brillo generalmente puede incluir varias curvas traslapadas que a su vez
pueden tener las características de un proceso de primer o segundo orden separadamente.
Sin embargo, cada pico o banda en la curva de brillo es debido a un tipo de trampa y en
principio puede involucrar la existencia de distintos centros de recombinación (con distinta
profundidad). Necesitamos conocer la energía de activación de los centros de
recombinación, para ello, es necesario encontrar el máximo de temperatura 𝑇𝑚á𝑥
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𝑑 𝐼 (𝑡)
𝑑𝑇= 0 𝑒𝑛 𝑇 = 𝑇𝑚á𝑥
La derivada logarítmica
𝑑 (ln 𝐼 )
𝑑𝑇 𝑇= 𝑇𝑚 á𝑥
Luego entonces, el logaritmo de la expresión de Randall y Wilkins para primer orden
𝐼 𝑇 = 𝑠 𝑛0 𝑒−𝐸𝑘𝑇 𝑒𝑥𝑝 −
𝑠
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
ln 𝐼 (𝑇) = ln 𝑐 𝑛0 𝑠 + −𝐸
𝑘 𝑇+ −
𝑠
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
Evaluando en 𝑇 = 𝑇𝑚á𝑥 obtenemos
𝐸
𝑘 𝑇𝑚á𝑥2 = 𝑠 𝑒
− 𝐸
𝑘𝑇𝑚 á𝑥
De donde podemos determinar 𝐸 , la energía de activación, si conocemos 𝑠 , el factor
de frecuencia.
2.1.2 Cinética de segundo orden
Garlick y Gibson en 1948 (McKeever, 1985), suponen que existe igual probabilidad
de que los portadores de carga se reatrapen y desatrapen con la estimulación térmica. La
cinética de segundo orden describe la situación física en la cual el reatrapamiento de
electrones es predominante, es decir,
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𝑚 𝐴𝑚 ≪ 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛
Los electrones excitados térmicamente son re-atrapados antes de recombinarse en
un centro. La intensidad de emisión de luz (TL)
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑠 𝑛 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
𝑚 𝐴𝑚 + (𝑁 − 𝑛)𝐴𝑛 𝑚 𝐴𝑚
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑠 𝑛 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
(𝑁 − 𝑛)𝐴𝑛 𝑚 𝐴𝑚
Si la trampa 𝑁 está lejos de la saturación, es decir, 𝑁 ≫ 𝑛
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑚
𝑑𝑡=
𝑠 𝑛 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
𝑁𝐴𝑛 𝑚 𝐴𝑚
y con la condición
𝑚 = 𝑛
𝐼 𝑡 = −𝑑𝑛
𝑑𝑡=
𝐴𝑚 𝑠 𝑛2 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
𝑁𝐴𝑛
−𝑑𝑛 𝑑𝑡 es proporcional a 𝑛2 (una reacción de segundo orden). Hacemos
𝑠´ = 𝑠 𝐴𝑚
𝑁 𝐴𝑛
Por lo que la emisión de luz TL
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𝐼 𝑡 = − 𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑠´ 𝑛2 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
Es la expresión de segundo orden (Garlick y Gibson). La cinética de segundo orden
es conocida como cinética bimolecular ( 𝐼 = − 𝑑𝑛 𝑑𝑡 ∝ 𝑛2 ). Por otro lado, si
suponemos que
𝐴𝑚 = 𝐴𝑛
𝑠´ =𝑠
𝑁
En donde 𝑠´ es el factor pre-exponencial con 𝑠´ = 𝑐𝑚3𝑠− 1. Deseamos obtener
el número de fotones por unidad de volumen y por unidad de tiempo, cuando existe un
reatrapamiento de portadores de carga después del estimulo térmico.
− 𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑠´ 𝑛2 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
Por ello, consideramos nuevamente una razón de calentamiento lineal
𝑑𝑇
𝑑𝑡 =
𝑇 = 𝑇𝑖 + 𝑡
Integrando
𝑑𝑛
𝑛2
𝑛
𝑛0
= − 𝑠′
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
Con solución
𝑛 𝑇 = 𝑛0 1 + 𝑛0 𝑠
´
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
− 1
34
En una cinética de segundo orden
𝐼 𝑇 = 𝑐 𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑐 𝑠´ 𝑛2 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
y sustituyendo 𝑛 𝑇 , la intensidad de emisión de luz TL para una situación física donde
existe reatrapamiento de portadores de carga después del estimulo calórico.
