Capítulo 1

Números Complejos.

Los números complejos constituyen un cuerpo completo y algebraicamente cerrado. La estructura topológica del plano complejo y la extracción de raíces de índice natural cualquiera juegan un papel fundamental para explicar esa completitud y esa clausura. Este primer capítulo explora estas cuestiones partiendo de ejercicios prácticos.

En esta primera sección aprendemos a calcular raíces cuadradas en forma binómica, lo cual nos permitirá resolver completamente las ecuaciones de segundo grado tal como lo hacemos en el campo real. Luego la forma polar de los números complejos nos permite extraer la raíz de índice cualquiera de un número complejo y finalizaremos la sección con una nota histórica sobre las ecuaciones algebraicas.

Sección 1

CONTENIDO

1. Raíz cuadrada en forma binómica.

2. Forma polar de los números complejos.

3. Raíces n-ésimas.

4. Nota histórica.

Operaciones Algebraicas.

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Problemas.

1) Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación cuadrática

z2 + z + (1 + i) = 0.

Solución.

La fórmula de la resolvente habitual sigue valiendo en el campo de los números complejos y tenemos entonces que

z =−1 ± 1 − 4(1 + i)

2

es decir

z =−1 ± −3 − 4i

2. (1)

Para calcular la raíz cuadrada de −3 − 4i recordemos que

a + bi = ± |z | + a2

± |z | − a2

i

donde tomaremos signos iguales o distintos en las raíces según sea b ≥ 0 o b < 0 respectivamente.

En nuestro caso

a + bi = − 3 − 4i

y entonces tenemos

−3 − 4i = ± 5 − 32

± 5 + 32

i

es decir

−3 − 4i = ± 1 ± 2i

y como b = − 4 < 0 debemos tomar signos distintos. Luego tenemos que las dos raíces de −3 − 4i son

w0 = 1 − 2i y w1 = − 1 + 2i.

Insertando estos dos valores en (1) obtenemos finalmente que las dos raíces de nuestra ecuación son

8

z1 =−1 + (1 − 2i)

2= − i

z2 =−1 + (−1 + 2i)

2= − 1 + i.

En resumen, el conjunto solución de nuestra ecuación es el conjunto

S = {−i, − 1 + i}.

Observemos que las raíces de esta ecuación no son una conjugada de la otra. Esa propiedad de conjugación la poseen las ecuaciones polinómicas con coeficientes reales, situación que no se presenta en nuestro caso ya que el término independiente de nuestra ecuación es el número complejo 1 + i.

□

9

Vemos que las raíces de nuestra ecuación cuadrática no son una conjugada de la otra. Esto ocurre porque los coeficientes de nuestra ecuación cuadrática no son todos reales.

Galería 1.1 : Raíces de nuestra ecuación.

2) Calcular en la forma que crea conveniente

w = (−1 + i)10.

Solución.

Desde el punto de vista matemático podemos calcular esta potencia usando el binomio de Newton, el cual es una generalización del cuadrado de un binomio a cualquier potencia de exponente natural. Tenemos que dicho binomio de Newton es

(a + b)n =n

∑k=0

(nk) akbn−k.

Aplicado este binomio a nuestro caso resulta

(−1 + i)10 =10

∑k=0

(10k )(−1)ki10−k.

No hay ninguna duda de que esta no es la forma más conveniente de calcular lo que se nos pide. Pasemos entonces a la forma polar o lo que es lo mismo a la forma exponencial. Observamos que el

número complejo z0 = − 1 + i es la raíz graficada en azul en la galería 1.1 de la página 9. Vemos de este gráfico que el ángulo θ que forma z0 con el semieje

positivo de las abscisas es θ =34

π. Es muy sencillo

además ver que

|z0 | = (−1)2 + 12 = 2.

Con estos dos datos vemos que la forma exponencial de z0 es

z0 = |z0 |eiθ = 2ei 34 π.

Por lo tanto, operando en forma exponencial vemos que

z100 = |z0 |10 ei 3

4 .10.π = 32e304 πi = 32e

32 πi,

es decir

w = z100 = − 32i.

□

10

3) Resolver en el conjunto de los números complejos la ecuación

z4 = 8 + 8 3i.

Solución.

