CAPÍTULO 2. Análisis por Envoltura de Datos (DEA). 1....

Capítulo 2 Análisis por Envoltura de Datos (DEA).

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CAPÍTULO 2. Análisis por Envoltura de Datos (DEA).

1. Introducción.

La producción es el acto de transformar recursos en productos. El objetivo de todo proceso productivo es la creación de valor a través de tal proceso de transformación. En estricto rigor, todas las decisiones tomadas sobre la base de criterios económicos recaen en determinar las combinaciones de conjuntos de recursos que se utilizarán para producir distintas combinaciones de productos finales. Dicha decisión se debería tomar a partir de algún criterio (o función objetivo) que defina el nivel de funcionamiento de las distintas opciones posibles. Dos objetivos complementarios para medir la eficiencia en la utilización de los recursos para la producción a nivel de las unidades productivas, son el producir tanto como sea posible, dados los niveles de recursos disponibles o el utilizar la menor cantidad de recursos posible para transformarlos en un nivel de producción dado.

La medición de la productividad al nivel de las unidades de producción resulta ser una condición necesaria para la evaluación del funcionamiento de las mismas. En términos generales, se entiende por productividad la relación existente entre el (o los) productos y los recursos. Su medición parte de la cuantificación de la producción obtenida y los recursos


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utilizados en el proceso de transformación productiva. Es pertinente preguntarse ¿qué utilidad tiene la medición de la productividad? Se pueden enumerar algunas razones para preocuparse por la productividad:

1. Un valor fundamental del concepto y su medición es la estrecha relación entre ésta y la rentabilidad y/o funcionamiento de las unidades productivas.

2. Una vez cuantificada la productividad se cuenta con bases sólidas para la planificación estratégica. El seguimiento del comportamiento histórico de la productividad puede revelar áreas problemáticas en las unidades productivas y promover las mejoras y el uso eficiente de los recursos disponibles.

3. Mediante la medición, se adquiere una dimensión concreta que admite la comparación con unidades comparables.

La representación tradicional para medir la productividad consiste

en calcular la relación entre la creación de valor agregado (la producción propiamente dicha: Y) y el valor de los factores productivos xi, involucrados en el proceso de creación de ese valor. Es así que se pueden definir medidas de productividad parciales (PP):

ii x

YPP ≡ ∀i, factor o recurso

de productividades totales (PT):

∑=

≡ n

iii x

YPT

1

α

donde αi es alguna forma de ponderador (por ejemplo: los precios relativos al producto). Si nos restringimos a los factores primarios de producción que considera la teoría económica tradicional (capital, y trabajo, por ejemplo), tenemos que la productividad total de los factores tendría la siguiente expresión:

LKYTFPβα +

≡

La representación estándar que ofrece la teoría económica

neoclásica, para medir la productividad, consiste en formular este tipo de


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relación a través de la función de producción, la cual indica el valor agregado o producto máximo que puede obtenerse a partir de un conjunto de recursos que se utilizan tan eficientemente como sea posible. Un factor objetivo y limitante en la forma que adquiere la función de producción, es la tecnología imperante en el momento al que corresponden los datos con los que se realiza la estimación.

De esta forma, la manera de medir la eficiencia de una unidad de producción sería comparar el valor agregado generado por ella con el valor agregado que define la función de producción a idénticos niveles de utilización de los recursos o factores. En tal sentido, la función de producción cumple el rol del ideal teórico con el cual comparar el funcionamiento de las unidades. Una aproximación tradicional para realizar este tipo de cálculo, de naturaleza econométrica es el método de frontera de producción estocástica. En este caso, es necesario suponer una determinada forma funcional explícita (y usualmente parametrizada) para la función de producción.

1.1. Algunas nociones de eficiencia. Una alternativa no paramétrica para calcular la productividad total de los factores, y que se basa en el uso de la programación lineal, es lo que ofrece el método de envolvimiento de datos (DEA), basado en el trabajo seminal de Farrell (1957) e introducido formalmente por Charnes, Cooper y Rhodes (1978).

Antes de entrar en detalles sobre la metodología propiamente dicha, conviene repasar las nociones de eficiencia productiva y el cálculo de los índices de eficiencia técnica, tal como los plantea Farrell (1957). La propuesta de Farrell es visualizar a la eficiencia desde una perspectiva real no ideal, donde cada unidad de producción sea evaluada en relación con otras tomadas de un grupo representativo y comparable. Así, las medidas de eficiencia serían relativas y no absolutas, donde el valor alcanzado por una determinada unidad productiva, corresponda a una expresión de la desviación observada respecto a aquéllas consideradas como más eficientes dada la información disponible. En este sentido, la metodología que propone Farrell es una técnica basada en el concepto de “benchmark” o referenciación.

Sea un conjunto más o menos extenso de unidades productivas comparables entre sí con la particularidad de que emplean el mismo tipo de recursos o factores para producir un conjunto de productos similares o equivalentes. Para alcanzar un mayor nivel de generalidad, las denominamos como “Unidades de toma de Decisión” (DMU: “Decision Making Units”). Entonces, es posible definir tres medidas de eficiencia:


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(a) Eficiencia Técnica: refleja la habilidad de la DMU de obtener el máximo nivel de producción dados ciertos niveles en el uso de los recursos o factores.

(b) Eficiencias de asignación: refleja la habilidad de la DMU de usar los recursos o factores en proporciones óptimas (dados sus precios).

(c) Eficiencias de escala: se manifiestan según la naturaleza de los rendimientos a escala con que opera la DMU.

Supongamos que se conoce la frontera productiva eficiente.

Entonces, sería posible calcular índices que cuantifiquen estos tres tipos de eficiencias. En primer lugar, estudiemos las medidas de eficiencia a partir de una orientación basada en el uso de los recursos; es decir, basándonos en la premisa de analizar en cuánto se puede reducir el uso de recursos equiproporcionalmente sin alterar las cantidades producidas. Para poder hacer una representación diagramática, consideremos el caso en que se produce un solo producto con dos recursos o factores. En la figura 2.1.1 se representa la isocuanta unitaria. La curva SS’ cuantifica las combinaciones de recursos x1 y x2 necesarios para producir una unidad de producto, en condiciones de máxima eficiencia. Por ello, cualquier DMU que utilice combinaciones de recursos que se encuentren por encima de la curva, por ejemplo el punto P, tendrían que ser consideradas como menos eficientes. Por otro lado, el punto Q correspondería a una DMU eficiente, puesto que, comparada con P, se reduce la utilización de ambos recursos, de forma equi-proporcional y produce la misma cantidad. Entonces, si medimos la distancia entre P y Q, tendríamos una medida de en cuánto se puede reducir el uso de recursos, sin alterar la producción y calcular el índice de eficiencia técnica, como se detalla en el figura 2.1.2.


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x1/y

x2/y

O

S

S'

P

Q

A'

Figura 2.1.1. Representación diagramática de la eficiencia técnica según Farell (1957).

Eficiencia técnica:

≡QP Cantidad en que pueden reducirse equi-proporcionalmente las entradas sin reducir la salida.

≡OPQP % en que puede ser reducido el uso de entradas

[ ]1,01 ∈−≡=OPQP

OPOQETI Mide el grado de eficiencia técnica de la DMU

Figura 2.1.2. Eficiencia técnica, en el caso de dos entradas y una salida.