𝐼 𝑇 = 𝑐 𝑠´ 𝑛0
2 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
1 + 𝑛0 𝑠´
𝑒−
𝐸
𝑘𝑇´𝑇
𝑇𝑖 𝑑𝑇´
2
Físicamente existe igual número de centros y huecos susceptibles a recombinarse
simultáneamente con el estimulo térmico. Una curva de brillo simétrica generalmente es
característica de un proceso termoluminiscente con una cinética de segundo orden. La
banda de TL correspondiente a una cinética de primer orden decae más rápidamente que la
curva de una cinética de segundo orden. Existen métodos de análisis gráficos como
veremos más adelante, que conjuntamente con los modelos teóricos citados se pueden
determinar los parámetros cinéticos como los factores de frecuencia, los anchos de las
bandas TL, la cinética característica del proceso de recombinación radiativa y por supuesto
la profundidad de la trampa.
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2.1.3 Cinética de orden general
May y Partridge en 1964 (Furetta, 2003) obtuvieron una expresión empírica para
tomar en cuenta situaciones experimentales de procesos intermedios en el orden de cinética
para los electrones recombinados con el estimulo calórico. Al igual, que en el primer y
segundo orden en la cinética de recombinación asumen que el nivel de energía de las
trampas es único. El número de portadores de carga 𝑛 en el nivel de energía es
proporcional a 𝑛𝑏 . Por lo que, la razón de probabilidad de escape de la trampa 𝑁 es
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = − 𝑠´ 𝑛𝑏 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
En donde 𝑠´ = 𝑐𝑚3 𝑏−1 𝑠− 1 , y 𝑏 es el parámetro de cinética de orden general
y está definido entre 1 y 2, así que 𝑑𝑛 𝑑𝑡 𝑛𝑏 es la expresión de TL para la cinética de
orden general de May y Partridge. Por supuesto, si hacemos 𝑏 = 2 obtenemos la ecuación
de Garlick y Gibson y si 𝑏 1 , la ecuación de Randall y Wilkins.
𝑑𝑛
𝑛𝑏 = − 𝑠´ 𝑒−
𝐸𝑘𝑇 𝑑𝑡
Utilizando una razón de calentamiento lineal
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
𝑇 = 𝑇𝑖 + 𝑡
Integrando
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𝑑𝑛
𝑛𝑏
𝑛
𝑛0
= − 𝑠´
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
𝑛 (𝑇) = 𝑛0 1 + 𝑛01−𝑏 𝑏 − 1
𝑠´
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
1
1−𝑏
Hacemos
𝑠´´ = 𝑠´ 𝑛0𝑏−1
𝑛 (𝑇) = 𝑛0 1 + 𝑠´´(𝑏 − 1
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
1
1−𝑏
Por lo que, la intensidad de emisión de luz, 𝐼 (𝑡) para la cinética de orden general
𝐼 𝑡 = − 𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑠´ 𝑛𝑏 𝑒−
𝐸𝑘𝑇
𝐼 𝑇 = 𝑠´´ 𝑛0 𝑒−
𝐸𝑘𝑇 1 +
𝑠´´(𝑏 − 1)
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
−𝑏
𝑏 −1
En donde, 𝑠´´ = 𝑠´ 𝑛0𝑏−1 y 𝑠´´ = 𝑠−1 . Sin embargo, 𝑠´ = 𝑐𝑚3 𝑏−1 𝑠−1 , 𝑠´
cambia con el orden 𝑏 y es difícil de interpretar físicamente. El factor 𝑒− 𝐸
𝑘𝑇 aumenta con
la temperatura y el factor 1 + 𝑠´´ 𝑏 − 1
𝑒
−𝐸
𝑘𝑇 ´𝑇
𝑇𝑖 𝑑𝑇´
− 𝑏
𝑏−1
disminuye cuando aumenta la
temperatura.