En general, cualquier raíz que no sea de índice 2 de un número complejo conviene extraerla en forma exponencial. Por ejemplo, si escribimos el número 8 + 8 3i en forma exponencial encontramos que

z4 = 16ei π3 (1)

pues el módulo de 8 + 8 3i es obviamente 16 y el

ángulo es

α = arctg( yx ) = arctg( 8 3

8 ) =π3

por encontrarse en el primer cuadrante 8 + 8 3i.

Ahora bien, escribiendo z en la forma polar

z = |z |eiθ

tenemos que (1) se transforma en

( |z |eiθ)4 = 16ei π3

es decir

|z |4 ei4θ = 16ei π3 .

Pero por igualdad de complejos en forma exponencial obtenemos el sistema

{|z |4 = 164θ = π

3 + 2kπ k ∈ Z

De aquí resulta la solución

{|z | = 2

θ = π12 + 2kπ

4 k ∈ {0,1,2,3}

Luego el conjunto solución, escrito en forma exponencial es el conjunto

S = {2ei π12 ,2ei 7π

12 ,2ei 13π12 ,2ei 19π

12 }.

□

11

La representación en el plano de estas cuatro raíces se ve en la siguiente galería.

Se puede ver una solución on-line aquí.

4) Demostrar y comprobar geométricamente que

|z | − |w | ≤ |z + w | .

Solución.

Asumamos demostrada la desigualdad triangular cuya interpretación geométrica es, si bien importante, trivial. Lo que debemos probar en este ejercicio es que

− |z + w | ≤ |z | − |w | ≤ |z + w | .

Esto se reduce a probar por separado que

− |z + w | ≤ |z | − |w | (1)

y que

|z | − |w | ≤ |z + w | . (2).

Concentrémonos primero en (2). Esta desigualdad puede re-escribirse en la forma

12

En general, las raíces n-ésimas de un complejo se encuentran en una circunferencia de radio igual a la raíz n-ésima del módulo de dicho complejo y equiespaciadas en ángulo de forma tal que constituyan un polígono regular de n lados. En nuestro caso, como se trata de una raíz cuártica las raíces forman un cuadrado.

Galería 1.2. Raíces cuárticas de un complejo.

|z | ≤ |z + w | + |w | .

Ahora bien, partiendo de |z | tenemos que

|z | = | (z + w) − w |

y por la desigualdad triangular

| (z + w) − w | ≤ |z + w | + | − w | = |z + w | + |w |

es decir

|z | − |w | ≤ |z + w | .

Para demostrar (1), multipliquemos la desigualdad (2) por −1. Obtenemos que

− |z | + |w | ≥ − |z + w | .

Cambiando en esta última z por w llegamos a

− |w | + |z | ≥ − |w + z |

y por conmutatividad de la suma tenemos

− |z + w | ≤ |z | − |w | .

□

E n l a s i g u i e n t e g a l e r í a i n t e r p re t a m o s geométricamente la desigualdad (2).

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La desigualdad (2), equivalente a |z | ≤ |z + w | + |w | , se interpreta geométricamente así : la longitud del vector en colorado es menor o igual que la suma de las longitudes de los vectores en azul.

Galería 1.3. Interpretación geométrica del ejercicio 4.

5) Hallar todas las soluciones en C de la ecuación cúbica

z3 − 6z + 9 = 0

mediante el uso de la fórmula de Cardano.

Solución.

Nota. Este ejercicio no pertenece a los temas fundamentales de la materia y puede leerse como una curiosidad. No hace falta recordar la fórmula de Cardano-Tartaglia, análoga a la resolvente de la ecuación de segundo grado. Sin embargo ciertos pasos, como la extracción de una raíz cúbica en forma exponencial, sí pueden ser de interés para un examen. Daremos luego una reseña histórica sobre la resolución de las ecuaciones algebraicas y la conexión de este tema con nuestra materia Análisis Matemático 3.

Consideremos la ecuación

z3 + pz + q = 0 (1)

que representa, salvo una traslación, cualquier ecuación cúbica.

Hagamos el cambio de variable

z = t −p3t t ≠ 0. (2)

Sustituyendo en (1) tenemos

t3 − pt +p2

3t−

p3

27t3+ pt −

p2

3t+ q = 0

o lo que es lo mismo luego de simplificar

t3 −p3

27t3+ q = 0.