Similarmente, si tuviéramos información de los precios relativos entre los recursos y el producto, sería posible calcular (y dibujar) la recta de iso-costes para comparar la situación de la DMU que estamos analizando con una en la que la adquisición de recursos es económicamente óptima, es decir aquélla en la que la relación de productividades marginales igualan a los precios relativos, ó gráficamente, cuando la recta de iso-costes es tangente a la curva (figura 2.1.3). A partir de allí y, además, calculando distancias se puede definir la eficiencia de asignación. Ello queda claramente expresado en el figura 2.1.4.

Calculados ambos índices de eficiencia, se puede definir el indicador de eficiencia económica que, como se muestra en la figura 2.1.4, combina ambos tipos de eficiencia en un solo índice. Dado que el modelo trabaja con información de numerosas unidades productivas, suele no ser posible conocer la estructura de precios relativos con la que se está operando,


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por lo que se complica el cálculo de estos dos indicadores adicionales. Igualmente, vale la descripción que hemos realizado.

x1/y

x2/y

O

S

S'

P

Q

Q'

A

R

A'

Figura 2.1.3. Representación de la eficiencia de asignación y económica para el caso de dos entradas y una salida.

Eficiencia de asignación:

≡RQ Representa la reducción de los costes de producción si se produce en Q’

[ ]1,0∈=OQOREAI Mide el grado de eficiencia de asignación de la DMU

Eficiencia Económica:

[ ]1,0∈≡=OPORxEAETEE III Da una medida de la eficiencia global

Figura 2.1.4. Eficiencia de asignación y económica, en el caso de dos entradas y una salida.

Es muy importante observar que todas estas medidas suponen conocer la frontera productiva considerada como eficiente o teórica.

Un cálculo similar se puede realizar a partir de una orientación basada en la producción. En este caso, lo que importa es estudiar en cuánto puede expandirse la producción, dados los niveles de uso de los recursos o factores. Para ejemplificar esto, en forma diagramática, consideremos que la producción de dos bienes se realiza con un solo recurso. Entonces, es posible representar esta situación dibujando una curva de posibilidades de producción unitaria (Curva ZZ’), como se muestra en la figura 2.1.5. En este caso, el punto A representa una DMU ineficiente, por lo que, se encuentra debajo de la


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frontera de posibilidades de producción que representa la máxima producción de ambos productos asequible por la tecnología imperante.

Como en el caso anterior, podríamos calcular la eficiencia técnica calculando la distancia entre la DMU A y la B, que representa una DMU eficiente y comparable con la A ya que su producción es equiproporcional a esta. Además, si conociéramos los precios relativos, es posible dibujar la recta de iso-ingresos y calcular la eficiencia por asignación. Todo esto se detalla en la figura 2.1.5.

y1/x

y2/x

O

D

D'

B'

CB

A

Z

Z'

Figura 2.1.5. Representación de la eficiencia técnica y por asignación en el caso de una entrada y dos salidas.

Eficiencia Técnica

[ ]1,00 ∈=OBOAET Mide el grado de eficiencia técnica de la DMU

Eficiencia de asignación:

[ ]1,00 ∈=OCOBEA Mide el grado de eficiencia de asignación de la DMU

Eficiencia Económica:

[ ]1,000 ∈≡=OCOAxEAETEE O Da una medida de la eficiencia global

Figura 2.1.6. Eficiencia técnica, de asignación y económica, en el caso de una entrada y dos salidas.

Nótese que en ninguna situación los indicadores de eficiencia tal

como se definieron pueden ser superiores a la unidad. Esta conclusión es


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relevante al momento de realizar los cálculos formalmente, como veremos en la siguiente sección.

Antes de terminar con esta descripción introductoria y para unificar las representaciones, consideremos una situación en la que se utiliza sólo un recurso para producir un producto. En este caso la representación gráfica se podría hacer directamente a través de la función de producción unidimensional, como se muestra en la figura 2.1.7. Se puede observar la diferencia de medición de la eficiencia en ambos tipos de representación, con orientación de entrada o de salida. Cabe destacar que, cuando la tecnología es tal que los rendimientos de escala son constantes, el valor del indicador de eficiencia técnica es el mismo independientemente del tipo de representación considerado.

Por otro lado, en los párrafos anteriores se comentó acerca de los indicadores de eficiencia de escala. Su cálculo se realiza a través de la comparación de los indicadores de eficiencia técnica, cuando se suponen rendimientos constantes respecto del caso en el que se consideran rendimientos variables de escala; luego se profundizará más sobre la cuestión.

Es importante destacar, que un aspecto interesante de todas las medidas de eficiencia tal como las trabaja Farrell (1957) es que son invariantes y no dependen de la unidad de medida ya que se calculan como cocientes de distancias al origen de magnitudes con similares sistemas de medida.

x

yt=f(xt)

O

Medidaorientadaal recurso

Medidaorientadaal producto

(xt, yt)

xt

yt

Figura 2.1.7. Comparación entre las medidas de eficiencia con orientación de entrada o de

salida.


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1.2. Una propuesta empírica para medir la eficiencia.

Hasta aquí, hemos presentado las definiciones de eficiencia valiéndonos del supuesto de que conocemos la función de producción, la frontera de posibilidades de producción o las isocuantas en condiciones de óptima eficiencia. La propuesta que sugiere Farrell (1957) es recurrir al uso de “cónicas ó poligonales convexas” para construir las isocuantas o fronteras, en forma no paramétrica, y sólo partiendo de la información disponible acerca del comportamiento de numerosas DMU comparables, muchas de las cuales serán más eficientes que otras. La figura 2.1.8, esquematiza cómo se podría estimar dicha “curva” (o mejor dicho, poligonal) a partir de datos empíricos y según el tipo de aproximación que se emplee, ya sea con orientación de entrada o de salida.

x1/y

x2/y

O

P

A

P'

y1/x

y2/x

O

B

P'

P

A

B

Figura 2.1.8. Representación de la construcción de las fronteras a partir de datos empíricos.

Nótese, que si buscáramos calcular el indicador de eficiencia

técnica de, por ejemplo, la DMU P, bastaría con identificar a las DMU A y B, para construir una DMU “virtual” o implícita, que llamamos P’, que está en algún punto entre el segmento definido por A y B y que cruza al segmento formado por el origen de las coordenadas y la DMU bajo análisis (en nuestro caso, la P). Por ello, en este caso la eficiencia se mediría no en relación a un ideal teórico (abstracto y tal vez desconocido), sino a partir de la estimación de la frontera de las “mejores prácticas” productivas reflejadas en la información disponible. En el ejemplo se trata del segmento que definen los puntos A y B. La propuesta de Farrell (1957) se basa en un enfoque empírico basado en el


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concepto de referenciación o “benchmark”, que consiste en estimar y ubicar DMU “virtuales”, a partir de buenas DMU comparables con la que deseamos estudiar.

El método de Análisis por Envoltura de Datos (Data Envelopment Analysis – DEA) no es más que una técnica, basada en la programación matemática que, dada una DMU, nos permite identificar aquellas otras que nos sirven para construir la DMU “virtual” con la que compararemos la DMU bajo análisis. Decimos que es una técnica general, puesto que es posible trabajar en contextos de múltiples recursos y productos.