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La expresión de May y Partridge para la TL en la cinética de orden general es
empírica, en el sentido de que no existe un modelo físico para explicar el orden general en
la cinética, sólo la cinética de primer y segundo orden tiene una interpretación física
satisfactoria como veremos en el modelo de Bräunlich & Scharman, el cual, se fundamenta
en el flujo de los portadores de carga durante la irradiación y la estimulación calorífica en
los niveles localizados (trampas de electrón y hueco) en la banda prohibida y en las bandas
deslocalizadas (BV y BC).
2.2 Modelo de Bräunlich-Scharmann (Modelos más complejos)
Una interpretación física más satisfactoria de la cinética de TL está basada en una
descripción más compleja de los centros de TL en el gap prohibido como lo ha
documentado McKeeever (1985) y Mahesh et al. (1989). El modelo más complejo de
niveles de energía para TL, fue originalmente propuesto en 1939 por Riehl y Schön; y
posteriormente en 1942 por Schön.
En él se explica que la liberación térmica de electrones hacia la BC y sus
recombinaciones con huecos atrapados así como la liberación térmica de huecos atrapados
y sus recombinaciones con electrones atrapados son permitidas y ocurren al mismo tiempo.
El esquema de nivel de energía fue usado después por Klasens en 1946 y otros autores para
explicar el el quenching térmico en fósforos de sulfuro. El modelo de Bräunlich-Scharman
considera una trampa de electrón, una trampa de hueco y las transiciones de re-
atrapamiento de los portadores de carga libre hacia sus respectivas trampas como se ilustra
en la Figura 8.
Bräunlich y Scharmann en 1966, propusieron una serie de cuatro ecuaciones
simúltaneas para el flujo de los portadores de carga durante la estapa de excitación térmica,
fundamentándose en el esquema de nivel de energía propuesto por Schön en 1942. Sin
embargo, las soluciones a las ecuaciones diferenciales propuestas en el Modelo de
Bräunlich y Scharmann son sólo para casos muy especificos como explicaremos
posteriormente.
38
Es necesario determinar la razón de cambio en el número de portadores de carga
atrapados durante la irradiación y la estimulación calorífica en los niveles localizados
(trampas electrón y hueco) en la banda prohibida y en las bandas deslocalizadas. Las
transiciones de energía durante la TL consideradas en el nuevo modelo se representan en la
Figura 8.
Figura 8 Modelo de Bräunlich-Scharman (modificado de Furetta y Kitis, 2004)
El flujo de los electrones libres en la BC como ya se explico en el modelo sencillo
dependió de las transiciones:
La excitación de un electrón de valencia de la matriz cristalina de un átomo hacia la
BC y con suficiente energía para moverse libremente en la red (transición 1). El proceso de
ionización debido a la absorción de energía de una fuente de excitación externa, crea pares
electrón-hueco con libertad de moverse en la BC y BV, respectivamente. El electrón y
hueco permanecerán en los niveles extendidos en la red cristalina por un tiempo hasta que
llegan a localizarse en los niveles localizados.
La razón de re-atrapamiento (transición 2), es decir, el flujo de electrones libres
hacia la trampa 𝑁 , será proporcional al número de trampas disponibles para los electrones
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𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 y al coeficiente de captura para los electrones de conducción hacia la trampa
𝐴𝑛 .
La rapidez de cambio de los electrones desde la trampa 𝑁 hacia la BC (transición
3), será proporcional a la concentración de electrones atrapados 𝑛 (en la trampa de electrón
𝑁) y a la probabilidad de que los electrones atrapados pasen a la BC bajo excitación
térmica 𝑝 𝑠𝑝 𝑒− 𝐸𝑝
𝑘𝑇 .
La rapidez de cambio de los electrones hacia el centro de recombinación 𝑚
(transición 4), será proporcional a la concentración de electrones de conducción 𝑛𝐶 y al
número de centros de recombinación disponibles [éste producto es la concentración de
huecos atrapados 𝑚 (en el centro de recombinación 𝑁 ) y el coeficiente de captura para
los electrones de conducción hacia los niveles de recombinación 𝐴𝑚 .