Multiplicando ambos miembros por t3 resulta

t6 + qt3 −p3

27= 0

ecuación cuadrática en t3 cuyas raíces son

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t3 =−q ± q2 + 4p3

27

2 (3)

Esta fórmula es, en lenguaje moderno, una fórmula equivalente a la de Cardano-Tartaglia.

Apliquemos esta fórmula a nuestra ecuación. Tenemos que

p = − 6 q = 9.

Entonces

t3 =−9 ± 81 + 4(−6)3

27

2

lo cual produce

t3 = − 1 ó t3 = − 8.

Si tomamos por ejemplo t = − 1 y lo sustituimos en (2) obtenemos que

z = − 1 −−6

3(−1)= − 3

y sust i tuyendo en nuestra ecuación vemos precisamente que z = − 3 es una solución.

Pero lo mismo hubiese ocurrido si hubiésemos tomado t = − 2, la otra raíz cúbica. En este caso tendríamos

z = − 2 −−6

3(−2)= − 3.

Si en cambio de la ecuación t3 = − 1 usamos otra raíz cúbica, por ejemplo

t = ei π3

obtendríamos sustituyendo en (2) que

z = ei π3 −

−63ei π

3= ei π

3 + 2e−i π3

que usando la fórmula de Euler, obtenemos

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z = cos(π3

) + isen(π3

) + 2cos(−π3

) + i2sen(−π3

)

o lo que es lo mismo

z =32

−3

2i =

3 − 3i2

y análogamente con el tercer valor posible de t3 = − 1

t = ei 5π3 = e−i π

3

encontraríamos que

z =32

+3

2i =

3 + 3i2

.

Luego el conjunto solución de nuestra ecuación es el conjunto

S = {− 3,3 + 3i

2,

3 − 3i2 }.

□

Se puede ver una solución on-line aquí.

Reseña histórica y observaciones.

Queremos resaltarle al lector que no hemos hecho en ningún momento uso del teorema de Gauss para encontrar una raíz racional de nuestra ecuación

z3 − 6z + 9 = 0

y que por lo tanto nuestro método es más general, pues podría ocurrir que ninguna de las tres raíces de nuestra ecuación fuera racional. Hemos elegido este ejemplo para que los números sean “redondos”, pero nuestro método es más poderoso, del mismo modo que es más poderoso para resolver la ecuación cuadrática

x2 − 5x + 6 = 0

el uso de la resolvente que la prueba uno a uno de los divisores del término independiente 6 para ver si de casualidad alguno de ellos evaluado en el miembro izquierdo de nuestra ecuación se anula.

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Ahora bien, ¿quién fue el descubridor de la notable fórmula (3)? La fórmula (3) se conoce en la literatura matemática con el nombre de “fórmula de Cardano” pues él es quien la publica primero en su libro “Ars Magna” en el año 1545. Pero sin duda él no fue quien la descubrió.

Hubo independientemente dos descubridores de la misma : Scipio del Ferro de Bologna y Niccolo Fontana (Tartaglia) de Brescia. Scipio del Ferro en el año 1515 aproximadamente llega a resolver un caso bastante general de la ecuación

z3 = ax + b

mediante una forma equivalente a la nuestra. Sabemos esto porque siendo profesor de Matemática de Bologna, a su muerte - acaecida en el año 1526 - sus manuscritos pasan a dos alumnos suyos : Antonio María Fiori y a su yerno Aníbal de la Nave. En esos manuscritos se observa claramente que Scipio ya tenía la fórmula (3).

No queremos extender esta nota demasiado pero diremos que Antonio María Fiori propuso a Tartaglia un duelo científico que indujo a este último a re-descubrir, independientemente de Scipio del Ferro, nuestra fórmula (3). De manera que para sintetizar podemos decir que los dos descubridores de la misma son Scipio del Ferro y Niccolo Fontana (Tartaglia).