2. Método no paramétrico: Análisis por Envoltura de Datos.

El Análisis por Envoltura de Datos (DEA) es una metodología basada en modelos de programación lineal, propuesta por primera vez en 1978 por Charnes, Cooper y Rhodes, para estudiar la eficiencia relativa de una serie de unidades de decisión. La historia del Análisis por Envoltura de Datos comienza en 1978, en la conferencia de Edward Rhodes “Data Envelopment Analysis and Approaches for Measuring the Efficiency of Decision-Education”. El problema consistía en evaluar la eficiencia relativa de una serie de escuelas que llevaba aparejado el manejo de múltiples parámetros de entrada y salida, sin hacer uso de las técnicas tradicionales utilizadas hasta la fecha, fundamentadas esencialmente en modelos económicos de estudios en los precios. La respuesta a este problema representó la primera formulación matemática de DEA, en su variante CCR. DEA nace como una técnica para evaluar la eficiencia de una serie de elementos, denominados usualmente Unidades de toma de Decisión (DMU: Decision Making Unit), empleándose para dicha evaluación múltiples entradas y salidas para cada una de las DMU’s consideradas. Las DMU’s deben ser comparables: tanto sus entradas como sus salidas deben ser medibles en unidades homogéneas para todas ellas. La metodología DEA requiere de un importante primer paso consistente en la identificación del conjunto de posibilidades de producción del problema, esto es, definir los posibles puntos de operación. Las dos alternativas más frecuentes son las tecnologías denominadas Retornos de Escala Constante (Constant Return to Scale, CRS) y Retornos de Escala Variable (Variable Return to Scale, VRS). La tecnología CRS considera como unidad admisible dentro del problema cualquier combinación lineal de las


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DMU’s observadas, mientras que en la tecnología VRS sólo se consideran admisibles las combinaciones lineales convexas. Un segundo paso consiste en la selección del modelo DEA adecuado al problema a resolver. Existen multitud de modelos DEA, todos ellos con el mismo objeto: encontrar un punto admisible de mayor productividad con el que puedan compararse las diferentes DMU’s del problema. De esta forma, dada una cierta DMU0, se formula un modelo de programación lineal que busca una combinación lineal (convexa en el caso VRS) de las DMU’s existentes, definiendo de esta forma un conjunto de puntos tecnológicamente admisibles que usan menos entradas que DMU0 y/o producen más salidas que la DMU0. Si ningún punto domina a DMU0, entonces se le denomina unidad eficiente (global en el caso CRS, y técnicamente eficiente en el caso de VRS). Cuando una unidad domina a otra es porque tiene menos entradas y/o más salidas en la tecnología considerada. Si por el contrario la DMU0 no es eficiente, el modelo la proyecta sobre la frontera eficiente y mide la eficiencia de la DMU0 en términos de reducción del consumo de las entradas e incremento en la producción de salida. Hay diferentes maneras de realizar la proyección y medición de la distancia entre la DMU0 y el punto sobre el que se proyecta. Así, la orientación de entrada consiste en la reducción tanto como sea posible de todos los recursos de forma equi-proporcional sin reducir las salidas. Por otra parte, la orientación de salida consiste en incrementar tanto como sea posible los productos de forma equi-proporcional sin un incremento de las entradas. Existen modelos no radiales con orientación de entrada o salida así como modelos con orientación de entrada-salida que intentan conseguir tanto reducción de recursos como incrementos de productos. Debido a los desarrollos llevados a cabo en los últimos años, el propósito, aplicaciones y perspectivas de futuro de DEA se han extendido más allá de este concepto inicial. DEA y sus aplicaciones facilitan un nuevo enfoque para analizar y organizar datos. Así, ha llegado a ser una alternativa y un complemento a los análisis tradicionales de tendencias centrales aportando, igualmente, un nuevo punto de vista para los análisis de coste-beneficio, estimación de fronteras, diseño de estrategias, aprovechamiento de características de los elementos punteros e inducción de teorías a partir de observaciones externas.

3. Conceptos Fundamentales.

Antes de plantear los modelos básicos de DEA, explicaremos los conceptos fundamentales a partir de los cuales se basarán estos modelos. Debemos tener presente que el Análisis por Envoltura de Datos se utiliza para


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evaluar la eficiencia relativa de unidades productivas que fabrican de forma similar. Por lo tanto veamos en primer lugar uno de los conceptos que definen a DEA: unidad productiva, para ir más tarde desarrollando el resto.

• Unidad productiva.

Cualquier organización que produzca consumiendo ciertos recursos, con la capacidad de poder modificar tanto los recursos consumidos (entradas) como la producción creada (salidas).

D M U 's

E N T R A D A S S A L ID A S

P R O D U C T O SR E C U R S O S

Figura 2.3.1. Esquema de la fabricación en una DMU.

• Productividad.

La productividad (según Farrel, 1957) de una determinada unidad

productiva se define como la relación existente entre los resultados que obtiene y los recursos empleados en su producción. Es una forma de medir cómo se están aprovechando dichos recursos. Para el caso de una sola salida y una sola entrada:

EntradaSalida

consumidoecursoRcreadaroducciónPadroductividP ==

En la medida de la productividad es importante destacar la dificultad de determinar los factores que son realmente relevantes a la hora de definir las entradas y salidas de la unidad productiva. En algunos casos los recursos o los productos no son fácilmente mensurables y a veces ni siquiera es sencillo obtener información cuantitativa sobre ellos. Para el caso de varias entradas y varias salidas la expresión matemática es:


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entradasdeponderadaSumasalidasdeponderadaSumaadroductividP =

Por lo tanto si denotamos como xij a la cantidad de entrada o recurso “i” utilizado por la unidad “j”, y como ykj a la cantidad de salida o resultado “k” que produce la misma unidad, se obtiene la expresión:

∑=

=m

iijijj xuvirtualEntrada

1

∑=

=s

kkjkjj yvvirtualSalida

1

En donde los términos uij y vkj son respectivamente los pesos correspondientes a cada entrada y salida, que adimensionalizan las expresiones de entrada y salida virtuales, “m” el número total de entradas consideradas y “s” el número de salidas de la unidad. Con estos nuevos conceptos, se puede definir la productividad como:

∑

∑

=

== m

iijij

s

kkjkj

j

xu

yvadroductividP

1

1

Con esta expresión se puede determinar la productividad de una unidad productiva. Sin embargo, lo interesante es tener algún índice que nos permita comparar unas unidades con otras similares, por eso debemos introducir en este punto un nuevo concepto: eficiencia relativa.

• Eficiencia relativa.

La expresión que define la eficiencia relativa es:

max

maxmaxvirtualEntrada

virtualSalidavirtualEntrada

virtualSalida

adroductividPadroductividP

Eficiencia j

j

jj ==

Donde el subíndice “j” indica la unidad que se va a estudiar, y el subíndice “max” la unidad de máxima productividad. Se pueden distinguir varios tipos de eficiencias relativas en función de la unidad de referencia que se utilice:


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Se habla de la eficiencia global cuando se escoge como unidad de referencia la de mayor productividad de entre las que están en estudio. Eficiencia técnica: se utiliza cuando se elige como unidad de referencia la de mayor productividad de entre las unidades de su tamaño. Se define la eficiencia de escala como el cociente entre la eficiencia global y la eficiencia técnica. Desde la aparición de la metodología DEA, se han introducido muchos y diversos modelos que han propiciado un gran interés. En este proyecto se presentan los que son de alguna manera más representativos, con el objeto de estudiar con un mayor conocimiento del tema los modelos que se utilizarán en la presente investigación. Para una mejor compresión de los modelos DEA, se hace necesaria la introducción de los conceptos: retornos de escala constante, retornos de escala variable, orientación de entrada y orientación de salida, utilizando la notación presentada en este apartado. Se denomina Retornos de Escala Constante (CRS) al hecho de considerar que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las eficientes, independientemente de su tamaño. Por tanto la eficiencia que se calcula en el estudio es la global, ya que todas las DMU’s tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad. Esta consideración reduce las DMU’s posibles al siguiente conjunto: ( ){ }yYxXyxTCRS

rrrrrrr≥≤≥∃= λλλ ;,0:,

donde λ

r es un vector con tantas componentes como DMU’s tenga el

problema. Por otra parte X e Y son respectivamente las matrices de las entradas y las salidas observadas en las unidades del problema. Ambas matrices tienen tantas filas como DMU’s. Para X existen tantas columnas como entradas se consideren en el problema. De igual forma, para la matriz Y hay tantas columnas como salidas. La representación del conjunto para una entrada y una salida es la siguiente:


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70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.3.2. Representación gráfica para la tecnología CRS para el caso de una entrada y una

salida.