Por lo que, la primera ecuación diferencial de llenado de los niveles localizados
(trampa 𝑁 y trampa 𝑁 ), esto es, el flujo de los electrones libres en la BC es
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 = 𝑓 − 𝑛𝐶 𝐴𝑛 𝑁 − 𝑛 + 𝑛 𝑝 − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚
En donde
𝑛𝐶 = es la concentración de electrones libres en la BC
𝑓 = es la razón de generación de pares electrón-hueco durante la irradiación en
unidades de 𝑐𝑚3 𝑠−1
𝐴𝑛 = es el coeficiente de captura ó la probabilidad de re-atrapamiento en unidades
de 𝑐𝑚3 𝑠−1 para los electrones de conducción hacia la trampa;
𝑁 = es la concentración total de trampas de electrón en unidades de 𝑐𝑚−3
𝑛 = es la concentración de electrones atrapados
𝑝 = es la probabilidad de excitación térmica para electrones desde la trampa 𝑁
hacia la BC
40
𝑚 = es la concentración de huecos atrapados en el centro de recombinación 𝑁
(ambos en unidades de 𝑐𝑚−3)
𝐴𝑚 = es la probabilidad de recombinación 𝑐𝑚3𝑠−1
Sin embargo, en el modelo de Bräunlich-Scharman es necesario conocer el flujo de
los huecos libres en la BV, que dependerá de las siguientes transiciones.
La razón de generación de pares electrón-hueco durante la irradiación (transición 1).
La razón de re-atrapamiento (transición 5) será proporcional al número de trampas
disponibles para los huecos 𝑛𝑉 𝑁 − 𝑚 y al coeficiente de captura para los huecos en
la BV hacia el centro de recombinación 𝐴 .
En el modelo de Bräunlich-Scharman, se supone que los huecos atrapados en la
trampa 𝑁 con el estimulo calórico (transición 6) podrán tener la energía necesaria para
escapar del nivel localizado. Por lo que, la rapidez de cambio de los huecos desde la
trampa 𝑁 hacia la BV (transición 6) será proporcional a la concentración de huecos
atrapados 𝑚 (en la trampa de huecos 𝑁 ) y a la probabilidad de que los huecos atrapados
pasen a la BV bajo excitación térmica 𝑠 𝑒− 𝐸𝑘𝑇 .
En el modelo también se admite la rapidez de cambio de los huecos hacia la trampa
de electrón 𝑁 (transición 7), la cual, será proporcional a la concentración de huecos en la
BV y al número de trampas de electrón disponibles [éste producto es la concentración de
electrones atrapados 𝑛 (en la trampa de electrón 𝑁 ) y el coeficiente de captura para los
huecos desde la BV hacia la trampa de electrón ].
Por lo que, la segunda ecuación diferencial de llenado de los niveles localizados
(trampa 𝑁 y trampa 𝑁 ), es decir, el flujo de huecos libres en la BV es
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 = 𝑓 − 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 + 𝑚 − 𝑛𝑉 𝑛
En donde
41
𝑛𝑉 = es la concentración de huecos libres en la BV
𝐴 = es el coeficiente de captura o la probabilidad de re-atrapamiento ( en
𝑐𝑚3 𝑠−1) para los huecos en la BV hacia el centro de recombinación
𝑁 = es la concentración total de centros de recombinación (en 𝑐𝑚−3)
= es la probabilidad de excitación térmica para huecos desde la trampa 𝑁 hacia
la BV
= es el coeficiente de captura para los huecos desde la BV hacia la trampa de
electrón 𝑁
En el modelo sencillo ya se encontró la rapidez de desatrapamiento de los electrones
con la excitación térmica suponiendo el posible reatrapamiento de los mismos hacia la
trampa 𝑁 , sin embargo, en el modelo de Bräunlich-Scharman es necesario suponer la
transición 7. Por lo que la rapidez de cambio en el número de electrones liberados por
unidad de tiempo es
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 − 𝑛 𝑝 − 𝑛𝑉 𝑛
La rapidez de cambio en el número de huecos atrapados en el nivel localizado (en
la trampa de hueco) incluirá las transiciones 4, 5 y 6.