Como Tartaglia gana el duelo a Antonio María Fiori es invitado a Milán por Girolamo Cardano quien ruega a Tartaglia que le revele la fórmula (3), bajo juramento de que Cardano no la publicaría. Sin embargo, unos años después Cardano, junto a su secretario y discípulo Ludovico Ferrari (posiblemente el más notable de los matemáticos citados en esta nota excluyendo a Gauss) publica en simultáneo la fórmula (3) junto con la equivalente fórmula para la ecuación de cuarto grado.

La ecuación de cuarto grado es la última que puede resolverse por radicales. Al pasar este grado ya no es posible encontrar una resolvente pues al intentar

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bajar el grado, como hemos hecho de tres a dos en la cuadrática en t3, el grado en vez de disminuir aumenta. El primero en sospechar la imposibilidad de la resolución del problema perseguido es Lagrange y este hecho es probado con el esfuerzo conjunto de colosos como Ruffini y Abel y luego culmina toda esta historia en el galo genial Evaristo Galois.

Pero las cinco raíces de una ecuación de quinto grado existen en el campo complejo aún cuando no podamos expresarlas por radicales. Este es el contenido de un teorema que sí estudiaremos y demostraremos en el curso : el teorema fundamental del álgebra.

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El lugar geométrico donde trabajaremos en la primera parte de la materia lo constituye el plano complejo. La descripción de ciertos dominios es fundamental para comprender la esencia de ciertas funciones de variable compleja y sus aplicaciones a la física y a la ingeniería. En esta sección tenemos un primer contacto con estos dominios.

Sección 2

CONTENIDO

1. Dominios en el plano complejo.

2. Conjuntos abiertos, cerrados y acotados.

Topología del plano Complejo.

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Problemas.

1) Describir la región D en coordenadas cartesianas y graficarla en el plano complejo.

D = {z ∈ C :π6

< arg(z) <π3

∧ |z | > 1}Solución.

Es evidente que el gráfico de la región D es como en la galería 1.4. Ahora bien, puesto que para un ángulo θ

tg(θ) =yx

obtenemos que si el ángulo es θ =π6

entonces

tg(θ) =1

3=

yx

es decir

y =1

3x

y análogamente para θ =π3

obtenemos

tg(θ) = 3 =yx

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La región D es la parte del plano que hemos pintado de celeste.

Galería 1.4. Gráfica en el plano de la región D.

es decir

y = 3x.

Además, puesto que

|z | = x2 + y2

obtenemos que nuestra región D se puede describir en coordenadas cartesianas por

D = {z = x + iy ∈ C :1

3x < y < 3x ∧ x2 + y2 > 1}

□

2) Determinar si la región D del ejercicio anterior constituye un conjunto

a) abierto

b) cerrado

c) acotado.

Solución.

a) Recordemos la definición de conjunto abierto. Por definición un conjunto A ⊂ C es abierto si

( ∀zo ∈ A)(∃δ > 0) : B(z0, δ) ⊂ A

donde

B(z0, δ) = {z ∈ C : |z − z0 | < δ}.

A este último conjunto se lo llama bola abierta de centro z0 y radio δ > 0. De esta definición y de la interpretación geométrica de la galería 1.4. vemos inmediatamente que la región D del ejercicio anterior constituye un conjunto abierto.

b) Por definición, un conjunto A ⊂ C es cerrado si su complemento A es abierto. Prestemos entonces atención a la galería 1.5. En ella vemos la gráfica del conjunto complementario de A, A. Si nos situamos en el punto indicado w, que está justo sobre la recta NO podremos indicar ningún δ > 0 que satisfaga

B(w, δ) ⊂ A.

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Luego el conjunto A no es abierto y entonces, por definición, A no es cerrado.

c) Un conjunto A ⊂ C se llama acotado si existe un δ > 0 tal que

A ⊂ B(0,δ)

donde

B(0,δ) = {z ∈ C : |z | < δ}.

Del gráfico de la galería 1.4. vemos que no existe semejante δ > 0 y por lo tanto el conjunto A no es acotado. Observemos además que el conjunto complementario A tampoco es acotado.

□

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Punto interior Punto frontera

Galería interactiva 1.5. Puntos interiores y puntos frontera del conjunto complementario A.

El conjunto complementario A tiene exactamente a los puntos que no están en A. Por eso, lo que se encontraba “punteado” en la galería 1.4 y no pertenece a A aquí se encuentra “lleno” y sí pertenece a A.