Donde los puntos son las unidades reales observadas en el problema y el conjunto TCRS es la zona sombreada. Las líneas discontinuas indican que el conjunto se extiende hasta el infinito. Los puntos que pertenecen al conjunto se dice que tienen tecnologías admisibles. Se denomina Retornos de Escala Variable (VRS) al hecho de considerar que algunas unidades de tamaño diferente al de las eficientes pueden no ser capaces de conseguir la productividad de éstas. Así pues, el estudio se realizará mediante la eficiencia técnica (referir cada DMU a la de productividad mayor de entre las de su tamaño). De la misma manera que antes, se puede definir el conjunto de los posibles puntos admisibles del problema: ( ){ }1;;,0:, =≥≤≥∃= T

VRS eyYxXyxT rrrrrrrrr λλλλ La diferencia con el anterior conjunto TCRS es que la suma de las componentes del vector λ

r debe sumar la unidad. La representación del

conjunto en el caso de una sola entrada y una sola salida es la siguiente:


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70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.3.3. Representación gráfica para la tecnología VRS para el caso de una entrada y una

salida. De nuevo la zona sombreada representa TVRS, y los puntos son las unidades que existen en el problema. La línea discontinua indica que la región se extiende hasta el infinito. La Orientación de Entrada (Input Orientation) se refiere al hecho de que una unidad alcance la productividad de la unidad de referencia a costa de reducir la cantidad de recursos que consume. La Orientación de Salida (Output Orientation) en cambio hace referencia al hecho de que una unidad consiga la productividad de la unidad con la que se compara mediante el aumento de la cantidad de salidas que produce. Con todos estos conceptos se pasa a abordar los modelos DEA más fundamentales. Primero se van a presentar aquellos modelos que contemplan retornos de escala constante y posteriormente los que operan con retornos de escala variables.

4. Modelos básicos DEA.

En este apartado se desarrollarán los modelos básicos de DEA, tanto para el caso de retorno de escala constante como para el caso de retorno de escala variable, partiendo del modelo más básico: el modelo ratio.


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4.1. Modelos DEA con Retornos de Escala Constante.

En los modelos que se exponen en este apartado las unidades toman como DMU’s de referencia las de mayor productividad de entre las observadas a la hora de calcular su eficiencia relativa. A continuación se exponen tres de estos modelos: el modelo RATIO, el modelo CCR-INPUT y el modelo CCR-OUTPUT.

4.1.1. Modelo Ratio.

A la hora de calcular la eficiencia de cada unidad, se tiene la libertad de elegir los pesos que convierten la salida y la entrada agregadas en valores adimensionales. Con la metodología DEA cada unidad escogerá los valores de los pesos que optimicen su eficiencia, teniendo en cuenta que, una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades. Por tanto, cada unidad va a comparar su productividad con el resto de las que están en estudio utilizando en cada caso los pesos con los que su eficiencia es mejor. Antes de empezar a plantear los modelos debemos tener en cuenta qué indica cada subíndice, y cuál será la notación que se vaya a utilizar: j = 1, 2, ···, n subíndice para las DMU’s i = 1, 2, ···, m subíndice para las entradas k = 1, 2, ···, s subíndice para las salidas xij cantidad de entrada i consumida por DMUj ykj cantidad de salida k producida por DMUj Planteamos un modelo que maximice la eficiencia, con libertad para elegir los pesos. Analíticamente se expresa de la siguiente forma:


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miu

skv

njxu

yv

as

xu

yvhMAX

iJ

kJ

m

iijiJ

s

kkjkJ

m

iiJiJ

s

kkJkJ

J

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,11

:.

1

1

1

1

=≥

=≥

=≤

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

ε

ε

donde ε es una constante no arquimediana (menor que cualquier número real positivo). Debido a ello, en las restricciones donde aparece, se les obliga a los pesos a que nunca puedan ser nulos. A la variable que está en estudio se la denota con el subíndice J. El modelo consiste en la resolución de “n” problemas de maximización como el anteriormente presentado, correspondientes a cada una de las unidades cuya eficiencia se quiere evaluar. La función objetivo elige los pesos que hacen máxima la eficiencia hJ de la DMU que se estudia. Hay una restricción por cada unidad existente en el problema, y que obliga a que ninguna DMU pueda tener una eficiencia mayor que uno. Esta es la limitación que tienen los pesos cuando cada unidad intenta alcanzar el máximo valor posible. Es decir, cada vez que el modelo trata de imponer unos pesos que garanticen una eficiencia grande, debe asegurarse al mismo tiempo de que ninguna DMU del problema tenga una eficiencia inadmisible (mayor que uno). Por la construcción del modelo, si la unidad no consigue ser eficiente, aún eligiendo los mejores pesos posibles para ello, es que existe otra que con esos pesos ya lo es. De esta forma, una vez resueltos los “n” problemas planteados, se obtendrá un subconjunto K formado por las unidades DMUr que han resultado ser eficientes al resolverse el modelo, correspondiéndoles un valor hJ = 1. Es decir, cumplirán la restricción con signo de igualdad:


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1

1

*

1

*

=

∑

∑

=

=m

iirir

s

kkrkr

xu

yv Kr ∈

Y por lo tanto, si la DMUJ que no cumple esta condición, será considerada ineficiente respecto al subconjunto K definido, y tendrá un valor de eficiencia hJ < 1 y una ineficiencia, (1 – hJ). Éste es un modelo que opera con retornos de escala constantes, ya que el análisis de una determinada unidad consiste en la comparación con las DMU’s que poseen la mayor eficiencia observada. Ello es debido a la forma que presenta el modelo, y por tanto, todas las DMUJ analizadas consideran a las mismas unidades como eficientes. El nombre del modelo RATIO proviene del hecho de que la función objetivo es un cociente. Esto complica su resolución, ya que no es un problema lineal.

4.1.2. Modelo CCR-Input.

Las siglas CCR se corresponden con las iniciales de los autores que lo propusieron: Abraham Charnes, William W. Cooper y Edward Rhodes. Para resolver la complejidad del modelo anterior, se opta por transformar el modelo RATIO en un problema lineal equivalente. De esta forma, se sustituyen los cocientes que aparecen en el modelo por expresiones lineales. Maximizar un cociente equivale a hacer máximo su numerador si su denominador permanece constante, y cuando un cociente es menor que la unidad es porque el numerador es menor que el denominador. Con estas consideraciones el modelo anterior quedaría de la siguiente forma:


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miu

skv

xu

njxuyv

as

yvMAX

iJ

kJ

m

iiJiJ

s

k

m

iijiJkjkJ

s

kkJkJ

,...,2,1

,...,2,1

1

,...,2,10

:.

1

1 1

1

=≥

=≥

=

=≤−

∑

∑ ∑

∑

=

= =

=

ε

ε

Que es conocida como forma multiplicadora (“multiplicative form”).