𝑑𝑚
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 – 𝑚
Sin embargo, necesitamos hacer 𝑓 = 0 para obtener la serie de ecuaciones
diferenciales propuestas por Bräunlich y Scharman para el fenómeno termoluminiscente.
42
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝐴𝑛 𝑁 − 𝑛 + 𝑛 𝑝 − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 = − 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 + 𝑚 − 𝑛𝑉 𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 − 𝑛 𝑝 − 𝑛𝑉 𝑛
𝑑𝑚
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 – 𝑚
En el modelo es necesario suponer que las transiciones 2 y 5 no son radiativas. Sin
embargo, en los niveles localizados las transiciones de recombinación si son radiativas. Por
lo que la intensidad total de emisión de luz TL es
𝐼 = −𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 −
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉 𝑛
Requerimos la razón de probabilidad de re-atrapamiento de electrones y huecos con
la probabilidad de recombinación de electrones y huecos. Para ello, es necesario definir
𝑅𝑛 = 𝐴𝑛
𝐴𝑚
𝑅𝑚 = 𝐴
Como el cristal es eléctricamente neutro (debido a la neutralidad del sistema
dosimétrico) y durante el proceso de irradiación se producen por igual pares electrón-
hueco, la concentración de electrones libres en la BC y atrapados en la trampa de electrón
43
𝑁 debe ser igual a la concentración de huecos libres en la BV y atrapados en la trampa de
hueco 𝑁 . Por lo tanto, por la conservación de la carga
𝑛𝐶 + 𝑛 = 𝑛𝑉 + 𝑚
Sin embargo, si el material dosimétrico es buen almacenador de energía, podemos
hacer,
𝑛 ≫ 𝑛𝐶
𝑚 ≫ 𝑛𝑉
Implica que
𝑛 ≈ 𝑚
En el modelo de Bräunlich-Scharman es necesario suponer que se cumplen las
condiciones de cuasiequilibrio para electrones y huecos, en el modelo sencillo ya
mencionamos las primeras, por lo que para los huecos
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 ≪
𝑑𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 ≪
𝑑𝑚
𝑑𝑡
Entonces asumimos que las condiciones de cuasiequilibrio son válidas para
electrones y huecos, es decir
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 ≈ 0
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 ≈ 0
44
Mencionaremos cuatro casos particulares, sin embargo, sólo consideraremos los
casos (1) y (2) porque son para una cinética de primer y segundo orden, respectivamente.
Los casos (3) y (4) se reducen bajo ciertas consideraciones al modelo sencillo para primer y
segundo orden, respectivamente (Furetta y Kitis, 2004)
(1) 𝑅𝑛 ≈ 0 𝑦 𝑅𝑚 ≈ 0
(2) 𝑅𝑛 ≫ 1 𝑦 𝑅𝑚 ≫ 1
(3) 𝑅𝑛 ≈ 0 𝑦 𝑅𝑚 ≫ 1
(4) 𝑅𝑛 ≫ 1 𝑦 𝑅𝑚 ≈ 0
Si consideramos la situación física en donde el reatrapamiento de electrones y
huecos es muy pequeño. Podemos suponer que 𝐴𝑛 = 𝐴 ≈ 0 (cinética de primer orden).
Por lo que las ecuaciones en el caso (1) son
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 = 𝑛 𝑝 − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 = 𝑚 − 𝑛𝑉 𝑛 𝐻𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = − 𝑛 𝑝 − 𝑛𝑉 𝑛 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑑𝑚
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 – 𝑚 𝐻𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
Aplicando las condiciones de cuasiequilibrio para electrones y huecos y la
conservación de la carga. De las ecuaciones de electrones y huecos libres
45
𝑛𝐶 ≈ 𝑝
𝐴𝑚
𝑛𝑉 ≈
Luego entonces, sustituyendo 𝑛𝑉 ≈ en la ecuación para electrones atrapados
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = −𝑛 𝑝 +
𝑑𝑛
𝑛 = − 𝑝 + 𝑑𝑡
Utilizando una razón de calentamiento lineal
𝑑𝑛
𝑛 = − 𝑝 +
𝑑𝑇
Por ser electrones y huecos atrapados en equilibrio térmico aplicamos la estadística
de Boltzmann a 𝑝 y
𝑝 = 𝑠𝑝 𝑒− 𝐸𝑝
𝑘𝑇
= 𝑠 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
Integrando
𝑑𝑛
𝑛
𝑛
𝑛0
= − 1
𝑝 +
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´
46
Con solución
𝑛 = 𝑛0 exp − 1
𝑝 + 𝑑𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
Los electrones y huecos una vez des-atrapados por el estimulo calorífico son
susceptibles de recombinarse radiativamente, y conjuntamente con aquellos electrones en la
BC y huecos en la BV que también se recombinan radiativamente contribuyen a la emisión
de fotones (TL).