Como puede observarse, se consigue un modelo de

programación lineal con (n + 1) restricciones y (s + m) cotas. Las “n” primeras restricciones provienen de linealizar la condición de que todas las unidades deben tener una eficiencia menor o igual que uno. La restricción adicional establece una medida de referencia de la entrada virtual. Así, se asegura que se maximiza la eficiencia cuando se hacen máximas las salidas. De esta forma, no sólo se consigue que el valor de la función objetivo, cuando se resuelve el problema, sea la eficiencia de la unidad DMUJ, sino que además se reduce el número de soluciones alternativas de los

pesos, con la restricción: ∑=

=m

iiJiJ xu

1

1 .

Sin embargo, es más frecuente utilizar las variables del dual de este modelo para analizar los resultados obtenidos de aplicar esta metodología. Por esto se expone a continuación el modelo dual:


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libre

hh

skhyy

mihxx

as

hhMIN

J

kij

kkJ

n

jjkj

iiJJ

n

jjij

s

k

m

iikJ

θ

λ

λ

θλ

εθ

0,,

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1 1

≥

=+=

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−

+

=

−

=

= =

−+

∑

∑

∑ ∑

A esta forma del modelo se le conoce como forma envolvente (“envelopment form”). Las “n” variables λj son las correspondientes a las “n” primeras restricciones del problema primal, θJ la variable correspondiente a la restricción restante, y hk

+ y hi-, denominadas variables de holgura, son las

correspondientes a las (s + m) cotas existentes. La resolución de este modelo consta de dos fases. En la primera etapa (Fase I) se resuelve el siguiente modelo:

libre

hh

skhyy

mihxx

as

MIN

J

kij

kkJ

n

jjkj

iiJJ

n

jjij

J

θ

λ

λ

θλ

θ

0,,

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

≥

=+=

=−=

+−

+

=

−

=

∑

∑

Y con la solución del modelo θ*

J se resuelve la segunda fase (Fase II):


24

libre

hh

skhyy

mihxx

as

hhMIN

J

kij

kkJ

n

jjkj

iiJJ

n

jjij

s

k

m

iik

θ

λ

λ

θλ

0,,

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1 1

≥

=+=

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−

+

=

−

=

= =

−+

∑

∑

∑ ∑

Las funciones objetivo de ambos problemas, primal y dual, coinciden en el óptimo, y por tanto se tiene que:

∑∑∑==

+

=

− =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

s

kkJkJ

s

kk

m

iiJJ yvhhh

1

*

1

*

1

*** εθ

Se puede observar que cualquier unidad puede tener como valores admisibles:

kyihh

Jj

ki

j

J

J

∀∀==

≠∀=

=

=

+− ,0

,0

1

1

λ

λ

θ

La función objetivo intenta, por tanto, que θJ tenga un valor menor que la unidad. La resolución de este problema dual tiene una interpretación gráfica que a continuación se procede a explicar. Las restricciones establecen una combinación lineal entre el punto (xiJ, ykJ) y los restantes puntos en estudio (xij, ykj), cuyo resultado es la unidad virtual (θ*

J·xiJ-(hi-)*, ykJ+(hk

+)*). La solución siempre admisible expuesta, corresponde a considerar que la DMUJ es combinación lineal de ella misma. Al minimizarse θJ , son reducidas proporcionalmente las componentes de las entradas hasta llegar al punto que, con las mismas salidas, se obtiene la menor entrada admisible con la combinación lineal de las unidades en estudio. Esto corresponde a proyectar el punto sobre un hiperplano que pasa por el origen y por las unidades eficientes del problema, reduciendo de forma radial las entradas. Si θ*

J = 1 y (hk+)*, (hi

-)* ≠


25

0 para alguna entrada o para alguna salida, se produce una proyección paralela al eje correspondiente a la variable de holgura que no es nula. Por otra parte, si θ*

J = 1 y (hk+)* = (hi

-)* = 0; no se produce ninguna proyección, y por tanto la unidad es eficiente (se proyecta sobre sí misma). En el caso de una entrada y una salida, se puede representar el problema en el plano. Así, considerando seis unidades, se tendría por ejemplo:

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.4.1. Ejemplo gráfico para una entrada y una salida.

Donde DMU3 es la unidad de mayor eficiencia relativa. La línea trazada desde el origen hasta dicha DMU son todos los posibles puntos que tendrían la misma eficiencia que DMU3, esto es, la de máxima eficiencia. A esta línea se le denomina frontera eficiente, y como se puede observar deja por debajo suya todas las demás observaciones. En DEA se expresa como una frontera que envuelve a todas las unidades, de aquí el nombre de la metodología. Al resolverse el problema para cada unidad J, gráficamente se están calculando las proyecciones horizontales de las unidades en estudio sobre la frontera eficiente. La representación de estas proyecciones para el caso representado queda reflejada en la siguiente figura:


26

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.4.2. Resolución gráfica del modelo CCR-I para una entrada y una salida.

Así pues, la frontera eficiente es el lugar geométrico de las unidades con eficiencia igual a uno. Las proyecciones calculadas representan la unidad en la que debería convertirse cada DMUJ para que fuese considerada eficiente, con una reducción de sus entradas. Por esto, este modelo está planteado con orientación de entrada. Como proviene del modelo RATIO, también es un problema con retornos de escala constante. Analizando las variables del dual, e interpretando su significado gráfico, podemos observar que θJ es la proporción de entradas actuales que deben utilizarse para conseguir la eficiencia y λj son las componentes del vector de pesos asociados a la combinación lineal resultante y que, de alguna forma, mide la proximidad de la proyección resultante de cada DMUJ con las unidades eficientes de las que es combinación lineal. Pero en este caso de una sola entrada y una sola salida no se ha comentado nada de las variables hk

+ y hi

-. Para comprobar su significado gráfico, se expone un ejemplo, con dos entradas y una salida. Si las entradas se denotan como “x1” y “x2” y la salida como “y”, se podría representar gráficamente por la propiedad nomotética que el problema posee. Un caso genérico es el siguiente:


27

605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

A

B

A'

C

D

D'

x1/y

x2/y

Figura 2.4.3. Resolución gráfica del modelo CCR-I para dos entradas y una salida.

La frontera eficiente está representada mediante la línea que une los puntos B y C, correspondiente a la representación del plano que pasa por el origen y por dichas unidades. De esta forma, si se considera el conjunto TCRS expuesto anteriormente de todas las combinaciones lineales de las unidades observadas (los puntos admisibles en el problema), la envolvente de este conjunto es precisamente la línea quebrada representada en el gráfico. Así pues, los hiperplanos paralelos a los ejes no forman parte de la frontera eficiente ya que sus puntos no son unidades eficientes (no se proyectan sobre sí mismas, es decir, (hk

+)* y (hi-)* no son 0). Un ejemplo de esto

es el caso representado de la unidad D’, puesto que solucionando el problema dual para esta unidad, la proyección resultante se produciría en el punto B, mediante una reducción rectangular (paralelas a los ejes) de la entrada h1

-. En el caso general, por tanto, aparecerán unidades que sólo necesitarán reducción radial para proyectarse sobre la frontera eficiente (unidad A), sólo reducción rectangular (unidad D’) o ambos tipos de reducción (unidad D, al aplicar las 2 fases). Dado un problema, un modelo DEA se dice que es invariante frente a traslaciones, si haciendo una traslación de las entradas y salidas originales, resulta un nuevo problema que tiene la misma solución óptima en la forma envolvente del modelo que el anterior. Se puede demostrar que este modelo es invariante ante traslaciones en la dimensión de las salidas (ver Pastor, 1995).


28

4.1.3. Modelo CCR-Output.

Si optamos por linealizar la función objetivo del modelo RATIO

minimizando el denominador de la expresión y manteniendo el numerador constante, obtendríamos un modelo lineal similar al anterior:

miu

skv

yv

njxuyv

as

xuMIN

iJ

kJ

s

kkJkJ

s

k

m

iijiJkjkJ

m

iiJiJ

,...,2,1

,...,2,1

1

,...,2,10

:.