La intensidad total de emisión de luz, cuando electrones y huecos son estimulados
térmicamente, después de sustituir 𝑛𝐶 y 𝑛𝑉 y la condición de neutralidad de la carga, la
luz estimulada térmicamente es
𝐼 = 𝑛0 𝑝 + exp − 1
𝑝 + 𝑑𝑇´
𝑇
𝑇𝑖
Si la probabilidad de excitación térmica para huecos atrapados en la trampa 𝑁
hacia la BV = 0 obtendremos la expresión de Randall y Wilkins para primer orden en la
cinética de recombinación.
Si asumimos que el re-atrapamiento de portadores de carga (electrones y huecos),
prevalece sobre las transiciones de recombinación, es decir, 𝐴𝑛 ≫ 𝐴𝑚 y 𝐴 ≫
(cinética de segundo orden). Por lo que las ecuaciones en el caso (2) son
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝐴𝑛 𝑁 − 𝑛 + 𝑛 𝑝 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠
𝑑𝑛𝑉
𝑑𝑡 = − 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 + 𝑚 𝐻𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠
47
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 − 𝑛 𝑝 − 𝑛𝑉 𝑛 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑑𝑚
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉 𝐴 𝑁 − 𝑚 – 𝑚 𝐻𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠
Si aplicamos las condiciones de cuasiequilibrio para electrones y huecos en las
ecuaciones de electrones y huecos libres, encontramos
𝑛𝐶 ≈ 𝑛 𝑝
𝐴𝑛 𝑁 − 𝑛
𝑛𝑉 ≈ 𝑚
𝐴 𝑁 − 𝑚
Suponemos que estamos muy lejos de la saturación en las trampas para electrones y
huecos, es decir, 𝑁 ≫ 𝑛 y 𝑁 ≫ 𝑚. Por lo que podemos hacer
𝑛𝐶 ≈ 𝑛 𝑝
𝐴𝑛 𝑁
𝑛𝑉 ≈ 𝑚
𝐴 𝑁
Son necesarias las ecuaciones para electrones libres y atrapados en la siguiente
forma:
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝐴𝑛 𝑁 − 𝑛 + 𝑛 𝑝 − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚
48
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑁 − 𝑛 𝐴𝑛 − 𝑛 𝑝 − 𝑛𝑉 𝑛
Sumando ambas expresiones obtenemos
𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 +
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = − 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 − 𝑛𝑉 𝑛
De la condición de neutralidad de la carga y la condición de cuasiequilibrio para
huecos
𝑑𝑛
𝑑𝑡 ≈ − 𝑛 𝑛𝐶 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉
Sustituyendo las aproximaciones para electrones y huecos libres tenemos
𝑑𝑛
𝑑𝑡 ≈ − 𝑛2
𝑝 𝐴𝑚
𝐴𝑛 𝑁 +
𝐴 𝑁
Integrando
𝑑𝑛
𝑛2=
1
𝑝 𝐴𝑚
𝐴𝑛 𝑁 +
𝐴 𝑁
𝑇
𝑇𝑖
𝑑𝑇´ 𝑛
𝑛0
49
𝑛 = 1
1𝑛0
+ 1
𝑝 𝐴𝑚
𝐴𝑛 𝑁 +
𝐴 𝑁
𝑇
𝑇𝑖𝑑𝑇´
La intensidad total de emisión de luz TL
𝐼 = −𝑑𝑛𝐶
𝑑𝑡 −
𝑑𝑛
𝑑𝑡 = 𝑛𝐶 𝑚 𝐴𝑚 + 𝑛𝑉 𝑛
Sustituyendo las aproximaciones para electrones y huecos libres, la condición de
neutralidad de la carga y el número de electrones atrapados 𝑛, la luz termoluminiscente
𝐼 = 𝑝 𝐴𝑚
𝐴𝑛 𝑁 +
𝐴 𝑁
1𝑛0
+ 1
𝑝 𝐴𝑚
𝐴𝑛 𝑁 +
𝐴 𝑁
𝑇
𝑇𝑖𝑑𝑇´
2
Si la probabilidad de excitación térmica para huecos atrapados en la trampa 𝑁
hacia la BV = 0 obtendremos la expresión de Garlick y Gibson para segundo orden en la
cinética de recombinación.
50
2.3 Métodos gráficos para determinar los parámetros cinéticos en
las curvas de brillo
Las curvas de brillo representativas de algunos materiales pueden presentar sólo en
máximo de temperatura 𝑇𝑚á𝑥 . o podría existir una superposición de 𝑇𝑚á𝑥 . mínima y tratarse
como único; haciéndose relativamente más factible calcular los parámetros cinéticos
respectivos (la energía de activación, el factor pre-exponencial y el orden de la cinética).
Frecuentemente se pueden encontrar más de un pico de TL y existir una superposición de
𝑇𝑚á𝑥 . , en tal situación, el cálculo de los parámetros cinéticos se vuelve más difícil y es
necesario usar más de un método para obtener la mayor información posible de los centros
de recombinación involucrados en la emisión de luz. Los métodos que citaremos son sólo
para casos muy específicos en donde tenemos dos o tres parámetros que dependen de la
curva de brillo con un pico de TL único. Los parámetros pueden ser
Parámetros de atrapamiento intrínsecos son característicos de imperfecciones
específicas en el cristal
𝐸 - Energía de activación
𝑠 - Factor de frecuencia
𝐴𝑚 - Probabilidad de recombinación
𝐴𝑛 - Probabilidad de reatrapamiento
Parámetro de concentración de la trampa puede cambiar de una muestra a otra
cuando la impureza está contenida en distintas cantidades.
𝑁 - Concentración de una trampa
Parámetros de llenado pueden variar en la misma muestra debido a diferentes
condiciones de excitación
𝑛0 - Concentración inicial de electrones en las trampas
𝑚0 - Concentración inicial de huecos en los centros
Parámetros de la muestra
51
- La movilidad está relacionada con la corriente estimulada térmicamente.
Puede depender de la temperatura, y en ciertas situaciones, de los parámetros de
atrapamiento.
Ф - Función de trabajo
𝜂 - Eficiencia luminiscente
Sin embargo, los parámetros más importantes son los parámetros de atrapamiento
intrínsecos, y se espera que sean independientes uno de otro, y por supuesto también de los
parámetros de concentración de la trampa y de llenado (Chen y Kirsh, 1981).
Presentamos brevemente sólo el método de levantamiento inicial (MLI) y el método
de la forma del pico de Chen porque son los que se usaron analíticamente para encontrar
los parámetros de atrapamiento en algunas lecturas de TL en las muestras de diamante.
2.3.1 Método de levantamiento inicial
El método de levantamiento inicial es el más sencillo y común para encontrar la
energía de activación de picos de TL únicos así como de otros procesos estimulados
térmicamente (conductividad estimulada térmicamente, TSC, siglas en ingles y emisión de
electrones estimulados temicamente, TSEE, siglas en ingles). Fue propuesto por Garlick y
Gibson en 1948 (Chen y McKeever, 1997; Bräunlich, 1967) y es independiente del orden
de la cinética, básicamente sólo considera la parte inicial de levantamiento en una curva de
TL. En el intervalo de baja temperatura, la razón de cambio de los portadores de carga
atrapados es muy pequeña, no depende de la temperatura y puede considerarse
aproximadamente constante. Ver Figura 9.