1

1 1

1

=≥

=≥

=

=≤−

∑

∑ ∑

∑

=

= =

=

ε

ε

Donde la función objetivo representa ahora el inverso de la eficiencia relativa de la unidad J, y por tanto siempre será mayor o igual que uno. Es un problema con retornos de escala constantes, por la razón ya expuesta. Las consideraciones de este modelo son análogas a las que se hicieron con el CCR-INPUT. Pero de nuevo, es en el problema expresado en su forma dual donde se advierten las consideraciones gráficas. Así pues, construyendo el problema dual se obtiene de forma similar al caso anterior:

libre

hh

skhyy

mihxx

as

hhMAX

J

kij

kkJJ

n

jjkj

iiJ

n

jjij

s

k

m

iikJ

γ

λ

γλ

λ

εγ

0,,

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1 1

≥

=+=

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+−

+

=

−

=

= =

−+

∑

∑

∑ ∑


29

Aparece en este modelo una nueva variable que no es más que la amplificación radial que debe producirse en las salidas para proyectarse en la frontera eficiente. Observando el mismo ejemplo de una sola entrada y una sola salida pero resuelto con este nuevo modelo, se obtendría gráficamente:

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.4.4. Resolución gráfica del modelo CCR-O para una entrada y una salida.

Ahora una solución siempre admisible del problema es:

kyihh

Jj

ki

j

J

J

∀∀==

≠∀=

=

=

+− ,0

,0

1

1

λ

λ

γ

Y al igual que en el anterior modelo, corresponden a los valores que toman estas variables en el caso de unidades eficientes. Como en el anterior modelo, las restricciones establecen una combinación lineal entre el punto (xiJ, ykJ) y los restantes puntos en estudio (xij, yij), que dan como resultado la unidad virtual (xiJ – (hi

-)*, γ*J·ykJ + (hk

+)*). La solución siempre admisible expuesta corresponde a considerar que el punto es combinación lineal de él mismo. Al maximizar γJ, las componentes de las salidas aumentan hasta llegar al punto en que, con las mismas entradas tiene la mayor salida admisible con la combinación lineal de las unidades en estudio. Esto corresponde a proyectar el


30

punto sobre la frontera eficiente del problema, aumentando de forma radial las entradas. Por esto es un problema con orientación de salida. De la misma forma que en el modelo anterior, si γ*

J = 1 y (hk+)*,

(hi-)* ≠ 0 para alguna entrada o para alguna salida, se produce una proyección

paralela al eje correspondiente al término que no es nulo. Si γ*J = 1 y (hk

+)* = (hi

-)* = 0, no se produce ninguna proyección, y por tanto la unidad es eficiente (se proyecta sobre sí misma). En el caso de una entrada y dos salidas:

605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

A

B

CD

y1/x

y2/x

E

F

Figura 2.4.5. Resolución gráfica del modelo CCR-O para una entrada y dos salidas.

Se puede observar los dos tipos de incrementos de salida que se pueden producir en el problema: radial (Fase I) y rectangular (Fase II). Este modelo es invariante ante las traslaciones en las dimensiones de entradas.

4.2. Modelos DEA con Retornos de Escala Variable.

Los modelos anteriores no pueden ser utilizados en los casos en donde el problema se plantee con retornos de escala variables. De esta forma aparecen nuevos modelos para solucionar dichos casos. A continuación se exponen los modelos BCC-INPUT y BCC- OUTPUT, pertenecientes a esta clase de modelos.


31

4.2.1. Modelo BCC-Input.

BCC se corresponde con las iniciales de sus autores Rajiv D. Banker, Abraham Charnes y William W. Cooper, fue propuesto por primera vez en 1984. Para que el modelo considere los retornos de escala variables, habrá que introducir, a partir del modelo RATIO linealizado, alguna restricción que le indique al modelo que cada DMUJ tiene que ser comparada con aquellas de su tamaño y no con todas las unidades presentes en el problema. Modificando la forma envolvente del modelo CCR-INPUT de la siguiente manera:

libre

hh

skhyy

mihxx

as

hhMIN

J

kij

n

jj

kkJ

n

jjkj

iiJJ

n

jjij

s

k

m

iikJ

θ

λ

λ

λ

θλ

εθ

0,,

1

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1

1 1

≥

=

=+=

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−

=

+

=

−

=

= =

−+

∑

∑

∑

∑ ∑

Se puede observar que la restricción adicional que aparece en el dual de este modelo (suma de las componentes del vector (λ1, λ2, ···, λn) igual a uno) obliga a que la proyección de la unidad se efectúe sobre el hiperplano que forman las unidades más productivas de su tamaño. En general, para este caso, aparecerán unidades que no eran eficientes en el anterior modelo (retornos de escala constantes) y que sin embargo en este modelo sí lo son. De ahí que la frontera eficiente, esté formada por más unidades que en el modelo CCR. Al igual que en el anterior modelo CCR-INPUT, una solución admisible siempre será:


32

kyihh

Jj

ki

j

J

J

∀∀==

≠∀=

=

=

+− ,0

,0

1

1

λ

λ

θ

Y la eficiencia relativa de cada unidad de nuevo es θJ. Las mismas consideraciones que se hicieron con el modelo de retornos de escala constantes CCR-INPUT referentes a las proyecciones realizada sobre la frontera y los valores de las variables de holgura, son también válidas aquí. Como se puede ver, el problema tiene orientación de entrada porque la reducción radial sólo es permitida para las entradas. El conjunto de los puntos admisibles en el problema serán los elementos del conjunto TVRS y su envolvente, nueva frontera eficiente (cualquier punto perteneciente a la envolvente se proyecta sobre sí mismo). Hay que hacer notar la nueva forma que adquiere la frontera eficiente en este caso de retornos de escala variables si se considera el caso de una sola entrada y una sola salida:

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

) DMU7

Figura 2.4.6. Resolución gráfica del modelo BCC-I para una entrada y una salida.

La frontera eficiente es la línea quebrada DMU2-DMU3, DMU3-DMU5 y DMU5-DMU6. Las unidades eficientes, por tanto, son DMU2, DMU3,


33

DMU5 y DMU6. Las posibles proyecciones se encuentran representadas en el gráfico. DMU4 sólo necesita de una reducción radial de su entrada para proyectarse sobre la frontera, sin embargo DMU1 con la reducción radial no consigue llegar a la frontera y necesita de una reducción rectangular adicional. Se define “peer group” al conjunto de unidades eficientes de la que la proyección de una determinada unidad es combinación lineal. En el caso de la unidad DMU4, su “peer group” son las unidades DMU2 y DMU3. Se puede decir que la DMU analizada se debe comparar con su proyección para conseguir alcanzar una eficiencia igual a uno, y esta proyección puede ser una unidad que no existe en la realidad pero cuyo tamaño o escala es el tamaño de las unidades que conformen el “peer group”. Por otra parte, se observa que DMU4 opera con retornos de escala crecientes (IRS) ya que se proyecta sobre la zona de la frontera constituida por unidades que, para conseguir el tamaño de la de mayor productividad del problema (en este caso la unidad DMU3), deberían incrementar su entrada. Por un motivo similar, DMU7 opera con retornos de escala decrecientes (DRS). El dual del problema planteado es el siguiente:

libre

miu

skv

xu

njxuyv

as

yvMAX

J

iJ

kJ

s

kiJiJ

J

s

k

m

iijiJkjkJ

s

kJkJkJ

ξ

ε

ε

ξ

ξ

,...,2,1

,...,2,1

1

,...,2,10

:.

1

1 1

1

=≥

=≥

=

=≤+−

−

∑

∑ ∑

∑

=

= =

=

Considerando que los pesos uiJ y vkJ son los vectores directores del hiperplano que constituye la frontera eficiente, se puede observar cómo la función objetivo permite que el hiperplano óptimo solución del problema pueda no pasar por el origen con la introducción de la nueva variable ξJ.


34

El modelo es invariante frente a las traslaciones de salidas, ya que no existen amplificaciones radiales.

4.2.2. Modelo BCC-Output.

Si la orientación del problema es de salida, se obtendría un modelo análogo al anterior.

libre

hh

skhyy

mihxx

as

hhMAX

J

kij

n

jj

kkJJ

n

jjkj

iiJ

n

jjij

s

k

m

iikJ

γ

λ

λ

γλ

λ

εγ

0,,

1

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1

1 1

≥

=

=+=

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+−

=

+

=

−

=

= =

−+

∑

∑

∑

∑ ∑

Resolviendo el modelo de forma gráfica para el caso de una sola entrada y una sola salida:

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

) DMU7

Figura 2.4.7. Resolución gráfica del modelo BCC-O para una entrada y una salida.


35

Se tiene como frontera eficiente la misma que en el ejemplo anterior. Las proyecciones se realizan amplificando de forma radial las salidas, en primer lugar, y si es necesario (como en DMU7) proyectando de forma rectangular. Llegados a este punto del análisis, todas las consideraciones hechas en los modelos anteriores son análogas. Se puede comprobar que el modelo dual al anterior es el siguiente:

libre

miu

skv

yv

njxuyv

as

xuMIN

J

iJ

kJ

s

kkJkJ

J

s

k

m

iijiJkjkJ

s

kJiJiJ

ξ

ε

ε

ξ

ξ

,...,2,1

,...,2,1

1

,...,2,10

:.

1

1 1

1

=≥

=≥

=

=≤+−

−

∑

∑ ∑

∑

=

= =

=

Este modelo es invariante frente a las traslaciones de entradas.

4.3. Comparación entre los modelos CCR y BCC.

En este apartado se pretende analizar de forma conjunta las soluciones obtenidas con los modelos CCR y BCC, para poder observar de esta manera las diferencias entre ambos. Ambos modelos, por lo explicado hasta ahora, se diferencian en la consideración de los retornos de escala. Si representamos en un mismo gráfico el caso de una entrada y una salida cuando el problema opera con orientación de entrada:


36

70605040302010

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DMU1

DMU2

DMU3

DMU4

DMU5

DMU6

Entrada (x)

Salid

a (y

) DMU77CCR

1BCC

4CCR

1CCR

7BCC

4BCC

Figura 2.4.8. Comparación entre los modelos CCR y BCC.

Así podemos observar que en el MPSS (Most Productive Scale Size, tamaño de escala más productivo) (línea DMU3-DMU5), la solución dada por ambos modelos resulta ser la misma, ya que en esa zona la frontera es coincidente. En cualquier otra situación, la eficiencia calculada con el modelo BCC (eficiencia técnica), siempre será mayor que la calculada con el modelo CCR (eficiencia global), ya que las unidades sobre las que se proyectan las unidades DMUJ analizadas son de menor productividad.

4.4. Modelo Aditivo.

Es un modelo que utiliza retornos de escala variable. La diferencia con los modelos BCC es que en este caso la solución no se halla mediante la proyección radial de las unidades sobre la frontera eficiente (aumento radial de las salidas o reducción radial de las entradas), sino que sólo se realiza la segunda fase de los modelos BCC y CCR, es decir, sólo se efectúa la proyección rectangular de las unidades. Eliminando la variable que representa la amplificación o reducción radial, en los modelos BCC con orientación de salida o entrada respectivamente, obtenemos el siguiente modelo:


37

,0,,0,,0

1

:.

kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

kkiij

jj

kkJk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

ii

∀≥∀≥∀≥

=

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−

+

−

+−

∑

∑

∑

∑∑

λ

λ

λ

λ

En los modelos CCR con orientación de entrada o salida respectivamente, eliminando la variable que representa la amplificación o reducción radial, obtenemos el siguiente modelo:

,0,,0,,0

:.

kyhixhj

khyy

kyy

ihxx

ixx

as

hhMAX

kkiij

kkJk

kj

kjj

iiJi

ij

ijj

kk

ii

∀≥∀≥∀≥

∀+=

∀=

∀−=

∀=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−

+

−

+−

∑

∑

∑∑

λ

λ

λ

Puesto que en estos modelos se trata de maximizar las holguras, ya sea modelo de orientación de entrada y salida, este modelo no distingue entre estos dos tipos de orientaciones. Las unidades eficientes que se obtienen con este modelo aditivo y con el modelo BCC no varían, es decir, en ambos modelos se van a obtener la misma frontera eficiente. Sin embargo cuando una DMU es ineficiente su medida de eficiencia será diferente en los dos modelos.


38

Aspectos muy similares ocurrirán en otros modelos DEA que solucionan diferentes tipos de situaciones no contempladas en los modelos anteriores. De esta forma se completa la teoría contenida en este trabajo sobre la metodología DEA. Los modelos que a continuación se exponen son: modelo con RESTRICCIONES EN LOS PESOS, modelo con SALIDAS Y ENTRADAS NO DISCRECIONALES.

5. Modelo DEA con restricciones en los pesos.

Es posible que en algunos casos convenga acotar el valor de uno o varios de los pesos asignados en el problema para las salidas y las entradas. Por otra parte, podría ocurrir que los valores que el modelo proporciona a los pesos de entrada y salida de una determinada unidad eficiente, no fueran únicos. Las soluciones adoptadas para resolver estos problemas, se basan en restringir los valores de los pesos, para delimitar así el rango de niveles aceptables de entradas y salidas eficientes para una unidad en concreto. Existen varias posibilidades de realizar las acotaciones. A continuación se relacionan algunas de ellas.

• Limitaciones absolutas aplicadas sobre los pesos. Estas restricciones pueden ser aplicadas a cada una de las unidades presentes en el problema:

iiJi

kkJk

uv

γδβα

≤≤≤≤

• Limitaciones relativas aplicadas sobre los pesos virtuales. No se

restringen los valores de los pesos directamente, sino la proporción entre todos:

jixu

xu

jkyv

yv

im

iJiJi

ijiJi

ks

kjkJk

kjkJk

,

,

1'''

1'''

∀≤≤

∀≤≤

∑

∑

=

=

γδ

βα


39

Para reducir el número de restricciones (ya que [2·n·s + 2·n·m] pueden llegar a ser muchas y complicar así la resolución del modelo) se puede optar por el siguiente grupo de restricciones:

ix

nu

xn

u

ky

nv

yn

v

in

jji

m

iJi

n

jijiJ

i

kn

jjk

s

kJk

n

jkjkJ

k

∀≤≤

∀≤≤

∑∑

∑

∑∑

∑

==

=

==

=

γδ

βα

1'

1''

1

1'

1''

1

1

1

1

1

Reduciéndose así a 2·s + 2·m. De esta forma se acotan de forma relativa la media aritmética de los pesos virtuales.