𝐼 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒− 𝐸𝑘𝑇
Es válida para un intervalo de temperatura 𝑇𝐶 correspondiente a una intensidad 𝐼𝐶
menor aproximadamente en un 10-15 % en la intensidad de TL máxima 𝐼𝑚á𝑥 . La gráfica de
ln 𝐼(𝑇) contra 1 𝑇 es una línea recta con pendiente 𝑚 = −𝐸 𝑘 . El método es
52
independiente del orden de la cinética y es muy útil cuando la curva de brillo exhibe picos
de TL únicos y no hay superposición entre ellos.
100 200 300 400
0
10
20
In
tensid
ad T
L (
u.a
.)
Temperatura (oC)
Imax.
IC
TC
Tmax.
Figura 9 Curva de brillo de la película delgada de diamante PS22 expuesta a 300 Gy con
radiación gamma de 60
Co a 0.67 Gy/min (modificada de Gastélum et al., 2007a)
2.3.2 Métodos basados en el análisis de la forma de la curva de
brillo
Son métodos que consideran la forma de la curva de brillo, en donde, es necesario
conocer dos o tres puntos de la misma, como el máximo de temperatura 𝑇𝑚á𝑥 . y las
posiciones a baja y alta temperatura correspondiente a la mitad del en intensidad de
luminiscencia 𝑇1 y 𝑇2 , los parámetros característicos de un pico de TL único (Furetta,
2003; Halperin y Chen, 1960; Azorín, 1986) pueden observarse en la Figura 10. Estos
métodos dependen del orden de la cinética de recombinación porque la forma de la curva
de brillo cambia drásticamente con el mismo.
53
100 200 300 400
0
10
20
Inte
nsid
ad
TL
(u
.a.)
Temperatura (oC)
Imax.
Imax.
/ 2
T1
T2
Tmax.
Figura 10 Parámetros geométricos característicos de un pico de TL aislado. Curva de TL de
la película delgada de diamante PS22 expuesta a 300 Gy con radiación gamma de 60
Co a
0.67 Gy/min (modificada de Gastélum et al., 2007a)
Las propiedades geométricas definidas de la forma de la curva de brillo son
𝑇𝑚á𝑥 . - Posición del máximo de temperatura
𝑇1 y 𝑇2 - Posiciones en la temperatura en ambos lados del 𝑇𝑚á𝑥 correspondientes a
la mitad del valor máximo en intensidad, es decir, 𝐼𝑚á𝑥 . = 𝐼𝑚á𝑥 . 2 .
= 𝑇𝑚á𝑥 . − 𝑇1 - Ancho medio a baja temperatura
= 𝑇2 − 𝑇𝑚á𝑥 . - Ancho medio a alta temperatura
= 𝑇2 − 𝑇1 - Ancho total medio
=
- Forma geométrica o factor geométrico
54
Chen en 1969 (Chen, 1969a; Pagonis et al, 2006) encontró mediante
aproximaciones numéricas una formula general para la energía de activación en la forma
𝐸 = 𝑐 𝑘 𝑇𝑚á𝑥 .
2
− 𝑏 2 𝑘 𝑇𝑚á𝑥 .
En donde es , o . Los valores de 𝑐 y 𝑏 son
𝑐 = 1.51 + 3.0 − 0.42
𝑐 = 0.976 + 7.3 − 0.42
𝑐 = 2.52 + 10.2 − 0.42
𝑏 = 1.58 + 4.2 − 0.42
𝑏 = 0
𝑏 = 1
con = 0.42 para primer orden y = 0.52 para segundo orden.
El método de la forma del pico de Chen es útil en el rango de energías entre 0.1 𝑒𝑉
y 2.0 𝑒𝑉 , y el factor pre-exponencial entre 105 𝑠−1 a 1013 𝑠−1 , sin embargo es necesario
conocer el orden de cinética. La gráfica del factor geométrico desde 0.36 a 0.55 y 𝑏
entre 0.7 a 2.5 puede observarse en la Figura 11.
Balarin en 1979 (Furetta y Weng, 1998) obtuvo el orden cinética b en función de
=
como se ilustra en la Figura 12.
55
Figura 11 El orden de cinética 𝑏 en función del factor geométrico =
(de Furetta y
Weng, 1998)
56
Figura 12 El orden de cinética 𝑏 en función del factor geométrico =
(de Furetta y
Weng, 1998)