• Limitaciones relativas aplicadas sobre los pesos. Si en el problema existe una relación que debe cumplirse entre los diferentes pesos. Por ejemplo, este caso sería útil cuando las entradas o salidas tienen grados de importancia relativos.

iJ

iJi

kJ

kJk

uuvv

γδ

βα

≤≤

≤≤

1

1

6. Modelos DEA con Entradas y Salidas no Discrecionales.

Antes de presentar estos modelos es preciso definir el concepto de entrada y salida no discrecional. Una entrada (respectivamente salida) se dice que es no discrecional si la unidad no tiene capacidad de variar su cantidad. En multitud de problemas reales ocurre que los recursos son extrínsecos a la unidad productiva, y ésta no puede controlar el nivel que se consume. De igual manera se encuentran problemas donde las salidas están fijadas y no pueden ser variadas.


40

Sería deseable implantar este aspecto en los modelos. Una forma de realizarlo es la que se expone a continuación. Primero se divide el conjunto de entradas y salidas en otros dos subconjuntos de la siguiente forma:

NDD

NDD

OOOIIIU

U

==

Donde el subíndice D indica el conjunto discrecional (en el cual se pueden variar las entradas o salidas) mientras que el subíndice ND indica el conjunto no discrecional (entradas o salidas invariables). Introduciendo estos conjuntos en la forma dual del modelo CCR-INPUT se tiene:

libre

hh

Iihxx

skhyy

Iihxx

as

hhMIN

J

kij

NDiiJ

n

jjij

kkJ

n

jjkj

DiiJJ

n

jjij

Ok IiikJ

D D

θ

λ

λ

λ

θλ

εθ

0,,

,...,2,1

:.

1

1

1

≥

∈∀−=

=+=

∈∀−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−

−

=

+

=

−

=

∈ ∈

−+

∑

∑

∑

∑ ∑

Como se puede observar de la formulación, la variable θJ no afecta a las entradas no discrecionales. Además, las únicas holguras que son maximizadas en la función objetivo son las pertenecientes a los conjuntos discrecionales. Esto significa que no se hace proyección radial ni rectangular de los recursos o productos que no ser pueden modificar. En el caso del modelo aditivo sólo se hacen máximas las holguras de las entradas o salidas discrecionales, ya que con las demás se carece de capacidad de control sobre el nivel de las mismas.


41

0,,

1

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1

≥

=

=+=

=−=

+

+−

=

+

=

−

=

∈

−

∈

+

∑

∑

∑

∑∑

kij

n

jj

kkJ

n

jjkj

iiJ

n

jjij

Iii

Okk

hh

skhyy

mihxx

as

hhMAXDD

λ

λ

λ

λ

Como se puede observar, es fácil implantar en los modelos DEA modificaciones en la formulación que permitan resolver problemas con este tipo de variantes.

7. Modelos FDH

Son modelos que resuelven problemas donde las posibles unidades admisibles que pueden ser analizadas corresponden a los elementos del siguiente conjunto:

( ) { }{ }1,0;1;;,0:, ∈=≥≤≥∃= jT

FDH eyYxXyxT λλλλλrrrrrrrrr

Del conjunto expuesto, puede deducirse que sólo una de las componentes del vector (λ1, λ2, ···, λn) será uno y las restantes cero. Así que las unidades se proyectarán siempre sobre una de las unidades existentes. Esta tecnología es más restrictiva que las anteriores, en las que la proyección podía hacerse sobre cualquier punto de la frontera eficiente. El modelo en el caso de orientación de salida es:


42

{ }

libre

skyy

mixx

as

MAX

J

j

n

jj

kJJ

n

jjkj

iJ

n

jjij

J

γ

λ

λ

γλ

λ

γ

1,0

1

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1

∈

=

=≥

=≤

∑

∑

∑

=

=

=

Con este modelo obtenemos un conjunto D(J) de unidades productivas que dominan a la DMUJ, es decir, que son candidatas a ser su proyección:

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∀≤≠∀≥>∃

∀≥≠∀≤<∃=

ixxykkyyconyyk

óykyyyiixxconxxijJD

iJijkJkjJkjk

kJkjiJijJiji

':'

/':':

''

''

Si D(J) fuese el conjunto vacío, DMUJ se proyecta sobre sí misma. En el modelo no están penalizadas las holguras, ya que sólo interesa la amplificación radial. La representación de la resolución del modelo anterior, con una sola entrada y una sola salida, en el caso de orientación de salida, se expone a continuación.


43

12108642

2

4

6

8

10

12

A

B

C

D

E

F

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.7.1. Conjunto de unidades dominantes FDH-O con una entrada y una salida.

La línea quebrada representada es el límite del conjunto TFDH anteriormente expuesto. Las unidades que dominan a E son B y D, que son las únicas candidatas a ser su proyección. Sin embargo la única candidata a ser proyección de la DMUC es la B. La resolución del problema consiste en realizar la proyección radial, y luego la proyección rectangular que consiga terminar en una unidad del conjunto D(J), como vemos en la siguiente figura:

12108642

2

4

6

8

10

12

A

B

C

D

E

F

Entrada (x)

Salid

a (y

)

Figura 2.7.2. Proyecciones FDH-O con una entrada y una salida.


44

El caso de dos salidas (y1, y2) y una entrada (x) no puede ser representado en el plano a no ser que las entradas sean las mismas para todas las unidades, ya que el modelo FDH no tiene retornos de escala constantes. Considerando tal suposición resolvemos el modelo de la siguiente forma:

12108642

2

4

6

8

10

12

A

B

C=B'

D

E=D'

Salida (y1)

Salid

a (y

2)

Figura 2.7.3. Proyecciones FDH-O con una entrada y dos salidas.

Si observamos las unidades B y D vemos que en primer lugar se efectúa la amplificación radial de las salidas y posteriormente se proyecta de forma rectangular sobre la unidad D(J) correspondiente. Este modelo lineal tiene variables binarias, lo que podría complicar su resolución, ya que habría que recurrir a métodos como la Exploración Dirigida. Sin embargo, debido a las características del problema, podemos solucionarlo de una manera más sencilla mediante el siguiente algoritmo (para el caso de orientación de salida):

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==∈

kJ

kj

skJDj yy

,...,1)(

* minmaxγ

Este algoritmo se basa en el hecho de que una γ admisible debe cumplir que:

kJ

JDjkjj

y

y∑∈≤ )(

λγ


45

a causa de la restricción del modelo:

kjJDj

kjj yy γλ ≥∑∈ )(

Como λj debe ser 0 ó 1, la solución γ* es el valor máximo de esa restricción. Para la orientación de entrada se tiene un modelo similar, que se expone a continuación:

{ }

libre

hh

skhyy

mihxx

as

MIN

J

ki

j

n

jj

kkJ

n

jjkj

iiJJ

n

jjij

J

θ

λ

λ

λ

θλ

θ

0,

1,0

1

,...,2,1

,...,2,1

:.

1

1

1

≥

∈

=

=+=

=−=

+−

=

+

=

−

=

∑

∑

∑

El caso de dos entradas y una salida se puede representar gráficamente siempre que todas las unidades tengan la misma cantidad de salida. Con esta suposición la resolución sería:


46

12108642

2

4

6

8

10

12

A

B=D'

C=F'

D

E

Entrada (x1)

Entr

ada

(x2)

F

Figura 2.7.4. Proyecciones FDH-I con dos entradas y una salida constante.

El conjunto de DMU’s que dominan a D y F son:

( ) { } ( ) { }ECFDCBADD ,,,, == El algoritmo de resolución correspondiente para el modelo con orientación de entrada es el siguiente:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==∈

iJ

ij

miJDj xx

,...,1)(

* maxminθ

Este algoritmo se deduce de forma análoga a la utilizada para la orientación de salida.

CAPÍTULO 2. Análisis por Envoltura de Datos (DEA). 1....

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